1、(本小题满分14分)
已知函数.
(1)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围;
(2)当时,试比较与的大小;
(3)求证:().
2、设函数,其中为常数.
(Ⅰ)当时,判断函数在定义域上的单调性;
(Ⅱ)若函数的有极值点,求的取值范围及的极值点;
(Ⅲ)当且时,求证:.
3、在平面直角坐标系中,已知椭圆.如图所示,斜率为且不过原点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直线于点.
(Ⅰ)求的最小值;
(Ⅱ)若?,(i)求证:直线过定点;
(ii )试问点,能否关于轴对称?若能,求出
此时的外接圆方程;若不能,请说明理由.
二、计算题
评卷人得分
(每空?分,共?分)4、设函数的图象在点处的切线的斜率为,且函数为偶函数.若函数满足下列条件:①;②对一切实数,不等式恒成立.
(Ⅰ)求函数的表达式;
(Ⅱ)求证:.
5、已知函数:
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数的图像在点处的切线的倾斜角为,问:在什么范围取值时,函数在区间上总存在极值?
(3)求证:.
6、已知函数=,.
(Ⅰ)求函数在区间上的值域;
(Ⅱ)是否存在实数,对任意给定的,在区间上都存在两个不同的,使得成立.若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)给出如下定义:对于函数图象上任意不同的两点,如果对于函数图象上的点(其中总能使得
成立,则称函数具备性质“”,试判断函数是不是具备性质“”,并说明理由.
7、已知函数
(Ⅰ)若函数是定义域上的单调函数,求实数的最小值;
(Ⅱ)方程有两个不同的实数解,求实数的取值范围;(Ⅲ)在函数的图象上是否存在不同两点,线段的中点的横坐标为,有成立?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.
8、已知函数:
⑴讨论函数的单调性;
⑵若函数的图象在点处的切线的倾斜角为45o,对于任意的,函数
在区间上总不是单调函数,求m的取值范围;
⑶求证:.
9、已知正方形的中心在原点,四个顶点都在函数图象上.(1)若正方形的一个顶点为,求,的值,并求出此时函数的单调增区间;
(2)若正方形唯一确定,试求出的值.
10、已知函数,曲线在点处的切线方程为.(I)求a,b的值;
(II)如果当x>0,且时,,求k的取值范围.
11、设函数f(x)=x2+b ln(x+1),其中b≠0.
(Ⅰ)当b>时,判断函数f(x)在定义域上的单调性;
(Ⅱ)求函数f(x)的极值点;
(Ⅲ)证明对任意的正整数n,不等式ln)都成立.
12、如图7,椭圆的离心率为,x轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长。
(Ⅰ)求,的方程;
(Ⅱ)设与y轴的焦点为M,过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.
(i)证明:MD⊥ME;
(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是,.问:是否存在直线l,使得=?
请说明理由。
13、已知点是直角坐标平面内的动点,点到
直线的距离为,到点的
距离为,且.
(1)求动点P所在曲线C的方程;
(2)直线过点F且与曲线C交于不同两点A、
B(点A或B不在x轴上),分别过A、B点作直线的垂线,对应的垂足分别为,
试判断点F与以线段为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况);
(3)记,,(A、B、是(2)中的点),问是否存在实数,使成立.若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
进一步思考问题:若上述问题中直线、点、曲线C:
,则使等式成立的的值仍保持不变.请给出
你的判断 (填写“不正确”或“正确”)(限于时间,这里不需要举反例,或证明).
14、如图,在轴上方有一段曲线弧,其端点、在轴上(但不属于),对上任一点及点,,满足:.直线,分别交直线于,两点.
(1)求曲线弧的方程;
(2)求的最小值(用表示);
(3)曲线上是否存点,使为正三角形?若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由.
15、设、是函数的两个极值点.
(1)若,求函数的解析式;
(2)若,求的最大值.
(3)若,且,,求证:.
16、已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)设,若对任意,,不等式
恒成立,求实数的取值范围.
17、已知函数
(1)若曲线处的切线平行,求a的值;
(2)求的单调区间;
(3)设是否存在实数a,对
均成立;若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由。
18、已知函数图象的对称中心为,且的极小值为. (1)求的解析式;
(2)设,若有三个零点,求实数的取值范围;
(3)是否存在实数,当时,使函数
在定义域[a,b] 上的值域恰为[a,b],若存在,求出k的范围;若不存在,说明理由.
19、已知函数.
(1)若方程在区间内有两个不相等的实根,求实数的取值范围;(2)如果函数的图像与x轴交于两点,且,求证:(其中,是的导函数,正常数满足).20、已知函数f(x)=a x+x2-x ln a(a>0,a≠1).
(1)当a>1时,求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(2)若函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,求t的值;
(3)若存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1,试求a的取值范围.
21、已知函数处取得极小值,其图象过点A(0,1),且在点A 处切线的斜率为—1。
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)设函数上的值域也是
,则称区间为函数的“保值区间”。证明:当不存在“保值区间”;
22、已知函数
(1)求证函数上的单调递增;
(2)函数有三个零点,求t的值;
(3)对恒成立,求a的取值范围。
23、已知函数,其中
(Ⅰ)若函数上有极值,求的取值范围;
(Ⅱ)若函数有最大值(其中为无理数,约为2.71828),求的值;
(Ⅲ)若函数有极大值,求的值。
24、已知函数。
(1)若函数在区间上存在极值,其中,求实数的取值范围;
(2)如果当时,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)求证:
25、已知函数,,其中R.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)若在其定义域内为增函数,求正实数的取值范围;
(Ⅲ)设函数,当时,若,,总有成立,求实数的取值范围.
26、已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)设m>0,求在[m,2m]上的最大值;
(3)试证明:对任意N+,不等式<恒成立.
27、已知函数
(1)求函数的单调区间;
(2)设,求证:;
(3)设,求证:.
28、已知二次函数对都满足且,设函数
(,).
(Ⅰ)求的表达式;
(Ⅱ)若,使成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)设,,求证:对于,恒有
.
29、已知函数
不等式求实数的取值范围;
(3)若函数
30、已知函数
(Ⅰ)若函数是定义域上的单调函数,求实数的最小值;
(Ⅱ)在函数的图象上是否存在不同两点,线段的中点的横坐标
为,直线的斜率为,有成立?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.
31、已知函数的图象在点(为自然对数的底数)处的切线斜率为3.
⑴求实数的值;
⑵若,且对任意恒成立,求的最大值;
⑶当时,证明.
32、已知函数在点的切线方程为.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)设,求证:在上恒成立;
(Ⅲ)已知,求证:.
33、已知
(1)若,函数在其定义域内是增函数,求的取值范围;
(2)当时,证明:函数只有一个零点;
(3)若的图象与轴交于两点,AB中点为,求证:
参考答案
一、综合题
1、解:(1)当时,,定义域是,
,令,得或.…2分当或时,,当时,,
函数在、上单调递增,在上单调递减.……………4分
的极大值是,极小值是.
当时,;当时,,
当仅有一个零点时,的取值范围是或.……………5分(2)当时,,定义域为.
令,
,
在上是增函
数.…………………………………7分
①当时,,即;
②当时,,即;
③当时,,即.…………………………………9分
(3)(法一)根据(2)的结论,当时,,即.
令,则有,.……………12分
.……………………………………14分
(法二)当时,.
,,即时命题成立.………………………………10分设当时,命题成立,即.
时,
.
根据(2)的结论,当时,,即.
令,则有,
则有,即时命题也成立.……………13分
因此,由数学归纳法可知不等式成立.………………………………14分
(法三)如图,根据定积分的定义,
得.……11分
,
.………………………………12分
,又,,
.
.…………………………………14分
【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识,考查分类讨论思想和数形结合思想,考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识.
2、解:(1)由题意知,的定义域为,
当时,,函数在定义域上单调递增.
(2)①由(Ⅰ)得,当时,函数无极值点.
②时,有两个相同的解,
时,
时,函数在上无极值点.
③当时,有两个不同解,
时,,
,
此时,随在定义域上的变化情况如下表:
减极小值增
由此表可知:时,有惟一极小值点,
ii) 当时,0<<1
此时,,随的变化情况如下表:
增极大值减极小值增由此表可知:时,有一个极大值和一个极小值点
;
综上所述:
当且仅当时有极值点;
当时,有惟一最小值点;
当时,有一个极大值点和一个极小值点(3)由(2)可知当时,函数,
此时有惟一极小值点
且
令函数
3、【解析】(Ⅰ)由题意:设直线,
由消y得:,设A、B,AB的中点E,则由韦达定理得: =,即
,,所以中点E的坐标为
E,因为O、E、D三点在同一直线上,所以,即,解得
,所以=,当且仅当时取等号,即的最小值为2.
(Ⅱ)(i)证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为,所以由得交点G的纵坐标为,又因为,,且?,所以
,又由(Ⅰ)知: ,所以解得,所以直线的方程为
,即有,令得,y=0,与实数k无关,所以直线过定点(-1,0).
(ii)假设点,关于轴对称,则有的外接圆的圆心在x轴上,又在线段AB的中垂线上,
由(i)知点G(,所以点B(,又因为直线过定点(-1,0),所以直线的斜率为,又因为,所以解得或6,又因为
,所以舍去,即,此时k=1,m=1,E,AB的中垂线为2x+2y+1=0,圆心坐标为,G(,圆半径为,圆的方程为.综上所述, 点,关于轴对称,此时的外接圆的方程为.
二、计算题
4、(Ⅰ)解:由已知得:
.……………1分
由为偶函数,得为偶函数,
显然有
.
…………2分
又,所以,即. (3)
分
又因为对一切实数恒成立,
即对一切实数,不等式恒成立.…………4分
显然,当时,不符合题
意.…………5分
1、(本小题满分14分) 已知函数. (1)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围; (2)当时,试比较与的大小; (3)求证:(). 2、设函数,其中为常数. (Ⅰ)当时,判断函数在定义域上的单调性; (Ⅱ)若函数的有极值点,求的取值范围及的极值点; (Ⅲ)当且时,求证:. 3、在平面直角坐标系中,已知椭圆.如图所示,斜率为且不过原 点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直 线于点. (Ⅰ)求的最小值; (Ⅱ)若?,(i)求证:直线过定点;
(ii )试问点,能否关于轴对称?若能,求出 此时 的外接圆方程;若不能,请说明理由. 二、计算题 (每空? 分,共? 分) 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ,且函数为偶函数.若函数 满足下列条件:①;② 对一切实数 ,不等式恒成立. (Ⅰ)求函数的表达式; (Ⅱ)求证: . 5 、已知函数: (1 )讨论函数的单调性; (2) 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为,问:在什么范围取值 时,函数 在区间上总存在极值? (3)求证:.
6、已知函数=,. (Ⅰ)求函数在区间上的值域; (Ⅱ)是否存在实数,对任意给定的,在区间上都存在两个不同的, 使得成立.若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)给出如下定义:对于函数图象上任意不同的两点,如果对 于函数图象上的点(其中总能使得 成立,则称函数具备性质“”,试判断函数是不是具 备性质“”,并说明理由. 7、已知函数 (Ⅰ)若函数是定义域上的单调函数,求实数的最小值; (Ⅱ)方程有两个不同的实数解,求实数的取值范围; (Ⅲ)在函数的图象上是否存在不同两点,线段的中点的横坐标 为,有成立?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由. 8、已知函数: ⑴讨论函数的单调性;
参考公式: 如果事件A 、B 互斥,那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立,那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、 复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A =,B ={1,m} ,A B =A, 则m= A 0 B 0或3 C 1 D 1或3 3 椭圆的中心在原点,焦距为 4 一条准线为x=-4 ,则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24y =1 D 212x +24 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ,AB=2,CC 1=为CC 1的中点,则直线AC 1与平面BED 的距离为 D 1 (5)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 5=5,S 5=15,则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 (6)△ABC 中,AB 边的高为CD ,若 a ·b=0,|a|=1,|b|=2,则 (A) (B ) (C) (D)
(7)已知α为第二象限角,sinα+sinβ =,则cos2α= (A) (B ) (C) (D) (8)已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=|2PF2|,则cos∠F1PF2= (A)1 4(B) 3 5 (C) 3 4 (D) 4 5 (9)已知x=lnπ,y=log52, 1 2 z=e,则 (A)x<y<z (B)z<x<y (C)z<y<x (D)y<z<x (10) 已知函数y=x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点,则c= (A)-2或2 (B)-9或3 (C)-1或1 (D)-3或1 (11)将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列,要求每行的字母互不相同,梅列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有 (A)12种(B)18种(C)24种(D)36种 (12)正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,AE=BF=7 3。动点P从 E出发沿直线喜爱那个F运动,每当碰到正方形的方向的边时反弹,反弹时反射等于入射角,当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为 (A)16(B)14(C)12(D)10 二。填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上。 (注意:在试题卷上作答无效) (13)若x,y 满足约束条件则z=3x-y的最小值为_________。 (14)当函数取得最大值时,x=___________。 (15)若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为_________。 (16)三菱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等, BAA1=CAA1=50° 则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________。 三.解答题: (17)(本小题满分10分)(注意:在试卷上作答无效) △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos(A-C)+cosB=1,a=2c,求c。
2014年包九中数学压轴模拟卷一(理科) (试卷总分150分 考试时间120分钟) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集{2}x M x y ==,集合2{|lg(2)}N x y x x ==-,则M N =( ) A .(0,2) B .),2(+∞ C .),0[+∞ D .),2()0,(+∞?-∞ 2. 在复平面内,复数311z i i =--,则复数z 对应的点位于 ( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 3.关于直线m ,n 与平面 α,β,有下列四个命题: ①m ∥α,n ∥β 且 α∥β,则m ∥n ; ②m ⊥α,n ⊥β 且 α⊥β,则m ⊥n ; ③m ⊥α,n ∥β 且 α∥β,则m ⊥n ; ④m ∥α,n ⊥β 且 α⊥β,则m ∥n . 其中真命题的序号是( ). A .①② B .②③ C .①④ D .③④ 4.已知)(x g 为三次函数cx ax x a x f ++=233 )(的导函数,则函数)(x g 与)(x f 的图像可能是( ) 5.已知数列12463579{}1(),18,log ()n n n a a a n N a a a a a a ++=+∈++=++满足且则等于( ) A .2 B .3 C .—3 D .—2 6.执行右面的程序框图,如果输出的是341a =,那么判断框( ) A .4?k < B .5?k < C .6?k < D .7?k < 7. 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓 度在20—80 mg/100ml (不含80)之间,属于酒后驾车,处暂扣一个月以上 三个月以下驾驶证,并处200元以上500元以下 罚款;血液酒精浓度在80mg/100ml (含80)以 上时,属醉酒驾车,处十五日以下拘留和暂扣三 个月以上六个月以下驾驶证,并处500元以上 2000元以下罚款. 据《法制晚报》报道,2013年8月15日至8
历年高考真题(数学文化) 1.(2019湖北·理)常用小石子在沙滩上摆成各种形状研究数, 如他们研究过图1中的1, 3, 6, 10, …, 由于这些数能表示成三角形, 将其称为三角形数;类似地, 称图2中的1, 4, 9, 16…这样的数为正方形数, 下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ) A.289 B.1024 C.1225 D.1378 2.(2019湖北·文)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子, 自上而下各节的容积成等差数列, 上面4节的容积共3升, 下面3节的容积共4升, 则第5节的容积为 A .1升 B .6667升 C .4447升 D .3337 升 3.(2019湖北·理)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子, 自上而下各节的容积成等差数列, 上面4节的容积共3升, 下面3节的容积共4升, 则第5节的容积为 升. 4.(2019?湖北)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数, 以十六乘之, 九而一, 所得开立方除之, 即立圆径, “开立圆术”相当于给出了已知球的体 积V , 求其直径d 的一个近似公式 3 916V d ≈.人们还用过一些类似的近似公式.根据π =3.14159…..判断, 下列近似公式中最精确的一个是( ) A. 3 916V d ≈ B.32V d ≈ C.3157300V d ≈ D.31121V d ≈ 5.(2019?湖北)在平面直角坐标系中, 若点P (x , y )的坐标x , y 均为整数, 则称点P 为格点.若一个多边形的顶点全是格点, 则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S , 其内部的格点数记为N , 边界上的格点数记为L .例如图中△ABC 是格点三角形, 对应的S=1, N=0, L=4. (Ⅰ)图中格点四边形DEFG 对应的S , N , L 分别是________; (Ⅱ)已知格点多边形的面积可表示为c bL aN S ++=其中a , b , c 为常数.若某格点多边形对应的N=71, L=18, 则S=________(用数值作答). 6.(2019?湖北)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土, 这是我国现存最早的有系统的数学典籍, 其中记载有求“囷盖”的术:置如其周, 令相乘也, 又以高乘之, 三十六成一, 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h , 计算其体积