浅谈高等几何对初等几何的相关指导作用

浅谈高等几何对初等几何的相关指导作用

学生姓名:耿丽学号:20085031196

数学与信息科学学院数学与应用数学专业

指导老师:何俊杰职称:讲师

摘要:本文主要从仿射几何、射影几何、交比调和比、德萨格定理四个方面论述了高等几何对初等几何的指导作用.

关键词:高等几何;初等几何;变换

Discussion on the related instruction function of higher

geometry’s on elementary geometry

Abstract:In this paper,we mainly introduce the related instruction function of higher geometry’s on elementary geometry form the follow four aspects:affine geometry, projective geometry,cross ratio and harmonic ratio,Desargues theorem.

Key Words: higher geometry,elementary geometry, transform

前言

初等几何是以静止的观点研究一些简单而又有规则的图形,高等几何则是以变动的观点研究变动的图形.相比较而言,它们虽然同属几何学科,但其观点层次的高低不同.高等几何是在初等几何乃至高等代数等课程的基础上研究几何问题的,它使学生在较高层面上认识几何空间的基本特征、研究方法、内在联系,确认几何学的本质,从而发展了几何空间概念,并为进一步学习近代数学创造条件.

通过学习高等几何,可以居高临下地认识初等几何的内涵,高等几何不仅为初等几何提供了理论依据,更为它拓展了解题途径,丰富了研究方法.因此,高等几何对初等几何具有现实的指导作用,很有研究、探讨之必要,而且内容非常丰富,甚至是无止境的.

1.更加全面地认识几何

几何学的研究,有静的观点和动的观点两种,公理法建立几何学是研究几何的静的观点,变换群下对应的几何学研究几何动的观点,这两种观点是贯穿现行高等几何教材内容的两条主线.

1.1 射影几何、仿射几何、欧式几何之间的联系

按照Klcin的观点,几何学是研究在相应的变换群下图形保持不变的性质和量的科学.也就是说,每一种几何学都对应着一个变换群,图形在该变换群下保持不变的那些性质和量,就是这种几何的研究对象.由变换群序列,射影群?仿射群?正交群,它们所对应的几何学从研究范围而言,射影几何?仿射几何?欧式几何,从研究的内容（图形的性质）来说,根据普遍性被包含于特殊性之中,则恰有相反的关系,即射影几何?仿射几何?欧式几何.

射影几何学是专门研究图形在射影变换下的不变性的一个数学分支.所谓平面上的射影变换,我们可以直观地把它理解为连续施行有限次中心投影所得到的平面到自身的一个变换.射影变换的一个特例是仿射变换,我们可以直观的把它理解为连续施行有限次平行投影所得到的变换,仿射变换下不变形的研究,构成仿射几何学,因此它是射影几何学的一章.仿射变换的一个特例是正交变换,我们可以直观地把它理解为连续施行平移和旋转或者再施行一个轴反射所得到的变换.正交变换下不变性的研究,构成欧式几何学,因此它是仿射几何学的一章.平面射影几何只研究平面图形中那些与点和直线的结合相关的性质,实际上比欧式几何学研究的内容更为基本.了解欧式几何、仿射几何、射影几何三者之间的关系,也就扩大了关于几何学的眼界.站得高,才能看得远,了解了欧式几何在几何学中所处的地位,这就有助于我们从几何学的全局与整体上来理解和把握初等几何教材.

1.2 欧式几何和非欧氏几何的关系

几何学的思维其源于非欧氏几何.因此唯有从非欧氏几何的观点来看才能得以阐明在中学所研究的欧式几何学的逻辑结构.只懂得一种欧几里得几何,就不能充分了解几何学的结构特点.几何学之所以能够提高到现代的观点,不过是在研究了非欧几何以后的事情.罗巴切夫斯基几何——在其中过已知直线的外任一点至少可以引两条直线与已知直线平行,和黎曼几何——在其中过已知直线的外任一点没有任何直线与已知直线平行,统称为非欧几何学.欧式几何、罗氏几何、黎氏几何这三种几何学表面上互

相矛盾,互相排斥,但它们在射影几何是统一的,都是射影几何的子几何.了解它们之间的关系,对初等几何教材的理解和把握就会加深一步.

用公理法研究几何学,对于培养学生的逻辑思维能力,了解几何学的发展历史,以及对几何中许多问题的透彻理解都是极为有利的.不同的公理体系可以建立不同的几何学,从而说明任何几何学和几何公理都是相对于某种公理体系而言的.例如,若将欧式几何的希尔伯特公理体系的平行公理换成罗巴切夫斯基—伯利亚公理,而保持其余公理不变,便得到了罗氏几何.历史上,从公元前320年欧几里得《几何原本》问世后,到公元1826年非欧几何诞生为止,围绕欧式第五公设的一场持续两千多年的争论,要解决的就是这样一个问题.确立了上述观点,依据公理化方法,就能对几何中的许多问题做出透彻的理解.例如,射影几何中为什么成立对偶原理而在欧式几何中却不成立？其原因是在射影几何中三组公理的对偶命题成立,而在欧式几何中,结合公理的第一条“通过任意给定的两点有一直线”的对偶命题是不成立的,如果离开了公理化体系,这个问题是很难解决的.掌握公理化还能对几何中的一些概念做出准确的解释.例如,在学习公理化之前,往往不容易区分像“两线段的大小”和“线段的长度”的概念,但学习了希尔伯特公理体系之后,便会清醒地认识到,用介于关系只能对两线段的大小进行比较而不能给出线段长度的概念,建立线段长度的概念还必须依赖连续公理.这样就将两个概念从思想上严格地区分出来,从而避免了犯混淆概念的错误.

2.高等几何对初等几何的指导作用的具体实例分析

由于射影几何包含初等几何,因此射影几何的性质必然是初等几何的性质,所以可以运用射影几何理论来解决初等几何问题.从而为初等几何解题方法寻求了更广泛的途径.

2.1利用仿射几何变换法证明初等几何题

放射几何是高等几何的重要组成部分,是连接射影几何与欧式几何的纽带,是应用高等几何只是解决初等几何问题的一条重要通道.在初等几何里,有大量的命题是研究图形的仿射性质的,即不涉及到距离、角度、面积的具体度量,而仅涉及到点线结合关系、直线的平行性、共线与平行线段之比、封闭图形面积之比以及线段重点等概念.对于这类的命题,我们可以充分地利用仿射几何的有关理论,由特殊到一般,化繁为简地加以解决,从而达到事半功倍的效果.这方面问题的解决,常常可以借助于仿射变换与仿射坐标系来实现.

2.1.1 仿射变换的应用

在仿射几何里,几何图形在任意仿射变换下都具有保持同素性、结合性和二直线的平行性及共线三点的单比、共线或平行二线段长度之比、二封闭图形面积之比不变的仿射不变性质和仿射不变量.因而,当我们要研究初等几何中图形的仿射性质时,可以在已知条件下做出它的一个比较容易研究的仿射对应图形,由研究图形的相关性质转而得出图形的性质.

例1 （国际数学竞赛题）证明G 为ABC ?重心的充要条件是AGB AGC S S ??==

BGC S ?

图1

证明 如图1,在正ABC ?中,若G 是正ABC ?的重心,则G 也为内心,即G 到三边距离,,GD GE GF 相等,故AGB AGC BGC S S S ???==.

反之若AGB AGC BGC S S S ???==,因为=AB BC AC =,故G 到三边的距离,GD ,GE

GF 相等,即G 是正ABC ?的内心,从而G 也是重心.

根据仿射性质的特点,命题对正三角形成立,所以对一般的三角形也成立. 例2 求证:“正方形ABCD 的一组邻边上有,E F 两点,且//EF AC .则AEB ?和

CFB ?面积相等“（见图2）

图2

证明 将此命题作一仿射对应,仿射对应后的记号不变,使正方形'''

'A BC D 对应平

行四边形ABCD ,'E 对应E ,'F 对应F .

在正方形''''A BC D 中(见图2)

显然有

''''''A E B C E B ???

由于两个多边形面积之比为仿射不变量,

所以在平行四边形ABCD 中,AEB ?和CFB ?面积相等.

于是可得另一命题“平行四边形ABCD 的一组邻边上有,E F 两点,且//EF AC ,则AEB ?和CFB ?面积相等”.

例 3 已知,,L M N 分别为分ABC ?的三边,,AB BC CA 成相同比例的两个线段的三等分点,求证:ABC ?和LMN ?有相同的重心.

图3

证明 经适当仿射变换将ABC ?变成正三角形'''A BC ? (如图3).

设正三角形'''A BC ?的重心为'G ,''',,L M N 分别为,,L M N 在仿射变换下的象.

因仿射变换保持单比不变,

故可得''

'LM

N ?是正三角形,且''''''G L G M G N ==, 因此'G 是''

'LM

N ?的重心, 即'''A BC ?和''

'LM

N ?有相同的重心, 又仿射变换保持三角形重心不变, 故ABC ?和LMN ?重心相同.

2.1.2 仿射坐标系的应用

在初等几何中,对仅涉及到图形的有关仿射性质命题的研究,还可以通过仿射坐标系这个重要工具与桥梁,运用代数的方法加以解决.相对于笛氏坐标系,仿射坐标系的坐标轴和单位长度的选取具有任意性,我们可以根据问题的具体条件而按需要适当的建立,因而用此方法处理问题,常可以避免繁琐的几何与三角问题,解题思路简单,计算非常方便.

例4 从三角形一个顶点到对边三等分点作线段,过第二顶点的中线被这些分成连比::x y z ,设x y z ≥≥,求::x y z 的值.

图4

解 如图4所示,建立仿射坐标系,取(0,0)B ,(1,0)D ,(2,0)E ,(3,0)C ,(0,1)A .

易知31(,)22F ,直线BF 的方程为1

3y x =,直线AD 的方程为1y x =-+,直线AE 的

方程为1

2

1y x =-+.

于是直线BF 与AD 的交点为31,44()G ,直线BF 与AE 的交点为62

,55

()H .

设

BG GH λ=,由有向线段定比分点公式有6

03514λλ+=+,从而得53λ=,即53BG GH =.又设'GH HF λ=,同样由定比分点公式可得'32λ=,即3

2GH HF =. 所以,得::::5:3:2x y z BG GH HF ==

2.2 射影几何在初等几何中的一些应用

射影几何对初等几何教学的指导,不仅表现在提高数学思想与观点上,

还直接表现

在对初等几何图形的射影性质的研究中.

由射影几何、仿射几何和欧式几何三者的关系,我们知道,欧式几何为仿射几何及射影几何的子几何,在其中可以讨论仿射几何的对象（仿射不变性质和仿射不变量）和射影对象（射影不变性质和是射影不变量）,因而可以用射影几何去指导与研究初等几何中的一些问题.

例5 设三直线121212,,PP Q Q R R 交于一点S ,121212,,PP Q Q R R 分别交两直线

12,OX OX 于点111,,P Q R 与222,,P Q R .求证直线12PQ 与21P Q 的交点,12Q R 与21Q R 的交点,12

R P 与21R P 的交点在一条直线上,且所在直线通过O .

图5

图'5

证明 将直线OS 投影到无穷远,这只需在直线12,OX OX 所在平面π外任取一点

V ,取平面'π平行于V 与OS 所定的平面,则以V 为投影中心建立π向'π的中心投影将

OS 投影到'π的无穷远直线''

O S ∞∞

(如图'5) 设''''''''

12111222,,,,,,,X X P Q R P Q R 分别是12111222,,,,,,,X X P Q R P Q R 在中心投影下的象.

在图'5中,显然直线''12P Q 与''21P Q 的交点,''12Q R 与''21Q R 的交点,''12R P 与''

21R P 的交点在一条直线上,且所在的直线平行于'''111,,P Q R 所在的直线或'''222,,P Q R 所在的直线.

由于中心投影保持结合性不变,所以在图5里有12PQ 与21P Q 的交点,12Q R 与21Q R 的交点,12R P 与21R P 的交点在一条直线上,且点O 也在这三点所在的直线上.

例6 命题:“已知//BE CF ,BC 交,BE CF 分别于,B C ,圆与,,BE BC CF 分 别相切于,,E D F ,BF 交EC 于T ,则////DT BE CF ”(见图6).

图6 图'6

证明 此命题显然为真. 因为

BET FCT ???,

于是

CF

BE

CT TE =

, 又因为

CD CF =,BD BE =,

故

CD

BD

CT TE =

从而////DT BE CF ,即得证明.

如图'6所示,ABC ?的旁切圆切边BC 于D ,切边AB 和AC 的延长线于E 和

F ,BF 交EC 于T ,作一射影变换,若各点在射影变换后的记号不变,使射影变换后

ABC ?的旁切圆为一圆,EF 变为圆的直径,A 为垂直于直径EF 的直线相对应的无穷

远点.(见图6).

于是可得另一命题“ABC ?的旁切圆切边BC 于D ,切边AB 和AC 的延长线于E 和F ,设T 是直线BF 与CE 的交点,则点,,A D T 共线.”由原命题得此命题亦为真. 2.3 交比、调合比在初等几何中的应用

交比、调合比是射影几何的两个基本不变量,它们可用来解决许多初等几何问题,

是沟通高等几何和初等几何的有效方式.利用交比、调合比可以证明初等几何中共点、共线、线段相等的问题是非常简便的,而且计算交比的方法也适用于所有的二阶曲线,这样就自然地将蝴蝶定理推广到椭圆、抛物线、双曲线上.

例7 （蝴蝶定理）在图7中,过弦BC 的中点A 的任何两弦,PQ RS ,设,PS RQ 分别交BC 于,M N .求证:AM AN =.

图7

证明 连,,,SB SC QB QC ,则

(,)(,)S BP RC Q BP RC =

再由直线BC 截这两组等交比的直线,则

(,)(,)BM AC BA NC =

由此可知

BA MC BN AC

BC MC BC AN

??=

?? 由已知BA AC =得

MC BN

MA AN

=

所以

MC MA BN AN

MA AN

--=

又因为

MC MA AC BN AN BN -=-=且

所以

MA AN =

例8 求证:“一个角的两边与这个角的内外角平分线调和共扼”. 图8

图'8

证明 在图8中,,c d 顺次为(,)a b ∠的内外角平分线,作直线l 与d 平行,则l c ⊥.若l 交,,a b c 于,,A B T ,于是AOB ?为等腰三角形,因此AT TB =. 令l 与d 的所交的无穷远点为P ∞,则

(,)1AB TP ∞=-

所以

(,)1ab cd =-.

如图'8所示,,d c 顺次为(,)a b ∠的内外角平分线,直线l 与,,,a b c d 分别交于

,,,A B T P .

由于

(,)(,)ab cd AB TP =

又因

BP PB =-

所以

AT PB BT AP ?=?

即

d

O

l

b

a

A

T

B

P

d O

l

b

a

A

T

B

c

AT AP

BT PB

=

于是可得初等几何中的角平分线性质定理——在ABC ?中,AD 平分A ∠,交边

BC 于D ,则

AB BD

AC CD

=

. 例9 如图9所示,直线τ交ABC ?的三边或其延长线于,,L M N ,且,,AM BN

CL 交成一个三角形PQR ,求证:,,AQ BR CP 三直线共点.

图9 图'9

证明 利用中心射影将,,L M N 所在的直线τ投射到无穷远直线,作图9的对应图形'9.

因为'''L M N ∞∞∞，，是无穷远点,所以''''''''''''//////A B Q R B C P R C A P Q ，

，故四边形''''A B C R 与''''B C A P 都是平行四边形.所以''''''P A B C A R ==,即得'A 是''P R 的中点.

同理可得,'B 是''P Q 的中点,'C 是''Q R 的中点,即'''''',,AQ B R C P 是'''

PQ R ?三边

上的中线,且交于一点'S ,故由中心射影同素性和接合性知,,AQ BR CP 交于一点S .

例10 求证三角形的三条外角平分线和对边相交,所得三点共线.

图10

证明 如图10,ABC ?中,设C ∠的外角平分线交AB 于点E ,A ∠的外角平分线交BC 于点F ,B ∠的外角平分线交AC 于点G ,,,A B C ∠∠∠的内角平分线1,AA

11,BB CC 相交于一点P ,AB 与11A B ,BC 与11B C ,AC 与11A C 分别交于111,,E F G .由德萨

格定理可得111,,E F G 共线. 又因

111,(,)1,()1,(,)1E BC B BA C A F AC G =-=-=-

在完全四点形11PB CA 中,根据调和性质得

11(,)1BA C E =-

故

111(,)(,)BA C E BA C E =

即可得E 与1E 重合,同理可得F 与1F ,G 与1G 重合. 所以,,,E F G 三点共线.

2.4 德萨格定理及其逆定理在初等几何中的应用 例11 试证三角形的三条中线共点

图11

证明 如图11, ,,AD BE CF 分别是ABC ?的三边,,BC CA AB 上的中线 所以

//,//,//EF BC DE AB DF AC

设EF BC P ∞?=,DE AB Q ∞?=,DF AC R ∞?=

在ABC ?与DEF ?中,对应边的交点P Q R ∞∞∞，，共线于无穷远直线,则由德萨格定理的逆定理可知,对应顶点的连线AD,BE,CF 共点.

例12 对于欧式平面上的ABC ?.设其高线分别为,,AD BE CF ,而

BC EF X ?=,CA FD Y ?=,AB DE Z ?=,求证:,,X Y Z 三点共线.

图12

证明 如图12直接应用德萨格定理,考虑一对对应三点形ABC ?和DEF ?,因为其对应顶点连线即是ABC ?的三条高线,故共点于垂心G ,从而三对对应边的交点

,,X Y Z 共线.

结束语

通过前面的阐述和例题可以看出,对初等几何而言,高等几何具有鲜明的指导性和应用性的特征,对数学与应用数学专业的学生及中学数学教师来说,学好高等几何,处理初等几何的能力也就相应的增强了,而且其几何思维水平也会得到进一步的提升.前面的论述也一再表明,高等几何不是没有用处的,而是对初等几何具有重要的指导作用,只要学习和应用的人有心,积极开动脑筋,就能把高等几何的知识很好地运用到初等数学教学中去,为解决复杂繁琐的集合难题服务,为提高中学教学质量服务.

参考文献

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[5] 梅向明等. 高等几何学习指导与习题选解[M ].北京:高等教育出版社,2004． [6] 朱德祥等.高等几何[M ].北京:高等教育出版社,2009.

高等几何试卷及答案

《高等几何》考试试题A 卷(120分钟) 一、填空题(2分?12=24分) 1 平行四边形 ;2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为: (5,-1,0) 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为: 0231=-x x 5、方程0652 2 2121=+-u u u u 表示的图形坐标 (1,2,0) (1,3,0) 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ,则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形,过A 引AE 与对角线BD 平行,则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a):21→,32→,43→; b):10→,32→,01→ 其中为对合的就是: b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件就是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ,)1,5,2(B ,)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程,它就是由下列两个射影线束所决定的: 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解:射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有:1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得, 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。

高等几何试卷答案

数学与应用数学专业《高等几何》试卷B 一、 填空题（2分?12=24分） 1、仿射变换的基本不变性与不变量有 同素性、结合性、简比不变、保持平行性 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： （5，-1，0） 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为： 0231=-x x 5、方程0652 22121=+-u u u u 表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0） 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ，则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 32221=+++++x x x x x x x x x 的极线方程 063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ）：21→，32→，43→； b ）：10→，32→， 01→ 其中为对合的是： b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的： 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有：1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得， 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。 三、如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线。（10分） 证明：三点形ABC 和三点形C B A '''内接于二次曲线（C ），设 AB C B ''=D AB C A ''=E B A '' BC=D ' B A '' AC=E '，则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所以， ),E , D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,, E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B 这两个点列对应点的连线AC ，B C ''，A C '',BC 连同这两个点列的底AB ， B A ''属于同一条二级曲线（ C '），亦即三点形ABC 和三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。

2020年4月浙江自考高等几何试题及答案解析试卷及答案解析真题

1 浙江省2018年4月高等教育自学考试 高等几何试题 课程代码：10027 一、填空题(每空2分，共20分) 1.射影变换基本不变量是__________。 2.欧氏几何基本不变图形是__________。 3.直线2x-y+1=0上无穷远点的齐次坐标是__________。 4.原点的方程是__________。 5.自极三角形是__________。 6.二次曲线在无穷远点处的切线叫做__________。 7.共线四点A ，B ，C ，D 交比的定义是(AB ，CD )=__________。 8.两个射影点列成透视的充要条件是__________。 9.平面上两个圆点的齐次坐标是__________。 10.焦点的极线称为__________。 二、计算下列各题(每小题6分，共36分) 1.求仿射变换? ??-=+-=y 2x 4'y 4y x 3'x 的自对应点 2.一直线上取A=（5，-7，-1）为第一基点，B=（1，-2，1）为第二基点，C=（-1，1，1） 为单位点，建立射影坐标系。求点D=（1，1，-5）的齐次射影坐标。 3.设直线上三个点A ，B ，C 的齐次坐标依次为（2，1），（1，2）与（-1，1），求D 点坐标，使(AB ，CD )=2。 4.求点（5，1，7）关于二次曲线2x 12+3x 22+x 32-6x 1x 2-2x 1x 3-4x 2x 3=0的极线。 5.设一对合由非齐次坐标为3的二重点，以及非齐次坐标为1和4的一对对应点决定，求对合的表达式。 6.求二次曲线xy+y 2-x-3y-2=0的渐近线。 三、求作下列图形(写出作法，画出图形，每小题6分，共12分) 1．已知共点直线l 1，l 2，l 3，求作直线l 4，使l 1,l 2，l 3和l 4构成调和线束。 作法：

高等几何试题(1).docx

《高等几何》试题（１） 1.试确定仿射变换，使y 轴，x轴的象分别为直线x y 1 0 ， x y 1 0 ，且点（1，1） 的象为原点 .( 15 ) 2.利用仿射变换求椭圆的面积 .( 10 ) 3. 写出直线3x x x 轴,y10 2x +2-3=0,轴 , 无穷远直线的齐次线坐标.() 1 4.叙述笛沙格定理 , 并用代数法证之 .( 15 ) 5.已知A(1,2,3), B (5,-1,2), C (11,0,7), D (6,1,5),验证它们共线,并求(AB, CD)的值.( 8 ) 6.设P(1,1,1),P (1,-1,1),P (1,0,1)为共线三点,且(P P , P P)=2,求P的坐标.(12) 124 1 2 3 43 7.叙述并证明帕普斯 (Pappus) 定理 .( 10 ) 8.一维射影对应使直线 l 上三点 P (-1),Q(0),R (1)顺次对应直线 l上三点P (0),Q(1), R (3),求这个对应的代数表达式.( 10 ) 9. 试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.( 10 ) 《高等几何》试题（２） 1. 求仿射变换x 7 x y 1, y4x 2 y 4 的不变点和不变直线. (15 ) 2.叙述笛沙格定理 , 并用代数法证之 .( 15 ) 3.求证 a (1,2,-1) ,b(-1,1,2), c (3,0,-5)共线 , 并求l的值 , 使 c i la i mb i(i 1,2,3). (10) 4.已知直线 l1 ,l 2 , l 4的方程分别为 2x1x2x3 0 ， x1x2 x3 0 ， x10 ，且 (l1 l2 , l3 l 4 )2 l 2的方程.(15)，求 3 5.试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. ( 10 ) 6.试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底 的交点自对应 . ( 10) 7. 求两对对应元素 , 其参数为1 1 ,02, 所确定对合的参数方2

高等几何试题.

高等几何试题 一、填空题（每题3分，共27分） 1、 两个三角形面积之比是（ ）。 2、 相交于影消线的二直线必射影成（ ）。 3、 如果两个三点形的对应顶点连线共点，则这个点叫做（ ）。 4、一点123(,,)x x x x =在一直线[]123,,u u u u =上的充要条件是 （ ）。 5、 已知1234(,)3p p p p =,则4321(,)p p p p =（ ），1324(,)p p p p =（ ）。 6、 如果四直线1234,,,p p p p 满足1234(,)1p p p p =-，则称线偶34,p p 和12,p p （ ）。 7、两个点列间的一一对应是射线对应的充要条件是 （ ）。 8、 不在二阶曲线上的两个点P 123()p p p ，Q 123()q q q 关于二阶曲线 0ij i j S a x x ≡=∑成共轭点的充要条件是（ ）。 9、 仿射变换成为相似变换的充要条件是（ ）。 二、计算题（每题8分，共56分） 1、 计算椭圆的面积（椭圆方程：22 221x y a b += ,0a b >） 2、 求共点四线11:l y k x =，22:l y k x =，33:l y k x =，44:l y k x =的交比。 3、 求射影变换11 2233x x x x x x ρρρ?'=-?? '=?? '=?? 的不变元素。 4、 求二阶曲线22212323624110x x x x x --+=经过点(1,2,1)P 的切线方程。

5、 求双曲线2223240x xy y x y +-+-=的渐近线方程。 6、 求抛物线22242410x xy y x ++-+=的主轴和顶点。 7、 求使三点(0,)O ∞，(1,1)E ，(1,1)P -顺次变到点(2,3)O '，(2,5)E '， (3,7)P '- 的仿射变换。 三、已知(1,2,3)A ，(5,1,2)B -，(11,0,7)C ，(6,1,5)D ，验证它们共线并求 (,)AB CD 的值。 （8分） 四、 求证：两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条 二阶曲线。（9分）

某高校《高等几何》期末考试试卷含答案

某高校《高等几何》期末考试试卷 (120分钟) 一、填空题(2分?12=24分) 1、平行四边形的仿射对应图形为: 平行四边形 ; 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为: (5,-1,0) 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为: 0231=-x x 5、方程0652 2 2121=+-u u u u 表示的图形坐标 (1,2,0) (1,3,0) 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ,则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形,过A 引AE 与对角线BD 平行,则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a):21→,32→,43→; b):10→,32→,01→ 其中为对合的就是: b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件就是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ,)1,5,2(B ,)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程,它就是由下列两个射影线束所决定的: 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。

解:射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有:1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得, 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。 三、证明:如果两个三点形内接于同一条二次曲线,则它们也同时外切于一条二次曲线。(10分) 证明:三点形ABC 与三点形C B A '''内接于二次曲线(C),设 AB C B ''=D AB C A ''=E B A '' BC=D ' B A ' ' AC=E ',则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所 以,),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B 这两个点列对应点的连线AC,B C '',A C '',BC 连同这两个点列的底AB,B A ''属于同一条二级曲线(C '),亦即三点形ABC 与三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。 四、已知四直线1l ,2l ,3l ,4l 的方程顺次为12x -2x +3x =0,13x +2x -32x =0, 17x -2x =0,15x -3x =0, 求证四直线共点,并求(1l 2l ,3l 4l )的值。(10分) 解:因为 1 7213 112---=0且1 5 01 7213---=0 所以1l ,2l ,3l ,4l 共点。四直线与x 轴(2x =0)的交点顺次为A(1,0,-2),B(2,0,3),C(0,0,1),D(1,0,5),非齐次坐标为A(- 21,0),B(32,0),C(0,0),D(5 1,0), 所以 (1l 2l ,3l 4l )=(AB,CD)= ) 2 151)(320() 32 51)(210(+--+=21 五、求两对对应元素,其参数为12 1 →,0→2,所确定的对合方程。(10分) 解 设所求为 a λλ'+b(λ+λ')+d=0 ①

高校《高等几何》期末考试试卷含答案

某高校《高等几何》期末考试试 卷 （120分钟） 一、填空题（2分?12=24分） 1、平行四边形的仿射对应图形为： 平行四边形 ； 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： （5，-1，0） 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为： 0231=-x x 5、方程0652 2 2121=+-u u u u 表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0） 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ，则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程

063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ）：21→，32→，43→； b ）：10→，32→，01→ 其中为对合的是： b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的： 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有：1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得，

7月浙江自考高等几何试题及答案解析

1 浙江省2018年7月自学考试高等几何试题 课程代码：10027 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.在三角形的以下性质中是仿射性质的是( ) A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心 2.以下四条直线中所含的无穷远点与其他三条不同的是( ) A.x y x y 121)1(2+=++ B.11)(2=++x x y C.x +2y =0 D.过点(1,3),(3,2)的直线 3.已知A ,B ,C ,D 四点是调和点列，任意调整它们次序后所得交比不会出现的是( ) A.1 B.2 C.-1 D. 2 1 4.椭圆型射影对应的自对应元素是( ) A.两个互异的实元素 B.两个互异的虚元素 C.两个重合的实元素 D.两个重合的虚元素 5.唯一决定一条二阶曲线需无三点共线的( ) A.3点 B.4点 C.5点 D.6点 二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.两点-3u 1+u 2+2u 3=0,2u 1-u 2+3u 3=0连线的坐标是_________. 7.若对合a μμ′+b (μ+μ′)+c =0是椭圆型的,则系数满足_________. 8.完全四线形的每一条对角线上有一组调和点列,即这直线上的两个顶点和_________. 9.椭圆上四定点与其上任意第五点所联四直线的交比为_________.

2 10.平面上任一圆通过的两个固定点称为_________. 三、计算题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 11.求使三点A (0,0),B (1,1),C (1,-1)变到三点A ′(1,1),B ′(3,1),C (1,-1)的仿射变换. 12.已知平面上有点A (2,1),B (4,2),C (6,-3),D (-3,2),E (-5,1),求A (BC ,DE ). 13.求射影变换式,使它的不变元素的参数是λ1=-1,λ2=3,并且使λ3=1变为3 λ'=0. 14.求射影变换??? ??--='-='-='3213 212 211 36 4 x x x x x x x x x x ρρρ的二重直线. 15.求两个成射影对应的线束x 1-λx 2=0，x 2-λ′x 3=0,(λ′= λ λ +1)所构成的二阶曲线的方程. 16.求二次曲线x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3=0的中心. 四、作图题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）（第18题写出作法） 17.作出下列图形的对偶图形: 题17图 18.已知二阶曲线上五点A ,B ,C ,D ,E ,求作该曲线上点A 处的切线. 题18图 五、证明题(本大题共3小题，第19小题和第20小题各10分，第21小题8分，共28分)

高等几何期末考试试卷

北京师范大学珠海分校 期末考试试卷 开课单位：应用数学学院课程名称：高等几何 任课教师：hj考试类型：闭卷考试时间：120分钟 学院___________班级____________姓名___________学号______________ 题号一二三总分 得分 阅卷人 试卷说明：（本试卷共4页，满分100分） ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 一、填空题：（每题4分，共20分.请把答案填在题中横线上.） 1．正交变换的基本不变量是.仿射变换的基本不变量是. 射影变换的基本不变量是.射影变换的基本不变形是. 2.若（P1P2，P3P4）=3，则（P1P2，P4P3）=.（P1P3，P2P4）=. （P2P3，P1P4）=.（P3P1，P2P4）=________. 3．两个射影点列成透视对应充要条件是. 两个射影线束成透视对应充要条件是. 4．“若两个完全四线形的五对对应顶点连线通过同一点，则其第六对对应顶点的连线也通过此点，其四对对应边交点必共线”的对偶命题 为 . 5．直线3x-y+3=0上无穷远点的坐标，其方程为. 二、作图题，要求写出简单步骤。（每题5分，共10分.) 1．做出下列图形的对偶图形.

2．已知两个射影点列的三对对应点，求作其他对应点。 三、计算题：要求写出主要计算步骤（每题10分，共60分) 1．已知四点A（1,2,3），B（5，-1,2），C（11,0,7），D（6,1,5），验证它们共线，并求（AB,CD）的值. 2．设直线l上的点P（-1），Q（0），R（1）经射影对应，顺次对应l’上的点 P’(0),Q’(1),R’(3)求射影对应式。.

某高校《高等几何》期末考试试卷(含答案)

某高校《高等几何》期末考试试卷 （120分钟） 一、填空题（2分?12=24分） 1、平行四边形的仿射对应图形为： 平行四边形 ； 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： （5，-1，0） 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为： 0231=-x x 5、方程0652 2 2121=+-u u u u 表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0） 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ，则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ）：21→，32→，43→； b ）：10→，32→， 01→ 其中为对合的是： b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1

二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的： 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有：1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得， 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。 三、证明：如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线。（10分） 证明：三点形ABC 和三点形C B A '''内接于二次曲线（C ），设 AB I C B ''=D AB I C A ''=E B A ''I BC=D ' B A ' 'I AC=E '，则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所以， ),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B 这两个点列对应点的连线AC ，B C ''，A C '',BC 连同这两个点列的底AB ，B A ''属于同一条二级曲线（C '），亦即三点形ABC 和三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。 四、已知四直线1l ,2l ,3l ,4l 的方程顺次为12x -2x +3x =0， 13x +2x -32x =0, 17x -2x =0，15x -3x =0, 求证四直线共点，并求（1l 2l ,3l 4l ）的值。（10分） 解：因为

某高校《高等几何》期末考试试卷(含答案)

某高校《高等几何》期末考试试卷 （120分钟） 一、填空题（2分?12=24分） 1、平行四边形的仿射对应图形为： 平行四边形 ； 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： （5，-1，0） 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为： 0231=-x x 5、方程0652 22121=+-u u u u 表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0） 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ，则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ）：21→，32→，43→； b ）：10→，32→，01→ 其中为对合的是： b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1

11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的： 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有：1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得， 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。 三、证明：如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线。（10分） 证明：三点形ABC 和三点形C B A '''内接于二次曲线（C ），设 AB C B ''=D AB C A ''=E B A '' BC=D ' B A '' AC=E '，则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所以， ),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B 这两个点列对应点的连线AC ，B C ''，A C '',BC 连同这两个点列的底AB ，B A ''属于同一条二级曲线（C '），亦即三点形ABC 和三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。

高等几何考试试卷.

浙江省2002年4月高等教育自学考试 高等几何试题 课程代码：10027 一、填空题(每空2分，共20分) 1._______，称为仿射不变性和仿射不变量. 2.共线三点的简比是_______不变量. 3.平面内三对对应点(原象不共线，映射也不共线)决定唯一_______. 4.点坐标为(1，0，0)的方程是_______. 5.u u 1222- =0代表点_______的方程. 6.已知共线四点A 、B 、C 、D 的交比(AB ，CD)=2，则(CA ，BD)=_______. 7.对合由_______唯一决定. 8.二阶曲线就是_______的全体. 9.证明公理体系的和谐性常用_______法. 10.罗巴切夫斯基平面上既不相交，又不平行的两直线叫做_______直线. 二、计算题(每小题6分，共30分) 1.求直线x -2y+3=0上无穷远点的坐标。 2.求仿射变换 '=-+'=++??? x x y y x y 71424 的不变点. 3.求四点(2，1，-1)，(1，-1，1)，(1，0，0)，(1，5，-5)顺这次序的交比. 4.试求二阶曲线的方程，它是由两个射影线束 x 1-λx 3=0与x 2-'λx 3=0 ('λ=λλ-+12 )所决定的. 5.求二次曲线2x 2+xy -3y 2+x -y=0的渐近线. 三、作图题(每小题6分，共18分) 1.给定点A 、B ，作出点C ，使(ABC)=4. 作法： 2.过定点P ，作一条直线，使通过两条已知直线的不可到达的点. 作法：

3.如图，求作点P关于二次曲线Γ的极线 作法： 四、证明题(第1、2题各10分，第3小题12分，共32分) 1.设P、Q、R、S是完全四点形的顶点，A=PS×QR,B=PR×QS,C=PQ×RS,证明A1=BC×QR,B1=CA×RP, C1=AB×PQ三点共线. 证明： 2.过二次曲线的焦点F，引两条共轭直线l,l′，证明l⊥l′. 证明： 3.将△ABC的每边分成三等份，每个分点跟三角形的对顶相连，这六条线构成一个六边形(图甲)，求证它的三双对顶连线共点。 证明(按以下程序作业)： 第一步：将△ABC仿射变换为等边△A′B′C′(图乙)，为什么这样变换存在? 第二步：在图乙中，画出图甲的对应点和线段，并叙述原来命题对应地变成怎样的命题。第三步：证明：变换后的相应命题成立。这样原来命题也就成立，为什么?

高等几何试题及答案

； 系 专业 班 学号 姓名 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 试卷类型： A 高等几何 使用专业年级 考试方式：开卷（ ）闭卷（√） 共 6 页 题号 一 二 三 四 五 六 合计 得分 一、 填空题（每小题4分，共20分） 1、设1P (1)，2P (-1)，3P (∞)为共线三点，则=)(321P P P 。 2、写出德萨格定理的对偶命题： 。 3、若共点四直线a,b,c,d 的交比为(ab,cd)=-1，则交比(ad,bc)=______。 4、平面上4个变换群，射影群，仿射群，相似群，正交群的大小关系为： 。 5、二次曲线的点坐标方程为042 2 31=-x x x ，则其线坐标方程为是 。 二、 选择题（每小题2分，共10分） 1.下列哪个图形是仿射不变图形？( ) A.圆 B.直角三角形 C.矩形 D.平行四边形 2. 22 1122280u u u u +-=表示( ) A.以-1/4为方向的无穷远点和以1/2为方向的无穷远点

B. 以-4为方向的无穷远点和以2为方向的无穷远点 C. 以4为方向的无穷远点和以-2为方向的无穷远点 D. 以1/4为方向的无穷远点和以-1/2为方向的无穷远点 3.两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成？( ) A.一次 B.两次 C.三次 D.四次 4.下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有( )： A. 三角形的垂心 B. 梯形 C.在平面内无三线共点的四条直线有六个交点 D.椭圆 5.二次曲线按射影分类总共可分为( ) A.4类 B.5类 C.6类 D.8类 三、判断题（每小题2分，共10分） 1.仿射对应不一定保持二直线的平行性。（） 2.两直线能把射影平面分成两个区域。（） 3.当正负号任意选取时，齐次坐标)1 ± ±表示两个相异的点。（） ,1 ,1 (± 4. 在一维射影变换中，若已知一对对应元素(非自对应元素)符合对合条件，则此 射影变换一定是对合。（） 5.配极变换是一种非奇线性对应。（）

高等几何试题(1)

《高等几何》试题（１） 1. 试确定仿射变换，使y 轴，x 轴的象分别为直线01=++y x ，01=--y x ，且点（1，1） 的象为原点.(51') 2. 利用仿射变换求椭圆的面积.(01') 3. 写出直线12x +23x -3x =0,x 轴,y 轴,无穷远直线的齐次线坐标.(01') 4. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(51') 5. 已知A (1,2,3),B (5,-1,2),C (11,0,7),D (6,1,5),验证它们共线,并求(CD AB ,)的值.(8') 6. 设1P (1,1,1),2P (1,-1,1),4P (1,0,1)为共线三点,且(4321,P P P P )=2,求3P 的坐标.(21') 7. 叙述并证明帕普斯(Pappus)定理.(01') 8.一维射影对应使直线l 上三点P (-1),Q (0),R (1)顺次对应直线l '上三点 P '(0),Q '(1),R '(3),求这个对应的代数表达式.(01') 9.试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.(01') 《高等几何》试题（２） 1.求仿射变换424,17++='+-='y x y y x x 的不变点和不变直线. (51') 2. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(51') 3.求证a (1,2,-1) ,b (-1,1,2),c (3,0,-5)共线,并求l 的值,使 ).3,2,1(=+=i mb la c i i i (01') 4.已知直线421,,l l l 的方程分别为02321=-+x x x ，0321=+-x x x ， 01=x ，且=),(4321l l l l 3 2 - ，求2l 的方程.(51') 5.试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. (01') 6.试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底 的交点自对应. (01') 7.求两对对应元素,其参数为12 1 → ,0→2,所确定对合的参数方

高等几何试卷及答案

《高等几何》考试试题A 卷（120分钟） 一、填空题（2分?12=24分） 1、平行四边形的仿射对应图形为： 平行四边形 ； 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： （5，-1，0） 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为： 0231=-x x 5、方程0652 22121=+-u u u u 表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0） 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ，则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 32221=+++++x x x x x x x x x 的极线方程 063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ）：21→，32→，43→； b ）：10→，32→， 01→ 其中为对合的是： b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的： 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。

由两线束的方程有：1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得， 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。 三、证明：如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线。（10分） 证明：三点形ABC 和三点形C B A '''内接于二次曲线（C ），设 AB C B ''=D AB C A ''=E B A '' BC=D ' B A ' ' AC=E '，则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所以， ),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B 这两个点列对应点的连线AC ，B C ''，A C '',BC 连同这两个点列的底AB ，B A ''属于同一条二级曲线（C '），亦即三点形ABC 和三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。 四、已知四直线1l ,2l ,3l ,4l 的方程顺次为12x -2x +3x =0，13x +2x -32x =0, 17x -2x =0， 15x -3x =0, 求证四直线共点，并求（1l 2l ,3l 4l ）的值。 （10分） 解：因为 1 7213 112---=0且1 5 01 7213---=0 所以1l ,2l ,3l ,4l 共点。四直线与x 轴（2x =0）的交点顺次为 A(1,0,-2),B(2,0,3),C(0,0,1),D(1,0,5),非齐次坐标为A(- 21,0),B(32,0),C(0,0),D(51 ,0)， 所以 （1l 2l ,3l 4l ）=（AB ，CD ）= ) 2 151)(320() 3251)(210(+--+=21 五、求两对对应元素，其参数为12 1 →，0→2，所确定的对合方程。（10分）

高等几何试卷2

一、填空题（每小题3分，共15分） 1 经过中心射影后图形的不变性质称作图形的 。 2 如果两直线有相同的无穷远点，则两直线 。 3 设p 是线段12,p p 的中点，则()12p p p = 。 4 以两条不同直线0α=，0β=的交点为顶点的线束中的任一直线的齐次坐标方程能够写作 。 5在一维射影变换中，若有一对对应元素符合对合条件，则这个射影变换一定是 。 二、选择题（每小题3分，共15分） 1 仿射变换是射影变换。（ ） 2两共轭复直线的交点为一复点。（ ） 3 两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底的交点自对应。 （ ） 4 设四个不同的共线点中的三点及其交比值为已知，则第四点必唯一确定。（ ） 5射影平面上所有射影变换的集合构成群。（ ） 三、（10 分） 1 求点()3,4，()0,1，()2,0-，()0,0的齐次坐标。 2求直线310x y --=，123360x x x -+=上的无穷远点的齐次坐标。

四、（10分） 求对合的方程，这个对合的二重元素的参数为2与3。 五、（10分） 求射影变换 112 22 33 x x x x x x x ρ ρ ρ ?'=+ ? ?' = ? ?' = ?? 的不变点坐标.

六、（10分） 已知四点()13,1,2p -， ()21,3,1p ，() 32,2,3p --，()41,5,4p --，求 ()1234,p p p p

七、（15分） 证明圆上任一点与与圆内接正方形的四个顶点的连线组成调和线束。（即如图）求() EA EC EB ED=- ,1 E

高等几何试卷与答案

《高等几何》考试试题 A 卷（ 120 分钟） 题号一二三四五六七八合计 分数2410101010121212100 得分 一、填空题（ 2 分12=24 分） 1、平行四边形的仿射对应图形为：平行四边形； 2、直线 x15x20 上无穷远点坐标为：（5，-1，0） 3、已知 (l1l 2 , l 3l 4 ) 3 ,则 (l 4l 3 , l 2 l1 )3(l1l 3 , l 2 l 4 )-2 4、过点 A(1,i,2)的实直线的齐次方程为： 2 x1 x30 5、方程 u125u1u26u220 表示的图形坐标（1,2,0）（ 1,3,0） 6、已知OX轴上的射影变换式为x'2x 1 ，则原点的对应点-1 x33 7、求点(1, 1,0)关于二阶曲线 3x125x22x327x1 x24x1x35x2 x30 的极线方程 x13x26x30 8、ABCD为平行四边形，过A引AE与对角线BD平行，则A( BC, DE ) = -1 9、一点列到自身的两射影变换a）：1 2 ， 2 3 ， 3 4 ；b）： 0 1 ， 2 3 ，1 0 其中为对合的是：b 10、求射影变换'210 的自对应元素的参数1 11、两个线束点列成透视的充要条件是底的交点自对应 12、直线 2x1x2x30 上的三点A(1,3,1)，B(2,5,1)，C (1,2,0)的单比( ABC ) =1 二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的： x1 x3 0 与 x2' x3 0且'2'10 。

由两线束的方程有： x 1 , ' x 2 。 x 3 x 3 将它们代入射影对应式并化简得， x 1x 2 2x 2 x 3 x 1 x 3 x 32 0 此即为所求二阶曲线的方程。 三、证明：如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二 次曲线。（10 分） 证明：三点形 ABC 和三点形 A B C 内接于二次曲线（ C ），设 AB BC =D AB AC =E AB BC=D AB AC= E ， 则 C (A,B,A,B) C(A,B,A,B) 所 以 ， (A,D,E,B) C (A,B ,A,B) C(A,B ,A ,B) (E ,B ,A ,D ) 即 (A,D,E,B) (E ,B ,A ,D ) 这两个点列对应点的连线 AC ， C B ， C A ,BC 连同这两个点列的底 AB ， A B 属于同一条二级曲线 （ C ），亦即三点形 ABC 和三点形 A B C 的边外切一条二 次曲线。 四、已知四直线 l1 ,l 2, l3,l4的方程顺次为 2x 1 - x 2 + x 3 =0， 3x 1 + x 2 - 2x 3 =0, 7x 1 - x 2 =0， 5x 1 - x 3 =0, 求证四直线共点，并求（ l1 l2 , l3 ）的值。（ 10 分） l 4 解：因为 2 1 1 3 1 2 3 1 2 =0且 7 1 0 =0 7 1 5 1 所 以 l1 , l2 , l3 , l4 共 点 。 四 直 线 与 x 轴 （ x 2 =0）的交点顺次为 A(1,0,-2),B(2,0,3),C(0,0,1),D(1,0,5), 非齐次坐标为 A(- 1 ,0),B( 2 ,0),C(0,0),D( 1 ,0)， 2 3 5 (0 1)(1 2) 1 所以 （ l 2 ）=（AB ，CD ）= 2 5 3 = l1 l 4 2 1 1 2 (0 3 )( ) 1 ， 5 2 五、求两对对应元素，其参数为 1 0 ，所确定的对合方程。（ 10分） 2 2

高等几何模拟试题(卷)

《高等几何》试题（A ） 一、 填空题（每题3分共15分） 1、 是仿射不变量， 是射影不变量 2、 直线30x y +=上的无穷远点坐标为 3、 过点（1,i,0）的实直线方程为 4、 二重元素参数为2与3的对合方程为 5、 二次曲线22611240x y y -+-=过点(1,2)P 的切线方程 二、 判断题（每题2分共10分） 1、两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形 （ ） 2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变 （ ） 3、一个角的外角平分线调和分离角的两边 （ ） 4、欧氏几何是射影几何的子几何，所以对应容是射影几何对应容的子集 （ ） 5、共线点的极线必共点，共点线的极点必共线 （ ） 三、(7分)求一仿射变换，它使直线210x y +-=上的每个点都不变，且使点（1,-1） 变为（-1，2） 四、（8分）求证:点(1,2,1),(1,1,2),(3,0,5)A B C --三点共线，并求,t s 使 ,(1,2,3)i i i c ta sb i =+= 五、(10分)设一直线上的点的射影变换是/324 x x x += +证明变换有两个自对应点，且这两自对应点与任一对对应点的交比为常数。 六、（10分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。

七、（10分） （1）求点（5，1，7）关于二阶曲线222123121323236240x x x x x x x x x ++---=的极线 （2）已知二阶曲线外一点P 求作其极线。（写出作法，并画图） 八、（10分）叙述并证明德萨格定理的逆定理 九、（10分）求通过两直线[1,3,1],[1,5,1]a b -交点且属于二级曲线 222123420u u u +-=的直线 十、（10分）已知,,,,A B P Q R 是共线不同点， 如果(,)1,(,)1,(,)PA QB QR AB PR AB =-=-求