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相似三角形性质2-教师版

相似三角形性质2-教师版
相似三角形性质2-教师版

相似三角形性质2

知识精要

一、相似三角形的性质

1、(定义):相似三角形的对应角相等,对应边成比例。

2、性质定理1:相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

3、性质定理2:相似三角形的周长比等于相似比。

4、性质定理3:相似三角形的面积比等于相似比的平方。

二、相似三角形的应用

热身练习

一、填空题:

1、两个相似三角形的面积之比为9:16,它们的对应高之比为3:4 。

2、地图比例尺为1:2000,一块多边形地区在地图上周长为50cm,面积为100cm2,实际周长为1000 m,实际面积为40000m2。

3、如果两个相似三角形最长边为35和14,它们的周长差为60,那么这两个三角形的周长分别为____100、40 __

4、如图4,已知DE∥BC,AD:DB=2:3,那么S△ADE:S△ECB=4:15 。

5、两个相似三角形的相似比为1:3,则它们的周长比为1:3 ,面积比为1:9

二、选择题:

1、如图,在ABCD中,AC与DE交于点F,AE:EB=1:2,S △AEF=6cm2,则S△CDF的值为(D )

A.12cm2B.15cm2C.24cm2D.54cm2

2、若菱形的周长为16cm,相邻两角的度数之比是1:2,则菱形的面积是(B )

A.32B.32C.32D.3 2

3、东海大桥全长32.5千米,如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米,那么该地图上距离与实

际距离的比为(B )

A.1:5000000 B.1:500000 C.1:50000 D.1:5000

三、解答题:

1、如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD:BC=3:5,

求:(1)S△AOD:S△BOC的值;(2)S△AOB:S△AOD的值.

参考答案:(1)9:25 (2)5:3

2、如图,已知:△ABC∽△A′B′C′,且AB:A′B′=3:2,若AD与A′D′分别是△ABC与△A′B′C′的对应中线。

(1)你发现还有哪些三角形相似?

(2)若AD=9cm,则A'D'的长是多少?

(3)若AD分别是这两个三角形的对应高、对应角平分线,则△ABD与△A′B′D′成立吗?

故两个相似三角形的所有对应线段之比=______,面积之比=_____。

参考答案:(1)△ABD∽△A′B′D′, △ACD∽△A′C′D′;(2)A'D'为6cm;(3)成立3:2、9:4。

精解名题

例1、已知梯形ABCD的周长为16厘米,上底CD=3厘米,下底AB=7厘米,分别延长AD和BC交于P,求△PCD的周长。

参考答案:∵AB∥CD ∴PD PA

PC PB

=设PD=3x ,PC=3y

3

7

PD PC CD

PA PB AB

===

3x CD

PA AB

=

PA=7x ,PB=7y AD+BC=4x+4y=6 PD+PC=9

2

△PCD的周长为

15

2

例2.、在△ABC 中,DE//BC,DC 与BE

交于点O ,若BCED S 四边形=8ADE S ,且

1DOE

S

=,求四边形

BCED 的面积。

参考答案:

1

9ADE ABC

S S

= ∴

13DE OE BC OB == ∵13OE OB = ∴1

3

ODE OBD

S S

= 3OBD

S = 同

理,3OEC

S

= ∴

1

9

DOE OBC

S S

=

∴9OBC

S = 16BCED S =四边形

例3、正方形ABCD 边长为4,M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点,当M 点在BC 上运动时,保持AM 和MN 垂直,

(1)证明:Rt Rt ABM MCN △∽△;

(2)设BM x =,梯形ABCN 的面积为y ,求y 与x 之间的函数关系式;当M 点运动到什么位置时,四边形ABCN 面积最大,并求出最大面积;

(3)当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△,求x 的值。

参考答案:(1)在正方形ABCD 中,490AB BC CD B C ===∠=∠=,°,

AM MN ⊥,90AMN ∴∠=°, 90CMN AMB ∴∠+∠=°.

在Rt ABM △中,90MAB AMB ∠+∠=°,

CMN MAB ∴∠=∠,Rt Rt ABM MCN ∴△∽△.

(2)Rt Rt ABM MCN △∽△,44AB BM x MC CN x CN ∴=∴=-,,244

x x

CN -+∴=,

2221411

4

428(2)102422ABCN

x x y S x x x ??-+∴==+=-++=--+ ???

梯形, 当2x =时,y 取最大值,最大值为10. (3)

90B AMN ∠=∠=°,∴要使ABM AMN △∽△,必须有

AM AB

MN BM

=, 由(1)知

AM AB MN MC

=,BM MC ∴=, ∴当点M 运动到BC 的中点时,ABM AMN △∽△,此时2x =. 备选例题

例1、在△ABC 中,90ACB ∠=?,CD 是AB 上的高,如果AC:BC=4:3,求:ACD

BCD

S

S

值。

参考答案:∵△ACD ∽△CBD ∴9162

==??

?

????CBD ACD S S BC AC

例2、如图 ,梯形ABCD 中,AB CD ∥,点F 在BC 上,连DF 与AB 的延长线交于点G . (1)求证:CDF BGF △∽△;

(2)当点F 是BC 的中点时,过F 作EF CD ∥交AD 于点E ,若6cm 4cm AB EF ==,,求

CD 的长.

参考答案:(1)证明:∵梯形ABCD ,AB CD ∥,

∴CDF FGB DCF GBF ∠=∠∠=∠,, ∴CDF BGF △∽△. (2) 由(1)CDF BGF △∽△,又F 是BC 的中点,BF FC = ∴CDF BGF △≌△, ∴DF FG CD BG ==,

又∵EF CD ∥,AB CD ∥, ∴EF AG ∥,得2EF BG AB BG ==+. ∴22462BG EF AB =-=?-=,∴2cm CD BG ==

D C F

E A

B

G

巩固练习一、填空题:

1、如图1,(1)若OA

OB

=

OC

OD

,则△OAC∽△OBD,∠A=∠B

(2)若∠B=_∠A ,则△OAC∽△OBD,OA与OB或OC与OD或AC与DB是对应边(3)请你再写一个条件,___∠C=∠D或AC∥BD,使△OAC∽△OBD

2、如图2,若∠BEF=∠CDF,则△FEB∽△FDC,△ABD∽△ACE

3、如图3,已知A(3,0),B(0,6),且∠ACO=∠BAO,则点C的坐标为________,AC=_______

(0,33

)5 22

AC=

二、选择题:

1、下列各组图形一定相似的是( C )

A.有一个角相等的等腰三角形B.有一个角相等的直角三角形

C.有一个角是100°的等腰三角形D.有一个角是对顶角的两个三角形

2、如图2,AB=BC=CD=DE,∠B=90°,则∠1+∠2+∠3等于(D )

A.45°B.60°C.75°D.90°

∵AB=AC,∠B=90°,∴∠1=45°.设AB=BC=CD=DE=1,则AC=2,CE=2,

2

2

22

CD AC

AC CE

===,∴△ACE∽△DCA,

∴∠2=∠CAE.∵∠1=∠CAE+∠3=∠2+∠3,∴∠1+∠2+∠3=90°

3、下列各组图形中不一定相似的有( B )

①两个矩形②两个正方形③两个等腰三角形④两个等边三角形⑤两个直角三角形

⑥两个等腰直角三角形

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D.5个

4、下列命题中错误的是(C)

A.相似三角形的周长比等于对应中线的比B.相似三角形对应高的比等于相似比

C.相似三角形的面积比等于相似比D.相似三角形对应角平分线的比等于相似比

三、解答题:

1、如图,在△ABC中,CD,AE是三角形的两条高,写出图中所有相似的三角形,简要说明理

由.

C

E

F

D

参考答案:△AFD∽△CFE △AEB∽△CDB △AFD∽△ABE,

△CFE∽△CBD,△ADF∽△CDB,△CEF∽△AEB

理由:有两个角对应相等的三角形相似

2、如图,D,E是AB边上的三等分点,F,G是AC边上的三等分点,?写出图中的相似三角形,

并求出对应的相似比.

参考答案:△ADF∽△AEG∽△ABC

△ADF∽△AEG,相似比为1:2;△AEG∽△ABC,相似比为2:3;

△ADF∽△ABC,相似比为1:3.

3、如图,在直角坐标系中,已知点A(2,0),B(0,4),在坐标轴上找到点C(1,0)?和点D,使△AOB与△DOC相似,求出D点的坐标,并说明理由.

参考答案:(0,1

2

)或(0,-

1

2

),(0,2),(0,-2)理由:若△AOB与△DOC相似:

∠B=∠OCD,∴

1

,

42

OC OD OD

OB OA

==

即,∴D(0,

1

2

),同

理:D(0,-1

2).

4、如图,△ABC和△DEF均为正三角形,D,E分别在AB,BC上,请找出一个与△DBE相似的三角形并证明.

参考答案::△GAD或△ECH或△GFH,证△GAD∽△DBE.

证明:∵△ABC,△DEF是等边三角形,

∴∠A=∠B=∠FDE=60°,

∴∠BDE+∠GDA=120°,又∵∠BDE+∠DEB=120°,

∴∠ADG=∠DEB,∴△GAD∽△DBE.

5、高明为了测量一大楼的高度,在地面上放一平面镜,镜子与楼的距离

AE=27m,他与镜子的距离是2.1m时,刚好能从镜子中看到楼顶B,已知他的

眼睛到地面的高度CD为1.6m,结果他很快计算出大楼的高度AB,你知道是什么吗?试加以说明

参考答案:利用反射角等于入射角,可得∠BEA=∠DEC.

又∵AB⊥AC,DC⊥AC,∴△ABE∽△CDE

6、如图,四边形ABCD是平行四边形,点F在BA的延长线上,连接CF交AD于点E.

(1)求证:△CDE∽△FAE.

(2)当E是AD的中点且BC=2CD时,求证:∠F=∠BCF.

参考答案:(1)ABCD中,CD∥AB,∴∠D=∠DAF.

又∵∠DEC=∠AEF,∴△CDE∽△FAE.

(2)当E是AD中点时,△DEC≌△AEF(SAS).∴CD=FA,BF=2CD.

又∵BC=2CD,∴BF=BC,∴∠F=∠BCF.

自我测试

一、填空题:

1、两个相似三角形的角平分线比是2,且大三角形的面积为3

面积为 83平方厘米

2、两个相似三角形对应中线之比为2又两个三角形面积之和是129平方厘米,则两个三角形的面积分别为 43平方厘米,86平方厘米

3、已知ΔABC∽ΔDEF,且SΔABC:SΔDEF=16:9,两三角形周长的和为21厘米,则ΔABC的周长为 12厘米

4、在ΔABC中D、E分别为边AB、AC上的点,且DE∥BC,AD:BD=2:3,则S四边形DBCE:SΔADE=

21:4

5、在梯形ABCD中,AD∥BC,AD:BC=1:3,AC与BD相交于O,则SΔAOD:SΔCOD:SΔBOC=1:3:9

二、解答题:

1、已知:如图是一束光线射入室内的平面图,?上檐边缘射入的光线照在距窗户2.5m处,已知窗户AB高为2m,B点距地面高为1.2m,求下檐光线的落地点N?与窗户的距离NC.参考答

案:∵AM ∥BN ,∴∠A=∠NBC ,

∠C=∠C ,△NBC ∽△MAC ,

,1.215

,.3.2 2.516

BC NC

AC MC

NC NC m ∴

===即

2、如图,等腰直角三角形ABC 中,顶点为C ,∠MCN=45°,试说明△BCM ∽△ANC .

参考答案:∵△ACB 是等腰直角三角形,

: ∴∠A=∠B=45°. 又∵∠MCN=45°, ∴∠ACM+∠NCB=45°,

∠CNA=∠B+∠BCN=45°+∠BCN , ∠MCB=∠MCN+∠NCB=45°+∠BCN . ∴在△BCM 和△ANC 中,∠A=∠B . ∴∠CNA=∠MCB ,∴△BCM ∽△ANC .

3、在ABCD 中,M ,N 为对角线BD 的三等分点,连接AM 交BC 于E ,连接EN 并延长交AD 于F .(1)试说明△AMD ∽△EMB ;(2)求

FN

NE

的值.

参考答案:(1)∵ABCD 是平行四边形,

∴AD ∥BC ,∠ADB=∠DBC , ∠AMD=∠BME , ∴△AMD ∽△EMB . (2)∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC ,∴△FND ∽△ENB ,

FN DN NE BN ==1

2

《相似三角形的性质》教案

《相似三角形的性质》教案 课标要求 了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比;面积比等于相似比的平方. 教学目标 知识与技能:1.了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比;面积比等于相似比的平方;2.能够运用相似三角形的性质定理解决相关问题.过程与方法:通过操作、观察、猜想、类比等活动,进一步提高学生的思维能力和推理论证能力. 情感、态度与价值观:通过对性质的发现和论证,提高学习热情,增强探究意识. 教学重点 相似三角形性质定理的理解与运用. 教学难点 探究相似三角形面积的性质,并运用相似三角形的性质定理解决问题. 教学流程 一、情境引入 三角形中有各种各样的几何量,如三条边的长度,三个内角的度数,高、中线、角平分线的长度,以及周长、面积等等. 问题:如果两个三角形相似,那么它们的这些几何量之间有什么关系呢? 引出课题:今天,我们就来研究相似三角形的这些几何量之间的关系. 二、探究归纳 回顾:从相似三角形的定义出发,能够得到相似三角形的什么性质? 相似三角形的对应角相等,对应边成比例. 问题:相似三角形的其他几何量可能具有哪些性质? 探究:如图1,△ABC∽△A′B′C′,相似比为k,它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少. 图1

图2 问题1:如图2,△ABC ∽△A ′B ′C ′,相似比为k ,分别作△ABC 和△A ′B ′C ′对应高AD 和A ′D ′.AD 和A ′D ′的比是多少? 追问:对应高在哪两个三角形中,它们相似吗?如何证明? 解:∵△ABC ∽△A ′B ′C ′ ∴∠B =∠B ′ ∵△ABD 和△A ′B ′D ′都是直角三角形 ∴△ABD ∽△A ′B ′D ′ ∴==''''AD AB k A D A B 问题2:它们的对应中线、角平分线的比是否也等于相似k ? 结论:相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比. 问题3:如果△ABC ∽△A ′B ′C ′,相似比为k ,对应线段的比呢? 推广:相似三角形对应线段的比等于相似比. 问题4:如果△ABC ∽△A ′B ′C ′,相似比为k ,它们的周长有什么关系? 结论:相似三角形的周长比等于相似比. 思考:相似三角形面积比与相似比有什么关系? 如图,△ABC ∽△A ′B ′C ′,相似比为k ,分别作△ABC 和△A ′B ′C ′对应高AD 和A ′D ′. 2122 ABC A B C BC AD S BC AD k k k S B C A D B C A D ?'''??==?=?=''''''''? 结论:相似三角形面积比等于相似比的平方. 三、应用提高 例:如图,在△ABC 和△DEF 中,AB =2DE ,AC =2DF ,∠A =∠D .若△ABC 的边

相似三角形的性质(2)

A C B C' A' 第6章第5节相似三角形的性质(2) 【教学目标】 1.了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比;了解性质定理的探索过程和证明方法. 2.会运用图形的相似性质解决一些简单的实际问题; 3.经历探索性质定理的形成过程,使学生体验从特殊到一般的认知规律,以及由观察—猜想—论证—归纳的数学思维过程. [设计意图]重视数学对象的逻辑关系和内部联系,引导学生积极体验数学结论的理和美的要求. 【教学重难点】 重点:探索得出相似三角形对应线段的比等于相似比;并会运用性质解决实际问题. 难点:由特例归纳出一般结论. [设计意图]教师通过对重难点的把握,提高学生合作探究、解决问题的能力,让学生体会到由特殊到一般的数学研究方法,并能够运用到数学学习过程中. 【教学过程】 本节课的内容结构是:对应高(已有经验)---对应中线(特例1)---对应角平分线(特例2)---其他对应线段(通例)---位置对应线段(一般结论)---现实问题(应用) 一、设置情境,引出问题 远古的时候,有一位国王非常聪明,他把国家治理得井井有条,一片繁荣景象.他还酷爱数学,每日早朝之时,必先考考各位大臣的聪明才智.有一天,国王说:我有两块形状相同的三角形土地,一块是4亩,一块是16亩,现在我想把每块土地都分割成两块三角形形状,我只有一个要求就是-----分割线之比是1:2,各位大臣有多少种方法?办法高明者奖励黄金10两,白银10两.

[设计意图]调动学生学习兴趣,激发其探究欲望.情境的设置既引导学生回顾已学的相似三角形性质,又引发学生要继续探索其他性质的需要. 分析题意可以得到解决问题的办法就是:找到相似三角形中哪些线段的比等于相似比. 二、合作探究,形成新知 问题1:△ABC ∽△'''A B C ,相似比为k ,AD 和''A D 分别是△ABC 和△'''A B C 的中线, 那么 ?'' AD A D = 问题2: △ABC ∽△'''A B C ,相似比为k ,AD 和''A D 分别是△ABC 和△'''A B C 的角 平分线,那么 ?'' AD A D = [设计意图] 在探索相似三角形对应中线、对应角平分线性质时,迁移了相似三角形对应高的证明方法,对学生来讲,这两个结论证明并不难,因为有了上节课的经验.将典型特例作为引导性材料,让学生直观感知性质,形成性质的“模式直观”. 问题3:角平分线、中线变为对应角的三等分线、四等分线、…n 等分线,对应边的三等分线、四等分线、…n 等分线,结论还成立吗? [设计意图]适度铺垫,让学生拾阶而上.有了前面探索的基础,学生完全有能力独立完成“变式问题”的探索,在探索过程中,发展学生类比探究的能力与独立解决问题的能力,培养学生全面思考的思维品质.

相似三角形的性质(经典全面)

一、相似的有关概念 1.相似形 具有相同形状的图形叫做相似形.相似形仅是形状相同,大小不一定相同.相似图形之间的互相变换称为相似变换. 2.相似图形的特性 两个相似图形的对应边成比例,对应角相等. 3.相似比 两个相似图形的对应角相等,对应边成比例. 二、相似三角形的概念 1.相似三角形的定义 对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形. 如图,ABC △与A B C '''△相似,记作ABC A B C '''△∽△,符号∽读作“相似于”. A ' B ' C ' C B A 2.相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比.全等三角形的相似比是1.“全等三角形”一定是“相似形”,“相似形”不一定是“全等形”. 三、相似三角形的性质 1.相似三角形的对应角相等 如图,ABC △与A B C '''△相似,则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠,,. A ' B ' C ' C B A 2.相似三角形的对应边成比例 如图,ABC △与A B C '''△相似,则有 AB BC AC k A B B C A C ==='''''' (k 为相似比) . 相似三角形的性质及判定

A ' B ' C ' C B A 3.相似三角形的对应边上的中线,高线和对应角的平分线成比例,都等于相似比. 如图1,ABC △与A B C '''△相似,AM 是ABC △中BC 边上的中线,A M ''是A B C '''△中B C ''边上的 中线,则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ==== '''''''' (k 为相似比). M ' M A ' B ' C 'C B A 图1 如图2,ABC △与A B C '''△相似,AH 是ABC △中BC 边上的高线,A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线,则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ==== ''''''''(k 为相似比). H 'H A B C C 'B 'A ' 图2 如图3,ABC △与A B C '''△相似,AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线,A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的 角平分线,则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ==== '''''''' (k 为相似比). D ' D A ' B C 'C B A 图3 4.相似三角形周长的比等于相似比. 如图4,ABC △与A B C '''△相似,则有 AB BC AC k A B B C A C ==='''''' (k 为相似比) .应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC AC k A B B C A C A B B C A C ++===='''''''''''' ++.

《相似三角形的性质(1)》教学设计

数学教学设计 6.5 相似三角形的性质(1) 教学目标 1.探索相似三角形的性质,会运用相似三角形的性质解决有关的问题. 2.发展学生合情推理和有条理的表达能力. 教学重点 理解相似三角形的性质,能运用相似三角形的性质解决有关的问题. 教学难点 能根据已知条件,构建数学模型,有条理的说理. 教学过程(教师) 学生活动 设计思路 旧知回顾 如图,△ABC ∽△A ′B ′C ′,你能得到什么? 积极思考,回答问题——大多数学生会运用所学知识发表自己的观点: ∠A =∠A',∠B =∠B',∠C =∠C', . 即:对应角相等、对应边成比例. 引导学生回忆相似三角形的相关内容,为学习新知识铺垫. 探索发现 如图,点D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点, (1)△DEF 与△ABC 相似吗?为什么? (2)这两个三角形的相似比是多少? (3)这两个三角形的周长、面积有什么关系? 观察、思考,运用三角形相似的判定方法得 出△DEF 与△ABC 相似,并运用对应边的关系得出△DEF 与△ABC 相似比为1 2 ,△DEF 的周 长与△ABC 的面积比为1 4.用类似的方法可以解 决变式后的问题. 通过特殊问题的研 究,发现两个相似三角形的周长比与面积比的规律,得出猜想. 继续取△DEF 的各边中点M 、N 、P ,得到下图. (1)△MNP 与△ABC 相似吗?为什么? (2)这两个三角形的相似比是多少? (3)这两个三角形的周长、面积有什么关系? 通过建模,培养学生的归纳能力. 推理猜测 根据刚才的探究,你有什么猜想? 1.相似三角形周长的比等于相似比. 观察、思考、感悟得出相似三角形的周长比与面积比的规律. 经历探究——感悟——猜想的过程. A′ B′ C′ AB BC CA A B B C C A == ''''''C A B F D E C A B E D F M N P B C A

人教版九年级数学下册27.2.2相似三角形的性质同步练习-精编版

相似三角形的性质及应用练习卷 一、填空题 1、已知两个相似三角形的相似比为 3,则它们的周长比为 ; 2、若△ABC ∽△A ′B′C′,且 AB 3 A B 4 ,△ABC 的周长为 12cm , △ 则A ′B′C′的周长为 ; 3、如图 1,在△ABC 中,中线 BE 、CD 相交于点 G ,则 DE BC S = ; △GED : △S GBC = ; 4、如图 2,在△ABC 中, ∠B=∠AED,AB=5,AD=3,CE=6,则 AE= ; 5、如图 3,△ABC 中,M 是 AB 的中点,N 在 BC 上,BC=2AB ,∠BMN=∠C , △则 ∽△ , 相似比为 , BN NC = ; , 6、如图 4,在梯形 ABCD 中,AD∥BC =4:9,则 :S = △S ADE △:S BCE △S ABD △ABC ; 7、如图 5,在△ABC 中,BC=12cm ,点 D 、F 是 AB 的三等分点,点 E 、G 是 AC 的三等分点,则 DE+FG+BC= ; D A E D A E M A A E D F D A E G B C C B C B C B 8、两个相似三角形的周长分别为 5cm 和 16cm ,则它们的对应角的平分线的比为 ; 9、 两个三角形的面积之比为 2:3 ,则它们对应角平分线的比为 ,对应边的高的比 为 ;对应边的中线的比 周长的比 图 5 C 10、已知有两个三角形相似,一个边长分别为 2、3、4,另一个三角形最长边长为 12,则 x 、y 的 值为 ; 二、选择题 11、下列多边形一定相似的为( ) A 、两个矩形 B 、两个菱形 C 、两个正方形 D 、两个平行四边形 12、在△ABC 中,BC=15cm ,CA=45cm ,AB=63cm ,另一个和它相似的三角形的最短边是 5cm ,则最长 边是( ) A 、18cm B 、21cm C 、24cm D 、19.5cm 13、如图,在△ABC 中,高 BD 、CE 交于点 O ,下列结论错误的是( ) A A 、CO·CE=CD·CA B 、OE·OC=OD·OB E D C 、AD·AC=AE·AB D 、CO·DO=BO·EO O B C B G 图 4 N 图 2 图 1 图 3

相似三角形性质2-教师版

相似三角形性质2 知识精要 一、相似三角形的性质 1、(定义):相似三角形的对应角相等,对应边成比例。 2、性质定理1:相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 3、性质定理2:相似三角形的周长比等于相似比。 4、性质定理3:相似三角形的面积比等于相似比的平方。 二、相似三角形的应用 热身练习 一、填空题: 1、两个相似三角形的面积之比为9:16,它们的对应高之比为3:4 。 2、地图比例尺为1:2000,一块多边形地区在地图上周长为50cm,面积为100cm2,实际周长为1000 m,实际面积为40000m2。 3、如果两个相似三角形最长边为35和14,它们的周长差为60,那么这两个三角形的周长分别为____100、40 __ 4、如图4,已知DE∥BC,AD:DB=2:3,那么S△ADE:S△ECB=4:15 。 5、两个相似三角形的相似比为1:3,则它们的周长比为1:3 ,面积比为1:9 二、选择题: 1、如图,在ABCD中,AC与DE交于点F,AE:EB=1:2,S △AEF=6cm2,则S△CDF的值为(D ) A.12cm2B.15cm2C.24cm2D.54cm2 2、若菱形的周长为16cm,相邻两角的度数之比是1:2,则菱形的面积是(B ) A.32B.32C.32D.3 2 3、东海大桥全长32.5千米,如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米,那么该地图上距离与实 际距离的比为(B ) A.1:5000000 B.1:500000 C.1:50000 D.1:5000

三、解答题: 1、如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD:BC=3:5, 求:(1)S△AOD:S△BOC的值;(2)S△AOB:S△AOD的值. 参考答案:(1)9:25 (2)5:3 2、如图,已知:△ABC∽△A′B′C′,且AB:A′B′=3:2,若AD与A′D′分别是△ABC与△A′B′C′的对应中线。 (1)你发现还有哪些三角形相似? (2)若AD=9cm,则A'D'的长是多少? (3)若AD分别是这两个三角形的对应高、对应角平分线,则△ABD与△A′B′D′成立吗? 故两个相似三角形的所有对应线段之比=______,面积之比=_____。 参考答案:(1)△ABD∽△A′B′D′, △ACD∽△A′C′D′;(2)A'D'为6cm;(3)成立3:2、9:4。 精解名题 例1、已知梯形ABCD的周长为16厘米,上底CD=3厘米,下底AB=7厘米,分别延长AD和BC交于P,求△PCD的周长。 参考答案:∵AB∥CD ∴PD PA PC PB =设PD=3x ,PC=3y 3 7 PD PC CD PA PB AB === 3x CD PA AB = PA=7x ,PB=7y AD+BC=4x+4y=6 PD+PC=9 2 △PCD的周长为 15 2

相似三角形的性质 (第2课时)

相似三角形的性质(第2课时) 一、教学目标 1.掌握相似三角形的性质定理2、3. 2.学生掌握综合使用相似三角形的判定定理和性质定理2、3来解决问题.3.进一步培养学生类比的教学思想. 4.通过相似性质的学习,感受图形和语言的和谐美 二、教法引导 三、重点及难点 1.教学重点:是性质定理的应用. 2.教学难点:是相似三角形的判定与性质等相关知识的综合使用. 四、课时安排 1课时 五、教具学具准备 投影仪、胶片、常用画图工具. 六、教学步骤 [复习提问] 叙述相似三角形的性质定理1. [讲解新课]

让学生类比“全等三角形的周长相等”,得出性质定理2. 性质定理2:相似三角形周长的比等于相似比. ∽, 同样,让学生类比“全等三角形的面积相等”,得出命题. “相似三角形面积的比等于相似比”教师对学生作出的这种判断暂时不作否定,待证明后再强调是“相似比的平方”,以加深学生的印象. 性质定理3:相似三角形面积的比,等于相似比的平方. ∽, 注:(1)在应用性质定理3时要注意由相似比求面积比要平方,这个点学生容易掌握,但反过来,由面积比求相似比要开方,学生往往掌握不好,教学时可增加一些这方面的练习.(2)在掌握相似三角形性质时,一定要注意相似前提,如:两个三角形周长比是,它们的面积之经不一定是,因为没有明确指出这两个三角形是否相似,以此教育学生要认真审题. 例1 已知如图,∽,它们的周长分别是60cm和72cm,且AB=1 5cm,,求BC、AB、、. 此题学生一般不会感到有困难.

例2 有同一三角形地块的甲、乙两地图,比例尺分别为1:200和1:500,求甲地图与乙地图的相似比和面积比. 教材上的解法是用语言叙述的,学生不易掌握,教师可提供另外一种解法. 解:设原地块为,地块在甲图上为,在乙图上为. ∽∽且,. . 学生在使用掌握了计算时,容易出现的错误,为了纠正或防止这类错误,教师在课堂上可举例说明,如:,而 [小结] 1.本节学习了相似三角形的性质定理2和定理3. 2.重点学习了两个性质定理的应用及注意的问题. 七、布置作业 教材P247中A组4、5、7. 八、板书设计

《相似三角形的性质(1)》导学案1

相似三角形的性质(1)导学案 态度就是竞争力,积极的学习态度就是你脱颖而出的砝码 【学习目标】: 1.掌握相似三角形的性质的对应高,对应中线,对应角平分线的比存在的等量关系。 2.进一步巩固三角形相似的判定定理,并能进行相应性质的推导。 3.能熟练运用三角形相似的性质进行量的计算。 4.经历讨论与交流,猜想与验证,发展说理习惯,在观察、操作、推理、归纳等探索 过程中,提高学习数学的兴趣和自信心。 【学习重点】:相似三角形的性质 【难点】:探究相似三角形的性质 【学习方法】:小组合作学习探究 【学习过程】: 模块一预习反馈 一、旧知链接 1.相似三角形的定义 三角对应,三边对应的两个三角形。叫做相似比。 2.相似三角形的判定方法 ①的两个三角形相似;②的两个三角形相似; ③的两个三角形相似。 3.当两个相似三角形相似比为1时,两个三角形 4.全等三角形性质:全等三角形的对应边对应角;对应高、对应中线、对应角平分线分别_______。 5.根据相似三角形的定义,得到相似三角形的性质三角________,三边___________ 两个三角形相似除了上述性质,我们还可以得到哪些结论呢?这就是我们这节课所要学 习的相似三角形的性质。 二、自学探究 实验、猜想、证明:相似三角形对应高的比等于相似比 1.在方格纸中画出一对相似三角形△ABC∽△A1B1C1, AD,A1D1,分别为BC, B1C1,边上的高。

(1)△ABC与△A1B1C1的相似比为_________; (2); (3)你发现了什么特殊关系? __________________ (4) 若△ABC与△A1B1C1相似比为k,那么 。 (5)猜想: 如图,已知它们的相似比为k,分别为边上的高。求证:. 2.类比探究相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。 变式1:如果把对应的高改为对应角的角平分线呢?猜想: 已知: 求证: 结论:_________________________ ___________________________________ 变式2: 如果把对应的高改为对应边上的中线呢?猜想: 已知: 求证:

相似三角形性质2-学生版

相似三角形性质(二) 知识精要 一、相似三角形的性质 1、(定义):相似三角形的对应角相等,对应边成比例. 2、性质定理1:相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 3、性质定理2:相似三角形的周长比等于相似比. 4、性质定理3:相似三角形的面积比等于相似比的平方. 二、相似三角形的应用 热身练习 一、填空题: 1、两个相似三角形的面积之比为9:16,它们的对应高之比为 . 2、地图比例尺为1:2000,一块多边形地区在地图上周长为50cm ,面积为1002 cm ,实际周长为 m ,实际面积为 2 m . 3、如果两个相似三角形最长边为35和14,它们的周长差为60,那么这两个三角形的周长分别为______. 4、如图,已知DE ∥BC ,:2:3AD DB =,那么:ADE ECB S S ??= . 5、两个相似三角形的相似比为1:3,则它们的周长比为 ,面积比为 . 二、选择题: 1、如图,在 ABCD 中, AC 与DE 交于点F ,:1:2AE EB =,6AEF S ?=2 cm ,则CDF S ?的值 为( ) A .122 cm ; B .152 cm ; C .242 cm ; D .542 cm . 2、若菱形的周长为16cm ,相邻两角的度数之比是1:2,则菱形的面积是( )

A .432 cm ; B .832 cm ; C .1632 cm ; D .2432 cm . 3、东海大桥全长32.5千米,如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米,那么该地图上距离与实际距离的比为( ) A .1:5000000; B .1:500000; C .1:50000; D .1:5000. 三、解答题: 1、如图,已知梯形ABCD 中,AD ∥BC ,:3:5AD BC =. 求:(1):AOD BOC S S ??的值;(2):AOB AOD S S ??的值. 2、如图,已知:△ABC ∽△'''A B C ,且:''3:2AB A B =,若AD 与''A D 分别是△ABC 与△'''A B C 的对应中线. (1)你发现还有哪些三角形相似? (2)若9AD =cm ,则''A D 的长是多少? (3)若AD 与''A D 分别是这两个三角形的对应高、对应角平分线,则△ABD 与△'''A B D 相似成立吗? 故两个相似三角形的所有对应线段之比=______,面积之比=_________. 精解名题 例1、已知梯形ABCD 的周长为16厘米,上底3CD =厘米,下底7AB =厘米,分别延长AD 和BC 交于P ,求△PCD 的周长.

《27.2.2 相似三角形的性质》教学设计

《27.2.2 相似三角形的性质》教学设计 湖北省嘉鱼县高铁中学孙幼阶 一、内容和内容解析 (一)内容 相似三角形对应线段的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方. (二)内容解析 判定和性质是研究几何图形的两个重要方面,我们已研究了相似三角形的判定,接下来就要对性质进行研究.与全等三角形一样,相似三角形的性质主要研究三角形几何量之间的关系. 由相似三角形的定义可知,相似三角形的对应角相等,对应边成比例.三角形还有其他的几何量,如高、中线、角平分线的长度,以及周长、面积等.教材先是对相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比进行探究,推广得到对应线段的比等于相似比,以此作为基础,得到相似三角形面积的比与相似比的关系. 基于以上分析,确定本节课的教学重点:相似三角形对应线段的比、面积的比与相似比的关系的探究和运用. 二、目标和目标解析 (一)教学目标 1.了解相似三角形对应线段的比、面积的比与相似比的关系. 2.会利用相似三角形性质解决简单的问题. (二)目标解析 1.达成目标1的标志是:知道相似三角形对应线段的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方,能够通过推理证明两条性质. 2.达成目标2的标志是:会利用相似三角形性质求有关线段的长和三角形的面积. 三、教学问题诊断分析 相似三角形的对应角相等,对应边成比例,由定义可得到,且类比于全等三角形的对应角相等,对应边相等,这些性质学生易于发现.但三角形还有其他的量,如何提出它们的性质?可提出哪些性质?既要从一维层面上提,又要想到二维层面上来,对学生现有的认知基础来说,还有一定的难度. 本节课的教学难点:提出相似三角形性质的猜想. 四、教学支持条件分析 用几何画板佐证“相似三角形对应线段的比等于相似比”. 五、教学过程设计 (一)导出猜想,确定方向 问题1:对于相似三角形,我们已研究了它的定义与判定,根据已有的研究几何图形的经验,我们还需研究什么?可以从哪些角度来研究? 师生活动:学生思考交流. 追问1:相似三角形的性质主要是研究三角形几何量之间的关系,三角形有哪些几何量?

相似三角形的性质定理

相似三角形的性质定理(2、3) 一、教学目标 1.掌握相似三角形的性质定理2、3. 2.学生掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理2、3来解决问题.3.进一步培养学生类比的教学思想. 4.通过相似性质的学习,感受图形和语言的和谐美 二、教法引导 先学后教,达标导学 三、重点及难点 1.教学重点:是性质定理的应用. 2.教学难点:是相似三角形的判定与性质等有关知识的综合运用. 四、课时安排 1课时 五、教具学具准备 投影仪、胶片、常用画图工具. 六、教学步骤 [复习提问] 叙述相似三角形的性质定理1. [讲解新课] 让学生类比“全等三角形的周长相等”,得出性质定理2. 性质定理2:相似三角形周长的比等于相似比. ∽,

同样,让学生类比“全等三角形的面积相等”,得出命题. “相似三角形面积的比等于相似比”教师对学生作出的这种判断暂时不作否定,待证明后再强调是“相似比的平方”,以加深学生的印象. 性质定理3:相似三角形面积的比,等于相似比的平方. ∽, 注:(1)在应用性质定理3时要注意由相似比求面积比要平方,这一点学生容易掌握,但反过来,由面积比求相似比要开方,学生往往掌握不好,教学时可增加一些这方面的练习. (2)在掌握相似三角形性质时,一定要注意相似前提,如:两个三角形周 长比是,它们的面积之经不一定是,因为没有明确指出这两个三角形是否相似,以此教育学生要认真审题. 例1 已知如图,∽,它们的周长分别是60cm和72cm, 且AB=15cm,,求BC、AB、、. 此题学生一般不会感到有困难. 例2 有同一三角形地块的甲、乙两地图,比例尺分别为1:200和1:500,求甲地图与乙地图的相似比和面积比. 教材上的解法是用语言叙述的,学生不易掌握,教师可提供另外一种解法.解:设原地块为,地块在甲图上为,在乙图上为.∽∽且,.

相似三角形的性质(导学案)

k ,则对应边上 相似三角形的性质 一、 复习引入 1 ?相似三角形的判别法的哪些? 2?你还知道相似三角形的性质有什么吗? 3.什么是相似比? 本节课我们将研究相似三角形的其他性质? 二、 新课讲解 1. 探究活动一探究相似三角形对应高的比 右图△ A B C,AD 为BC 边上的高。 则:(1)利用方格把三角形扩大2倍,得△ A 'B 'C '并作 出B 'C '边上的高A 'D '。 求:△ A B C 与厶A 'B 'C '的相似比为多少? AD 与A 'D '比是多少? (2)如右图两个相似三角形相似比为 的高有什么关系呢? ______________ 说说你判断的理由是什么? 归纳:相似三角形对应边上的高之比等于 ________________ 2. 探究活动二类比探究相似三角形对应角平分线的比 如右图△ A B C , AF 为/ A 的角平分线。 则:(1)把三角形扩大2倍后得△ A 'B 'C ', A 'F '为 / A '的角平 分线,△ A B C 与厶A 'B 'C '的相似比 为多少? AF 与A 'F '比是多少?

k,则对应角的 (2)如右图两个相似三角形相似比为 角平分线比是多少? 说说你判断的理由是什么? 归纳:相似三角形对应边上的角平分线之比等于 3. 探究活动二类比探究相似三角形对应中线的比 如右图△ A B C , AE 为BC 边上的中线。 则:⑴把三角形扩大2倍后得△ A 'B 'C ', A 'E '为B 'C '边上的中线。 △ ABC 与厶A 'B 'C '的相似比为多 少? AE 与A 'E '比是多少? (2)如右图两个相似三角形相似比为k ,则对应边上的中线的比是多少 呢? A 说说你判断的理由是什么? 归纳:相似三角形对应边上的中线之比等于 三角形的性质定理 1: __________________ 三、基础训练 1、 两个相似三角形对应边比为3:5,那么相似比 ____________ 对应边上的高之比为 , 对应边上的中线比为 ___________ 对应角的角平分线比为 ________________ 。 2、 两个相似三角形对应角的角平分线比为 1:4,可直接得到对应边上的高之比为 , 对应边上的中线比为 ______________ 。 3、 已知△ ABCA 'B 'C ',△ ABC 的三边分别为3、 4、5,^ A 'B 'C '的三边长分 别为 12、16、R,则 R= ____________________________ 。 4?两个相似三角形中一组对应角平分线的长分别是 2cm 和5cm ,则这两个三角形的相似 比是 在这两O o E f <7

相似三角形的性质(2)

相似三角形的性质(2) 一填空题 1.若两个三角形的相似比为1∶4,则这两个三角形对应角平分线的比为____;周长比为____;面积比为____ 2.两个相似三角形对应中线之比为2∶3,它们面积之差等于9cm2,则这两个三角形的面积分别是_______ 3.△ABC∽△A′B′C′,周长比为2∶2,BC边上的中线长是52,则B′C′边上的中线长是____ 4.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,CE是斜边AB的中线,若CD=4,AD=2,则CE=____,DE=_______ 5.CD是Rt△ABC的斜边AB上的高,BC=15,BD=9,则AB=____,AD=____,CD=____ 6.一个三角形各边的比为2∶5∶4,和它相似的三角形的周长为132 cm,则这个三角形的各边长分别为_______ 7.四边形ABCD,AD∥BC,AC、BD相交于点O,AD/BC=0.5,则△BOC周长是△AOD周长的___倍,S△BOC=___S△AOD 8.如图,EF∥BC,若△AEF与△ABC的面积比是1∶2,则AE/AB=____,△AEF与△ABC的周长比是_______ 9.如图,边长为10cm的等边三角形ABC,内接正方形DEFG,则正方形DEFG的边长等于_______ 10.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,AE⊥BD于E, BE∶ED=1∶3,AB=5cm,则AC=_______ 11.如图,△ABC中,DE∥BC,高AM交DE于N,若S△ADE∶S四边形BDEC=4∶5,AM=12 cm,则AN=_______cm. 12.如图,在△ABC中,EF∥BC,四边形EBCF的面积比△AEF的面积大91cm2,EF=6 cm,BC=10 cm,则梯形BCFE 的面积是______ 二选择题 1.△ABC三边长为3:4:5,与它相似的△DEF最短边为6,则△DEF的周长是()A.12 B.18 C.24 D.36 2.Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,AC∶BC=1∶2,则AD∶DB=()A.1∶2 B.1∶2 C.1∶5 D.1∶4 3.△ABC中,DE∥BC,AD∶DB=2∶3,则S△ADE:S四边形DECB为()A.2∶3 B.4∶15 C.4∶21 D.4∶17 4.地图上1cm2面积表示实际面积400m2,该地图比例尺是()A.1∶400 B.1∶4000 C.1∶200 D.1∶2000 5.△ABC的三条中位线长分别为3cm,4cm,5cm,则△ABC面积为()A.144cm2 B.48cm2 C.24cm2 D.12cm2 6.已知△ABC∽△A′B′C′,AB∶A′B′=2∶3,且S△ABC+S△A′B′C′=91 cm2,则△ABC的面积为() A.28 cm2 B.273/5 cm2 C. 182/5 cm2 D.63 cm2 7.如图,DE∥FG∥BC,AD=DF=FB,则S1∶S2∶S3等于()A.1∶1∶1 B.1∶3∶5 C.1∶2∶3 D.1∶4∶9 8.如图,△ABC中,DE∥BC,且S△ADE∶S△ABC=1∶2,则AD∶BD是() A.1∶2 B.1∶2 C. 2∶(2-1) D.(2+2)∶1 9.如图,平行四边形ABCD中,点E在边AB上,且AE∶EB=1∶2,DE与AC交于点F,S△AEF=6 cm2,则S△CDF是() A.12 cm2 B.24 cm2 C.54 cm2 D.15 cm2 10.如图,EF是梯形ABCD的中位线,且S△ABD∶S△BCD=2∶3,则S四边形AEFD∶S四边形BCFE等于() A.2∶3 B.4∶9 C.9∶11 D.5∶9 11.如图,DE∥FG∥BC,DE,FG把△ABC的面积三等分,DE=2 cm ,则BC的长为() A.18cm B.6cm C.23cm D.32cm 12.如图,正方形ABCD中,E为AB的中点,BM⊥CE于M,则S△BMC是S正方形ABCD的() A.1/3 B. 1/4 C. 1/5 D. 1/6 三解答题 1.如图,△ABC中,DE∥BC,AD=10,AD∶AB=1∶2,AB=5BC/4,求DE的长

相似三角形的性质提高题及答案

相似三角形的性质 知识精要 相似三角形对应边的比称为这两个三角形的相似比,形似比用字母k 表示。 如△ABC ∽△A'B'C',则k A C CA C B BC B A AB ' ''''',注意:相似比具有方向性,若写作△A'B'C'∽△ABC ,则相似比为k 1 。 根据合比容易得到“相似三角形的周长比等于相似比”,记△ABC 和△A'B'C'的周长分别为ABC C 和'''C B A C ,则k C C C B A ABC ''':. 类型一相似比与周长比 在有关相似三角形的计算问题中,通过对应边的比例式建立方程式常用的方 法。 例题精解 例1如图,已知等边三角形ABC 的边长为6,过重心G 作DE//BC,分别交AB,AC 于点D,E.点P 在BC 上,若△BDP 与△CEP 相似,求BP 的长。 点评:这是一类常见的有关三角形相似的分类讨论的问题。图中只能确定一组相等的角(∠B=∠C )为对应角,但“这个角的两组夹边对应成比例”的比例式排列顺序还不能完全确定,因此要分为两种情况进行讨论。 【举一反三】

1、如图,△ABC中,CD是角平分线,E在AC上,CD2=CB·CE. (1)求证:△ADE∽△ACD; (2)如果AD=6,AE=4,DE=5,求BC的长。 点评:先根据判定定理2得到△BCD∽△DCE,再根据判定定理1得到△ADE∽△ACD,这种类似于“二次全等”的“二次相似”是证明相似三角形常用的方法。 2、如图,△ABC中,DE//BE,分别交AB于D,交AC于E。已知AB=7,BC=8,AC=5,且△ADE与四边形BCED的周长相等,求DE的长。

新人教版八年级数学下册27.2.2 相似三角形的性质(导学案)

27.2.2 相似三角形的性质 教学目标: 知识与技能 1、理解掌握相似三角形周长比、面积比与相似比之间的关系;掌握定理的证明方法。 2、灵活运用相似三角形的判定和性质,提高分析,推理能力。 过程与方法: 1、对性质定理的探究经历观察——猜想——论证——归纳的过程,培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度。 2、通过实际情境的创设和解决,使学生逐步掌握把实际问题转化为数学问题,复杂问题转化为简单问题的思想方法。 3、通过例题的拓展延伸,体会类比的数学思想,培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的数学品质,提高分析问题和解决问题的能力。 情感与态度: 在学习和探讨的过程中,体验特殊到一般的认知规律;通过学生之间的交流合作,在合作中体验成功的喜悦,树立学习的自信心;通过对生活问题的解决,体会数学知识在实际中的广泛应用。 教学重点:相似三角形性质定理的探索及应用 教学难点:综合应用相似三角形的性质与判定探索三角形中面积之间的关系 教学方法与手段:探究式教学、小组合作学习、多媒体教学 教学过程: 一、创设情境,引入新课 1、我们已经学了相似三角形的哪些性质? 2、问题情境: 某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题,马路旁原有一个面积为100平方米、周长为80米的三角形绿化地,由于马路拓宽绿地被削去了一个角,变成了一个梯形,原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米。现在的问题是:被削去的部分面积有多少?周长是多少?你能解决这个问题吗? B A C E D 二、实践交流,探索新知 1、看一看: △ABC与△ADE有什么关系?为什么? 2、算一算: △ABC与△ADE的相似比是多少? △ABC与△ADE的周长比是多少?面积比是多少? 3、想一想: 你发现上面两个相似三角形的周长比和相似比有什么关系?面积比与相似比又有什么关系?

相似三角形的性质(3)

4.7 相似三角形的性质(一) 一、教学目标: 1、熟练应用相似三角形的性质:对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长比都等于相似比,而面积比等于相似比的平方。 2、并能用来解决简单的问题。 二、教学过程: 1、知识点:相似三角形的性质 (1) 相似三角形的对应角相等,对应边成比例; (2) 相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比; (3) 相似三角形周长比等于相似比; (4) 相似三角形面积比等于相似比的平方。 2、例题讲解: 例1:钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图纸制作三角形零件,如图1,图纸上的△ABC 表示该零件的横断面△A ′B ′C ′,CD 和C ′D ′分别是它们的高. (1) B A AB '', C B BC '',C A AC ' '各等于多少? (2)△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗?如果相似,请说明理由,并指出它们的相似比. (3)请你在图1中再找出一对相似三角形. (4) D C CD ' '等于多少?你是怎么做的?与同伴交流. 图1 解:(1) B A AB ''= C B BC ''=C A AC ' '=_________. (2)△ABC ∽△A ′B ′C ′ ∵_______=_______=_______ ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′( ),且相似比为___________.

(3)△BCD ∽△B ′C ′D ′.(或△ADC ∽△A ′D ′C ′) ∵由△ABC ∽△A ′B ′C ′得∠______=∠______ ∵∠________=∠________=_____° ∴△BCD ∽△B ′C ′D ′( )(同理△ADC ∽△A ′D ′ C ′) (4)∵△BDC ∽△B ′D ′C ′ ∴ D C CD ' '= ________=________. 小结1: 若△ABC ∽△A ′B ′C ′,CD 、C ′D ′是它们的__________,那么D C CD ''=C B BC ''=k . 3.知识拓展: 求证1:如图2,△ABC ∽△A ′B ′C ′,CD 、C ′D ′分别是它们的对应角平分线,那么 D C CD ''= C A AC ' '=k . 图2 ∵△ABC ∽△A ′B ′C ′ ∴∠A =∠________, ∠ACB =∠A ′C ′B ′ ∵CD 、C ′D ′分别是∠ACB 、∠A ′C ′B ′的角平分线. ∴∠__________=∠__________ ∴△ACD ∽△A ′C ′D ′( ) ∴ D C CD ''= C A AC ' '=k . 求证2:如图3中,CD 、C ′D ′分别是它们的对应中线,则 D C CD ''= C A AC ' '=k . 图3 ∵△ABC ∽△A ′B ′C ′

《相似三角形的性质》教学设计(新)

《相似三角形的性质》教学设计 【设计说明】: 本节课是论证几何中“相似形”的重点内容之一,是在学会相似三角形的定义及判定的基础上,进一步研究相似三角形的性质,以完成对相似三角形的全面研究。它是全等三角形的拓展,也是解决有关实际问题的重要工具。 本节课的引入,是通过对课本例题进行“再创造”,以上海的中环线建设为背景,提出数学问题。这样的设计,既可以调动学生的学习热情与积极性,又可以使学生认识到,现实生活中处处有数学,提高学生应用数学的意识。 整个探究活动部分,主要是对网格图上的格点三角形进行研究,选择网格图上的格点三角形进行研究,主要考虑网格有支架作用,便于学生进行边长、周长、面积的计算。另外对于网格图学生在相似三角形的判定中已有接触,比较熟悉。这个部分注重学生动手实验、探索过程,并利用小组合作方式,培养学生的合作意识。 在得出定理后,及时进行思维训练。通过探索、论证,到运用解决实际问题,一方面学生摸索到了从已知到未知的研究方法,另一方面又感受到了数学来源于生活又服务于生活。对引例的变式是培养学生多层次、多角度思维能力的一种较好形式。 小结部分,拟让学生小结反思与自主评价。这样做,有利于学生巩固刚获得的知识和技能,有利于学生提高归纳能力和语言表达能力,有利于学生逐步养成对已学知识的反思习惯,有利于学生逐步树立敢于提出自己独到见解的求真精神,有利于学生逐步形成正确的数学价值观。当然,教师也将根据学生小结、自主评价的实际情况作适当的点评,以体现师生互动,发挥教师的主导作用。 【教学目标】 1、初步掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系以及关于它们之间关系的两条定理的证明方法,并会运用定理进行有关简单的计算。 2.在动手参与解决身边实际问题的过程中,增强主动探索、发现数学知识的意识,提高观察、归纳能力,应用数学知识解决生活中实际问题的能力。 3.在学习过程中,进一步改善独立思考、合作学习、自主评价等学习品质。

《相似三角形的性质》.doc

27.2.2相似三角形的性质 一、教学目标 1.理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方. 2.能用三角形的性质解决简单的问题. 二、重点、难点 1.重点:相似三角形的性质与运用. 2.难点:相似三角形性质的灵活运用,及对“相似三角形面积的比等于相似比的 平方”性质的理解,特别是对它的反向应用的理解,即对“由面积比求相似比”的理解. 3.难点的突破方法 (1)相似三角形的性质:①对应角相等,对应边成比例;②相似三角形周长的比 等于相似比;③面积的比等于相似比的平方.(还可以补充④相似三角形对应高 的比等于相似比) (2)应用相似三角形的性质,其前提条件是两个三角形相似,不满足前提条件, 不能应用相应的性质.如:两个三角形周长比是2 ,它们的面积之比不一定是 4 ,3 9 因为没有明确指出这两个三角形是否相似,以此教育学生要认真审题. (3)在应用性质2“相似三角形面积的比等于相似比的平方”时,要注意有相似比求面积必要平方,这一点学生容易掌握,但反过来,由面积比求相似必要开方,学生往往掌握不好,教学时可增加一些这方面的练习.如:如果两个相似三角形面积的比为 3∶5 ,那么它们的相似比为 ________,周长的比为 ________.(4)讲完性质后,可先安排一组简单的题目让学生巩固,然后再讲例 题.三、例题的意图 本节课安排了两个例题,例 1 是补充的一个例题,它紧扣性质,是性质的 简单运用,但要注意它是逆用性质“相似三角形周长的比等于相似比”来进行运 算的.例 2 是教材 P38 的例 3 ,它是通过求相似的过程中,求出相似比,再综合运用两条性质求出其高与面积.难度略高于例 1.其目的是想让学生能够综合、灵活 的运用相似三角形的性质解决问题. 如果学生程度好一些,可以补充“相似三角形对应中线的比等于相似比”的题目.

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