【重点推荐】新九年级数学上册 第3章 圆的基本性质 3.3 垂径定理 第1课时 垂径定理同步练习 (新版)练习试

3.3 垂径定理

第1课时 垂径定理

知识点一 圆的对称性

圆是________图形，每一条____________都是它的对称轴． 1．圆有________条对称轴，它的对称轴是________． 知识点二 垂径定理

垂直于弦的直径________，并且平分________． 圆心到圆的一条弦的距离叫做________．

2．如图3－3－1，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，连结BC ，BD ，则下列结论中不一定正确的是( )

图3－3－1

A ．AE ＝BE B.AD ︵＝BD ︵

C.AC ︵＝BC ︵

D ．O

E ＝DE

3．如图3－3－2，在⊙O 中，半径OB ＝5 cm ，OC ⊥AB ，OC ＝3 cm ，则弦AB 的长为________ cm.

图3－3－2

类型一 运用垂径定理探索圆中的计算问题

例1 [教材补充例题] 如图3－3－3，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，AB ⊥CD 于点M ，

CD ＝15 cm ，OM ∶OC ＝3∶5，求弦AB 的长．

图3－3－3

【归纳总结】垂径定理的基本模型

如图3－3－4，在⊙O 中，OC ⊥AB ?r 2

＝? ??

??a 22

＋h 2

.

图3－3－4

类型二 运用垂径定理探索圆 中的证明问题

例2 [教材补充例题] 如图3－3－5，AB ，CD 是⊙O 的弦，∠A ＝∠C .求证：AB ＝CD .

图3－3－5

【归纳总结】利用垂径定理证明的常见辅助线

作圆心到弦的垂线段，它在沟通半径与弦中起着桥梁的作用．

类型三运用垂径定理解决实际问题

例3 [教材例2变式] 要测量一个钢板上的小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果用一个直径为10 mm的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h＝8 mm(如图3－3－6)，求此小孔的直径d.

图3－3－6

【归纳总结】弓形问题的基本模型

如图3－3－7，弓形的半径为r ，弦长为a ，弓高为h ，则：①r 2

＝? ??

??a 22

＋(h －r )2；②r

2

＝? ??

??a 22

＋(r －h )2.

图3－3－7

半径为5 cm 的圆中有两条弦，弦长分别为3 cm ，4 cm ，求两弦之间的距离．

解：如图3－3－8，过点O作OF⊥AB，垂足为F，交CD于点E，连结OD，OB. 在Rt△OED中，

OE＝OD2－ED2＝52－42＝3(cm)，

OF＝OB2－FB2＝52－32＝4(cm)，

∴EF＝4－3＝1(cm)，

∴两弦之间的距离为1 cm.

以上解法正确吗？若不正确，请改正．

图3－3－8

课时作业(十七)

[3.3 第1课时 垂径定理]

一、选择题

1．如图K －17－1，已知⊙O 的直径AB ⊥CD 于点E ，则下列结论一定错误的是( )

图K －17－1

A ．CE ＝DE

B ．AE ＝OE C.B

C ︵＝B

D ︵

D ．△OC

E ≌△ODE

2．如图K －17－2所示，⊙O 的半径为13，弦AB 的长度是24，ON ⊥AB ，垂足为N ，则

ON 的长为链接学习手册例1归纳总结( )

图K －17－2

A ．5

B ．7

C ．9

D ．11

3．2017·金华如图K －17－3，在半径为13 cm 的圆形铁片上切下一块高为8 cm 的弓形铁片，则弓形的弦AB 的长为( )

链接学习手册例3归纳总结

图K －17－3

A ．10 cm

B ．16 cm

C ．24 cm

D ．26 cm

4．已知⊙O 的面积为2π，则其内接正三角形的面积为( ) A ．3 3 B ．3 6 C.32 3 D.3

2

6

5．如图K －17－4，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B ＝60°，⊙O 的半径为4，则AC 的长为( )

链接学习手册例1归纳总结

图K －17－4

A ．4 3

B ．6 3

C ．2 3

D ．8

6．圆的半径为13 cm ，两弦AB ∥CD ，AB ＝24 cm ，CD ＝10 cm ，则两弦AB ，CD 之间的距离是( )

A ．7 cm

B ．17 cm

C ．12 cm

D ．7 cm 或17 cm 二、填空题

7．2017·大连如图K －17－5，在⊙O 中，弦AB ＝8 cm ，OC ⊥AB ，垂足为C ，OC ＝3 cm ，则⊙O 的半径为________cm.

图K －17－5

8．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题．“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图K－17－6所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1，AB＝10，求CD的长”. 同学们根据题意可得CD的长为________.链接学习手册例3归纳总结

图K－17－6

9．在半径为2的圆中，弦AC的长为1，M为AC的中点，过点M的最长的弦为BD，则四边形ABCD的面积为________．

10．2016·绍兴如图K－17－7①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm，则该脸盆的半径为________cm.链接学习手册例3归纳总结

图K－17－7

11．2017·雅安⊙O的直径为10，弦AB的长为6，P是弦AB上一点，则OP长的取值范围是________．

12．2017·遵义如图K－17－8，AB是⊙O的直径，AB＝4，M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为________.链接学习手册例1归纳总结

图K－17－8

三、解答题

13．如图K－17－9，⊙O是△ABC的外接圆，过点O作OE⊥AC于点E，OD⊥AB于点D，连结DE，你认为DE与BC有什么关系？写出你的结论和理由.链接学习手册例2归纳总结

图K－17－9

14．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图K－17－10)．

(1)求证：AC＝BD；

(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．

图K－17－10

15．如图K－17－11所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，BC长为半径作圆交AB于点D，求AD的长．

图K－17－11

探究应用如图K－17－12所示，已知半径为2的⊙O有两条互相垂直的弦AB和CD，其交点E到圆心O的距离为1，求AB2＋CD2的值．

图K－17－12

详解详析

【学知识】

知识点一 轴对称 过圆心的直线 1．无数 过圆心的直线

知识点二 平分这条弦 弦所对的弧 弦心距 2．[答案] D 3．[答案] 8 【筑方法】

例1 [解析] 这是应用垂径定理进行计算的一个基础题．先求出OM 的长，再根据勾股定理求得AM 的长，再由垂径定理得AB ＝2AM.

解：连结OA.由垂径定理，得AM ＝BM. ∵CD ＝15 cm ，∴OC ＝7.5 cm. 又∵OM∶OC＝3∶5， ∴OM ＝4.5 cm.

在Rt △AOM 中，由勾股定理，得AM ＝OA 2

－OM 2

＝6(cm)，即AB ＝12 cm.

例2 [解析] 首先作出两弦AB ，CD 的弦心距OE ，OF ，由垂径定理得AE ＝12AB ，CF ＝1

2CD ，

然后利用全等三角形证明AE ＝CF.

证明：如图，过点O 分别作OE⊥AB 于点E ，作OF⊥CD 于点F ，则AE ＝12AB ，CF ＝1

2

CD.

∵∠A ＝∠C，∠AEO ＝∠CFO＝90°，OA ＝OC ， ∴△AOE ≌△COF ，∴AE ＝CF ，∴AB ＝CD.

例3 解：如图，过点O 作OD⊥AB 于点D ，DO 的延长线交⊙O 于点C ，连结OB.

由垂径定理得CD垂直平分AB.

CD＝h＝8 mm，OD＝CD－CO＝3 mm.

在Rt△ODB中，BD＝OB2－OD2＝52－32＝4(mm)，

∴AB＝2BD＝8 mm.

答：此小孔的直径d为8 mm.

【勤反思】

[小结] 平分弧圆心

[反思] 不正确．还有一种情况，即EF＝OE＋OF＝7 cm.如图所示．故两弦之间的距离为1 cm或7 cm.

【课时作业】

[课堂达标]

1．[答案] B

2．[答案] A

3．[答案] C

4．[答案] C

5．[解析] A 连结OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，

∵∠AOC ＝2∠B，且∠AOD＝∠COD＝1

2∠AOC，

∴∠COD ＝∠B＝60°， ∴∠OCD ＝30°.

在Rt △COD 中，OC ＝4，∠OCD ＝30°， ∴OD ＝12OC ＝2，CD ＝OC 2－OD 2

＝2 3，

∴AC ＝2CD ＝4 3.

6．[全品导学号：63422240][解析] D 分弦AB 和CD 在圆心O 的同侧和异侧两种情况进行讨论．

7．[答案] 5 8．[答案] 26

[解析] 连结OA ，由垂径定理可知AE ＝1

2AB ＝5.若设⊙O 的半径为r ，则OE ＝r －CE ＝r

－1，于是由勾股定理可得r 2

＝(r －1)2

＋52

，解得r ＝13，所以⊙O 的直径CD 的长为26.

9．[全品导学号：63422241][答案] 2 10．[全品导学号：63422243][答案] 25

[解析] 如图，设圆的圆心为O ，连结OA ，OC ，OC 与AB 交于点D ，设⊙O 的半径为R ，

∵OC ⊥AB ，

∴AD ＝DB ＝1

2AB ＝20 cm ，∠ADO ＝90°.

在Rt △AOD 中，∵OA 2

＝OD 2

＋AD 2

， ∴R 2

＝(R －10)2

＋202， 解得R ＝25.故答案为25. 11．[答案] 4≤OP≤5

[解析] 当点P 与点A 或点B 重合时，OP 为半径，故OP 最大为5，当OP⊥AB 时，根据“垂线段最短”可得此时OP 最小．根据垂径定理可知AP ＝BP ＝3，结合勾股定理可得OP ＝52

－32＝4.

12．[答案] 14

[解析] 如图，过点O 作ON⊥CD 于点N ，连结OC ，∵∠CMA ＝45°，∠ONC ＝90°，∴△MON 是等腰直角三角形．∵AB＝4，M 是OA 的中点，∴OM ＝1，根据勾股定理解得ON ＝22

，在Rt △CON 中，CN ＝OC 2

－ON 2

＝

22

－? ??

??222

＝142，∴CD ＝2CN ＝14.

13．解：结论：DE 綊1

2BC.

理由：∵OD⊥AB，OE ⊥AC ， ∴AD ＝BD ，AE ＝EC ，∴DE 綊1

2

BC.

14．解：(1)证明：如图，过点O 作OE⊥AB 于点E.

易知AE ＝BE ，CE ＝DE ， ∴AE －CE ＝BE －DE ，即AC ＝BD.

(2)∵由(1)可知OE⊥AB 且OE⊥CD，连结OC ，OA ， ∴OE ＝6，

∴CE ＝OC 2

－OE 2

＝2 7，AE ＝OA 2

－OE 2

＝8， ∴AC ＝AE －CE ＝8－2 7.

15．解：过点C 作CM⊥AB，交AB 于点M ， 由垂径定理可得M 为BD 的中点． ∵AC ＝4，BC ＝3，∴AB ＝5. ∵S △ABC ＝12AC·BC＝1

2

AB·CM，

∴CM ＝2.4.

在Rt △BCM 中，根据勾股定理，得BC 2

＝BM 2

＋CM 2

，即9＝BM 2

＋2.42

， 解得BM ＝1.8， ∴BD ＝2BM ＝3.6，

∴AD ＝AB －BD ＝5－3.6＝1.4. [素养提升]

[全品导学号：63422242][解析] 连结AO ，DO ，OE ，过点O 作OM⊥CD 于点M ，作ON⊥AB

于点N ，构造矩形ENOM ，然后利用勾股定理和垂径定理，推知OM 2＝DO 2－DM 2＝4－(DC 2)2，ON

2

＝OA 2－AN 2＝4－(AB 2

)2，所以OM 2＋ON 2

＝

4－(DC 2)2＋4－(AB 2

)2＝1，由此解得AB 2＋CD 2

＝28.

解：如图，连结AO ，DO ，OE ，过点O 作OM ⊥CD 于点M ，作ON⊥AB 于点N.

∵DC ⊥AB ，OM ⊥DC ，ON ⊥AB ， ∴四边形OMEN 为矩形．

∵OM 2

＋ME 2

＝OE 2

(勾股定理)，且ME 2

＝ON 2

， ∴OM 2

＋ON 2

＝OE 2

.

∵OM 2＝DO 2－DM 2

＝4－(DC 2)2，

ON 2＝OA 2－AN 2

＝4－(AB 2

)2，

∴OM 2＋ON 2

＝4－(DC 2)2＋4－(AB 2)2＝1，

∴AB 2＋CD 2＝28.

新人教部编版初高中精选试题

人教版九年级数学上册垂径定理

初中数学试卷 垂径定理 一.选择题 ★1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 ★★2．如图2，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 ★★3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（ ） A ．9cm B ．6cm C ．3cm D ．cm 41 ★★4．如图3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ） A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位 ★★5．如图4，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（ ） A ．23cm B ．32cm C ．42cm D ．43cm ★★6．下列命题中，正确的是（ ） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D ．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 ★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( ) A ．5米 B ．8米 C ．7米 D ．53米

★★★8．⊙O 的半径为5cm ，弦AB//CD ，且AB=8cm,CD=6cm,则AB 与CD 之间的距离为( ) A ． 1 cm B ． 7cm C ． 3 cm 或4 cm D ． 1cm 或7cm ★★★9．已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，那么BC 边上的高为( ) A ．2 B ．8 C ．2或8 D ．3 二.填空题 ★1．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O 的半径为 cm ★2．在直径为10cm 的圆中，弦AB 的长为8cm ，则它的弦心距为 cm ★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于 ★★4．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O 的半径为 cm ★★5．如图1，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若∠COD＝120°，OE ＝3厘米，则CD ＝ 厘米 O 图 4E D C B A ★★6．半径为6cm 的圆中，垂直平分半径OA 的弦长为 cm. ★★7．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ，则OM 的长等于 cm ★★8．已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________ ★★9．如图2，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ， 且CD ＝l ，则弦AB 的长是 ★★10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图3所示，已知AB ＝16m ，半径OA ＝10m ，则中间柱CD 的高度为 m ★★11．如图4，在直角坐标系中，以点P 为圆心的圆弧与轴交于A 、B 两点，已知P(4，2) 和A(2，0)，则点B 的坐标是 ★★12．如图5，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥AC 于点D ，BC=6cm ，则OD= cm ★★13．如图6，矩形ABCD 与圆心在AB 上的圆O 交于点G 、B 、F 、E ，GB=10，EF=8，那么 B A P O y x

(完整版)北师大九年级数学知识点

北师大版初中数学定理知识点汇总[九年级(上册) 第一章 证明(二) ※等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的 直角三角形，其中一个锐角等于30o，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 ※有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。 ※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有： ①勾股定理：2 22c b a =+（注意区分斜边与直角边） ②在直角三角形中，如有一个内角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现） ※垂直平分线．．．．．是垂直于一条线段．．并且平分这条线段的直线．．。（注意着重号的意义） <直线与射线有垂线，但无垂直平分线> ※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 ※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图1所示， AO=BO=CO ） ※角平分线上的点到角两边的距离相等。 ※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。 角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 ※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 (如图2所示，OD=OE=OF) 第二章 一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02 =++c bx ax （a 、b 、c 为 常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．． 。 ※把02 =++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。 ※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为0)(2 =+m x 的形式> ②公式法 a ac b b x 242-±-= （注意在找ab c 时须先把方程化为一般形式） ③分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。 （主要包括“提公因式”和“十字相乘”） A C B O 图1 图2 O A C B D E F

最新人教版初中九年级上册数学《切线长定理》教案

第3课时切线长定理 【知识与技能】 理解掌握切线长的概念和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心等概念. 【过程与方法】 利用圆的轴对称性帮助探求切线长的特征.结合求证三角形内面积最大的圆的问题，掌握三角形内切圆和内心的概念. 【情感态度】 经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力. 【教学重点】 切线长定理及其应用. 【教学难点】 内切圆、内心的概念及运用. 一、情境导入，初步认识 探究如图，纸上有一⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B，回答下列问题：（1）OB是⊙O半径吗？（2）PB是⊙O的切线吗？（3）PA、PB是什么关系？（4）∠APO和∠BPO有何关系？ 学生动手实验，观察分析，合作交流后，教师抽取几位学生回答问题. 分析：OB与OA重合，OA是半径，∴OB也是半径.根据折叠前后的角不变，∴∠PBO=∠PAO=90°（即PB⊥OB），PA=PB，∠POA=∠POB；∠APO=∠BPO.而PB 经过半径OB的外端点，∴PB是⊙O的切线.

二、思考探究，获取新知 1.切线长的定义及性质 切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长. 我们知道圆的切线是直线，而切线长是一条线段长，不是直线. 如右图中，PA、PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB.又OA=OB，OP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP，∴PA=PB，∠AOP=∠BOP，∠APO=∠BPO. 由此我们得到切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 【教学说明】这个定理要让学生分清题设和结论.题设：过圆外一点作圆的切线.结论：①过圆外的这一点可作该圆的两条切线.②两条切线长相等.③这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 猜想：在上图中连接AB，则OP与AB有怎样的关系？ 分析：∵PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点.∴PA=PB，∠OPA=∠OPB，∴OP ⊥AB，且OP平分AB. 2.三角形的内切圆 思考如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？ 【教学说明】引导学生分析作图的关键，假设圆已经作出，圆心应满足什么条件，怎样根据这些条件确定圆心？圆心确定后，如何确定半径？教师引导，学生要互相讨

人教版 九年级 数学 公式

人教版初中数学公式大全 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形

人教版数学九年级切线长定理—知识讲解(基础)

切线长定理—知识讲解（基础） 【学习目标】 1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义； 2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明. 【要点梳理】 要点一、切线的判定定理和性质定理 1．切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要点诠释： 切线的判定方法： （1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线； （2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； （3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）. 2．切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 要点诠释： 切线的性质： （1）切线和圆只有一个公共点； （2）切线和圆心的距离等于圆的半径； （3）切线垂直于过切点的半径； （4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点； （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 要点二、切线长定理 1．切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释： 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 3．圆外切四边形的性质： 圆外切四边形的两组对边之和相等. 要点三、三角形的内切圆 1．三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心：

垂径定理

2 1 垂径定理 一、 圆的对称性 圆是轴对称图形，对称轴是 二、 如图是一个圆形纸片把该纸片沿直径AB 折叠，其中点A 和点是一组对称点 （1）思考∵OC=OD, ∴Δ OCE ≌ΔODE, ∠OEC= ∠OED= ∴AB 与CD 的位置关系是 （2）又∵点C 和点D 是一组对称点 ∴CE= 即点E 是CD 的中点 （3）根据折叠可得，弧AC=弧AD, 弧BC=弧BD, 结论：垂径定理及其推论 1、垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两段弧 2、推论：平分弦（不是直径）的直径 并且 弦所对的两条弧 三、规律总结;垂径定理及其推论与“知二得三” 对于一个圆和一条直线，若具备： （1） 过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个 条件中的任何两个条件都可以退出其他三个结论 四、 垂径定理基本图形的四变量、两关系 四变量：弦长a,圆心到弦的距离d,半径r ，弓形高h ，这四个量知道任意两个可求其他两个。 五、垂径定理及其推论的应用 （一）、选择题： 1、已知圆内一条弦与直径相交成300角，且分直径成1CM 和5CM 两部分，则这条弦的弦心距是： A 、 B 、1 C 、2 D 、25 2、AB 、CD 是⊙O 内两条互相垂直的弦，相交于圆内P 点，圆的半径为5，两条弦的长均为8，则OP 的长为： A 、3 B 、3 C 、3 D 、2 3、⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，⊙O 的半径为2，则等边三角形ABC 的边长为（ ） A B C ． D ．4、如图2，⊙O 的弦AB =6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为（ ）A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 5、高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ） A ．5 B ．7 C ． 375 D ．377 6、如图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的半径为（ ） A ．6.5米 B ．9米 C ．13米 D ．15米 7、如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AB 是直径．若80BOC ∠=°，则A ∠等于（ ） A ．60° B ．50° C ．40° D ．30°

九年级(上册)初中数学定理知识点汇总

九年级(上册)初中数学定理知识点汇总 第一章 证明(二) 一 两个三角形有关公理与定理： 1。.公理：三边对应相等的两个三个形全等（SSS ） 2。.公理：两边及其夹角对应相等的两个三个形全等（SAS ） 3。.公理：两角及其夹边对应相等的两个三个形全等（ASA ） 4。公理：全等三个形的对应角相等及对应边相等 5。推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三个形全等（AAS ）。 二 一个三角形有关公理与定理： 1。定理：等腰三角形的两个底角相等（简述：等边对等角） 2。推论：等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 3。等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的直角三角形，其中一个锐角等于30o，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 4。有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。 5。等腰三角形的两个底角的平分线相等； 等腰三角形的两腰上的中线相等；等腰三角形的两腰上的高相等。 6。如果知道一个三角形为直角三角形 首先要想的定理有： ①勾股定理：2 22c b a =+（注意区分斜边与直角边） ②在直角三角形中，如有一个内角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现） 7。垂直平分线．．．．．是垂直于一条线段．．并且平分这条线段的直线．． 。（注意着重号的意义） <直线与射线有垂线，但无垂直平分线> 8。线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 9。线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 10。三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图1所 示，AO=BO=CO ，点o 叫外心） 11。角平分线上的点到角两边的距离相等。 12。角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。 角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 13。三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点o 即为三角形的内心。 (如图2所示，OD=OE=OF ) A C B O 图1 图2 O A C B D E F

切线长定理专题

1 《切线长定理》专题 班级 姓名 （一）温故知新： 1．直线和圆有哪几种位置关系？切线的判定定理和性质定理是什么？ （二）探究新知： 探究一：如图所示，已知⊙O 及圆外一点P ，过点P 作⊙O 的切线，可以作几条？ ☆ 从⊙O 外一点P 可以引⊙O 的 条切线， ☆ 切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点与 的线段的长，叫做这点到圆的 。 问题：如图，已知⊙O 及圆外一点P ，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 是切点，连接PO ，图中有哪些相等线段，相等的角？为什么？ 总结归纳： ☆ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的 ，圆心和这一点的连线 两条切线的夹角. 用符号语言表示定理： （三）学以致用： 1.填空：如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ， （1）若PB=12，PO=13，则AO=＿＿＿. （2）若PO=10，AO=6，则PB=＿＿＿； （3）若PA=4，AO=3，则PO=＿＿＿； 例 1 如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，PO PA=4cm,PD=2cm. 求半径OA 的长.⑵如果∠APB=50°，C 是⊙O 上异于A 、B 的任意一点，求∠ACB 的度数？ P P

探究二：如图，是一块三角形铁皮，怎样才能从中剪裁一个“最大的圆”？ 作法： 总结归纳： ☆三角形的内切圆：与三角形各边都的圆叫做三角形的.内切圆的圆心是的交点，叫做三角形的。内心到的距离相等 1.已知：如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，图中共有几对相等线段？ ⑴若AD=4，BC=5，CF=2，则△ABC的周长是＿＿；⑵如果∠A=70°，则∠BOC= ； ⑶若AB=4，BC=5，AC=6，求AD，BE，CF的长？ 例2 如图，⊙I是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，已知∠C=90°，AC=3，BC=4，求⊙I的半径？ 直线和圆的位置关系习题课 A 2

年级数学垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系人教版知识精讲

九年级数学垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系人教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 ［学习目标］ 1. 理解由圆的轴对称性推出垂径定理，概括理解垂径定理及推论为“知二推三”。（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分优弧。已知其中两项，可推出其余三项。注意：当知（1）（3）推（2）（4）（5）时，即“平分弦的直径不能推出垂直于弦，平分两弧。”而应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧”。 2. 深入理解垂径定理及推论，为五点共线，即圆心O ，垂足M ，弦中点M ，劣弧中点D ，优弧中点C ，五点共线。（M 点是两点重合的一点，代表两层意义） 3. 应用以上定理主要是解直角三角形△AOM ，在Rt △AOM 中，AO 为圆半径，OM 为弦AB 的弦心距，AM 为弦AB 的一半，三者把解直角形的知识，借用过来解决了圆中半径、弦、弦心距等问题。无该Rt △AOM 时，注意巧添弦心距，或 半径，构建直角三角形。 4. 弓形的高：弧的中点到弦的距离，明确由定义知只要是弓形的高，就具备了前述的（4）（2）或（5）（2）可推（1）（3）（5）或（1）（3）（4），实际可用垂径定理及推论解决弓形高的有关问题。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理，理解为：（1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。四项“知一推三”，一项相等，其余三项皆相等。源于圆的旋转不变性。即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图象完全重合。 ()()()()1234??? 6. 应用关系定理及推论，证角等，线段等，弧等，等等，注意构造圆心角或弦心距作为辅助线。 7. 圆心角的度数与弧的度数等，而不是角等于弧。 二. 重点、难点： 垂径定理及其推论，圆心角，弧，弦，弦心距关系定理及推论的应用。 【典型例题】 例1. 已知：在⊙O 中，弦AB ＝12cm ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：∠AOB 的度数和圆的半径。 点悟：本例的关键在于正确理解什么是O 点到AB 的距离。 解：作OE ⊥AB ，垂足为E ，则OE 的长为O 点到AB 的距离，如图所示： ∴==?=OE AB cm 121 2 126() 由垂径定理知：AE BE cm ==6 ∴△AOE 、△BOE 为等腰直角三角形 ∴∠AOB ＝90° 由△AOE 是等腰直角三角形 ∴==OA AE 626， 即⊙O 的半径为62cm 点拨：作出弦（AB ）的弦心距（OE ），构成垂径定理的基本图形是解决本题的关键。 例2. 如图所示，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为a ，b 。 求证：AD BD a b ·=-2 2 证明：作OE ⊥AB ，垂足为E ，连OA 、OC 则OA a OC b ==， 在Rt AOE ?中，AE OA OE 2 2 2 =- 在Rt COE ?中，CE OC OE 2 2 2 =- ()() ∴-=---AE CE OA OE OC OE 222222 =-=-OA OC a b 22 2 2 即()()AE CE AE CE a b +-=-22 BD AC ED CE ==, AD ED AE CE AE =+=+∴ BD AC CE AE ==- 即2 2b a BD AD -=? 点拨：本题应用垂径定理，构造直角三角形，再由勾股定理解题，很巧妙。 例3. ⊙O 的直径为12cm ，弦AB 垂直平分半径OC ，那么弦AB 的长为（ ） A. 33cm B. 6cm C. 63cm D. 123cm （2001年辽宁） 解：圆的半径为6cm ，半径OC 的一半为3cm ，故弦的长度为 ( ) 2632321632 2 2 2 -=-=()cm 故选C 。 例4. 如图所示，以O 为圆心，∠AOB ＝120°，弓形高ND ＝4cm ， 矩形EFGH 的两顶点E 、F 在弦AB 上，H 、G 在AB ? 上，且EF C O A B M D O

九年级数学垂径定理

初三数学垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系知识精讲 一. 本周教学内容： 垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 ［学习目标］ 1. 理解由圆的轴对称性推出垂径定理，概括理解垂径定理及推论为“知二推三”。（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分优弧。已知其中两项，可推出其余三项。注意：当知（1）（3）推（2）（4）（5）时，即“平分弦的直径不能推出垂直于弦，平分两弧。”而应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧”。 2. 深入理解垂径定理及推论，为五点共线，即圆心O，垂足M，弦中点M，劣弧中点D，优弧中点C，五点共线。（M点是两点重合的一点，代表两层意义） C O A B M D 3. 应用以上定理主要是解直角三角形△AOM，在Rt△AOM中，AO为圆半径，OM为弦AB的弦心距，AM为弦AB的一半，三者把解直角形的知识，借用过来解决了圆中半径、弦、弦心距等问题。无该Rt△AOM时，注意巧添弦心距，或半径，构建直角三角形。 4. 弓形的高：弧的中点到弦的距离，明确由定义知只要是弓形的高，就具备了前述的（4）（2）或（5）（2）可推（1）（3）（5）或（1）（3）（4），实际可用垂径定理及推论解决弓形高的有关问题。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理，理解为：（1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。四项“知一推三”，一项相等，其余三项皆相等。源于圆的旋转不变性。即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图象完全重合。 ()()()() 1234 ??? O B' M' A' B M A 6. 应用关系定理及推论，证角等，线段等，弧等，等等，注意构造圆心角或弦心距作为辅助线。 7. 圆心角的度数与弧的度数等，而不是角等于弧。

数学人教版九年级下册初中数学公式定理大全

初中数学公式定理大全 1、直线 ①过两点确定一条直线②两点之间线段最短 2、平行线性质 ①同位角相等②内错角相等③同旁内角互补 3、平行线判定 ①同位角相等②内错角相等③同旁内角互补 4、三角形边关系 ①两边之和大于第三边②两边之差小于第三边 5、三角形角关系 ①三个内角和等于180°②一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 ③一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 ④n边形内角和公式=（n-2）×180°；n边形外角和等于360° 6、全等三角形性质: 对应边、对应角相等 7、全等三角形判定 ①边边边（SSS）三边对应相等 ②边角边（SAS）两边和它们的夹角对应相等 ③角边角（ASA）两角和它们的夹边对应相等 ④角角边（AAS）两角和其中一角的对边对应相等 ⑤斜边、直角边（HL）斜边和一条直角边对应相等 8、角平分线的性质 ①角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 9、垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 10、等腰三角形性质 ①两条边（腰）相等 ②两个底角相等 ③顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（三线合一） 11、等腰三角形判定 ①有两条边相等的三角形②有两个角相等的三角形

12、等边三角形性质 ①三条边都相等②三个内角都等于60° ③每个内角的平分线、对边上的中线和对边上的高都互相重合（三线合一） 13、等边三角形判定 ①三条边都相等的三角形②三个角都相等即有两个角等于60°的三角形 ③有一内个角等于60°的等腰三角形 14、直角三角形性质 ①两个锐角互余 ②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理） ③30°直角三角形，短边、长边、斜边比例分别为1 ④45°直角三角形，直角边、斜边比例分别为1:1 ⑤斜边上的中线等于斜边长的一半⑥斜边上的高=直×直÷斜 15、直角三角形判定 ①有一个角为直角②有两个角互余 ③三边长a、b、c满足222 a b c +=(满组（勾股定理逆定理） 16、平行四边形性质 ①对角相等②对边平行且相等③对角线互相平分 17、平行四边形判定 ①两组对边分别平行的四边形②两组对边分别相等的四边形 ③一组对边平行且相等的四边形④对角线互相平分的四边形 ⑤对角分别相等的四边形 18、矩形性质（除平行四边形已有的外） ①四个角是直角②对角线相等 19、矩形判定 ①有一个角是直角的平行四边形②有三个角是直角的四边形 ②对角线相等的平行四边形 20、菱形性质（除平行四边形已有的外） ①四条边都相等 ②对角线互相垂直③每一条对角线平分一组对角 21、菱形判定

人教版九年级数学讲义垂径定理(含解析)(2020年最新)

第11讲垂径定理 知识定位 讲解用时：3分钟 A、适用范围：人教版初三，基础一般 B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习垂径定 理及其相关推论，着重理解垂径定理及其相关推论在实际问题以及几何图形中的 应用，掌握关于垂径定理部分题型的常见辅助线的做法，能够结合勾股定理进行熟练计算。本节课的难点是垂径定理及其推论在几何图形中的应用，涉及的知识点较多，考查的内容较广，具有一定的综合性。希望同学们认真学习，为后面圆 的其他内容理解奠定良好基础。 知识梳理 讲解用时：15分钟 垂径定理及其推论 （1）垂径定理 如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平 分这条弦所对的弧。 （2）相关推论 ①如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这 条弦，并且平分这条弦所对的弧； ①如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦； ①如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平 分这条弦所对的弧；

①如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心， 并且垂直于这条弦； ①如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线 经过圆心，并且平分这条弦。 总结：在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关 系也成立。

课堂精讲精练 【例题1】 下列判断中，正确的是（）。 A．平分一条弦所对的弧的直线必垂直于这条弦 B．不与直径垂直的弦不能被该直径平分 C．互相平分的两条弦必定是圆的两条直径 D．同圆中，相等的弦所对的弧也相等 【答案】C 【解析】本题考查了垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理 同时平分一条弦所对优弧、劣弧的直线必垂直于这条弦，故A错误； 任意两条直径互相平分，故B错误； 同圆中，相等的弦所对的优弧、劣弧分别相等，故D错误。 讲解用时：3分钟 解题思路：根据垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理逐项排除。 教学建议：基本概念题，逐项排除。 难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018 【练习1】 下列说法正确的个数是（）。 ①垂直于弦的直线平分弦；①平分弦的直线垂直于弦；①圆的对称轴是直径；①圆的对称轴有无数条；①在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对 的优弧和劣弧分别相等。 A．1个B．2个C．3个D．4个 【答案】B 【解析】本题主要考查了垂径定理以及圆的基本性质， ①垂直于弦的直径平分弦；故错误； ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；故错误；

九年级数学定理汇总

(1) S长=ab (2)S正=aa (3)S三=ah÷2 (4)S平=ah (5)S梯=(a+b)h÷2 (6)S圆=3.14rr (7)C长=(a+b)×2 (8)C正=4a (9)C圆=3.14d或2×3.14×r (10)V长=abh (11)V立=aaa (12)V圆柱=Sh或3.14×r×r×h (13)V圆锥=Sh÷3 (14)S圆柱的侧面积=Ch (15)加法交换律：a+b=b+a (16)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) (17)乘法交换律：a×b=b×a (18)乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) (19)乘法分配律：ac＋bc=(a+b)×c (20)减法的性质：a-b-c=a-(b+c) (21)图上距离：实际距离=比例尺 (22)3.14×2=6.28 (23) 3.14×3=9.42 (24) 3.14×4=12.56 (25) 3.14×5=15.7 (26) 3.14×6=18.84 (27) 3.14×7=21.98 (28) 3.14×8=25.12 (29) 3.14×9=28.26 (30) 3.14×15=706.5 (31) 3.14×16=50.24 (32) 3.14×25=78.5 (33) 3.14×36=113.04

(2) 常见的初中数学公式 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

数学人教版九年级上册《 切线长定理》

《切线长定理》教案 浠水县望城实验中学万春光 教学目标 1．知识与技能：理解切线长的概念，掌握切线长定理的内容，并会运用切线长定理解决相关的问题. 2．过程与方法：通过复习引导给出切线长定义，经过实验、猜想、证明发现切线长定理。培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想． 3．情感、态度和价值观：通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度． 教学重点 切线长定理及其运用. 教学难点 切线长定理的导出及证明和运用定理解决实际问题. 教学过程 (一)情景引入 由如何求“V ”形支架內篮球的半径而引出切线长. (二)探求新知 活动一：切线长定义

如图，已知⊙O外一点P,过P作⊙O的切线PA，切点为A，则P点与A点之间的线段长度，就是P点到⊙O的切线长. 切线长定义： 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. （引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.） 活动二：过圆外一点最多可以引圆的几条线. （演示）过圆外一点最多可以引圆的两条切线. 活动三： 观察：如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，则线段PA，PB 都是点P到⊙O的切线长． 1、提出问题：（1）线段PA与PB的长度有什么关系呢. (2)连接PO,则∠OPA与∠OPB的大小有什么关系. 2、观察： 在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？ 3、猜想：PA=PB，∠APO=∠BPO 4、证明猜想，形成定理

九年级数学上垂径定理练习题

B F E O D C A 垂径定理综合训练习题 一、垂径定理在证明上的应用 1、如图，AB 、CD 都是⊙O 的弦，且AB ∥CD ，求证： 弧AC = 弧BD 。 2.如图，CD 为⊙O 的弦，在CD 上截取CE=DF ，连结OE 、OF ，并且它们的延长⊙O 于点A 、 B 。 （1）试判断△OEF 的形状，并说明理由；（2）求证：? AC =? BD 。 3、如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的弦，C 、D 是直线AB 上两点，且AC ＝BD 求证：△OCD 为等腰三角形。 4、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是 的中点， AD ⊥BC 于D ，求证：AD=2 1 BF. 二、垂径定理在计算上的应用（一）求半径，弦长，弦心距 1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深 度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm. A B C D O A B C D O O A E F

变式 2.在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm 2：如图为一圆弧形拱桥，半径OA = 10m ，拱高为4m ，求拱桥跨度AB 的长。 3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F . （1）求证：四边形OEHF 是正方形. （2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离. 4、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E ，求AB 和AD 的长。 （二）、度数问题 1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径。. A C B D O C A D E

新人教版九年级上册数学[切线长定理—知识点整理及重点题型梳理](提高)

新人教版九年级上册初中数学 重难点有效突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 切线长定理—知识讲解（提高） 【学习目标】 1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义； 2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明. 【要点梳理】 要点一、切线的判定定理和性质定理 1．切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要点诠释： 切线的判定方法： （1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线； （2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； （3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）. 2．切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 要点诠释： 切线的性质： （1）切线和圆只有一个公共点； （2）切线和圆心的距离等于圆的半径； （3）切线垂直于过切点的半径； （4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点； （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 要点二、切线长定理 1．切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释： 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 3．圆外切四边形的性质：

圆外切四边形的两组对边之和相等. 要点三、三角形的内切圆 1．三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心： 三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 要点诠释： (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). 【典型例题】 类型一、切线长定理 1.如图，等腰三角形ABC中，6 AC BC ==，8 AB=．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC 于点G，DF AC ⊥，垂足为F，交CB的延长线于点E．求证：直线EF是⊙O的切线. 【答案与解析】 如图，连结OD、CD，则90 BDC ∠=?． ∴CD AB ⊥． ∵ AC BC =，∴AD BD =． ∴D是AB的中点． ∵O是BC的中点，

九年级数学上垂径定理练习题

B F E O D C A O D C B A A B C D O 垂径定理综合训练习题 一、垂径定理在证明上的应用 1、如图，AB 、CD 都是⊙O 的弦，且AB ∥CD ，求证： 弧AC = 弧BD 。 2.如图，CD 为⊙O 的弦，在CD 上截取CE=DF ，连结OE 、OF ，并且它们的延长⊙O 于点A 、 B 。 （1）试判断△OEF 的形状，并说明理由；（2）求证：? AC =? BD 。 3、如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的弦，C 、D 是直线AB 上两点，且AC ＝BD 求证：△OCD 为等腰三角形。 4、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=2 1 BF. 二、垂径定理在计算上的应用（一）求半径，弦长，弦心距 1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深 度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm. 变式2.在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm 2：如图为一圆弧形拱桥，半径OA = 10m ，拱高为4m ，求拱桥跨度AB 的长。 3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F . （1）求证：四边形OEHF 是正方形. （2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离. 4、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E ，求AB 和AD 的长。 （二）、度数问题 1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求： AOB ∠的度数和圆的半径。. 已知：⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2、2、 3. 求BAC ∠的度数。 （三）、相交问题 如 图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°， 求CD 的长. （四）平行问题 (南京市)如图2，矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点G 、B 、F 、E ， GB ＝8cm ，AG ＝1cm ，DE ＝2cm ，则EF ＝ cm . 变式一：圆内两条互相平行的弦AB 、CD ，其中AB =16cm ，CD =12cm ，圆的半径为10，求AB 、CD 间的距离。 2、 如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽 CD=20cm ，水深GF=2cm ．若水面上升2cm （EG=2cm ），则此时水面宽AB 为多少？ （五）同心圆问题 O A B C D E A C B D O A B C D O C A D E