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1-2-3等差数列应用题.题库版

【例 1】 体育课上老师指挥大家排成一排,冬冬站排头,阿奇站排尾,从排头到排尾依次报数。如果冬

冬报17,阿奇报150,每位同学报的数都比前一位多7,那么队伍里一共有多少人?

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 首项=17,末项=150,公差=7,项数=(150-17)÷7+1=20

【答案】20

【例 2】 一个队列按照每排2,4,6,8人的顺序可以一直排到某一排有100人 ,那么这个队列共有多

少人?

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 (方法一)利用等差数列求和公式:通过例1的学习可以知道,这个数列一共有50个数,再将

和为102的两个数一一配对,可配成25对.

所以2469698100++++++L =2+10025=10325=2550??()

(方法二)根据12398991005050++++++=L ,从这个和中减去1357...99+++++的和,就可得出此题的结果,这样从“反面求解”的思想可以给学生灌输一下,为今后的学习作铺垫.

【答案】2550

【例 3】 有一个很神秘的地方,那里有很多的雕塑,每个雕塑都是由蝴蝶组成的.第一个雕塑有3只蝴

蝶,第二个雕塑有5只蝴蝶,第三个雕塑有7只蝴蝶,第四个雕塑有9只蝴蝶,以后的雕塑按

照这样的规律一直延伸到很远的地方,学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里,那么,第102

个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢?由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢?

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 也就是已知一个数列:3、5、7、9、11、13、15、…… ,求这个数列的第102项是多少?999是

第几项?由刚刚推导出的公式——第n 项=首项+公差1n ?-()

, 所以,第102项321021205=+?=(-);由“项数=(末项-首项)÷公差1+”,999所处的项数是: 999321996214981499-÷+=÷+=+=()

【答案】499

【巩固】 有一堆粗细均匀的圆木,堆成梯形,最上面的一层有5根圆木,每向下一层增加一根,一共堆了

28层.问最下面一层有多少根?

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 将每层圆木根数写出来,依次是:5,6,7,8,9,10,…可以看出,这是一个等差数列,它的

首项是5,公差是1,项数是28.求的是第28项.我们可以用通项公式直接计算.

解: 1(1)n a a n d =+-?

5(281)1=+-?

32=(根)

故最下面的一层有32根.

【答案】32

例题精讲

等差数列应用题

【巩固】建筑工地有一批砖,码成如右图形状,最上层两块砖,第2层6块砖,第3层10块砖…,依次每层都比其上面一层多4块砖,已知最下层2106块砖,问中间一层多少块砖?这堆砖共有多少块?

1-2-3等差数列应用题.题库版

【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答

【解析】项数=(2106-2)÷4+1=527,因此,层数为奇数,中间项为(2+2106)÷2=1054,数列和=中间项×项数=1054×527=555458,所以中间一层有1054块砖,这堆砖共有555458块。

【答案】555458

【例 4】一个建筑工地旁,堆着一些钢管(如图),聪明的小朋友,你能算出这堆钢管一共有多少根吗?

【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答

【解析】(方法一)不难发现,这堆钢管每一层都比上一层多1根,也就是从上到下每层钢管的数量构成了一个等差数列,而且首项为3,末项为10,项数为8.由等差数列求和公式可以求出这堆钢管的总数量:3108252

()(根)

+?÷=

(方法二)我们可以这样假想:通过对几何图形进行旋转,从而达到配对的目的是解决问题的关键(如图)

1-2-3等差数列应用题.题库版

这个槽内的钢管共有8层,每层都有31013

()

+=(根),所以槽内钢管的总数为:3108104

+?=(根).取它的一半,可知例题图中的钢管总数为:104252

÷=(根)

【答案】52

【巩固】某剧院有20排座位,后一排都比前一排多2个座位,最后一排有70个座位,这个剧院一共有多少个座位?

【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答

【解析】第一排座位数:702(201)32

+?÷=(个).

-?-=(个),一共有座位:(3270)2021020

【答案】1020

【巩固】一个大剧院,座位排列成的形状像是一个梯形,而且第一排有10个座位,第二排有12个座位,第三排有14个座位,……最后一排他们数了一下,一共有210个座位,思考一下,剧院中间一排有多少个座位呢?这个剧院一共有多少个座位呢?

【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答

【解析】如果我们把每排的座位数依次记下来,10、12、14、16、… 容易知道,是一个等差数列.210是第2101021101

()排,那么中间一排有:

+÷=

()排,中间一排就是第1011251

n=-÷+=

?=()(个)座位.根据刚刚学过的中项定理,这个剧场一共有:11010111110 105112110

+-?=

(块).

【答案】11110

【例 5】一辆双层公共汽车有66个座位,空车出发,第一站上一位乘客,第二站上两位乘客,第三站上三位乘客,依此类推,第几站后,车上坐满乘客?

【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答

【解析】通过尝试可得:1231111111266

L(),即第11站后,车上坐满乘客.记住自然

++++=+?÷=

数1~10的和对于解一些应用题很有帮助,需要尝试求解时能够较快找到大概的数.

【答案】11

【例 6】时钟在每个整点敲打,敲打的次数等于该钟点数,每半点钟敲一下.问:时钟一昼夜打多少下?【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答

【解析】时钟每个白天敲打的次数是每个整点敲打次数的和加上12个半点敲打的一下,即:

L

()((下),

+++++=+?÷+=+=

1231212112)12212781290

所以一昼夜时钟一共敲打:902180

?=(下).

【答案】180

【例 7】已知:13599101

L,则a、b两个数中,较大的数比

b=+++++

L,24698100

a=+++++

较小的数大多少?

【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答

【解析】(方法一)计算:11015122601

(),所以a比b大,大

a=+?÷=

b=+?÷=

(),21005022550

-=.

2601255051

(方法二)通过观察,a中的加数从第二个数起依次比b中的加数大1,所以a比b大,

L

()()()()

-=+-+-++-+-=

a b

13254999810110051

【答案】51

【例 8】小明进行加法珠算练习,用1234

++++L,当加到某个数时,和是1000.在验算时发现重复加了一个数,这个数是多少?

【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答

【关键词】第十一届,迎春杯

【解析】通过尝试可以得到12344144442990

L().于是,重复计算的数是

++++=+?÷=

-=.

100099010

【答案】10

【例 9】编号为1~9的9个盒子里共放有351粒糖,已知每个盒子都比前一个盒子里多同样数量的糖.如果1号盒子里放11粒糖,那么后面的盒子比它前一个盒子里多放几粒糖?

【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答

【解析】根据题意,灵活运用有关等差数列的求和公式进行分析与解答.

由等差数列求和公式“和=(首项+末项?)项数2÷”,可得:末项=和2?÷项数-首项.

则第9个盒子中糖果的粒数为:351291167

?÷-=(粒)

题目所求即公差6711915687

()()(粒),则后面盒子比前一个盒子多放7粒糖.

=-÷-=÷=

【答案】7

【巩固】例题中已知如果改为3号盒子里放了23粒糖呢?

【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答

【解析】 等差数列有个规律:首项+末项=第2项+倒数第2项=第3项+倒数第3项=L ,所以我们可

以得到等差数列求和公式的一个变形,假设等差数列有n 项,则和=(第a 项+第1n a -+项

n ?)2÷,则倒数第3个盒子即第931-+()

个盒子中糖果的粒数为:351292355?÷-=(粒) 题目所求即公差5523733248=-÷-=÷=()()(粒)

,则后面盒子比前一个盒子多放8粒糖. 【答案】8

【例 10】 小王和小高同时开始工作。小王第一个月得到1000元工资,以后每月多得60元;小高第一个

月得到500元工资,以后每月多得45元。两人工作一年后,所得的工资总数相差多少元?

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 小王:1000+60×(12-1)=1660,(1000+1660)×12÷2=15960

小高:500+45×(12-1)=995,(500+995)×12÷2=8970,15960-8970=6990

即一年后两人所得工资总数相差6990元。

【答案】6990

【巩固】 王芳大学毕业找工作。她找了两家公司,都要求签工作五年的合同,年薪开始都是一万元,但两

个公司加薪的方式不同。甲公司承诺每年加薪1000元,乙公司答应每半年加薪300元。以五年计算,王芳应聘 公司工作收入更高。

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】2007年,第5届,走美杯,3年级,决赛

【解析】 甲公司五年之内王芳得到的收入为:100001100012000130001400060000++++=(元).

乙公司五年之内王芳得到的收入为:1000053006009001200300950000300?++++++?=+L 4563500?=(元).所以,王芳应聘乙公司工作收入更高.

【答案】63500

【例 11】 在一次数学竞赛中,获得一等奖的八名同学的分数恰好构成等差数列,总分为656,且第一名

的分数超过了90分(满分为100分)。已知同学们的分数都是整数,那么第三名的分数是多少?

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 他们的平均分为656÷8=82

82+1、82+2、82+3……都有可能成为第四名,相对应的,公差分别为1×2=2、2×2=4、3×2=6…… 若第四名为82+1=83分,则第一名为83+(4-1)×2=89分,不符合题意,舍;

若第四名为82+2=84分,则第一名为84+(4-1)×4=96分,不符合题意;

若第四名为82+3=85分,则第一名为85+(4-1)×6=103分,不符合题意。

因此,第四名为84分,公差为4,所以第三名为84+4=88分

【答案】88

【例 12】 若干个同样的盒子排成一排,小明把50多个同样的棋子分装在盒中,其中只有一个盒子没有装

棋子,然后他外出了,小光从每个有棋子的盒子里各拿了一个棋子放在空盒内,再把盒子重新

排了一下,小明回来后仔细查看了一下,没有发现有人动过这些盒子和棋子.共有多少个盒子?

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 这道看似蹊跷的题想要求出共有多少个盒子,必须先弄清楚小明盒子中的棋子是怎样放的.

我们设除了空盒子以外一共有n 个盒子.小明回来查看时,原来那个空盒子现在不空了,但是小明却没有发现有人动过这些盒子和棋子,那么一定是有另一个盒子现在变成了空盒子.这样,原

来小明放置棋子时必有一个盒子只装着一个棋子.

原来只装着一个棋子的盒子变成了空盒子以后,还需要一个盒子装一个棋子来代替它,那么这个代替它的盒子原来一定只装着2个棋子,依此类推,可以推断出小明所放的棋子依次是0,1,2,3,L ,n .

根据这个等差数列的和等于

50多,通过尝试求出当10n =时,1231011010255++++=+?÷=L ()

满足题意,其余均不满足.这样,只能是10n =,即共有11个盒子.

【答案】11

【例 13】 某工厂12月份工作忙,星期日不休息,而且从第一天开始,每天都从总厂陆续派相同人数的工

人到分厂工作,直到月底,总厂还剩工人250人.如果月底统计总厂工人的工作量是9455个工

作日(1人工作1天为1个工作日),且无1人缺勤.那么这月由总厂派到分厂工作的工人共有

多少人.

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】第九届,迎春杯,决赛

【解析】 260人工作31天,工作量是260318060?=(个)工作日.假设每天从总厂派到分厂a 个工人,

第一天派去分厂的a 个工人在总厂的工作量为0个工作日;

第二天派去分厂的a 个工人在总厂的工作量为a 个工作日;

第三天派去分厂的a 个工人在总厂的工作量为2a 个工作日;

……

第31天派去分厂的a 个工人在总厂的工作量为30a 个工作日.

从而有:9455023308060a a a a =++++++L

94558060123301395130302465a a a

-=?++++=?+?÷=L ()() 求得3a =.那么这月由总厂派到分厂工作的工人共有33193?=(人).

【答案】93

【例 14】 右图中,每个最小的等边三角形的面积是12平方厘米,边长是1根火柴棍.如果最大的三角形

共有8层,问:⑴最大三角形的面积是多少平方厘米?⑵整个图形由多少根火柴棍摆成?

1-2-3等差数列应用题.题库版

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 最

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⑴ 最大三角形面积为:

13515121158212768++++?=+?÷?=L ()()(平方厘米). ⑵ 火柴棍的数目为:3692432482108++++=

+?÷=L ()(根). 【答案】⑴768 ⑵108

【巩固】 如右图,25个同样大小的等边三角形拼成了大等边三角形,在图中每个结点处都标上一个数,

使得图中每条直线上所标的数都顺次成等差数列.已知在大等边三角形的三个顶点放置的数分别是100,200,300.求所有结点上数的总和. 【考点】等差数列应用题

【难度】3星 【题型】解答

【关键词】走美杯

【解析】 如下图,各结点上放置的数如图所示.从100到300这条直线上的各数的平均数是200,平行于

这条直线的每条直线上的各数的平均数都是200.所以21个数的平均数是200,总和为200214200?=.

220200180

120

140160

180200220240260280300240260220200180160140

100

【答案】4200

【巩固】 用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形,用这样的等边三角形,按图所示铺满一个大的等边三

角形,如果这个大的等边三角形的底边放10根火柴,那么一共要放多少根火柴?

10根 【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 如果把图中最上端的一个三角形看作第一层,与第一层紧相连的三个三角形(向上的三角形2个,

向下的三角形1个)看作第二层,那么这个图中一共有10层三角形.

1-2-3等差数列应用题.题库版

这10层三角形每层所需火柴数就是构成上图中所有阴影三角形的边数和.自上而下依次为:3,6,9,……,310?.它们成等差数列,而且首项为3,公差为3,项数为10.

求火柴的总根数,就是求这个等差数列各项的和,即

36930330102335165++++=+?÷=?=L ()(根)

所以,一共要放165根火柴

【答案】165

【例 15】 盒子里放有编号1~9的九个球,小红先后三次从盒子中取球,每次取3个,如果从第二次起每

次取出的球的编号的和都比上一次的多9,那么他第一次取的三个球的编号为_____.

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】2007年,第5届,走美杯,3年级,初赛

【解析】 根据题意知道这九个小球的编号和为:123945++++=L L ,若想每次去球都比上一次的多9,

则从数论角度来看本题就是将45拆三个数字和,并且三个数字和的公差为9,所以第一次取球为()4599236--?÷=,所以第一次去的3个求的编号为:1、2、3.

【答案】1、2、3.

【例 16】 小明练习打算盘,他按照自然数的顺序从1开始求和,当加到某一个数的时候,和是1997,但

他发现计算时少加了一个数,试问:小明少加了哪个数?

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 用x 表示小明少加的那个数,199712x n n +=+?÷(),

139942n n x +?=+(),两个相邻的自然数的积比3994大一些,因为1n n +?()和2n 比较接近,可以先找3994附近的平方数,最明显的要数36006060=?,而后试算两个相邻自然数的乘积61623782?=,62633906?=,63644032?=,所以63n =,正确的和是2016,少加的数为:2016199719-=.

【答案】19

【例 17】 黑板上写有从1开始的一些连续奇数:

1,3,5,7,9,…,

擦去其中一个奇数以后,剩下的所有奇数的和是2008,那么擦去的奇数是 .

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】2004年,走美杯

【解析】 1,3,5,7,L ,(21n -),这n 个奇数之和等于2n ,2452025=,擦去的奇数是2025200817-=.

【答案】17

【巩固】 小明住在一条胡同里.一天,他算了算这条小胡同的门牌号码.他发现,除掉他自己家的不算,

其余各门牌号码之和正好是100.请问这条小胡同一共有多少户(即有多少个门牌号码)?小明家的门牌号码是多少?

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 这道题目的具体数值只有一个,所以我们要通过估算的方法解决问题!我们都知道:

121055+++=L ,所以和在100附近的应该为1~14、或1~15,

⑴1214105+++=L ,小明家门牌号为5,共有14户人家;

⑵121415120++++=L ,小明家门牌号为20,不再1~15的范围,所以不符合题意.

【答案】共有14户人家;门牌号为5

【例 18】 小丸子玩投放石子游戏,从A 出发走1米放1枚石子,第二次走4米又放3枚石子,第三次走

7米再放5枚石子,再走10米放7枚石子,L 照此规律最后走到B 处放下35枚石子.问从A 到

B 路程有多远?

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 先计算投放了多少次.由题意依次投放石子数构成的数列是:1,3,5,7,L ,35.这是一个等

差数列,其中首项11a =,公差 2d =,末项= 35n a ,那么113512118n n a a d =-÷+=-÷+=()();

再看投放石子每次走的路程依次组成的数列:1,4,7,10,这又是一个等差数列,其中首项11a =,,

公差,3d =,项数1 8n =.末项,,,111181352n a a n d =+

-?=+-?=()(),其和为,,,12152182477n n S a a n =+?÷=+?÷=()()(米).

【答案】477

【例 19】 如图,把边长为1的小正方形叠成“金字塔形”图,其中黑白相间染色.如果最底层有15个正方

形,问其中有多少个染白色的正方形,有多少个染黑色的正方形?

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【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 由题意可知,从上到下每层的正方形个数组成等差数列,其中11a =, 2d =,15n a =,所以

151218n =-÷+=(),所以,白色方格数是:1238188236++++=

+?÷=L () 黑色方格数是:1237177228++++=+?÷=L ().

【答案】28

【巩固】 有若干根长度相等的火柴棒,把这些火柴棒摆成如下图的图形.照这样摆下去,到第10行为止

一共用了 根火柴棒.

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【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】2008年,第七届,小机灵杯

【解析】 横向:1行:11+根;

2行:133++根;

3行:1355+++根;

L

10行:135171919+++++L

纵向:1行:2根;

2行:24+根;

3行:246++根;

L

10行:24620++++L 根

总共有

1351719192462011910219220102++++++++++=+?÷+++?÷L L ()()()() 10019110229=++=(根)

【答案】229

【例 20】 如图所示,白色和黑色的三角形按顺序排列.当两种三角形的数量相差12个时,白色三角形有

个.

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第4题

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【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】2008年,第九届,中环杯,初赛

【解析】 根据题意可知,每个图形两种三角形的个数相差依次成数列1,2,3,4,L 排列,所以第12个

图形的两种三角形的个数相差为12,这个图形的白色三角形的个数是1231166++++=L (个).

【答案】66

【例 21】 木木练习口算,她按照自然数的顺序从1开始求和,当计算到某个数时,和是888,但她重复

计算了其中一个数字.问:木木重复计算了哪个数字?

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 用x 表示木木多加的那个数,88812X n n -=+?÷(),117762n n x +?=-() ,两个相邻的自然数

的积是比1776小一些的一个数,先找1776附近的平方数,16004040=? ,

试算:40411640?=,41421722?= ,42431806?= ,所以41n =,所以

177********x =-?÷=().

【答案】27

【巩固】 奋斗小学组织六年级同学到百花山进行野营拉练,行程每天增加2千米.已知去时用了4天,回

来时用了3天.问:学校距离百花山多少千米?

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 这道题目关键是弄清题意,发现关键是要求出第一天拉练的距离,在这里可以用方程的思想来帮

助解题,可以给四年级学生一个方程的初步认识,来回的距离是相同的,通过这点来做方程求解,设第一天拉练的距离是x ,则第二天为2x +,第三天为4x +,第四天6x +,第五天的距离为8x +,第六天的距离为10x +,第七天的12x +.且去时和来时的路程一样,则24681012x x x x x x x ++++++=+++++()()()()()(),则18x =,学校距离百花山84千米.

【答案】84

【巩固】 点点读一本故事书,第一天读了30页,从第二天起,每天读的页数都比前一天多4页,最后一

天读了70页,刚好读完.那么,这本书一共有多少页?

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 每天看的页数组成等差数列,公差是4,首项是30,末项是70,要求这本书一共多少页,应该先

求出点点总共看了多少天.

天数(项数)=(末项-首项)÷公差170304111+=-÷+=()

总页数3070112100112550=+?÷=?÷=(),所以,这本书一共有550页.

【答案】550

【巩固】 小明想把55枚棋子放在若干个盒子里,按第一个盒子里放1枚,第2个盒子里放2枚,第3个

盒子里放3枚,……,这样下去,最后刚好将棋子放完,那么小明用了多少个盒子呢?

【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答

【解析】根据学学的放法,可知:

第1个盒子放了1枚棋子;

第2个盒子放了2枚棋子;

第3个盒子放了3枚棋子;……

因此,只要是从自然数加起,加数依次增加1,一直加到某个自然数,它们的和正好是55,那么,这些加数的个数就是盒子数了.我们估算一下结果:1234515

++++=,但是15和55相差较大,所以还要增加加数(自然数)的个数12345678945

++++++++=,45与55比较接近了,又因为554510

+++++++++=,这个式子说明,55是10个自然数的-=,所以,1234567891055

和,所以需要用10个盒子做游戏.

【答案】10

【例 22】幼儿园304个小朋友围成若干个圆(一圈套一圈)做游戏,已知内圈24人,最外圈52人,如果相邻两圈相差的人数相等,那么相邻的两圈相差多少人?

【考点】等差数列应用题【难度】3星【题型】解答

【解析】这一等差数列的和是304,首项24,末项52,先根据公式“和=(首项+末项)?项数2÷”求出项数:3042768

()公差”求出公差:(5224)74

n-?

?÷=.再根据公式“末项=首项+1

-÷=.【答案】4

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