CGMO2015_2015第14届中国数学女子奥林匹克试题及答案

2015中国女子数学奥林匹克

第一天

2015年8月12日 上午8:00 ~ 12:00

广东深圳 深圳市高级中学

1．如图，在锐角△ABC 中，AB > AC ，O 为外心，D 为边BC 的中点．

以AD 为直径作圆与边AB 、AC 分别交于点E 、F ．过D 作DM ∥AO 交EF 于点M ．求证：EM = MF ．（郑焕供题）

2．设(0,1)a ∈，且

323

2

()(14)(51)(35),

()(1)(2)(31).

f x ax a x a x a

g x a x x a x a =+-+-+-=--+--+

求证：对于任意实数x ，()f x 和()g x 中都至少有一个不小于1a +．（李胜宏供题）

3．把12×12的方格纸的每个单位方格染成黑色或白色，使得由方格线围成的任意一个3×4或4×3的长方形内都至少有一个黑色单位方格．试求黑色单位方格个数的最小值．（梁应德供题）

4．对每个正整数n ，记()g n 为n 与2015的最大公约数，求满足下列条件的有序三元数组(,,)a b c 的个数：

1) ,,{1,2,,2015}a b c ∈ ；

2) (),(),(),(),(),(),()g a g b g c g a b g b c g c a g a b c +++++这七个数两两不同．（王彬供题）

中国女子数学奥林匹克

第二天

2015年8月13日 上午8:00 ~ 12:00

广东深圳 深圳市高级中学

O

M

F

E

D

C

B

A

5．有多少个不同的三边长为整数的直角三角形，其面积值是周长值的999倍？（全等的两个三角形看作相同的）（林常供题）

6．如图，两圆12,ΓΓ外离，它们的一条外公切线与12,ΓΓ分别切于点,A B ，一条内公切线与12,ΓΓ分别切于点,C D ．设E 是直线,AC BD 的交点，F 是1Γ上一点，过F 作1Γ的切线与线段EF 的中垂线交于点M ，过M 作MG 切2Γ于点G ．求证：

MF MG =．（付云皓供题）

7．设12,,,(0,1)n x x x ∈ ，2n ≥．求证：

1212121111

n n n

x x x n x x x x x x ----+++<

．（王新茂供题）

8．给定整数2n ≥．黑板上写着n 个集合，然后进行如下操作：选取黑板上两个互相不包含的集合,A B ，擦掉它们，然后写上A B 和A B ．这称为一次操作．如此操作下去，直到任意两个集合中都有一个包含另一个为止．对所有的初始状态和操作方式，求操作次数的最大可能值．（朱华伟供题）

试题解答

1．如图，在锐角△ABC 中，AB > AC ，O 为外心，D 为边BC 的中点．以AD 为直径作圆与边AB 、AC 分别交于点E 、F ． 过D 作DM ∥AO 交EF 于点M ． 求证：EM = MF ．

Γ2

Γ1

M

G F E

D

C

B

A

O M

F

C

D B

E

A

N 图1

证明 如图，连接DE 、DF ，过O 作ON ⊥AB 交AB 于点N ． 由题意可知，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ． 因此，ON ∥DE ． 又因为DM ∥AO ，所以∠EDM =∠AON ．

因为O 为△ABC 外心，所以∠AON = ∠ACB ． 从而∠EDM =∠ACB ． 同理可得，∠FDM = ∠ABC ． 在△EDF 中，有

sin sin sin sin 1sin sin sin sin EM DE EDM DE ACB DB ABC ACB

MF DF FDM DF ABC DC ACB ABC

?∠?∠?∠?∠====?∠?∠?∠?∠， 即EM = MF ．

2．设(0,1)a ∈，且

323

2

()(14)(51)(35),

()(1)(2)(31).

f x ax a x a x a

g x a x x a x a =+-+-+-=--+--+

求证：对于任意实数x ，()f x 和()g x 中都至少有一个不小于1a +．

证明 由于(0,1)a ∈，a 与1a -皆为正数，因此对任意实数x ，

{}{}{}

max (),()(1)max (),()max (),()(1)()()(1)()()

f x

g x a f x g x a f x g x a f x a g x a f x a g x =-?+?≥-+≥-?-?

而

222 (1)()()

[(1)(14)][(1)(51)(2)][(1)(35)(31)](21)(2)1a f x a g x a a a x a a a a x a a a a a x x a

-?-?=--++----+--++=-?-+++

又2217

2()024

x x x -+=-+>，故{}max (),()1f x g x a ≥+．问题得证．

3．把12×12的方格纸的每个单位方格染成黑色或白色，使得由方格线围成的任何

3×4和4×3长方形内都至少有一个黑格．试求黑格个数的最小值．

解 所求黑格个数的最小值12n =．先证明12n ≥．由于12×12单位方格纸可划分为

1212

1234

?=?个（除边界外）互不相交的3×4方格长方形．由题设可知这些长方形各至少有一个黑色方格，故至少要涂12个黑色方格．

要证明12n =，只需构作一个可行的例子，见下图．

4．对每个正整数n ，记()g n 为n 与2015的最大公约数，求满足下列条件的有序三元数组(,,)a b c 的个数：

1) ,,{1,2,,2015}a b c ∈ ；

2) (),(),(),(),(),(),()g a g b g c g a b g b c g c a g a b c +++++这七个数两两不同．

解 分解质因数123201551331p p p =??=??．()g n 是2015的约数，只有8种情况．我们把满足()1g n =的n 叫做零型数，把满足()g n 取1p 或2p 或3p 的n 叫做一型数，把满足

()g n 取12p p 或13p p 或23p p 的n 叫做二型数．

我们使用下面两个简单的事实：

对任意整数x ，()()(2015)(2015)g x g x g x g x =-=+=-，因此本题可以看做在模2015意义下讨论，即模2015同余的两个数看成相同．

对素数p ，若|p x ,|p y 两者都成立则|p x y ±，若恰有一个成立则|p x y ±/

．

把满足条件三元组(,,)a b c 对应为七元组(,,,,,,)A a b c a b a c b c a b c =+++++，我们考虑A 的七个位置上的数的g 值的分布．首先这七个g 值不能有2015，否则，若某个位置上的数x 是2015的倍数，则A 中存在另外两个位置上的数,y z 满足x y z =+或x y z =-，这样就有()()g y g z =，矛盾．所以七个g 值必须是1,1p ,2p ,3p ,12p p ,13p p ,23p p 各一个．这样A 的七个位置必须是3个二型数、3个一型数、一个零型数．我们关心三个二型数在哪三个位置上．

设123,,p p p 是5,13,31的任意排列，若,,x y z 满足12()g x p p =，13()g y p p =，

23()g z p p =，则有111

|,||p x p y p x y ?±±，222|,||p x p y p x y ?±±//，333|,||p x p y p x y ?±±//，可得1()g x y p ±±=，同理有2()g x z p ±±=，3()g y z p ±±=，()1g x y z ±±±=．因此当确定A 中的三个二型数,,x y z 的位置后，如果其它四个位置可以分别表示为,,x y z 的3个两两线性组合与,,x y z 三个数的线性组合(要求线性组合系数是1±)，我们就可断定A 中的七个位置的g 值互不相同，我们把这种可以线性组合成功表示的三个二型数的一组位置叫做合理位置．在一组合理位置上，当我们确定,,x y z 的取值(模2015意义下)后，七元组A 也被唯一决定了．在模2015意义下，满足12()g n p p =的n 恰好有31p -个，满足13()g n p p =的n 恰好有21p -个，满足23()g n p p =的n 恰好有11p -个，此外,,x y z 的顺序或者说123,,p p p 的顺序可以调换，因此每组合理位置下，,,x y z 的取值有3213!(1)(1)(1)614408640p p p ?---=?=种可能，也就恰好对应8640个满足条件的三元组．

我们关心哪组位置可能是合理的．对素数5,13,31p =，七元组A 中恰好有3个位置是p 的倍数，若,,a b a c b c +++这三个位置至少有两个p 的倍数，不妨设|,|p a b p a c ++，则在此前提下||||p a p b p c p a b c ???++并且||()()()p b c p a b a c b c p a p a +?+++-+??，这时A 中不能恰有

3个位置是p 的

倍数．所以()g a b +,()g a c +,()g b c +的素因子个数总共不超过3，,,a b a c b c +++这三个位置上至多有一个二型数，也就是,,,a b c a b c ++这四个位置上有2或3个二型数．

若,,,a b c a b c ++中有三个二型数，二型数的位置有4种可能情况：

若,,x a y b z c ===是三个二型数，则a b x y +=+,a c x z +=+,b c y z +=+是三个一型数，a b c x y z ++=++是零型数，位置合理．

若,,x a y b z a b c ===++是二型数，则,,a b x y b c z x a c z y +=++=-+=-，c x y z =--+，位置合理．同理其他两种位置也是合理的．

若,,,a b c a b c ++中恰有两个二型数，我们分两类考虑：

第一类考虑两个二型数都在,,a b c 中，不妨设a 和b 是二型数，则a b +不可能是二型数，a c +,b c +之一是二型数，不妨设a c +是二型数．这时,,x a y b z a c ===+是三个二型数，,,a b x y c x z a b c y z +=+=-+++=+，b c x y z +=-++，位置合理．这一类由对称性共有6种情况是合理位置．

第二类考虑a b c ++是二型数且,,a b c 之一是二型数，不妨设a 和a b c ++是二型数，则b c +不可能是二型数，a b +,a c +之一是二型数，不妨设a b +是二型数．这时,,x a y a b c z a b ==++=+是二型数，则,,b c x y b x z c y z +=-+=-+=-，a c x y z +=+-，位置合理．这一类由对称性共有6种情况是合理位置．

综上，三个二型数的合理位置共有16种，(其他不合理位置都不可能使三元组满足条件)．所以满足条件的三元组共有168640138240?=．

5．有多少个不同的三边长为整数的直角三角形，其面积值是周长值的999倍？（全等的两个三角形看作相同的）

解法一 设内切圆半径为r ，1

()()2

S r a b c m a b c =++=++．

故22

a b c

r m +-=

=，4c a b m =+-．代入222a b c +=得24480ab ma mb m --+=，2(4)(4)8a m b m m --=．不同的无序解(,)a b 给出不同的三角形，故所求三角形个数为21(8)2d m ．本题999m =，236282337m =??，1

(31)(61)(21)422

+++=．

解法二 由勾股数公式，22222, (), ()a k uv b k u v c k u v =?=-=+，其中k （三边长的最大公因数）为任意正整数，u 与v 互素，u v >且u 与v 一奇一偶．

22231

999()()9992()

2

()19982337

ab a b c k uv u v u u v kv u v =?++?-=?+?-==?? u v -为奇数，因数2只能分给k 或v ，有两种方式．v 与u v -互素，奇素因子p α分给,,k v u v -只能是(,0,0)α或(,,0)i i α-，(,0,)i i α-（1i α≤≤），有21α+种方式．故由乘法原理，素因子的分配共有2(231)(211)42??+?+=种方式，每种分配方式给出唯一的三角形．因此共有42个所求三角形．

评注 一般地，若倍数为112n

n m p p ββα=? （1,,n p p 为不同的奇素数），则所求三角形个数为1(2)(21)(21)n αββ+?++ ．

6. 如图，两圆12,ΓΓ外离，它们的一条外公切线与12,ΓΓ分别切于点,A B ，一条内

公切线与12,ΓΓ分别切于点,C D . 设E 是直线,AC BD 的交点，F 是1Γ上一点，过F 作1Γ的切线与线段EF 的中垂线交于点M ，过M 作MG 切2Γ于点G . 求证：MF MG =.

证法一 设12,ΓΓ的圆心分别为12,O O ，直线,AB CD 交于点H ，连12,HO HO . 设,J K 分别是线段,AB CD 的中点，连,JE KE .

由于,HA HC 是1Γ的切线，故1HO 平分AHC ∠，且1AC HO ⊥. 同理，2HO 平分BHD ∠，且2BD HO ⊥. 由于12,HO HO 分别是AHC ∠的内角平分线和外角平分线，故它们互相垂直，结合1AC HO ⊥及2BD HO ⊥知AC BD ⊥.

由于直角三角形斜边中线等于斜边一半，故,JE JA JB KE KC KD ====. 考虑

12,ΓΓ及以E 为圆心，0为半径的圆，由JE JA JB ==知J 到这三个圆的幂相等，由KE KC KD ==知K 到这三个圆的幂也相等. 显然,J K 是两个不同的点，因此这三个圆必然有一条公共的根轴. 由于M 在EF 的中垂线上，所以MF ME =，结合MF 是1Γ的切线知M 在这三个圆的公共根轴上，又MG 是2Γ的切线，故MF MG =，证毕.

证法二 同证法一可得AC BD ⊥. 设12,ΓΓ的半径分别为12,r r ，则由勾股定理可知

222222111JO JE r JA JE r -=+-=，同理有22211KO KE r -=，22211MO ME r -=. 因此

22222

111J O J E K O

K E M O M E -=-=-，由平方差原理知1JK O P ⊥，1KM O P ⊥. 由于过平面上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，所以,,J K M 三点共线.

由于22222222J O J E r J B J E r -=+-=，同理22

22KO KE r -=，由此可得2

2222JO JE KO KE -=-，由平方差原理知2JK O E ⊥，故2J M O E ⊥，因此2222222

M O M E J O J E r -=-=，结合2

2222MO MG r =+得MG ME =，故MG MF =，证毕. 评注 事实上，点E 在直线12O O 上，两个证法均证明了这一点，但这个结论在本题中作用不大.

7．设12,,,(0,1)n x x x ∈ ，2n ≥．求证：

Γ2 Γ1 M G F E D

C B

A

K

H

J O 2

O 1

Γ2 Γ1

M G F

E

D C

B

A

1212121111

n n n

x x x n x x x x x x ----+++<

．

证法一：对n 应用数学归纳法．当2n =时，由Cauchy 不等式可得

22

122112112212121212

1111111

x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---+--+-++=≤< 当3n ≥时，由归纳假设和Cauchy 不等式，得

12121212

2

12112112121211112

212()11

n n n n n

n n n n n n

n n n

x x x x n x x x x x x x n x x x x x n x x x x x n x x x x x x x x x --------+++<+-?+--+-+-=

≤<

证法二：设111

1212()n n A x x x x x x ---=+++ ，12n B x x x = ．两边同乘以B ，只需证明

1223411211111n n n n x x x x x x x x x x x x n --+-++-<- ．

由Cauchy 不等式，左边2341121n n n x x x x x x x x x -≤+++?

122341121(1)(1)(1)()n n n n x x x x x x x x x x x x A A nB --+-++-=- ．

故只需证明()1A A nB n -<-．我们先证明1(1)A n B <+-．事实上， 12312341234512211(1)(1)(1)(1)(1) (1)(1)(1)(1)0

n n n n n n n B A x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --+--=--+--+

--++-->

（这也可以用调整法或一次函数极值来证明）．故

()()()2

22

2

()1(1)1(1)1(1)(1)

2(2)(1)(2)1(1)12(1)4(1)(2)11(2)1

4(1)

A A n

B n B n B nB n B B n n n B n B n B n n n n n n -<+-+--=+--????--=--+-+=---++

? ?--?

???-≤+≤+-=-- 证毕．

8．给定整数2n ≥．黑板上写着n 个集合，然后进行如下操作：选取黑板上两个互相不包含的集合,A B ，擦掉它们，然后写上A B 和A B ．这称为一次操作．如此操作下去，直到任意两个集合中都有一个包含另一个为止．对所有的初始状态和操作方式，求操作次数的最大可能值．

解 首先我们证明操作次数不可能超过2(1)2

n n n C -=．

当黑板上写着n 个集合时，考虑成包含关系的集合对的数量，我们证明，每次操作后，这个数量至少增加1．假设我们将,A B 变成A B 和A B ．首先,A B 不是包含关系，而A B 和A B 是包含关系，故这里至少增加了一对成包含关系的集合对．对于另一集合C ，若C 与,A B 之一成包含关系，由对称性不妨设A C ?，则A B C ? ，即C 至

少与A B 和A B 之一成包含关系；若C 与,A B 均成包含关系，则由,A B 不成包含关系知或者,A C B C ??，或者,A C B C ??，若为前者，则,A B C A B C ?? ，若为后者，则,A B C A B C ?? ．因此，在操作之后，其余成包含关系的集合对的数量不会减少，因此每次操作后，这个数量至少增加1．由于此数量最少为0，最多为

2

(1)2n n n C -=，故操作至多进行(1)2

n n -次．

另一方面，我们给出操作次数达到(1)

2

n n -的例子．

定义集合{,1,...,2}i A i i i n =++-，1,2,...,i n =，我们证明由12,,...,n A A A 出发，可以进行(1)2

n n -次操作．

使用数学归纳法，当2n =时，12{1},{2}A A ==，可进行

2(21)

12

?-=次操作． 若结论对n 成立，考虑1n +的情况．先将1{1,2,...,}A n =与2{2,3,...,1}A n =+进行一次操作，得到的交集{2,3,...,}n 留下，并集继续与3{3,4,...,2}A n =+进行操作，得到的交集{3,4,...,1}n +留下，并集继续与4A 进行操作，依此类推．进行完n 次操作后，得到原来所有集合的并集{1,2,...,2}n 及另外n 个集合{2,3,...,}n ，{3,4,...,1}n +，……，{1,2,...,21}n n n ++-．下面仅考虑后n 个集合之间的操作．由于将所有元素都减1并不

改变集合间的关系，故可考虑集合{1,2,...,n -，{2,3,...,}n ，……，

{,1,...,2n n n +-．

而由归纳假设，这些集合之间可以操作2(1)2

n n n C -=次，故原来的1n +个集合可以操作2

1(1)(1)22

n n n n n n C +-++==次，即此结论对1n +也成立． 综上所述，操作次数的最大可能值为2(1)2

n n n C -=．

2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word版

2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word 版 一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分不是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分不作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分不为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分不为M ，N ． 〔1〕假设A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ?=?； 〔2〕假设 EM FN EN FM ?=?，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论． 解〔1〕设Q ，R 分不是OB ，OC 的中点，连接 EQ ，MQ ，FR ，MR ，那么 11 ,22EQ OB RM MQ OC RF ====， 又OQMR 是平行四边形，因此 OQM ORM ∠=∠， 由题设A ，B ，C ，D 四点共圆，因此 ABD ACD ∠=∠， 因此 图1 22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠， 因此 EQM EQO OQM FRO ORM FRM ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 故 EQM MRF ???， 因此 EM ＝FM ， 同理可得 EN ＝FN ， 因此 EM FN EN FM ?=?． 〔2〕答案是否定的． 当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，因此A ，B ，C ，D 四点不共圆，但现在仍旧有 EM FN EN FM ?=?，证明如下： 如图2所示，设S ，Q 分不是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，那么 11 ,22 NS OD EQ OB ==， C B

因此 NS OD EQ OB =．①又 11 , 22 ES OA MQ OC ==，因此 ES OA MQ OC =．② 而AD∥BC，因此 OA OD OC OB =，③ 由①，②，③得NS ES EQ MQ =． 因为2 NSE NSA ASE AOD AOE ∠=∠+∠=∠+∠， ()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB ∠=∠+∠=∠+∠+?-∠ (180)2 AOE EOB AOD AOE =∠+?-∠=∠+∠， 即NSE EQM ∠=∠， 因此NSE ?～EQM ?， 故 EN SE OA EM QM OC ==〔由②〕．同理可得， FN OA FM OC =， 因此EN FN EM FM =， 从而EM FN EN FM ?=?． C B

第32届中国数学奥林匹克获奖名单及2017年集训队名单

第32届中国数学奥林匹克获奖名单 一等奖（116人，按省市自治区排列） 编号姓名地区学校 M16001 吴蔚琰安徽合肥一六八 M16002 考图南安徽安师大附中 M16003 徐名宇安徽合肥一中 M16004 吴作凡安徽安师大附中 M16005 周行健北京人大附中 M16006 王阳昇北京北京四中 M16007 陈远洲北京北师大附属实验中学M16008 杨向谦北京人大附中 M16009 夏晨曦北京北师大二附 M16010 谢卓凡北京清华附中 M16011 薛彦钊北京人大附中 M16012 胡宇征北京北京四中 M16013 徐天杨北京北京101中学 M16014 董昕妍北京人大附中 M16015 冯韫禛北京人大附中 M16016 林挺福建福建师范大学附属中学M16017 任秋宇广东华南师大附中 M16018 何天成广东华南师大附中 M16019 戴悦浩广东华南师大附中 M16020 谭健翔广东华南师大附中 M16021 王迩东广东华南师大附中 M16022 程佳文广东深圳中学 M16023 李振广东深圳外国语学校 M16024 张坤隆广东深圳中学 M16025 齐文轩广东深圳中学 M16026 卜辰璟贵州贵阳一中 M16027 顾树锴河北衡水第一中学 M16028 袁铭泽河北衡水第一中学 M16029 卢梓潼河北石家庄二中 M16030 赵振华河南郑州外国语学校 M16031 陈泰杰河南郑州外国语学校

M16032 迟舒乘黑龙江哈尔滨市第三中学 M16033 黄桢黑龙江哈尔滨市第三中学 M16034 姚睿湖北华中师范大学第一附属中学M16035 魏昕湖北武汉二中 M16036 黄楚昊湖北武钢三中 M16037 刘鹏飞湖北武汉二中 M16038 赵子源湖北华中师范大学第一附属中学M16039 徐行知湖北武钢三中 M16040 吴金泽湖北武汉二中 M16041 李弘梓湖北武汉二中 M16042 施奕成湖北华中师范大学第一附属中学M16043 袁睦苏湖北武汉二中 M16044 王子迎湖北武汉二中 M16045 袁昕湖北华中师范大学第一附属中学M16046 陈子瞻湖北湖北省黄冈中学 M16047 詹立宸湖北华中师范大学第一附属中学M16048 严子恒湖北武钢三中 M16049 陈贵显湖北华中师范大学第一附属中学M16050 张騄湖南长沙市长郡中学 M16051 刘哲成湖南长沙市雅礼中学 M16052 仝方舟湖南长沙市长郡中学 M16053 谢添乐湖南长沙市雅礼中学 M16054 尹龙晖湖南长沙市雅礼中学 M16055 黄磊湖南长沙市雅礼中学 M16056 肖煜湖南长沙市长郡中学 M16057 吴雨澄湖南湖南师范大学附属中学M16058 方浩湖南长沙市第一中学 M16059 郭鹏吉林东北师大附中 M16060 丁力煌江苏南京外国语学校 M16061 朱心一江苏南京外国语学校 M16062 高轶寒江苏南京外国语学校 M16063 彭展翔江西高安二中 M16064 刘鸿骏江西江西省吉安市第一中学M16065 孔繁淏辽宁大连二十四中 M16066 孔繁浩辽宁东北育才学校 M16067 孟响辽宁大连24中 M16068 毕梦达辽宁辽宁省实验中学

中国数学奥林匹克(CMO)试题和详细解答word版

2009中国数学奥林匹克解答 一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分别是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分别为M ，N ． （1）若A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ?=?； （2）若 EM FN EN FM ?=?，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论． 解（1）设Q ，R 分别是OB ，OC 的中点，连接 EQ ，MQ ，FR ，MR ，则 11 ,22 EQ OB RM MQ OC RF ====， 又OQMR 是平行四边形，所以 OQM ORM ∠=∠， 由题设A ，B ，C ，D 四点共圆，所以 ABD ACD ∠=∠， 于是 图1 22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠， 所以 E Q M E Q O O Q M F R O O R M ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 故 E Q M M R F ???， 所以 EM ＝FM ， 同理可得 EN ＝FN ， 所以 E M F N E N F M ?=?． （2）答案是否定的． 当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，所以A ，B ，C ，D 四点不共圆，但此时仍然有 EM FN EN FM ?=?，证明如下： 如图2所示，设S ，Q 分别是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，则 11 ,22 NS OD EQ OB ==， 所以 N S O D E Q O B =． ① C B

又 11 , 22 ES OA MQ OC ==，所以 ES OA MQ OC =．② 而AD∥BC，所以 OA OD OC OB =，③ 由①，②，③得NS ES EQ MQ =． 因为2 NSE NSA ASE AOD AOE ∠=∠+∠=∠+∠， ()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB ∠=∠+∠=∠+∠+?-∠ (180)2 AOE EOB AOD AOE =∠+?-∠=∠+∠， 即NSE EQM ∠=∠， 所以NSE ?～EQM ?， 故 EN SE OA EM QM OC ==（由②）．同理可得， FN OA FM OC =， 所以EN FN EM FM =， 从而EM FN EN FM ?=?． C B

自招竞赛 数学讲义：轮换对称式的最值问题(讲师版)

自招竞赛 数学讲义 轮换对称式的最值问题 学生姓名 授课日期 教师姓名 授课时长 知识定位 在不等式和求最值的问题中，轮换对称式是十分常见的。自招、竞赛中出现的不等式证明或代数式求最值问题以轮换对称式为主，而这一类有关轮换对称式的问题也以其简洁优美的数学形式和较为灵活多变的解决方法成为自招竞赛中的一大难点。 本章节列举了处理几类轮换对称式问题和几种常见处理方法，希望同学们在考场上见到这类问题时能够有思路有针对性地着手处理，而不是盲目地尝试变形求解（证）。 知识梳理 1. 不等式对称和轮换对称式的定义 在一个不等式中,若把其中任何两个字母(),,1,2,...,i j a a i j n i j =≠且对调位置后,这个不等式不变(如① 32 a b c b c c a a b ++≥+++,其中,,0a b c >), 我们便称此不等式是关于12,,...,n a a a 对称的。如果把不等式中的字母12,,...,n a a a 按一定顺序依次轮换（如1a 换成2a ，2a 换成3a ，...，1n a -换成n a ）后不等式不变（如② 222222 0,,,0c a a b b c a b c b c c a a b ---++≥>+++其中），我们便称此类不等式是关于12,,...,n a a a 轮换对称的。 2. 对称式与轮换对称不等式的性质 由定义易知，对称的不等式一定是轮换对称的（如①），而轮换对称的不等式却不一定是对称的（如②就不是对称的）。 关于12,,...,n a a a 对称的不等式，由于,i j a a 互换后原不等式不变，因此要想怎么排列他们的大小顺序，只要调换其位即可，故我们可任意排列12,,...,n a a a 的大小顺序（如在①

2007年第6届中国女子数学奥林匹克(CGMO)试题(含答案)

2007年女子数学奥林匹克 第一天 1．设m 为正整数，如果存在某个正整数n ，使得m 可以表示为n 和n 的正约数个数（包括1和自身）的商，则称m 是“好数”。求证： （1）1，2，…，17都是好数； （2）18不是好数。 2．设△ABC 是锐角三角形，点D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，线段AD 、BE 、CF 经过△ABC 的外心O 。已知以下六个比值 DC BD 、EA CE 、FB AF 、FA BF 、EC AE 、DB CD 中至少有两个是整数。求证：△ABC 是等腰三角形。 3．设整数)3(>n n ，非负实数.2,,,2121=+++n n a a a a a a 满足 求1 112 1232 221++++++a a a a a a n 的最小值。 4．平面内)3(≥n n 个点组成集合S ，P 是此平面内m 条直线组成的集合，满足S 关于P 中的每一条直线对称。求证：n m ≤，并问等号何时成立？ 第二天 5．设D 是△ABC 内的一点，满足∠DAC=∠DCA=30°，∠DBA=60°，E 是边BC 的中 点， F 是边AC 的三等分点，满足AF=2FC 。求证：DE ⊥EF 。 6．已知a 、b 、c ≥0，.1=++c b a 求证： .3)(4 1 2≤++-+ c b c b a 7．给定绝对值都不大于10的整数a 、b 、c ，三次多项式c bx ax x x f +++=2 3)(满足条件32:.0001.0|)32(|+<+问f 是否一定是这个多项式的根？

8．n 个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局。规定：胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分。如果赛后发现任何m 个棋手中都有一个棋手胜了其余m —1个棋手，也有一个棋手输给了其余m —1个棋手，就称此赛况具有性质P (m ). 对给定的)4(≥m m ，求n 的最小值)(m f ，使得对具有性质)(m P 的任何赛况，都有所有n 名棋手的得分各不相同。 综上，最少取出11枚棋子，才可能满足要求。 三、定义集合}.,|1{P k m k m A ∈∈+=+N 由于对任意的k 、1 1, ,++≠∈i k i k P i 且是无理数，则对任意的k 1、P k ∈2和正整数 m 1、m 2， .,1121212211k k m m k m k m ==?+=+ 注意到A 是一个无穷集。现将A 中的元素按从小到大的顺序排成一个无穷数列。对于任意的正整数n ，设此数列中的第n 项为.1+k 接下来确定n 与m 、k 间的关系。 若.1 1,1111++≤+≤+i k m m k m i m 则 由m 1是正整数知，对5,4,3,2,1=i ，满足这个条件的m 1的个数为].1 1[++i k m 从而，).,(]1 1[5 1 k m f i k m n i =++= ∑= 因此，对任意.),(,,,n k m f P k N m N n =∈∈∈++使得存在

全国小学生数学奥林匹克竞赛真题及答案收集

全国小学生数学奥林匹克竞赛真题及答案收集 目录 2006年小学数学奥林匹克预赛试卷及答案 (1) 2006年小学数学奥林匹克决赛试题 (4) 2007年全国小学数学奥林匹克预赛试卷 (7) 2008年小学数学奥林匹克决赛试题 (8) 2008年小学数学奥林匹克预赛试卷 (10) 2006年小学数学奥林匹克预赛试卷及答案 1、计算4567－3456＋1456－1567＝__________。 2、计算5×4＋3÷4＝__________。 3、计算12345×12346－12344×12343＝__________。 4、三个连续奇数的乘积为1287，则这三个数之和为__________。 5、定义新运算a※b=a b＋a＋b (例如3※4=3×4＋3＋4=19)。 计算(4※5)※(5※6)=__________。 6、在下图中，第一格内放着一个正方体木块，木块六个面上分别写着A、B、C、D、E、 F六个字母，其中A与D，B与E，C与F相对。将木块沿着图中的方格滚动，当木块滚动到第2006个格时，木块向上的面写的那个字母是__________。 7、如图：在三角形ABC中，BD=BC，AE=ED，图中阴影部分的面积为250.75平方 厘米，则三角形ABC面积为__________平方厘米。

8、一个正整数，它与13的和为5的倍数，与13的差为3的倍数。那么这个正整数最小是 __________。 9、若一个自然数中的某个数字等于其它所有数字之和，则称这样的数为“S数”，(例： 561，6=5＋1)，则最大的三位数“S数”与最小的三位数“S数”之差为__________。 10、某校原有男女同学325人，新学年男生增加25人，女生减少5％，总人数增加16人， 那么该校现有男同学__________人。 11、小李、小王两人骑车同时从甲地出发，向同一方向行进。小李的速度比小王的速 度每小时快4千米，小李比小王早20分钟通过途中乙地。当小王到达乙地时，小李又前进了8千米，那么甲乙两地相距__________千米。 12、下列算式中，不同的汉字代表不同的数字，则：白＋衣的可能值的平均数为 __________。 答案： 1、1000 2、22.3 3、49378 4、33 5、1259 6、E 7、2006 8、 7 9、889 10、170 11、40 12、12.25 1.【解】原式＝（4567－1567）－（3456－1456）＝3000－2000＝1000 2.【解】原式＝＝21.5＋0.8＝22.3 3.【解】原式＝12345×（12345＋1）－（12343＋1）×12343 ＝＋12345－－12343 ＝(12345＋12343)×（12345－12343）＋2

CGMO2015-2015第14届中国数学女子奥林匹克试题及答案

2015中国女子数学奥林匹克 第一天 2015年8月12日 上午8:00 ~ 12:00 广东深圳 深圳市高级中学 1．如图，在锐角△ABC 中，AB > AC ，O 为外心，D 为边BC 的中点． 以AD 为直径作圆与边AB 、AC 分别交于点E 、F ．过D 作DM ∥AO 交EF 于点M ．求证：EM = MF ．（郑焕供题） 2．设(0,1)a ∈，且 323 2 ()(14)(51)(35),()(1)(2)(31). f x ax a x a x a g x a x x a x a =+-+-+-=--+--+ 求证：对于任意实数x ， ()f x 和()g x 中都至少有一个不小于1a +．（李胜宏供题） 3．把12×12的方格纸的每个单位方格染成黑色或白色，使得由方格线围成的任意一个3×4或4×3的长方形内都至少有一个黑色单位方格．试求黑色单位方格个数的最小值．（梁应德供题） 4．对每个正整数n ，记()g n 为n 与2015的最大公约数，求满足下列条件的有序三元数组(,,)a b c 的个数： 1) ,,{1,2,,2015}a b c ∈L ； 2) (),(),(),(),(),(),()g a g b g c g a b g b c g c a g a b c +++++这七个数两两不同．（王彬供题） 中国女子数学奥林匹克 第二天 2015年8月13日 上午8:00 ~ 12:00 广东深圳 深圳市高级中学 O M F E D C B A

5．有多少个不同的三边长为整数的直角三角形，其面积值是周长值的999倍？（全等的两个三角形看作相同的）（林常供题） 6．如图，两圆12,ΓΓ外离，它们的一条外公切线与12,ΓΓ分别切于点,A B ，一条内公切线与12,ΓΓ分别切于点,C D ．设E 是直线,AC BD 的交点，F 是1Γ上一点，过F 作1Γ的切线与线段EF 的中垂线交于点M ，过M 作MG 切2Γ于点G ．求证： MF MG =． （付云皓供题） 7．设12,,,(0,1)n x x x ∈L ，2n ≥．求证： 1212n n x x x < L L ．（王新茂供题） 8．给定整数2n ≥．黑板上写着n 个集合，然后进行如下操作：选取黑板上两个互相不包含的集合,A B ，擦掉它们，然后写上A B I 和A B U ．这称为一次操作．如此操作下去，直到任意两个集合中都有一个包含另一个为止．对所有的初始状态和操作方式，求操作次数的最大可能值．（朱华伟供题） 试题解答 1．如图，在锐角△ABC 中，AB > AC ，O 为外心，D 为边BC 的中点．以AD 为直径作圆与边AB 、AC 分别交于点E 、F ． 过D 作DM ∥AO 交EF 于点M ． 求证：EM = MF ． Γ2 Γ1 M G F E D C B A 图1

2003中国数学奥林匹克竞赛获奖名单

2003中国数学奥林匹克竞赛获奖名单 一等奖（19名） 姓名学校姓名学校 方家聪华南师大附属中学高峰南通启东中学 沈欣华南师大附属中学王伟湖南师大附中 陈晨湖北黄冈中学何忆捷上海延安中学 黄皓华南师大附属中学邢硕博北京清华附中 向振长沙市第一中学王国桢甘肃兰州一中 万昕成都彭州中学贾敬非东北师大附中 刘一峰华东师大第二附中祁涵华中师大一附中 林嵩华南师大附属中学孙洪宾耀华中学 姜龙石家庄二中周清人大附中 梁宏宇北师大实验中学 二等奖：（43名） 姓名学校姓名学校 张凌人上海中学戴午阳东北育才中学 周游武钢三中孙婷妮华东师大二附中 李杜湖南师大附中张志强华中师大一附中 朱庆三华南师大附中齐治雅礼中学 刘熠华南师大附中吴昊哈尔滨三中 李大州石家庄二中陈苏南洋模范中学 沈旭凯杭州二中袁放上海中学 陈超河南师大附中洪晓波东北育才中学 李先颖湖南师大附中李晓东东北育才中学 吴天同淮阴中学马力华东师大二附中 张宇北大附中赵亮山东省实验中学 王磊武钢三中孙嘉睿深圳高级中学 周思慎长沙市一中邹鹏北京汇文中学 王晨兰州一中金哲晖延边市一中 李春雷东北师大附中石磊河南师大附中 范翔江西师大附中苟江涛陕西西北工大附中 韩斐华罗庚中学唐培重庆市育才中学 金坚诸暨中学王加白镇海中学 杜杰北大附中蔡雄伟仙游一中 杨龙长沙市一中余学斌圣公会白约翰会督中学林运成上海中学萧子衡顺德联谊总会梁銶琚中学罗海丰华南师大附中

三等奖：（69名） 姓名学校姓名学校 王蓉蓉实验中学张翼飞河南师大附中 张伟安庆一中梁举潼南中学 张晓光高安中学蔡煊挺诸暨中学 郭城威南通启东中学吴博舟山中学 曹志敏华罗庚中学陈淞黄冈中学 资坤长沙市一中马俊达福州三中 刘奇航哈尔滨三中杨启声喇沙书院 吴乐秦中山市一中邓昭辉香港道教联合会邓显纪念 中学 欧觉钧中山市一中张荣华滁州中学 黄宇浩桂林中学周云临川一中 张鹏程西安交大附中龚伟松盐城中学 王崇理镇海中学皇甫秉超河南师大附中 袁景瑞唐山一中惠鑫西安交大附中 巴蜀中学李君太原外国语学校 王晶晶诸暨中学王奇凡南昌十中 冯捷成都七中周泽吉武汉二中 孔令凯南菁高级中学潘无穷大庆一中 郭珩洛阳第一高中李欣鹏实验中学 郝征西北工大附中王小靖重庆一中 刘伟顺荃湾公立何传耀纪念中学钟达智伊利沙伯中学 戚善翔上海复旦大学附中路亨山西大学附中 杜金宝鞍山一中祝江威北海中学 崔庸非东北育才中学康振宁攀枝花三中 杨丹大连育明中学张乐西北师大附中 曹晖东北师大附中黄海珍海南中学 魏崟泷蚌埠二中王海屹大庆一中 张帆河南师大附中苏李丹泉州五中 李冬来西南附属中学吴天淋教业中学 白雪宁乌鲁木齐一中杜昭南宁三中 郭子超元朗商会中学陈虹宇秦皇岛一中 刘喆南开中学张尧实验中学 贺淳天津一中魏均侨濠江中学 程稷人大附中高堃南开中学 黄铂东北师大附中齐轶福建师大附中 彭闽昱鹰潭市一中

2016女子数学奥林匹克试题

2016女子数学奥林匹克 （2016年8月12‐8月13日） 1、整数3n ≥，将写有21,2,...,n 的2 n 张卡片放入n 个盒子，每个盒子各有n 张。其后允许操作如下：每次选其中两个盒子，在每个盒子中各取两张卡片放入另一个盒子。证明：总是可以通过有限次操作，使得每个盒子内的n 张卡片上恰好是n 个连续整数。 2、ABC ?的三条边长为,,BC a CA b AB c ===，ω是ABC ?的外接圆。 ①若不含A 的 BC 上有唯一的点P （不同于,B C ），满足 PA PB PC =+，求,,a b c 应该满足的充要条件。 ②P 是①中所述唯一的点，证明：若AP 过BC 的中点， 则60BAC ∠

5、设于数列12,,...a a 的前n 项之和为12...n n S a a a =+++，已知11S =，对于1n ≥都有 21(2)4n n n S S S ++=+。证明：对于任意正整数n ，都有n a ≥。 6、求最大的正整数m ，使得可以在m 行8列的方格表中填入,,,C G M O ，每个单元格填一个字母。使得对于其中任意两行，这两行中最多在一列所填字母相同。 7、I 是锐角ABC ?的内心，AB AC >。BC 边上的高AH 与直线,BI CI 分别交于,P Q 。O 是IPQ ?的外心，,AO BC 交于L ，AIL ?的外接圆与BC 交于,N L ，D 是I 在BC 上的投影，求：BD BN CD CN =。 8、,Q Z 分别代表全体有理数、整数，在坐标平面上，对于任意整数m ，定义 (,),,0,m xy A x y x y Q xy Z m ??=∈≠∈???? 。对于线段MN ，定义()m f MN 为线段MN 上属于m A 的点的个数。求最小的实数λ，使得对于任意直线l ，均存在与l 有关的实数()l β，满足：对于l 上任意两点,M N ，都有20162015()()()f MN f MN l λβ≤?+。

中国数学奥林匹克竞赛试题【CMO】[1987-2003]

CMO 中国数学奥林匹克竞赛试题 1987第二届年中国数学奥林匹克 1.设n为自然数，求方程z n+1-z n-1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2可被6整 除。 2.把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分，过各分点平行于其它两边的直线，将 这三角形分成小三角形，和小三角形的顶点都称为结点，在第一结点上放置了一个实数。已知 i.A、B、C三点上放置的数分别为a、b、c。 ii.在每个由有公共边的两个最负三角形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数之和相等。 试求 3.放置最大数的点积放置最小数的点之间的最短距离。 4.所有结点上数的总和S。 3.某次体育比赛，每两名选手都进行一场比赛，每场比赛一定决出胜负，通过比赛确 定优秀选手，选手A被确定为优秀选手的条件是：对任何其它选手B，或者A胜B，或者存在选手C，C胜B，A胜C。 结果按上述规则确定的优秀选手只有一名，求证这名选手胜所有其它选手。 4.在一个面积为1的正三角形内部，任意放五个点，试证：在此正三角形内，一定可 以作三个正三角形盖住这五个点，这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边，并且它们的面积之和不超过0.64。 5.设A1A2A3A4是一个四面体，S1, S2, S3, S4分别是以A1, A2, A3, A4为球心的球，它们 两两相切。如果存在一点O，以这点为球心可作一个半径为r的球与S1, S2, S3, S4都相切，还可以作一个半径为R的球积四面体的各棱都相切，求证这个四面体是正四面体。 6.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m 与n，问3m+4的最大值是多少？请证明你的结论。

2007年CMO第4题的别证

(1996年上海市高中理科实验班招生试题) 解　由x ,y ,z 的对称性,不妨假设x ≤y ≤z ,由 得x +1≥x +x 2 ,所以x 2 ≤1,因为x >0,所以0

全国小学数学奥林匹克竞赛简介

全国小学数学奥林匹克竞赛简介 奥数就是奥林匹克数学的简称，即国际数学竞赛，取名仿自于奥林匹克运动会。 1934年和1935年，前苏联开始在列宁格勒和莫斯科举办中学数学竞赛，并冠以数学奥林匹克的名称。1959年罗马尼亚数学物理学会邀请东欧国家中学生参加在布加勒斯特举办的第一届国际数学奥林匹克竞赛。从此每年一次，至今已举办了50届。 奥数的出题范围超出了所有国家的义务教育水平，有些题目的难度大大超过了大学入学考试，有些题目甚至数学家也感到棘手。通过这样高水平的比赛，可以及早发现数学人才，然后进行培养，使其脱颖而出。 近年，国内外很多名牌大学和重点中学比较注重奥数人才，通常通过奥数选拔优秀生源。北京大学、清华大学、复旦大学等高校对奥数优秀的学生偏爱有佳，每年有很多全国高中数学竞赛成绩优异的学生直接免试进入北大数学系。 由于，高校和重点中学对奥数人才的重视，近年来，又出现了小学奥数一词。小学奥数全称叫"小学奥林匹克数学"，或叫"小学数学奥林匹克"，称呼起源于"数学是思维的体操"它体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性：更快、更高、更强。其实它更准确应称为"小学竞赛数学"。 从1986年起，中国中学生在国际数学奥林匹克连续几年取得优异成绩；1990年7月，在我国北京成功地举办了第31届国际数学奥林匹克，我国代表队再次取得总分第一。中国学生在学习数学上的潜力被发现了，大大激发了全国中、小学生学习数学的兴趣，数学课外活动蓬勃地开展，中、小学数学竞赛活动受到广大师生和家长的欢迎，也得到了社会各界人士的更多关心和支持。1990年11月，在湖南宁乡召开的中国数学会普及工作委员会第六次全国工作会议上，与会同仁一致认识到，为了顺应群众积极高涨的形势，更要坚持"在普及的基础上不断提高"的方针，要引导数学竞赛这一群众性的课外活动健康地发展，为了统筹安排高中、初中、小学的数学课外活动，处理好相互的衔接关系。会议决定，从1991年起，每年春季举行一次"小学数学奥林匹克"，会议还特别强调，中国数学会举办的高中联赛、初中联赛、小学数学奥林匹克都是普及型、大众化的数学竞赛。为了使"小学数学奥林匹克"的试题能适合多数学生的实际水平，在举办1991年"小学数学奥林匹克"时，主试委员会向全国发出一份试题样卷，广泛征求意见，另外，把初赛试卷，分成A，B，C三种不同水平的试卷，供合地选择采用，同时还宣布了两条命题原则："一、试题涉及的知识范围不超出现行的小学数学教学大纲；二、每一道题一定有一种简单的算术解法。"并且声明，抽屉原则、容斥原理、运筹学等离课堂教学内容较远的内容，一定不在试题中出现。我们就是希望，不要过多的课外辅导，尽可能减轻学生的学习负担。经过若干年的实践，全国反映较好，普遍认为试题有利于启迪思维和智力开发，也有利于课堂教学水平的提高。参加者十分踊跃，人数逐年增加。事实上，试题难度逐年在降低，一年比一年容易些，获得高分的人数大幅度增加。以1993年来说，参加决赛的16万学生中，全国有500多人获满分(十二道试题都做对)，有10%的人做对九道题以上，有40%以上学生能做对六道以上，可以说试题的难易程度是比较适当的。这项赛事分为初赛和决赛，分别在每年的三月份和四份，从1993年开始我们又举办了这项赛事的后继活动---"小学数学奥林匹克总决赛"，后来称为"我爱数学少年夏令营"。 "全国小学数学奥林匹克"(创办于1991年)每年3、4月中国数学会普及工作委员会为有关省份提供了一份"小学数学奥林匹克"初赛和决赛试卷，目的在于引导学有余力的小学生的数学课外活动的方向。目前包括"三段式"--小学数学奥林匹克初赛、决赛、我爱数学夏令营。初赛(每年3月份)、决赛(每年4月份)和夏令营(每年暑期)。组织这项活动的原则：一是要把它办成一个"大众化、普及型"的活动；二是要使所出的题目"不超前、不超纲"；三是要尽可能给每个题目一个小学生看得懂的算术解法；四是要充分认识到地区发展不平衡的特点。 “我爱数学少年夏令营”简介 权威性：★★★★★ 举办方：中国数学会普及工作委员会

历届女子数学奥林匹克试题

目录 2002年女子数学奥林匹克 (1) 2003年女子数学奥林匹克 (3) 2004年女子数学奥林匹克 (5) 2005年女子数学奥林匹克 (7) 2006年女子数学奥林匹克 (9) 2007年女子数学奥林匹克 (11) 2008年女子数学奥林匹克 (13) 2009年女子数学奥林匹克 (16) 2010年女子数学奥林匹克 (19) 2011年女子数学奥林匹克 (21) 2012年女子数学奥林匹克 (24)

2002年女子数学奥林匹克 1.求出所有的正整数n，使得20n+2能整除2003n+200 2. 2.夏令营有3n（n是正整数）位女同学参加，每天都有3位女同学担任执勤工作.夏令营结束时，发现这3n位女同学中的任何两位，在同一天担任执勤工作恰好是一次. （1）问：当n=3时，是否存在满足题意的安排？证明你的结论；（2）求证：n是奇数. 3.试求出所有的正整数k，使得对任意满足不等式 k(aa+ab+ba)>5(a2+a2+b2) 4.⊙O1和⊙O2相交于B、C两点，且BC是⊙O1的直径.过点C作⊙O1的切线，交⊙O2于另一点A，连结AB，交⊙O1于另一点E，连结CE并延长，交⊙O2于点F.设点H为线段AF内的任意一点，连结HE并延长，交⊙O1于点G，连结BG并延长，与AC的延长线交于点D.求证：AA AH=AA AC. 5.设P1，P2，?，P n(n≥2)是1，2，?，n的任意一个排列.求证： 1P 1+P2+1P2+P3+?+1P n?2+P n?1+1P n?1+P n>n?1n+2. 6.求所有的正整数对(x,y)，满足x y=y x?y. 7.锐角△ABC的三条高分别为AD、BE、CF.求证：△DEF的周长不超过△ABC周长的一半. 8.设A1，A2，?，A8是平面上任意取定的8个点，对平面上任意取定的一条有向直线l，设A1，A2，?，A8在该直线上的摄影分别是

最新-2018女子数学奥林匹克 精品

第一天 2018年8月12日上午8∶00～12∶00 长春 我们进行数学竞赛的目的，不仅仅是为了数学而数学，其着眼点还是因为它是一切科学的得力助手，因而提高数学，也为学好其他科学打好基础. ——华罗庚 1. 如图，设点P 在△ABC 的外接圆上，直线CP 和AC 相交于点E ，直线BP 和AC 相交于点F ,边AC 的垂直平分线交边AB 于点J ，边AB 的垂直平分线交边AC 于点K,求证： 2 2BF CE =F ··K AK JE AJ . 2.求方程组 的所有实数解. 3.是否存在这样的凸多面体，它共有8个顶点，12条棱和6 个面，并且其中有4个面，每两个面都有公共棱？ 4.求出所有的正实数a ，使得存在正整数n 及n 个互不相交的无限集合1A ，2A ，…，n A 满足1A ∪2A ∪…∪n A =Z ，而且对于每个i A 中的任意两数b >c ，都有b -c ≥i a . ?? ???=++??? ?? +=???? ? ?+=??? ??+1 ,11311215zx yz xy z z y y x x

第二天 2018年8月13日上午8∶00～12∶00 长春 数学竞赛，它对牢固基础知识、发展智力，培养拔尖人才，是一件具有战略意义的活动。 ——华罗庚 5.设正实数x ，y 满足3 x +3y =x -y ,求证： .1422＜y x + 6.设正整数n ≥3，如果在平面上有n 个格点，，，?21P P n P 满足：当j i P P 为有理数时，存在k P ，使得k i P P 和k j P P 均为无理数;当j i P P 为无理数时，存在k P ,使得k i P P 和k j P P 均为有理数，那么称n 是“好数”. (1)求最小的好数； (2)问：2018是否为好数？ 7.设m ，n 是整数，m >n ≥2,S ={1,2,…,m },T ={1a ,2a …,n a }是S 的一个子集.已知T 中的任两个数都不能同时整除S 中的任何一个数，求证： .11121m n m a a a n ++?++＜ 8.给定实数a ,b ,a >b >0,将长为a 宽为b 的矩形放入一个正方形内(包含边界)，问正方形的 边至少为多长？

中国数学奥林匹克试题及解答

一、 实数12,,,n a a a L 满足120n a a a +++=L ，求证： () 1 2 2 111 max ()3 n k i i k n i n a a a -+≤≤=≤-∑． 证明 只需对任意1k n ≤≤，证明不等式成立即可． 记1,1,2,,1k k k d a a k n +=-=-L ，则 k k a a =， 1k k k a a d +=-，2111,,k k k k n k k k n a a d d a a d d d +++-=--=----L L ， 112121121,,,k k k k k k k k k k a a d a a d d a a d d d -------=+=++=++++L L ， 把上面这n 个等式相加，并利用120n a a a +++=L 可得 11121()(1)(1)(2)0k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +----------+-+-++=L L ． 由Cauchy 不等式可得 ()2 211121()()(1)(1)(2)k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +---=-+--++------L L 11222111k n k n i i i i i i d ---===???? ≤+ ??????? ∑∑∑ 111222111(1)(21)6n n n i i i i i n n n i d d ---===--?????? ≤= ??? ???????∑∑∑ 31213n i i n d -=??≤ ??? ∑， 所以 ()1 2 211 3 n k i i i n a a a -+=≤-∑． 二、正整数122006,,,a a a L （可以有相同的）使得20051223 2006 ,,,a a a a a a L 两

中国女子数学奥林匹克(CGMO)第10届(2011)解答

2011女子数学奥林匹克 2011年8月1日 上午8:00 ~ 12:00广东 深圳市第三高级中学 1．求出所有的正整数n ，使得关于,x y 的方程 111x y n += 恰有2011组满足x y ≤的正整数解(,)x y ． 解：由题设，20()()xy nx ny x n y n n --=?--=．所以，除了x=y=2n 外，x n -取2n 的小于n 的正约数，就可得一组满足条件的正整数解(x , y )．故2n 的小于n 的正约数恰好为2010． 设1 1k k n p p α α= ，其中1,,k p p 是互不相同的素数，1,,k αα 是非负整数．故2n 的 小于n 的正约数个数为 1(21)(21)1 2 k αα++- ， 故1(21)(21)4021k αα++= ． 由于4021是素数，所以1k =，1214021α+=，12010α=． 所以，2010n p =，其中p 是素数．

2．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，边AB、CD的中垂线相交于点F，点M、N分别为边AB、CD的中点，直线EF分别与边BC、AD相交于点P、Q．若M F C D N F AB ?=?且DQ BP AQ CP ?=?，求证：PQ BC ⊥． 证明：连接AF、BF、CF、DF．由题目条件可知△AFB和△CFD都是等腰三角形，FM 和FN分别为这两个等腰三角形底边上的高．由M F C D N F AB ?=?，知△AFB∽△DFC，从而∠AFB=∠CFD，∠FAB=∠FDC． 由∠AFB=∠CFD可得∠BFD=∠CFA，又因FB=FA，FD=FC，所以△BFD≌△AFC．由此可得∠FAC=∠FBD，∠FCA=∠FDB．从而A、B、F、E四点共圆，C、D、E、F四点共圆． 由上可得∠FEB=∠FAB=∠FDC=∠FEC，即直线EP是∠BEC的角平分线，从而EB/EC=BP/CP．同理，ED/EA=QD/AQ．由于DQ BP AQ CP ?=?，所以EB ED EC EA ?=?．由此可得ABCD为圆内接四边形，且点F为其外接圆的圆心．这时，因为 ∠EBC=1 2∠DFC=1 2 ∠AFB=∠ECB，所以E P B C ⊥． Q P M N F E D C B A A B C D E F N M P Q

第五届中国女子数学奥林匹克试题

第五届中国女子数学奥林匹克试题 第一天 2006年8月8日 下午15：30——19：30 乌鲁木齐 中国在国际数学奥林匹克竞赛中，连续多年取得很好的成绩，这项竞赛是高中程度，不 包括微积分，但题目需要思考，我相信我是考不过这些小孩子的，因此有人觉得，好的数学家未必长于这种考试，竞赛胜利者也未必是将来的数学家，这个意见似是而非。数学竞赛大约是百年前在匈牙利开始的；匈牙利产生了同它人口不成比例的许多大数学家。 ——陈省身 一、设a ＞0，函数 f : （0，＋∞） → R 满足f （a ）＝1．如果对任意正实数x ，y 有 ()()()2a a f x f y f f f xy x y ?? ??+= ? ????? ，①求证： f （x ）为常数． 证明： 在①中令x ＝y ＝1，得 f 2（1）＋f 2（a ）＝2 f （1）， （f （1）－1）2 ＝0， ∴ f （1）＝1。 在①中令y ＝1，得 f （x ）f （1）＋f （a x ）f （a ）＝2 f （x ）， f （x ）＝f （ a x ），x ＞0。 ② 在①中取y ＝a x ，得 f （x ）f （a x ）＋f （a x ）f （x ）＝2 f （a ）， f （x ）f （ a x ）＝1。 ③ 由②，③得：f 2（x ）＝1，x ＞0。 在①中取x ＝y ，得 f 2 ）＋f 2 ）＝2 f （t ）， ∴ f （t ）＞0。 故f （x ）＝1，x ＞0。 二、设凸四边形ABCD 对角线交于O 点．△OAD ，△OBC 的外接圆交于O ，M 两点，直线 OM 分别交△OAB ，△OCD 的外接圆于T ，S 两点．求证：M 是线段TS 的中点． 证法1： 如图，连接BT ，CS ，MA ，MB ，MC ，MD 。 ∵ ∠BTO ＝∠BAO ，∠BCO ＝∠BMO ，