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大学数学分析答案

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《数学分析》练习题1

一、单项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1、广义积分dx

x

?

-2

2

211的奇点的是 【 】

A .0

B .2

C .2

D .2±

2、下列关于定积分的说法正确的是 【 】

A .函数)(x f 在[]b a ,有界,则)(x f 在[]b a ,一定可积;

B .函数)(x f 在[]b a ,可积,则)(x f 在[]b a ,一定有界;

C .函数)(x f 在[]b a ,不可积,则)(x f 在[]b a ,一定无界;

D .函数)(x f 在[]b a ,无界,则)(x f 在[]b a ,可能可积。

3、函数()x f 在闭区间[]b a ,可积是函数()x f 在闭区间[]b a ,连续的__ __条件。 【 】

A .充分非必要

B .必要非充分

C .充分必要

D .即不充分,又非必要

4、若级数∑∞

=1

n n u 收敛,则下列级数中,为收敛级数的是 【 】

A .()∑∞=-1

1n n n

u B .()∑∞=-1

1n n n

u C .∑∞=+1

1n n n u u D .∑

=++1

1

2

n n n u u

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)请在每小题的横线上给出正确的答案.

1、(){}x f n 在X 一致收敛的定义是: .

2、函数2

x e -在0=x 处的幂级数展开式为, . 3、积分()1012

<

p dx x

p

=

.

4、已知?

=

2

sin

x

dt t y ,则

dx

dy = 。

三、解答题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)请在每小题后的空白处写出必要的解答过程和正确答案。

1、求?

=1

2dx e x I x

解: 2、求?

=

e

dx x I 1

ln

.

解:

3、求由抛物线x y 22=和直线4=+y x 所围成图形的面积。 解:

4、判别级数∑∞

=-11n n nx ()0>x 的收敛性。

解:

5、求级数∑

=1

3n n

n n

x 的收敛半径与收敛域。

解: 6、求dx e

x

?+∞

1。

解:

四、综合题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)请在每小题后的空白处写出必要的

证明过程。

1、证明:积分?+∞

02cos dx x 收敛。

证:

2、设()x f 在R 上连续,()()()dt t x t f x F x

20

-=

?。

证明:(1)若()x f 为偶函数,则()x F 也是偶函数;(2)若()x f 为单调函数,则()x F 也是单调函数。

证:

3、若{}n na 收敛, ()∑∞

=--1

1n n n a a n 收敛,证明级数∑∞

=1

n n a 收敛。

证:

《数学分析》练习题2

一、单项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1、广义积分dx x

?

-1

2

11的奇点的是 【 】

A .0

B .1

C .-1

D .1±

2、由曲线x e y =和直线1,1==y x 所围成的平面图形的面积为 【 】

A.dx e x ?-10)1( ;

B. dx e x ?-10)1(

C. dx e x ?10

; D. dx e x ?+1

)1(

3、函数()x f 在闭区间[]b a ,连续是函数()x f 在闭区间[]b a ,可积的__ __条件。 【 】

A .充分非必要

B .必要非充分

C .充分必要

D .即不充分,又非必要

4、若级数∑∞

=1

n n u 绝对收敛,则下列级数中,发散的是 【 】

A .∑

=1

n n n

u B .∑

=+1

1n n

u n C .∑∞

=???

??+

1

211n n n

u n D .∑

=+11n n

n

u u 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)请在每小题的横线上给出正确的答案.

1、(){}x f n 在X 一致有界的定义是: .

2、幂级数∑

=1

!

n n

n x

的收敛域为 .

3、??

?

??

+++++

+∞

→2

22

2

2

2

1

lim n x n

x n x n

n = .

4、已知()?

=

2

x

dt t f y ,则dx

dy = 。

三、解答题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)请在每小题后的空白处写出必要的解答过程和正确答案。

1、求?

=1

arctan xdx I 。

解:

2、求?

++

=3

11dx x

xdx I .

解:

3、求旋轮线()()()π20cos 1,sin ≤≤-=-=t t a y t t a x 和x 轴所围成图形的面积。 解:

4、判别级数∑∞

=-11n n nx ()0>x 的收敛性。

解:

5、求级数()121

12+∞

=-∑n n n x 的收敛半径与收敛域。

解:

6、求反常积分dx xe I x ?+∞

-=0

2

。.

解:

四、综合题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)请在每小题后的空白处写出必要的

证明过程。 1、证明:积分?+∞

1

cos dx

x

x 收敛,而不绝对收敛。

证:

2、证明:若()x f 和()x g 在闭区间[]b a ,可积,则()()()()?

?

?≤

??

? ??b

a

b

a

b

a dx x g

dx x f

dx x g x f 2

2

2

证:

3、

设函数项级数()x f n ∑在D 上一致收敛于()x S ,函数()x g 在D 上有界,证明级数

()()x f x g n

∑在D 上一致收敛于 ()()x S x g 。

证:

《数学分析》练习题3

一、单项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.下列等式中,正确的结果是 【 】 A.)()('x f dx x f =? ; B. )()(x f x df =? ; C.

)

()(x f dx x f dx

d =?

D. )()(x f dx x f d =?

2. 下列关于定积分的说法正确的是 【 】

A .函数)(x f 在[]b a ,有界,则)(x f 在[]b a ,一定连续;

B .函数)(x f 在[]b a ,可积,则)(x f 在[]b a ,一定有界;

C .函数)(x f 在[]b a ,不可积,则)(x f 在[]b a ,一定无界;

D .函数)(x f 在[]b a ,可积,则)(x f 在[]b a ,可微。 3. 幂级数∑

n

x

n n

3的收敛域是 【 】

A.()2,4-

B.[]2,4-

C. ()3,3-

D. [)3,3- 4.若级数∑++2

1n

n a a 收敛,级数()∑+-+11n n a a 发散,则级数 【 】

A.

∑n

a

绝对收敛; B.

∑n

a

发散;

C.

()

n n

a ∑-1收敛

D.

n

a

∑条件收敛

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)请在每小题的横线上给出正确的答案. 1. 设()x f 有连续导数,()()3,3-==a f b f ,则()=?dx x f b

a '________________。

2.

()=+?

dt t x dx

d x

a

2

tan sin ln 。

3 . 幂级数∑

=1

n n

n

x

的收敛域为, .

4. ()

2

11

lim

x

dt

e

t x

tx

x ?-→= 。

三、解答题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)请在每小题后的空白处写出必要的解

答过程和正确答案。

1.判别级数n

n 4

sin 3π

∑的敛散性。

解:

2. ?2

1ln e

xdx 。

解: 3. 讨论积分()

?-b

a

p

x b dx

的收敛性。

解:

4.求由曲线32--=x x y 和直线x y =所围成图形的面积 解:

5. 求由曲线x y e y x -==1,和直线1=x 围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积。 解:

6. 求幂级数()

++-+++

-

+1

215

3

1

25

3

n x

x

x

x n n

的和函数。

解:

四、证明题(本大题共3小题,每小题8分,,共24分)请在每小题的空白处正确解答。 1.设()x f 在[],a a -上连续,证明:()x f 是奇函数的充要条件是()[]a a x dt t f x

x ,,0-∈?=?-。

证:

2.证明:若()x f 在闭区间[]b a ,连续,()0≥x f ,若()?=b

a

dx x f 0,则()0≡x f 。

证:

3. 若0,0>>n n b a ,

n

n n

n b b a a 11++≤ ∑∞

=1

n n b 收敛,证明级数∑∞

=1

n n a 收敛。

证:

大学数学分析答案

《数学分析》练习题1 一、单项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、广义积分dx x ? -2 2 211的奇点的是 【 】 A .0 B .2 C .2 D .2± 2、下列关于定积分的说法正确的是 【 】 A .函数)(x f 在[]b a ,有界,则)(x f 在[]b a ,一定可积; B .函数)(x f 在[]b a ,可积,则)(x f 在[]b a ,一定有界; C .函数)(x f 在[]b a ,不可积,则)(x f 在[]b a ,一定无界; D .函数)(x f 在[]b a ,无界,则)(x f 在[]b a ,可能可积。 3、函数()x f 在闭区间[]b a ,可积是函数()x f 在闭区间[]b a ,连续的__ __条件。 【 】 A .充分非必要 B .必要非充分 C .充分必要 D .即不充分,又非必要 4、若级数∑∞ =1 n n u 收敛,则下列级数中,为收敛级数的是 【 】 A .()∑∞=-1 1n n n u B .()∑∞=-1 1n n n u C .∑∞=+1 1n n n u u D .∑ ∞ =++1 1 2 n n n u u 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)请在每小题的横线上给出正确的答案. 1、(){}x f n 在X 一致收敛的定义是: . 2、函数2 x e -在0=x 处的幂级数展开式为, . 3、积分()1012 <x 的收敛性。 解: 5、求级数∑ ∞ =1 3n n n n x 的收敛半径与收敛域。 解: 6、求dx e x ?+∞ 1。 解: 四、综合题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)请在每小题后的空白处写出必要的 证明过程。 1、证明:积分?+∞ 02cos dx x 收敛。 证: 2、设()x f 在R 上连续,()()()dt t x t f x F x 20 -= ?。 证明:(1)若()x f 为偶函数,则()x F 也是偶函数;(2)若()x f 为单调函数,则()x F 也是单调函数。 证: 3、若{}n na 收敛, ()∑∞ =--1 1n n n a a n 收敛,证明级数∑∞ =1 n n a 收敛。 证:

北京理工大学2012-2013学年第一学期工科数学分析期末试题(A卷)试题2012-2(A)

1 北京理工大学2012-2013学年第一学期 工科数学分析期末试题(A 卷) 一. 填空题(每小题2分, 共10分) 1. 设?????<≥++=01arctan 01)(x x x x a x f 是连续函数,则=a ___________. 2. 曲线θρe 2=上0=θ的点处的切线方程为_______________________________. 3. 已知),(cos 4422x o bx ax e x x ++=- 则_,__________=a .______________=b 4. 微分方程1cos 2=+y dx dy x 的通解为=y __________________________________. 5. 质量为m 的质点从液面由静止开始在液体中下降, 假定液体的阻力与速度v 成正比, 则质点下降的速度)(t v v =所满足的微分方程为_______________________________. 二. (9分) 求极限 21 0)sin (cos lim x x x x x +→. 三. (9分) 求不定积分?+dx e x x x x )1arctan (12. 四. (9分) 求322)2()(x x x f -=在区间]3,1[-上的最大值和最小值. 五. (8分) 判断2 12arcsin arctan )(x x x x f ++= )1(≥x 是否恒为常数. 六. (9分) 设)ln(21arctan 22y x x y +=确定函数)(x y y =, 求22,dx y d dx dy . 七. (10分) 求下列反常积分. (1);)1(1 22?--∞+x x dx (2) .1)2(1 0?--x x dx 八. (8分) 一垂直立于水中的等腰梯形闸门, 其上底为3m, 下底为2m, 高为2m, 梯形的上底与水面齐平, 求此闸门所受 到的水压力. (要求画出带有坐标系的图形) 九. (10分) 求微分方程x e x y y y 3)1(96+=+'-''的通解. 十. (10分) 设)(x f 可导, 且满足方程a dt t f x x x f x a +=+?)())((2 ()0(>a , 求)(x f 的表达式. 又若曲线 )(x f y =与直线0,1,0===y x x 所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为,6 7π 求a 的值. 十一. (8分) 设)(x f 在]2,0[上可导, 且,0)2()0(==f f ,1sin )(1 21 =?xdx x f 证明在)2,0(内存在ξ 使 .1)(='ξf

数学分析课后习题答案(华东师范大学版)

习题 1.验证下列等式 (1) C x f dx x f +='?)()( (2)?+=C x f x df )()( 证明 (1)因为)(x f 是)(x f '的一个原函数,所以?+='C x f dx x f )()(. (2)因为C u du +=?, 所以? +=C x f x df )()(. 2.求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点 )5,2(. 解 由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='= ??22)()(. 于是知曲线为C x y +=2 , 再由条件“曲线通过点)5,2(”知,当2=x 时,5=y , 所以 有 C +=2 25, 解得1=C , 从而所求曲线为12 +=x y 3.验证x x y sgn 2 2 =是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明 当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0

万门大学数学系 数学经典教材(推荐)

☆【万门大学数学系】给所有想学数学的朋友一份礼物☆2012年11月18日18:41:43 数学是最复杂的研究性学科之一,其研究的先修基础要求很高,所以学习过程也非常需要技术性。中国的数学教材多偏向于苏联风格,不易读,无形中提高了门槛。所以一个合适的教学体系和教材推荐对于数学的学习至关重要。 这份【万门大学数学系】的书单,是根据法国巴黎高等师范学校(数学最牛校,没有之一)的指定教材及教授推荐给出,在保持了学术难度的情况下降低学习门槛。这套书目是这套教材构成一个完整的数学教材体系,都是教得特别深入浅出的专著,特别适合自学提高。 以下是按照学习推荐进度排序的,分本科生和研究生的课程。自学起点是高中毕业。 数学本科: 如果大家对微积分已经可以定量算了(例如可以计算面积分),就请跳过第一本,否则需要补充一下普通微积分的基础。 《Calculus》这是绝对的入门书籍,基础向。如果大家之前学过高数,就可以忽略这一本了。 下面就开始严格的数学训练了:

数学分析(一)(英文版)by Apostol 数学分析(二)(英文版)by Apostol 本书为美国大学标准数分教材。数分是一切的基础,没有数分的底子,实变学十遍也没用。可是很多人在初入数学殿堂就立志不做数学了,就是因为采用了苏联风格的中文教材,实在悲剧。学数学本来就是一件快乐而清晰的事情,所以第一本至关重要。请看这本吧,看完之后你会发现中文数分教材很坑爹。

《Linear.Algebra.done.right 》by Axler 好书能让人顺理成章地领悟新概念,烂书能让人放弃理想。这是一本中规中矩但清晰易读的好书。薄薄两百多页,很快就能读完。

大学高等数学上考试题库及答案

《高数》试卷1(上) 一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分). 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( B ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ()2g x x = (C )()f x x = 和 ()()2 g x x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 2.函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续,则a =( B ). (A )0 (B )1 4 (C )1 (D )2 3.曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( A ). (A )1y x =- (B )(1)y x =-+ (C )()()ln 11y x x =-- (D )y x = 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( C ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 5.点0x =是函数4 y x =的( D ). (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 6.曲线1 || y x = 的渐近线情况是( C ). (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7. 211 f dx x x ??' ???? 的结果是( C ). (A )1f C x ?? -+ ??? (B )1f C x ?? --+ ??? (C )1f C x ?? + ??? (D )1f C x ?? -+ ??? 8. x x dx e e -+?的结果是( A ). (A )arctan x e C + (B )arctan x e C -+ (C )x x e e C --+ ( D )ln()x x e e C -++ 9.下列定积分为零的是( A ).

最新2003年浙江大学数学分析试题答案

2003年浙江大学数学分析试题答案

2003年浙江大学数学分析试题答案 一、,,0N ?>?ε当N n >时,ε<->>?m n a a N n N m ,, 证明:该数列一定是有界数列,有界数列必有收敛子列}{k n a , a a k n k =∞ →lim , 所以, ε2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n 二 、,,0N ?>?ε当N x >时,ε<-)()(x g x f ,,0,01>?>?δε当1'''δ<-x x 时, ε<-)''()'(x f x f 对上述,0>ε当N x x >'','时,且1'''δ<-x x ε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g 当N x x <'','时,由闭区间上的连续函数一定一致收敛,所以 ,0,02>?>?δε2'''δ<-x x 时ε<-)''()'(x g x g ,当'''x N x <<时,由闭区间上的连 续函数一定一致收敛,在 ],['','22δδ+-∈N N x x 时,ε<-)''()'(x g x g ,取 },m in{21δδδ=即可。 三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)('a f ,所 以)(x f 必有零点,又)(x f 递减,所以有且仅有一个零点。 四、? ?==1 0,)(1)()(x dt t f x dt xt f x ?2 )()()('x dt t f x x f x x ? -= ?, 2 2)(lim )(lim ) (lim )0('0 2 A x x f x dt t f x x x x x x ====→→→???, 2 )(lim ) (lim )() (lim )('lim 2 002 00A x dt t f x x f x dt t f x x f x x x x x x x = -=-=? ? →→→→?,)('x ?在0=x 连续。 五、当k m ≠时,不妨设k m <,

大学高等数学教材

大学高等数学教材 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合 ⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A?B(或B?A)。。 ⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。 ⑶、真子集:如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?,并规定,空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论: ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C,如果A是B的子集,B是C的子集,则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”,这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。(在求并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次。) 即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。 ⑵、交集:一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。 ⑶、补集: ①全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集。通常记作U。

数学分析(1)期末试题A

山东师范大学2007-2008学年第一学期期末考试试题 (时间:120分钟 共100分) 课程编号: 4081101 课程名称:数学分析 适用年级: 2007 学制: 四 适用专业:数学与信息试题类别: A (A/B/C) 2分,共20分) 1. 数列{}n a 收敛的充要条件是数列{}n a 有界. ( ) 2. 若0N ?>, 当n N >时有n n n a b c ≤≤, 且lim lim n n n n a c →∞ →∞ ≠, 则lim n n b →∞ 不存在. ( ) 3. 若0 lim ()lim ()x x x x f x g x →→>, 则存在 00(;)U x δ使当00(;)x U x δ∈时,有()()f x g x >. ( ) 4. ()f x 为0x x →时的无穷大量的充分必要条件是当00(;)x U x δ∈时,()f x 为无界函数. ( ) 5. 0x =为函数 sin x x 的第一类间断点. ( ) 6. 函数()f x 在[,]a b 上的最值点必为极值点. ( ) 7. 函数21,0,()0, 0x e x f x x -?? ≠=??=?在0x =处可导. ( ) 8. 若|()|f x 在[,]a b 上连续, 则()f x 在[,]a b 上连续. ( ) 9. 设f 为区间I 上严格凸函数. 若0x I ∈为f 的极小值点,则0x 为f 在I 上唯一的极小值点. ( ) 10. 任一实系数奇次方程至少有两个实根. ( )

二、 填空题(本题共8小题,每空2分,共20分) 1. 0 lim x x x + →=_________________. 2. 设2 ,sin 2x u e v x ==,则v d u ?? = ??? __________________. 3. 设f 为可导函数,(())x y f f e =, 则 y '=_______________. 4. 已知3(1)f x x +=, 则 ()f x ''=_______________. 5. 设 ()sin ln f x x x =, 则()f π'=_______________ . 6. 设21,0, (),0; x x f x ax b x ?+≥=?+

中南大学高等数学答案

中南大学网络教育课程考试复习题及参考答案 高等数学(专科) 一、填空题: 1.函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是 。 解:),2[]2,(∞+--∞ 。 2.若函数52)1(2 -+=+x x x f ,则=)(x f 。 解:62 -x 3.sin lim x x x x →∞-= 。 答案:1 正确解法:101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ,则=a _____, =b _____。 由所给极限存在知,024=++b a ,得42--=a b , 又由234 12lim 2lim 22 22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ,则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x ,∴0,1a b =≠ 6.函数????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x = 。 解:由)(x f 是分段函数,0=x 是)(x f 的分段点,考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+-→→f x x x x x 所以函数)(x f 在0=x 处是间断的, 又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的,故函数)(x f 的间断点是0=x 。 7.设()()()n x x x x y -??--= 21, 则() =+1n y (1)!n +

华中科技大学考研数学分析真题答案

2008年华中科技大学招收硕士研究生. 入学考试自命题试题数学分析 一、 求极限1 111lim(1...)23n n I n →∞=++++ 解: 一方面显然1I ≥ 另一方面111 1...23n n ++++≤,且1lim 1n n n →∞= 由迫敛性可知1I =。 注:1 lim 1n n n →∞ =可用如下两种方式证明 1) 1n h =+,则22 (1)2(1)1(2)2n n n n n n n h h h n n -=+≥+ ?≤≥ 即lim 0n n h →∞ =,从而1lim 1n n n →∞ = 2) =有lim 11n n n n →∞==-。 二、证明2232(38)(812)y x y xy dx x x y ye dy ++++为某个函数的全微分,并求它的原函数。 证明:记22(,)38P x y x y xy =+,32(,)812y Q x y x x y ye =++,则 2316P x xy y ?=+?,2316Q x xy x ?=+?? P Q y x ??=?? Pdx Qdy ∴+是某个函数的全微分 设原函数为(,)x y Φ,则x y d dx dy Pdx Qdy Φ=Φ+Φ=+ 2232238(,)4()x x y xy x y x y x y y ?∴Φ=+?Φ=++ 32328()812y y x x y y x x y ye ?'?Φ=++=++ ()12()12(1)y y y ye y y e C ??'?=?=-+ 322(,)412(1)y x y x y x y y e C C ∴Φ=++-+所求原函数为(为常数) 三、设Ω是空间区域且不包含原点,其边界∑为封闭光滑曲面:用n 表示∑的单位外法向量,(,,)r x y z =和2r r x y ==+,证明:

(2020年编辑)大学高等数学教材

一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合 ⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A?B(或B?A)。。 ⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。 ⑶、真子集:如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?,并规定,空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论: ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C,如果A是B的子集,B是C的子集,则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”,这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。(在求并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次。) 即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。 ⑵、交集:一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。 ⑶、补集:

大学工科数学分析期末考试_(试题)A

20XX年复习资料 大 学 复 习 资 料 专业: 班级: 科目老师: 日期:

一、填空题(每题4分,共20XX 分) 1. 设 ABC L 是从 (1,0) A 到 (0,1) B -再到 (1,0) C -连成的折线,则曲线积分 d d |||| ABC L x y x y +=+? . 2. 设向量场222(1)(1)(1)A x x z i y x z j z x z k =++-+-,则向量场在点012 1M -(,,)处的旋度A =rot . 3. 若x y xe -=和sin y x =为某四阶常系数齐次线性微分方程的两个解,则该方程是 . 4. 函数(),(),(,)x x f x y ?ψ皆可微,设()(),()z f x y xy ?ψ=+,则 z z x y ??-=?? . 5. 锥面 22 z x y +被圆柱面 222,(0) x y ax a +=>截下的曲面的面积 为 . 二、单项选择题(每题4分,共20XXXX 分) 本题分数 20XX 得 分 本题分数 20XXXX 得 分

(多选不得分) 6.若 ()() 0000,,, x y x y f f x y ????都存在,则(,)f x y 在()00,x y ( ) (A )极限存在但不一定连续 (B )极限存在且连续 (C )沿任意方向的方向导数存在 (D )极限不一定存在,也不一定连续 7. 12,L L 是含原点的两条同向封闭曲线,若已知122 d d L y x x y K x y -+=+?(常数), 则222d d L y x x y I x y -+= +?的值 ( ) (A )一定等于 K (B )一定等于K - (C ) 与2L 的形状有关 (D )因为 Q P x y ??=??,所以0I = 8.∑为球面2222x y z a ++=外侧,Ω为球体2222x y z a ++≤,则有 ( )

大学高等数学上习题(附答案)

《高数》习题1(上) 一.选择题 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ( )g x =(C )()f x x = 和 ( )2 g x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 7. 211 f dx x x ??' ???? 的结果是( ). (A )1f C x ?? - + ??? (B )1f C x ?? --+ ??? (C )1f C x ?? + ??? (D )1f C x ?? -+ ??? 10.设()f x 为连续函数,则()10 2f x dx '?等于( ). (A )()()20f f - (B )()()11102f f -????(C )()()1 202f f -??? ?(D )()()10f f - 二.填空题 1.设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续,则a = . 2.已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π,则()2f '=. 3. ()21ln dx x x = +?. 三.计算 1.求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2.求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3.求不定积分x xe dx -?

(完整版)大学数学工程数学线性代数教材

第一章n阶行列式 在初等数学中讨论过二阶、三阶行列式,并且利用它们来解二元、三元线性方程组. 为了研究n元线性方程组,需要把行列式推广到n 阶,即讨论n阶行列式的问题. 为此,下面先介绍全排列等知识,然后引出n阶行列式的概念. §1 全排列及其逆序数 先看一个例子. 引例用1、2、3三个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数? 解这个问题相当于说,把三个数字分别放在百位、十位与个位上,有几种不同的放法? 显然,百位上可以从1、2、3三个数字中任选一个,所以有3种放法;十位上只能从剩下的两个数字中选一个,所以有两种放法;个位上只能放最后剩下的一个数字,所以只有1种放法. 因此,共有? ?种放法. 3= 1 6 2 这六个不同的三位数是: 123,132,213,231,312,321. 在数学中,把考察的对象,如上例中的数字1、2、3叫做元素. 上述问题就是:把3个不同的元素排成一列,共有几种不同的排法? 对于n个不同的元素,也可以提出类似的问题:把n个不同的元素排成一列,共有几种不同的排法? 把n个不同的元素排成一列,叫做这n个元素的全排列,简称排列. n个不同元素的所有排列的种数,通常用P n表示. 有引例的结果可知P3 = 3 . 2 . 1 = 6 . 1

2 为了得出计算P n 的公式,可以仿照引例进行讨论: 从n 个元素中任取一个放在第一个位置上,有n 种取法;又从剩下的n -1个元素中任取一个放在第二个位置上,有n -1种取法; 这样继续下去,直到最后只剩下一个元素放在第n 个位置上,只有1种取法. 于是 P n =n .(n -1). … . 3 . 2 . 1 = n ! . 对于n 个不同的元素,我们规定各元素之间有一个标准次序(例如n 个不同的自然数,可规定由小到大为标准次序),于是在这n 个元素的任一排列中,当某两个元素的先后次序与标准次序不同时,就说有1个逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数. 逆序数为奇数的排列叫做奇排列,逆序数为偶数的排列叫做偶排列. 下面我们来讨论计算排列的逆序数的方法. 不失一般性,不妨设n 个元素为1至n 这n 个自然数,并规定由小到大为标准次序. 设 n p p p Λ21 为这n 个自然数的一个排列,考虑元素 ),,2,1(n i p i Λ=,如果比i p 大的且排在i p 前面的元素有i t 个,就说i p 这个元素的逆序数是i t . 全体元素的逆序数之总和 ∑==+++=n i i n t t t t t 1 21Λ, 即是这个排列的逆序数. 例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中,

数学分析 期末考试试卷

中央财经大学2014—2015学年 数学分析期末模拟考试试卷(A 卷) 姓名: 学号: 学院专业: 联系方式: 一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分) 1、设 82lim =?? ? ??-+∞→x x a x a x , 则 =a 。 2、设函数) 2(1 )(--=x x e x f x ,则函数的第一类间断点是 ,第二类间断点 是 。 3、设)1ln(2 x x y ++=,则=dy 。 4、设)(x f 是连续函数,且dt t f x x f )(2)(1 0?+=,则=)(x f 。 5、xdx arctan 1 ?= 。 二、单项选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分) 1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞ →n n n y x ,则下列断言正确的是( )。 (A )若n x 发散,则n y 必发散。 (B )若n x 无界,则n y 必无界。 (C )若n x 有界,则n y 必为无穷小。 (D )若n x 1 为无穷小,则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(,则)0(f '为( )。 (A ) 1。 (B )不存在。 (C ) 0。 (D ) -1。 3、若),() ()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(,-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ,则 )(x f 在),0(+∞内有( )。

(A )0)(,0)(<''>'x f x f 。 (B )0)(,0)(>''>'x f x f 。 (C )0)(,0)(<''<'x f x f 。 (D )0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数,且? -=dt t f x F x e x )()(,则)(x F '等于( ) 。 (A )() )(x f e f e x x ----。 (B )() )(x f e f e x x +---。 (C ) () )(x f e f e x x --- 。 (D )() )(x f e f e x x +--。 5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+ =在3 π =x 处取得极值,则( ) 。 (A ))3(,1πf a =是极小值。 (B ))3 (,1π f a =是极大值。 (C ))3(,2πf a =是极小值。 (D ))3 (,2π f a =是极大值。 三、计算题(本题共7个小题,每小题6分,满分42分) 1、求 ) 1ln(sin 1tan 1lim 3 x x x x ++-+→ 2、设4lim 221=-++→x x b ax x x ,求 b a 、。

大学数学试卷A及答案

大学数学试卷A及答案 Prepared on 24 November 2020

《大学数学》试卷 一. 选择题(每小题3分) 1.下列求极限的问题中,能用洛必达法则的是( ) A x x x x sin 1sin lim 20→ B )arctan 2(lim x x x -+∞→π C x x x x x sin sin lim +-∞→ D x x x x e e e -∞→+lim 2.=-→1ln lim 1x x x ( ) A 1 B -1 C 2 D -2 3.=-+-+-∞→4223lim 2323x x x x x x ( ) A -1 B 0 C 21 D 2 4.若在区间(a,b )内,函数f(x)的一阶导数,0)('>x f 二阶导数0)(''

A (1,1-e ) B (2,2-e ) C (2,22-e ) D (3,3-e ) 8.下列等式中,成立的是( ) A ?=)()(x f dx x f d B dx x f dx x f d ?=)()( C C x f dx x f dx d +=?)()( D ? =dx x f dx x f dx d )()( 9.在区间(a,b)内的任一点x ,如果总有f ’(x)=g ’(x)成立,则下列各式中必定成立的是( ) (x)=g(x) (x)=g(x)+1 C.f(x)=g(x)+C D.'))(()')((??=dx x g dx x f 10.已知C x dx x f +=?2cos )(,则f(x)=( ) A sin2x B -sin2x C cos2x D -cos2x 11. ?=dx xe x ( ) A C xe x + B C e xe x x +- C C e xe x x ++ D C e x + 12.?=xdx tan ( ) A.-ln|sinx|+C B. ln|sinx|+C C. –ln|cosx|+C |cosx|+C 13.=+-?dx x x )1(6 02( ) A 50 B 60 C 70 D 80 14.dx x x ?+2021=( ) A 12- B 12+ C 15- D 15+ 15.行列式4 032053 21=( )

浙江大学数学分析试题答案

2003年浙江大学数学分析试题答案 一、,,0N ?>?ε当N n >时,ε<->>?m n a a N n N m ,, 证明:该数列一定是有界数列,有界数列必有收敛子列 }{k n a ,a a k n k =∞ →lim , 所以, ε 2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n 二 、,,0N ?>?ε当N x >时,ε<-)()(x g x f ,,0,01>?>?δε当1'''δ<-x x 时, ε<-)''()'(x f x f 对上述,0>ε当N x x >'','时,且1'''δ<-x x ε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g 当N x x <'','时,由闭区间上的连续函数一定一致收敛,所以,0,02>?>?δε2'''δ<-x x 时 ε<-)''()'(x g x g ,当'''x N x <<时,由闭区间上的连续函数一定一致收敛,在 ],['','22δδ+-∈N N x x 时,ε<-)''()'(x g x g ,取},m in{21δδδ=即可。 三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)('a f ,所以 )(x f 必有零点,又)(x f 递减,所以有且仅有一个零点。 四、? ?== 1 0,)(1)()(x dt t f x dt xt f x ?2 )()()('x dt t f x x f x x ? -= ?, 2 2)(lim )(lim ) (lim )0('0 2 A x x f x dt t f x x x x x x ====→→→???, 2 )(lim ) (lim )() (lim )('lim 2 002 00A x dt t f x x f x dt t f x x f x x x x x x x = -=-=? ? →→→→?,)('x ?在0=x 连续。 五、当k m ≠时,不妨设k m <, ??--+--= 1 111)(2)(2])1[(])1[(! !21)()(dx x x k m dx x P x P k k m m k m k m = --? -dx x x k k m m 1 1 )(2)(2])1[(])1[(dx x x x x m m k k k k m m ?-+--------1 1 )1(2)1(211 ) 1(2) (2 ])1[(])1[(] )1[(])1[(=

美国大学数学教材

数学基础学习阶段 ◆分析学 微积分学教程(1、2、3册)菲赫金哥尔茨 数学分析教程(上、下册)史济怀 Principles of Mathematical Analysis (Third Edition) Walter Rudin 实变函数江泽坚 实变函数论周民强 复分析导论(上、下册)沙巴特 泛函分析讲义(上、下)张恭庆 Real and Complex Analysis(Third Edition) Walter Rudin Fuctional Analysis(Second Edition) Walter Rudin ◆代数学 高等代数(北京大学数学与力学系)前代数小组 代数学引论(聂灵沼、丁石孙) Algebra Hungerford Algebra Lang 美国大学数学参考书 目录: 第一学年 几何与拓扑: 1、James R. Munkres, Topology:较新的拓扑学的教材适用于本科高年级或研究生一年级; 2、Basic Topology by Armstrong:本科生拓扑学教材; 3、Kelley, General Topology:一般拓扑学的经典教材,不过观点较老; 4、Willard, General Topology:一般拓扑学新的经典教材; 5、Glen Bredon, Topology and geometry:研究生一年级的拓扑、几何教材; 6、Introduction to Topological Manifolds by John M. Lee:研究生一年级的拓扑、几何教材,是一本新书; 7、From calculus to cohomology by Madsen:很好的本科生代数拓扑、微分流

上海财经大学 数学分析 测试题 (大一)

《数学分析》考试题 一、(满分10分,每小题2分)单项选择题: 1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列,且存在N,? n>N 时有≤n a ≤n b n c , ( ) A. {n a }和{n b }都收敛时,{n c }收敛; B. {n a }和{n b }都发散时,{n c }发散; C. {n a }和{n b }都有界时,{n c }有界; D. {n b }有界时,{n a }和{n c }都有界; 2、=)(x f ??? ????>+=<,0 ,2.( ,0 ,0, ,sin x x k x k x x kx 为常数) 函数 )(x f 在 点00=x 必 ( ) A.左连续; B. 右连续 C. 连续 D. 不连续 3、''f (0x )在点00=x 必 ( ) A. x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 02020 ; B. ' 000)()(lim ??? ? ???-?+→?x x f x x f x ; C. '000)()(lim ???? ???-?+→?x x f x x f x ; D. x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 0'0'0 ; 4、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续,在开区间(b a ,)内可微,但≠)(a f )(b f 。则 ( ) A. ∈?ξ(b a ,),使0)('=ξf ; B. ∈?ξ(b a ,),使0)('≠ξf ; C. ∈?x (b a ,),使0)('≠x f ; D.当)(b f >)(a f 时,对∈?x (b a ,),有)('x f >0 ; 5、设在区间Ⅰ上有?+=c x F dx x f )()(, ?+=c x G dx x g )()(。则在Ⅰ上有 ( ) A. ?=)()()()(x G x F dx x g x f ; B. c x G x F dx x g x f +=?)()()()( ; C. ?+=+c x G x F dx x F x g dx x G x f )()()]()()()([ ;

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