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2020届全国100所名校高三最新高考模拟示范卷(六)数学(理)试题(解析版)

2020届全国100所名校高三最新高考模拟示范卷（六）数学

（理）试题

一、单选题

1．已知集合{}

|2,2,P x x k k k Z ==≤∈，(){

}

|29Q x x =+<，则P Q =I （） A ．{}4,2,0,1-- B ．{}4,2,0-- C ．{}|41x x -≤< D ．{}|45x x -≤<

【答案】B

【解析】可求出{}4,2,0,2,4P =--，{}|51Q x x =-<<，然后进行交集的运算即可. 【详解】

解：{}

{}|2,2,4,2,0,2,4P x x k k k Z ==≤∈=--，

(){

}

{}2

|29|51Q x x x x =+<=-<<，

所以{}4,2,0P Q =--I ．故选：B. 【点睛】

本题考查交集的运算，属于基础题.

2．已知复数z 满足1z i z +-=，在复平面内对应的点为(),x y ，则（） A ．1y x =+ B ．y x =

C ．2y x =-

D ．y x =-

【答案】A

【解析】由已知可列式子()()2

2211x y x y ++-=+，整理化简即可. 【详解】

解：由1z i z +-=，得()()2

2211x y x y ++-=+，化简整理得1y x =+．故选：A. 【点睛】

本题考查复数的模的求法和几何意义，属于基础题.

3．已知1

311531log ,log ,363

a b c π

-===，则,,a b c 的大小关系是( )

A ．b a c <<

B ．a c b <<

C ．c b a <<

D ．b c a <<

【答案】D

【解析】利用对数函数和指数函数的单调性判断. 【详解】

511

log log 1,

65a =>=1133

log log 10,3b π

=<= 13

0331c -

<==，则01c <<，所以b c a <<.

故选：D. 【点睛】

本题考查指对数值大小比较.

指数函数值大小比较：常化为同底或同指，利用指数函数的单调性，图象或1,0等中间量进行比较．对数函数值大小比较：

（1）单调性法：在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底; （2）中间量过渡法：寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”;

（3）图象法：根据图象观察得出大小关系.

4．中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图（2），在半圆O 中作出两个扇形OAB 和OCD ，用扇环形ABDC （图中阴影部分）制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC 的面积为1S ，扇形OAB 的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为

-时，扇面的形状较为美观，则此时扇形OCD 的半径与半圆O 的半径之比为( )

A 51

+ B 51

- C ．35 D 52

【答案】B

【解析】扇环形ABDC 的面积1S 等于扇形OAB 的面积减扇形OCD 的面积；设半径代入求解. 【详解】

设AOBθ

∠=，半圆O的半径为r，扇形OCD的半径为1r，

依题意，有

r r

θθ

=，即

r r

=，

所以

3562551

()

---

===，得1

故选：B.

【点睛】

本题考查弧度制下扇形面积计算问题.

其解题策思路：

(1)明确弧度制下扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必须是弧度．

(2)分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程(组)求解．

5．函数

()sin

f x x

=+的部分图象大致是( )

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】先判断函数的奇偶性，根据奇偶函数图象特征排除，再利用特值验证排除可得解.

【详解】

因为

ln||

0,()sin()()

x f x x f x

≠-=-+=-

()sin x

f x x

∴=+奇函数，图象关于原点对称，所以排除选项D；

因为

2ln

()10

=+>，所以排除选项A；

因为

()00

=+>，所以排除选项B；因此选项C正确.

故选：C. 【点睛】

本题考查函数图象识别问题.

其解题思路：由解析式确定函数图象：

①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置； ②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性； ④由函数的周期性，判断图象的循环往复．函数图象识别有时常用特值法验证排除

6．“车走直、马走日、炮打隔子、象飞田、小卒过河赛大车”，这是中国象棋中的部分下棋规则.其中“马走日”是指马走“日”字的对角线，如棋盘中，马从点A 处走出一步，只能到点B 或点C 或点D 或点E .设马从点A 出发，必须经过点,M N （点,M N 不考虑先后顺序）到达点P ，则至少需走的步数为( )

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

【答案】B

【解析】分步计算，第一步从点A 经过点M ，第二步从点M 经过点N ，第三步从点N 到达点P ，【详解】

由图可知，从N 到P 只需1步，从M 到N 至少需走2步，从A 到M 至少需走3步，从A 到N 至少需走3步.所以要使得从点A 经过点,M N 到点P 所走的步数最少，只需从点A 先到点M ，再到点N ，最后到点P ，这样走的步数为6. 故选：B. 【点睛】

本题考查分步乘法计数原理.

(1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．

(2)谨记分步必须满足的两个条件：一是各步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．

7．已知a r ，b r 是单位向量，且()1,1a b +=-r r ，则a r 与a b -r r

的夹角为（）

A ．

π6

B ．

π4

C ．

π3

D ．

2π3

【答案】B

【解析】由()1,1a b +=-r r ，两边平方，得：()222

22112a b a b ++?=+-=r r r r ，因为a r ，

b r

是单位向量，所以求得0a b ?=r r

，进而得出a b -=r r 的定义求得a r 与a b -r r

的夹角.

【详解】

由()1,1a b +=-r r ，两边平方，得：()222

22112a b a b ++?=+-=r r r r ，

因为a r ，b r 是单位向量，所以1122a b ++?=r r ，得0a b ?=r r

，

则22222a b a b a b -=+-?=r r r r r r

，

∴a b -=r r

所以(

)

2cos ,2a a b a a b a a b

?--====?-r r r r r r r r r r r r ，

所以a r 与a b -r r 的夹角为π

．

故选：B. 【点睛】

本题考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题. 8．执行如图所示的程序框图，则输出的S =（）

A ．414

B ．325

C ．256

D ．75

【答案】A

【解析】根据题意()3

n m =∈N ，由2020n <，得1m =，2，3，4，5，6，分

别算出相应值即可得出结果. 【详解】解：()3

n m =∈N ，由2020n <，得1m =，2，3，4，5，6．

所以S 的值依次为()16115S =-?=，()25226S =-?=，()36339S =-?=，

()494420S =-?=，()5205575S =-?=，()67566414S =-?=．

故选：A. 【点睛】

本题主要考查程序框图和算法，属于基础题.

9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足33a =，()21223n n n S S S n --+=+≥，则（）

A ．2n n S n

a n -= B ．2n n S n

a n +=

C ．21

n n S a n

D ．21

n n S a n

+= 【答案】B

【解析】由已知得31222S S S +=+，即123222222a a a a a ++=++，进而求出公差

2d =，再利用求和公式列式，化简得出结论.

【详解】

解：由已知得31222S S S +=+，即123222222a a a a a ++=++，所以2321a a =-=，则公差322d a a =-=，所以()33223n a a n n =+-?=-，即11a =-，

()()

1122n n n n a a n a S +-=

，得2n n S n

a n

．故选：B. 【点睛】

本题主要考查数列递推关系式的应用，求和公式的运用，考查运算能力和转化能力，属于基础题.

10．已知双曲线22

2:1(0)3

x y C a a -=>的右焦点为F ，圆222x y c +=（c 为双曲线的

半焦距）与双曲线C 的一条渐近线交于,A B 两点，且线段AF 的中点M 落在另一条渐近线上，则双曲线C 的方程是( )

A ．22

143x y -

= B ．22133

y x -=

C ．22

123

x y -=

D ．2

y x -=

【答案】D

【解析】渐近线过圆心，代入求出渐近线，点(c,0)F 在圆2

x y c +=上，得AF BF ⊥，

由AB 中点O 及线段AF 的中点M ，由中位线得渐近线与BF 平行，建立方程组求解. 【详解】

不妨设双曲线C 的一条渐近线方程为y x a

，代入圆222

x y c +=，得x a =±，则

y =(,(A a B a -.易知点(c,0)F 在圆222x y c +=上，所以

AF BF ⊥，得1AF BF k k ?=-，即

1c a a c

?=-+-①.因为线段AF 的中点M 落在另一条渐近线上，且||||OA OF c ==，所以，AF 与该渐近线垂直，所以该渐近线与BF

平行，得

a c a

-②.解①②组成的方程组，得1,2a c ==，所以双曲线C 的方程

为2

y x -=.

故选：D. 【点睛】

本题考查利用双曲线的几何性质求双曲线方程. 求双曲线方程的思路:

(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a b c ，，的方程组，解出22a b ，，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)． (2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一

种是设双曲线的一般方程为()

10mx ny mn <＋＝

求解． 11．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,ABC AB BC ⊥，且2AB =.若三棱锥P ABC -的外接球体积为36π，则当该三棱锥的体积最大时，其表面积为( )

A ．6+

B ．8+

C ．8+

D ．6+

【答案】C

【解析】第一步确定球心位置在PC 的中点，求出半径得到各棱长，再计算各面面积可解. 【详解】

因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥，

又因为AB BC ⊥，所以BC ⊥平面PAB ，所以BC PB ⊥，设PC 的中点为O ，则O 到P ABC -的四个顶点的距离都相等，

所以点O 是三棱锥外接球球心，又由外接球的体积为3

363

R ππ=，得外接球半径

3R =，所以6PC =.设,PA a BC b ==，则2222PA AB BC PC ++=，得

2232a b +=，

所以221111162323323

P ABC

a b V b a ab -+=???=?=…，当且仅当4a b ==时，P ABC V -取得最大值16

此时PB AC ==，

所以，三棱锥的表面积1122424822

S =???+???=+故选：C. 【点睛】

本题考查与球有关外接问题及求锥体的表面积. 其解题规律：

(1)直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距离恰为棱柱高的

. (2)正方体外接球的直径为正方体的体对角线的长．此结论也适合长方体，或由同一顶点出发的两两互相垂直的三条棱构成的三棱柱或三棱锥．

(3)求多面体外接球半径的关键是找到由球的半径构成的三角形，解三角形即可． 12．已知函数()π2sin 6f x x ω?

的图象的一条对称轴为πx =，其中ω为常数，且()0,1ω∈，给出下述四个结论： ①函数()f x 的最小正周期为3π； ②将函数()f x 的图象向左平移π

所得图象关于原点对称； ③函数()f x 在区间ππ,62??

????

，上单调递增； ④函数()f x 在区间()0,100π上有67个零点．其中所有正确结论的编号是（） A ．①② B ．①③

C ．①③④

D ．①②④

【答案】C

【解析】根据函数的一条对称轴是πx =，且()0,1ω∈，算出2

ω=，进而求出最小正周期，即可判断①；写出将函数()f x 的图象向左平移π

个单位后的式子，即可判断②；当ππ,62x ??

∈-

????

时，2π5ππππ,,3618622x ????-∈-?-????????，进而判断③；由()0f x =，

得

2π

π36

x k -=，k Z ∈，解得3ππ26x k ??=+ ???，由3π0π100π26k ??

<+< ???

，得

66.56

k -<<，进而判断④. 【详解】

解：当πx =时，πππ

ππ662

x k ωω-

=-=+，k Z ∈， ∴2

3k ω=+

，k Z ∈，又因为()0,1ω∈，所以0k =，23

ω=，函数()f x 的最小正周期2π

3πT ω

=，①正确； ()2

π2sin 3

6f x x ??=- ???将函数()f x 的图象向左平移π6，

得()π2ππ2π2sin 2sin 6366318g x f x x x ???

?????=+

=+-=- ? ? ????

?????，显然()g x 的图象不关于原点对称，②错误；

当ππ,62x ??

∈-????

时，2π5ππππ,,3618622x ????-∈-?-????????，所以()f x 在区间ππ,62??

???

?上单调递增，③正确；由()0f x =，得2π

π36

x k -=，k Z ∈，解得3ππ26x k ??

+ ???

，由3π0π100π26k ??<

+< ???，得166.56

k -<<，因为k Z ∈，所以0k =，1，2，???，66，

所以函数()f x 在区间()0,100π上有67个零点，④正确．故选：C. 【点睛】

本题主要考查正弦函数的图象和性质，考查计算能力，属于中档题.

二、填空题 13．函数2

()(0)2x

f x x x

>+的最大值为_______.

【答案】

【解析】求导研究函数单调性，得函数在x = 处取得最大值，代入可得. 【详解】

因为222

2222

222()2()(2)

x x x f x x x '

+--==++,令()0f x '>

解得x <<，又0x >，所以()f x

在

上单增，在)￥上单减；所以函数()f x

的最大值为4

f =

故答案为：4

. 【点睛】

求函数最值的五种常用方法：

单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值

图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值

基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值

导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值 14．已知等比数列{}n a 中，1353a a a =

，4a =2446

1335

a a a a a a a a +=+__________．

【答案】1

【解析】利用等比数列性质求出1

33a =，

又因为12

43a ==，算出公比1

3a q a =

=，进而求出结果. 【详解】

解：由1353a a a =，得3

33a =，所以1333a =

，又因为1

3a ==，所以公比

14633a q a ==，()21

133522446

313351335

3q a a a a a a a a q a a a a a a a a ++===++．

故答案为：1

33. 【点睛】

本题考查等比数列的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算能力，属于基础题.

15．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，过点F

且斜率为2

的直线l 与椭圆

交于,A B 两点（点B 在第一象限），与y 轴交于E 点，若AF EB =u u u r u u u r

，则椭圆的离心率为_________.

【答案】

【解析】点斜式设出线l 的方程，与椭圆联立求解，用点差法计算得,,a b c 关系可解. 【详解】

直线l

的方程为()2y x c =

+，设FE 的中点为M

，则(,)24

c M -，由AF EB

=u u u r u u u r 知AM MB =u u u u r u u u r

，则M 为AB 的中点，设1122(,),(,)A x y B x y ，则22222211b x a y a b +=，

2222

2222b x a y a b +=，两式相减，得222222

1212()0()b x x a y y -+-=，

整理得22

12121212()()()()0b x x x x a y y y y -++-+=

，由中点公式得：

221212()02()()b x x c a y y -?--+=

，所以2121222

y y x x -==-，得222222()a b a c ==-

，所以222,2

c a c e a ==

故答案为：2

【点睛】

本题考查求椭圆离心率. 求椭圆离心率的三种方法:

(1)直接求出,a c 来求解e 通过已知条件列方程组，解出,a c 的值．

(2)构造,a c 的齐次式，解出e 由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解．

(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．

在解关于离心率e 的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率()0,1e ∈)进行根的取舍，否则将产生增根．

三、双空题

16．已知7件产品中有5件合格品，2件次品.为找出这2件次品，每次任取一件检验，检验后不放回，则第一次和第二次都检验出次品的概率为_________；恰好在第一次检

验出正品而在第四次检验出最后一件次品的概率为__________. 【答案】

121 221

【解析】第一次检验出次品的概率为2

7，不放回，则第二次检验出次品的概率为16

；第

一次检验出正品而在第四次检验出最后一件次品包含两种可能：正次正次，正正次次，分别计算即可. 【详解】

第一次和第二次都检验出次品的概率为1211

7621

P =

?=，恰好在第一次检验出正品而在第四次检验出最后一件次品，有两种可能：正次正次，正正次次，概率为25241542127654765421

P =???+???=. 故答案为：121，

【点睛】

求复杂互斥事件概率的两种方法：

(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；

(2)间接法：先求该事件的对立事件的概率，再由()()

1P A P A ＝－求解．当题目涉及“至

多”“至少”型问题时，多考虑间接法．

四、解答题

17．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设cos cos a B b A c -=．

()1求A ； ()2

若a =

ABC V 的面积为1，求以a ，2b ，2c 为边的111A B C △的面积．

【答案】()1π2A =

；()2111

A B C S =△. 【解析】()1由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简等式，得出sin cos 0B A =，又因为()0,πB ∈，sin 0B ≠，得 cos 0A =，进而算出A 的值；

()2依题意知1

ABC S bc =

=△，∴2bc =，且225b c +=，设111A B C △中，内角1A ，1B ，1C 的对边分别为a ，2b ，2c ，根据余弦定理算出115

cos 16

A =，进而求出

131sin 16

A =

，利用三角形面积公式求出数值即可. 【详解】

解：()1由cos cos a B b A c -=及正弦定理可得

()sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos A B B A C A B A B B A -==+=+，

∴sin cos 0B A =，

又因为()0,πB ∈，sin 0B ≠，∴cos 0A =，所以π2

A =

． ()2依题意知1

ABC S bc =

=△，∴2bc =，且225b c +=．设111A B C △中，内角1A ，1B ，1C 的对边分别为a ，2b ，2c ，

则()22221

4544515cos 222816

b c b c A b c bc +-+-===??，则131sin A =，所以111A B C △的面积11111131

22sin 2sin 24

A B C S b c A bc A =??==

△．【点睛】

本题考查了正、余弦定理，两角和的正弦函数的公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合运用，考查了转化思想，属于中档题.

18．在长方体1111ABCD A B C D -中，1//,2,1

,3,6EF AD AA AF AB AD ====.

（1）求证：平面1C EF ⊥平面1D EF . （2）求二面角11C D F E --的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）60°

. 【解析】（1）在同一平面内证11C E D E ⊥，用线面垂直的性质证1C E EF ⊥；（2）以1D 为原点建立空间直角坐标系，使用空间向量求二面角的平面角即可. 【详解】

（1）依题意，有111,2,2DE DD CC EC ====，

由勾股定理可得113,6D E C E ==，

又易知113C D =，所以222

1111C

D D

E C E =+，则有11C E D E ⊥，

在长方体1111ABCD A B C D -中，AD ⊥平面11CC D D ，1C E ?平面11CC D D ，所以1C E AD ⊥，又因为//EF AD ，所以1C E EF ⊥，

又因为1EF D E E ?=，EF ?平面1D EF ，1D E ?平面1D EF ，所以1C E ⊥平面1D EF ，又因为1C E ?平面1C EF ，所以平面1C EF ⊥平面1D EF .

（2）如图，建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(0,3,0),(0,1,2),(6,1,2)D C E F ，

所以11(6,0,0),(6,2,2),(6,1,2)EF C F D F ==-=u u u r u u u u r u u u u r

，

设平面1D EF 的法向量为111(,,)a x y z =r

，

则100EF a D F a ??=?

??=??u u u v v

u u u u v v ，即111160620

x x y z ?=??++=??，令12y =，则(0,2,2)a =-r ，设平面11C D F 的法向量为222(,,)b x y z =r

，

则110

0C F b D F b ??=???=??u u u u v v

u u u u v v ，即2222226220620

x y z x y z ?-+=??++=??，令22x =，则(2,0,6)b =-r ，设二面角11C D F E --的大小为θ，

则||261

|cos |2626||||

a b a b θ??==

=?+r r

r r ，由图知，二面角11C D F E --为锐角，所以60θ?=，所以二面角11C D F E --为60°

【点睛】

本题考查面面垂直判定及计算二面角大小. 面面垂直判定的两种方法与一个转化

(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理()a a b a a b ^剔^，

在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直

计算二面角大小的常用方法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小

19．已知抛物线2

:(N )C y px p +=∈的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，其纵坐标为

1,||4

p PF +=

，且(0,2),(1,0)M N . （1）求抛物线C 的方程；

（2）过M 的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，若AN BN ⊥，求直线l 的斜率.

【答案】（1）2y x =；（2）3-+3-【解析】（1）由抛物线定义求出p 的抛物线方程.

（2）设直线l 的方程为2(0)y kx k =+≠与抛物线方程联立求解，得到12x x +，12x x ，利用AN BN ⊥转化求k 即可. 【详解】

（1）因为点P 在抛物线C 上，且纵坐标为1p +，所以点P 的横坐标为2(1)p p +，

抛物线C 的准线为4p

x =-，由抛物线定义得

(1)1744

p p p ++=，化简得2

5940p p -+=，解得4

p =

（舍去）或1p =，所以抛物线C 的方程为2y x =.

（2）易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2(0)y kx k =+≠，

代入2y x =中，得22

(41)40k x k x +-+=，

因为直线l 与抛物线C 有两个交点，所以22

(41)160k k ?=-->，得18

k <

. 设1122(,),(,)A x y B x y ，

则122

14k x x k

-+=

①，1224

x x k = ②，所以2

121212122

(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x k

=++=+++= ③ 因为AN BN ⊥，所以1AN BN k k ?=-，即

1212111

y y

x x ?=---，所以

12121(1)(1)y y x x =---，即1212121()1y y x x x x =--++，将①②③式代入上式，整理得2630k k ++=，

解得3k =-+3k =--，

因为113,388

k k =-+<

=-，

所以，直线l 的斜率为3-3-【点睛】

利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径．

20．已知函数()sin x x x f -=，()()x

g x e f x =．

()1求证：函数()g x 是3π0,

2??

????

上的增函数． ()2若不等式()x e x af ≥对π

π,2

x ???∈-???

恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】()1证明见解析；()2ππ2

2,ππ2e e -????-

??-????

. 【解析】()1根据()()()sin x

g x e f x e

x x ==-，求导得

()()sin cos 1x g x e x x x '=--+，令()sin cos 1h x x x x =--+，则

()π

1cos sin 14h x x x x ?

?'=-+=-+ ???

，因为3π02x ≤≤，得出

()

0,1h x ?'∈+?，所以()h x 在3π0,2??????

上是增函数，所以()()00h x h ≥=，则

()0g x '≥，即可求证结果；

()2由()sin x x x f -=得()1cos 0f x x '=-≥，所以()f x 在R 上是增函数，且

()ππ0f -=-<，()00f =，ππ

1022f ??=-> ???，分步讨论x 的取值，①[)

π,0x ∈-时，()0f x <，由()x

e x a

f ≥，得()

x e a f x ≥，令()()sin x x

e e m x

f x x x ==-，求出()()

()

sin cos 1sin x e x x x m x x x -+-'=

-，进而得出()()π

max

ππ

e a m x m -≥=-=-； ②当π0,2x ??∈ ???时，有()0

f x >，由()x

e x a

f ≥，得()()x e a m x f x ≤

=，则()()

()

sin cos 1sin x e x x x m x x x -+-'=

-，令()sin cos 1t x x x x =-+-，算出

(

)π1sin cos 14t x x x x ?

?'=--=+ ??

?，进而得出

()π2

min

π22π2

e a m x m ??≤==

?-??；③当0x =时，不等式()x e x af ≥显然成立，综合得

出实数a 的取值范围. 【详解】

解：()1()()()sin x

g x e f x e

x x ==-，

()()sin cos 1x g x e x x x '=--+，

令()sin cos 1h x x x x =--+，则(

)π1cos sin 14h x x x x ?

?'=-+=-+ ??

?，

因为3π02x ≤≤

，所以ππ5π

444

x -≤-≤，

所以πsin 124x ??-

≤-≤ ??

?，所以(

)0,1h x ?'∈+?，所以()h x 在3π0,2??

????

上是增函数，所以()()00h x h ≥=，则()0g x '≥，所以函数()g x 是3π0,

2??

????

上的增函数． ()2由()sin x x x f -=得()1cos 0f x x '=-≥，所以()f x 在R 上是增函数，

且()ππ0f -=-<，()00f =，ππ

1022f ??=-> ???，

①[)π,0x ∈-时，()0f x <，由()x

x af ≥，

得()

x e a f x ≥，令()()sin x x

e e m x

f x x x ==-，则()()

()

sin cos 1sin x e x x x m x x x -+-'=

-，

因为()sin 0f x x x =-<，cos 10x -<，所以()0m x '

<，所以()()π

max

ππ

e a m x m -≥=-=-． ②当π0,2x ??∈ ???时，有()0

f x >，由()x

e x a

f ≥，得()()x e a m x f x ≤

=， ()()

()

sin cos 1sin x e x x x m x x x -+-'=

-，令()sin cos 1t x x x x =-+-，

则(

)π1sin cos 14t x x x x ?

?'=--=+ ??

，因为π02x <≤

，所以ππ3π444

x <+≤，

则πsin 124x ??≤+≤ ??

，π14x ??≤+≤- ???，

则()0t x '≤，所以()t x 单调递减，所以()()00t x t ≤=，所以()0m x '≤，()π2

min

π22π2

e a m x m ??≤==

?-??．

③当0x =时，不等式()x

x af ≥显然成立．

综上所述，实数a 的取值范围是π

π2

2,ππ2e e -????-

??-????

．【点睛】

本题考查函数的单调性问题，考查转化思想，分类讨论的方法，导数的应用以及三角函数的性质，属于难题.

21．在学习强国活动中，某市图书馆的科技类图书和时政类图书是市民借阅的热门图书.为了丰富图书资源，现对已借阅了科技类图书的市民（以下简称为“问卷市民”）进行随

机问卷调查，若不借阅时政类图书记1分，若借阅时政类图书记2分，每位市民选择是否借阅时政类图书的概率均为

，市民之间选择意愿相互独立. （1）从问卷市民中随机抽取4人，记总得分为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）（i ）若从问卷市民中随机抽取(N )m m +∈人，记总分恰为m 分的概率为m A ，求数列{}m A 的前10项和；

（ⅱ）在对所有问卷市民进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为n 分的概率为n B （比如：1B 表示累计得分为1分的概率，2B 表示累计得分为2分的概率，

N n +∈），试探求n B 与1n B -之间的关系，并求数列{}n B 的通项公式.

【答案】（1）分布列见解析，6；（2）（i ）

1023

1024；（ⅱ）1112n n B B -=-+，211()332

n n B =+-. 【解析】（1）独立重复试验，列出随机变量ξ可能取值为4，5，6，7，8，再求出各可能值的概率可解得.

（2）（i ）总分恰为m 分的概率m A 是等比数列，用基本量计算. （2）（ⅱ）递推数列化为等比数列求解. 【详解】

（1）ξ的可能取值为4，5，6，7，8，

04411(4)C (),216P ξ=== 113

111(5)C (),24(2)P ξ=== 2224

113

(6)C ,2()()28P ξ===，3314111(7)C ,2()()24P ξ===440

111(8)C 2()()216

P ξ=== 所有ξ的分布列为

所以数学期望11311

()4567861648416

E ξ=?

+?+?+?+?=.

2018年高三数学模拟试题理科

黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是（） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p

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A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成, 爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”, 如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ． 516 B ． 1132 C ． 2132 D ． 1116 7．已知非零向量a , b 满足||2||=a b , 且()-a b ⊥b , 则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 8．如图是求 112122 + +的程序框图, 图中空白框中应填入

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高三数学高考模拟题（一）一. 选择题（12小题，共60分，每题5分） 1. 已知集合{}{} M N x x x x Z P M N ==-<∈=?13302，，，，又|，那么集合 P 的子集共有( ) A. 3个 B. 7个 C. 8个 D. 16个 2. 函数y x =-的反函数的图象大致是( ) A B C D 3. 已知直线l 与平面αβγ、、，下面给出四个命题： ()//(),()()////12314若，，则若，若，，则若，，则l l l l l ααββαββγαγγγββ αβαβ⊥⊥⊥⊥⊥?⊥⊥? 其中正确命题是( ) A. (4) B. (1)(4) C. (2)(4) D. (2)(3) 4. 设cos ()31233 x x x =-∈-，且，，则ππ 等于( ) A B C D ....±±±± ππππ 18929518 5. 设a b c a b c =+=-=sin cos cos 1313221426 2 2 ，，，则、、之间的大小关系是( )

A b c a B c a b C a c b D c b a ....>>>>>>>> 6. ()15+x n 展开式的系数和为a x n n ，()572+展开式的系数和为 b a b a b n n n n n n ，则lim →∞-+234等于( ) A B C D ....- --12131 71 7.椭圆 x y M 22 4924 1+=上有一点，椭圆的两个焦点为F F MF MF MF F 121212、，若，则⊥?的面积是( ) A. 96 B. 48 C. 24 D. 12 8. 已知椭圆x y t 22 1221 1+-=()的一条准线的方程为y =8，则实数t 的值为( ) A. 7和－7 B. 4和12 C. 1和15 D. 0 9. 函数y x x x =+2sin (sin cos )的单调递减区间是( ) A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z .[].[].[].[]28278 27821588 58 3878 ππππ ππππππ ππ ππππ-+∈++∈-+ ∈+ +∈，，，， 10. 如图在正方体ABCD －A B C D 1111中，M 是棱DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，P 为棱A B 11上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角( ) A. 是π4 B. 是π 3 C. 是π 2 D. 与P 点位置有关 1 A 11. 在平面直角坐标系中，由六个点O(0，0)、A(1，2)、B(－1，－2)、C(2，4)、D(－2，－1)、E(2，1)可以确定不同的三角形共有( )

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A. 10x y -+= B. 10x y --= C. 10x y +-= D. 10x y ++= 8．在等差数列{}n a 中，0>n a ，且301021=+++a a a ，则65a a ?的最大值是( ) A ．94 B ．6 C ．9 D ．36 9．已知变量,x y 满足约束条件102210x y x y x y +-≥ ?? -≤??-+≥? ，设22z x y =+，则z 的最小值是（） A. 12 B. 2 C. 1 D. 13 10. 定义在R 上的奇函数()f x ，当0≥x 时，?????+∞∈--∈+=) ,1[|,3|1) 1,0[),1(log )(2 1x x x x x f ，则函数)10()()(<<-=a a x f x F 的所有零点之和为（） A ．12-a B ．12--a C ．a --21 D ．a 21- 第Ⅱ卷（非选择题满分 100分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置） 11. 命题“若12

1978全国高考数学试题

1978年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科考生五，六两题选做一题文科考生五，六两题选做一题，不要求做第七题）一．（下列各题每题4分，五个题共20分） 1．分解因式：x 2-4xy+4y 2-4z 2. 解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z) 2.已知正方形的边长为a ，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积解：设底面半径为r ，则底面周长2πr=a 则.42,222 2 πππππa a a a r a r =?? ? ??=?==体积 3．求函数)2lg(x y +=的定义域解： ∵lg(2+x)≥0,∴2+x ≥1.故x ≥-1为其定义域 4．不查表求cos800cos350+cos100cos550的值解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450= 2 2 5.化简：二 .（本题满分14分）已知方程kx 2+y 2=4，其中k 为实数对于不同范围的k 值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图解：1）k>0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k>1时,长轴在y 轴上，半长轴=2，半短轴= k 2; .254:.)()1.0()4(41 2 12 14323 12 1b b a ab = ??? ? ??----原式解

②k=1时,为半径r=2的圆; ③k<1时,长轴在x 轴上，半长轴= k 2，半短轴=2 如图： 2)k=0时，方程为y 2=4图形是两条平行于x 轴的直线2±=y 如图 3）k<0时，方程为这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y 轴上如图：三．（本题满分14分）（如图）AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，直线MN 切半圆于C 点，AM ⊥MN 于M 点，BN ⊥MN 于N 点，CD ⊥AB 于D 点，求证：1)CD=CM=CN. 2)CD 2=AM ·BN Y Y Y k=2 A k=1 (0,2) k=1/4 O A X O B X O X Y Y y=2 k=-4 A O O X B X y=-2 1 442 2=+-y k x

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【典型题】数学高考模拟试题(带答案) 一、选择题 1．已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 2．()22 x x e e f x x x --=+-的部分图象大致是（） A ． B ． C ． D ． 3．设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则M ?N 中元素的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 4．设01p <<，随机变量ξ的分布列如图，则当p 在()0,1内增大时，（） ξ 0 1 2 P 12 p - 12 2 p A ．()D ξ减小 B ．()D ξ增大 C ．() D ξ先减小后增大 D ．()D ξ先增大后减小 5．设集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,2,4}A =，{2,3,4}B =，则()C U A B ?等于（） A ．{5,6} B ．{3,5,6} C ．{1,3,5,6} D ．{1,2,3,4} 6．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60?，那么3a b -等于（） A 7B 10 C 13 D ．4 7．函数()ln f x x x =的大致图像为（）

A ． B ． C ． D ． 8．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为5 2 y x =，且与椭圆 22 1123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（） A ．221810 x y -= B ．22145 x y -= C ．22 154 x y -= D ．22 143 x y -= 10．已知非零向量AB 与AC 满足 0AB AC BC AB AC ?? ?+?= ? ?? 且1 2AB AC AB AC ?=，则ABC 的形状是（） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．以上均有可能 11．已知ABC 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=， ()()1AQ AC λλ=-∈R ，若3 2 BQ CP ?=-，则λ=（） A ． 12 B 12 ± C 110 ± D ． 32 2 ± 12．设集合(){} 2log 10M x x =-<，集合{} 2N x x =≥-，则M N ?=（）

高考理科数学模拟试题

高三上期第二次周练数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=，则数列{}n a 的前9项的和9S =（） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<<