高考数学课时分层练7
课时分层练(七) 三角恒等变换与解三角形
(建议用时：45分钟) 【A 组 强化练·保一本】
一、选择题
1．(2015·广州模拟)已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且sin A a ＝
sin
B 2
b
，则cos B 的值为( )
A.
32B.12C ．－12D ．－3
2
2．(2015·西安模拟)在锐角三角形ABC 中，已知A ＞B ＞C ，则cos B 的取值范围为( )
A.? ????0，22
B.??????12，22
C ．(0，1)D.? ??
??
22，1
3．已知sin ?
?
???α＋π3＋sin α＝－435，－π2＜α＜0，则cos(α＋2π3)等于
( )
A ．－45
B ．－35C.45D.35
4．(2015·潍坊二模)若α∈? ????0，π2，且cos 2α＋cos ? ????π2＋2α＝3
10
，则tan
α＝( )
A.12
B.13
C.14
D.1
5
5．(2014·江西高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝
π
3
，则△ABC 的面积是( ) A ．3B.
932 C.33
2
D ．3 3 6．(2015·昆明模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( )
A ．1B.2C ．3D. 3 二、填空题
7．(2015·枣庄模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________．
8．(2015·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．
9．(2015·南通模拟)在△ABC 中，已知cos A ＝45，tan(A －B )＝－1
2，则tan C
的值是________．
三、解答题
10．(2015·潍坊模拟)已知函数f (x )＝23sin x cos x － sin 2x ＋12cos2x ＋1
2
，x ∈R .
(1)求函数f (x )在??????
－π4
，π2上的最值；
(2)若将函数f (x )的图象向右平移π
4个单位，再将得到的图象上各点横坐标
伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g (x )的图象．已知g (α)＝－6
5，α∈
? ????4π3，11π6，求cos ? ????
α2
－π6的值．
11．已知a ，b ，c 为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，满足
sin B ＋sin C
sin A
＝
2－cos B －cos C cos A ，函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间???
???0，π3上单调递增，在区
间????
??
π3，π上单调递减． (1)证明：b ＋c ＝2a ；
(2)若f ? ????
π9＝cos A ，证明：△ABC 为等边三角形．
【B组押题练·冲名校】
1．已知函数y＝log a(x－1)＋3(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点P，若角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P，则sin2α－sin2α的值为( )
A.
5
13
B．－
5
13
C.
3
13
D．－
3
13
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2a＋b
c
＝
cos（A＋C）
cos C
，
(1)求角C的大小；
(2)若c＝2，求使△ABC面积最大时，a，b的值．
【详解答案】
【A 组 强化练·保一本】
1．C 2.A 3.C 4.B 5.C 6.D 7.23π 8.(6－2，6＋2) 9.112
10．解：(1)f (x )＝23sin x cos x －sin 2
x ＋12cos2x ＋12
＝3sin2x －
1－cos 2x 2＋12cos2x ＋1
2
＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ? ?
???2x ＋π6.
∵－
π4≤x ≤π2，∴－π3≤2x ＋π6≤7π
6
， ∴当2x ＋
π6＝－π3，即x ＝－π
4
时， f (x )的最小值为2×? ????
－32＝－ 3.
当2x ＋
π6＝π2，即x ＝π
6
时，f (x )的最大值为2×1＝2. (2)若将函数f (x )的图象向右平移π
4个单位，再将得到的图象上各点横坐标
伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g (x )＝2sin ?
?
???x －π3，
由g (α)＝2sin ? ????α－π3＝－65，得sin ? ?
???α－π3＝－35，
∵
4π3＜α＜11π6，∴π＜α－π3＜3π
2
， ∴cos ? ?
???α－π3＝－45，
∵
π2＜α2－π6＜3π
4
，
∴cos ? ????
α2－π6＝－
1＋cos ?
?
??
?α－π32
＝－
1－45
2
＝－
1010
. 11．证明：(1)∵
sin B ＋sin C sin A ＝2－cos B －cos C
cos A
，
∴sin B cos A ＋sin C cos A ＝2sin A －cos B sin A －cos C sin A ， ∴sin B cos A ＋cos B sin A ＋sin C cos A ＋cos C sin A ＝2sin A ， sin(A ＋B )＋sin(A ＋C )＝2sin A ， sin C ＋sin B ＝2sin A ， 所以b ＋c ＝2a . (2)由题意知：
2π
ω
＝
4π3，解得：ω＝32
， 因为f ? ????
π9＝sin π6＝12＝cos A ，A ∈(0，π)，
所以A ＝
π3
， 由余弦定理知：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1
2.
所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，因为b ＋c ＝2a ， 所以b 2
＋c 2
－?
??
??b ＋c 22
＝bc ， 即b 2＋c 2－2bc ＝0，所以b ＝c ， 又A ＝π
3
，所以△ABC 为等边三角形．
【B 组 押题练·冲名校】
1．D
2．解：(1)∵cos(A ＋C )＝cos(π－B )＝－cos B ，由题意及正弦定理，得2sin A ＋sin B sin C ＝－cos B
cos C
.
即2sin A cos C ＝－(sin B cos C ＋cos B sin C )＝－sin(B ＋C )＝－sin A .
∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴cos C ＝－1
2.
又∵C ∈(0，π)，∴C ＝
2π3
. (2)由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴4＝a 2＋b 2－2ab ·? ????
－12，即4＝a 2＋b 2＋ab .
∴4＝a 2＋b 2＋ab ≥2ab ＋ab ＝3ab .
∴4≥3ab ，ab ≤4
3(当且仅当a ＝b 时成立)．
∵S △ABC ＝12ab sin C ＝3
4ab ，
∴当a ＝b 时，△ABC 面积最大为33，此时a ＝b ＝23
3
. 故当a ＝b ＝
233时，△ABC 的面积最大为3
3
.