等腰三角形常用辅助线专题练习含答案
等腰三角形常用辅助线专题练习
1.如图：已知，点D、E在三角形ABC的边BC上，AB=AC, AD二AE,求证：BD=CEo
证明：作AF_LBC,垂足为F,则AF±DEo VAB=AC, AD=AE
又VAF±BC , AF±DE, ABF=CF, DF=EF （等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）。..?BD=CE.
2.如图，在三角形ABC中，AB二AC,AF平行BC于F, D是AC边上任意一点，延RBA到E,使AE=AD,连接DE,试判断直线AF与DE的位置关系，并说明理由
解：AF1DE.理由：延长ED 交BC 于G, VAB=AC, AE=AD /. ZB=ZC, ZE=ZADE A ZB+ZE=ZC+ZADE V ZADE=ZCDG A ZB+ZE=ZC+Z CDG VZB+ZE=ZDGC,
ZC+ZCDG=ZBGE, ZBGE+ZCGD=180° AZ BGE=ZCGD=90° AEG±BC. VAF/7BC
AAF±DE.
E
解法2：
过A 点作AABC 底边上的高，
BC 证明 AF±DE
3.
如图,
A ABC 中，BA=BC,点D 是A
B 延长线上一点，DF±A
C 交BC 于
E,求证： A DBE 是等腰三角形。
证明：在AABC 中， VBA=BC, A ZA=ZC, VDF1AC,
A ZC+Z
FEC=90° , ZA+ZD=90° , :. ZFEC^ZD V ZFEC^ZBED,
ZBED=
4.如图，AABC中，AB二AC, E在AC ±,且AD=AE, DE的延长线与BC相交于F。求证：DF_LBC.
证明：VAB=AC, AZB=ZC, 又VAD=AE, A ZD=ZAED,
若把“AD=AE”与结论“DF_LBC”互换，结论也成立。
若把条件"AB=AC”与结论“DF_LBC”互换，结论依然成立。
证明：连接AC, AD
「?AC= AD
ADM (HL)
???CM=DM
6.如图，已知AD是^ABC的中线，BE交AC于F,且AE=EF,求证：BF=AC 证明：过B点做AC的平行线，交AD的延长线于G点
?「AD 为中线,ABD=CD ?.?BG 平行于AC, A ZFGB=ZCAF, ZDBG=ZACD 在△AFE和△ GFB 中，..?NFGB=匕CAF, ZGFB=ZAFE AAAFE^AGFB ?.?ZFGB=ZFAE
ZDBG=ZACD, BD=CD, ZBDG=ZCDA AAADC^AGBD「.BG二AC ?.?BF=AC
7.已知：如图，△ABC(ABKAC)中，D、E在BC上，且DE=EC,过D点作DF〃BA,交AE 于点F,DF=AC,求证：AE 平分ZBAC
证明：延R AE,过D作DM II AC交AE延长线于M A ZM=Z1, ZC=Z2在
△DEM 与ACEA 中ZM=Z1, ZC=Z2, DE=CE A ADEM^ACEA「.DM二CA 又DF=CA, .\DM=DF, A ZM=Z3 VAB II FD, A Z3=Z4, AZ4=Z1「.AE 平分ZBAC
￡线于M
8.已知：如图，ZXABC 中，AB=AC,在AB 上取一点D,在 延长线上取一 点E,连接DE 交BC 于点F,若F 是DE 中点。求 证：BD=CE
证明：过 D 作 DF 〃AC 交 BC 于 F, VDF/7AC （已知），A ZDFC=ZFCE, ZDFB=ZACB （平行线的性质）VAB=AC （已知），/. ZB=ZACB （等
边对A
C
等角），AZB=ZDFB （等量代换），.??BD=DF （等角对等边）, VBD=CE （已知）,:.DF=CE （等量代换），VZDFC=ZFCE, ZDGF=ZCGE （已证），AADFG^AECG （AAS）, ?.?DG=GE （对应边相等）
9.已知：如图，在AABC 中，AB=AC=CE, B 是AD 上一点，BE_LCB 交CD 于E,AC_LDC,求证：BE=1/2BC
证明：过点A作AF1BC交BC于点F
?「△ABC 是等腰三角形，AB=AC, ZABF=ZACF— (1) AAF 是BC 上的
垂直平分线，AF±BC, BF=CF=BC/2 ................. (2) VBE±BC, ABE//AF
ZDBE=ZBAF ................................................................... (3) V ZCBE=90° A ZDBE+
BF=EB ......................................................... (6) 由(2)和(6)知道：BE=BC/2