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新人教版八年级数学下册勾股定理典型例题分析

新人教版八年级数学下册勾股定理典型例题分析
新人教版八年级数学下册勾股定理典型例题分析

新人教版八年级下册勾股定理典型例习题 一、经典例题精讲 题型一:直接考查勾股定理

例1.在ABC ?中,90C ∠=?.

⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长

⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析:直接应用勾股定理

222a b c +=

解:⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-=

题型二:利用勾股定理测量长度

例题1 如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?

解析:这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后,.已

知斜边长和一条直角边长,求另外一条直角边的长度,可以直接利用勾股定理!

根据勾股定理AC 2+BC 2=AB 2, 即AC2+92=152,所以AC 2

=144,所以AC=12.

例题2 如图(8),水池中离岸边D 点1.5米的C 处,直立长着一根芦苇,出水部分B

C的长是0.5米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B 恰好落到D 点,并求水池的深度AC.

解析:同例题1一样,先将实物模型转化为数学模型,如图

2. 由题意可知△AC D中,∠ACD=90°,在Rt △ACD 中,只知道CD

=1.5,这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。

标准解题步骤如下(仅供参考):

解:如图2,根据勾股定理,AC 2+CD 2=A D2

设水深AC= x 米,那么AD =A B=AC+CB =x +0.5

x2+1.52=( x +0.5)2 解之得x =2. 故水深为2米.

题型三:勾股定理和逆定理并用——

例题3 如图3,正方形ABCD 中,E 是BC 边上的中点,F 是AB 上一点,且AB FB 4

1=

那么△DEF 是直角三角形吗?为什么? C

B D A

解析:这道题把很多条件都隐藏了,乍一看有点摸不着头脑。仔细读题会意可以发现规律,没

有任何条件,我们也可以开创条件,由AB FB 4

1 可以设A B=4a,那么BE=CE=

2 a ,A F=3 a,BF= a ,那么在Rt △AFD 、Rt △BEF和 Rt △CD E中,分别利用勾股定理求出

DF,EF 和DE 的长,反过来再利用勾股定理逆定理去判断△D EF是否是直角三角形。

详细解题步骤如下:

解:设正方形A BCD 的边长为4a ,则BE=CE=2 a ,AF=3 a ,B F= a

在Rt △CDE 中,DE 2=C D2+C E2=(4a )2+(2 a)2=20 a

2 同理E F2=5a 2, DF 2=25a

2 在△DE F中,E F2+ DE2=5a2+ 20a2=25a 2=DF

2

∴△DEF 是直角三角形,且∠DEF=90°. 注:本题利用了四次勾股定理,是掌握勾股定理的必练习题。

题型四:利用勾股定理求线段长度——

例题4 如图4,已知长方形AB CD 中AB=8c m,BC=10cm ,

在边CD上取一点E ,将△AD E折叠使点D 恰好落在BC 边上的点

F,求C E的长.

解析:解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。

注:本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。

题型五:利用勾股定理逆定理判断垂直——

例题5 如图5,王师傅想要检测桌子的表面AD 边是否垂直与AB 边和CD 边,他测得A

D=80cm,A B=60cm ,BD=100cm,AD 边与AB 边垂直吗?怎样去验证A D边与CD 边是否垂

直?

解析:由于实物一般比较大,长度不容易用直尺来方便测量。我们通常截取部分长度来

验证。如图4,矩形ABCD 表示桌面形状,在AB 上截取A M=12cm,在AD 上截取AN=9cm (想

想为什么要设为这两个长度?),连结MN,测量M N的长度。

①如果MN=15,则A M2+AN 2=MN 2

,所以A D边与AB 边垂直;

②如果MN=a ≠15,则92+122=81+144=225, a2≠225,即92+

122≠ a 2,所以∠A 不是直角。利用勾股定理解决实际问题——

例题6 有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高4.5米的墙上,任何东西只要移

至5米以内,灯就自动打开,一个身高1.5米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开?

解析:首先要弄清楚人走过去,是头先距离灯5米还是脚先距离灯5米,可想而知应该是

头先距离灯5米。转化为数学模型,如图6 所示,A 点表示控制灯,BM 表示人的高度,BC

∥MN,BC ⊥AN 当头(B 点)距离A有5米时,求BC 的长度。已知AN=4.5米,所以AC=3米,

由勾股定理,可计算BC=4米.即使要走到离门4米的时候灯刚好打

开。

题型六:旋转问题:

例1、如图,△ABC 是直角三角形,BC是斜边,将△ABP 绕点A

逆时针旋转后,能与△A CP ′重合,若AP=3,求PP ′的长。

变式1:如图,P 是等边三角形ABC 内一点,P A=2,PB=23,PC =4,

求△ABC 的边长.

分析:利用旋转变换,将△BPA 绕点B 逆时针选择60°,将三条线段集中到同一个三角形中,

根据它们的数量关系,由勾股定理可知这是一个直角三角形.

变式2、如图,△A BC 为等腰直角三角形,∠BAC=90°,E 、F是BC 上的点,且∠EA F=45°,

试探究222

BE CF EF 、、间的关系,并说明理由.

题型七:关于翻折问题

例1、如图,矩形纸片AB CD 的边AB=10cm,B C=6c m,E 为BC 上一点,将矩形纸片沿AE

折叠,点B 恰好落在CD 边上的点G处,求BE 的长.

变式:如图,AD 是△AB C的中线,∠ADC =45°,把△A DC沿直线AD 翻折,点C 落在点C ’

的位置,BC=4,求BC ’的长.

题型八:关于勾股定理在实际中的应用:

例1、如图,公路M N和公路PQ 在P 点处交汇,点A 处有一所中

学,AP=160米,点A 到公路MN 的距离为80米,假使拖拉机行驶时,

周围100米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN 上沿P N方

向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由;如果受到影响,已知拖拉

机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响的时间为多少?

题型九:关于最短性问题

例5、如右图1-19,壁虎在一座底面半径为2米,高为4米的油罐的下底边沿A

处,它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫,便决定捕捉这只害虫,为

了不引起害虫的注意,它故意不走直线,而是绕着油罐,沿一条螺旋路线,从背后对害虫进行突然袭击.结果,壁虎的偷袭得到成功,获得了一顿美餐.请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕

到害虫?(π取3.14,结果保留1位小数,可以用计算器计算)变式:如图为一棱长为

3cm 的正方体,把所有面都分为9个小正方形,其边长都是1cm ,假设一只蚂蚁

每秒爬行2cm,则它从下地面A 点沿表面爬行至右侧面的B 点,最少要花几秒钟?

三、课后训练:

一、填空题

1.如图(1),在高2米,坡角为30°的楼梯表面铺地毯,地毯的长至少需________米.

图(1)

2.种盛饮料的圆柱形杯(如图),测得内部底面半径为2.5㎝,高为12㎝,吸管放进杯里,杯口外面至少要露出4.6㎝,问吸管要做 ㎝。

3.已知:如图,△ABC 中,∠C = 90°,点O 为△AB C的三条角平分线的交点,OD⊥BC,OE ⊥AC,OF ⊥AB,点D、E 、F分别是垂足,且B C = 8cm ,CA = 6c m,则点O到三边AB,AC 和BC 的距离分别等于 cm

4.在一棵树的10米高处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处。另一只爬到树顶D 后直接跃到A处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高_____

________________米。 5.如图是一个三级台阶,它的每一级的长宽和高分别为20dm 、3dm、

2dm ,A 和B 是这个台阶两个相对的端点,A 点有一只蚂蚁,想到B

点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_____________. 二、选择题

1.已知一个Rt △的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( )

A、25 ?B 、14 ?C 、7? D 、7或25

2.Rt △一直角边的长为11,另两边为自然数,则Rt △的周长为( )

A 、121?

B 、120

C 、132?

D 、不能确定

3.如果Rt△两直角边的比为5∶12,则斜边上的高与斜边的比为( )

A 、60∶13??B、5∶12??C 、12∶13??D 、60∶169

4.已知Rt △A BC 中,∠C=90°,若a +b=14cm,c=10c m,则Rt △ABC 的面积是( )

A 、24cm 2???B、36cm 2 ?C 、48cm 2 D 、60cm 2

5.等腰三角形底边上的高为8,周长为32,则三角形的面积为( )

A 、56?? ?

B 、48 ?

C 、40???D、32

6.某市在旧城改造中,计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米售

价a 元,则购买这种草皮至少需要( ) A 、450a 元 ?B 、225a 元? C、150a元 ??D 、300a元

7.已知,如图长方形ABCD 中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点B 与点D 重合,折痕为EF ,则△A BE 的面积为( )

C

O

A B

D E

F 第3题图 D B C A 第4题图 2032A B

150° 20m 30m 第6题图 A B E F D C 第7题图

A、6cm2?

B、8cm2??

C、10cm2??D、12cm2

8.在△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长为

A.42B.32??C.42或32?D.37或33

9.如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC是()

(A)直角三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形(D)以上答案都不对A B

C

勾股定理经典例题(教师版)

勾股定理全章知识点和典型例习题 一、基础知识点: 1.勾股定理 内容: 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么 2.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 3.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC ?中,90C ∠=?, 则 ②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题 4.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;若 ,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若 ,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形; ②定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,那么以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形 5.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数: 221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数); 2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数)2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数)7.勾股定理的应用 c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A

新人教版八年级数学下册勾股定理典型例题分析

新人教版八年级下册勾股定理典型例习题 一、经典例题精讲 题型一:直接考查勾股定理 例1.在ABC ?中,90C ∠=?. ⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析:直接应用勾股定理 222a b c += 解:⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-= 题型二:利用勾股定理测量长度 例题1 如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米? 解析:这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后,.已 知斜边长和一条直角边长,求另外一条直角边的长度,可以直接利用勾股定理! 根据勾股定理AC 2+BC 2=AB 2, 即AC2+92=152,所以AC 2 =144,所以AC=12. 例题2 如图(8),水池中离岸边D 点1.5米的C 处,直立长着一根芦苇,出水部分B C的长是0.5米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B 恰好落到D 点,并求水池的深度AC. 解析:同例题1一样,先将实物模型转化为数学模型,如图 2. 由题意可知△AC D中,∠ACD=90°,在Rt △ACD 中,只知道CD =1.5,这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。 标准解题步骤如下(仅供参考): 解:如图2,根据勾股定理,AC 2+CD 2=A D2 设水深AC= x 米,那么AD =A B=AC+CB =x +0.5 x2+1.52=( x +0.5)2 解之得x =2. 故水深为2米. 题型三:勾股定理和逆定理并用—— 例题3 如图3,正方形ABCD 中,E 是BC 边上的中点,F 是AB 上一点,且AB FB 4 1= 那么△DEF 是直角三角形吗?为什么? C B D A

北京理工大学2012-2013学年第一学期工科数学分析期末试题(A卷)试题2012-2(A)

1 北京理工大学2012-2013学年第一学期 工科数学分析期末试题(A 卷) 一. 填空题(每小题2分, 共10分) 1. 设?????<≥++=01arctan 01)(x x x x a x f 是连续函数,则=a ___________. 2. 曲线θρe 2=上0=θ的点处的切线方程为_______________________________. 3. 已知),(cos 4422x o bx ax e x x ++=- 则_,__________=a .______________=b 4. 微分方程1cos 2=+y dx dy x 的通解为=y __________________________________. 5. 质量为m 的质点从液面由静止开始在液体中下降, 假定液体的阻力与速度v 成正比, 则质点下降的速度)(t v v =所满足的微分方程为_______________________________. 二. (9分) 求极限 21 0)sin (cos lim x x x x x +→. 三. (9分) 求不定积分?+dx e x x x x )1arctan (12. 四. (9分) 求322)2()(x x x f -=在区间]3,1[-上的最大值和最小值. 五. (8分) 判断2 12arcsin arctan )(x x x x f ++= )1(≥x 是否恒为常数. 六. (9分) 设)ln(21arctan 22y x x y +=确定函数)(x y y =, 求22,dx y d dx dy . 七. (10分) 求下列反常积分. (1);)1(1 22?--∞+x x dx (2) .1)2(1 0?--x x dx 八. (8分) 一垂直立于水中的等腰梯形闸门, 其上底为3m, 下底为2m, 高为2m, 梯形的上底与水面齐平, 求此闸门所受 到的水压力. (要求画出带有坐标系的图形) 九. (10分) 求微分方程x e x y y y 3)1(96+=+'-''的通解. 十. (10分) 设)(x f 可导, 且满足方程a dt t f x x x f x a +=+?)())((2 ()0(>a , 求)(x f 的表达式. 又若曲线 )(x f y =与直线0,1,0===y x x 所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为,6 7π 求a 的值. 十一. (8分) 设)(x f 在]2,0[上可导, 且,0)2()0(==f f ,1sin )(1 21 =?xdx x f 证明在)2,0(内存在ξ 使 .1)(='ξf

勾股定理经典例题(含答案)

类型一:勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中,∠C=90° (1)已知a=6,c=10,求b,(2)已知a=40,b=9,求c;(3)已知c=25,b=15,求a. 思路点拨:写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。 解析:(1) 在△ABC中,∠C=90°,a=6,c=10,b= (2) 在△ABC中,∠C=90°,a=40,b=9,c= (3) 在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,a= 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2-CD2 =132-122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2-BC2 =52-32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二:勾股定理的构造应用 2、如图,已知:在中,,,. 求:BC的长. 思路点拨:由条件,想到构造含角的直角三角形,为此作于D,则有 ,,再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求出BC的 长. 解析:作于D,则因, ∴(的两个锐角互余) ∴(在中,如果一个锐角等于, 那么它所对的直角边等于斜边的一半). 根据勾股定理,在中, . 根据勾股定理,在中,

. ∴. 举一反三【变式1】如图,已知:,,于P. 求证:. 解析:连结BM,根据勾股定理,在中, . 而在中,则根据勾股定理有 . ∴ 又∵(已知), ∴. 在中,根据勾股定理有 , ∴. 【变式2】已知:如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。求:四边形ABCD的面积。 分析:如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析:延长AD、BC交于E。 ∵∠A=∠60°,∠B=90°,∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8,CE=2CD=4, ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE==。 ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12,∴DE==。 ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB2BE-CD2DE= 类型三:勾股定理的实际应用(一) 用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了 到达B点,然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。(1)

(完整版)勾股定理典型例题详解及练习(附答案)

典型例题 知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理 例1:如图,在单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF、GH四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是() A.CD、EF、 GH C. AB、CD GH B.AB、EF、GH D. AB、CD EF 愿路分乐屮 1)題意分析’本题考查幻股定理及勾股定理的逆定理.亠 2)解題思器;可利用勾脸定理直接求出各边长,再试行判断?』 解答过整屮 在取DEAF中,Af=l, AE=2,根据勾股定理,得昇 EF = Q抡於十£尸° = Q +F二艮 同理HE = 2百* QH. = 1 CD = 2^5 计算发现W十◎血尸=(鸥31即血+曲=GH2,根据勾股定理的逆宦理得到UAAE、EF\ GH为辺的三角形是直毎三角形.故选B. * 縮題后KJ思专:* 1.勾股定理只适用于直角三角形,而不适用于说角三角形和钝角三角形? 因此」辭题时一宦妾认真分析题目所蛤■条件■,看是否可用勾股定理来解口* 2.在运用勾股左理时,要正确分析题目所给的条件,不要习惯性地认为就是斜 迫而“固执”地运用公式川二/十就其实,同样是S6

"不一罡就等于餌,疋不一罡就昱斜辺,KABC不一定就是直角三祐

3.直角三第形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从 卅形s—个三角形是直角三角形)到懺 y =沖十沪)的过程,而直角三角形的判定是一 ①从嗦(一个三角形的三辺满足X二护+酹的条件)到偲个三角形是直角三角形)的过 程.a 4?在应用勾股定理解题叭聲全面地琴虑间题.注意m题中存在的多种可能性,遊免漏辭.初 例玉如圏,有一块直角三角形?椀屈U,两直角迫4CM5沁丸m?现将直角边AC沿直绘AD折蠡便它落在斜边AB上.且点C落到点E处, 则切等于(、* C/) "禎 B. 3cm G-Icni n題童分析,本题着查勾股定理的应用刎 :)解龜思路;車题若直接在△MQ中运用勾股定理是无法求得仞的长的,因为貝知遒一条边卫0的长,由题意可知,AACD和心迓门关于直线KQ对称.因而^ACD^hAED ?进一歩则有应RUm CZAED ED 丄AB,设UD=E2>黄泱,则在Rt A ABO中,由勾股定 理可得^=^(^+^=^83=100,得AB=10cm,在松迟DE 中,W ClO-fl)2= d驚解得尸 九4 解龜后的思琴尸 勾股定理说到底是一个等式,而含有未知数的等式就是方程。所以,在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量,如果条件中只有一个已知量,必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系,这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。 方程的思想:通过列方程(组)解决问题,如:运用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决实际问题时,经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解 决问题等。 例3:一场罕见的大风过后,学校那棵老杨树折断在地,此刻,张老师正和占 明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。 清华开口说道:“老师,那棵树看起来挺高的。” “是啊,有10米高呢,现在被风拦腰刮断,可惜呀!” “但站立的一段似乎也不矮,有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。 张老师心有所动,他说:“刚才我跑过时用脚步量了一下,发现树尖距离树根恰好3米,你们能求出杨树站立的那一段的高度吗?” 占明想了想说:“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角

数学分析大一上学期考试试题 B

数学分析第一学期期末考试试卷(B 卷) 一、叙述题(每题5分,共10分) 1.上确界; 2.区间套的定义。 二、填空题(每题4分,共20分)1.函数|3|ln 3)(--=x x x f 的全部间断点是. 2.定义在]1,0[区间上的黎曼函数的连续点为. 3.)1ln()(2 x x f +=,已知5 6)2()(lim 000=--→h h x f x f h ,=0x .4.正弦函数x y sin =在其定于内的拐点为.5.点集}1)1({n S n +-=的所有聚点为.三、计算题(每题4分,共28分)(1)求]1 21 11[lim 222n n n n n ++++++∞→ ;(2)求30sin tan lim x x x x -→;(3)求)1ln(sin 1tan 1lim 30x x x x ++-+→;(4)求2210)21(e lim x x x x +-→;(5)求)1ln(2x x y ++=的一阶导; (6)求3)(sin )(+=x x x f 的一阶导; (7)求???==; cos ,sin 22t t y t t x 的一阶导。四、讨论题(共12分)1.极限x x 1sin lim 0 →是否存在,说明原因。2.设000)()(=≠?????-=-x x x e x g x f x ,其中)(x g 具有二阶连续导数,且

1)0(,1)0(-='=g g .求)(x f '并讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性. 五、证明题(共30分)1.证明.x x f 2cos )(=在),0[+∞上一致连续. 2.设f 在],[b a 上连续,],[,,,21b a x x x n ∈ ,另一组正数n λλλ,,,21 满足121=+++n λλλ .证明:存在一点],[b a ∈ξ,使得 )()()()(2211n n x f x f x f f λλλξ+++= . 3.设函数)(x f 在[]b a ,上连续,在),(b a 内可导,且0>?b a .证明存在),(b a ∈ξ,使得)()()()(1 ξξξf f b f a f b a b a '-=-.

初二上勾股定理(经典题型)

初二上勾股定理(经典 题型) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

- 2 - 第十九章 几何证明 ——勾股定理及两点之间的距离公式 【知识回顾】 1、勾股定理:对于任意的直角三角形,如果它的两条直角边分别为a 、b ,斜边为c ,那么一定有222c b a =+(直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。) 3、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c 有关系,222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形。 4、常见的勾股数:(3n,4n,5n ),(5n,12n,13n),(8n,15n,17n),(7n,24n,25n),(9n,40n,41n)….. 5、勾股定理的证明图 6、两点之间的距离公式:2 122 12)()(y y x x AB -+-= 【例题讲解】 例题1、细心观察下图,认真分析各式,然后解答问题 (1)请用含n (n 是整数数)的等式表示上述变化规律;

(2)求出的值。 例题3、已知等腰三角形的周长是16cm,底边上的高是4cm,根据这些条件是否能求出这个等腰三角形的腰长和腰上高的长?若能,请把它们求出来,若不能,要说明理由。 例题2、如图所示,已知△ABC的三边 15= = =AC BC AB求△ABC , 20 25 , , 最长边上的高? 例题4、已知如图△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E、F为BC上的点且 ∠EAF=45°,求证:EF2=BE2+FC2. - 3 -

- 4 - 例题5、如图,已知0090,60=∠=∠=∠D B A ,AB=2,CD=1,求BC 、AD 的长。 例题6、一只2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上,这时梯脚距离墙角0.7m ,如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ,那么梯脚移动的距离是多少?

勾股定理典型题型

新人教版八年级下册勾股定理典型例习题 一、经典例题精讲 题型一:直接考查勾股定理 例1.在ABC ?中,90C ∠=?. ⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析:直接应用勾股定理 222a b c += 解:⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-= 题型二:利用勾股定理测量长度 例题1 如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少 米? 解析:这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后,. 已知斜边长和一条直角边长,求另外一条直角边的长度,可以直接利用勾股定理! 根据勾股定理AC 2+BC 2=AB 2, 即AC 2+92=152,所以AC 2 =144,所以AC=12. 例题2 如图(8),水池中离岸边D 点1.5米的C 处,直立长着一根芦苇,出水部分B C 的长是0.5米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B 恰好落到 D 点,并求水池的深度AC. 解析:同例题1一样,先将实物模型转化为数学模型,如 图2. 由题意可知△ACD 中,∠ACD=90°,在Rt △ACD 中,只知道CD=1.5,这是典型的利用勾 股定理“知二求一”的类型。 标准解题步骤如下(仅供参考): 解:如图2,根据勾股定理,AC 2+CD 2=AD 2 设水深AC= x 米,那么AD=AB=AC+CB=x +0.5 x 2+1.52=( x +0.5)2 解之得x =2. 故水深为2米. 题型三:勾股定理和逆定理并用—— 例题3 如图3,正方形ABCD 中,E 是BC 边上的中点,F 是AB 上一点,且AB FB 4 1= 那么△DEF 是直角三角形吗?为什么? C B D A

勾股定理练习题及问题详解(共6套)

勾股定理课时练(1) 1. 在直角三角形ABC中,斜边AB=1,则AB2 2 2AC BC+ +的值是() A.2 B.4 C.6 D.8 2.如图18-2-4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD,AD∥BC,斜腰DC的长为10 cm,∠D=120°,则该零件另一腰AB的长是______ cm(结果不取近似值). 3. 直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为_______. 4.一根旗杆于离地面12m处断裂,犹如装有铰链那样倒向地面,旗杆顶落于离旗杆地步16m,旗杆在断裂之前高多少m? 5.如图,如下图,今年的冰雪灾害中,一棵大树在离地面3米处折断,树的顶端落在离树杆底部4米处,那么这棵树折断之前的高度是米. 6. 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米? 7. 如图所示,无盖玻璃容器,高18cm,底面周长为60cm,在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇,试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛,所走的最短路线的长度. 8. 一个零件的形状如图所示,已知AC=3cm,AB=4cm,BD=12cm。求CD的长. 9. 如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=2,CD=3,求AB的长. 10. 如图,一个牧童在小河的南4km的A处牧马,而他正位于他的小屋B的西8km北 7km处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少? 11如图,某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m,宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元,请你帮助计算一下,铺完这个楼道至少需要多少元钱? 12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,没有了水,需要寻找水源.为了不致于走散,他们用两部对话机联系,已知对话机的有效距离为15千米.早晨8:00甲先出发,他以6千米/时的速度向东行走,1小时后乙出发,他以5千米/时的速度向北行进,上午10:00,甲、乙二人相距多远?还能保持联系吗?

数学分析1-期末考试试卷(A卷)

数学分析1 期末考试试卷(A 卷) 一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分) 1、设 82lim =?? ? ??-+∞→x x a x a x , 则 =a 。 2、设函数) 2(1 )(--=x x e x f x ,则函数的第一类间断点是 ,第二类间断点 是 。 3、设)1ln(2 x x y ++=,则=dy 。 4、设)(x f 是连续函数,且dt t f x x f )(2)(1 0?+=,则=)(x f 。 5、xdx arctan 1 ?= 。 二、单项选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分) 1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞ →n n n y x ,则下列断言正确的是( )。 (A )若n x 发散,则n y 必发散。 (B )若n x 无界,则n y 必无界。 (C )若n x 有界,则n y 必为无穷小。 (D )若n x 1 为无穷小,则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(,则)0(f '为( )。 (A ) 1。 (B )不存在。 (C ) 0。 (D ) -1。 3、若),() ()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(,-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ,则 )(x f 在),0(+∞内有( )。 (A )0)(,0)(<''>'x f x f 。 (B )0)(,0)(>''>'x f x f 。

(C )0)(,0)(<''<'x f x f 。 (D )0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数,且? -=dt t f x F x e x )()(,则)(x F '等于( ) 。 (A )() )(x f e f e x x ----。 (B )() )(x f e f e x x +---。 (C ) () )(x f e f e x x --- 。 (D )() )(x f e f e x x +--。 5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3 π =x 处取得极值,则( )。 (A ))3(,1πf a =是极小值。 (B ))3 (,1π f a =是极大值。 (C ))3(,2πf a =是极小值。 (D ))3 (,2π f a =是极大值。 三、计算题(本题共7个小题,每小题6分,满分42分) 1、求 ) 1ln(sin 1tan 1lim 30x x x x ++-+→ 2、设4lim 221=-++→x x b ax x x ,求 b a 、。

勾股定理经典例题(含答案)A

勾股定理经典例题(含答案)A

经典例题透析 类型一:勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中,∠C=90° (1)已知a=6,c=10,求b,(2)已知a=40,b=9,求c;(3)已知c=25,b=15,求a. 类型二:勾股定理的构造应用 2、如图,已知:在中,,,. 求:BC的长. 举一反三【变式1】如图,已知:,,于P. 求证:. 【变式2】已知:如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。求:四边形ABCD的面积。

类型三:勾股定理的实际应用 (一)用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从 营地A点出发,沿北偏东60°方向走了到 达B点,然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C 点。 (1)求A、C两点之间的距离。 (2)确定目的地C在营地A的什么方向。 举一反三 【变式】一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?

(二)用勾股定理求最短问题 4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,某地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部分.请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线. 举一反三 【变式】如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.

类型四:利用勾股定理作长为的线段 5、作长为、、的线段。 举一反三【变式】在数轴上表示的点。 类型五:逆命题与勾股定理逆定理 6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1.原命题:猫有四只脚. 2.原命题:对顶角相等 3.原命题:线段垂直平分线上的点,到这条线段两端距离相等. 4.原命题:角平分线上的点,到这个角的两边距离相等.7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c,且满足

八年级下册勾股定理典型例题

D 人教版数学第十七章《勾股定理》必刷题 如图,一架云梯长25米,斜靠在一面墙上,梯子靠墙的一端距地面24米. (1)这个梯子底端离墙有多少米? (2)如果梯子的顶端下滑了4米,那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗? 如图,在离水面高度为5米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC 的长为13米,此人以0.5米每秒的速度收绳,10秒后船移动到点D 的位置,问船向岸边移动了多少米?(假设绳子是直的,结果保留根号) 细心观察图形,认真分析各式,然后解答问题. OA 22= 2 1+1=2,1S 1 ; OA 32=12+(2 2=3,2S 2 ; OA 42=12+(2 3=4,3S 3… (1)请用含有n (n 是正整数)的等式表示上述变规律:OA n 2= ;S n = . (2)求出OA 10的长. (35,计算说明他是第几个三角形? (4)求出S 12+S 22+S 32+…+S 102的值.

如图所示,在一次夏令营活动中,小明坐车从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了 1003km到达B点,然 后再沿北偏西30°方向走了100km到达目的地C点,求出A、C两点之间的距离. 如图,小丽想知道自家门前小河的宽度,于是她按以下办法测出了如下数据:小丽在河岸边选取点A,在点A的对岸选取一个参照点C,测得∠CAD=30°;小丽沿岸向前走30m选取点B,并测得∠CBD=60°.请根据以上数据,用你所学的数学知识,帮小丽计算小河的宽度. 60° 30° D B A C

小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高.小明说:“这楼起码20层!”小华却不以为然:“20层?我看没有,数数就知道了!”小明说:“有本事,你不用数也能明白!”小华想了想说:“没问题!让我们来量一量吧!”小明、小华在楼体两侧各选A 、B 两点,测量数据如图,其中矩形CDEF 表示楼体,AB=150米,CD=10米,∠A=30°,∠B=45°,(A 、C 、D 、B 四点在同一直线上)问: (1)楼高多少米? (2)若每层楼按3米计算,你支持小明还是小华的观点呢?请说明理由. 1.73 ≈1.41 ≈2.24) B A C 如图,某城市接到台风警报,在该市正南方向260km 的B 处有一台风中心,沿BC 方向以15km/h 的速度移动,已知城市A 到BC 的距离AD=100km . (1)台风中心经过多长时间从B 移动到D 点? (2)已知在距台风中心30km 的圆形区域内都会受到不同程度的影响,若在点D 的工作人员早上6: 00接到台风警报,台风开始影响到台风结束影响要做预防工作,则他们要在什么时间段内做预防工作? B A

勾股定理经典例题(含答案)

勾股定理经典例题 类型一:勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中,∠C=90° (1)已知a=6,c=10,求b,(2)已知a=40,b=9,求c;(3)已知c=25,b=15,求a. 思路点拨: 写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 类型二:勾股定理的构造应用 2 、如图,已知:在中,, ,. 求:BC的长. 1、某市在旧城改造中,计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需要() A、450a元 B、225a 元 C、150a元 D、300a元 举一反三【变式1】如图,已知: ,,于P. 求证:. 150° 20m 30m

【变式2】已知:如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。求:四边形ABCD的面积。 类型三:勾股定理的实际应用 (一)用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了到达B 点,然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。 (1)求A、C两点之间的距离。 (2)确定目的地C在营地A的什么方向。 举一反三 【变式】一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? (二)用勾股定理求最短问题 4、如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发,

(完整版)勾股定理经典例题(教师版)

勾股定理全章知识点和典型例习题 一、基础知识点: 1?勾股定理 内容:____________________________________________________________ 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为 a , b,斜边为c,那么__________________ 2 ?勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 3 ?勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC中,C 90 , 则 __________________________________________ ②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定 理解决一些实际问题 4. 勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a , b , c满足a2 b2c,那么这个三角形是直角三角形,其中c为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过数转化为形”来确定三角形的可能 形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和a2 b2与较长边的平方c2作比较,若它们相等时,以 a , b , c为三边 的三角形是直角三角形;若 _________ ,时,以a , b , c为三边的三角形是钝角三角形;若__________________ ,时,以a , b , c为三边的三角形是锐角三角形; ②定理中a , b , c及a2 b2 c2只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长 a , b , c满足a2 c2 b2, 那么以a , b , c为三边的三角形是直角三角形,但是b为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形 5. 勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即a2 b2 c2中,a , b , c为正整数时,称a , b , c为 一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5 ; 6,8,10 ; 5,12,13; 7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n组勾股数: 2 2 n 1,2n,n 1 (n 2, n 为正整数); 2n 1,2n2 2n,2n2 2n 1 (n为正整数)m2 n2,2mn,m2 n2(m n, m , n为正整数)7 .勾股定理的应用

大学工科数学分析期末考试_(试题)A

20XX年复习资料 大 学 复 习 资 料 专业: 班级: 科目老师: 日期:

一、填空题(每题4分,共20XX 分) 1. 设 ABC L 是从 (1,0) A 到 (0,1) B -再到 (1,0) C -连成的折线,则曲线积分 d d |||| ABC L x y x y +=+? . 2. 设向量场222(1)(1)(1)A x x z i y x z j z x z k =++-+-,则向量场在点012 1M -(,,)处的旋度A =rot . 3. 若x y xe -=和sin y x =为某四阶常系数齐次线性微分方程的两个解,则该方程是 . 4. 函数(),(),(,)x x f x y ?ψ皆可微,设()(),()z f x y xy ?ψ=+,则 z z x y ??-=?? . 5. 锥面 22 z x y +被圆柱面 222,(0) x y ax a +=>截下的曲面的面积 为 . 二、单项选择题(每题4分,共20XXXX 分) 本题分数 20XX 得 分 本题分数 20XXXX 得 分

(多选不得分) 6.若 ()() 0000,,, x y x y f f x y ????都存在,则(,)f x y 在()00,x y ( ) (A )极限存在但不一定连续 (B )极限存在且连续 (C )沿任意方向的方向导数存在 (D )极限不一定存在,也不一定连续 7. 12,L L 是含原点的两条同向封闭曲线,若已知122 d d L y x x y K x y -+=+?(常数), 则222d d L y x x y I x y -+= +?的值 ( ) (A )一定等于 K (B )一定等于K - (C ) 与2L 的形状有关 (D )因为 Q P x y ??=??,所以0I = 8.∑为球面2222x y z a ++=外侧,Ω为球体2222x y z a ++≤,则有 ( )

勾股定理经典例题(含答案)29050

经典例题透析 类型一:勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中,∠C=90° (1)已知a=6,c=10,求b,(2)已知a=40,b=9,求c;(3)已知c=25,b=15,求a. 思路点拨:写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。 解析:(1) 在△ABC中,∠C=90°,a=6,c=10,b= (2) 在△ABC中,∠C=90°,a=40,b=9,c= (3) 在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,a= 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长 是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2-CD2 =132-122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2-BC2 =52-32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二:勾股定理的构造应用 2、如图,已知:在中,,,. 求:BC的长.

思路点拨:由条件,想到构造含角的直角三角形,为此作于D,则有 ,,再由勾股定理计算出AD、DC的长, 进而求出BC的长. 解析:作于D,则因, ∴(的两个锐角互余) ∴(在中,如果一个锐角等于, 那么它所对的直角边等于斜边的一半). 根据勾股定理,在中, . 根据勾股定理,在中, . ∴. 举一反三【变式1】如图,已知:,,于P. 求证:. 解析:连结BM,根据勾股定理,在中, . 而在中,则根据勾股定理有 . ∴ 又∵(已知), ∴. 在中,根据勾股定理有 , ∴. 【变式2】已知:如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。求:四边形ABCD

最新勾股定理逆定理讲义(经典例题+详解+习题)

XX教育一对一个性化教案 授课日期:2014 年月日学生姓名许XX 教师姓名授课时段2h 年级8 学科数学课型VIP 教学内容勾股定理及逆定理 教学重、难点重点:运用勾股定理判定一个三角形是否为直角三角形。难点:运用用勾股定理和勾股定理逆定理解决实际问题。 教学步骤及突出教学方法一、知识归纳 1、勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a,b,c满足222 a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c为斜边。 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22 a b +与较长边的平方2c作比较,若它们相等时,以a,b,c为三边的三角形是直角三角形;若222 a b c +<,时,以a,b,c为三边的三角形是钝角三角形;若222 a b c +>,时,以a,b,c为三边的三角形是锐角三角形; ②定理中a,b,c及222 a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a,b,c满足222 a c b +=,那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形,但是b为斜边。 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形。 2、勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222 a b c +=中,a,b,c为正整数时,称a,b,c为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n组勾股数: 22 1,2,1 n n n -+(2, n≥n为正整数); 22 21,22,221 n n n n n ++++(n为正整数) 2222 ,2, m n mn m n -+(, m n >m,n为正整数)

上海财经大学 数学分析 测试题 (大一)

《数学分析》考试题 一、(满分10分,每小题2分)单项选择题: 1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列,且存在N,? n>N 时有≤n a ≤n b n c , ( ) A. {n a }和{n b }都收敛时,{n c }收敛; B. {n a }和{n b }都发散时,{n c }发散; C. {n a }和{n b }都有界时,{n c }有界; D. {n b }有界时,{n a }和{n c }都有界; 2、=)(x f ??? ????>+=<,0 ,2.( ,0 ,0, ,sin x x k x k x x kx 为常数) 函数 )(x f 在 点00=x 必 ( ) A.左连续; B. 右连续 C. 连续 D. 不连续 3、''f (0x )在点00=x 必 ( ) A. x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 02020 ; B. ' 000)()(lim ??? ? ???-?+→?x x f x x f x ; C. '000)()(lim ???? ???-?+→?x x f x x f x ; D. x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 0'0'0 ; 4、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续,在开区间(b a ,)内可微,但≠)(a f )(b f 。则 ( ) A. ∈?ξ(b a ,),使0)('=ξf ; B. ∈?ξ(b a ,),使0)('≠ξf ; C. ∈?x (b a ,),使0)('≠x f ; D.当)(b f >)(a f 时,对∈?x (b a ,),有)('x f >0 ; 5、设在区间Ⅰ上有?+=c x F dx x f )()(, ?+=c x G dx x g )()(。则在Ⅰ上有 ( ) A. ?=)()()()(x G x F dx x g x f ; B. c x G x F dx x g x f +=?)()()()( ; C. ?+=+c x G x F dx x F x g dx x G x f )()()]()()()([ ;

新人教版八年级数学下册勾股定理典型例题归类总结

勾股定理典型例题归类总结 题型一:直接考查勾股定理 例1.在ABC ?中,90C ∠=?. ⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长 跟踪练习: 1.在ABC ?中,90C ∠=?. (1)若a=5,b=12,则c= ; (2)若a:b=3:4,c =15,则a = ,b = . (3)若∠A=30°,BC=2,则A B= ,AC= . 2. 在Rt △A BC中,∠C =90°,∠A,∠B,∠C 分别对的边为a ,b ,c,则下列结论正确的是( ) A、 B 、 C 、 D 、 3.一个直角三角形的三边为三个连续偶数,则它的三边长分别为( ) A 、2、4、6 B 、4、6、8 C 、6、8、10 D 、3、4、5 4.等腰直角三角形的直角边为2,则斜边的长为( ) A 、 B 、 C 、1 D 、2 5.已知等边三角形的边长为2cm ,则等边三角形的面积为( ) A 、 B 、 C 、1 D 、 6.已知直角三角形的两边为2和3,则第三边的长为___________. 7.如图,∠AC B=∠ABD=90°,AC=2,BC=1,,则BD=___________.? 8.已知△ABC 中,AB=AC=10,BD 是A C边上的高线,CD=2,那么BD 等于( ) A 、4 B、6 C、8 D、 9.已知R t△ABC 的周长为,其中斜边,求这个三角形的面积。 10. 如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积,那么从面积的角度来说,勾股定理可以推广. (1)如图,以Rt △ABC 的三边长为边作三个等边三角形,则这三个等边三角形的面积1S 、2S 、3S 之间有何关系?并说明理由。 (2)如图,以Rt△A BC 的三边长为直径作三个半圆,则这三个半圆的面积1S 、2S 、3S 之间有何关系? (3)如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折180°,请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系,并说明理由。(此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”)

(完整版)勾股定理典型练习题

新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题 一、基础知识点: 1.勾股定理 内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c += 2.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,221 4()2 ab b a c ?+-=,化简可证. 方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为 222()2S a b a ab b =+=++ 所以222 a b c += 方法三:1()()2S a b a b =+?+梯形,211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证 3.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。 4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC ?中,90C ∠=? , 则c = ,b ,a ②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题 5.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边。 ① 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形” 来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形; ② 若222a b c +<,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若222a b c +>,时,以a ,b , c 为三边的三角形是锐角三角形; ③ 定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b , c 满足222a c b +=,那么以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边 6.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数: 221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数);2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数)2222 ,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数) c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A

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