甘肃省庆阳市环县第一中学2020-2021学年九年级上学期期
末数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.方程x2﹣x=0的解为()
A.x1=x2=1 B.x1=x2=0 C.x1=0,x2=1 D.x1=1,x2=﹣1 2.抛物线y=﹣(x﹣1)2﹣2 的顶点坐标是()
A.(1,2)B.(﹣1,﹣2)C.(﹣1,2)D.(1,﹣2)
3.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A.等边三角形B.平行四边形C.正五边形D.圆
4.将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中,OB在x轴上,若OA=2,将三角板绕原点O顺时针旋转75°,则点A的对应点A′的坐标为()
A.,﹣1) B.(1C.) D.() 5.如图,CD是⊙O的直径,已知∠1=30°,则∠2等于( )
A.30°B.45°C.60°D.70°
6.如图,在⊙O中,已知∠OAB=22.5°,则∠C的度数为()
A.135°B.122.5°C.115.5°D.112.5°
7.如图,△ABC内接于⊙O,AB=BC,∠ABC=120°,AD为⊙O的直径,AD=6,那
么AB 的值为( )
A .3
B .
C .
D .2
8.二次函数2()y a x m n =++的图象如图,则一次函数y mx n =+的图象经过( )
A .第一、二、三象限
B .第一、二、四象限
C .第二、三、四象限
D .第一、三、四象限
9.下列事件是必然事件的是( )
A .某人体温是100℃
B .太阳从西边下山
C .a 2+b 2=﹣1
D .购买一张彩票,中奖
10.如图,AB 为⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,若50OCA ∠=?,4AB =,则BC 的长为( )
A .103π
B .109π
C .5
9π D .518
π 11.在△ABC 中,I 是内心,∠BIC=130°,则∠A 的度数是( )
A .40°
B .50°
C .65°
D .80°
12. 若函数y =(a -1)x 2-4x +2a 的图象与x 轴有且只有一个交点,则a 的值为( ).
A .-1或2
B .-1或1
C .1或2
D .-1或2或1
二、填空题
13.若(m+1)x m(m+2﹣1)+2mx﹣1=0是关于x的一元二次方程,则m的值是_____.14.边长为4cm的正方形ABCD绕它的顶点A旋转180°,顶点B所经过的路线长为(______)cm.
15.过⊙O内一点M的最长弦为10cm,最短弦为8cm,则OM= cm.
16.小明掷一枚硬币10次,有9次正面向上,当他掷第10次时,正面向上的概率是_____.17.同一个圆中内接正三角形、内接正四边形、内接正六边形的边长之比为___________. 18.如图,AB为⊙O的直径,CD是弦,且CD⊥AB于点P,若AB=4,OP=1,则弦CD所对的圆周角等于_____度.
19.如图:⊙A、⊙B、⊙C两两不相交,且半径均为1,则图中三个阴影扇形的面积之和为.
20.如图,圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面圆心的截面)是边长为4cm的等边三角形ABC,点D是母线AC的中点,一只蚂蚁从点B出发沿圆锥的表面爬行到点D处,则这只
蚂蚁爬行的最短距离是_______cm.
三、解答题
21.解方程
(1)x2﹣6x﹣7=0
(2)(x﹣1)(x+3)=12
22.已知抛物线的顶点坐标为(1,2),且经过点(3,10)求这条抛物线的解析式.23.某校薛老师所带班级的全体学生每两人都握一次手,共握手1540次,求薛老师所
带班级的学生人数.
24.有甲、乙、丙三个不透明的布袋,甲袋中装有2个相同的小球,它们分别标有字母A和B;乙袋中装有3个相同的小球,它们分别标有字母C、D和E;丙袋中装有2个相同的小球,它们分别标有字母H和I.从三个布袋中各随机取出一个小球.求:(1)
(2)取出的3个小球全是辅音字母的概率.取出的3个小球恰好有2个元音字母的概率;
25.如图所示,已知AB为⊙O的直径,CD是弦,且AB⊥CD于点E,连接AC、OC、BC
(1)求证:∠ACO=∠BCD;
(2)若EB=8cm,CD=24cm,求⊙O的面积.(结果保留π)
26.如图,点B、C、D都在⊙O上,过点C作AC∥BD交OB延长线于点A,连接CD,
且∠CDB=∠OBD=30°,DB=cm.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积.(结果保留π)
27.⊙O直径AB=12cm,AM和BN是⊙O的切线,DC切⊙O于点E且交AM于点D,交BN于点C,设AD=x,BC=y.
(1)求y与x之间的关系式;
(2)x,y是关于t的一元二次方程2t2﹣30t+m=0的两个根,求x,y的值;
(3)在(2)的条件下,求△COD的面积.
参考答案
1.C
【解析】
【分析】
通过提取公因式对等式的左边进行因式分解,然后解两个一元一次方程即可.
【详解】
解:∵x2﹣x=0,
∴x(x﹣1)=0,
∴x=0或x﹣1=0,
∴x1=0,x2=1,
故选:C.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法,属于基本题型,熟练掌握分解因式的方法是解题的关键. 2.D
【解析】
【分析】
根据顶点式解析式写出顶点坐标即可.
【详解】
抛物线y=﹣(x﹣1)2﹣2 的顶点坐标是(1,﹣2).
故选D.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质,熟练掌握利用顶点式解析式求顶点坐标的方法是解题的关键.3.D
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心.
【详解】
解:A、等边三角形是轴对称图形,不是中心对称图形,故A错误;
B、平行四边形不是轴对称图形,是中心对称图形,故B错误;
C、正五边形是轴对称图形,不是中心对称图形,故C错误;
D、圆是轴对称图形,也是中心对称图形,故D正确.
故选:D.
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义,根据定义得出图形形状是解决问题的关键.4.C
【解析】
试题解析:∵三角板绕原点O顺时针旋转75°,
∴旋转后OA与y轴夹角为45°,
∵OA=2,
∴OA′=2,
∴点A′的横坐标为,
,
纵坐标为-2×
2
所以,点A′,)
故选C.
5.C
【解析】
试题分析:如图,连接AD.∵CD是⊙O的直径,∴∠CAD=90°(直径所对的圆周角是90°);
在Rt△ABC中,∠CAD=90°,∠1=30°,∴∠DAB=60°;又∵∠DAB=∠2(同弧所对的圆周角相等),
∴∠2=60°
考点:圆周角定理
6.D
【解析】
分析:∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBC=22.5°.∴∠AOB=180°﹣22.5°﹣22.5°=135°.
如图,在⊙O取点D,使点D与点O在AB的同侧.则
1
D AOB67.5
2
∠=∠=?.
∵∠C与∠D是圆内接四边形的对角,∴∠C=180°﹣∠D =112.5°.故选D.7.A
【详解】
解:∵AB=BC,∴∠BAC=∠C.
∵∠ABC=120°,∴∠C=∠BAC=30°.
∵∠C和∠D是同圆中同弧所对的圆周角,∴∠D=∠C=30°.
∵AD为直径,∴∠ABD=90°.
∵AD=6,∴AB=1
2
AD=3.
故选A.
8.C
【解析】
∵抛物线的顶点在第四象限,∴﹣m>0,n<0.∴m<0,∴一次函数y mx n
=+的图象经过二、三、四象限.故选C.9.B
【解析】
【分析】
根据必然事件的特点:一定会发生的特点进行判断即可
【详解】
解:A、某人体温是100℃是不可能事件,本选项不符合题意;
B、太阳从西边下山是必然事件,本选项符合题意;
C、a2+b2=﹣1是不可能事件,本选项不符合题意;
D、购买一张彩票,中奖是随机事件,本选项不符合题意.
故选:B.
【点睛】
本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下,一定发生的事件,不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件,不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.
10.B
【分析】
直接利用等腰三角形的性质得出∠A的度数,再利用圆周角定理得出∠BOC的度数,再利用弧长公式求出答案.
【详解】
解:∵∠OCA=50°,OA=OC,
∴∠A=50°,
∴∠BOC=2∠A=100°,
∵AB=4,
∴BO=2,
∴BC的长为:1002
18
1
9
π
π
?
=
故选B.
【点睛】
此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理,正确得出∠BOC的度数是解题关键.11.D
【解析】
试题分析:已知∠BIC=130°,则根据三角形内角和定理可知∠IBC+∠ICB=50°,则得到∠ABC+∠ACB=100度,则本题易解.
解:∵∠BIC=130°,
∴∠IBC+∠ICB=50°,
又∵I是内心即I是三角形三个内角平分线的交点,
∴∠ABC+∠ACB=100°,
∴∠A=80°.
故选D.
考点:三角形内角和定理;角平分线的定义.
12.D
【解析】
当该函数是一次函数时,与x轴必有一个交点,此时a-1=0,即a=1.
当该函数是二次函数时,由图象与x轴只有一个交点可知
Δ=(-4)2-4(a-1)×2a=0,解得a1=-1,a2=2.
综上所述,a=1或-1或2.
故选D.
13.﹣2或1
【解析】
【分析】
本题根据一元二次方程的定义求解.一元二次方程必须满足两个条件:(1)未知数的最高次数是2;(2)二次项系数不为0.由这两个条件得到相应的关系式,再求解即可.
【详解】
由题意得:
(21)2 {
10
m m
m
-
≠
+=+
解得m=?2或1.
故答案为:﹣2或1.
【点睛】
考查一元二次方程的定义的运用,一元二次方程注意应着重考虑未知数的最高次项的次数为2,系数不为0.
14.4π
【解析】
试题解析:∵边长为4cm的正方形ABCD绕它的顶点A旋转180°,顶点B所经过的路线是一段弧长,
弧长是以点A为圆心,AB为半径,圆心角是180°的弧长,
∴根据弧长公式可得:1804
180
π?
=4π.
故选A.
15.3
【解析】
试题分析:最长弦即为直径,最短弦即为以M为中点的弦,所以此时
3
OM==
考点:弦心距与弦、半径的关系
点评:弦心距
16.1
2
.
【分析】
根据概率的性质和概率公式即可求出,当他掷第10次时,正面向上的概率.
【详解】
解:∵掷一枚质地均匀的硬币,有两种结果:正面朝上,反面朝上,每种结果等可能出现,
∴她第10次掷这枚硬币时,正面向上的概率是:1
2
.
故答案为:1
2
.
【点睛】
本题考查了概率统计的问题,根据概率公式求解即可.
17
【分析】
首先根据题意画出图形,设出圆的半径,分别求出圆中内接正三角形、内接正四边形、内接正六边形的边长,即可得出答案.
【详解】
设圆的半径为r , 如图①,13601203
AOB ∠=
??=? OA OB = 30OAB ∴∠=?
过点O 作OC AB ⊥于点C
则2AB AC = 3cos302
AC OA r =?=
AB ∴=
如图②,1360904
AOB ∠=
??=? OA OB =
AB ∴==
如图③,1360606
AOB ∠=
??=? OA OB = OAB ∴为等边三角形
AB OA r ∴==
【点睛】
本题主要考查圆的半径与内接正三角形,正方形和正六边形的边长之间的关系,能够画出图形是解题的关键.
18.60或120.
【分析】
先确定弦CD 所对的圆周角∠CBD 和∠CAD 两个,再利用圆的相关性质及菱形的判定证四边形ODBC 是菱形,推出2CBD CAD =∠∠,根据圆内接四边形对角互补即可分别求出CBD ∠和CAD ∠的度数.
【详解】
如图,连接OC ,OD ,BC ,BD ,AC ,AD ,
∵AB 为⊙O 的直径,AB =4,
∴OB =2,
又∵OP =1,
∴BP =1,
∵CD ⊥AB ,
∴CD 垂直平分OB ,
∴CO =CB ,DO =DB ,
又OC =OD ,
∴OC =CB =DB =OD ,
∴四边形ODBC 是菱形,
∴∠COD =∠CBD ,
∵∠COD =2∠CAD ,
∴∠CBD =2∠CAD ,
又∵四边形ADBC 是圆内接四边形,
∴∠CAD +∠CBD =180°,
∴∠CAD =60°,∠CBD =120°,
∵弦CD 所对的圆周角有∠CAD 和∠CBD 两个,
故答案为:60或120.
【点睛】
本题考查了圆周角的度数问题,掌握圆的有关性质、菱形的性质以及判定定理是解题的关键.
19.1
2π.
【解析】
试题分析:根据三角形的内角和是180°和扇形的面积公式进行计算.试题解析:∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴阴影部分的面积=
2
18011
3602
π
π
?
=.
考点:扇形面积的计算.
20.2√5
【详解】
解:∵圆锥的底面周长是4π,则4π=nπ×4
180
,
∴n=180°即圆锥侧面展开图的圆心角是180°,
∴在圆锥侧面展开图中AD=2,AB=4,∠BAD=90°,
∴在圆锥侧面展开图中BD=√20=2√5,
∴这只蚂蚁爬行的最短距离是2√5cm.
故答案为:2√5.
21.(1)x=7或x=﹣1(2)x=﹣5或x=3
【分析】
(1)方程两边同时加16,根据完全平方公式求解方程即可.(2)开括号,再移项合并同类项,根据十字相乘法求解方程即可.【详解】
(1)∵x2﹣6x﹣7=0,
∴x2﹣6x+9=16,
∴(x﹣3)2=16,
∴x﹣3=±4,
∴x=7或x=﹣1;
(2)原方程化为:x2+2x﹣15=0,
∴(x+5)(x﹣3)=0,
∴x=﹣5或x=3;
【点睛】
本题考查了解一元二次方程的问题,掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.22.y=2(x﹣1)2+2.
【分析】
根据题意设抛物线解析式为y=a(x﹣1)2+2,代入(3,10)求解即可.
【详解】
解:根据题意设抛物线解析式为y=a(x﹣1)2+2,
把(3,10)代入得a(3﹣1)2+2=10,解得a=2,
所以抛物线解析式为y=2(x﹣1)2+2.
【点睛】
本题考查了抛物线的问题,掌握抛物线的性质以及解析法、待定系数法是解题的关键.23.薛老师所带班级有56人.
【分析】
设薛老师所带班级有x人,根据题意列出方程求解即可.
【详解】
解:设薛老师所带班级有x人,
依题意,得:1
2
x(x﹣1)=1540,
整理,得:x2﹣x﹣3080=0,
解得:x1=56,x2=﹣55(不合题意,舍去).
答:薛老师所带班级有56人.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用,掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.
24.(1)1
3
;(2)
1
6
.
【分析】
(1)根据题意画出树状图,根据树状图作答即可;
(2)根据树状图作答即可.
【详解】
解:(1)画树状图得:
∵共有12种等可能的结果,取出的3个小球上恰好有2个元音字母的为4种情况,
∴P(恰好有2个元音字母)
41 123 ==;
(2)∵取出的3个小球上全是辅音字母的有2种情况,
∴取出的3个小球上全是辅音字母的概率是:
21 126
=.
【点睛】
本题考查了概率统计的问题,掌握树状图的性质以及画法是解题的关键.
25.(1)见解析;(2)169π(cm2).
【分析】
(1)根据垂径定理,即可得BC=BD,根据同弧所对的圆周角相等,证出∠BAC=∠BCD,再根据等边对等角,即可得到∠BAC=∠ACO,从而证出∠ACO=∠BCD;
(2)根据垂径定理和勾股定理列出方程,求出圆的半径,即可求出圆的面积.
【详解】
解:(1)∵AB为⊙O的直径,AB⊥CD,
∴BC=BD.
∴∠BAC=∠BCD.
∵OA=OC,
∴∠BAC=∠ACO.
∴∠ACO=∠BCD;
(2)∵AB为⊙O的直径,AB⊥CD,
∴CE =12CD =12
×24=12(cm ). 在Rt △COE 中,设CO 为r ,则OE =r ﹣8,
根据勾股定理得:122+(r ﹣8)2=r 2
解得r =13.
∴S ⊙O =π×132=169π(cm 2).
【点睛】
此题考查的是垂径定理、等腰三角形的性质、圆周角定理推论和求圆的面积,掌握垂径定理和勾股定理的结合是解决此题的关键.
26.(1)证明见解析;(2)6πcm 2.
【分析】
连接BC ,OD ,OC ,设OC 与BD 交于点M .(1)求出∠COB 的度数,求出∠A 的度数,根据三角形的内角和定理求出∠OCA 的度数,根据切线的判定推出即可;
(2)证明△CDM ≌△OBM ,从而得到S 阴影=S 扇形BOC .
【详解】
如图,连接BC ,OD ,OC ,设OC 与BD 交于点M .
(1)根据圆周角定理得:∠COB=2∠CDB=2×30°=60°,
∵AC ∥BD ,
∴∠A=∠OBD=30°,
∴∠OCA=180°﹣30°﹣60°=90°,即OC ⊥AC ,
∵OC 为半径,
∴AC 是⊙O 的切线;
(2)由(1)知,AC 为⊙O 的切线,
∴OC ⊥AC .
∵AC ∥BD ,
∴OC ⊥BD .
由垂径定理可知,MD=MB=
12. 在Rt △OBM 中,
∠COB=60°,
OB=cos30MB ?==6.
在△CDM 与△OBM 中
3090CDM OBM MD MB
CMD OMB ?
??∠=∠=?=??∠=∠=?
, ∴△CDM ≌△OBM (ASA ),
∴S △CDM =S △OBM
∴阴影部分的面积S 阴影=S 扇形BOC =2
606360
π?=6π(cm 2).
考点:1.切线的判定;2.扇形面积的计算.
27.(1)y =
36x ;(2)312x y =??=?
或123x y =??=?;(3)45. 【分析】
(1)如图,作DF ⊥BN 交BC 于F ,根据切线长定理得,BF AD x CE CB y ====,则DC =DE +CE =x +y ,在Rt DFC 中根据勾股定理,就可以求出y 与x 之间的关系式.
(2)由(1)求得36xy =,由根与系数的关系求得a 的值,通过解一元二次方程即可求得x ,y 的值.
(3)如图,连接OD ,OE ,OC ,由AM 和BN 是⊙O 的切线,DC 切⊙O 于点E ,得到OE CD ⊥,AD DE =,BC CE =,推出S △AOD =S △ODE ,S △OBC =S △COE ,即可得出答案.
【详解】
(1)如图,作DF ⊥BN 交BC 于F ;
∵AM 、BN 与⊙O 切于点定A 、B ,
∴AB ⊥AM ,AB ⊥BN .
又∵DF ⊥BN ,
∴∠BAD =∠ABC =∠BFD =90°,
∴四边形ABFD 是矩形,
∴BF =AD =x ,DF =AB =12,
∵BC =y ,
∴FC =BC ﹣BF =y ﹣x ;
∵DE 切⊙O 于E ,
∴DE =DA =xCE =CB =y ,
则DC =DE +CE =x +y ,
在Rt △DFC 中,
由勾股定理得:(x +y )2=(y ﹣x )2+122,
整理为:y =36x
, ∴y 与x 的函数关系式是y =
36x . (2)由(1)知xy =36,
x ,y 是方程2x 2﹣30x +a =0的两个根,
∴根据韦达定理知,xy =2
a ,即a =72; ∴原方程为x 2﹣15x +36=0,
解得312x y =??=?或123
x y =??=?. (3)如图,连接OD ,OE ,OC ,
∵AD ,BC ,CD 是⊙O 的切线,
∴OE ⊥CD ,AD =DE ,BC =CE ,
∴S △AOD =S △ODE ,
S △OBC =S △COE ,
∴S △COD =12×12
×(3+12)×12=45.