高考压轴题瓶颈系列之——浙江卷数列
【见证高考卷之特仑苏】
1. 【2014年.浙江卷.理19】(本题满分14分)已知数列{}n a 和{}n b ()()*
∈=N n a a a n
b n 2
2
1 .
若
{}n a 为等比数列,且.6,2231b b a +==
(Ⅰ)求
n
a 与
n
b ;
(Ⅱ)设()
*
∈-=
N n b a c n
n n 1
1。记数列{}n c 的前n 项和为n S .
(i )求
n
S ;
(ii )求正整数k ,使得对任意*∈N n ,均有n k S S ≥.
2. 【2011年.浙江卷.理19】(本题满分14分)已知公差不为0的等差数列
{}
n a 的首项
1a a
=
(a R ∈),设数列的前n 项和为n S ,且11a ,21a ,41a 成等比数列
(Ⅰ)求数列
{}
n a 的通项公式及
n
S
(Ⅱ)记
1231111
...n n A S S S S =
++++
,
212221111...n n B a a a a =++++,当2n ≥时,试比较
n
A 与
n
B 的大
3. 【2008年.浙江卷.理22】(本题14分)已知数列
{}n a ,0≥n a ,01=a ,
22111()
n n n a a a n N ?+++-=∈.
n
n a a a S +++= 21)1()1)(1(1
)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++=
.
求证:当?
∈N n 时,(Ⅰ)1
+ 2 ->n S n ;(Ⅲ) 3 4. 【2007年.浙江卷.理21】(本题15分)已知数列{} n a 中的相邻两项 21,2k k a a -是关于x 的 方程2 (32)320k k x k x k -++=的两个根,且212(1,2,3,) k k a a k -≤= (Ⅰ)求 1,357 ,,a a a a ; (Ⅱ)求数列 {} n a 的前2n 项的和 2n S ; (Ⅲ)记1|sin |()(3)2sin n f n n =+,(2)(3)(4)(1) 123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----= ++++ 求证:*15 () 624n T n N ≤≤∈ 5. (2015年浙江卷第20题) 2*111,()2 n n n a a a a n N += =-∈ (1)求证:1 12n n a a +≤ ≤ (2)设数列2 {}n a 的前n 项和为n S ,证明: *11()2(2)2(1) n S n N n n n ≤≤∈++ 6.【2016高考浙江理数】设数列{}n a 满足 1 12n n a a +- ≤,n *∈N . (I )证明: () 1122n n a a -≥-,n * ∈N ; (II )若 32n n a ?? ≤ ? ??,n *∈N ,证明:2n a ≤,n *∈N . 【例题讲解之伊利奶粉】 例1.(浙江省新高考研究联盟2017届高三下学期期初联考)已知数列{}n a 满足a 1=3, 2*12,n n n a a a n N +=+∈ , 设2log (1)n n b a =+. (I )求{}n a 的通项公式; (II )求证:11 1 1+ +++ (2)23 1 n n n b <≥-; (III )若2n c n b =,求证:2≤1( )n n n c c +<3. 例2.(浙江省温州中学2017届高三3月高考模拟)正项数列{}n a 满足 221132n n n n a a a a +++=+,11a =. (Ⅰ)求2a 的值; (Ⅱ)证明:对任意的n N * ∈,12n n a a +≤; (Ⅲ)记数列{}n a 的前n 项和为n S ,证明:对任意的n N * ∈,1 1 232n n S --≤<. 例3.(浙江省温州市十校联合体2017届高三上学期期末)已知数列{}n a 满足 2 1111,8 n n a a a m +== +, (1)若数列{}n a 是常数列,求m 的值; (2)当1m >时,求证:1n n a a +<; (3)求最大的正数m ,使得4n a <对一切整数n 恒成立,并证明你的结论。 例4.(浙江省温州市2017届高三下学期返校联考)设数列{}{},n n a b 均为正项数列,其中 1122,1,3a b b ===,且满足: ,11,n n n a b a ++成等比数列,,1,n n n b a b +成等差数列。 (Ⅰ)(1)证明数列是等差数列; (2)求通项公式n a ,n b 。 (Ⅱ)设1(2)n n x n a = +,数列{}n x 的前n 项和记为n S ,证明:1 2 n S <。 例5.(浙江省台州市2017届高三上学期期末质量评估)已知数列{}n a 满足112 a = ,2 12016 n n n a a a +=+,n N * ∈ (1) 求证 1n n a a +> (2) 求证20171a < (3) 若证1k a >,求证整数k 的最小值。 例6.(浙江省杭州高级中学2017届高三2月高考模拟考试)数列{}n a 定义为10a >, 11a a =,2112 n n n a a a +=+,n N * ∈ (1)若1(0) 12a a a a =>+,求1210111222a a a ++???++++的值; (2)当0a >时,定义数列{}n b ,1(12)k b a k =≥ ,11n b +=- 数,()i j i j ≤ ,使得2 112 i j b b a a +=++。如果存在,求出一组(,)i j ,如果不存在,说明理由。 例7.(2017年浙江名校协作体高三下学期)函数4 ()415 f x x =+, (Ⅰ)求方程()f x x =的实数解; (Ⅱ)如果数列{}n a 满足11a =,1()n n a f a +=(n N *∈),是否存在实数c ,使得 221n n a c a -<<对所有的n N *∈都成立?证明你的结论. (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,证明:121 4 n n a a a n <+++≤L . 例8.(2017年4月湖州、衢州、丽水三地教学质量检测)数列{}n a 满足112 a = ,2 12 1 n n n n a a a a += -+n +∈N () (1)证明:n n a a <+1; (2)设}{n a 的前n 项的和为n S ,证明:1n S <. 例9.(2017年4月浙江金华十校联考)数列{}n a 满足11a =,11 n n a a n +=n +∈N () (1) 求证: 21 n n a a n n +=+; (2) 求证:342 1111....23(1)) n n a a n a +≤+++≤+ 例10.(2017年4月高二期中考试)数列{}n a 满足11a =,11 n n n a a a +=+ n +∈N (),其中1n a ??? ???前n 项和为n S ,其中21n a ?? ???? 前n 项和为n T (1) 求证:1n n a a +<; (2)求证:2 121n n T a n +=-- (3) 1n S -<< 例11.(2017年4月稽阳联谊高三联考)已知数列{}n a 满足01 3 a = , n a = n +∈N ),2 2n n n b a a =-, 其中{}n b 的前n 项和为n S , (1) 求证:11n n a a -<<; (2)求证:()1 022 n S n n <<-≥ 例12.(2017年4月温州市普通高中模拟考试)已知数列{}n a 的各项都是正数, 12 1n n n a a a +=+ -, 其中{}n a 的前n 项和为n S , 若数列{}n a 为递增数列求1a 的取值范围 例13:(2016浙江高考样卷20题) 已知数列{}n a 满足11a =,*11()21 n n a n N a += ∈+. (Ⅰ) 证明:数列12n a ?? - ???? 为单调递减数列; (Ⅱ) 记n S 为数列{}1n n a a +-的前n 项和,证明:*5()3 n S n N <∈. 例14:(2016杭州市第一次模拟质量检测)已知数列{}n a 满足11 2 a = ,2*11 ()n n n a a a n N +=++∈. (1) 证明: 1 3n n a a +≥; (2) 证明:数列1n a ?? ???? 前n 项的和为n s ,那么3n S < 例15:(2016宁波市第一次模拟质量检测)对任意正整数n,设n a 是方程2 1x x n + =的正根, 求证:(1) 1 a a n n >+ (2) 11111112323123a a na n n ++???+<+++???+- 例16:(2016温州市第一次模拟质量检测)数列错误!未找到引用源。满足11 02 a << ,n n n a a a 61 1+= + (Ⅰ) 证明:2121 (N )2 n n a a n -+< <∈; (Ⅱ)若11 3 a = ,求证:213214 ||||||(N )3 n n a a a a a a n ++-+-++-<∈. (本题与例13的题型一样) 例17:(2016年金华市模拟)已知数列{}n a 的首项为11a =,且14 1 n n n a a a ++=+,()*n ∈N . (Ⅰ)求证:21212n n a a -+<<; (Ⅱ)令212n n b a -=-,12n n S b b b =+++.求证:917 1896n n S ???? -≤? ? ?? ???? . 例18:(2016名校联盟第一次模拟20)设数列{}n a 满足2* 11,1()n n n a a a a a n N +=-=∈. (Ⅰ)若35 2 a = ,求实数a 的值; (Ⅱ)若1a = ,求证:*2,)n a n n N <≥∈. 例19.(2016嘉兴一模)数列{}n a 各项均为正数,112 a = ,且对任意的* n N ∈,有2 1(0)n n n a a ca c +=+>. (Ⅰ)求 123 1 11c c ca ca a ++++的值; (Ⅱ)若12016 c = ,是否存在* n N ∈,使得1n a >,若存在,试求出n 的最小值,若不存在,请说明理由. (本题就是例5,不过要判断出11,1n n a a -<>的界限) 例20.(2016浙江六校联考20)已知数列{}n a 满足:114 ()2n n n a a a += +; (Ⅰ)若341 20 a = ,求1a 的值; (II )若14a =,记2n n b a =-,数列{}n b 的前n 项和为n S ,求证:83 n S < 例21(2016丽水一模20)已知数列{}n a 满足:2* 12()n n a a n N +=-∈,且 11 (01)a a a a =+<<. (Ⅰ)证明:1n n a a +>; (Ⅱ)若不等式 112123 123 111112 n a a a a a a a a a a ++++ < 对任意* n N ∈都成立, 求实数a 的取值范围. 例22.(2016十二校联考20).已知各项为正的数列{}n a 满足 22*11 112 ,()233 n n n a a a a n N +==+∈. (I )证明:* 101()n n a a n N +<<<∈; (II )求证:*129 ()4 n a a a n n N +++>-∈. 例23. (2016宁波十校20)设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足1 3 n n S n r a =+. (Ⅰ)若1=2a ,求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,设*21 1(N )n n b n a -=∈,数列{}n b 的前n 项和为n T , 求证:231 n n T n ≥+. 例24. (2016桐乡一模20)设函数2 (),f x ax bx a b R =+∈、.若2 31()62x f x x --≤≤+ 对任意的x R ∈恒成立.数列{}n a 满足*111 ,()()3 n n a a f a n N += =∈. (Ⅰ)确定()f x 的解析式;(Ⅱ)证明: 11 32 n a ≤<; (Ⅲ)设n S 为数列{}n a 的前n 项和,求证:1 4213n n S n ≥-+. 例25.(2016大联考 20).已知数列{}n a 满足2 *11,n n a ca c n N +=+-∈, 其中常数1 (0,)2 c ∈. (1)若21a a >,求1a 的取值范围; (2)若1(0,1)a ∈,求证:对任意*n N ∈,都有01n a <<; (3)若1(0,1)a ∈,设数列{} 2 n a 的前n 项和为n S .求证:2 12n S n c >- -. 例26.(2016宁波二模)已知数列{}n a 中,11a =,212 n n n a a ta +=+. (Ⅰ)若t=0,求数列{}n a 的通项公式。 (Ⅱ)若t=1,求证:12122242 232223 n n na a a a a a ≤+++<+++。 2011高考数学压轴题专题训练--数列(36页WORD ) 第六章 数列 高考题 三、解答题 22.(2009全国卷Ⅰ理)在数列{}n a 中,1111 1,(1)2 n n n n a a a n ++==++ (I )设n n a b n = ,求数列{}n b 的通项公式 (II )求数列{}n a 的前n 项和n S 分析:(I )由已知有 1112n n n a a n n +=++11 2 n n n b b +∴-= 利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1 122 n n b -=-(* n N ∈) (II )由(I )知1 22n n n a n -=- , ∴n S =11(2)2n k k k k -=-∑111(2)2n n k k k k k -===-∑∑ 而 1 (2)(1)n k k n n ==+∑,又11 2n k k k -=∑ 是一个典型的错位相减法模型, 易得 11 12 42 2n k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++- 评析:09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n 项和,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 23.(2009北京理)已知数集{}()1212,, 1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ;对任意的 (),1i j i j n ≤≤≤,i j a a 与 j i a a 两数中至少有一个属于A . (Ⅰ)分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ,并说明理由; 数学高考《数列》试题含答案 一、选择题 1.已知等比数列{a n },a n >0,a 1=256,S 3=448,T n 为数列{a n }的前n 项乘积,则当T n 取得最大值时,n =( ) A .8 B .9 C .8或9 D .8.5 【答案】C 【解析】 【分析】 设等比数列{a n }的公比为q ,由a n >0,可得q >0.根据a 1=256,S 3=448,可得256(1+q +q 2)=448,解得q .可得a n ,T n ,利用二次函数的单调性即可得出. 【详解】 设等比数列{a n }的公比为q ,∵a n >0,∴q >0. ∵a 1=256,S 3=448, ∴256(1+q +q 2)=448, 解得q 12= . ∴a n =2561 1()2 n -?=29﹣n . T n =28?27?……?2 9﹣n =2 8+7+…+9﹣n ()217 289[)89242 2 22 n n n ??--- ?+-? ?==. ∴当n =8或9时,T n 取得最大值时, 故选C . 【点睛】 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、二次函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 2.已知等比数列{}n a 满足13a =,13521a a a ++=,则357a a a ++=( ) A .21 B .42 C .63 D .84 【答案】B 【解析】 由a 1+a 3+a 5=21得24242 1(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2 135()22142q a a a ++=?=,选B. 3.数列{}n a 的通项公式为( )n a n c n N * =-∈.则“2c <”是“{}n a 为递增数列”的( ) 条件. A .必要而不充分 B .充要 C .充分而不必要 D .即不充分也不必要 高考数列压轴题选讲 1、已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ,记()*3,.f n n a n N =∈ (1)求数列}{n a 的通项公式; (2)设n n n n n b b b T a b +++== 21,2 ,若)(Z m m T n ∈<,求m 的最小值; (3)求使不等式12)11()11)(11(21+≥+++n p a a a n 对一切*N n ∈均成立的最大实数p . 解:(1)由题意得???=+=+2)5(log 1)2(log 33b a b a ,解得? ??-==12b a , )12(log )(3-=∴x x f *)12(log ,123 3N n n a n n ∈-==- (2)由(1)得n n n b 212-=, n n n n n T 2 122322523211321-+-++++=∴- ① 2311113252321222222 n n n n n n n T -+---=+++++ ② ①-②得12311112222212222222n n n n n T -+-=++++ +- 1122111111121()222 222n n n n --+-=+++++-112122123+----=n n n . n n n n n n T 23232122132+-=---=∴-, 设*,232)(N n n n f n ∈+=,则由1512132121)32(252232252) ()1(1<+≤++=++=++=++n n n n n n f n f n n 得*,2 32)(N n n n f n ∈+=随n 的增大而减小+∞→∴n 当时,3→n T 又)(Z m m T n ∈<恒成立,3min =∴m (3)由题意得*21)11()11)(11(1 21N n a a a n p n ∈++++≤对 恒成立 记)11()11)(11(121)(21n a a a n n F ++++= ,则 1)1(4)1(2)32)(12(22)11()11)(11(121)11)(11()11)(11(321) ()1(221121-++=+++=+++++++++=++n n n n n a a a n a a a a n n F n F n n n 1)1(2)1(2=++>n n )(),()1(,0)(n F n F n F n F 即>+∴> 是随n 的增大而增大 高考压轴题瓶颈系列之——浙江卷数列 【见证高考卷之特仑苏】 1. 【2014年.浙江卷.理19】(本题满分14分)已知数列{}n a 和{}n b ()()* ∈=N n a a a n b n 2 2 1 . 若 {}n a 为等比数列,且.6,2231b b a +== (Ⅰ)求 n a 与 n b ; (Ⅱ)设() * ∈-= N n b a c n n n 1 1。记数列{}n c 的前n 项和为n S . (i )求 n S ; (ii )求正整数k ,使得对任意*∈N n ,均有n k S S ≥. 2. 【2011年.浙江卷.理19】(本题满分14分)已知公差不为0的等差数列 {} n a 的首项 1a a = (a R ∈),设数列的前n 项和为n S ,且11a ,21a ,41a 成等比数列 (Ⅰ)求数列 {} n a 的通项公式及 n S (Ⅱ)记 1231111 ...n n A S S S S = ++++ , 212221111...n n B a a a a =++++,当2n ≥时,试比较 n A 与 n B 的大 3. 【2008年.浙江卷.理22】(本题14分)已知数列 {}n a ,0≥n a ,01=a , 22111() n n n a a a n N ?+++-=∈. n n a a a S +++= 21)1()1)(1(1 )1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++= . 求证:当? ∈N n 时,(Ⅰ)1 + 高考数学压轴题:交集数列 数列中一类元素交并问题,实际考查思想方法,如最小公倍数、余数分析法,二项式定理应用. 类型一 两个等差数列取交集数列问题 典例1. 若数列{}n a 的通项公式为232n n a +=- ,数列{b }n 的通项公式为n b 5 34 n =--. 设集合* {|2,}n A x x a n N ==∈, *{|4,}n B y y b n N ==∈.若等差数列{}n c 任一项 1,n c A B c ∈是A B 中的最大数,且10265125c -<<-,求{}n c 的通项公式. 类型二 一个等差数列和一个二次型数列取交集数列问题 典例2已知数列{n a }的通项公式为72n a n =+,数列{n b }的通项公式为2 n b n =.若将数 列{n a },{n b }中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{n c },则数列{}n c 的通项公式为____. 类型三 一个等差数列和一个指数型数列取交集数列问题 典例3 已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为319n a n =-, 2n n b =.将{}n a 与{}n b 中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为{}n c . (1)试写出1c ,2c ,3c ,4c 的值,并由此归纳数列{}n c 的通项公式; (2)证明你在(1)所猜想的结论. 1. 设数列{a n }的通项公式为12-=n a n ,数列{b n }的通项公式为b n =3n -2.集合A ={x ∣x =a n ,n ∈N * },B ={x ∣x =b n ,n ∈N * }.将集合A ∪B 中的元素从小到大依次排列, 构成数列c 1,c 2,c 3,…,则{c n }的通项公式为___________. 2. 已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差d 不等于0,设13,,k a a a 是公比为q 的等比数列{}n b 的前三项, (1)若k=7,12a = (i )求数列{}n n a b 的前n 项和T n ; 1 / 16 高考压轴题瓶颈系列之 ——浙江卷数列 【见证高考卷之特仑苏】 1. 【2014年.浙江卷.理19】(本题满分14分)已知数列 {}n a 和{} n b ()()* ∈= N n a a a n b n 221Λ.若{}n a 为等比数列,且. 6,223 1 b b a +== (Ⅰ)求 n a 与 n b ; (Ⅱ)设() * ∈-= N n b a c n n n 11。记数列{}n c 的前n 项和为n S . (i )求 n S ; (ii )求正整数k ,使得对任意* ∈N n ,均有n k S S ≥. 2. 【2011年.浙江卷.理19】(本题满分14分)已知公差不为0的等差数列 {} n a 的首项 1a a = (a R ∈),设数列的前n 项和为n S ,且11a ,21a ,41 a 成等比数列 (Ⅰ)求数列 {} n a 的通项公式及 n S (Ⅱ)记1231111 ...n n A S S S S = ++++ , 212221111...n n B a a a a =++++,当2n ≥时,试比 较 n A 与 n B 的大2011高考数学压轴题专题训练
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