2018-2019学年广东省广州市荔湾区高二上学期期末教学质量监测文科数学试题 Word版

2018学年第一学期期末教学质量检测高二数

学（文科）

本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1．双曲线

22

1169

x y -=的渐近线方程为 A ．43y x =±

B ．34y x =±

C ．916y x =±

D ．169

y x =± 2．命题“如果22b a x +≥，那么ab x 2≥”的逆否命题是 A. 如果22b a x +<，那么ab x 2< B. 如果22b a x +≥，那么ab x 2< C. 如果ab x 2<，那么22b a x +< D. 如果ab x 2≥，那么22b a x +≥

3．根据给出的程序框图（如右图），计算(1)(2)f f -+= A ．0 B ．1 C ．2 D ．4

4．某学校共有教师120人，老教师、中年教师、青年教师的比例为3:4:3，其中青年男教师24人. 现用分层抽样的方式从该校教师中选出一个30人的样本，则被选出的青年女教师的人数为

A ．12

B ．6

C ．4

D ．3

5．为了测试班级教学的实践效果，王老师对A 、B 两班的学生进行了阶段测试，并将所得成

绩统计如图所示；记本次测 试中，A 、B 两班学生的平均成绩分别为A x ，B x ，A 、B 两班学生成绩的方差分别为2

A s ，

2B s ，则观察茎叶图可知

（第3题图）

A ．A x <

B x ，2A s <2B s B ．A x >B x ，2A s <2B s

C ．A x 2

B s

D ．A x >B x ，2A s >2

B s

6．设1F 是椭圆22

194

x y +=的一个焦点，AB 是经过另一个焦点 2F 的弦，则1AF B △的周长是

A ．12

B ．8

C ．6

D ．4

7．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先 后抛掷2次，则出现向上的点数之和等于9的概率为 A ．

1

4

B ．

1

6

C ．19

D ．

112

8．港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米，桥面为双向六车道高速公路， 大桥通行限速100 k m /h. 现对大桥某路段上汽车 行驶速度进行抽样调查，画出频率分布直方图 （如右图）.根据直方图估计在此路段上汽车 行驶速度的众数和行驶速度超过90 km/h 的概率 分别为

A. 85，0.25

B. 90，0.35

C. 87.5，0.25

D. 87.5，0.35

9．函数y =()f x 的图象如图所示，下列数值排序正 确的是

A ．0(1)(2)(2)(1)f f f f ''<<<-

B ．0(1)(2)(1)(2)f f f f ''<<-<

C ．0(2)(2)(1)(1)f f f f ''<<-<

D ．0(2)(1)(2)(1)f f f f ''<<<- 10．函数3

21()3

f x x x ax =

+-在R 上是增函数， 则实数a 的取值范围是

A ．[1,)-+∞ B. (,1]-∞- C. (1,)-+∞ D. (,1)-∞-

11．设命题:p 函数()22x x

f x -=+在R 上单调递增，命题:q 在△ABC 中，A B >是

sin sin A B >的充要条件．则下列命题为真命题的是

(km/h)

（第8题图）

（第9题图）

（第5题图）

A．p q

∧B．()

p q

∨?C．()p q

?∧D．()()

p q

?∧?

12．

1

F、

2

F为双曲线

22

22

:1

x y

C

a b

-=的左、右焦点，过

1

F作x轴的垂线与双曲线交于M，N

两点，

2

7

cos

8

MF N

∠=，则C的离心率为

A B．

3

2

C D．2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知命题:p“22x

x x

?∈≥

N,”，则:p

?________________．

14．执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是________．

15．已知{}

(,)||2,||2

M x y x y

=≤≤，点P的坐标为(,)

x y，当

P M

∈时，则x, y满足22

(2)(2)4

x y

-+-≥的概率为___．

16．抛物线24

x y

=的焦点为F，P为抛物线上一点，O为坐标

原点．△OPF的外接圆与抛物线的准线相切，则此外接圆的半径为________．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）

已知抛物线:

C22

y px

=经过点(1,2)

M．

（1）求C的标准方程和焦点坐标；

（2）斜率为1的直线l经过抛物线C的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB 的长．

18．（12分）

某电视台为宣传本市，随机对本市内岁的人群抽取了人，回答问题“本市内著名旅游景点有哪些” ，统计结果如图表所示.

（第14题图）

（1）分别求出

的值；

（2）根据频率分布直方图估计这组数据的中位数(保留小数点后两位)和平均数；

（3）若第1组回答正确的人员中，有2名女性，其余为男性，现从中随机抽取2人，求至少

抽中1名女性的概率.

19．（12分）

设函数32()41f x x ax x =+++在2x =-时取得极值． （1）求实数a 的值；

（2）求函数()f x 在区间[3,0]-上的最值．

20．（12分）

下图是某公司2001年至2017年新产品研发费用y （单位：万元）的折线图．为了预测该公司2019年的新产品研发费用，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2001年

至2017年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,…,17）建立模型①：?218.2y t =-+；根据2011

年至2017年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,…,7）建立模型②：?5311.5y

t =+． 年份

研发费用

12010080

406020

201720152013201120092007

200520032001O 68

12

17192224

2931

38

6477

86

101110

120135

（1）分别利用这两个模型，求该公司2019年的新产品研发费用的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

21．（12分）

已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>? ??

．直线l 与C 交于A ，B 两点，点1F 是C 的左焦点．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）若l 过点1F 且不与x 轴重合，求AOB △面积S 的最大值．

22．（12分） 已知函数2

1

()1

ax f x x -=

+，a ∈R . （1）讨论()f x 的单调性；

（2）若1a =，证明：当[1,)x ∈+∞时，ln ()2

x

f x ≤．

2018学年第一学期期末教学质量检测 高二数学（文科） 参考答案与评分标准

说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不

同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未

改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题.（每小题5分，共12小题，共60分）

二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分） 13．2

,2x

x x ?∈

12 15．1616π- 16． 32

三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17.（本小题满分10分）

解：（1）由已知抛物线经过点(1,2)M ，代入2

2y px =得

2

22p = 2p = ……………………………2 分

所以 抛物线C 的标准方程为 2

4y x = …………………3 分 所以 抛物线的焦点为(1,0) …………………4 分 （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，

由已知得直线l 的方程为 1y x =- …………………5 分

联立方程21

4y x y x

=-??=? 消去y 得 2610x x -+= …………………7 分

解得13x =+23x =-…………………8 分

所以 126x x +=（也可以由韦达定理直接得到126x x +=） ………………………9 分 于是 1228AB x x =++= …………………………………………10 分 18.（本小题满分12分）

解：(1) 由频率表中第组数据可知,第组的人数为

,

再结合频率分布直方图可知

, ………………1分

,

………………2分

, ………………3分

………………4分

(2) 设中位数为,由频率分布直方图可知,

且有, ………………5分

解得

………………6分

故估计这组数据的中位数为

;估计这组数据的平均数为

()()()200.01010300.02010400.03010x =??+??+??

()()500.02510600.03010+??+?? ………………7分

2+6+12+12.5+9=

=41.5 ………………8分

(3)由(1)知5a =,则第一组中回答正确的人员中有3名男性,2名女性.男性分别记为,,a b c ,女性分别记为1,2. ………………9分 先从5人中随机抽取2人,共有()()()()(),,,,,1,,2,,a b a c a a b c ,()()(),1,,2,,1,b b c

()(),2,1,2c 共10个基本事件 . ………………10分

记“至少抽中一名女性”为事件A ,共有()()()()()()(

),1,,2,,1,,2,,1,,2,1,2a a b b c c 共7个事件. ………………11分 则()7

10

P A =. ………………12分

19.（本小题满分12分）

解：2()324f x x ax '=++， ……………2 分 因为 ()f x 在2x =-处取得极值，所以(2)0f '-=

解得 4a = ……………4 分

当 4a =时，2

()384f x x x '=++，令()0f x '=，得2x =- 或23

x =-

当2x <-时，()0f x '>，()f x 在(,2)-∞-上单调递增， 当223x -<<-时，()0f x '<，()f x 在2

(2,)3

--上单调递减， 当23x >-

时，()0f x '>，()f x 在2

(,)3

-+∞上单调递增， 所以 当4a =时，()f x 在2x =-取得极大值. ……………5 分

（2）由（1）可列表得

由表可知，在[3,0]-上，当2x =-时函数()f x 取得极大值(2)1f -= 当23x =-

时函数()f x 取得极小值25()327

f -=- ……………9 分 又由于(3)2f -=-，(0)1f = ……………11 分 所以 函数()f x 在[3,0]-上的最大值是1，最小值是2-. ……………12 分

20.（本小题满分12分）

（1）利用模型①，该公司2019年的新产品研发费用的预测值为

?218.219134.8y

=-+?=（万元）. ……………3 分 利用模型②，该公司2019年的新产品研发费用的预测值为

?5311.59156.5y

=+?=（万元）. ……………6 分 （2）利用模型②得到的预测值更可靠. ……………8 分 理由如下：

（i ）从折线图可以看出，2001年至2017年的数据对应的点没有随机散布在直线?218.2y

t =-+

上下，这说明利用2001年至2017年的数据建立的线性模型①不能很好地描述新产品研发费用的变化趋势.2011年相对2010年的新产品研发费用有明显增加，2011年至2017年的数据对应的点位于一条直线附近，这说明从2011年开始新产品研发费用的变化规律呈线性增长趋

势，利用2011年至2017年的数据建立的线性模型?5311.5y

t =+可以较好地描述2011年以后的新产品研发费用的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠. ……………12 分

（ii ）从计算结果看，相对于2017年的新产品研发费用135万元，由模型①得到的预测值134.8万元明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠. ……………12 分 （以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.）

21.（本小题满分12分） 解：（1

）依题意得

2

c a =

， 设2a λ=

，则c =，由222a b c =+ ……………1 分

得 b λ=，此时椭圆方程为22

2214x y λλ+=

，将点1,2? ??

代入得 22

13

144λλ

+=，解得 1λ=

，所以2,1,a b c === ……………3 分 所以椭圆C 的方程为 2

214

x y +=. ……………4 分 （2）依题意得

1(F 解法1：设直线l

的方程为x my =

2214

x my x

y ?=??+=?? 消去x 整理得

22

(4)10m y +--= ……………6 分 因为1F 在椭圆内部，所以 0?> 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则

1224y y m +=

+，122

1

4

y y m -=+ ……………7 分

12112AOB

S OF y y =-

△=

=

2

4

m

=+ ……………9 分

t

=，则1t ≥

，

AOB S t t

=

=+△ ……………10 分

因为

当1t >时，3

t t

+

≥，当且仅当t =时“=”号成立，

所以1AOB S ≤

=△， 所以 AOB △的面积S 的最大值是1. ……………12 分 解法

2：当直线l 垂直于x

轴时，将x =

22(14y +=，解得 1

2

y =±，此时，11122AOB S OF =??=△ ………5 分

当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为(y k x

=+(0)k ≠，联立椭圆方程得

22(14

y k x x

y ?=+??+

=?? 消去y 整理得 2222

(41)1240k x x k +++-= ………6 分 因为1F 在椭圆内部，所以 0?>

设11(,)A x y ，22

(,)B x y ，则 2

122

41x x k -+=+，212212441

k x x k -=+

……………7 分

12AB x =-=

=224(1)41k k +=+ 点O 到AB

的距离d =

所以

12AOB

S

AB d =??=△ 因为0k ≠ 所以令1m

k =，则2

4

AOB S m =+△， ……………9 分

t =，则1t ≥

，

233AOB S t t t

=

=

++△， ……………10 分

因为 当1t >

时，3

t t

+

≥

，当且仅当t =时“=”号成立，

所以1AOB S ≤

=△， ……………11 分 综上得 AOB △的面积S 的最大值是1. ……………12 分 22.（本小题满分12分）

解：（1）222222

(1)(1)2(2)

()(1)(1)a x ax x ax x a f x x x +--?---'==++ ……………1 分

当0a =时，22

2()(1)x

f x x '=

+

当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当0x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，

所以 ()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增. ……………2 分 当0a ≠时，令()0f x '=得 220ax x a --= （*）

因为 2440a ?=+> 所以方程（*）有两根，由求根公式得

1x =

，2x = ……………3 分 当0a >时，120x x <<，

当1x x <或2x x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，

当12x x x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，

所以()f x 在1(,)x -∞和2()x +∞上单调递减，在12(,)x x 上单调递增.………4 分 当0a <时，210x x <<，

当2x x <或1x x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，

当21x x x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，

所以()f x 在2(,)x -∞和1()x +∞上单调递增，在21(,)x x 上单调递减.………5 分 综上所述，当0a =时，()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增； 当0a >时，()f x 在1(,)x -∞和2()x +∞上单调递减，在12(,)x x 上单调递增； 当0a <时，()f x 在2(,)x -∞和1()x +∞上单调递增，在21(,)x x 上单调递减.……6 分

（2）当1a =时，21()1x f x x -=

+，由题意知，要证2

1ln 12

x x

x -≤+在[1,)+∞上恒成立， 即证明2

(1)ln 22x x x +≥-，2

(1)ln 220x x x +-+≥在[1,)+∞上恒成立. ……7 分 设2

()(1)ln 22g x x x x =+-+，则1

()2ln 2g x x x x x

'=++

-， ……8 分

因为1x ≥，所以2ln 0x x ≥，122x x +

≥（当且仅当1x =时等号成立）， 即()0g x '≥， ……10 分 所以()g x 在[1,)+∞上单调递增，()(1)0g x g ≥=， 所以ln ()2

x

f x ≤

在[1,)+∞上恒成立. ……12 分