七年级数学竞赛培优(含解析)专题27 以形借数
27 以形借数——借助图形思考
阅读与思考
数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题，就解题而言，数与形的恰当结合，常常有助于问题的解决，美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并且能创造性地思考问题的解法”．将问题转化为一个图形，把问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来，是一个十分重要的解题方法，现阶段借助图形思考是指以下两个方面：
1．从给定的图形获取解题信息
数学问题的表述方法很多，既有用文字叙述的，也有通过图形（如数轴、图表、平面图形等）来呈现的，善于从给定的图形获取解题信息是一个重要技能．
2．有意地画图辅助解题
图形能直观、形象地表示数量及关系，解题中有意地画图（如画直线图、列表、构造图形等）能帮助分析理顺复杂数量关系，使问题获得简解．
阅读与思考
【例1】如图，圆周上均匀地钉了9枚钉子，钉尖朝上，用橡皮筋套住
其中的3枚，可套得一个三角形，所有可以套出来的三角形中，不同
形状的共有____________种。
（“五羊杯”竞赛试题）
x y z则解题思路：圆周长保持不变，设圆周长为9，套成的三角形三边所对应的弧长分别为,,,
≤≤，借助图形分析，找出满足条件的整数解即可。
++=。不妨设x y z
9
x y z
【例2】一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为
．．．．．．．．y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系。根据图像进行一下探究：
信息读取
（1）甲、乙两地之间的距离为___________km。
（2）请解释图中点B的实际意义。
图像理解
（3）求慢车和快车的速度。
（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。
问题解决
（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同。在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇。求第二列快车比第一列快车晚车发多少小时？
（江苏省南京市中考试题）解题思路：函数图像包含了两种不同层次的信息：有慢车行驶900km用了12h等可直接感知的浅层结构信息，也有在0～4小时之间以及稍后的一段时间内，快车和慢车的速度之和为定值和C点表示快车在某一时刻已到达终点等需要经过分析或运算才能获得的深层结构的信息。
A B C三个特色栏目的收视情况，向28位观众进行调查，调查后得
【例3】某电视台为了解,,
知：每位观众至少收看了其中的一个栏目；没有收看栏目A的观众中，收看栏目B人数为收看栏目C的两倍；在收看栏目A的观众中，只收看栏目A的观众人数比除了收看栏目A之外同时还收看其他栏目的人数多1；只收看一个栏目的观众中，有一半没有收看B或栏目C，求栏目A的收视率。
（“《数学周报》”杯全国数学竞赛试题）解题思路：设未知数，借助于图表表示题中各数量之间的关系。
【例4】甲、乙、丙、丁、戌五名同学参加推铅球比赛，通知抽签决定出赛顺序，在未公布顺序前每人都对出赛顺序进行了猜测。甲猜：乙第三，丙第五；乙猜：戌第四，丁第五；丙猜：甲第一，戌第四；丁猜：丙第一，乙第二；戌猜：甲第三，丁第四。老师说每人的出赛顺序都至少被一人所猜中，问：出赛顺序中，第一、第三、第五分别是哪位同学？
（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：文字罗列出来的条件，其相互关系错综复杂，不便分析和推断，不妨借助于图表直观地表示研究对象及其关系。
【例5】某班有50名同学，期末考试优秀的学生人数及科目如表：
数
这里，一科优秀者包括两、三科优秀者，两科优秀者包括三科优秀者，试说明上述统计表有错误。
（“创新杯”竞赛试题）解题思路：借助于图形直观地表示出数学、外语、语文优秀学生的集合，有利于分析与推断。
能力训练
1．甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘，到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘。则小强已经赛了________盘。
（“华罗庚金杯”竞赛试题）
2．某市储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4小时，调进物资2小时后开始调出物资（调
s吨与时间(t小时)之间的函数关系如图，进物资与调出物资的速度保持不变）。储运部库存物资()
这批物资从开始调进到全部调出所需要的时间是___________________。
（山东省济南市中考试题）
3．甲、乙两人同时从A地出发，以各自的速度匀速汽车到B地后原地休息，甲、乙两人的距离
x时之间的函数关系的图像如图，则,A B两地的距离为
(y千米)与乙骑车的时间()
______________________千米。
4．一台计算机的硬盘分为3个区，每个区的使用情况如图所示，则这个硬盘的使用率为
______________________。
（“希望杯”邀请赛试题）
A B C三支足球队举行单循环比赛（每支队与另一支队只比赛一场，共三场），下表给出的
5．,,
是比赛的部分结果：
请根据上表，填上A队与C队比赛时的比分为_______________。
（重庆市竞赛试题）
6．如图是某班全体学生外出时乘车、步行、骑车的人数分布直方图和扇形统计图（两图都不完整），则下列结论中错误的是（）
A．该班总人数为50人 B．骑车人数占总人数的20％
C．步行人数30人 D．乘车人数是骑车人数的2.5倍
），7．某人骑车沿直线旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又原路返回b千米（b a
再前进c千米，则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图为（）。
A． B． C． D．
、、、四个区域栽种观赏植物，要在同一区域种同一种植物，8．一圆形地块，打算分A B C D
相邻（有公共边）的两块里中不同的植物。现有4种不同的植物可供选择，那么所有的栽种方案的Array
个数为 ( )。
A．66 B．68
C．60 D．84
（重庆市竞赛试题）
9．某校参加数学竞赛有120名男生，80名女生；参加英语竞赛有120名女生，80名男生。已知该校总共有260名学生参加了竞赛，其中有75名男生两科竞赛都参加了，问参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生人数有多少人？
（“祖冲之杯”邀赛试题）
10．某人租用一辆汽车由A 城前往B 城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：h ）如图所示。若汽车行驶的平均速度为80km/h 。而汽车每行驶1 km 需要的平均费用为1.2元。试指出此人从A 城出发到B 城的最短线路，并求出所需费用最少多少元？
（全国初中数学竞赛试题）
11.刚回到营地的两个抢险队又接到救灾命令：一分队立即出发赶往30千米外的A 镇;二分队因疲劳可在营地休息a 03a （≤≤）小时再赶往A 镇参加救灾。一分队出发后得知，唯一通往A 镇的道路在里营地10千米处发生塌方，塌方处地形复杂，必须有一分队用1小时打通．已知一分队的行进速度为5千米/时，二分队的行进速度是4a +（）千米/时． （1）若二分队在营地不休息，问二分队几个小时能赶到A 镇？
（2）若需要二分队和一分队同时赶到A 镇，二分队应在营地休息几个小时？
（3）下列图中，①②分别描述一分队和二分队离A 镇的距离y （千米）和时间x （小时）的函数关系，请写出你认为所有可能合理图像的代号，并说明它们的实际意义．
A B C D
(安徽省中考题)
12.已知函数|1|2|1||2|y x x x =+--++错误！未找到引用源。．
（1）在直角坐标系中作出函数图象．
（2）已知关于x 的方程3|1|2|1||2|0kx x x x k +=+--++≠（）错误！未找到引用源。有三解.求k 的取值范围．
（“创新杯”竞赛试题）
27 以形助数 ——借助图形思考
例1 7 提示：设圆周长为9，套成的三角形三边所对的弧长分别为x ，y ，z ，则x+y+z=9，不妨设z y x ≤≤，则（x ，y ，z ）只有（1，1，7），（1，2，6），（1，3，5），（1，4，4），（2，2，5），（2，3，4）和（3，3，3）这7种情形.
例2（1）900 （2）图中点B 的实际意义是：当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇.（3）由图像可
知，慢车12h 行驶的路程为900km ，所以慢车的速度为
12
900
=75km/h ；当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km ，所以慢车和快车行驶的速度之和为4900
=225km/h,所以快车
的速度为150km/h.（4）根据题意快车行驶900km 到达乙地，所以快车行驶150
900
=6h 到达乙地，此时
两车之间的距离为6×75=450km ，所以点C 的坐标为（6，450）.设线段BC 所表示的y 与x 之间的
函数关系式为y=kx+b ，把（4，0），（6，450）带入得???+=+=b k b k 645040，解得?
??-==900225
b k
所以，线段BC 所标示的y 与x 之间的函数关系式为y=225x-900.自变量x 的取值范围是64≤≤x . （5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h ，把x=4.5代入y =225x-900，得y=112.5，此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离112.5km ，所以两列快车出发间隔的时间是112.5÷150=0.75h ，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h.
例3 设只收看A,B,C 三个栏目的观众人数分别为x ，y ，z ，没有收看栏目A 而收看栏目B 和栏目C 的人数为m.不只收看栏目A 的人数为n ，如图所示.
()????
??
?=+++++=-=+=+,
28,,1,2z m y n x z y x x n m z m y 得z=29-4y. 由y-2z=m ≥0得9y-58≥0，∴9
58
≥y
由29-4y=z ≥0得y ≤4
29
，∵y 为整数，∴y=7
从而z=1，x=8，n=7，m=5. 故栏目A 的收视率为
28n x +×100﹪=28
25
×100﹪≈53.6﹪ 例4 第一个是丙，第三个是甲，第五个是丁.
例5如图，A,B,C 三个圆分别表示数学、外语、语文优秀学生的集合，而a ，b ，c ，…，f ，g 则分别表示各类优秀学生的人数，如g 表示数、外、语三科均优秀的学生人数f 表示语、外两科优秀而数学不优秀的学
生人数.
则???
??
?
??
???==+=+=+=+++=+++=+++10,1817,16,29,31,
32g g f g d g e g f e c g f d b g e d a 解得：a=9，b=6，c=5，d=7，e=6，f=8，g=10. 故a+b+c+d+e+f+g=51.说明数、外、语三科中至少有一科优秀的学生共有51人，而全班仅有50人，故统计错误. 【能力训练】
1.2 提示：如图，用5个点表示甲、乙、丙、丁及小强这5个人，如果两个人已经赛过一盘，就在
相应的两个点之间连一条线段
.
2.4.4小时
3.24
4.32﹪ 提示：依照图中数据计算：000
0000
1002
.108.155.12442.10298.1526
5.12?++?+?+?=32﹪
5.5：1
6.C 提示：由直方图可知，乘车人数为25人，由扇形图可知，乘车人数占全班总人数的50﹪.故全班总人数为25÷50﹪=50人.步行人数为50×30﹪=15（人）.骑车人数为50-25-15=10（人）.
7.C
8.D 提示：若A,C种同一种植物，则A,C有4×1种栽种法，B,D都有3种栽种法，共有4×3×3=36种栽种方案；若A,C种不同的植物，则有4×3种载法，B,D都有2种，共有4×3×2×2=48种栽种方案.故共有36+48=84种栽种方案.
9.15人提示：如图，用A,B两个圆分别表示参加
数学竞赛的男、女生人数，用C,D两个圆分别表示参
加英语竞赛的男、女生人数，只参加数学竞赛的男生
人数是120-75=45人，只参加英语竞赛的男生人数是
80-75=5人，设两科都参加的女生人数为x人，则只
参加数学竞赛的女生数为（80-x）人，只参加英语竞
赛的女生人数为（120-x）人，由题意得
120-x+80-x+x+45+75+5=260，解得x=65，故答案为80-x=15人.
10.从A城出发到B城的路线分成如下两类：（1）从A城出发到达B城，经过O城。因为从A城到O 城所需最短时间为24h，从O城到B城所需最短时间为22h，所以，此类路线所需最短时间为24+22=46h.（2）从A城出发到达B城，不经过O城，这时从A城到达B城，必定经过C,D,E城或F,G,H城，所需时间至少为47h.
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专题01 整式的乘除 阅读与思考 指数运算律是整式乘除的基础，有以下5个公式：m n m n a a a +?=， ()m n mn a a =，()n n n ab a b =， (0)m n m n a a a a -÷=≠，01(0)a a =≠，1 (0)p p a a a -= ≠． 学习指数运算律应注意： 1．运算律成立的条件； 2．运算律中字母的意义：既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者多项式； 3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用． 多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是： 1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位； 2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐； 3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止． 例题与求解 【例1】（1）若n 为不等式200 3006n >的解，则n 的最小正整数的值为 ． （“华罗庚杯”香港中学竞赛试题） （2）已知21x x +=，那么432 222005x x x x +--+= ． （“华杯赛”试题） （3）把26 (1)x x -+展开后得121121211210a x a x a x a x a +++++L ，则 121086420a a a a a a a ++++++= ． （“祖冲之杯”邀请赛试题） （4）若5 4 3 2 37629()()()()()x x x x x x a x b x c x d x e -+-++=-----则 ab ac ad ae bc bd be cd ce de +++++++++= ． （创新杯训练试题） 解题思路：对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），目前无法求x 值，可考虑高次多项式用低次多项式表示；对于（3），它是一个恒等式，即在x 允许取值范围内取任何一个值代入计算，故可考虑赋值法；对于（4），可考虑比较系数法．
人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程：二元一次方程组解的讨论
人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程 （10）二元一次方程组解的讨论 【知识精读】 1． 二元一次方程组???=+=+222 111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当2 12121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效） ② 当2 12121c c b b a a ≠=时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的） ③ 当 2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ??? ????--=--=12212 11212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。 3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3） 【分类解析】 例1. 选择一组a,c 值使方程组???=+=+c y ax y x 275 ① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解 解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解 解比例得a=10, c=14。 ② 当 5∶a ＝1∶2≠7∶c 时，方程组无解。 解得a=10, c ≠14。 ③当 5∶a ≠1∶2时，方程组有唯一的解， 即当a ≠10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。 例2. a 取什么值时，方程组? ??=+=+3135y x a y x 的解是正数？ 解：把a 作为已知数，解这个方程组
初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题10 最优化_答案[精品]
专题10 最优化 例1. 4 提示：原式=1 12 - 62 -+）（x . 例2. B 提示：由-1≤y ≤1有0≤≤1，则=22 +16+3y 2 =142 +4+3是开口向上，对称轴为7 1 -=x 的抛物线. 例3. 分三种情况讨论：①0≤a +?）（，∴f (a )=2a ，即2a =2132-2+a ，则?? ? ??=--=413 172b a 综上，（a ，b ）=(1，3)或（17-2-， 4 13 ） 例4. （1） 121≤≤x ，y 2 = 21+216143-2+-）（ x .当=4 3时，y 2 取得最大值1，a =1； 当21= x 或=1时，y 2取得最小值21，b =22.故a 2+b 2=2 3. (2) 如图，AB =8，设AC =，则BC =8- ，AD =2，CD =42+x ，BE =4，CE =16)-8(2+x BF =AD =2. 10)24(816)8(4222222=++=+=≥+=+-++EF DF DE CE CD x x 当且仅当D ，C ，E 三点共线时，原式取最小值.此时△EBC ∽△DAC ，有 22 4 ===DA EB CA BC , 从而=AC = 3831=AB .故原式取最小值时，=3 8. (3)如图， 原式= [] 22222 2 2)24()13()32()01(032--0y x y x -+-+-+-+-+）（）（
初二数学培优竞赛题
―――――－―――――――――――――――装――――――订――――――线――――――――――――――――――――――― 班级 姓名 学号 座位号 考场纪律：正常（ ） 不正常（ ） 初二数学培优竞赛题 1.已知△ABC,∠BAF=Rt ∠，∠D=75°，AB=AD,延长BA 作CE ⊥BA 交AB 于点E, ∠BAG=∠CAF （16分） (1)画出与△ABC 面积相等的三角形（要求与图中的任意一条边重合）（4分） (2)当∠D=80°时其余条件不变△ABC 还与你画的三角形面积相等吗？为什么？ 那么如果∠BAF=80°呢？（任选一个你画的三角形证明）（6分） (3)根据(2)(3)题你得出的结论说明在什么条件下才能使你画的三角形于与△ABC 的面积相同（6分） 2.已知直线y=x+3交x 于A ，y 于B ，直线y=-x+2,交x 于C ，y 于D,P 为AB 的中点，过点P,（4，0）两点画直线，交直线y=-x+2于Q （14分） (1)求A,B,C,D,P,Q 的坐标（3分） (2)求直线P,（4，0）的函数表达式（2分） (3)求∠BPQ 的度数（5分） (4)若直线AB 上有点K ，连结KQ ，当△PKQ 为等腰三角形时，求QK 的长以及△PKQ 的面积（4分） 3.已知函数y = -2*x + 3与函数y=ax+b 的夹角为30°（11分） （1）求a,b 的值（1分） （2）设函数y = -2*x + 3在第四象限交的第三个格点为P ，交y 于A 函数y=ax+b 交x 于B ，求ΔABP 的面积和周长（4分） （3）如果直线l 平行于直线y=ax+b ，并与x 轴交于点C,且点C 与点B 对称，求ΔCAP 的
最新沪科版七年级数学培优竞赛训练一
培优竞赛训练一 1. 有理数a ，b ，c 在数轴上对应点位置如图所示，用“＞”或“＜”填空： (1)｜a ｜______｜b ｜； (2)a ＋b ＋c ______0： (3)a －b ＋c ______0； (4)a ＋c ______b ； (5)c －b ______a ． 2. 已知321===c b a ，，，且c b a >>，那么c b a -+＝ ． 3. 已知d c b a 、、、是有理数，169≤-≤-d c b a ，，且25=+--d c b a ， 那么=---c d a b ． 4. 若有理数x 、y 满足2002(x 一1)2 +0112=+-y x ，则=+2 2y x ． 5. a 与b 互为相反数，且54=-b a ，那么1 2+++-ab a b ab a ＝ ． 6. 设0=++c b a ，0>abc ，则c b a b a c a c b +++++的值是（ ）． A ．-3 B ．1 C ．3或-1 D ．-3或1 7. 若｜x ｜＝x ，并且｜x －3｜＝3－x ，请求出所有符合条件的整数x 的值，并计算这些值 的和． 8. 已知m ，n 为整数，且｜m －2｜＋｜m －n ｜＝1，求m ＋n 的值． 9. ｜x －1｜＋｜y ＋2｜＋｜z －3｜＝0，则(x －1)(y －2)(z ＋3)的值为( )． (A)48 (B)－48 (C)0 (D)xyz 10. 巧算下列各题： (1))2004 11)(120031( )151)(411)(131)(211(--?---- (2)666663333222299999?-? 11. 式子| |||||ab ab b b a a ++的所有可能的值有( )． (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)无数个 12. 13. 如果c b a 、、是非零有理数，且0=++c b a ，那么 abc abc c c b b a a +++的所有可能
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专题01 二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入 适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值. 数学思想： 数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数） 例题与求解 【例1】 当x = 时，代数式32003 (420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、2003 2- （绍兴市竞赛试题） 【例2】 化简 （1(b a b ab b -÷-- （黄冈市中考试题） （2 （五城市联赛试题）
（3 （北京市竞赛试题） （4 （陕西省竞赛试题） 解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解. 思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少？ （西安交大少年班入学试题） 解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y == 想一想：设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题） 的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.
七年级数学竞赛培优(含解析)专题27 以形借数
27 以形借数——借助图形思考 阅读与思考 数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题，就解题而言，数与形的恰当结合，常常有助于问题的解决，美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并且能创造性地思考问题的解法”．将问题转化为一个图形，把问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来，是一个十分重要的解题方法，现阶段借助图形思考是指以下两个方面： 1．从给定的图形获取解题信息 数学问题的表述方法很多，既有用文字叙述的，也有通过图形（如数轴、图表、平面图形等）来呈现的，善于从给定的图形获取解题信息是一个重要技能． 2．有意地画图辅助解题 图形能直观、形象地表示数量及关系，解题中有意地画图（如画直线图、列表、构造图形等）能帮助分析理顺复杂数量关系，使问题获得简解． 阅读与思考 【例1】如图，圆周上均匀地钉了9枚钉子，钉尖朝上，用橡皮筋套住 其中的3枚，可套得一个三角形，所有可以套出来的三角形中，不同 形状的共有____________种。 （“五羊杯”竞赛试题） x y z则解题思路：圆周长保持不变，设圆周长为9，套成的三角形三边所对应的弧长分别为,,, ≤≤，借助图形分析，找出满足条件的整数解即可。 ++=。不妨设x y z 9 x y z
【例2】一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为 ．．．．．．．．y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系。根据图像进行一下探究： 信息读取 （1）甲、乙两地之间的距离为___________km。 （2）请解释图中点B的实际意义。 图像理解 （3）求慢车和快车的速度。 （4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。 问题解决 （5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同。在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇。求第二列快车比第一列快车晚车发多少小时？ （江苏省南京市中考试题）解题思路：函数图像包含了两种不同层次的信息：有慢车行驶900km用了12h等可直接感知的浅层结构信息，也有在0～4小时之间以及稍后的一段时间内，快车和慢车的速度之和为定值和C点表示快车在某一时刻已到达终点等需要经过分析或运算才能获得的深层结构的信息。
初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题25 配方法-精编
专题 25 配方法 阅读与思考 把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧. 配方法的作用在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具. 配方法解题的关键在于“配方”，恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧，常见的等式有： 1、222 2()a ab b a b ±+=± 2、2 a b ±= 3、2222 222()a b c ab bc ca a b c +++++=++ 4、2 2 2 2221 [()()()]2 a b c ab bc ac a b b c a c ++---= -+-+- 配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键在于： (1) 具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如2 a = 能 联想起配方法. (2) 具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式. 例题与求解 【例1】 已知实数x ，y ，z 满足2 5,z 9x y xy y +==+- ，那么23x y z ++=_____ (“祖冲之杯”邀请赛试题) 解题思路：对题设条件实施变形，设法确定x ， y 的值. 【例2】 若实数a ，b ， c 满足222 9a b c ++= ，则代数式2 2 2 ()()()a b b c c a -+-+- 的 最大值是 ( ) A 、27 B 、18 C 、15 D 、12 (全国初中数学联赛试题) 解题思路：运用乘法公式 ，将原式变形为含常数项及完全平方式的形式.
七年级数学培优竞赛教案
奥数培训之趣味数学 生活中的数学： 1、诗仙李白豪放豁达，有斗酒诗百篇的美名，为唐代“饮中八仙”之一， 民间流传李白买酒歌谣，是一道有趣的数学问题：李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一抖，三遇店和花，喝完壶中酒。试问：酒壶中原有多少酒？ 解：设酒壶中原有酒x 斗，“三遇店和花”意思是李白三遇店，同时也三见花。 第一次见店又见花后，酒有：12-x ； 第二次见店又见花后，酒有：1-122）（ -x ； 第三次见店又见花后，喝完壶中酒，所以 依题意，得 ()[]0111222=---x 解方程，得 87= x 答：酒壶中原有酒8 7斗。 2、有甲乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我一只，我的羊数就是你的羊数的2倍。”乙回答说：“最好还是把你的羊给我一只，我们的羊数就一样了”，求两个牧童各有多少只羊。 解：设甲有x 只羊，乙有y 只羊。依题意，得 ()? ??+=--=+11121y x y x 解方程组，得? ??==57y x 所以甲牧童有羊7只，乙牧童有5只。 3、一片牧场上的草长得一样快，已知60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完．那么，若在120天里将草吃完，则需要（ ）头牛 A 、16 B 、18 C 、20 D 、22 分析：设草一天增加量是a ，每头牛每天吃的草的量是b ，原有草的量是c ，根据60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完，列方程组，用其中一个未知数表示另一个未知数即可求解。
解：设草一天增加量是a ，每头牛每天吃的草的量是b ，原有草的量是c 。 根据题意，得 ???==???+=?+=?b c b a a c b a c b 120010606030242460解得， 则若在120天里将草吃完，则需要牛的头数是20120120=+b a c 。故选C 。 4、杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A ．一样多． B ．多了． C ．少了． D ．多少都可能． 解：设杯中原有水量为a ，依题意可得， 第二天杯中水量为a ×(1－10%)=0.9a ； 第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a ； 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为199.01.19.01.19.0<=?=??a a 。 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C ． 5、 甲杯中盛有2m 毫升红墨水，乙杯中盛有m 毫升蓝墨水，从甲杯倒出a 毫升到乙杯里（0＜a ＜m ），搅匀后，又从乙杯倒出a 毫升到甲杯里，则这时( )。 A ．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少． B ．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多． C ．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同． D ．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定． 解：从甲杯倒出a 毫升红墨水到乙杯中以后： 乙杯中含红墨水的比例是a m a +， 乙杯中含蓝墨水的比例是 a m m +， 再从乙杯倒出a 毫升混合墨水到甲杯中以后： 乙杯中含有的红墨水的数量是毫升a m ma a m a a a +=+?- ①
初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题08 二次函数_答案[精品]
专题08 二次函数 例1 C ． 提示：③④⑤成立． 对于④，当x ＝－l 时，y ＝a b c -+＜0，∴a c +＜b ．又∵2b a - ＝1，则a ＝2b -代入上式，得2c ＜3b ； 对于⑤，当x ＝1时，max y ＝a b c ++，∴a b c ++＞2am bm c ++，则a b +＞()m am b +（m ≠1）． 例2 B ． 提示：S ＝2b ，b ＞0，b ＝1a +，a ＜0． 例3 （1）O （0，0），B （2，—10），y ＝22510 63 x x - +． （2）x ＝3325-＝85时，y ＝163-，此时运动员距水面的高为10－163＝14 3＜5，故此次试跳会出现失误． 例4 （1）y 24)x - （2）P （0 ，）； （3）由点点A （l ，0），C （4 ，，B （7，0）得∠BAC ＝∠ABC ＝30°，∠ACB ＝120°． ①若以AB 为腰，∠BAQ 为顶角，使△ABQ ∽△CBA ，则Q （－2 ，； ②若以BA 为腰，∠ABQ ′为顶角，由对称性得另一点Q ′（10 ，； ③若以AB 为底，AQ 、BQ 为腰．则Q 点在抛物线的对称轴上，舍去． 例5 由 NP BC CN -＝BF AF ，得34NP x --＝12，∴NP ＝152 x -+，∴y ＝1(5)2x x -+＝21 (5)12.52x --+（2≤x ≤4） ．∵y 随x 的增大而增大，∴当x ＝4时，y 有最大值为21 (45)12.52 -?-+＝12． 例6 （l ）y 2 （2） ①令2＝0，得1x ＝－1，2x ＝1，则抛物线1c 与x 轴的两个交点坐标为（－1，0），（1，0）．∴ A （1m --，0）， B （1m -，0）．同理可得D （1m -+，0），E （1m +，0）．当AD ＝1 3AE 时，如图 1， (1)(1)m m -+---＝[]1(1)(1)3m m +---， ∴m ＝12．当AB ＝1 3 AE 时，如图2，(1)(1)m m ----＝ []1(1)(1)3m m +---，∴m ＝2．∴当m ＝1 2 或2时，B 、D 是线段AE 的三等分点．
初一数学培优专题讲义一 有理数及其运算(完整资料).doc
此文档下载后即可编辑 初一数学培优专题讲义一 有理数及其运算 一、 有理数的基本概念梳理与强化： （一）几个小知识点的梳理与强化：小知识点是常考的考点，也是易错点。理清小知识点，减少失误 1.字母可以表示任意有理数，不能说a 一定是正数，-a 也不一定是负数 2.相反数等于本身的数是 ；平方等于本身的数是 ；立方 等于本身的数是 ；倒数等于本身的数是 。 3.互为相反数的两个数的绝对值相等。若|－x |=|2 1-|，则x =______； 若|x |=|－4|，则x =____； 若-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿；若-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿ 4.互为相反数的两个数的平方相等。如果 ，那么a=____；若 x 2=(－2)2，则x =_______. 5.注意乘方中括号的作用。（－2）3的底数是_______，结果是_______； －32的底数是_______，结果是_______；n 为正整数，则（－1）2n =_ __, (－1) 2n +1=_ __。计算： （1） = ； （2） = ； （3） = ；（4） = （5） = 6.a 的相反数是 ；a+b 的相反数是 ；a-b 的相反数 是 ；-a+b-c 的相反数是 ； 变式训练：若a ＜b ，则∣a-b ∣= ，-∣a-b ∣= （二）突破绝对值的化简： 7.绝对值即距离，则0≥a 8.绝对值的代数定义用式子可表示为：（体现分类讨论的思想） （a ＞0） |a| = （a ＝0 ） （a ＜0 ） 9.绝对值的非负性： 162=a
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