36 锐角三角函数和解直角三角形复习题
一、选择题 1.(2011·黄冈)cos 30°=( ) A.12 B.22 C.3
2 D.
3 答案 C 2.(2011·温州)如图,在△ABC 中,∠C =90°,AB =13,BC =5,则sin A 的值是( )
A.513
B.1213
C.512
D.135 答案 A
解析 在Rt △ABC 中,∠C =90°,sin A =BC AB =5
13
.
3.(2011·达州)如图所示,在数轴上点A 所表示的数x 的范围是( )
A.32sin 30° 解析 因为tan45°=1,tan60°=3,所 32tan45°=32×1=3 2 ,而1.5 4.(2011·芜湖)如图,直径为10的⊙A 经过点C (0,5)和点O (0,0),B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为( ) A. 12 B.34 C.32 D.45 答案 C 解析 设⊙A 交x 轴于点D .连接CD ,因为∠COD =90°,所以CD 是直径,且∠OBC =∠ODC .在Rt △OCD 中,OC =5,CD =10,则OD =5 3,所以cos ∠OBC =cos ∠ODC =OD CD =5 310=32 . 5.(2011·福州)Rt △ABC 中,∠C =90°,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,那么c 等于( ) A .a cos A +b sin B B .a sin A +b sin B C.a sin A +b sin B D.a cos A +b sin B 答案 B 解析 如图,画CD ⊥AB 于D ,在Rt △ACD 中,sin B =sin ∠ACD =AD AC ,所以AD =b sin B , 同理,BD =a ·sin A ,故C =AB =AD +BD =a sin A +b sin B . 二、填空题 6.(2011·武汉) sin 30°的值为________. 答案 12 7.(2011·义乌)右图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图.其中AB 、CD 分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线,∠ABC =135°,BC 的长约是5 2m ,则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是________m. 答案 5 解析 过C 画CE ⊥AB 于E ,在Rt △BCE 中,∠CBE =45°,BC =5 2,则BE =CE =5,即h =5. 8.(2011·茂名)如图,在高出海平面100米的悬崖顶A 处,观测海平面上一艘小船B ,并测得它的俯角为45°,则船与观测者之间的水平距离BC =________米. 答案 100 解析 如图,AD ∥BC ,则∠ABC =∠BAD =45°,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∴∠BAC =∠ABC =45°,BC =AC =100. 9.(2011·衢州)在一次夏令营活动中,小明同学从营地A 出发,要到A 地的北偏东60°方向的C 处,他先沿正东方向走了200m 到达B 地,再沿北偏东30°方向走,恰能到达目的地C (如图),那么,由此可知,B 、C 两地相距___________m. 答案 200 解析 如图,在△ABC 中,∠ABC =90°+30°=120°,∠BAC =90°-60°=30°,所以∠C =30°=∠BAC ,BC =AB =200. 10.(2011·潼南)如图,某小岛受到了污染,污染范围可以大致看成是以点O 为圆心,AD 长为直径的圆形区域,为了测量受污染的圆形区域的直径,在对应⊙O 的切线BD (点D 为切点)上选择相距300米的B 、C 两点,分别测得∠ABD =30°,∠ACD =60°,则直径AD =________米.(结果精确到1米.参考数据:2≈1.414,3≈1.732) 答案 260 解析 设AD =x ,在Rt △ABD 中,∠B =30°, 则BD =3AD =3x . 在Rt △ACD 中,∠ACD =60°, 则CD =AD 3=x 3=3 3 x . 又∵BD -CD =BC ,∴3x -3 3 x =300, 得2 33 x =300,x =150 3≈260(米). 三、解答题 11.(2011·金华)生活经验表明,靠墙摆放的梯子,当50°≤α≤70°(α为梯子与地面所成的角),能够使人安全攀爬,现在有一长为6m 的梯子AB ,试求能够使人安全攀爬时,梯子的顶端能达到的最大高度AC .(结果保留两个有效数字,sin 70°≈0.94,sin 50°≈0.77,cos 70°≈0.34,cos 50°≈0.64) 解 由题意知,当α越大,梯子的顶端达到的最大高度越大.因为当50°≤α≤70°时,能够使人安全攀爬,所以当α=70°时AC 最大. 在Rt △ABC 中,AB =6米,α=70°, sin 70°=AC AB ,即0.94≈AC 6 ,解得AC ≈5.6. 答:梯子的顶端能达到的最大高度AC 约5.6m. 12.(2011·铜仁)如图,在A 岛周围25海里水域有暗礁,一轮船由西向东航行到O 处时,发现A 岛在北偏东60°方向,轮船继续前行20海里到达B 处发现A 岛在北偏东45°方向,该船若不改变航向继续前进,有无触礁的危险? (参考数据:2≈1.414,3≈1.732) 解 根据题意,有∠AOC =30°,∠ABC =45°, ∠ACB =90°,∴BC =AC , 在Rt △AOC 中,由tan 30°=AC OC , 得33=AC 20+AC , 解得AC =20 3-1 ≈27.32(海里). ∵27.32(海里)>25(海里), ∴轮船不会触礁. 13.(2011·威海)一副直角三角板如图放置,点C 在FD 的延长线上,AB ∥CF ,∠F =∠ACB =90°, ∠E =45°,∠A =60°,AC =10,试求CD 的长. 解 过点B 作BM ⊥FD 于点M . 在△ACB 中,∠ACB =90°,∠A =60°,AC =10, ∴∠ABC =30°,BC =AC ·tan 60°=10 3, ∵AB ∥CF ,∴∠BCM =30°. ∴BM =BC ·sin 30°=10 3×1 2=5 3, CM =BC ·cos 30°=10 3×3 2 =15. 在△EFD 中,∠F =90°,∠E =45°, ∴∠EDF =45°, ∴MD =BM =5 3. ∴CD =CM -MD =15-5 3. 即CD 的长为15-5 3. 14.(2011·常德)青青草原上,灰太狼每天都想着如何抓羊,而且是屡败屡试,永不言弃.如图所示,一天,灰太狼在自家城堡顶部A 处测得懒羊羊所在地B 处的俯角为60°,然后下到城堡的C 处,测得B 处的俯角为30°.已知AC =40米,若灰太狼以5m/s 的速度从城堡底部D 处出发,几秒钟后能抓到懒羊羊?(结果精确到个位) 解 在Rt △BCD 中, ∵∠BCD =90°-30°=60°, ∴BD CD =tan 60°,则BD =3CD . 在Rt △ABD 中, ∵∠ABD =60°, ∴AD BD =tan 60°,即40+CD 3CD =3, ∴CD =20. ∴t =3CD 5≈355 =7. 故约7秒钟后灰太狼能抓到懒羊羊. 15.(2011·扬州)如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图,已知真空集热管AB 与支架CD 所在直线相交于水箱横断面⊙O 的圆心,支架CD 与水平面AE 垂直,AB =150厘米,∠BAC =30°,另一根辅助支架DE =76厘米,∠CED =60°. (1)求垂直支架CD 的长度;(结果保留根号) (2)求水箱半径OD 的长度.(结果保留三个有效数字,参考数据:2≈1.41,3≈1.73) 解 (1)在Rt △DCE 中,∠CED =60°,DE =76, ∵sin ∠CED =DC DE , ∴CD =DE ·sin ∠CED =38 3(厘米). 答:垂直支架CD 的长度为38 3厘米. (2)设水箱半径OD =x 厘米,则OC =(38 3+x )厘米,AO =(150+x )厘米, ∵Rt △OAC 中,∠BAC =30°, ∴AO =2×OC ,即:150+x =2(38 3+x ). 解得,x =150-76 3≈18.52≈18.5(厘米). 答:水箱半径OD 的长度为18.5厘米. 四、选做题 16.(2011·南充)如图,点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点,△BCE 沿BE 折叠为△BFE ,点F 落在AD 上. (1)求证:△ABF ∽△DFE ; (2)若sin ∠DFE =1 3 ,求tan ∠EBC 的值. 解 (1)证明:∵四边形ABCD 是矩形, ∴∠A =∠D =∠C =90°. ∵△BCE 沿BE 折叠为△BFE , ∴∠BFE =∠C =90°. ∴∠AFB +∠DFE =180°-∠BFE =90°. 又∵∠AFB +∠ABF =90°, ∴∠ABF =∠DFE , ∴△ABF ∽△DFE . (2)解:在Rt △DEF 中,sin ∠DFE =DE EF =1 3 , ∴设DE =a ,EF =3a ,则DF =EF 2-DE 2=2 2a . ∵△BCE 沿BE 折叠为△BFE , ∴CE =EF =3a ,CD =DE +CE =4a ,AB =4a, ∠EBC =∠EBF . 又由(1)得,△ABF ∽△DFE , ∴FE BF =DF AB =2 2a 4a =22 , ∴tan ∠EBF =FE BF =2 2, ∴tan ∠EBC =tan ∠EBF =22 .