0衡水中学物理最经典-物理建模系列(三) 绳上的“死结”和“活结”模型
物理建模系列(三)绳上的“死结”和“活结”模型[模型概述]
1的物体，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°，在轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M2的物体，求：
(1)细绳AC段的张力F T AC与细绳EG的张力F T EG之比；
(2)轻杆BC对C端的支持力；
(3)轻杆HG对G端的支持力．
【思路点拨】图甲中细绳跨过定滑轮与物体M1相连，属于“活结
”模型，细绳AC 和CD张力大小相等，细绳对定滑轮的合力方向沿∠ACD的角平分线方向；图乙中细绳EG 和细绳GF为连接于G点的两段独立的绳，属于“死结”模型，细绳EG和细绳GF的张力不相等，轻杆对G点的弹力沿轻杆方向．
【解析】题图甲和乙中的两个物体M1、M2都处于平衡状态，根据平衡的条件，首先判断与物体相连的细绳，其拉力大小等于物体的重力；分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析如图甲和乙所示，根据平衡规律可求解．
(1)图甲中细绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体，物体处于平衡状态，细绳AC段的拉力F TAC＝F T CD＝M1g
图乙中由F T EG sin 30°＝M2g，得F T EG＝2M2g.
所以F T AC
F T EG＝M1 2M2.
(2)图甲中，三个力之间的夹角都为120°，根据平衡规律有F N C＝F T AC＝M1g，方向与水平方向成30°，指向右上方．
(3)图乙中，根据平衡规律有F T EG sin 30°＝M2g，F T EG cos 30°＝F N G，所以F N G＝M2g cot 30°＝3M2g，方向水平向右．
【答案】(1)M1
2M2(2)M1g，方向与水平方向成30°指向右上方
(3)3M2g，方向水平向右
[高考真题]
1．(2013·重庆卷，1)如图所示，某人静躺在椅子上，椅子的靠背与水平面之间有固定倾斜角θ.若此人所受重力为G，则椅子各部分对他的作用力的合力大小为()
A．G B．G sin θ
C．G cos θD．G tan θ
【解析】运用力的平衡条件，可求得椅子对人的作用力．选人为研究对象，人受到重力和椅子各部分对他的作用力的合力，根据力的平衡条件可知，椅子对他的作用力的合力与重力等大、反向，故选项A正确．
【答案】 A
2．(2013·课标卷Ⅱ，15)如图，在固定斜面上的一物块受到一外力F的作用，F平行于斜面向上．若要物块在斜面上保持静止，F的取值应有一定范围，已知其最大值和最小值分别为F1和F2(F2>0)．由此可求出()
A．物块的质量
B．斜面的倾角
C．物块与斜面间的最大静摩擦力
D．物块对斜面的正压力
【解析】物块受与斜面平行的外力F作用，而在斜面上静止，此时摩擦力的大小和方向将随F的变化而变化．设斜面倾角为θ，由平衡条件F1－mg sin θ－F fmax＝0，F2－mg sin
θ＋F fmax ＝0，解得F fmax ＝
F 1－F 2
2
，故选项C 正确． 【答案】 C
3.(2016·课标卷Ⅲ，17)如图，两个轻环a 和b 套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m 的小球．在a 和b 之间的细线上悬挂一小物块．平衡时，a 、b 间的距离恰好等于圆弧的半径．不计所有摩擦．小物块的质量为( )
A.m 2 B ．
32
m C.m
D ．2m
【解析】 根据题意设悬挂小物块的点为O ′，圆弧的圆心为O ，由于ab ＝R ，所以三角形Oab 为等边三角形，根据几何知识可得∠aO ′b ＝120°，而一条绳子上的张力大小相等，故T ＝mg ，小物块受到两条绳子的拉力作用大小相等，夹角为120°，故受到的拉力的合力等于mg ，因为小物块受到绳子的拉力和自身重力作用，处于平衡状态，故拉力的合力等于小物块的重力为mg ，所以小物块的质量为m ，C 正确．
【答案】 C
[名校模拟]
4．(2018·安徽合肥段考)将两个质量均为m 的小球a 、b 用细线相连后，再用细线悬挂于O 点，如图所示，用力F 拉小球b ，使两个小球都处于静止状态，且细线Oa 与竖直方向的夹角保持θ＝30°，则F 达到最小时Oa 绳上的拉力为( )
A.3mg B ．mg C.3
2
mg D ．12
mg
【解析】 以两个小球组成的整体为研究对象，分析受力，作出F 在不同方向时整体的受力图，根据平衡条件可知，F 与T 的合力与重力2mg 总是大小相等、方向相反，由力的合成图可知，当F 与绳子Oa 垂直时，F 有最小值，即图中2位置，F 的最小值为F min ＝2mg sin 30°＝mg ，T ＝2mg cos 30°＝3mg ，A 正确．
【答案】 A
5.(2018·广东仲元中学月考)如图所示，跳伞运动员打开伞后经过一段时间，将在空中保持匀速降落．已知运动员和他身上装备的总重力为G 1(不包括伞面)，圆顶形降落伞伞面的重力为G 2，有8条相同的拉线，一端与飞行员相连(拉线重力不计)，另一端均匀分布在伞面边缘上(图中没有把拉线都画出来)，每根拉线和竖直方向都成30°角．那么每根拉线上的张力大小为( )
A.G 14 B ．3G 1
12 C.G 1＋G 28
D ．
3G 1＋G 2
12
【解析】 对运动员进行受力分析可知，8条拉线拉力的合力与运动员的重力等大反向，即8条拉线在水平方向的分力的合力为零，竖直方向分力的合力与运动员的重力等大反向，根据对称性可知，8条拉线的张力大小都相等，每条拉线的张力在竖直方向的分力F y ＝F cos 30°，且8F y ＝G 1，可得F ＝
G 18cos 30°＝G 143＝3G 1
12
，故B 正确，A 、C 、D 错误．
【答案】 B 6.
(2018·山东泰安高三上学期期中)在日常生活中，力的分解有着广泛的应用．如图为用斧子把树桩劈开的图示，斧子对木桩施加一个向下的力F 时，产生了大小相等的两个侧向分力F 1、F 2，下列关系正确的是( )
A ．F ＝2F 1sin(θ
2)
B ．F ＝2F 1sin θ
C ．F ＝2F 1cos(θ
2)
D ．F ＝2F 1cos θ
【解析】 F 1、F 2与水平方向的夹角为θ
2，
则F ＝2F 1sin θ
2，A 对．
【答案】 A
课时作业(五) [基础小题练]
1．(2018·广州调研)如图，三个大小相等的力F ，作用于同一点O ，则合力最小的是( )
【解析】 根据矢量合成的平行四边形定则可知，C 选项的合力为零，即合力最小，C 正确．
【答案】 C
2.(2018·淮安模拟)我国海军在南海某空域举行实兵对抗演练，某一直升机在匀速水平飞行过程中遇到突发情况，立即改为沿虚线方向斜向下减速飞行，则空气对其作用力可能是( )
A ．F 1
B ．F 2
C ．F 3
D ．F 4
【解析】 因为直升机沿虚线方向斜向下减速飞行，故合力沿虚线向上，直升机受到竖直向下的重力以及空气作用力两个力，要想合力沿虚线向上，则根据矢量三角形可得空气对其作用力可能为F 1，如图所示．
【答案】 A
3.(2018·石家庄模拟)如图所示，一个“Y”形弹弓顶部跨度为L ，两根相同的橡皮条自由
长度均为L ，在两橡皮条的末端用一块软羊皮(长度不计)做成裹片．若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为k ，发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为2L (弹性限度内)，则发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为( )
A ．kL
B ．2kL C.32
kL D ．
152
kL 【解析】 设发射弹丸瞬间两橡皮条间的夹角为2θ，则sin θ＝L 22L ＝1
4，cos θ＝1－sin 2θ
＝154.发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为F 合＝2F cos θ，F ＝kx ＝kL ，故F 合＝2kL ·154＝
15
2
kL ，D 正确． 【答案】 D
4．手握轻杆，杆的另一端安装有一个小滑轮C ，支持着悬挂重物的绳子，如图所示，现保持滑轮C 的位置不变，使杆柄向上转动一个角度，则杆对滑轮C 的作用力将(
)
A ．变大
B ．不变
C ．变小
D ．无法确定
【解析】 杆对滑轮C 的作用力大小等于两绳上拉力的合力，由于两绳上拉力的合力不变，故杆对滑轮C 的作用力不变．
【答案】 B
5．如图所示，作用于O 点的三个力F 1、F 2、F 3合力为零，F 1沿－y 方向，大小已知．F 2
与＋x 方向夹角为θ(θ<90°)，大小未知．下列说法正确的是(
)
A．F3可能指向第二象限
B．F3一定指向第三象限
C．F3与F2的夹角越小，则F3与F2的合力越小
D．F3的最小可能值为F1cos θ
【解析】因F1、F2、F3的合力为零，故F3应与F2、F1的合力等大反向，故F3可能指向第二象限，也可能指向第三象限，选项A正确，B错误；F3、F2的合力与F1等大反向，而F1大小、方向均已知，故F3与F2的合力与其夹角大小无关，选项C错误；当F3与F2垂直时，F3最小，其最小值为F1cos θ，选项D正确．
【答案】AD
6.(2018·六安一中二模)如图所示，两个质量为m1的小球套在竖直放置的光滑支架上，支架的夹角为120°，用轻绳将两球与质量为m2的小球连接，绳与杆构成一个菱形，则m1∶m2为()
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶ 3 D．3∶2
【解析】将小球m2的重力按效果根据平行四边形定则进行分解如图，由几何知识得T＝m2g，对m1受力分析，由平衡条件，在沿杆的方向有：m1g sin 30°＝T sin 30°，得：T＝m1g，可见m1∶m2＝1∶1，故选A.
【答案】 A
[创新导向练]
7．生活实际——千斤顶中的力学原理
(2018·贵阳监测)如图所示是轿车常用的千斤顶，当摇动把手时，螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢，从而将汽车顶起．当车轮刚被顶起时汽车对千斤顶的压力为1.0×105 N，此时千斤顶两臂间的夹角为120°.下列判断正确的是()
A．此时千斤顶每臂受到的压力大小均为5.0×104 N
B ．此时千斤顶对汽车的支持力为1.0×104 N
C ．若继续摇动把手，将汽车顶起，千斤顶每臂受到的压力将增大
D ．若继续摇动把手，将汽车顶起，千斤顶每臂受到的压力将减小
【解析】 车轮刚被顶起时，千斤顶两臂支持力的合力为千斤顶对汽车的支持力，等于汽车对千斤顶的压力，大小为1.0×105 N ，B 项错误；两臂夹角为120°，由力的合成可知千斤顶每臂受到的压力为1.0×105 N ，A 项错误；继续摇动把手，将汽车顶起，千斤顶两臂夹角减小，每臂受到的压力减小，D 项正确，C 项错误．
【答案】 D
8．生活实际——以“减速带”为背景考查力的合成问题
减速带是交叉路口常见的一种交通设施，车辆驶过减速带时要减速，以保障行人的安全．当汽车前轮刚爬上减速带时，减速带对车轮的弹力为F ，下图中弹力F 画法正确且分解合理的是( )
【解析】 减速带对车轮的弹力方向垂直车轮和减速带的接触面，指向受力物体，故A 、C 错误；按照力的作用效果分解，将F 可以分解为水平方向和竖直方向，水平方向的分力产生的效果减慢汽车的速度，竖直方向上分力产生向上运动的作用效果，故B 正确，D 错误．
【答案】 B
9．人体生理——关节运动中所包含的力学问题
如右图所示，人屈膝下蹲时，膝关节弯曲的角度为θ.设此时大小腿部的肌肉群对膝关节的作用力F 的方向水平向后，且大腿骨和小腿骨对膝关节的作用力大致相等，那么脚掌所受小腿骨沿竖直方向的力约为( )
A.F
2sin (θ2
)
B ．F 2cos (θ2
)
C.F 2tan (θ2
)
D ．F 2tan(θ2
)
【解析】 根据题意先将肌肉群对膝关节的作用力F 沿大腿骨和小腿骨方向分解，然后再分解小腿骨方向的分力，即可知D 正确．
【答案】 D
10．科技生活——缓冲门中的力学问题分析
如图所示为缓慢关门时(图中箭头方向)门锁的示意图，锁舌尖角为37°，此时弹簧弹力为24 N ，锁舌表面较光滑，摩擦不计(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，下列说法正确的是( )
A ．此时锁壳碰锁舌的弹力为40 N
B ．此时锁壳碰锁舌的弹力为30 N
C ．关门时锁壳碰锁舌的弹力逐渐增大
D ．关门时锁壳碰锁舌的弹力保持不变
【解析】 锁壳碰锁舌的弹力分解如图所示，其中F 1＝F N sin 37°，且此时F 1大小等于弹簧的弹力为24 N ，解得锁壳碰锁舌的弹力为40 N ，选项A 正确，B 错误；关门时，弹簧的压缩量增大，弹簧的弹力增大，故锁壳碰锁舌的弹力逐渐增大，选项C 正确，D 错误．
【答案】 AC
[综合提升练]
11．(2018·山东泰安高三上学期期中)质量为m 的物体置于倾角为θ＝37°的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ＝0.2.如图甲所示，先用平行于斜面的推力F 1作用于物体上，使其能沿斜面匀速上滑；若改用水平推力F 2作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑，如图乙所示．求两次推力大小之比F 1
F 2
.(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
【解析】 根据共点力平衡条件可得F 1＝mg sin θ＋μF N F N ＝mg cos θ
F 2cos θ＝mg sin θ＋μF ′N F ′N ＝mg cos θ＋F 2sin θ 整理得
F 1F 2＝cos θ－μsin θ代入数值得F 1
F 2
＝0.68. 【答案】 0.68
12．电梯修理员或牵引专家常常需要监测金属绳中的张力，但不能到绳的自由端去直接测量．某公司制造出一种能测量绳中张力的仪器，工作原理如图所示，将相距为L 的两根固定支柱A 、B (图中的小圆圈表示支柱的横截面)垂直于金属绳水平放置，在A 、B 的中点用一可动支柱C 向上推动金属绳，使绳在垂直于A 、B 的方向竖直向上发生一个偏移量d (d ?L )，这时仪器测得金属绳对支柱C 竖直向下的作用力为F .
(1)试用L 、d 、F 表示这时金属绳中的张力F T ；
(2)如果偏移量d ＝10 mm ，作用力F ＝400 N ，L ＝250 mm ，计算金属绳中张力的大小．
【解析】 (1)设C ′点受两边金属绳的张力分别为F T1和F T2，BC 与BC ′的夹角为θ，如图所示．依对称性有：
F T1＝F T2＝F T
由力的合成有：F ＝2F T sin θ 根据几何关系有sin θ＝
d d 2
＋
L 24
联立上述二式解得F T ＝F
2d
d 2
＋L 24
则d ?L ，故F T ＝
FL 4d
. (2)将d ＝10 mm ，F ＝400 N ，L ＝250 mm 代入F T ＝
FL 4d
解得F T ＝2.5×103 N ，即金属绳中的张力为2.5×103 N. 【答案】 (1)FL
4d (2)2.5×103 N