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北师大版八年级上册数学第一章勾股定理单元终极测试

北师大版八年级上册数学第一章勾股定理单元终极测试
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理单元终极测试

第一章《勾股定理》单元测试卷

一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)

1.一个直角三角形,两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是( )

A .斜边长为5

B .三角形的周长为25

C .斜边长为25

D .三角形的面积为20

2.小明的爸爸买了一部29英寸(74厘米)的电视机,下列对29英寸的说法中正确的是( )

A .小明认为指的是荧屏的长度

B .妈妈认为指的是荧屏的宽度

C .爸爸认为指的是荧屏的周长

D .售货员认为指的是荧屏对角线的长度

3.下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( )

A .1.5,2,3

B .7,24,25

C .6,8,10

D .9,12,15

4.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是( )

A .钝角三角形

B .锐角三角形

C .直角三角形

D .等腰三角形

5.适合下列条件的△ABC 中,直角三角形的个数为( ) ①a= 31,b=41,c=5

1 ②a=6,∠A=45° ③∠A=32°,∠B=58° ④a=7,b=24,c=25 ⑤a=2,b=2,c=4

A .2个

B .3个

C .4个

D .5个

6.如图所示,一圆柱高8cm ,底面半径2cm ,一只蚂蚁从点

A 爬到点

B 处吃食,要爬行的最短路程(π取3)是( )

A .12cm

B .10cm

C .14cm

D .无法确定

7.下列结论错误的是( )

A .三个角度之比为1:2:3的三角形是直角三角形

B .三个边长之比为3:4:5的三角形是直角三角形

C .三个边长之比为8:16:17的三角形是直角三角形

D .三个角度之比为1:1:2的三角形是直角三角形

8.斜边长为17cm ,一条直角边为15cm 的直角三角形的面积为( )

二、填空题(共10小题,每小题3分,满分30分)

11.如图,64、400分别为所在正方形的面积,则图中字母所代表的正方形面积是

12.如图,直角三角形中未知边长是

(11题图) (12题图) (16题图) (19题图)

13.满足a 2+b 2=c 2的三个正整数,称为

14.三角形的三边长分别是15,36,39,这个三角形是 三角形.

15.已知甲、乙两人在同一地点出发,甲往东走4km,乙往南走了3km,这时甲、乙两人相距 km.

16.如图,直角三角形的两直角边长分别是6cm和8cm,则带阴影的正方形面积是 cm2.

17.在△ABC中,若BC2+AB2=AC2,则∠A+∠C=

18.直角三角形的三边长为连续偶数,则其周长为

19.如图,AC⊥CE,AD=BE=13,BC=5,DE=7,则AC=

20.在等腰△ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,则BC边上高线AD之长为 cm.三、解答题(共8小题,满分40分)

21.如图所示,四边形ABCD中,AB=3cm,AD=4cm,BC=13cm,CD=12cm,∠A=90°,求四边形ABCD的面积.

22.如图,在边长为c的正方形中,有四个斜边为c的全等直角三角形,已知其直角边长为a,b.利用这个图试说明勾股定理.

23.已知△ABC三边a、b、c满足a2+b2+c2=10a+24b+26c-338,请你判断△ABC的形状,并说明理由.

24.在某一平地上,有一棵树高8米的大树,一棵树高3米的小树,两树之间相距12米.今一只小鸟在其中一棵树的树梢上,要飞到另一棵树的树梢上,问它飞行的最短距离是多少?(画出草图然后解答)

25.已知:如图,观察图形回答下面问题:

(1)此图形的名称为.

(2)请你与同伴一起做一个这样的物体,并把它沿AS处剪开,铺在桌

面上,研究一下它的侧面展开是一个形.

(3)如果点C是SA的中点,在C处有蜗牛想吃到的食品,恰好在A处

有一只蜗牛,但它又不能直接爬到C处,只能沿圆锥曲面爬行,你能画

出蜗牛爬行的最短路程的图形吗?若圆锥的母线长为10cm,侧面展开图

的夹角为90°,请你求出蜗牛爬行的最短路程的平方.

26.印度数学家什迦逻(1141年-1225年)曾提出过“荷花问题”:

“平平湖水清可鉴,面上一尺生红莲;

出泥不染亭亭立,忽被强风吹一边,

渔人观看忙向前,花离原位二尺远;

能算诸君请解题,湖水如何知深浅”

请用学过的数学知识回答这个问题.

4

64

A B

27.如图,有一个长方体的长,宽,高分别是 6, 4, 4,在底面A处有一只蚂蚁,它想吃到长方体上面B处的食物,需要爬行的最短路程是多少?

北师大版八年级数学(上册)第一章勾股定理测试题

勾股定理知识总结 :勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。(即:a2+b2= c2) 要点诠释: 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用: (1 )已知直角三角形的两边求第三边 (2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边 (3 )利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 :勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长:a、b、c,则有关系a +b = c ,那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释: 用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意: (1 )首先确定最大边,不妨设最长边长为:c; (2 )验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c2= a2+b2,则△ ABC是以/C为直角的直角三角形(若c2>a2+b2,则△ ABC是以/C为钝角的钝角三角形;若c2

八年级北师版数学上册第一第二章勾股定理和实数全部习题和知识要点

第一章 勾股定理 1.探索勾股定理 课时1 名师导航2预习指南 知识要点 勾股定理 如果直角三角形的两直角边为a 、b ,斜边为c ,那么22b a +2c =,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理的作用 勾股定理是直角三角形的重要性质之一,它把直角三角形的“形”的特征转化为两直角边的平方和等于斜边的平方的“数”的关系。其主要应用有:(1)已知直角三角形的两边,求第三边,求第三边;(2)已知直角三角形的一边,确定另两边的关系;(3)证明含平方关系的问题等。有时还要构造直角三角形,以便利用勾股定理。 经典例析 例:已知:如图,在△ABC 中,∠ACB = ,AB =5cm ,AC =3cm ,CD ⊥AB 于D ,求CD 的长. ∴. 5 12= CD 点评:此题关键在于用好勾股定理以及利用等面积法求高线。 1.在Rt △ABC 中,∠C=90°,(1)若a=5,b=12,则c=_______;(2)若a=9,c=41,?则b=_____. 2(2008年甘肃省白银市)已知等腰三角形的一条腰长是5,底边长是6,则它底边上的高为 4 . 3.直角三角形的两直角边长分别为5cm 和12cm ,则斜边上的高为__. 4.如图所示,有两棵树,一棵高8m ,另一棵高2m ,两树相距8m ,?一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢至少飞了_______m . 5.一直角三角形的斜边比一直角边大2,另一条直角边长为6,则斜边的长是( ) A .4 B .8 C .10 D .12 6.若直角三角形的两直角边各扩大1倍,则斜边扩大( ) A .112 倍 B .1倍 C .2倍 D .4倍 7.如图,字母A 代表的正方形面积是100,字母B 代表的正方形面积是64,则字母C 代表的正方形边长是

新北师大版八年级上数学勾股定理知识点+对应练习

第一章 勾股定理 1、勾股定理定义:直角三角形的两直角边长的平方和等于斜边的平方。如果用a ,b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a 2+b 2=c 2. A B C a b c 弦股 勾 勾:直角三角形较短的直角边 股:直角三角形较长的直角边 弦:斜边 2.勾股定理定义的应用: (1)已知直角三角形的两边求第三边(在ABC ?中,90C ∠=?,则22c a b =+,22b c a =-,22a c b =-) (2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 例. 在Rt △ABC 中,∠C=90° (1)若a=5,b=12,则c=________; (2)b=8,c=17,则S △ABC =________。 3.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等 式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,221 4()2 ab b a c ?+-=,化简 可证 方法二: 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 4.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2 ,那么这个三角形是直角三角形。 5.勾股数:满足a 2+b 2=c 2的三个正整数叫做勾股数(注意:若a ,b ,c 、为勾股数,那么 c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b

北师大版勾股定理练习题及答案

北师大版勾股定理练习题及答案 一、填空题: 1.已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm、8cm,那么这个直角三角形斜边上的高为_________________. 2..三角形的两边长分别为3和5,要使这个三角形是直角三角形,则第三条边长是_______. 3.△ABC中,AB=10,BC=16,BC边上的中线AD=6,则AC=___________. 4.将一根长24cm 的筷子,置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯中,设筷 子露在杯子外面的长度是为hcm ,则h的取值范围是_____________. 5.如图2所示,一个梯子AB长2.5米,顶端A靠墙AC上,这时梯子下端B与墙角C距离为1.5图米,梯1 子滑动后停在DE上的位置上,如图3,测得DB的长0.5米,则梯子顶端A下落了________米. 二、选择题: 6.在下列长度的四组线段中,不能组成直角三角形的是. A.a= b=41 c=40B.a=b=5C=52 C.a:b:c=3:4:D.a=11b=12c=1 图 图

3 7.若△ABC中,AB=13,AC=15,高AD=12,则BC的长是. A.1B.4C.14或D.以上都不对 8.002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》,它是由四个全等的直角三角形与中间的小小正方形拼成的一个大正方形,如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的短直角边为a,较长直 角边为b,那么2的值为. A.1B.1 C.25D.16图 4 09.如图5,四边形ABCD中,AB=3cm,BC=4cm,CD=12cm,DA=13cm,且∠ABC=90,则四边形ABCD的面积 是. 51 D.无法确定 /10.如图6,已知矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C处,B C/交AD于E,AD=8, AB=4,则DE的长为. A.3B.C.D.6 三、解答题: 011.在Rt?ABC中,∠C=90.

北师大版八年级数学勾股定理练习及答案

图6 北师大版八年级数学第一章勾股定理测试题(1) 一、填空题(每小题5分,共25分): 1.已知一个直角三角形的两条直角边分别为6、8,那么这个直角三角形斜边上的高为. 2..三角形的两边长分别为3和5,要使这个三角形是直角三角形,则第三条边长是. 3.△中,10,16,边上的中线6,则. 4.将一根长24 的筷子,置于底面直径为5,高为12的圆柱形水杯中(如图1),设筷子露在杯子外面的长度是为 ,则h 的取值范围是. 5.如图2所示,一个梯子长2.5米,顶端A 靠墙上,这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米,梯子滑动后停在上的位置上,如图3,测得的长0.5米,则梯子顶端A 下落了米. 二、选择题(每小题5分,共25分): 6.在下列长度的四组线段中,不能组成直角三角形的是( ). A .9 41 40 B .5 5 2 C .3:4:5 D .11 12 15 7.若△中,13,15,高12,则的长是( ). A .14 B .4 C .14或4 D .以上都不对 8. 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》,它是由四个全等的直角三角形与中间的小小正方形拼成的一个大正方形 (如图4所示),如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的短直角边为a ,较长直角边为b ,那么2)(b a +的值为( ). A .13 B .19 C .25 D .169 9. 如图5,四边形中,3,4,12,13,且∠900 ,则四边形的面积是( ). A .84 B .30 C .2 51 D .无法确定 10.如图6,已知矩形沿着直线折叠,使点C 落在处,B 交于E ,8,4,则的长为( ). A .3 B .4 C .5 D .6 三、解答题(此大题满分50分): 11.(7分)在ABC Rt ?中,∠900 . 图1 图2 图3 图4 图5

北师大版勾股定理复习学案

E C D B A 勾股定理 本章常用知识点: 1、勾股定理:直角三角形两直角边的 等于斜边的 。如果用字母a,b,c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么勾股定理可以表示为: 。 勾股逆定理:如果直角三角形三边长a 、b 、c 满足 ,那么这个三角形是 三角形。 (且∠ =90°) 2、勾股数:满足a 2+b 2=c 2的三个 ,称为勾股数。 常见的勾股数组有:3、4、5; 5、12、13; 8、15、17; 7、24、25; 20、21、29; 9、40、41;… 这些勾股数组的整数倍仍然是勾股数组。(记忆 11~30二十个数的平方值) 3、最短距离:将立体图形展开,利用直角三角形的勾股定理求出最短距离(斜边长)。 题型一 直角三角形中已知两边,求第三边。 例1、已知:一个直角三角形的两边长分别是3cm 和4cm,第三边得长为________ 例2、已知在△ABC 中,AB=17,AC=10,BC 边上的高等于8,求△ABC 的周长为_________ 课堂训练 1.已知直角三角形两直角边分别为5,12,则三边上的高的和为____. 2、在Rt △ABC 中,已知两边长为5、12,则第三边的长为 。 3、等腰三角形的两边长为10和12,则周长为________,底边上的高是________, 面积是_________。 4..如图,一个梯子AB 长2.5 米,顶端A 靠在墙AC 上,这时 梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米,梯子滑动后停在DE 的位置 上,测得BD 长为0.5米,求梯子顶端A 下落了多少米? 题型二 勾股定理逆定理的应用 如何判定一个三角形是直角三角形: ① 先确定最大边(如c ); ② 验证2 c 与2 2b a +是否具有相等关系 ③ 若2 c =2 2b a +,则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形; 若2c ≠2 2b a +,则△ABC 不是直角三角形。 例1、如图,在四边形ABCD 中,∠C=90°,AB=13,BC=4,CD=3,AD=12,求证:AD ⊥BD . 例2、如图,在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 为CD 上一点,且CF=4 1 CD . 求证:△AEF 是直角三角形.

新北师大版八上数学第一章勾股定理教案

第一章 勾股定理 第1节 探索勾股定理 教学目标 1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程,进一步发展学生的合情推理意识,主动探究的习惯,进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系,进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。 重点、难点 重点:了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。 难点:勾股定理的发现。 教学过程:3个课时 第一课时 认识勾股定理 一、导入新课 人类向太空发射“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号。它是智能生物从自然界发现的通用数学知识。 二、问题 从电线杆离地面8米处向地面拉一条钢索,如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6米,那么需要多长的钢索? 三、做一做:P2 观察下图,并回答问题: (1)在纸上画若干个直角三角形,分别测量它们的三条边,看看三边长的平方之间有怎样的关系?与同伴进行交流。 (2)如图,直角三角形三边的平分别是什么多少?它们满足上面所猜想的数量关系吗?你是如何计算的?与同伴交流。 (3)如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度,上面所猜想的数量关系还成立吗? 四、勾股定理: 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,即222c b a =+(a 、b 表示直角边,c 表示斜边) 五、解决开始提出的问题

六、例:1、如图,强大台风使一旗杆在距离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处,求旗杆原先高度是多少? 2、变式:旗杆高24米,旗杆被风吹断后顶部距底部12米,求旗杆在什么位置折断? 七、练习:P3,1,2,P4,1,2,3 八、作业:P4, 4 附: 1、小明从A点沿北偏东30°方向走了4m,到在B点,再沿南偏东60°方向走了3m到达C点,则A与C相距多少? 2、如图,△ABC中,AB=13,BC=14,AD⊥BC,AD=12,求AC的长。 A B C D

北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题(经典)

第一章 勾股定理 知识点一:勾股定理定义 画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ,量AB 的长;一个直角边为5和12的直角△ABC ,量AB 的长 发现32 +42 与52 的关系,52 +122 和132 的关系,对于任意的直角三角形也有这个性质吗? 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。(即:a 2 +b 2 =c 2 ) 1.如图,直角△ABC 的主要性质是:∠C=90°,(用几何语言表示) ⑴两锐角之间的关系: ; ⑵若D 为斜边中点,则斜边中线 ; ⑶若∠B=30°,则∠B 的对边和斜边: ;(给出证明) ⑷三边之间的关系: 。 知识点二:验证勾股定理 知识点三:勾股定理证明(等面积法) 例1。已知:在△ABC 中,∠C=90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证:a 2 +b 2 =c 2 。 证明: 例2。已知:在△ABC 中,∠C=90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证:a 2 +b 2 =c 2 。 证明: 知识点四:勾股定理简单应用 在Rt △ABC 中,∠C=90° (1) 已知:a=6, b=8,求c (2) 已知:b=5,c=13,求a 知识点五:勾股定理逆定理 如果三角形的三边长为c b a ,,,满足2 2 2 c b a =+,那么,这个三角形是直角三角形. b b b B

利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤: ①先找出最大边(如c ) ②计算2 c 与22 a b +,并验证是否相等。 若2 c =22 a b +,则△ABC 是直角三角形。 若2c ≠22 a b +,则△ABC 不是直角三角形。 1.下列各组数中,以a ,b ,c 为边的三角形不是Rt △的是( ) A.a=7,b=24,c=25 B.a=7,b=24,c=24 C.a=6,b=8,c=10 D.a=3,b=4,c=5 2.三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( ) A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 3.已知0)10(862 =-+-+-z y x ,则由此z y x ,,为三边的三角形是 三角形. 知识点六:勾股数 (1)满足2 2 2 c b a =+的三个正整数,称为勾股数. (2)勾股数中各数的相同的整数倍,仍是勾股数,如3、4、5是勾股数,6、8、10也是勾股数. (3)常见的勾股数有:①3、4、5②5、12、13;③8、15、17;④7、24、25; ⑤11、60、61;⑥9、40、41. 1.设a 、b 、c 是直角三角形的三边,则a 、b 、c 不可能的是( ). A.3,5,4 B. 5,12,13 C.2,3,4 D.8,17,15 1. 若线段a ,b ,c 组成Rt △,则它们的比可以是( ) A.2∶3∶4 B.3∶4∶6 C.5∶12∶13 D.4∶6∶7 知识点七:确定最短路线 1.一只长方体木箱如图所示,长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm, 有一只甲虫从A 出发,沿表面爬到C ',最近距离是多少? 2.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程(π 取3)是 . 知识点八:逆定理判断垂直 1.在△ABC 中,已知AB 2 -BC 2 =CA 2 ,则△ABC 的形状是( ) A .锐角三角形; B .直角三角形; C .钝角三角形; D .无法确定. 2.如图,正方形网格中的△ABC ,若小方格边长为1,则△ABC 是( ) A .直角三角形 B .锐角三角形 C .钝角三角形 D .以上答案都不对 知识点九:勾股定理应用题 1.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题,这个问题的意思是:有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面,请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少? A B C D A ' B ' C D 'A B C

最新北师大版数学第一章-勾股定理-单元测试卷

2018年秋八年级上学期第一章勾股定理单元测试卷 数学试卷 考试时间:120分钟;满分:150分 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 题号一二三总分 得分 评卷人得分 一.选择题(共10小题,满分40分,每小题4分) 1.(4分)如图①,美丽的弦图,蕴含着四个全等的直角三角形.已知每个直角三角形较长的直角边为a,较短的直角边为b,斜边长为c.如图②,现将这四个全图②等的直角三角形紧密拼接,形成飞镖状,已知外围轮廓(实线)的周长为24,OC=3,则该飞镖状图案的面积() A.6 B.12 C.24 D.243 2.(4分)如图,两个较大正方形的面积分别为225,289,则字母A所代表的正方形的面积为() A.4 B.8 C.16 D.64 3.(4分)如图,有四个三角形,各有一边长为6,一边长为8,若第三边分别为6,8,10,12,则面积最大的三角形是

( ) A . B . C . D . 4.(4分)下列各组数中,是勾股数的为( ) A .1,2,3 B .4,5,6 C .3,4,5 D .7,8,9 5.(4分)如图,小明将一张长为20cm ,宽为15cm 的长方形纸(AE >DE )剪去了一角,量得AB=3cm ,CD=4cm ,则剪去的直角三角形的斜边长为( ) A .5cm B .12cm C .16cm D .20cm 6.(4分)如图,长为8cm 的橡皮筋放置在x 轴上,固定两端A 和B ,然后把中点C 向上拉升3cm 至D 点,则橡皮筋被拉长了( ) A .2cm B .3cm C .4cm D .5cm 7.(4分)如图所示,圆柱的高AB=3,底面直径BC=3,现在有一只蚂蚁想要从A 处沿圆柱表面爬到对角C 处捕食,则它爬行的最短距离是( ) A .π+13 B .23 C .2 432 π+ D .213π+ 8.(4分)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB ,垂足为D ,AF 平分∠CAB ,交

北师大版七年级数学勾股定理知识点

勾股定理复习 一.知识归纳 1.勾股定理的内容及由来 内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c += 2.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见证明方法如下: c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A 方法一: 4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,221 4()2 ab b a c ?+-=,化简可证. 方法二: 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三: 这1()()2S a b a b =+?+梯形,211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证 勾股定理知识点总结 .勾股定理的适用范 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形

围 .勾股定理的应用.勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解. 勾股定理的逆定理如果三角形三边长a,b,c满足222 a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22 a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a,b,c为三边的三角形是直角三角形;若222 a b c +<,时,以a,b,c为三边的三角形是钝角三角形;若222 a b c +>,时,以a,b,c为三边的三角形是锐角三角形; ②定理中a,b,c及222 a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a,b,c满足222 a c b +=,那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形,但是b为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形 常见.勾股数及其规律①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222 a b c +=中,a,b,c为正整数时,称a,b,c为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n组勾股数: 22 1,2,1 n n n -+(2, n≥n为正整数); 22 21,22,221 n n n n n ++++(n为正整数) 2222 ,2, m n mn m n -+(, m n >m,n为正整数) 勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决.①已知直角三角形的任意两边长,求第三边 在ABC ?中,90 C ∠=?,则22 c a b =+,22 b c a =-,22 a c b =- ②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题

北师大版勾股定理的应用

勾股定理的应用 知识梳理: 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决. 题型一、关于路线最短问题 例1、有这样一个有趣的问题:如图所示,有一个圆柱,它的高等于12cm,底面半径等于3cm。在圆柱的下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A相对的B点的食物,需要沿圆柱的侧面爬行的最短路程是多少( 的值取3) 注:这个问题最终的解决,是把圆柱的侧面沿着它的一条母线剪开展成一个长方形,从而把曲面上的路线问题转化为平面上A、B两点间的路线问题。像这种,将空间问题转化为平面问题的方法,对发展我们的空间观念是很有好处的。 牛刀小试: 1、一个无盖的长方体形盒子的长、宽、高分别为8cm,8cm,12cm,一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点,你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗蚂蚁要爬行的最短行程是多少 B 12 8 A 8 题型二、测量实际距离(求线段长度) 例2、在某一平地上,有一棵树高8米的大树,一棵树高3米的小树,两树之间相距12米。今一只小鸟在其中一棵

树的树梢上,要飞到另一棵树的树梢上,问它飞行的最短距离是多少 小试牛刀: .2.如图,某沿海开放城市A 接到台风警报,在该市正南方向100km 的B 处有一台风中心,沿BC 方向以20km/h 的速度向D 移动,已知城市A 到BC 的距离AD=60km ,那么台风中心经过多长时间从B 点移到D 点如果在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险,正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险 课堂巩固: 1、有一圆柱体高为10cm ,底面圆的半径为4cm ,AA 1、BB 1为相对的两条母线。在AA 1上有 一个蜘蛛Q ,QA =3cm ;在BB 1上有一只苍蝇P ,PB 1=2cm 。蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P 点吃苍蝇,最短的路径是 cm 。(π 3) 2. 如图是一个长方体长4、宽3、高12,则图 中阴影部分的三角形的周长为__________ 3. 如图,一架米长的梯子AB ,斜靠在一竖直的墙AC 上,这时梯足B 到墙底端C 的距离为米,如果梯子的顶端沿墙下滑米,那么梯足将向外移多少米 第2题 12 A B 1 A 1 B Q P A B C D

北师大版八年级勾股定理练习题(含答案)

北师大版八年级数学上 勾股定理练习题 一、基础达标: 1. 下列说法正确的是( ) A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边,则a 2+b 2=c 2; B.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边,则a 2+b 2=c 2; C.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边, 90=∠A ,则a 2+b 2=c 2; D.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边, 90=∠C ,则a 2+b 2=c 2. 2. Rt △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ,则下列各式成立的是( ) A .c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+ 3. 如果Rt △的两直角边长分别为k 2-1,2k (k >1),那么它的斜边长是( ) A 、2k B 、k+1 C 、k 2-1 D 、k 2+1 4. 已知a ,b ,c 为△ABC 三边,且满足(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0,则它的形状为( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 5. 直角三角形中一直角边的长为9,另两边为连续自然数,则直角三角形的周长为( ) A .121 B .120 C .90 D .不能确定 6. △ABC 中,AB =15,AC =13,高AD =12,则△ABC 的周长为( ) A .42 B .32 C .42 或 32 D .37 或 33 7.※直角三角形的面积为S ,斜边上的中线长为d ,则这个三角形周长为( ) (A 2d (B d (C )2d (D )d 8、在平面直角坐标系中,已知点P 的坐标是(3,4),则OP 的长为( ) A :3 B :4 C :5 D : 7 9.若△ABC 中,AB=25cm ,AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为( ) A .17 B.3 C.17或3 D.以上都不对

新北师大版八年级数学上册勾股定理专题训练优质讲义

勾股定理 本章常用知识点: 1、勾股定理:直角三角形两直角边的 等于斜边的 。如果用字母a,b,c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么勾股定理可以表示为: 。 2、勾股数:满足a 2+b 2=c 2的三个 ,称为勾股数。 常见勾股数有: 3、常见平方数: 121112=; 144122=; 16913 2=; 196142=; 225152 =;256162= 289172=; 324182=; 361192=; 400202=;441212 =; 484222= 529232=; 576242=; 625252=; 676262=;729272= 专题归类: 专题一、勾股定理与面积 1、、在Rt ▲ABC 中,∠C=?90,a=5,c=3.,则Rt ▲ABC 的面积S= 。 2、一个直角三角形周长为12米,斜边长为5米,则这个三角形的面积为: 。 3、直线l 上有三个正方形a 、b 、c ,若a 和c 的面积分别为5和11,则b 的面积为 4、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4, 则S 1+S 2+S 3+S 4等于 。 5、三条边分别是5,12,13的三角形的面积是 。 6、如果一个三角形的三边长分别为a,b,c 且满足:a 2 +b 2 +c 2 +50=6a+8b+10c,则这个三角形的面积为 。 7、如图1,?=∠90ACB ,BC=8,AB=10,CD 是斜边的高,求CD 的长? l 3 21 S 4 S 3 S 2S 1

2019年八年级数学上册第一章勾股定理知识点归纳(新版)北师大版

第1章 勾股定理 一.知识归纳 1.勾股定理 内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c += 勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,221 4()2ab b a c ?+-=,化简可证. c b a H G F E D C B A 方法二: b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三:1 ()()2S a b a b =+?+梯形,211 2S 222ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证

a b c c b a E D C B A 3.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长,求第三边 在ABC ?中,90C ∠=? ,则c ,b = ,a ②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;若222a b c +<,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若222a b c +>,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形; ②定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,那么以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形 6.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数: 221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数); 2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数) 2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数) 7.勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解. 8..勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体

数学北师大版八年级上册勾股定理复习课

本章总结提升 银川市第十二中学海娟 本章知识框架构建框架系统整理 整合拓展创新归类资源夯基提能 运用勾股定理解决计算问题 例2如图1-T-1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC =12,则点

图1-T-1 C到AB的距离CD为() A.536 B.2512 C.49 D.43 [解析] A在Rt△ABC中,由直角边AC及BC的长,利用勾股定理求出斜边AB的长,然后借助等积法求出CD的长,即为点C到AB的距离. [点评] 熟练掌握勾股定理是解本题的关键,在运用勾股定理时,要注意弄清所求的边是直角边还是斜边. 运用直角三角形的判别条件判断三角形的形状例3已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足关系式(c2-a2-b2)2+|a-b|=0,则△ABC的形状为______________. [答案] 等腰直角三角形 [解析] 已知等式左边为两个非负数之和,根据两个非负数之和为0,则这两个非负数同时为0,可得出a2+b2=c2,且a=b,利用直角三角形的判别条件可得出∠C为直角,进而确定出△ABC为等腰直角三角形. [点评] 熟练掌握非负数的性质及直角三角形的判别条件是解本题的关键. 折叠问题

图1-T-2 例4如图1-T-2所示,在长方形纸片ABCD中,AB=3,BC =4.现将顶点A,C重合,使纸片折叠压平,设折痕为EF,则重叠部分△AEF的面积为________. [答案] 1675 [解析] 设CE=x,则AE=EC=x,BE=4-x. 在Rt△ABE中,AE2=AB2+BE2, 即x2=32+(4-x)2,整理,得8x=25,解得x=825.因为AD∥BC,所以∠AFE=∠CEF. 又因为∠CEF=∠AEF,所以∠AFE=∠AEF, 所以AF=AE=825, 所以S△AEF=21AF×AB=21×825×3=1675. [点评] 解决折叠问题,关键是弄清折叠前后图形全等,并构造直角三角形,利用勾股定理解决问题.求解时往往会利用方程思想.勾股定理在实际生活中的应用 例5如图1-T-3所示,一根旗杆在离地面5米的B处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部12米的A处,则旗杆断裂前有多高? 图1-T-3

北师大版数学勾股定理练习题

北师大版数学勾股定理练习题 1 / 3 2008秋八年级上数学勾 股 定 理能力测试题 满分;120分限时:100分钟 班级; 姓名: 得分: 一、你一定能选对!请把下列各题中惟一正确答案的代码填在题后的括号内选择题,(每小题3分,24分) 1、 如图字母B 所代表的正方形的面积是 ( ) A. 12 B. 13 C. 144 D. 194 2、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是 ( ) A. 1.5, 2, 3; B. 7, 24, 25; C. 6 ,8, 10; D. 9, 12, 15. 3、适合下列条件的△ABC 中, 是直角三角形的个数为 ( ) ①;5 1,41,31===c b a ②,6=a ∠A=450; ③∠A=320, ∠B=580; ④ ;25,24,7===c b a ⑤.4,2,2===c b a A. 2个; B. 3个; C. 4个; D. 5个. 4、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是 ( ) A 钝角三角形; B. 锐角三角形; C. 直角三角形; D. 等腰三角形. 5、 小军量得家里新购置的彩电荧光屏的长为58厘米,宽为46厘米,则这台电视机的尺寸是(实际测量的误差可不计) ( ) A 、9英寸(23厘米) B. 21英寸(54厘米) C. 29英寸(74厘米) D. 34英寸(87厘米) 6.已知Rt △ABC 中,∠C=90°,若a+b=14cm ,c=10cm ,则Rt △ABC 的面积是( ) A 、24cm 2 B 、36cm 2 C 、48cm 2 D 、60cm 2 7.已知,如图,一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行,离开港口2小时后,则两船相距( ) A 、25海里 B 、30海里 C 、35海里 D 、40海里 8 、如图,一块直角三角形的纸片,两直角边AC=6㎝,BC=8 ㎝。现将直角边AC 沿直线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,恰与AE 重合,则CD 等于( ) A 、2㎝ B 、3㎝ C 、4㎝ D 、5㎝ 二、认真填一填!请把你认为正确的结论填在题中的横线上。(每小题3分,共24分) 9、 满足222c b a =+的三个正整数,称为勾股数。写出你比较熟悉的两组勾股 数:① ; ② 。 10、在△ABC 中,AB=AC ,BD ⊥AC 于D ,若BD=3,DC=1,则AD=____________。 11、求图中直角三角形中未知的长度:b=__________,c=____________. 18 24 12、已知直角三角形的三边长为6、8、x ,则以x 为边长的正方形的面积为_____。 13、已知一个三角形的三边长分别是12cm ,16cm ,20cm ,则这个三角形的面积为 。 北 南 A 东 第7题图 B 169 25A C D B E 第8题图

北师大版勾股定理试卷

第一章达标测试卷 一、选择题 1:如图是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,已知一条到达底部的直吸管在罐内部分的长度为a,若直吸管在罐外部分还剩余3,则吸管的总长度b(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是( ) A. 12?b?13 B. 12?b?15 C. 13?b?16 D. 15?b?16 2、如图,是一种无盖的长方体包装盒,长、宽、高分别为4cm,3cm,12cm,现有一长为16cm的木棒插 入到盒的底部,则木棒露在盒外部分的长度h的取值范围为() 4.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,BC=2.5 cm,AC=1.5 cm,则AB的长为() A.3.5 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 5.如图,阴影部分是一个长方形,则长方形的面积是() A.3 cm2B.4 cm2C.5 cm2D.6 cm2 6.满足下列条件的△ABC,不是 ..直角三角形的为() A.∠A=∠B-∠C B.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2 C.b2=a2-c2 D.a∶b∶c=2∶3∶4 7.已知一轮船以18 n mile/h的速度从港口A出发向西南方向航行,另一轮船以24 n mile/h的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口A 1.5 h后,两轮船相距() A.30 n mile B.35 n mile C.40 n mile D.45 n mile 8.如图,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,点D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为点E,则DE等于() A. 10 13 B. 15 13 C. 60 13 D. 75 13 9.如图,牧童在A处放牛,牧童家在B处,A,B处距河岸的距离AC,BD的长分别为500 m和700 m,且C,D两地的距离为500 m,天黑前牧童从A处将牛牵到河边饮水,再回家,那么牧童最少要走() A.1 000 m B.1 200 m C.1 300 m D.1 700 m 10、勾股定理() 二、填空题(每题3分,共30分) 11:一个长方体纸盒,它的长,宽,高分别为6cm,4cm,3cm,在盒内顶点A处有一只壁虎,它发现盒内其对角顶点B 处有一只苍蝇,于是壁虎沿盒壁向点B爬行,试问:这只壁虎由点A爬行至点B的最短路程会是多少?说说你的理由。 12.如图,某人从A点出发欲横渡一条河,由于水流的影响,实际上岸地点C偏离欲到达地点B300 m,结果他在水中实际游了500 m,则该河的宽度为__________. 13.如图,一架长为4 m的梯子,一端放在离墙脚2.4 m处,另一端靠墙,则梯子顶端离墙脚________m. 14.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3 cm,AC=5 cm,将△ABC折叠,使点C与点A重合,得到折痕DE,则△ABE的周长等于__________. 15.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足关系式(a2-c2-b2)2+|| c-b=0,则△ABC的形状为____________________________________________. 16.若直角三角形两直角边长的比为3∶4,斜边长为20,则此直角三角形的周长为________. 17.如图,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角C走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,他们仅仅少走了_______步路(假设2步为1 m),却踩伤了花草. 1

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