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圆锥曲线练习题 - 副本

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圆锥曲线攻坚

巩固练习

1.已知椭圆1:22

22=+b

y a x C )0(>>b a 的一个焦点是)0,1(F ,且离心率为12 (1)求椭圆C 的方程;

(2)设经过点F 的直线交椭圆C 于N M 、两点,线段MN 的垂直平分线交y 轴于点),0(0y P ,

求0y 的取值范围

2.在平面直角坐标系xoy 中,O 为坐标原点,动点P 与两个定点(1,0)M ,(4,0)N 的距离之比为

12

. (1)求动点P 的轨迹W 的方程;

(2)若直线:l 3y kx =+与曲线W 交于B A 、两点,在曲线W 上是否存在一点Q ,使得 OB OA OQ +=,若存在,求出此时直线l 的斜率;若不存在,说明理由

3.已知椭圆1:22

22=+b

y a x C )0(>>b a 的右焦点为)0,1(F ,M 为椭圆的上顶点,O 为坐标原点, 且OMF ?是等腰直角三角形.

(1)求椭圆C 的方程;

(2)是否存在直线l 交椭圆于Q P 、两点, 且使点F 为PQM ?的垂心(垂心:三角形三边高线的

交点)?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由.

4.设椭圆1:22

22=+b

y a x C )0(>>b a 的左、右焦点分别为21F F 、,上顶点为A ,过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ,且02221=+Q F F F ,若过2F Q A 、、三点的圆恰好与直线:l

033=--y x 相切,

过定点)2,0(M 的直线1l 与椭圆C 交于H G 、两点(点G 在H M 、之间). (1)求椭圆C 的方程;

(2)设直线1l 的斜率0>k ,在x 轴上是否存在点)0,(m P ,使得以PH PG 、为邻边的平行四

边形是菱形,如果存在,求出m 的取值范围,如果不存在,请说明理由;

(3)若实数λ满足λ=,求λ的取值范围

5.已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点)1,0(,且离心率为

23,Q 为椭圆C 的左顶点 (1)求椭圆C 的标准方程;

(2)已知过点)0,5

6(-的直线l 与椭圆C 交于B A 、两点 ①若直线l 垂直于x 轴,求AQB ∠的大小;

②若直线l 与x 轴不垂直,是否存在直线l 使得QAB ?为等腰三角形?若存在,求直线l 的方程;

若不存在,请说明理由

6.已知0>p ,动点M 到定点)0,2(p F 的距离比M 到定直线p x l -=:的距离小2

p (1)求动点M 的轨迹C 的方程;

(2)设B A 、

是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点,0=?,求AOB ?面积的最小值; (3)在轨迹C 上是否存在两点Q P 、关于直线)2

(:p x k y m -=)0(≠k 对称?若存在,求出直线 m 的方程,若不存在,说明理由.

7.已知点)0,1(-A ,)0,1(B ,动点P 满足32=+PB PA ,记动点P 的轨迹为W

(1)求轨迹W 的方程;

(2)直线1y kx =+与曲线W 交于D C 、两点,若存在点)0,(m M ,使得CM DM =成立,求实

数m 的取值范围.

8.已知椭圆:C 142

2

=+y x ,过点)3,0(M 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点B A 、 (1)若l 与x 轴相交于N ,且A 是MN 的中点,求直线l 的方程;

(2)设P 为椭圆上一点,OA OB OP λ+= (O 为坐标原点),求当3

9.已知椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 的左、右焦点分别为21F F 、,短轴两个端点为B A 、,且四边形 B AF F 21是边长为2的正方形

(1)求椭圆的方程;

(2)若D C 、分别是椭圆长轴的左右端点,动点M 满足CD MD ⊥,连接CM ,交椭圆于点P ,

证明:?为定值;

(3)在(2)的条件下,试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ,使得以MP 为直径的圆恒过直线

MQ DP 、的交点,若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,说明理由

10.已知动点M 到点)0,1(F 的距离,等于它到直线1x =-的距离.

(1)求点M 的轨迹C 的方程;

(2)过点F 作互相垂直的两条直线12,l l ,分别交曲线C 于点B A 、和N M 、,设线段MN AB 、的

中点分别为Q P 、,求证:直线PQ 恒过一个定点;

(3)在(2)的条件下,求FPQ ?面积的最小值.

11.已知抛物线24y x =,点)0,1(M 关于y 轴的对称点为N ,直线l 过点M 交抛物线于B A 、两点.

(1)证明:直线NB NA 、的斜率互为相反数;

(2)求ANB ?面积的最小值;

(3)当点M 的坐标为(,0)(0m m >且1)m ≠,根据(1)(2)推测并回答下列问题(不必说明理由)

① 直线NB NA 、的斜率是否互为相反数?

② ANB ?面积的最小值是多少?

12.已知抛物线的焦点F 在y 轴上,抛物线上一点)4,(a A 到准线的距离是5,过点F 的直线与抛物线

交于N M 、两点,过N M 、两点分别作抛物线的切线,这两条切线的交点为T

(1)求抛物线的标准方程;

(2)求MN FT ?的值;

(3

13.已知椭圆:C 122

22=+b

y a x )0(>>b a 的离心率为21,以原点O 为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线06=+-y x 相切

(1)求椭圆C 的方程;

(2)设)0,4(P ,B A 、是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点,连结PB 交椭圆C 于另一

点E ,证明直线AE 与x 轴交于定点Q ;

直线与圆锥曲线的综合问题专题二

专题二 直线与圆锥曲线的综合问题 第一课时 一.知识体系小结 22 2222222222 222222 cos 1(0)()sin 11(0)1(00)1(00)2(0)2(0213x a x y x a b y b a b y x y a b a b x y y x x a b y a b a b a b y px p y px p 圆锥曲线的标准方程 椭圆:焦点在轴上时参数方程,其中为参数; 焦点在轴上时. 双曲线:焦点在轴上:,;焦点在轴上:,. 抛物线:开口向右时,,开口向左时,.22)2(0)2(0)x py p x py p ,开口向上时,开口向下时. 2222 2222 2222 222222 222222 221111 1(0)123142x y x y a b a b x y x y a b a b x y x y a b a b mx ny 常用曲线方程设法技巧 共焦点的设法:与椭圆有公共焦点的椭圆方程为;与双曲线有公共焦点的双曲线方程为;与双曲线共渐近线的双曲线方程为;中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆、双曲线方程可设为;不清楚开口方向的抛.物线设法:焦22(0)(0)x y mx m y x my m 点在轴上,; 焦点在轴上,. 3.解决直线与圆锥曲线问题的通法: (1)设方程及点的坐标; (2)联立直线方程与曲线方程得方程组,消元得方程; (3)应用韦达定理及判别式; (4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解. 1212|||| |.AB AB x x y y (5)直线与圆锥曲线相交的弦长公式或 222 0002220 222 0002220 2000 1()1()2(0)(). b x x y P x y k a b a y b x x y P x y k a b a y p y px p P x y k y 圆锥曲线中点弦斜率公式 在椭圆中,以,为中点的弦所在直线的斜率; 在双曲线中,以,为中点的弦所在直线的斜率; 在抛物线中,以,为中点的弦所在直线的斜率以上公式均可由点4.差法可得.

历年圆锥曲线高考题附答案

数学圆锥曲线高考题选讲 一、选择题: 1. (2006全国II )已知双曲线x 2a 2-y 2b 2 =1的一条渐近线方程为y =4 3x ,则双曲线的离心率为( ) (A )53 (B )43 (C )54 (D )32 2. (2006全国II )已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 2 3+y 2=1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点 在BC 边上,则△ABC 的周长是( ) (A )2 3 (B )6 (C )4 3 (D )12 3.(2006全国卷I )抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是( ) A . 43 B .7 5 C .85 D .3 4.(2006广东高考卷)已知双曲线2239x y -=,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于( ) A.2 B. 22 3 C. 2 D. 4 5.(2006辽宁卷)方程22520x x -+=的两个根可分别作为( ) A.一椭圆和一双曲线的离心率 B.两抛物线的离心率 C.一椭圆和一抛物线的离心率 D.两椭圆的离心率 6.(2006辽宁卷)曲线 22 1(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m +=<<--的( ) (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7.(2006安徽高考卷)若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合,则p 的值为( ) A .2- B .2 C .4- D .4 8.(2006辽宁卷)直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题: 9. (2006全国卷I )双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为(3,0)F -,右顶点为(2,0)D ,设点11, 2A ?? ??? ,则求该椭圆的标准方程为 。 11. (20XX 年高考全国新课标卷理科14) 在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点12,F F 在 x 轴上, 离心率为 2 2 。过l 的直线 交于,A B 两点,且2ABF 的周长为16,那么C 的方程为 。

高二数学圆锥曲线测试题以及详细答案

圆锥曲线测试题及详细答案 一、选择题: 1、双曲线 22 1102x y -=的焦距为( ) 2.椭圆14 22 =+y x 的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的 直线与椭圆相交,一个交点为P ,则||2PF = ( ) A . 2 3 B .3 C .27 D .4 3.已知动点M 的坐标满足方程|12512|132 2-+=+y x y x ,则动点M 的轨迹是( ) A. 抛物线 B.双曲线 C. 椭圆 D.以上都不对 4.设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点,双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点,若5||1=PF ,则=||2PF ( ) A. 1或5 B. 1或9 C. 1 D. 9 5、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2,过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若△F 1PF 2为等腰直角三 角形,则椭圆的离心率是( ). A. B. C. 2 D. 1 6.双曲线)0(12 2≠=-mn n y m x 离心率为2,有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合,则mn 的值为( ) A . 163 B .83 C .316 D .3 8 7. 若双曲线22 21613x y p -=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为 ( ) (A)2 (B)3 (C)4 8.如果椭圆 19 362 2=+y x 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( ) 02=-y x B 042=-+y x C 01232=-+y x D 082=-+y x 9、无论θ为何值,方程1sin 22 2=?+y x θ所表示的曲线必不是( ) A. 双曲线 B.抛物线 C. 椭圆 D.以上都不对

直线与圆锥曲线的综合问题

第32练 直线与圆锥曲线的综合问题 [题型分析·高考展望] 本部分重点考查直线和圆锥曲线的综合性问题,从近几年的高考试题来看,除了在解答题中必然有直线与圆锥曲线的联立外,在填空题中出现的圆锥曲线问题也经常与直线结合起来.本部分的主要特点是运算量大、思维难度较高,但有时灵活地借助几何性质来分析问题可能会收到事半功倍的效果.预测在今后高考中,主要围绕着直线与椭圆的位置关系进行命题,有时会与向量的共线、模和数量积等联系起来;对于方程的求解,不要忽视轨迹的求解形式,后面的设问将是对最值、定值、定点、参数围的考查,探索类和存在性问题考查的概率也很高. 常考题型精析 题型一 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用 例1 (1)(2015·改编)已知椭圆E :x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ,短轴的一个端点为M ,直线l :3x -4y =0交椭圆E 于A ,B 两点.若AF +BF =4,点M 到直线l 的距离不小于45 ,则椭圆E 的离心率的取值围是________________. (2)设焦点在x 轴上的椭圆M 的方程为x 24+y 2b 2=1 (b >0),其离心率为22 . ①求椭圆M 的方程; ②若直线l 过点P (0,4),则直线l 何时与椭圆M 相交? 点评 对于求过定点的直线与圆锥曲线的位置关系问题,一是利用方程的根的判别式来确定,但一定要注意,利用判别式的前提是二次项系数不为零;二是利用图形来处理和理解;三是直线过定点位置不同,导致直线与圆锥曲线的位置关系也不同.

变式训练1 已知椭圆C :x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的焦距为4,且过点P (2,3). (1)求椭圆C 的方程; (2)设Q (x 0,y 0)(x 0y 0≠0)为椭圆C 上一点,过点Q 作x 轴的垂线,垂足为E .取点A (0,22),连结AE ,过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D .点G 是点D 关于y 轴的对称点,作直线QG ,问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点?并说明理由. 题型二 直线与圆锥曲线的弦的问题 例2 设椭圆C :x 2a 2+y 2 b 2=1 (a >b >0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,且焦距为6,点P 是椭圆短轴的一个端点,△PF 1F 2的周长为16. (1)求椭圆C 的方程; (2)求过点(3,0)且斜率为45 的直线l 被椭圆C 所截得的线段中点的坐标. 点评 直线与圆锥曲线弦的问题包括求弦的方程,弦长,弦的位置确定,弦中点坐标轨迹等问题,解决这些问题的总体思路是设相关量,找等量关系,利用几何性质列方程(组),不等式(组)或利用一元二次方程根与系数的关系,使问题解决.

圆锥曲线历年高考题附答案解析

数学圆锥曲线测试高考题 一、选择题: 1. (2006全国II )已知双曲线x 2a 2-y 2 b 2 =1的一条渐近线方程为y =43x ,则双曲线的离心率为( ) (A )53 (B )43 (C )54 (D )32 2. (2006全国II )已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆 x 23+y 2=1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则△ABC 的周长是( ) (A )2 3 (B )6 (C )4 3 (D )12 3.(2006全国卷I )抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是( ) A .43 B .75 C .85 D .3 4.(2006高考卷)已知双曲线2239x y -=,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于( ) B. C. 2 D. 4 5.(2006卷)方程22520x x -+=的两个根可分别作为( ) A.一椭圆和一双曲线的离心率 B.两抛物线的离心率 C.一椭圆和一抛物线的离心率 D.两椭圆的离心率 6.(2006卷)曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线22 1(59)59x y m m m +=<<--的( ) (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7.(2006高考卷)若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162x y +=的右焦点重合,则p 的值为( ) A .2- B .2 C .4- D .4 8.(2006卷)直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题: 9. (2006全国卷I )双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,则m = 。 10. (2006卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,设

直线与圆锥曲线的综合问题

第32练 直线与圆锥曲线得综合问题 [题型分析·高考展望] 本部分重点考查直线与圆锥曲线得综合性问题,从近几年得高考试题来瞧,除了在解答题中必然有直线与圆锥曲线得联立外,在填空题中出现得圆锥曲线问题也经常与直线结合起来.本部分得主要特点就是运算量大、思维难度较高,但有时灵活地借助几何性质来分析问题可能会收到事半功倍得效果。预测在今后高考中,主要围绕着直线与椭圆得位置关系进行命题,有时会与向量得共线、模与数量积等联系起来;对于方程得求解,不要忽视轨迹得求解形式,后面得设问将就是对最值、定值、定点、参数范围得考查,探索类与存在性问题考查得概率也很高. 常考题型精析 题型一 直线与圆锥曲线位置关系得判断及应用 例1 (1)(2015·福建改编)已知椭圆E :x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)得右焦点为F ,短轴得一个端点为M ,直线l :3x—4y =0交椭圆E于A ,B两点。若AF +BF =4,点M 到直线l 得距离不小于\f(4,5),则椭圆E 得离心率得取值范围就是________________。 (2)设焦点在x 轴上得椭圆M 得方程为错误!+错误!=1 (b >0),其离心率为错误!. ①求椭圆M得方程; ②若直线l 过点P(0,4),则直线l 何时与椭圆M 相交? 点评 对于求过定点得直线与圆锥曲线得位置关系问题,一就是利用方程得根得判别式来确定,但一定要注意,利用判别式得前提就是二次项系数不为零;二就是利用图形来处理与理解;三就是直线过定点位置不同,导致直线与圆锥曲线得位置关系也不同. 变式训练1 已知椭圆C :x2a2+y 2 b 2=1(a>b >0)得焦距为4,且过点P (2,\r(3))。 (1)求椭圆C得方程; (2)设Q (x 0,y0)(x 0y 0≠0)为椭圆C 上一点,过点Q 作x 轴得垂线,垂足为E 、取点A (0,2\r(2)),连结AE ,过点A 作AE 得垂线交x 轴于点D 。点G 就是点D 关于y轴得对称点,作直线Q G,问这样作出得直线QG就是否与椭圆C一定有唯一得公共点?并说明理由、 题型二 直线与圆锥曲线得弦得问题 例2 设椭圆C :x 2 a 2+错误!=1 (a>b>0)得左,右焦点分别为F1,F 2,且焦距为6,点P就是椭圆短

圆锥曲线高考题汇编[带详细解析]

第八章 圆锥曲线方程 ●考点阐释 圆锥曲线是解析几何的重点容,这部分容的特点是: (1)曲线与方程的基础知识要求很高,要求熟练掌握并能灵活应用. (2)综合性强.在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等容,体现了对各种能力的综合要求. (3)计算量大.要求学生有较高的计算水平和较强的计算能力. ●试题类编 一、选择题 1.(2003京春文9,理5)在同一坐标系中,方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +b y 2=0(a >b >0)的曲线大致是( ) 2.(2003京春理,7)椭圆?? ?=+=? ? sin 3cos 54y x (?为参数)的焦点坐标为( ) A.(0,0),(0,-8) B.(0,0),(-8,0) C.(0,0),(0,8) D.(0,0),(8,0) 3.(2002京皖春,3)已知椭圆的焦点是F 1、F 2,P 是椭圆上的一个动点.如果延长F 1P 到Q ,使得|PQ |=|PF 2|,那么动点Q 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 4.(2002全国文,7)椭圆5x 2+ky 2=5的一个焦点是(0,2),那么k 等于( ) A.-1 B.1 C.5 D. - 5 5.(2002全国文,11)设θ∈(0, 4 π ),则二次曲线x 2cot θ-y 2tan θ=1的离心率的取值围为( ) A.(0, 2 1 ) B.( 22 ,21) C.( 2,2 2 ) D.( 2,+∞) 6.(2002文,10)已知椭圆222253n y m x +和双曲线22 2 232n y m x -=1有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程是( ) A.x =± y 2 15 B.y =± x 2 15

历年高考数学圆锥曲线试题汇总

高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22221x y a b -=(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切,则该双曲线的离心率等于 ( C ) (A)3 (B)2 (C)5 (D )6 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ,点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,若3FA FB =,则||AF = (A). 2 (B). 2 (C).3 (D ). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C .若1 2 AB BC =,则双曲线的离心率是 ( ) A.2 B.3 C.5 D .10 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴, 直线 AB 交y 轴于点P .若2AP PB =,则椭圆的离心率是( ) A . 3 B .22 C.13 D .12 5.点P 在直线:1l y x =-上,若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点,且 |||PA AB =,则称点P 为“ 点”,那么下列结论中正确的是 ( ) A .直线l 上的所有点都是“点” B .直线l 上仅有有限个点是“点” C .直线l 上的所有点都不是“ 点” D.直线l 上有无穷多个点(点不是所有的点)是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 2 5 D.5 2

高中数学圆锥曲线专题-理科

圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程,认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用; 2.会求直线的一般式方程,理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义:懂得一元二 次方程的图像是直线; 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系(方向向量、法向量); 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角,掌握点到直线的距离公式。 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义,并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上,以 及求曲线交点; 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程; 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性,掌握求这些曲线方程的基本 方法,并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题; 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定,确定它们之间的位置关系,并能利用 解析法解决相应的几何问题。 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图,已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2),过点B引椭圆的割线(与椭圆相交的直线)BD与椭圆交于C、D两点 (1)确定直线BD斜率的取值范围 (2)若割线BD过椭圆的左焦点 12 ,F F是椭圆的右焦点,求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O

二、轨迹问题 例2 如图,已知平行四边形ABCO ,O 是坐标原点,点A 在线段MN 上移动,x=4,y=t (33)t -≤≤上移动,点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动,求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l :22 2,: 1169 x y y kx C =++=,问椭圆上是否存在相异两点A 、B ,关于直线l 对称,请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--,点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上,且直线PA 与PB 的倾斜角互补 (1)求证:直线AB 的斜率为定值 (2)当直线AB 在y 轴上的截距为正值时,求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - (1)求点P (x, y )的轨迹C 的方程 (2)直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点,且在以点D (0,-1)为圆 心的同一圆上,求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R ,,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量,若向量 (2)a x i y j → →→=++,且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += (1)求点M (x, y )的轨迹方程 (2)过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,设OP OA OB → → → =+,是否存在这样的直线l ,使得四边形OAPB 是矩形?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由

高中数学复习指导:直线与圆锥曲线问题之设而不求与设而求.doc

“设而不求”与“设而求” 一般地,我们解答直线与圆锥曲线问题,已经形成一种习惯,利用一元二次方程的判别式 研 究范围,利用根与系数的关系研究有关参数的关系,还美其名曰“设而不求”,事实上,“设而 求”也可能比“设而不求”更加简单,避开了一元二次方程的判别式与根与系数的关系研究有关 参数的关系,也许另有一种更好的解法等待着你去探究,不信请看下面的例题: 丫2 例1、己知椭圆方程为y+/=l,过定点P(0,2)的直线交椭圆于不同的两点A 、B (在 A 、P 之间),且满足西=2顾,求的取值范围. 解析1:设AB 的方程为)=尬+ 2, A3」),Ba ,%),贝9 PA = (x },y }-2), PB = (x 2,y 2 -2),由 PB = ZPA ,得 X 2 1 3 由 Q + * '得(1 + 2比2)严+池+6二0.又△二64疋一24(1 + 2/)= 0>0,得k 2>~. y = kx + 2, Sk 6 由根与系数关系,坷+禺=一 ,= - 1+2F - 1 + 2亡 把七=2西代入坷+召=_] + 2加 有西(1+2) = _] +朮,(1) 6 0 6 把x 2=^代入“2=仃乔有彷=匚乔,(2) 由(1)、(2)可以消去西得到含有入比的关系式,这个过程比较复杂,这个关系式是 32k 2 (1+A)2 3 1 3(1+2/) 2 八 3 _― =—■—, 或者变为__+?7 =—石刁—= — , 由* >二,可以求得 召=2坷, y 2-2 = A(y l -2).

3(1+2Q A 32k「 16 32k~(1 + 久)「2

初于是建立了关于2的不等式 '2 v£,又0vQvl,解得£v2vl. 32K I O O (1+A ) O 3 当初没有斜率时,宀亍所以扫<「 解析2:构造2 + ]=玉+玉=(召+兀T ,如此可以直接把年+召=一£「 / x } x 2 x }x 2 l + 2k 6 1 ao&2 3 也=砲代入得到'+君茹莎r"込百-2,由解法1知:宀亍可以 求得2<丐<罟,又061,解得打<1?当仙殳有斜率时,4,所以押<1. 解析3:设人(西,刃),8也,%),则 力4 =(兀[,刃一2), PB = (X 2,>2-2),由 PB = APA ,得v 4+^=i, 2 O 1 又人(召,刃),3(%,%)在二+b=l 上,所以]2 2 - + ^=1. 〔2 - 事实上仅用以上这四个等式就可以求出2与西,必,兀2,%中任意一个的关系. j 吕+*=1,⑴ F 字+(勿 _2Q +2)2=[.(2) (l)x A 2 _(2)得:(Ay.)2 -(心 -22 + 2)2 = / 一 1, (22-2)(22^ -2A + 2) = -1,注意到0<2<1,所以4仇开 一2 + 1) = 2 + 1,解得 气J) _ 3 斥彳一3 1 ”=—,注意到—1S)[S1,所以—is — <1,解得一5/153,又0V/lvl, 1 4A 1 4 2 3 所以-<2<1. 3 解法评价:解法1与解法2都是利用一元二次方程根的判别式与根与系数的关系,是解析 几何常用的方法,但是用这种方法必须对直线方程进行讨论,还应注意,有些时候仅仅使用其中 的根与系数的关系而没有用根的判别式,但是由于根与系数的关系是从整体上建立有关系数的关 系的,所以无法保证实数根的存在性,因此一定要检验判别式大于零.解法3 32k 1 冷=岔, y 2-2 = /l(y l -2).

2020年高考圆锥曲线部分大题解析

1.【2018浙江21】如图,已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点,抛物线 2:4C y x =上存在不同的两点,A B 满足,PA PB 的中点均在C 上。 (1) 设AB 中点为M ,证明:PM 垂直于y 轴; (2) 若P 是半椭圆2 2 1(0)4 y x x +=<上的动点,求PAB ?面积的取值范围。 解析:(1)设2200112211(,),(,),(,)44 P x y A y y B y y AP 中点满足:2 2 102014( )4()22 y x y y ++= BP 中点满足:2 2 202024:( )4()22 y x y y BP ++= 所以12,y y 是方程2 2 0204()4()22 y x y y ++=即22000 280y y y x y -+-=的两个根,所以 12 02 y y y +=,故PM 垂直于y 轴。 (2)由(1)可知212012002,8y y y y y x y +=?=- 所以222 1200013||()384 PM y y x y x =+-= - ,12||y y -= 因此,3 2212001||||4)24 PAB S PM y y y x ?=?-=- 因为2 2 0001(0)4 y x x +=<,所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈ 因此,PAB ? 面积的取值范围是

1. 距离型问题 2.【2018全国3 理20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22 :143 x y C +=交于,A B 两点,线段AB 的中点为(1,)(0)M m m > (1)证明:1 2 k <- ; (2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点且0FP FA FB ++=,证明:,,FP FA FB 为等差数列,并求出该数列的公差。 解析:(1)由中点弦公式22OM b k k a ?=-,解得34k m =- 又因为点M 在椭圆内,故302m << ,故1 2 k <- (2)由题意知2,2FA FB FM FP FM +==-,故(1,2)P m - 因为点P 在椭圆上,代入可得3,14m k = =-,即3||2 FP = 根据第二定义可知,1211||2,||222 FA x FB x =- =- 联立22 212121114371402,4287 4 x y x x x x x x y x ?+=???-+=?+==? ?=-+?? 即121 ||||4()32 FA FB x x +=- += 故满足2||||||FP FA FB =+,所以,,FP FA FB 为等差数列 设其公差为d ,因为,A B 的位置不确定,则有

高考数学圆锥曲线历年高考真题

浙江省高考数学圆锥曲线真题 22 04. 若椭圆 x 2 y 2 ab 1(a > b > 0)的左、右焦点分别为 F 1、F 2, 线段 F 1F 2被抛物线 y 2=2 bx 的焦点 分成 5∶ 3的两 段 , 则此椭圆的离心率为 16 (A) 1167 05.过双曲线 2 x 2 a 4 17 (B) 17 2 b y 2 1(a b 4 (C)45 (D) 255 5 0,b 0) 的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M 、 N 两点 , 以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点 则双曲线的离心率等于 07. 已知双曲线 2 x 2 a 2 y 2 1(a 0,b b 2 0) 的左、右焦点分别为 F 1,F 2, P 是准线上一点 , PF 1 PF 2,|PF 1| |PF 2| 4ab , 则双曲线的离心率是 B ) 3 (C ) 2 (D ) 3 △ ABP 的面积为定 则动点 P 的轨迹是A . 圆 B . 椭圆 C . 一条直线 D . 两条平行直线 09. 2 x 过双曲线 2 a 2 y b 2 1(a 0,b 0) 的右顶 点 条渐近线的交点分别为 B,C uuur .若 AB 1 uuur BC , 2 A . 2 B .3 C 08.如图 , AB 是平面 的斜.线.段. ) B A P 第 10 题) A 作斜率为 1的直线 , 该直线与双曲线的两 则双曲线的离心率 是 ( ) .5 D . 10 A 为斜足 , 若点 P 在平面 内运动 , 使得 点 A (0,2) 。若线段 FA 的中点 B 在抛物线上 2 10. (13)设抛物线 y 2 2px (p 0) 的焦点为 F, 则 B 到该抛物线准线的距离为 近线与以 C 1 的长轴为直径的圆相交于 A, B 两点 ( ) 13 2 B . a 2= 13 1 D . A .a 2= C .b 2= b 2=2 2 2 2 11. 设 F 1, F 2分别为椭圆 x 2 3 y 2 1的 左、 右焦点 22 x y 2 11. 已知椭圆 C 1: 2 2 =1 (a > b > 0)与双曲线 C 2: x 2 ab 则点 A 的坐标是 _______ 2 y 1有公共的焦点 , C 2 的一条渐 4 若 C 1 恰好将线段 AB 三等分 , 则 uuur uuuur 点 A, B 在椭圆上. 若 F 1A 5F 2B ,

高中数学圆锥曲线解题技巧总结

高中数学圆锥曲线解题 技巧总结 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

解圆锥曲线问题的常用方法大全 1、定义法 (1)椭圆有两种定义。第一定义中,r 1+r 2=2a 。第二定义中,r 1=ed 1 r 2=ed 2。 (2)双曲线有两种定义。第一定义中,a r r 221=-,当r 1>r 2时,注意r 2的最小值为c-a :第二定义中,r 1=ed 1,r 2=ed 2,尤其应注意第二定义的应用,常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 (3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法”,即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0),将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有: (1))0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有 020 20=+k b y a x 。 (2))0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020 =-k b y a x (3)y 2=2px (p>0)与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________ (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 分析:(1)A 在抛物线外,如图,连PF ,则PF PH =现,当A 、P 、F 三点共线时,距离和最小。

(完整版)圆锥曲线高考真题

(1)求M 的方程 (2)C ,D 为M 上的两点,若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ,求四边形ACBD 的面积最大值. 2.设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b +=>>的左右焦点,M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直,直线1MF 与C 的另一个交点为N. (1)若直线MN 的斜率为34 ,求C 的离心率; (2)若直线MN 在y 轴上的截距为2,且15MN F N =,求a,b . 3.已知椭圆C :,直线不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M . (1) 证明:直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值; (2)若过点(),延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否平行四边行?若能,求此时的斜率,若不能,说明理由. 4.已知抛物线C :22y x = 的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ,B 两点,交C 的准线于P ,Q 两点. (1)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR ∥FQ ; (2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程. 5.已知抛物线C :y 2 =2x ,过点(2,0)的直线l 交C 与A ,B 两点,圆M 是以线段AB 为直径的圆. (1)证明:坐标原点O 在圆M 上; (2)设圆M 过点P (4,-2),求直线l 与圆M 的方程. 6.已知斜率为k 的直线l 与椭圆22 143 x y C +=:交于A ,B 两点,线段AB 的中点为 ()()10M m m >,. (1)证明:1 2 k <-; (2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r .证明:FA u u u r ,FP u u u r ,FB u u u r 成 等差数列,并求该数列的公差.

高中数学圆锥曲线问题常用方法经典例题(含答案)

专题:解圆锥曲线问题常用方法(一) 【学习要点】 解圆锥曲线问题常用以下方法: 1、定义法 (1)椭圆有两种定义。第一定义中,r 1+r 2=2a 。第二定义中,r 1=ed 1 r 2=ed 2。 (2)双曲线有两种定义。第一定义中,a r r 221=-,当r 1>r 2时,注意r 2的最小值为c-a :第二定义中,r 1=ed 1,r 2=ed 2,尤其应注意第二定义的应用,常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 (3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法”,即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0),将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有: (1))0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则 有 020 20=+k b y a x 。 (2))0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0)

直线圆锥曲线与向量的综合问题

直线圆锥曲线与向量的综合问题 高考考什么 知识要点: 1.直线与圆锥曲线的公共点的情况 00 ),(0 2=++??? ?==++C Bx Ax y x f c by ax 曲线:直线:)0'''(2=++C y B y A 或 (1)没有公共点 → 方程组无解 (2)一个公共点 → 0 ,0)0)=?≠→=→A ii A i 相切相交 (3)两个公共点 → 0,0>?≠A 2.连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦,要能熟练地利用方程的根与系数关系来计算弦长,常 用的弦长公式:1212AB x y y =-=- 3.以平面向量作为工具,综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题 4.几何与向量综合时可能出现的向量容 (1) 给出直线的方向向量或; (2)给出与相交,等于已知过的中点; (3)给出,等于已知是的中点; (4)给出,等于已知A 、B 与PQ 的中点三点共线; (5) 给出以下情形之一:①;②存在实数;③若存在实数,等于已知三点共线. (6) 给出,等于已知是的定比分点,为定比,即 (7) 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角。 (8)给出,等于已知是的平分线。 (9)在平行四边形中,给出,等于已知是菱形;

(10)在平行四边形中,给出,等于已知是矩形; (11)在中,给出,等于已知是的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点); (12)在中,给出,等于已知是的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点);(13)在中,给出,等于已知是的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点); (14)在中,给出等于已知通过的心; (15)在中,给出等于已知是的心(三角形切圆的圆心,三角形的心是三角形三条角平分线的交点); (16)在中,给出,等于已知是中边的中线; 高考怎么考 主要题型: 1.三点共线问题;2.公共点个数问题;3.弦长问题; 4.中点问题;5.定比分点问题;6.对称问题;7.平行与垂直问题;8.角的问题。 近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为 (1)考查学生对平面向量知识的简单运用,如向量共线、垂直、定比分点。 (2)考查学生把向量作为工具的运用能力,如求轨迹方程,圆锥曲线的定义,标准方程和几何性质,直线与圆锥曲线的位置关系。 特别提醒:法和韦达定理是解决直线和圆锥曲线位置关系的重要工具。 高考真题 1.[2012·卷] 若n=(-2,1)是直线l的一个法向量,则l的倾斜角的大小为________(结果用反三角函数值表示)..arctan2 [解析] 考查直线的法向量和倾斜角,关键是求出直线的斜率. 由已知可得直线的斜率k× 1 -2 =-1,∴k=2,k=tanα,所以直线的倾斜角α=arctan2. 2.[2012·卷] 如图1-3,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形. 图1-3

(完整版)高中数学-圆锥曲线练习题含答案

圆锥曲线专题练习 一、选择题 1.已知椭圆116 252 2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为 ( ) A .2 B .3 C .5 D .7 2.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的方程为 ( ) A .116922=+y x B .1162522=+y x C .1162522=+y x 或125 162 2=+y x D .以上都不对 3.设双曲线的半焦距为c ,两条准线间的距离为d ,且d c =,那么双曲线的离心率e 等于( ) A .2 B .3 C .2 D .3 4.抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是 ( ) A .25 B .5 C .2 15 D .10 5.若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9,则点P 的坐标为 ( ) A .(7, B .(14, C .(7,± D .(7,-± 6.如果22 2=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是( ) A .()+∞,0 B .()2,0 C .()+∞,1 D .()1,0 二. 填空题 7.双曲线的渐近线方程为20x y ±=,焦距为10,这双曲线的方程为_______________。 8.设AB 是椭圆22 221x y a b +=的不垂直于对称轴的弦,M 为AB 的中点,O 为坐标原点, 则AB OM k k ?=____________。 三.解答题 9.已知顶点在原点,焦点在x 轴上的抛物线被直线21y x =+截得的弦长为15,求抛物线的方程。

10、已知动点P 与平面上两定点(A B 连线的斜率的积为定值12- . (Ⅰ)试求动点P 的轨迹方程C. (Ⅱ)设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M 、N 两点,当|MN |= 3 24时,求直线l 的方程.

2018年高考数学破解命题陷阱专题27快速解决直线与圆锥曲线综合问题的解题技巧

专题27 快速解决直线与圆锥曲线综合问题的解题技巧 一.命题陷阱 1.不用韦达定理与用韦达定理的选择陷阱 2.范围不完备陷阱 3.圆锥曲线中三角形面积公式选取陷阱 4.不用定义直接化简的陷阱(圆锥曲线定义的灵活运用) 5.圆锥曲线中的求定点、定直线只考虑一般情况不考虑特殊位置陷阱 6.圆锥曲线中的求定值只考虑一般情况不考虑特殊位置陷阱 二、知识回顾 1.椭圆的标准方程 (1) 22221,(0)x y a b a b +=>>,焦点12(,0),(,0)F c F c -,其中c = (2) 22221,(0)x y a b b a +=>>,焦点12(0,),(0,)F c F c -,其中c =2.双曲线的标准方程 (1) 22221,(0,0)x y a b a b -=>>,焦点12(,0),(,0)F c F c -,其中c . (2) 22221,(0,0)x y a b b a -=>>,焦点12(0,),(0,)F c F c -,其中c 3.抛物线的标准方程 (1) 2 2 2 2 2,2,2,2,(0)y px y px x py x py p ==-==->.对应的焦点分别为: (,0),(,0),(0,),(0,)2222 p p p p F F F F --. 三.典例分析 1.不用韦达定理与用韦达定理的选择陷阱 例1. 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,离心率为12 .已知A 是抛物线22(0) y px p =>的焦点,F 到抛物线的准线l 的距离为1 2 . (I )求椭圆的方程和抛物线的方程; (II )设l 上两点P ,Q 关于x 轴对称,直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于点A ),直线BQ 与x 轴相交于点D .

高考数学试题分类大全理科圆锥曲线

2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一. 选择题: 1.(福建卷11)又曲线22 221x y a b ==(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点, 且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.(海南卷11)已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上,那么点P 到点Q (2,-1)的距离与点P 到 抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为( A ) A. (4 1 ,-1) B. ( 4 1 ,1) C. (1,2) D. (1,-2) 3.(湖北卷10)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P 点 1 2c 第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a <22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.(湖南卷8)若双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于 它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)

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