固体物理复习考点
1． 以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为：
晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度，
设 n 为一个晶胞中的刚性原子球数,r 表示刚性原子球半径，V 表示晶胞体积，则致密度ρ=V
r
n
3
3
4
π
（1）
对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.2所示，中心在1，2，3，4处的原子球将依次相切，因为
,,433
a V r a ==
晶胞内包含1个原子，所以
ρ=
6
)(3
3
2
3
4π
π=
a
a
（2）对体心立方晶体，任一个原子有8个最近邻，若原子刚性球堆积，如图1.3所示，体心位置O 的原子8个角顶位置的原子球相切，因为晶胞空间对角线的长度为,,433
a V r a ==晶胞内包含2个
原子，所以
ρ=
ππ8
3)
(*23
3
4
33
4=
a
a
（3）对面心立方晶体，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.4所示，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球相切，因为
3
,42a V r a ==，1个晶胞内包含4个原子，所以
ρ=
6
2)
(*43
3
4
23
4ππ=
a
a
.
（4）对六角密积结构，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1。5所示，中心在1的原子与中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原子与中心在6，7，8的原子相切，晶胞内的原子O 与中心在1，3，4，5，7，8处的原子相切，即O 点与中心在5，7，8处的原子分布在正四面体的四个顶上，因为四面体的高
h =
2
2
3
23
2c r a =
=
晶胞体积 V = 2
2
2
360
sin ca ca
=
,
一个晶胞内包含两个原子，所以
ρ=
ππ6
2)(*22
2
3
3
2
34=
ca
a .
（5）对金刚石结构，任一个原子有4个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.7所示，中心在空间对角线四分之一处的O 原子与中心在1，2，3，4处的原子相切，因为
,83r a =
晶胞体积 3
a V =
一个晶胞内包含8个原子，所以
ρ=
16
3)
8
3(*83
3
3
4ππ=
a
a .
5．证明在立方晶体中，晶列[hkl ]与晶面（hkl ）正交，并求晶面(111l k h ) 与晶面(222l k h )的夹角。 [解答]
设d 是为晶面族（hkl ）的面间距 ，n 为法向单位矢量，根据晶面族的定义，晶面族（hkl ）将 a,b, c 分别截为l k h ,, 等份，即
a?n =a cos(a,n )=hd, b?n =b cos(b,n )=kd,
c?n =c cos(c,n )=ld 于是有 n =a
d h i +a
d k
j +a
d l
k
=
a
d (h i +k j +l k )
其中,i ,j,k 分别为平行于a,b,c 三个坐标轴的单位矢量，而晶列[hkl ] 的方向矢量为 R =ha i +ka j +la k =a(h i +k j +l k ) 由（1），（2）两式得 n =
2
a
d R
即n 与R 平行，因此晶列[hkl ]与晶面（hkl ）正交。
对于立方晶系，晶面(111l k h ) 与晶面(222l k h ) 的夹角，就是晶列 R 1
=1h a +1k b +1l c
与晶列
R 2=2h a +2k b +2l c
的夹角，设晶面 (111l k h )与晶面 (122l k h ) 的夹角为 ? 由 R 1?R 2=??cos cos 2
2222222
1
212121a l k h l k h R R ++++=
=2
212
212
21a l l a k k a h h ++
得
})(({
cos
22
22
222121
2
1
2
121211
l
k
h l k
h l l k k h h ++++++=-?
7．试证面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
设与晶轴a,b,c 平行的单位矢量分别为i,j,k 面心立方正格子的原胞基矢可取为
),
(2
1k j a a +=
).
(2
),
(232j i a a j k a a +=
+=
由Ω
?=
Ω
?=
Ω
?=
]
[2,]
[2,]
[2213132321a a b a a b a a b πππ,
可得其倒格矢为).
(2),(2),(2321k j i a
b k j i a b k j i a b -+=
+-=
++-=
πππ 设与晶轴a,b,c 平行的单位矢量分别为i,j,k ,体心立方正格子的原胞基矢可取为).
(2
),(2),(2321k j i a a k j i a a k j i a a -+=
+-=
++-=
以上三式与面心立方的倒格基矢相比较，两者只相差一常数公因子， 这说明面心立方的倒格子是体心立方。
将体心立方正格子原胞基矢代入倒格矢公式
.]
[2,]
[2,]
[2213132321Ω
?=
Ω?=
Ω
?=
a a
b a a b a a b πππ
则得其倒格子基矢为 ).
(2),(2),
(2321j i a
b i k a b k i a b +=
+=
+=
πππ可见体心立方的倒格子是面心立方。 11.试求质量为m ，原子间距为2/a ，力常数交错为1β，2β的一维原子链振动的色散关系。当1210ββ=时，求在0=q 和a
q π
=
处的)(q ω，并粗略画出色散关系。
解：下图3.3给出了该一维原子链的示意图
x 2n-2 x 2n+1 x 2n x 2n+1 x 2n+2 x 2n+3
图3.3
在最近邻近似和简谐近似下，第2n 和第（2n+1）个原子的运动方程为
???
????---=---=++++-+)()()()(2122122212122
12212122222n n n n n n n n n n x x x x dt x d m x x x x dt x d m ββββ ……………（1） 当1210ββ=时，上述方程组（1）可变为
???
????---=---=++++-+)(10)()()(102121122212122
12212121222n n n n n n n n n n x x x x dt x d m x x x x dt x d m ββββ ……………（2） 为求格波解，令
?????
==-++-]
2)12[(1
2]2
)2[(2t qa
n i n t qa
n i n Be x Ae
x ωω ……………（3） 将（3）式代入（2）式，可导出线性方程组为
?????=-++-=+----0
)11()10(0)10()11(212/2/12
/2/121B m A e e m
B e e m A m iqa iqa iqa iqa ωβββωβ ……………（4） 令
2
01
ωβ=m
，从A ，B 有非零解的系数行列式等于零的条件可得
0)10)(10()11(2
/2
/2
/2
/402
2
2
0=++----iqa iqa iqa iqa e
e
e
e
ωωω (5)
由（5）式可解出)101cos 2011(2
02
+±
=qa ωω
当0=q 时，1cos =qa ，022ωω=+，0=-ω 当a
q π
=
时，1cos -=qa ，020ωω=+，02ωω=
-
其色散关系曲线如下图3.4所示：
ω
12.12-n 个原子的力常数为'β。 （1） 写出这个格子振动的动力学方程； （2） 说明这种情况也有声学波和光学波； （3）
求0=q 时，声学波和光学波的频率； （4）
求a
q 2π
±
=（a 为晶格常数）时，声学波和光学波的频率。
解：（1）此题与（11）题基本相似，在最近邻近似和简谐近似下，同样可以写出第n 2和第12+n 个原子的动力学方程为
???
????---=---=++++-+)()(')(')(21212222122
122212222n n n n n n n n n n
x x x x dt x d m x x x x dt x d m ββββ ……………（1） （2）为求出方程组（1）的格波解，可令
???==-++-]
)12[(1
2]
)2[(2t qa n i n t qa n i n Be x Ae x ωω ……………（2） 于是将（2）式代入（1）式，可导出线性方程组为
??
???=-+++-=+--+--0
)'()'(0)'()'(2
2B m A e m e m B e m e m A m i q a i q a i q a i q a ωββββββωββ (3)
令
2
0'
ωββ=+m
，
2
1ωβ
=m
，
2
2'
ωβ=m
从A 、B 有非零解的系数行列式等于零的条件可得
0)2c o s 2()(2
22
14
24
12
2
2
0=++--qa ωωωωωω (4)
由（4）式可解出
qa 2cos 22
22142412
02
ωωωωωω
++±
= (5)
由此可知，ω的取值也有+ω和-ω之分，即存在声学波和光学波 （3）由（5）式可知
当0=q 时，12cos =qa ，有 声学波频率)(2
22120ωωωω+-=
-，光学波频率)(2
22120ωωωω++=
+
（4）同样由（5）式可知 当a
q 2π
±
=时，12cos -=qa ，有
声学波频率2
22120ωωωω--=
-，光学波频率222120ωωωω-+=
+
13.在一维双原子链中，如1/>>m M ， （1）求证：
qa M sin 21βω=
；
21
2
2)cos 1(2qa M
m m
+
=
βω。
（2）画出ω与q 的关系图（设10/=m M ）。
解：（1）在一维双原子链中，其第n 2个原子与第12+n 个原子的运动方程为
???
????-+=-+=++++-)2()2(122222122
21212222n n n n n n n n
x x x dt x d M x x x dt x d m ββ 为解方程组（1）可令
???==-++-]
)12[(12]
)2[(2t qa n i n t qa n i n Be x Ae x ωω 将（2）式代入（1）式可得出??
???=-+-=--0
)2()cos 2(0)cos 2()2(2
2
B M A qa M B qa m A m ωβββωβ
从A 、B 有非零解，方程组（3）的系数行列式等于零的条件出发，可得 0s i n 4
)(
22
2
4
=?
++
-qa m
M
m
M
β
β
ω
β
β
ω
可解出得 qa m
M
m
M
m
M
2
2
2
sin
4
)(
)(
ββββββω
?
-+
±+
= (4)
当（4）式中取“－”号时，有
??
?
??
?
+--+=
2
1
2
2
21
)sin )(41(1)(qa m M Mm
mM
m M βω
(5)
∵1/>>m M ，∴（5）式中有
m
Mm
M
Mm
m M β
ββ=
≈
+)
(，
1sin
4sin
4sin
)
(42
2
2
2
2
<<=
≈
+qa M
m qa M
Mm qa m M Mm
那么（5）式可简化为
qa M qa M m m qa M
m
m 2
2
21
2
21
sin
2)sin 4211(1)sin 41(1ββ
βω
=??
?
??
?
?--≈
??
????
-
-≈
∴qa M
sin 21βω=
当（4）式中取“＋”号时，有
2
1
2
2
2
2
cos )(41)()
(??
????
-+-+
+=
qa m M Mm
Mm
m M Mm
m M ββω
……………（6） ∵1/>>m M ，∴（6）式中有
m
Mm
M
Mm
m M β
ββ=
≈
+)
(，
m
Mm
M
Mm
m M β
ββ=
≈
-)
(
1cos 4cos 4cos )
(42
2
2
2
2
<<=
≈
-qa M
m qa M
Mm qa m M Mm
那么（6）式可简化为
)c o s 1(2)c o s 4211()c o s 41(2
221
2
2
2qa M
m m qa M m m
m
qa M
m m
m
+=?+
+
≈
+
+
≈
ββ
β
β
β
ω ∴21
2
2)cos 1(2qa M
m m
+
=
βω
（2）当10/=m M 时，则（4）式可化为qa m
m
m
2
2
22
22
sin
521001211011βββω
-
±
=
此时，ω与q 的关系图，即色散关系图如下图3.5所示：
ω
(2) 相应的声子能量是多少eV? (3) 这3种声子在300K 时各有多少个？
(4) 如果用电磁波激发光频振动，要激发最大光学频率的声子所用的电磁波长在什么波段？
解：(1)由于光学波频率的最大值和最小值的计算公式分别为：
μ
β
ω2max =
+
上式中g M m m M
m mM 24
24
10
68.61
4/110
67.151
/--?=+??=
+=+=μ为约化质量
m
βω2min =
+
所
以
有
：
Hz
13
3
24
max 10
12.210
10
68.65.12?=???=
--+ωHz 13
3
24
min 10
90.110
10
67.155
.12?=????=
--+ω
而声学波频率的最大值的计算公式为：
m
m M M
?=
=
-ββω22max 所以有Hz 12
3
24
max 10
50.910
10
67.1545
.12?=?????=
---ω
(2)相应的声子能量为：
eV J 2
21
13
34
max max 10
40.110
236.210
12.214
.3210625.6---++?=?=????=
=ωε
(3)由于声子属于玻色子，服从玻色—爱因斯坦统计，则有
140.11
1
1
1)
30010
38.1/(10
236.2)
/(max 23
21
max ≈=-=-=
???+--+e
e
n T k B ω
(4)如用电磁波来激发光频振动，则要激发最大光学频率的声子所用的电磁波长应满足如下关系式：
m c
5
13
8
max
10
88.810
12.210
998.214.322-+?=????=
=
ωπλ
15.在一维双原子晶格振动的情况下，证明在布里渊区边界a
q 2π
±
=处，声学支格波中所有轻原子m 静
止，而光学支格波中所有重原子M 静止。画出这时原子振动的图像。
解：设第n 2个原子为轻原子，其质量为m ，第12+n 个原子为重原子，其质量为M ，则它们的运动方程为
???
????-+=-+=++++-)2()2(122222122
21212222n n n n n n n n x x x dt x d M x x x dt x d m ββ …………………（1） ???==-++-]
)12[(12]
)2[(2t qa n i n t qa n i n Be x Ae x ωω …………………（2） ??
???=-+-=--0
)2()c o s 2(0)c o s 2()2(2
2B M A qa M B qa m A m ωβββωβ …………………（3） 从A 、B 有非零解，方程组（3）的系数行列式等于零的条件出发，可得
0s i n 4
)(
22
2
4
=?
++
-qa m
M
m
M
β
β
ω
β
β
ω
qa m
M
m
M
m
M
2
2
2
sin
4
)(
)(
ββββββω?
-+
±+
=± (4)
令a
q 2π
±
=，则可求得声学支格波频率为M
βω2=
-，光学支格波频率为m
βω2=
+
在声学支中，轻原子m 与重原子M 的振幅之比为
0/2/2/c o s 2=-=
M
m m qa B
A βββ
由此可知，声学支格波中所有轻原子m 静止。 而在光学支中，重原子M 与轻原子m 的振幅之比为
解：在德拜模型中，假设晶体的振动格波是连续介质的弹性波，即有色散关系
q v p =ω 那么格波的状态密度为
2
3
41)
2()(q dq
d V πωπωρ??
= 322
2p
v
V ω
π
?
=
?=m
N d ωω
ωρ0
3)(
?=?
m
N d v
V
p
ωωωπ
322
32 N
V v
m p
2
3
318πω=
把（5）式代入（2）式即可得
2
39)(ωω
ωρm
N
=
晶体中电子能带理论
2. 布洛赫函数满足
)(n R r +ψ=)(r n
k.R ψi e
,
何以见得上式中k 具有波矢的意义? [解答]
人们总可以把布洛赫函数)(r ψ展成付里叶级数
r
K k'h K k r ).()'()(h i h
e
a +∑+=
ψ,
其中k ’是电子的波矢. 将)(r ψ代入
)(n R r +ψ=)(r n
k.R ψi e
,
得到
n
k'.R
i e
=n
k.R i e
.
其中利用了πp n h 2.=R K (p 是整数), 由上式可知, k =k ’, 即k 具有波矢的意义. 1. 4. 与布里渊区边界平行的晶面族对什么状态的电子具有强烈的散射作用？ [解答]
当电子的波矢k 满足关系式
)2
(=+
?n n K k K
时, 与布里渊区边界平行且垂直于n K 的晶面族对波矢为k 的电子具有强烈的散射作用. 此时, 电子的波矢很大, 波矢的末端落在了布里渊区边界上, k 垂直于布里渊区边界的分量的模等于2/n K . 2. 5. 一维周期势函数的付里叶级数
nx
a
i
n
n e
V x V π2)(∑=
中, 指数函数的形式是由什么条件决定的?
[解答]
周期势函数V (x ) 付里叶级数的通式为
x
i n
n n e
V x V λ∑=
)(
上式必须满足势场的周期性, 即
x
i n
n a
i x
i n
n a x i n
n n n n n e
V x V e
e
V e
V a x V λλλλ∑∑∑=
==
=
++)()()()
(.
显然
1=a
i n e
λ.
要满足上式, n λ必为倒格矢
n
a n π
λ2=
.
可见周期势函数V (x )的付里叶级数中指数函数的形式是由其周期性决定的.
3. 6. 对近自由电子, 当波矢k 落在三个布里渊区交界上时, 问波函数可近似由几个平面波来构成? 能量久期方程中的行列式是几阶的? [解答]
设与三个布里渊区边界正交的倒格矢分别为321K ,K ,K , 则321K ,K ,K 都满足
3
21 ,0)2
(K ,K ,K K K k K ==+
?n n n ,
且波函数展式
r
K k K r ).()(1)(m i m
m k e
a N +∑=
Ω
ψ
中, 除了含有)( ,)( ,)( ,)0(321K K K a a a a 的项外, 其它项都可忽略, 波函数可近似为
]
)( ,)( ,)( ,)0([1
)().(3).(2).(1.321r
K k r
K k r
K k r
k k K K K r +++=
i i i i e
a e
a e
a e
a N Ωψ.
由本教科书的(5.40)式, 可得
0)()()()()()()0()(233221122=-+-+-+???
?
??-K K K K K K k a V a V a V a E m k ,
)()()()()()(2)0()(3312211221=-+-+???
???-+K K K K K K K k K a V a V a E m k a V , 0
)()()()(2)()()0()(332222112
2=-+???
???-+-+K K K K k K K K K a V a E m k a V a V ,
)()(2)()()()()0()(322223
1133=???
???-+-+-+K k K K K K K K K a E m k a V a V a V .
由)( ,)( ,)( ,)0(321K K K a a a a 的系数行列式的值
)(2)
()
()
()()(2)()()
()()(2)()()()()(222231333222122312122132122=??
?
???----???
???----?
??
???----??
?
?
??-k K K K K K K K k K K K K K K K k K K K K k E m k V V V V E m k V V V V E m k V V V V E m k .
可解出电子的能量. 可见能量久期方程中的行列式是四阶的.
4. 7. 在布里渊区边界上电子的能带有何特点? [解答]
电子的能带依赖于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里渊区边界上, 近自由电子的能带一般会出现禁
带. 若电子所处的边界与倒格矢n K 正交, 则禁带的宽度)
(2n K V E g =, )(n K V 是周期势场的付里
叶级数的系数.
不论何种电子, 在布里渊区边界上, 其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零, 即电子的等能面与布里渊区边界正交.
5. 8. 当电子的波矢落在布里渊区边界上时, 其有效质量何以与真实质量有显著差别? [解答]
晶体中的电子除受外场力的作用外, 还和晶格相互作用. 设外场力为F , 晶格对电子的作用力为F l , 电子的加速度为
)
(1
l m F F a +=
.
但F l 的具体形式是难以得知的. 要使上式中不显含F l , 又要保持上式左右恒等, 则只有
F
a *
1
m =
.
显然, 晶格对电子的作用越弱, 有效质量m*与真实质量m 的差别就越小. 相反, 晶格对电子的作用越强, 有效质量m *与真实质量m 的差别就越大. 当电子的波矢落在布里渊区边界上时, 与布里渊区边界平行的晶面族对电子的散射作用最强烈. 在晶面族的反射方向上, 各格点的散射波相位相同, 迭加形成很强的反射波. 正因为在布里渊区边界上的电子与晶格的作用很强, 所以其有效质量与真实质量有显著差别. 6. 9. 带顶和带底的电子与晶格的作用各有什么特点? [解答]
得
m m
m
l F F F +
=
*
. 将上式分子变成能量的增量形式
m
t m
t m
t l d d d *
ννν?+
?=
?F F F ，
从能量的转换角度看, 上式可表述为
m
E m
E m
E 晶格对电子作的功
外场力对电子作的功
外场力对电子作的功
)d ()(d )(d *
+
=
.
由于能带顶是能带的极大值，
22
k
E ??<0，
所以有效质量
2
2
2
*
k E
m
??=
<0.
说明此时晶格对电子作负功, 即电子要供给晶格能量, 而且电子供给晶格的能量大于外场力对电子作的功. 而能带底是该能带的极小值，
2
2
k
E ??>0，
所以电子的有效质量
2
2
2
*
k E
m
??=
>0.
但比m 小. 这说明晶格对电子作正功. m* n n V T m m 211* + =<1. 12. 紧束缚模型电子的能量是正值还是负值? [解答] 紧束缚模型电子在原子附近的几率大, 远离原子的几率很小, 在原子附近它的行为同在孤立原子的行为相近. 因此，紧束缚模型电子的能量与在孤立原子中的能量相近. 孤立原子中电子的能量是一负值, 所以紧束缚模型电子的能量是负值. s 态电子能量(5.60)表达式 ∑?--=n i s s at s s n e J C E E R k k )( 即是例证. 其中孤立原子中电子的能量at s E 是主项, 是一负值, s s J C --和是小量, 也是负值. 14. 等能面在布里渊区边界上与界面垂直截交的物理意义是什么？ [解答] 将电子的波矢k 分成平行于布里渊区边界的分量//k 和垂直于布里渊区边界的分量k ┴. 则由电子的平均速度 ) (1k E k ?= ν 得到 ////1k E ??= ν, ⊥⊥??= k E 1ν. 等能面在布里渊区边界上与界面垂直截交, 则在布里渊区边界上恒有⊥??k E /=0, 即垂直于界面的速度分量⊥ν为零. 垂直于界面的速度分量为零, 是晶格对电子产生布拉格反射的结果. 在垂直于界面的方向上, 电子的入射分波与晶格的反射分波干涉形成了驻波. 15. 在磁场作用下, 电子的能态密度出现峰值, 电子系统的总能量会出现峰值吗? 由（5.111）式可求出电子系统的总能量 ? ∑? =-= = F F E l n E n b E E aE E E EN U 0 2 /1] [d d )( ∑=??? ? ??-= l n n F b a b E a 0n 2/32/3)(32-][32 {} ∑=-= l n n F n b a b E ab n 2 /3) (2-2 其中 m eB n b m V a c c n c c = ??? ? ? +=? ? ? ??=ωωπω ,21 ,282 /322 . 对系统的总能量求微商B U ??/, 其中有一项 ∑ =? ?? ? ? +-??? ? ? +- l n F n m eB n E m e n ab 0 2121 . 可见, 每当 F E m eB n =? ?? ?? + 21 时, 总能量的斜率B U ??/将趋于∞, 也即出现峰值. 17. 当有电场后, 满带中的电子能永远漂移下去吗? 当有电场后, 满带中的电子在波矢空间内将永远循环漂移下去, 即当电子漂移到布里渊区边界时, 它会立即跳到相对的布里渊区边界, 始终保持整体能态分布不变. 具体理由可参见图5.18及其上边的说明. 18. 一维简单晶格中一个能级包含几个电子? 设晶格是由N 个格点组成, 则一个能带有N 个不同的波矢状态, 能容纳2N 个电子. 由于电子的能带是波矢的偶函数, 所以能级有(N /2)个. 可见一个能级上包含4个电子. 19. 本征半导体的能带与绝缘体的能带有何异同?] 在低温下, 本征半导体的能带与绝缘体的能带结构相同. 但本征半导体的禁带较窄, 禁带宽度通常在2个电子伏特以下. 由于禁带窄, 本征半导体禁带下满带顶的电子可以借助热激发, 跃迁到禁带上面空带的底部, 使得满带不满, 空带不空, 二者都对导电有贡献. 20. 加电场后空穴向什么方向漂移? 加电场ε后空穴的加速度 h m e t εν= d d , 其中h m 是空穴的质量, 是正值. 也就是说, 空穴的加速度与电场ε同方向. 因此, 加电场ε后空穴将沿电场方向漂移下去. 自由电子气(自由电子费米气体)：自由的、无相互作用的 、遵从泡利原理的电子气。 电子气的费米能和热容量 1.费米分布函数 在热平衡时，能量为E 的状态被电子占据的概率是 1 e 1)(B F )(+= -T k E E E f ?? ? ??>=<<= =F F F 01)(0E E E E E E E f t 陡变时 ? ????>>=<<=≠F F F 021 1)(0T E E E E E E E f 时 2.费米能 ()3 222 0π32n m E F = ??? ???? ???? ? ??-≈2 F B 20F F 12π1T T k E E 3 每个电子对热容量的贡献B 0F 2 2πk T T C V ??? ? ??= 常温下电子对与热容量的贡献很小。这是因为在常温下，费米球内部的电子从晶格振动获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态，只有费米面附近kBT 范围的电子才能受热激发而跃迁至较高的能级。 常温下电子对与热容量的贡献很小，如何解释呢? 这是因为在常温下，费米球内部的电子从晶格振动获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态，只有费米面附近kBT 范围的电子才能受热激发而跃迁至较高的能级。也就是说能量随温度发生变化的只是少数电子。所以电子的热容量很小。 接触电势差 热电子发射 一、接触电势差 )(1A B B A ??-= -e V V 上式说明两块金属的接触电势差来源于两块金属的脱出功不同，而脱出功表示真空能级和金属费米能级之差，所以接触电势差来源于两块金属的费米能级不一样高。两金属接触平衡后，价电子有费米能高的一方流向费米能低的一方，费米能差别大，接触电势差就大。 二、热电子发射 热电子发射：电子从外界获得热能逸出金属的现象称为热电子发射。 发射电流密度：T k AT j B e 2 ?-=---里查逊－杜师曼公式 由上式可知，温度越高，脱出功越小，发射电流越大。 玻尔兹曼方程 1.玻尔兹曼方程 玻尔兹曼方程是用来研究非平衡状态下电子的分布函数的方程。 0=????= ??漂 碰 ＋ t f t f t f 漂 t f ??f k f r k r ?-?-= a b t f -??＝碰 a b f k f r k r -=?+? 玻尔兹曼微分积分方程 [] ?'Θ'-= k k k k t k f t k f a 3 'π) 2(d ),(),(1),( [] ? ' 'Θ-'= k k k k t k f t k f b 3 ' π) 2(d ),(),(1),( 2.驰豫时间近似 τ 0f f a b f k f r k r --=-=?+? 3.外场和温度梯度存在 玻尔兹曼方程为：) ()()(1 0k f f f B v e T f T E k k τε-- =???+-????? 电子与晶格相互作用 电子与晶格相互作用满足能量守恒和准动量守恒。 ω ±=')()(k E k E “+” 表示电子吸收一个声子的散射； q K k k m ±=-' “-” 表示电子发射一个声子的散射； 纯金属的电导率 1.分布函数 E f v e f f k ???+=00)()( ετ 2.电流密度 ?-= k k f k ev j d π) 2(2) ()(3 x k s x x E s v e j ετ ?= ? d π 4F 2 3 2 E j σ= 立方结构金属的电导率 E s v e k s x ?= ? d π 4F 2 3 2τσ 如果金属电子的等能面是球面* =m ne F 2τσ F 2 τρne m * = 固体物理总复习 什么就是固体物理学？ 简单地说,固体物理学得基本问题有:固体就是由什么原子组成?它们就是怎样排列与结合得？这种结构就是如何形成得？在特定得固体中,电子与原子取什么样得具体得运动形态?它得宏观性质与内部得微观运动形态有什么联系？各种固体有哪些可能得应用？探索设计与制备新得固体,研究其特性,开发其应用、 通常固体可分为:晶体、准晶体与非晶体、 晶体:晶态得结构特点就是组成粒子在空间得排列具有周期性,表现为既有就是长程取向有序又有平移对称性,这就是一种高度长程有序得结构; 准晶体:组成粒子得排列也呈有序结构,只就是不具有周期性或平移对称性,而就是同时具有长程准周期平移序与晶体学不允许得长程取向序; 非晶体:非晶体中组成粒子得排列没有一定得规则,原则上属于无序结构、 第一章晶体结构 §1、1晶体结构得基本概念 1 晶体结构得基本概念 (1)晶体与基元 晶体:晶体就是由完全相同得原子、分子或原子团在空间有规则地周期性排列构成得固体材料、 基元:基元就是构成晶体得完全相同得原子、分子或原子团。这里“完全相同”有两方面得含义:一就是原子得化学性质完全相同,二就是原子得几何环境完全相同。 (2)晶格 晶格:晶体中得原子就是规则排列得、用几组平行直线连接晶体中原子形成得网格,称为晶格、 (3)原胞与原胞基矢 原胞:构成晶体得最小周期性结构单元称为原胞; 原胞基矢:原胞得边矢量称为原胞基矢,通常用、、表示、 通常,原胞作为最小(体积最小)得周期性结构单元得判据就是一个原胞只包含一个基元;该判据只就是原胞得一个必要判据,如果一个单元含有两个或两个以上得基元,该单元就肯定不就是原胞。原胞有时称为初基原胞,相应地原胞基矢称为初基基矢。 简立方: ,, 体心;立方: 面心立方: 原胞基矢可以计算原胞体积? (4)布拉伐(Ｂraｖais)格子与晶体周期性得描述 所有得阵点可以用位置矢量 晶体：是由离子，原子或分子（统称为粒子）有规律的排列而成的，具有周期性和对称性 非晶体：有序度仅限于几个原子，不具有长程有序性和对称性 点阵：格点的总体称为点阵 晶格：晶体中微粒重心，周期性的排列所组成的骨架，称为晶格 格点：微粒重心所处的位置称为晶格的格点（或结点） 晶体的周期性和对称性：晶体中微粒的排列按照一定的方式不断的做周期性重复，这样的性质称为晶体结构的周期性。晶体的对称性指晶体经过某些对称操作后，仍能恢复原状的特性。（有轴对称，面对称，体心对称即点对称） 密勒指数：某一晶面分别在三个晶轴上的截距的倒数的互质整数比称为此晶面的密勒指数 配位数：可用一个微粒周围最近邻的微粒数来表示晶体中粒子排列的紧密程度，称为配位数 致密度：晶胞内原子所占体积与晶胞总体积之比称为点阵内原子的致密度 固体物理学元胞：选取体积最小的晶胞，称为元胞：格点只在顶角，内部和面上都不包含其他格点，整个元胞只含有一个格点：元胞的三边的平移矢量称为基本平移矢量（或者基矢）；突出反映晶体结构的周期性 晶胞:体积通常较固体物理学元胞大；格点不仅在顶角上，同时可以在体心或面心上；晶胞的棱也称为晶轴，其边长称为晶格常数,点阵常数或晶胞常数；突出反映晶体的周期性和对称性。 布拉菲格子：晶体由完全相同的原子组成，原子与晶格的格点相重合而且每个格点周围的情况都一样 复式格子：晶体由两种或者两种以上的原子构成，而且每种原子都各自构成一种相同的布拉菲格子，这些布拉菲格子相互错开一段距离，相互套购而形成的格子称为复式格子，复式格子是由若干相同的布拉菲格子相互位移套购而成的 声子：晶格简谐振动的能量化，以hv l来增减其能量，hv l就称为晶格振动能量的量子叫声子 非简谐效应：在晶格振动势能中考虑了δ2以上δ高次项的影响，此时势能曲线能是非对称的，因此原子振动时会产生热膨胀与热传导 点缺陷的分类：晶体点缺陷：①本征热缺陷：弗伦克尔缺陷，肖脱基缺陷②杂质缺陷：置换型，填隙型③色心④极化子 布里渊区：在空间中倒格矢的中垂线把空间分成许多不同的区域，在同一区域中能量是连续的，在区域的边界上能量是不连续的，把这样的区域称为布里渊区 固体物理复习要点 第一章 1、晶体有哪些宏观特性？ 答：自限性、晶面角守恒、解理性、晶体的各向异性、晶体的均匀性、晶体的对称性、固定的熔点这是由构成晶体的原子和晶体内部结构的周期性决定的。说明晶体宏观特性是微观特性的反映 2、什么是空间点阵？ 答：晶体可以看成由相同的格点在三维空间作周期性无限分布所构成的系统，这些格点的总和称为点阵。 3、什么是简单晶格和复式晶格？ 答：简单晶格：如果晶体由完全相同的一种原子组成，且每个原子周围的情况完全相同，则这种原子所组成的网格称为简单晶格。 复式晶格：如果晶体的基元由两个或两个以上原子组成，相应原子分别构成和格点相同的网格，称为子晶格，它们相对位移而形成复式晶格。 4、试述固体物理学原胞和结晶学原胞的相似点和区别。 答：(1)固体物理学原胞(简称原胞) 构造：取一格点为顶点，由此点向近邻的三个格点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理学原胞。 JISHOU UNIVERSITY 《固体物理》期末 考核报告 摘要：本课以本科理论物理的“四大力学”为基础。又是学习凝聚态物理学和材料科学的基础，它是最基础的、又同专业关系最密切的一门课程。通过本课的学习，一方面是对以前所学基础理论知识的复习和应用，另一方面也为今后了解、掌握现代高新技术和从事科学研究打下基础。 关键字：力学、基础、课程-现代高新科技、应用 一、引言 固体物理就是研讨固体（主要是晶体）材料物理特性的一门科学。它是从固体中的原子和电子状态的根本特点出发来讨论固体的物理性质，所以是最基础的、又同专业关系最密切的一门课程，它也讨论非晶体材料的性质，是学习金属物理、半导体物理、电介质物理、磁学等的基础、先行课程。 虽然固体物理主要是讨论固体材料的问题，但是实际上对于讨论液体、气体材料也有参考价值，同时还体现了应用基础课的特点，既要讲有关的理论体系，又要讲和实验、生产的密切关系．特别要突出科学的研究方法。对于物理类和电 子科学类的专业，固体物理是必修课。所以。对于了解学习固体物理的目的和难点是非常有必要的。 二、学习固体物理的目的 2.1 固体物理学的发展 固体物理对于技术的发展有很多重要的应用，晶体管发明以后，集成电路技术迅速发展，电子学技术、计算技术以至整个信息产业也随之迅速发展。其经济影响和社会影响是革命性的。这种影响甚至在日常生活中也处处可见。新的实验条件和技术日新月异，正为固体物理不断开拓新的研究领域。极低温、超高压、强磁场等极端条件、超高真空技术、表面能谱术、材料制备的新技术、同步辐射技术、核物理技术、激光技术、光散射效应、各种粒子束技术、电子显微术、穆斯堡尔效应、正电子湮没技术、磁共振技术等现代化实验手段，使固体物理性质的研究不断向深度和广度发展。由于固体物理本身是微电子技术、光电子学技术、能源技术、材料科学等技术学科的基础，也由于固体物理学科内在的因素，固体物理的研究论文已占物理学中研究论文三分之一以上。其发展趋势是：由体内性质转向研究表面有关的性质；由三维体系转到低维体系；由晶态物质转到非晶态物质；由平衡态特性转到研究瞬态和亚稳态、临界现象和相变；由完整晶体转到研究晶体中的杂质、缺陷和各种微结构；由普通晶体转到研究超点阵的材料。这些基础研究又将促进新技术的发展，给人们带来实际利益。同时，固体物理学的成就和实验手段对化学物理、催化学科、生命科学、地学等的影响日益增长，正在形成新的交叉领域。 2.2 学习固体物理的要求 固体物理是很抽象的，在于他研究的对象已经不是一般的某个体系，而是涉及组成物体的原子分子之间的结构能量问题，有些类似于原子物理，但又不一样。想要学好固体物理完全没有必要纠结于难记的公式和复杂的推导，关键是理解固体物理中引进的其它物理分支中没有的概念和研究方法，举个例子，一开始介绍倒格矢，概念很抽象，但是它的目的是研究晶格，晶体性质的，那么就需要站在晶体结构的角度理解它；研究满带，空带，就需要联系分子之间能量来理解它。要区分微观和宏观研究方法的不同，不要带着以往学物理的方法来学习固体物理。 对于大学生所学的固体物理，其中的内容都是比较浅显易懂，我们所要做的就是在课堂所学的基础上，去为将要学习更深的内容做好准备。利用大学所学的基础知识，对固体物理的一些基础的知识的了解，去更好的用到生活中去。这样才能做到真正的学以致用。 固体物理复习整理 第12章 1．什么是布拉菲格子？ 2．布拉菲格子与晶体结构之间的关系. 3．什么是复式格子？复式格子是怎么构成的？ 4．原胞和晶胞是怎样选取的？它们各自有什么特点？ 5．如何在复式格子中找到布拉菲格子？复式格子是如何选取原胞和晶胞的？ 6．金刚石结构是怎样构成的？ 7．氯化钠、氯化铯的布拉菲格子是什么结构? 8．密堆积有几种密积结构?它们是布拉菲格子还是复式格子? 9．8种独立的基本对称操作是什么? 10．7大晶系是什么? 11．怎样确定晶列指数和晶面指数？ 12．晶面指数与晶面在三坐标轴上的截距之间的关系？ 13．通过原点的晶面如何求出其晶面指数？ 14．倒格子的定义？正倒格子之间的关系？ 内容 ?正空间：晶体的结构以及特点 ?正空间：晶体的结构参数的确定→晶向指数和晶面指数 ?从正空间到倒空间→倒格子和布里渊区 晶体所呈现的物理性质来源其特殊的空间结构，所以对其空间结构的了解以及描述很有必要；而对于涉及到波函数，比如格波→晶格振动（13章）和电子波→能带论（14章）的讨论都是在倒空间中完成的，所以本章还涉及到正空间和倒空间的相互转换，以及布里渊区概念的提出和构建。 概念 ?格点和基元 ?布拉菲格子（简单格子）和复式格子 ?原胞和晶胞 ?七大晶系和十四种布拉菲格子 ?立方晶系的三种布拉菲格子：简单立方、面心立方、体心立方的结构特点——晶 胞（立方晶系）和原胞基矢的建立 ?立方晶系的几种复式格子：氯化钠结构、氯化铯结构、金刚石结构和闪锌矿结构 ——结构特点和代表物质 ?最密堆积的两种基本方式：ABAB→六方密堆积（六方晶系的复式格子）和 ABCABC→立方密堆积（立方晶系的布拉菲格子：面心立方） ?晶体的八种独立的宏观对称要素：C1、C2、C3、C4、C6、σ、i、S4 ?32点群和230空间群 ?倒格矢和晶面以及晶面间距之间的关系？ ?倒格矢和正格矢之间的关系？ ?布里渊区物理性质的重复？ 方法 ?一维、二维和三维晶体的原胞和晶胞的选取，以及其基矢的建立，格矢的确定？（包括 简单格子和复式格子） ?晶向指数和晶面指数的确定？（从图到指数，依据指数画图） ?正格子到倒格子的转换——原胞基矢的互换：一维、二维和三维（立方晶系的正倒格子 关系）？ ?求正格子和倒格子的体积Ω和Ω*？ ?布里渊区的几何画法？布里渊区边界方程应用？ 第13章 1．一维单原子晶格的色散关系？色散关系周期性的物理意义？ 2．一维双原子晶格的色散关系? 3．同一原胞内两种原子有什么振动特点？ 4．晶格振动的波矢数、格波支数及格波数是如何确定的？ 5．声子这个概念是怎样引出的？它是怎样描述晶格振动的？ 内容 ?对晶格振动形态的描述：从运动方程到色散关系；（简单的一维无限长模型） ?周期边界条件以及对格波状态的讨论（多维有限长模型——原胞数有限） ?格波的能量——声子的引出 ?晶格比热——声子能量的进一步讨论 概念 1、一维单原子和一维双原子的色散关系？ 2、声学波和光学波的运动特点？ 3、波恩卡门条件：格波支数、每支格波格波数、总格波数（n维有限——简单或者复 式格子） 4、声子的基本概念——格波能量量子化——公式？ 5、了解，晶格比热的历史沿革——经典下的矛盾，爱因斯坦和德拜模型的成功与不足？方法 1、运动方程→试探解→色散方程？ 2、利用周期边界条件求格波波矢（状态）？ 固体物理总复习题 一、填空题 1．原胞是的晶格重复单元。对于布拉伐格子，原胞只包含个原子。2．在三维晶格中，对一定的波矢q，有支声学波，支光学波。3．电子在三维周期性晶格中波函数方程的解具有形式，式中在晶格平移下保持不变。 4．如果一些能量区域中，波动方程不存在具有布洛赫函数形式的解，这些能量区域称为；能带的表示有、、三种图式。5．按结构划分，晶体可分为大晶系，共布喇菲格子。 6．由完全相同的一种原子构成的格子，格子中只有一个原子，称为格子，由若干个布喇菲格子相套而成的格子，叫做格子。其原胞中有以上的原子。 7．电子占据了一个能带中的所有的状态，称该能带为；没有任何电子占据的能带，称为；导带以下的第一满带，或者最上面的一个满带称为；最下面的一个空带称为；两个能带之间，不允许存在的能级宽度，称为。 8.基本对称操作包括，，三种操作。 9.包含一个n重转轴和n个垂直的二重轴的点群叫。 10.在晶体中，各原子都围绕其平衡位置做简谐振动，具有相同的位相和频率，是一种最简单的振动称为。 11.具有晶格周期性势场中的电子，其波动方程为。 12.在自由电子近似的模型中，随位置变化小，当作来处理。 13.晶体中的电子基本上围绕原子核运动，主要受到该原子场的作用，其他原子场的作用可当作处理。这是晶体中描述电子状态的模型。 14.固体可分为，，。 15.典型的晶格结构具有简立方结构，，，四种结构。 16.在自由电子模型中，由于周期势场的微扰，能量函数将在K= 处断开，能量的突变为。 17.在紧束缚近似中，由于微扰的作用，可以用原子轨道的线性组合来描述电子共有化运动的轨道称为，表达式为。 18．爱因斯坦模型建立的基础是认为所有的格波都以相同的振动，忽略了频率间的差别，没有考虑的色散关系。 19．固体物理学原胞原子都在，而结晶学原胞原子可以在顶点也可以在即存在于。 20．晶体的五种典型的结合形式是、、、、。21．两种不同金属接触后，费米能级高的带电，对导电有贡献的是的电子。 22．固体能带论的三个基本假设是：、、。 23．费米能量与和因素有关。 二、名词解释 1.声子； 固体物理复习要点 第一章 1、晶体有哪些宏观特性？ 答：自限性、晶面角守恒、解理性、晶体的各向异性、晶体的均匀性、晶体的对称性、固定的熔点 这是由构成晶体的原子和晶体内部结构的周期性决定的。说明晶体宏观特性是微观特性的反映 2、什么是空间点阵？ 答：晶体可以看成由相同的格点在三维空间作周期性无限分布所构成的系统，这些格点的总和称为点阵。 3、什么是简单晶格和复式晶格？ 答：简单晶格：如果晶体由完全相同的一种原子组成，且每个原子周围的情况完全相同，则这种原子所组成的网格称为简单晶格。 复式晶格：如果晶体的基元由两个或两个以上原子组成，相应原子分别构成和格点相同的网格，称为子晶格，它们相对位移而形成复式晶格。 4、试述固体物理学原胞和结晶学原胞的相似点和区别。 答：(1)固体物理学原胞(简称原胞) 构造：取一格点为顶点，由此点向近邻的三个格点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理学原胞。 特点：格点只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无格点，平均每个固体物理学原胞包含1个格点。它反映了晶体结构的周期性。 (2)结晶学原胞（简称晶胞） 构造：使三个基矢的方向尽可能地沿着空间对称轴的方向，它具有明显的对称性和周期性。 特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上及内部亦可有格点。其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。 5、晶体包含7大晶系，14种布拉维格子，32个点群？试写出7大晶系名称；并写出立方晶系包含哪几种布拉维格子。 答：七大晶系：三斜、单斜、正交、正方、六方、菱方、立方晶系。 6．在晶体的宏观对称性中有哪几种独立的对称元素？写出这些独立元素。 答： 7.密堆积结构包含哪两种？各有什么特点？ 答：(1)六角密积 第一层：每个球与6个球相切，有6个空隙，如编号1,2,3,4,5,6。 第二层：占据1,3,5空位中心。 第三层：在第一层球的正上方形成ABABAB······排列方式。 六角密积是复式格，其布拉维晶格是简单六角晶格。 基元由两个原子组成，一个位于(000)，另一个原子位于 c b a r 213132:++=即 (2)立方密积 第一层：每个球与6个球相切，有6个空隙，如编号为1,2,3,4,5,6。 第二层：占据1，3，5空位中心。 第三层：占据2，4，6空位中心，按ABCABCABC······方式排列，形成面心立方结构，称为立方密积。 8.试举例说明哪些晶体具有简单立方、面心立方、体心立方、六角密积结构。并写出这几种结构固体物理学原胞基矢。 答：CsCl 、ABO3 ； NaCl ； ； 纤维锌矿ZnS 9.会从正格基矢推出倒格基矢，并知道倒格子与正格子之间有什么区别和联系？ 11.会求晶格的致密度。 14.X 射线衍射的几种基本方法是什么？各有什么特点？ 答：劳厄法：(1)单晶体不动，入射光方向不变；(2)X 射线连续谱，波长在 间变化，反射球半径 转动单晶法：(1)X 射线是单色的；(2)晶体转动。 粉末法 ：(1)X 射线单色(λ固定)；(2)样品为取向各异的单晶粉末。 第二章 1、什么是晶体的结合能，按照晶体的结合力的不同，晶体有哪些结合类型及其结合力是什么力？ 答：晶体的结合能就是将自由的原子（离子或分子）结合成晶体时所释放的能量。 结合类型：离子晶体—离子键 分子晶体—范德瓦尔斯力 共价晶体—共价键 金属晶体—金属键 氢键晶体—氢键 max min ~λλ 《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V= 3 r 3 4π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 3 333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)r 3 34(r 342a r 342x 3 3 33≈π=π?=π?= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 74.062) r 22(r 344a r 344x 3 3 33≈π=π?=π?= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2 a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ? n=1232 1 26112+?+? =6个 74.062r 224r 346x 3 3 ≈π=π?= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3 史上最全最好固体物理 复习资料 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第一章晶体的结构 a)晶体的共性： i.长程有序：晶体中的原子按一定规则排列 ii.自限性：晶体自发地形成封闭几何多面体的特性，晶面夹角守恒定律 iii.各向异性：晶体的物理性质是各向异性的，是区别晶体与非晶体的中要特征。 b)密堆积： i.正方堆积：最简单的堆积方式 ii.体心立方堆积： iii.立方堆积和六角堆积：配位数为12 c)配位数和致密度： i.配位数：一个原子球与最近邻的相切原子的个数，如配位数为12即与1个 原子求与相邻的12个原子相切。 ii.致密度：晶胞中所包含的原子体积与晶胞体积的比值。 d)布喇菲空间点阵原胞和晶胞 i.布喇菲点阵：对实际晶体结构的抽象成无数相同的点的分布，把这些点构成 的总体称为布喇菲点阵。 ii.原胞：晶体中体积最小的重复单元称为原胞，他们并不是唯一的，但是体积总是相等的。 iii.晶胞（布喇菲原胞）：晶体中体积不一定是最小的，但是能够反映出晶体对称的特征的重复单元称为晶胞。 iv.原胞基矢：原胞重复单元的边长称为原胞基矢，以a1、a2、a3表示。 v.晶胞基矢：晶胞重复单元的边长称为晶胞基矢，以a、b、c表示。 e)立方晶系： i.简立方：晶胞和原胞是统一的，对应一个结点。 ii.体心立方：原胞体积V= a1 ·（a2*a3） / 2 = a^3 / 2，a是晶胞边长，又称晶格常数。一个体心立方晶胞对应两个格点。 iii.面心立方：原胞体积V=a1 ·（a2*a3）= a^3 / 4；为晶胞体积的1/4，一个面心立方晶胞对应4个格点。 iv.NaCl结构：简立方结构，一个原胞对应一个基元，包含一个钠离子一个氯离子。 v.金刚石结构：构成面心立方结构， vi.简单晶格：基元包含一个原子的晶格，又称布喇菲格子。 vii.复式晶格：基元包含两个或者以上的原子的晶格。 f)晶列、晶面指数： i.晶列的特征：1. 取向；2. 格点的周期。 ii.原胞基矢的晶列指数：设，其中l1，12，l3互质。那么称为晶列指数。晶列指数的周期为，|R|。 iii.晶胞基矢的晶列指数：设，其中m、n、p互质。那么称 [mnp] 称为晶列指数。 一、简答题 1.理想晶体 答：内在结构完全规则的固体是理想晶体，它是由全同的结构单元在空间 无限重复排列而构成的。 2.晶体的解理性 答：晶体常具有沿某些确定方位的晶面劈裂的性质，这称为晶体的解理性。 3.配位数 答: 晶体中和某一粒子最近邻的原子数。 4.致密度 答：晶胞内原子所占的体积和晶胞体积之比。 5.空间点阵(布喇菲点阵) 答：空间点阵(布喇菲点阵)：晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的 点子在空间有规则地做周期性无限重复排列，这些点子的总体称为空间点阵(布喇菲点阵)，即平移矢量123d 、d 、h h h d 中123,,n n n 取整数时所对应的点的排列。空间点阵是晶体结构周期性的数学抽象。 6.基元 答：组成晶体的最小基本单元，它可以由几个原子(离子)组成，整个晶体 可以看成是基元的周期性重复排列而构成。 7.格点(结点) 答: 空间点阵中的点子代表着结构中相同的位置，称为结点。 8.固体物理学原胞 答：固体物理学原胞是晶格中的最小重复单元，它反映了晶格的周期性。 取一结点为顶点，由此点向最近邻的三个结点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作的平行六面体即固体物理学原胞。固体物理学原胞的结点都处在顶角位置上，原胞内部及面上都没有结点，每个固体物理学原胞平均含有一个结点。 9.结晶学原胞 答：使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向，以这样三个基矢为 边作的平行六面体称为结晶学原胞，结晶学原胞反映了晶体的对称性， 它的体积是固体物理学原胞体积的整数倍,V=n Ω，其中n 是结晶学原胞所包含的结点数, Ω是固体物理学原胞的体积。 10.布喇菲原胞 答：使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向，以这样三个基矢为 边作的平行六面体称为布喇菲原胞，结晶学原胞反映了晶体的对称性，它的体积是固体物理学原胞体积的整数倍,V=n Ω,其中n 是结晶学原胞所包含的结点数, Ω是固体物理学原胞的体积 11.维格纳-赛兹原胞(W-S 原胞) 答：以某一阵点为原点，原点与其它阵点连线的中垂面(或中垂线) 将空间 划分成各个区域。围绕原点的最小闭合区域为维格纳-赛兹原胞。 一个维格纳-赛兹原胞平均包含一个结点,其体积等于固体物理学原胞的体积。 12. 简单晶格 答：当基元只含一个原子时，每个原子的周围情况完全相同，格点就代表 该原子，这种晶体结构就称为简单格子或Bravais 格子。 13.复式格子 答：当基元包含2 个或2 个以上的原子时，各基元中相应的原子组成与格 点相同的网格，这些格子相互错开一定距离套构在一起，这类晶体结构叫做复式格子。显然，复式格子是由若干相同结构的子晶格相互位移套构而成。 14.晶面指数 答：描写晶面方位的一组数称为晶面指数。设基矢123,,a a a r u u r u u r ，末端分别落 在离原点距离为123d 、d 、h h h d 的晶面上，123、、h h h 为整数，d 为晶面间距，可以证明123、、h h h 必是互质的整数，称123、、h h h 3为晶面指数，记为()123h h h 。用结晶学原胞基矢坐标系表示的晶面指数称为密勒指数。 15.倒格子(倒易点阵) 固体物理学习心得 篇一：学习固体物理后的感想 学习固体物理的感受 经过了十几周的学习，我们这门《固体物理学》也结束了最后的任务，虽然说这门课对于咱们专业的同学来说总体上难度很大，但是在您的指导下，同学们还是基本能够按时出勤，最重要的是达到了开设这门课的最初用意，能够为我们以后学习和了解更多物理学相关的知识打下良好的基础。 本课程是材料科学与工程专业的物理类基础课，包括晶格结构、晶格振动与热性质、固体电子理论、半导体、固体磁性质、绝缘体、介电体等部分。这门课程系统介绍固体物理研究的基本理论与重要试验方法提示丰富多彩的固体形态（如金属、绝缘体、磁性材料等）形成的基本物理规律，给出研究这些固体的实验（如X光衍射、中子散射、磁 散射等）设计的基本原理。简单地说，固体物理学的基本问题有：固体是由什么原子组成？它们是怎样排列和结合的？这种结构是如何形成的？在特定的固体中，电子和原子取什么样的具体的运动形态？它的宏观性质和内部的微观运动形态有什么联系？各种固体有哪些可能的应用？探索设计和制备新的固体，研究其特性，开发其应用。其实固体物理学是研究固体的性质、它的微观结构及其各种内部运动，以及这种微观结构和内部运动同固体的宏观性质的关系的学科。固体通常指在承受切应力时具有一定程度刚性的物质，包括晶体和非晶态固体。固体的内部结构和运动形式很复杂，这方面的研究是从晶体开始的，因为晶体的内部结构简单，而且具有明显的规律性，较易研究。晶体或多或少都存在各种杂质和缺陷，它们对固体的物性， 以及功能材料的技术性能都起重要的作用。半导体的电学、发光学等性质 依赖于其中的杂质和缺陷；大规模集成电路的工艺中控制和利用杂质及缺陷是极为重要的。非晶态固体的物理性质同晶体有很大差别，这同它们的原子结构、电子态以及各种微观过程有密切联系。从结构上来分，非晶态固体有两类。一类是成分无序，在具有周期性的点阵位置上随机分布着不同的原子或者不同的磁矩；另一类是结构无序，表征长程序的周期性完全破坏，点阵失去意义。但近邻原子有一定的配位关系，类似于晶体的情形，因而仍然有确定的短程序。在无序体系中，电子态有局域态和扩展态之分。在局域态中的电子只有在声子的合作下才能参加导电，这使得非晶态半导体的输运性质具有新颖的特点。1974年人们掌握了在非晶硅中掺杂的技术，现在非晶硅已成为制备高效率太阳能电池的重要材料。无序体系是一个复杂的新领域，非晶态固体实际上是一个亚稳态。目前对许多基本问题还存在着争论，有待进一步的探索和研究。 固体物理课程综述 第一章晶体结构 自限性、晶面角守恒、解理性、晶体的各向异性、晶体的均匀性、晶体的对称性、固定的熔点这是由构成晶体的原子和晶体内部结构的周期性决定的。说明晶体宏观特性是微观特性的反映空间点阵：晶体可以看成由相同的格点在三维空间作周期性无限分布所构成的系统，这些格点的总和称为点阵。 简单晶格和复式晶格 简单晶格：如果晶体由完全相同的一种原子组成，且每个原子周围的情况完全相同，则这种原子所组成的网格称为简单晶格。 复式晶格：如果晶体的基元由两个或两个以上原子组成，相应原子分别构成和格点相同的网格，称为子晶格，它们相对位移而形成复式晶格。 4、试述固体物理学原胞和结晶学原胞的相似点和区别。 答：⑴固体物理学原胞（简称原胞） 构造：取一格点为顶点，由此点向近邻的三个格点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理学原胞。 特点：格点只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无格点，平均每个固体物理学原胞包含1个格点。它反映了晶体结构的周期性。 （2）结晶学原胞（简称晶胞） 构造：使三个基矢的方向尽可能地沿着空间对称轴的方向，它具有明显的对称性和周期性。特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上及内部亦可有格点。其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。 5、晶体包含7大晶系，14种布拉维格了，32个点群？试写出7大晶系名称；并写出立方晶系包含哪几种布拉维格子。 答：七大晶系：三斜、单斜、正交、正方、六方、菱方、立方晶系。 6、在晶体的宏观对称性中有哪几种独立的对称元素？写出这些独立元素。 答： 7.密堆积结构包含哪两种？各有-什么特点? 答：⑴六角密积 第一层：每个球与6个球相切，有6个空隙，如编号1,2,3,4,5,6。 第二层：占据1,3,5空位中心。 第三层：在第一层球的正上方形成ABABAB ......... 排列方式。 六角密积是复式格，其布拉维晶格是简单六角晶格。 基元由两个原子组成，一个位于(000),另一个原子位于 f 2 f 1 f 1 f 即：r = — a +—b + — c 3 3 2 (2)立方密积 第一层：每个球与6个球相切，有6个空隙，如编号为1,2,3,4,5,6。 第二层：占据1, 3, 5空位中心。 第三层：占据2, 4, 6空位中心，按ABCABCABC?…方式排列，形成面心立方结构，称 为立方密积。 &试举例说明哪些品体具有简单立方、而心立方、体心立方、六角密积结构。并写出这儿种结构固体物理学原胞基矢。 答：CsCl、ABO3 ；NaCl；；纤维锌矿ZnS 9.会从正格基矢推出倒格基矢，并知道倒格子与正格子Z间有什么区别和联系? 晶体结构 文档 第一章晶体结构 1、把等体积的硬球堆成下列结构，求球可能占据的最大体积和总体积之比。（1）简立方（2）体心立方（3）面心立方（4）金刚石 解：（1）、简立方，晶胞含有一个原子n=1，原子球半径为R，立方晶格的顶点原子球相切，立方边长a=2R,体积为()3 2R， 所以 () 33 3 44 330.52 6 2 n R R K V R πππ ? ==== （2）、体心立方晶胞含有2个原子n=2，原子球半径为R，晶胞边长为a，立方晶格的体对角线原子球相切，体对角线长为4个原子半径，所以 3 a R = 33 3 44 23 330.68 4 3 n R R K V R ππ π ?? ==== ?? ? ?? （3）、面心立方晶胞含有4个原子n=4，晶胞的面对角线原子球相切，面对角线长度为4个原子半径，立方体 边长为a,所以 2 a R = 33 3 44 42 330.74 4 2 n R R K V R ππ π ?? ==== ?? ? ?? (4)、金刚石在单位晶格中含有8个原子，碳原子最近邻长度2R为体对角线 1 4 长，体对角线为83 R a = 33 3 44 83 330.34 8 3 n R R K V R ππ π ?? ==== ?? ? ?? 2、证明面心立方和体心立方互为倒格子。 09级微电子学专业《固体物理》期末考复习题目 至诚学院信息工程系微电子学专业姓名：陈长彬学号：210991803 3、证明：倒格子原胞体积为 ()3 * 2 c v v π =，其中v c为正格子原胞的体积。 4、证明正格子晶面 与倒格矢 正交。 5能写出任一晶列的密勒指数，也能反过来根据密勒指数画出晶列；能写出任一晶面的晶面指数，也能反过来根据晶面指数画出晶面。 见课件例题 以下作参考： 15.如图1.36所示，试求： （1） 晶列ED ，FD 和OF 的晶列指数； （2） 晶面AGK ,FGIH 和MNLK 的密勒指数； （3） 画出晶面（120），（131）。 密勒指数：以晶胞基矢定义的互质整数( )。 [截a,b,c.] 晶面指数：以原胞基矢定义的互质整数( )。 [截a1, a2, a3.] 注意： a) 互质整数所定义的晶面不一定代表最近原点的晶面； b) 所有等价的晶面(001)以{001}表示； c) 晶面不一定垂直于晶向(其中li=hi)；仅对具有立方对称性的晶体， 才垂直于晶向； d) 对理想布喇菲格子，晶面的两面是等价的，故有=，但对复式格子的实际晶体，这是不成立的。如 AsGa 的（111速度，生长速度等就不一样。 a 2 x y z A B D C G F E O I H y x A a 2 K O G L N M z 图1.36 解：（1ED FD 的晶列指数为[110]，晶列OF 的晶列指数为[011]。 （2）根据晶面密勒指数的定义 晶面AGK 在x ，y 和z 三个坐标轴上的截距依次为1，-1和1，则其倒数之比为1:1:11 1 :11:11=-，故该晶面的密勒指数为（111）。 () 321h h h 332211b h b h b h K h ++= 固体物理学发展简史 固体物理学是研究固体物质的物理性质、微观结构、构成物质的各种粒子的运动形态，及其相互关系的科学。它是物理学中内容极丰富、应用极广泛的分支学科。 固体通常指在承受切应力时具有一定程度刚性的物质，包括晶体和非晶态固体。简单地说，固体物理学的基本问题有：固体是由什么原子组成？它们是怎样排列和结合的？这种结构是如何形成的？在特定的固体中，电子和原子取什么样的具体的运动形态？它的宏观性质和内部的微观运动形态有什么联系？各种固体有哪些可能的应用？探索设计和制备新的固体，研究其特性，开发其应用。 在相当长的时间里，人们研究的固体主要是晶体。早在18世纪，阿维对晶体外部的几何规则性就有一定的认识。后来，布喇格在1850年导出14种点阵。费奥多罗夫在1890年、熊夫利在1891年、巴洛在1895年，各自建立了晶体对称性的群理论。这为固体的理论发展找到了基本的数学工具，影响深远。 1912年劳厄等发现X射线通过晶体的衍射现象，证实了晶体内部原子周期性排列的结构。加上后来布喇格父子1913年的工作，建立了晶体结构分析的基础。对于磁有序结构的晶体，增加了自旋磁矩有序排列的对称性，直到20 世纪50年代舒布尼科夫才建立了磁有序晶体的对称群理论。 第二次世界大战后发展的中子衍射技术，是磁性晶体结构分析的重要手段。70年代出现了高分辨电子显微镜点阵成像技术，在于晶体结构的观察方面有所进步。60年代起，人们开始研究在超高真空条件下晶体解理后表面的原子结构。20年代末发现的低能电子衍射技术在60年代经过改善，成为研究晶体表面的有力工具。近年来发展的扫描隧道显微镜，可以相当高的分辨率探测表面的原子结构。 晶体的结构以及它的物理、化学性质同晶体结合的基本形式有密切关系。通常晶体结合的基本形式可分成：高子键合、金属键合、共价键合、分子键合和氢键合。根据X 射线衍射强度分析和晶体的物理、化学性质，或者依据晶体价电子的局域密度分布的自洽理论计算，人们可以准确地判定该晶体具有何种键合形式。 固体中电子的状态和行为是了解固体的物理、化学性质的基础。维德曼和夫兰兹于1853年由实验确定了金属导热性和导电性之间关系的经验定律；洛伦兹在1905年建立了自由电子的经典统计理论，能够解释上述经验定律，但无法说明常温下金属电子气对比热容贡献甚小的原因；泡利在1927年首先用量子统计成功地计算了自由电子气的顺磁性，索末菲在1928年用量子统计求得电子气的比热容和输运现象，解决了经典理论的困难。 一．选择题： 1、面心立方晶格的晶胞的体积是其原胞体积的( D ) A. 2 1 B. 31 C. 41 D. 61 2、下图为三维晶格的平面示意图，图中1α、2α分别表示晶格在该平面上的基矢，另一基矢3α垂直于1α、2α所在的平面。现有平行于3α的 晶面截取1α、2α（如下图（a ）（b ）（c ）所示），图（a ）中晶面的密勒指数为()100，图（b ）和图（c ）中晶面的密勒指数分别为( D ) （a ） （b ） （c ） A. ()110和()120 B. ()110和()210 C. ()011和()120 D. () 011和()210 3、面心立方晶格和体心立方晶格的简约布里渊区分别是( D ) A. 八面体和正十二面体 B. 正十二面体和截角八面体 C. 正十二面体和八面体 D. 截角八面体和正十二面体 4、对一个简单立方晶格，若在第一布里渊区面心上一个自由电子的动能为E ，则在该区顶角上一个自由电子的动能为 A. E B. 2E C. 3E D. 4E 5、相邻原子间距为a 的一维单原子链的第一布里渊区也是波数q 的取值范围为( B ) A.a q a π π22≤<- B. a q a π π ≤ <- C. a q a 22π π ≤ <- D. a q a 44π π ≤ <- 6、关于电子有效质量下列表述中正确的是( B ) A. 在一个能带底附近，有效质量总是负的；而在一个能带顶附近，有效质量总是正的 B. 在一个能带底附近，有效质量总是正的；而在一个能带顶附近，有效质量总是负的 C. 在一个能带底附近和能带顶附近，有效质量总是正的 D. 在一个能带底附近和能带顶附近，有效质量总是负的 7、下面几种晶格中,不是金属元素常采取的晶格结构是( A ) A. 金刚石晶格 B.面心立方晶格 C.六角密排晶格 D. 体心立方晶格 9、温度升高，费米面E F ( D ) A.不变 B. 大幅升高 C. 略为升高 D. 略为降低 10、在极低温度下，晶格的热容量C v 与温度T 的关系是 ( D ) A. C v 与T 成正比 B. C v 与2 T 成正比 C. C v 与3 T 成正比 D. C v 与T 3 成反比 11、一晶格原胞的体积为v ，则其倒格子原胞的体积为( D ) 第一章、第二章 1.晶体有哪些宏观特性？ 答：自限性、晶面角守恒、解理性、晶体的各向异性、晶体的均匀性、晶体的对称性、固定的熔点。说明晶体宏观特性是微观性的反映。 2.什么是空间点阵？ 答：晶体可以看成由相同的格点在三维空间作周期性无限分布构成的系统。这些格点的总和称为点阵。 3.什么是简单晶格和复式晶格？ 答：简单晶格：如果晶体由完全相同的一种原子组成，且每个原子周围的情况完全相同，则这些原子所组成的网格称为简单晶格。 复式晶格：如果晶体的基元由两个或两个以上原子组成，相应原子分别构成和格点相同的网格，称为子晶格，它们相对位移而形成复式晶格。 4.试述固体物理学原胞和结晶原胞的相似点和区别。 (1)固体物理学原胞（简称原胞） 构造：去一格点位定点，由此点向近邻的三个格点作三个不共面的矢量为边作平行六面体即为固体物理学原胞。 特点：格点只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无格点，平均每个固体物理学原胞包含一个格点，它反映了晶体结构的周期性。 (2)结晶学原胞（简称晶胞） 构造：使三个基矢的方向尽可能沿着空间对称轴的方向，它具有明显的对称性和周期性 特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上及内部亦可有格点，其体积是固体物理学原胞体积的整数倍 5.晶体包含了7大晶系，14种布拉维格子，32个点群？试写出7大晶系名称，并写出立方晶系包含哪几种布拉维格子。 答：7大晶系：三斜、单斜、正交、正方、六方、菱方、立方晶系。 6.在晶体的宏观对称性有哪几种独立的对称元素？写出这些独立元素。 答：对称面、对称轴、对称中心、旋转—反演轴。 7.密堆积结构包含哪两种？各有什么特点？ 答：(1)六角密积 第一层：每个球与6个球相切，有6个空隙，如编号1,2,3,4,5,6。 第二层：占据1,3,5空位中心。 第三层：在第一层球的正上方形成ABABAB······排列方式。 六角密积是复式格，其布拉维晶格是简单六角晶格。 基元由两个原子组成，一个位于(000)，另一个原子位于 (2)立方密积 第一层：每个球与6个球相切，有6个空隙，如编号为1,2,3,4,5,6。 第二层：占据1，3，5空位中心。 第三层：占据2，4，6空位中心，按ABCABCABC······方式排列，形成面心立方结构，称为立方密积。 8.试举例说明哪些晶体具有简单立方、面心立方、体心立方、六角密积结构。并写出这几种结构固体物理学原胞基矢。 答：CsCl 、ABO3 ； NaCl；；纤维锌矿ZnS 3$57 21( Q01_01_001 ?? p ? ??? ?? 3 ∑ 33p ∑喟 Q01_01_002 ? 喌 ? ?7 月, 14 ? ? Q01_01_004? ? ?????314a : 喛 せ? ?? ????3 3 4(2)*a S : Q01_01_005? ? ?????32a : 喛せ? ?? ????3 3 2(2)*a S : Q01_01_006 ν? 月喌 ク ? ?? ? ? ? ?? ? ? Q01_01_007? ? ? 喌???? ? ? ? ??? ???? 1喏4?? ? 喌 ?? 8?? ? Q01_01_008 ? ? ? ? ν ? 喌 ? 1? 喛 Q01_01_009 ? ? ? ???? ?喌 ?? ??? ??? ?喛 ???????? 喈 喉???喌 ? ??? ? ???? ??? ?? ? ?喌?? ? Q01_01_010? ? ??? ? 喌 ? ?? 喌?? ? ??? ij j i b a SG 2 G G ˉ?-z )(0)(2j i j i S 月?1b G ,2b G ,3b G ? ?喌?322211b h b h b h G h K K K K ? 喌??? ??? ? ? ? ? ? 喌 ? ?? ??Д?? ?Q01_03_001?N ? ? ? ?喌 ?? l ? 喌 ? 3lN ??? ?? ???Q01_03_002 ?????Z 喌 ??? ????Z = q K =? Q01_03_003 ∑ Д ?? ∑ ? ∑ 喌 Л ??? ?? 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固体物理_复习重点
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