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数列极限部分较难习题

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数列极限部分较难习题

数列极限部分书后较难的作业解答: 一.( (书

293

P)第10题)证明数列

1

n

x=+++-

L

有极限

证明:(一) 因为

1

n n

x x

+

-==

>=

故{}n x单减.

(二) 由不等式

=<=

2

>()

1,2,

n=L

所以有

2222

n

x>++++-

L

22022

=->-=-.

故{}n x有下界.因此根据单调有界原理知,{}n x有极限.

二.设常数0

a>

,

n

n

x=

证明: {}n x收敛,且求lim n

n

x

→∞

.

解:(一)假设{}n x收敛,并记lim.

n

n

x A

→∞

=由已知得递推关系式:

n

x=令n→∞,利用

1

lim lim

n n

n n

x x A

-

→∞→∞

==,得

A=即20,

A A a

-+=解方程得

1

2

A

±

=.

又因为0n x >,

故取12

A ±=

.

即1lim 2

n n x →∞

=

(二)下面返证{}n x 收敛.

1.

由12,x x ==L 显然21x x >()0a >Q .归纳地设1n n x x ->,

1,n n x x +=>=即{}n x 单增. 2.再证{}n x 有上界.B 那么如何取B 呢? 既然{}n x

单增且有极限A =

,

那么A =就应是{}n x 的一个上界.

下面仍然用归纳法证明A =

是{}n x 的上界.

事实上显然112x +=<

;

设12

n x +<

1n x +=<

==

<=

故{}n x 单增且有上界,因此{}n x 收敛.

注意:这里{}n x 上界的找法似乎依赖于{}n x 的极限值.为了使上述解法更符合逻辑,一般教科书往往先证(2),再求(1)的方法,不过(2)中的上界的选取实际上是事先计算出的极限.当然若{}n x 为单减的,则事先计算出的极限值就是数列的一个下界了. 注意:同理可将上例推广到一般情形:

设10,

x a =>()0,2,3,,n x b n =>=L 则数列{}n x 收敛且

1lim 2

n n x →∞

+=

其中

(1)当12,x x =即a =12a +=

时,12n x ≡

(2)当12,x x <即a =12

a +<

时, {}n x 单增,且

12

+为上界;

(3)当12,x x >即a =a >

时, {}n x 单减,且以0或

为下界;

有趣的是数列n x =10x a =>并无关系.这说明在一个收敛的迭代数列中,不管数列的初值1x 如何选取,数列总收敛到相同的极限值,这也正是迭代算法的存在价值.

三.(295P 第13题(3))设0b a >>,数列{}{},n n x y 由下式所确定:

1111,,2

n n

n n x y x a y b x y +++==== 证明它们有公共的极限.

证明:(一)由0b a >>可知,()0,0.1,2,n n x y n >>=L

因而 ()111,2,2

n n

n n x y y x n +++=

≥==L

显然对于,n ? 112n

n

n n x y y x +++=≥=,又因为110y x >>,故

对于,n ? .n n y x >所以1n n x x +=≥= (1) 因此, {}n x 单调递增. 同理:因为122

n n n n

n n x y y y y y +++=

≤=, (2)

因此{}n y 单调递减.

(二)由于11,n n a x x y y b =≤≤≤=因此{}n x 有上界b ,且{}n y 有下界a ,根据单调有界原理知, 数列{}{},n n x y 均有极限. (三).设lim ,lim .n n n n x c y d →∞

→∞

==对12

n n

n x y y ++=

两边取极限,得 ,2

c d

d +=

于是,,c d =即lim lim .n n n n x y →∞→∞=

四.294P 第12题设0x a =和1x b =已知实数,令

()111,2,2

n n

n x x x n -++=

=L (1)

证明数列{}n x 收敛且2lim .3

n n a b

x →∞

+= 证明:由(1)式, ()()010121110112222x x x x x x x x x b a +-????

-=

-==--=-- ? ?????

; (2) ()()2

12123222111;2222x x x x x x x x x b a +-????

-=-==--=-- ? ????? (3)

()()3

23234333211;2222x x x x x x x x x b a +-????

-=-==--=-- ? ????? (4)

M

()1

11.2n n n x x b a --??

-=-- ?

??

()n

上述()2—()n 相加,得:

()231

111112222n n x x b a -??

????????-=--+-+-++-?? ? ? ? ?????????????

L

()

()1

1111221

1113212n n b a b a --??????---?? ? ?????????????

=-=----?? ???

?????

?-- ???

故()()111111

1113232n n n x x b a b b a --????????=----=----???? ? ?????????????

()12lim .33

n n a b

x b b a →∞

+=-

-=

五. (294P 第13题(1))设()

()11310,1,2,3n n n

x x c x n x ++=>=

=+L ,证明数列

{}n x 收敛,

且lim n n x →∞

=

证明:(一) 显然()()

()1313103,

1,2,333n n n n n

x x x n x x +++<=

<==++L

(二)由对于任何的2n ≥, ()()()

()()

11111313163333n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x --+--++--=

-=

++++ (1) (1)式说明1n n x x +-与1n n x x --同号.

如果1n n x x +-与1n n x x --均大于0,则说明{}n x 是单调增加的,且有上界3; 如果1n n x x +-与1n n x x --均小于0,则说明{}n x 是单调减少的,且有下界0.总之,根据单调有界原理知, {}n x 收敛.

(三) 设lim n n x a →∞

=,在()

1313n n n

x x x ++=

+两边取极限,得

()

313a a a

+=

+,解之,

有lim n n a x →∞==

六. (294P 第13题(2))设实数()2

110,,1,2,222

n

n x c c c x x n +≥==+

=L ,讨论

数列{}n x 敛、散性.

证明: (一)假设{}n x 收敛,并设lim n n x a →∞=,则由2

122

n

n x c x +=+

两边取极限,

得2

22

c a a =+

,即220a a c -+=,

解得1a =±

因此,当1c >时, {}n x 发散; (二)当01c ≤≤时,我们证明{}n x 是收敛的.

事实上,

(1)显然()01,2,n x n ≤=L ,且11;2

c

x =≤下面利用归纳法证明 对于任何的2n ≥,有.n x c ≤

事实上,若假设1,k x ≤则有2

11

1.222

k k x c x +=+≤= 故对于任何的

2n ≥,有 1.n x ≤总之, 对于任何的1n ≥,有0 1.n x ≤≤

(2)因为()()22

111

122222n n n n n n n n x x x x x x c c x x ---+-+????-=+-+=

????????

式说明1n n x x +-与1n n x x --同号.

如果1n n x x +-与1n n x x --均大于0,则说明{}n x 是单调增加的,且有上界1; 如果1n n x x +-与1n n x x --均小于0,则说明{}n x 是单调减少的,且有下界0.总之,根据单调有界原理知, {}n x 收敛.

且lim 1n n x →∞

=

七. (291P 第1题(3)、(4)) 求极限()()

1.3.521lim

2.4.62n n n →∞-L L

解:(一) 因为()()()2

2221.214142n n n n n -+=-<= (1)

故 ()()2

2221.3.5.721.21n n -+L

()()()()()()()()1.3.3.5 5.77.922212121n n n n =---+????????L (()1Q )

()2

2

2

2

2.4.6.2n

所以 ()()()()()2

2

2222222

1.3.521 1.3.5.721.211.

2.4.62212.4.62n n n n n n ??--+=??+??

L L L L (()2Q 1

21n <+ (3)

()(

)1.3.5212.4.62n n -<

L L (4)

(二)由(4)式 ()(

)1.3.5210 2.4.62n n -<

<

L L

且0,n =故由夹逼准则知, ()

()

1.3.521lim

0.2.4.62n n n →∞-=L L

(4)求

n 解:取()21

1,2,n n x n n

-=

=L ,根据课堂上讲过例26(注意到此题是用夹逼准则证明的):设{}n x 是实数序列,()0n x n >?, lim 0,n n x a

→∞

=>则 .n a =,有

21

lim 1.2n n n n

→∞-== 另解:记()

()

1.3.521,1,2,

2.4.62n n x n n -==L L L

则352111...242222n n x n n n -=≥?≥-L

(5) 又 由(3), ()()2

2

1.3.5211

2.4.6221n n x n n ??-=

+??

L L

2

1

21

n x n ?<

?<+ (6) 综合(5)、(6),得

<

因为1,n n ==

所以,由夹逼准则知,

1.n n ==

注: 上述另解中用到了结论,其证明方法1n =如下.

证明:记 1,n x =则1,n x ≥我们有

()()()22

1111.22

n

n n n n n n n n n x nx x x --=+=++

+≥L

由此,得 ()()210,2,3,2

n n n n x x n -≤≤

=L 且lim 0.n =

因此由夹逼准则知, )

lim lim

10,n n n x →∞

→∞

==故1n =.

八. (第292页第2题).证明:若lim n n x →∞

=+∞,则也有

12lim

.n

n x x x n

→∞+++=+∞L

证明:因为lim n n x →∞

=+∞,故对于任给的0M >,存在N ,使当n N >时,有

n x M > (1)

令12n n s x x x =+++L (2) 则

12.1n N n N N N N n s s s s s x x x N n n n n n N n ++-+++??

=+=+- ?-??L 3.1N s N M n n ??

>+- ??

? (3) 又因

()1

0,11,2

N s N n n n →-→>→∞故可取正整数,N N '>使当n N '>时,恒有 1

,1.222

N N s s M M N n n n --> (4)

于是,当n N '>时,恒有

13.13..22n N s s N M M M M n n n ??

>+->-+= ??

? 即证明了, 对于任给的0M >,存在正整数,N N '>使当n N '>时,恒有

12.n x x x M n +++>L 所以, 12lim .n

n x x x n →∞+++=+∞L

九. (第292页第3题).设: lim ,lim ,n n n n x a y b →∞

→∞

==证明:

1211

lim

.n n n n x y x y x y ab n

-→∞+++=L

证明:记1211

n n n n x y x y x y z n

-+++=

L ,1,2,n =L

因为lim ,lim ,n n n n x a y b →∞

→∞

==故我们有

,,n n n n x a y b αβ=+=+这里{}{},n n αβ为无穷小序列. 于是,

111211

.n

n

n n n n z ab b a n

n

n

ααββαβαβαβ-+++++++=+

+

+

L L L

无穷小序列也是有界序列,可设 n M β≤ 对.n ? 因为

121211

.n

n n n M n

n

ααααβαβαβ-++++++≤

L L

所以12.n M n ααα?+++?????

L 无穷小序列.

又因为1

,n b n αα++??????L 1n

a n ββ++??

???

?

L 也都是无穷小序列,所以, 1211

lim

.n n n n x y x y x y ab n -→∞+++=L

十. (第292页第6题).证明著名的施笃兹(Stolz)定理: 若数列{}{},n n x y 满足条件:

(1)121,n n y y y y -<<<<

=+∞→+∞ →()n +∞→∞;

(2)有极限1

1

lim

;n n n n n x x y y -→∞

---

则也有极限lim

,n n n x y →∞

且lim n n n x y →∞=1

1

lim .n

n n n n x x y y -→∞--- 证明: 假定1

1

lim

n n n n n x x a y y -→∞

--=-,由此,并注意到lim .n n y →∞=+∞,知

对于任给的0ε>,存在N ,使当n N >时,有

112n n n n x x a y y ε

----<- (且0n y >) (1)

于是,当n N >时

11,N N N N x x y y ++--2121121211,,,N N n n n n N N n n n n

x x x x x x

y y y y y y ++---++---------L (2)

都包括在,22a a εε?

?-+ ???之内,因为1n n y y +>,所以(2)式中那些分

数的分母都是正数,于是得

()()111;22N N N N N N a y y x x a y y εε+++?

?

?

?

-

-<-<+

- ? ??

?

?

?

()()212121;22N N N N N N a y y x x a y y εε++++++??

?

?

-

-<-<+

- ? ??

?

?

?

()()323232;22N N N N N N a y y x x a y y εε++++++???

?--<-<+- ? ????

?

L L L L L ()()111.22n n n n n n a y y x x a y y εε---??

?

?

-

-<-<+

- ? ??

?

?

?

上述各式相加,得

()().22n N n N n N a y y x x a y y εε???

?--<-<+- ? ?????

即.2

2

n N n N x x a a y y ε

ε

--

<

<+-故当n N >时,有

2

n N n N x x a y y ε

--<- (2)

另外,我们有,当n N >时

1.n N N N n N

n n n n N x x ay y x x a a y y y y y ????---=+-- ? ?-???? (3) 故

1.n N N N n N

n n n n N x x ay y x x a a y y y y y ??---≤+-- ?-?

?,注意到

11,.2

N n N n n N y x x a y y y ε

--

<-<-故有 .2n N N n n x x ay a y y ε--≤+ (4) 又注意到,对于上述的N ,因为lim n n y →∞

=+∞,所以,有

lim

0,N N

n n

x ay y →∞-=故可取()N N '>,使得当n N '>有

0.2

N N N N n n x ay x ay y y ε

--=-< (5) 于是,当n N '>时,有

.222n N N n n x x ay a y y εεεε--≤+<+=因此,依极限定义,知 1

1

lim

.n n n n n x x a y y -→∞

--=-

十一.(293P 页第9题)求()lim sin 2!n n en π→∞

????

解:由(见课本286287P -的推导) ()()()

()111111

1011!2!!1!1!1n n e n n n n θθ++=+

+++++<<+++L (1) 故()()()11111

2!2!11!2!

!1!1!1n en n n n n n θππ+??=++++++??+++??L

注意到sin 20,1,2,k k π==L

故 ()()122sin 2!sin 11n en n n θππ+??=+

? ?++??

于是

()()()112222lim sin 2!lim sin lim 2.1111n n n n n n en n n n n n n θθππππ++→∞→∞→∞????

=+=+=?? ? ??? ? ?

++++????

十二.(292P 页第4题)设()01,2,n y n >=L 且()1n n y y s n ++=→∞→∞L .证明:

若有极限lim n n x →∞

,则也有极限

112212lim

lim .n n

n n n n

x y x y x y x y y y →∞→∞+++=+++L L

证明:设lim n n x c →∞

=,则,n n x c α=+其中()lim 0.1,2,n n n α→∞

==L 于是

11221

12.n

k k

n n k n n

y x y x y x y c y y y s α=+++=+

+++∑L L (1)

记1

n

k

k

k n n

y s α

β==

∑,为方便起见,

又记

()1,2,,.k

nk n

y t k n s ==L , 则

1

n

n k nk k t βα==∑ (2)

显然有对于任意给定的()1,lim 0nk n k k n t →∞

≤≤=;且1

1,.n

nk k t n ==?∑ (3)

下面证明1

n

n k nk k t βα==∑为无穷小序列.

事实上,对于N m ∈?>?,0ε,使得,只要k m >,就有||2k αε< (4) 又因为对于任何给定的(),1,k k m ≤≤有lim 0.nk n t →∞

=,所以对这取定的m ,存在

k P N ∈,使当k n P >时,就有 ()

12,1,2,,.2nk m

t k m ε

ααα<

=+++L L

,又可取{}1max ,,,m p P P =L 则当p n >时,有

11 2.n nm m t t ααε+

我们记{}p m N ,m ax =.于是,当N n >时,有

()1111n n nm m m nn n n m t t t t βαααα++≤+++++L L

()(

)1.2

2

2

2

nn

n m t t ε

ε

ε

ε

ε+<

+++≤

+

=L

故1

n

n k nk k t βα==∑为无穷小序列.,

所以, 112212lim lim .n n

n n n n

x y x y x y c x y y y →∞→∞+++==+++L L

第一章 函数的极限

第二节 函数的极限

一.函数的极限的概念

(一)当∞→x 时函数的极限

1.引例:观察下述几个函数当x 无限增大时(即∞→x )的取值规律. (1).()1

f x x

=

; (2).()1

1,0,11,0.x x

f x x x

?-??

(3).();x x f = (4)..)(c x f ≡

大家注意到,这四个函数当∞→x 时,都有明显的取值规律:其中(1)x

x f 1

)(=

,无论→x +∞,还是-∞→x ,相应的函数值都无限的接近同一常数0,这时,我们就称)(x f 当∞→x 时有极限0.记为:

.01

lim

=∞→x

x (要会背).但(2)中,因为当→x +∞及-∞→x 时)(x f 虽分别无限接近于常数-1和1,但在“∞→x ”这个总体极限过程中不能稳定在同一常数附近,这时,仍称)(lim x f x ∞

→不存在.如果单独考察左、右

侧极限,它们却是分别存在的,分别为-1、1.记为:

.1)(lim ,1)(lim =-=+∞

→-∞

→x f x f x x 这里请大家务必区分开来.

至于(3),随x 无限增大,|)(|x f 也无限增大,)(x f 的取值永不稳定,这时,)(lim x f x ∞

→当然不存在.但为了强调|)(|x f 无限增大这一特点,

形式地记∞=∞

→)(lim x f x .

1.A x f x =∞

→)(lim 的定义

(1)(描述性定义:设函数)(x f y =当x M >(其中0M >为常数) 时有定义,如果随x 无限增大时,相应的)(x f 的值就无限地接近某一常数A ,则称)(x f 当“∞→x ”时有极限A (或收敛于A ).记为:

()A x f x =∞

→lim 或()()∞→→x A x f ,.

(2)(精确的数学定义):设函数)(x f y =当x M >(其中0M >为常数)时有定义,如果对0>?ε,(无论它多小)都0X M ?>>,使当x X >时,都有: ε<-|)(|A x f ,则称)(x f 当“∞→x ”时有极限A (或收敛于A ).记为:()A x f x =∞

→lim 或()()f x A x →→∞.

注意:

(1).请大家思考一下单侧极限 A x f A x f x x ==-∞

→+∞

→)(lim ,)(lim 应如何定义?

(2).()A x f x =∞

→lim 的几何解释(作图说明):对0>?ε,在xoy 平面上

分别作两条平行直线εε+=-=A y A y ,,则必存在0X >,使当x X

>

时,函数)(x f y =的图形总位于这两条平行直线之间. (3).由引例,显然有

定理1. ()()()lim ,lim lim .x x x f x A f x A f x A →-∞

→∞→+∞?=?=??=??

(4).请记住:

lim 0,lim ,lim arctan ,lim arctan .2

2

x x x x x x e e x x π

π

→-∞

→+∞

→-∞

→+∞

==+∞=-

=

例1.证明:11

lim

=+∞→x x

x 证明:对0>?ε,要使1

|()||

1|1|1|

x f x A x x ε-=-=<++ 由.11

||1||1|1|11|||1|+≥?<-≤+?-≥+ε

εx x x x x 故取11

+=

ε

X ,则当X x >||时,就有()ε<-||A x f .

依定义:11

lim

=+∞→x x

x .

(二)当0x x →时函数的极限

1.引例:观察下述几个函数当0→x 时的取值规律 (1)x x f =)(;

(2)()1,0,

1,0.x x f x x x -?

(3)()x

x f 1=

. 2.0

lim ()x x f x A →=的定义

(1)(描述性的定义)设函数)(x f y =在0x 的某个去心邻域内有定义.如果当x 无限地接近于0x 时,相应地)(x f 的值就无限地接近某一个常数A ,这时,就称函数在点0x 处有极限(或收敛于)A.记为:()0

lim x x f x A

→=或()()0,f x A x x →→.

(2)(精确的数学定义):设函数)(x f y =在0x 的某个去心邻域0U x ∧??

???

有定义,如果对0>?ε(无论它多小),都0>?δ,使当00||x x δ<-<时

(即0x U x ∧??

∈ ???

时)都有()ε<-||A x f ,这时,就称函数在点0x 处有极

限(或收敛于)A.记为:()0

lim x x f x A →=或()()0,f x A x x →→.

注意:

(1)上述定义中为何要强调“去心邻域”? (2)仿上述精确的数学定义,如何定义单侧极限

)(lim ),(lim 0

0x f x x f x x x +-→→? (3)()0

lim x x f x A →=的几何解释:(作图说明):对0>?ε,在xoy 平面上

分别作两条平行直线εε+=-=A y A y ,,则必存在点0x 的-δ邻域,使这邻域内的全部点(除0x 所对应的函数|)(x f y =的图形总位于这两条平行直线之间. (4)显然,有:

定理2.()()0

lim lim ,x x x x f x A f x A -→→=?=()0

lim x x f x A +

→=且. 例2.证明:0

0lim x x x x →=(其中0x 为常数,此结论要会背).

证明:对0>?ε,要使 0|()|||f x A x x ε-=-<,

只须取εδ=,则当00||x x δ<-<时,0|()|||f x A x x δε-=-<=. 依定义,0

0lim x x x x →=.

例3.证明:22

lim 4x x →=(请大家先猜猜极限值是多少?有何想法没有?)

证明:不妨设1|2|≤-x (为何能这样假设?)5331≤≤?≤≤?x x . 对0>?ε,要使

2|()||4||2||2|5|2||2|5

f x A x x x x x ε

ε-=-=+-≤-

故取?

??

???=5,1min εδ,则当δ<-<|2|0x 时,有

2|()||4|5|2|55.5

f x A x x ε

δε-=-≤-<≤=

例1.讨论x

x x |

|lim

0→ 解:因为;10lim ||0lim -=-=--

→→x x x x x x 10lim ||0lim ==++→→x x

x

x x x , 所以,x

x x |

|lim

0→不存在!(此结论要会背). 二.函数极限的性质

注意到函数极限共有六种(哪六种?)形式,本节仅就最为常用的

lim ()x x f x A →=为例讲述。对其他五种形式的极限也有相应的性质,只

不过在叙述或表现方式上要稍作调整. 1.局部有界性

定理4.如0

lim ()x x f x A →=,则必00,0M δ?>?>,使得,当000||x x δ<-<时,

有M x f ≤|)(|.

证明:因为0

lim ()x x f x A →=,所以对010,0,εδ=>?>使当

000||x x δ<-<时,M A x f A x f A x f ∧

=+

2.函数极限的唯一性

定理3设0

lim ()x x f x →存在,则它的极限一定唯一.

证明:(反证法)请同学们参考数列极限的唯一性的证法自证. 3.保序性

定理5.如()()0

lim ,lim .x x x x f x A g x B →→==且.B A <则00,δ?>使当

000||x x δ<-<时,()()x g x f <.

证明:可仿定理3证之.

推论1.如()()0

lim ,lim .x x x x f x A g x B →→==且00,δ?>使当

δ

0||0<-

证明:(反证)

注意:即使()()x g x f <,仍可能有B A =.如:

()()2,0,,0.1,0.

x x f x g x x ?≠=≡?=?

推论2.(保号性)如()A x f x x =→0lim 且0>A ()0<,则00,δ?>使

当000||x x δ<-<时,())0(0<>x f . 证明:定理5中,取()0≡x g 即可.

三.函数极限的四则运算的法则

定理6.若函数()()x g x f ,均在0x 处存在极限:

()()0

lim ,lim .x x x x f x A g x B →→==则

(1)()()()()0

lim lim lim x x x x x x f x g x f x g x A B →→→+=+=+????; (2)()()()()0

lim .lim .lim .x x x x x x f x g x f x g x A B →→→==????;

(3)()()()()0

00lim lim lim x x x x x x f x f x A g x g x B

→→→??==????.(B )0≠ (4)若()0

lim 0x x

f x →=,且()x

g 在0x 处局部有界,则

()()0

lim 0x x f x g x →=????.

(不证,有兴趣的同学可作为课外练习自证.)

例1.求2221lim 345

x x x x x →∞++++.

例2.求221

lim

345

x x x x →∞+++.

例3.求()()

()

2030

502132lim 21x x x x →∞

--+.

例4.求2

sin lim

x x

x →∞.

例5.求211

lim 1

x x x →--.(比喻:以毒攻毒法)

例6.求1

1lim

1

-+→x x x .

例7.

求lim )x x →+∞

.

例8.求231

61lim 396x x x →??-= ?--?

?. 例9.()223,1,,12,22, 2.x x x f x x x x x ?+-≤?

=<

,求()()()x f x f x f x x x 1

21lim ,lim ,lim -→→→.

例10.已知2lim 01x x ax b x →∞??

--= ?+??

,b a ,为常数,求b a ,的值.

例11.324

lim (1

x x ax x b b x →∞--+=+为有限常数),求b a ,的值.

四.函数极限与数列极限的关系(Heine 定理)

定理7.()0

lim x x f x A →=?对任何数列{}0,n n x x x ≠,且0lim n n x x →∞

=,有

()lim n n f x A →∞

=.(注意其中的“任何”二字)

证明:?设()0

lim x x f x A →=,根据函数极限的定义,即

对0,0>?>?δε,使当00||x x δ<-<时,都有

()ε<-||A x f (1) 对上述的0>δ,由于已知任何数列{}0,n n x x x ≠, 0lim n n x x →∞

= ,

所以N ?,使当N n >时,就有

00||n x x δ<-<成立. (2)

所以对0>?ε,N ?,使当N n >时,()||n f x A ε-<.所以,依数列极限的定义:()lim n n f x A →∞

=.

?(反证)假设()0

lim x x f x A →≠.根据函数极限的定义的否定叙述,则

00,ε?>使对δ?,即使00||x x δ<-<,都有

()0||f x A ε-≥成立. (*) 在(*)式中分别取

11δ=,则1x ?,使当1010||x x δ<-<,但()10||f x A ε-≥. 112

δ=,则2x ?,使当2020||x x δ<-<,但()20||f x A ε-≥.

M

1

n n

δ=,则n x ?,使当00||n n x x δ<-<,但()0||n f x A ε-≥.

M

于是,构造出一个数列{}0,n n x x x ≠ ,因为1

0n n

δ=→,所以

0lim n n x x →∞

=,但()lim n n f x A →∞

≠,与已知条件矛盾!

五.函数极限存在的判别法

1.定理8.(夹逼准则)设

(1)0,U x δ∧??? ???,使当0,x U x δ∧??

∈ ???

时,()()()x h x f x g ≤≤;

(2)()()0

lim lim x x x x g x h x A →→==.

则()0

lim x x f x A →=.(注意:其他形式的夹逼准则如何叙述?)

例17.证明:1cos lim 0

=→x x

证明:只须证明其等价结论:()0cos 1lim 0

=-→x x

事实上,当2

||0π

<

()2

2201cos 2sin 200222x x x x x ??≤-=≤=→→ ???

函数与数列的极限的强化练习题答案(含详细分析)

第一讲:函数与数列的极限的强化练习题答案 一、单项选择题 1.下面函数与y x =为同一函数的是() 2 .A y= .B y= ln .x C y e =.ln x D y e = 解:ln ln x y e x e x === Q,且定义域 () , -∞+∞,∴选D 2.已知?是f的反函数,则() 2 f x的反函 数是() () 1 . 2 A y x ? =() .2 B y x ? = () 1 .2 2 C y x ? =() .22 D y x ? = 解:令() 2, y f x =反解出x:() 1 , 2 x y =?互 换x,y位置得反函数() 1 2 y x =?,选A 3.设() f x在() , -∞+∞有定义,则下列函数 为奇函数的是() ()() .A y f x f x =+- ()() .B y x f x f x =-- ?? ?? () 32 .C y x f x = ()() .D y f x f x =-? 解:() 32 y x f x = Q的定义域() , -∞+∞且 ()()()()() 3232 y x x f x x f x y x -=-=-=- ∴选C 4.下列函数在() , -∞+∞内无界的是() 2 1 . 1 A y x = + .arctan B y x = .sin cos C y x x =+.sin D y x x = 解: 排除法:A 2 1 122 x x x x ≤= + 有界, B arctan 2 x π <有界, C sin cos x x +≤ 故选D 5.数列{}n x有界是lim n n x →∞ 存在的() A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 解:Q{}n x收敛时,数列n x有界(即 n x M ≤),反之不成立,(如() {}11n--有界, 但不收敛, 选A 6.当n→∞时,2 1 sin n 与 1 k n 为等价无穷小, 则k= () A 1 2 B 1 C 2 D -2 解:Q 2 2 11 sin lim lim1 11 n n k k n n n n →∞→∞ ==,2 k=选C 二、填空题(每小题4分,共24分) 7.设() 1 1 f x x = + ,则() f f x ?? ??的定义域 为

第一讲数列地极限典型例题

第一讲 数列的极限 一、内容提要 1.数列极限的定义 N n N a x n n >?N ∈?>??=∞ →,,0lim ε,有ε<-a x n . 注1 ε的双重性.一方面,正数ε具有绝对的任意性,这样才能有 {}n x 无限趋近于)(N n a x a n ><-?ε 另一方面,正数ε又具有相对的固定性,从而使不等式ε<-a x n .还表明数列{}n x 无限趋近于a 的渐近过程的不同程度,进而能估算{}n x 趋近于a 的近似程度. 注2 若n n x ∞ →lim 存在,则对于每一个正数ε,总存在一正整数N 与之对应,但这种N 不是 唯一的,若N 满足定义中的要求,则取Λ,2,1++N N ,作为定义中的新的一个N 也必须满足极限定义中的要求,故若存在一个N 则必存在无穷多个正整数可作为定义中的N . 注3 a x n →)(∞→n 的几何意义是:对a 的预先给定的任意-ε邻域),(εa U ,在{}n x 中至多除去有限项,其余的无穷多项将全部进入),(εa U . 注4 N n N a x n n >?N ∈?>??≠∞ →00,, 0lim ε,有00ε≥-a x n . 2. 子列的定义 在数列{}n x 中,保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为{}n x 的子列,记为{} k n x ,其中k n 表示k n x 在原数列中的项数,k 表示它在子列中的项数. 注1 对每一个k ,有k n k ≥. 注2 对任意两个正整数k h ,,如果k h ≥,则k h n n ≥.反之,若k h n n ≤,则k h ≤. 注3 K k K a x k n n >?N ∈?>??=∞→,, 0lim ε,有ε<-a x k n . 注4 ?=∞ →a x n n lim {}n x 的任一子列{} k n x 收敛于a . 3.数列有界 对数列{}n x ,若0>?M ,使得对N n >?,有M x n ≤,则称数列{}n x 为有界数列. 4.无穷大量 对数列{}n x ,如果0>?G ,N n N >?N ∈?,,有G x n >,则称{}n x 为无穷大量,记 作∞=∞ →n n x lim .

上海高中数学数列的极限(完整资料)

【最新整理,下载后即可编辑】 7.6 数列的极限 课标解读: 1、理解数列极限的意义; 2、掌握数列极限的四则运算法则。 目标分解: 1、数列极限的定义:一般地,如果当项数n 无限增大时,无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a (即||a a n -无限地接近于0),那么就说数列{}n a 以a 为极限。 注:a 不一定是{}n a 中的项。 2、几个常用的极限:①C C n =∞→lim (C 为常数);②01lim =∞→n n ;③ ) 1|(|0lim <=∞ →q q n n ; 3、数列极限的四则运算法则:设数列{}n a 、{}n b , 当 a a n n =∞ →lim , b b n n =∞ →lim 时,b a b a n n n ±=±∞→)(lim ; b a b a n n n ?=?∞ →)(lim ; )0(lim ≠=∞→b b a b a n n n 4、两个重要极限: ① ?? ???<=>=∞→00100 1lim c c c n c n 不存在

②?? ???-=>=<=∞ →11||111||0 lim r r r r r n n 或不存在 问题解析: 一、求极限: 例1:求下列极限: (1) 3 21 4lim 22 +++∞→n n n n (2) 2 4323lim n n n n n -+∞→ (3) )(lim 2n n n n -+∞ → 例2:求下列极限: (1) )23741(lim 2222n n n n n n -++++∞→ ; (2) ])23()13(11181851521[lim +?-++?+?+?∞→n n n 例3:求下式的极限:

高考数学二轮复习 数列、极限、数学归纳法(1)

2008高考数学二轮复习数列、极限、数学归纳法(1) 教学目标: 1.理解数列的有关概念,了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前n项. 2.理解等差(比)数列的概念,掌握等差(比)数列的通项公式与前n项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题. 教学重点: 理解数列的有关概念,了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前n项. 教学难点: 理解等差(比)数列的概念,掌握等差(比)数列的通项公式与前n项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题. 教学方法设计:“五步”教学法 教学用具:三角板多媒体 板书设计 一、知识框架 二、典型例题 三、总结 四、检测 教学过程 一、出示教学目标。

理解数列的有关概念,了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前n 项. 理解等差(比)数列的概念,掌握等差(比)数列的通项公式与前n 项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题. 二、组织基础知识结构,构建知识网络。 三、典型例题引路。 【例1】 已知由正数组成的等比数列{}n a ,若前n 2项之和等于它前n 2项中的偶数项之和的11倍,第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍,求数列{}n a 的通项公式. 解:∵q =1时122na S n =,1na S =偶数项 又01>a 显然11112na na ≠,q ≠1 ∴2212121)1(1)1(q q q a S q q a S n n n --==--=偶数项 依题意2 21211)1(111)1(q q q a q q a n n --?=--;解之101 = q 又421422143),1(q a a a q q a a a =+=+,

数列极限练习题

3322 11 1321.lim _____212.lim _____3(5)33.lim _____(5)3 4 4.lim ______1234....(21)2 5.lim _____1 (2)6.lim ______124...(2)7.lim(n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞++→∞→∞ →∞+-→∞→∞+=++=+-+=-+=-+-++--=--=-+-+-数列极限练习题 21213)______211118.lim ....(1)______3927319.lim 0,____,_____110.(1)lim(12),_____ (2)4,__11.lim(2)5,lim n n n n n n n n n n n n n n an b a b n x x a a b -→∞→∞ →∞ →∞ →∞ --=+??-+++-=??????+--=== ?+?? -+=则若存在则实数范围已知无穷等比数列的各项和是则首项的取值范围是已知{}1 (3)1,lim()1 13(1) 12.,1342(1)lim (2)lim n n n n n n n n n n n n n a b a b n n n a S a n n a S →∞ -→∞ →∞ -=-??≤≤?+?=???≥??求的值 若为数列的前项和求

{}{}12123101511113.,9,27,,lim 31 14.,1,,, 32lim 15.,321111lim 4lim 1....(1),323927316.{},{}0n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a n S S S a a n S S S a R a a a a b →∞ →∞ ++--→∞→∞+===-=∈-??=-+-++-??+??数列为等比数列前项和为求数列为等比数列前项和为求已知且 求范围 数列都是公差不为的等差数列12211212 22 1121 ,lim 2, ...lim 17.{},1,(...)18.{}(0),,,lim ,lim ...19.{},,lim n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a b a a a nb a a a k a a k a q q a a S S n S S a a a a q n S a S →∞→∞++→∞→∞++→∞=+++==++>=++=求数列为无穷等比数列求实数的范围 数列是公比为的无穷等比数列前项和为求无穷等比数列公比为前项和为2423521 111,1...20.lim ...121.{},lim()12 n n n n n n q q a a a a a a a a a q q q a -→∞→∞-++++++++-= +求范围求等比数列公比为求取值范围

最新3第一讲__数列的极限典型例题汇总

3第一讲__数列的极限典型例题

第一讲 数列的极限 一、内容提要 1.数列极限的定义 ?Skip Record If...?,有?Skip Record If...?. 注1 ?Skip Record If...?的双重性.一方面,正数?Skip Record If...?具有绝对的任意性,这样才能有 ?Skip Record If...?无限趋近于?Skip Record If...? 另一方面,正数?Skip Record If...?又具有相对的固定性,从而使不等式?Skip Record If...?.还表明数列?Skip Record If...?无限趋近于?Skip Record If...?的渐近过程的不同程度,进而能估算?Skip Record If...?趋近于?Skip Record If...?的近似程度. 注2若?Skip Record If...?存在,则对于每一个正数?Skip Record If...?,总存在一正整数?Skip Record If...?与之对应,但这种?Skip Record If...?不是唯一的,若?Skip Record If...?满足定义中的要求,则取?Skip Record If...?,作为定义中的新的一个?Skip Record If...?也必须满足极限定义中的要求,故若存在一个?Skip Record If...?则必存在无穷多个正整数可作为定义中的?Skip Record If...?. 注3?Skip Record If...??Skip Record If...?的几何意义是:对?Skip Record If...?的预先给定的任意?Skip Record If...?邻域?Skip Record If...?,在?Skip Record If...?中至多除去有限项,其余的无穷多项将全部进入?Skip Record If...?. 注4?Skip Record If...?,有?Skip Record If...?. 2.子列的定义

3第一讲__数列地极限典型例题

第一讲 数列的极限 一、容提要 1.数列极限的定义 N n N a x n n >?N ∈?>??=∞ →,,0lim ε,有ε<-a x n . 注1 ε的双重性.一方面,正数ε具有绝对的任意性,这样才能有 {}n x 无限趋近于)(N n a x a n ><-?ε 另一方面,正数ε又具有相对的固定性,从而使不等式ε<-a x n .还表明数列{}n x 无限趋近于a 的渐近过程的不同程度,进而能估算{}n x 趋近于a 的近似程度. 注2 若n n x ∞ →lim 存在,则对于每一个正数ε,总存在一正整数N 与之对应,但这种N 不是 唯一的,若N 满足定义中的要求,则取 ,2,1++N N ,作为定义中的新的一个N 也必须满足极限定义中的要求,故若存在一个N 则必存在无穷多个正整数可作为定义中的N . 注3 a x n →)(∞→n 的几何意义是:对a 的预先给定的任意-ε邻域),(εa U ,在{}n x 中至多除去有限项,其余的无穷多项将全部进入),(εa U . 注4 N n N a x n n >?N ∈?>??≠∞ →00,, 0lim ε,有00ε≥-a x n . 2. 子列的定义 在数列{}n x 中,保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为{}n x 的子列,记为{} k n x ,其中k n 表示k n x 在原数列中的项数,k 表示它在子列中的项数. 注1 对每一个k ,有k n k ≥. 注2 对任意两个正整数k h ,,如果k h ≥,则k h n n ≥.反之,若k h n n ≤,则k h ≤. 注3 K k K a x k n n >?N ∈?>??=∞→,, 0lim ε,有ε<-a x k n . 注4 ?=∞ →a x n n lim {}n x 的任一子列{} k n x 收敛于a . 3.数列有界 对数列{}n x ,若0>?M ,使得对N n >?,有M x n ≤,则称数列{}n x 为有界数列. 4.无穷大量 对数列{}n x ,如果0>?G ,N n N >?N ∈?, ,有G x n >,则称{}n x 为无穷大量,记

数学分析-数列极限

第二章 数列极限 §1 数列极限概念 教学目的与要求: 使同学们理解数列极限存在的定义,数列发散的定义,某一实数不是数列极限的定义;掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。 教学重点,难点: 数列极限存在和数列发散定义的理解;切实掌握数列收敛发散的定义,利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。 教学内容: 一、课题引入 1°预备知识:数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。 2°实例:战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰, 日取其半,万古不竭。”将其“数学化”即得,每天截后剩余部分长度为(单位尺) 21,221,321,……,n 21 ,…… 或简记作数列:? ?????n 21 分析:1°、? ?? ???n 21随n 增大而减小,且无限接近于常数0; 2 二、数列极限定义 1°将上述实例一般化可得:

对数列{}n a ,若存在某常数a ,当n 无限增大时,a n 能无限接近常数a ,则称 该数为收敛数列,a 为它的极限。 例如:? ?? ???n 1, a=0; ??? ? ??-+n n )1(3, a=3; {}2 n , a 不存在,数列不收敛; {}n )1(-, a 不存在,数列不收敛; 2°将“n 无限增大时”,数学“符号化”为:“存在N ,当n >N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对? ?? ? ??-+n n )1(()3以3为极限,对ε= 10 1 3)1(3--+ =-n a a n n =10 11π n 只需取N=10,即可 3°“抽象化”得“数列极限”的定义 定义:设{}n a 是一个数列,a 是一个确定的常数,若对任给的正数ε,总存在 某一自然数N ,使得当n >N 时,都有 a a n -<ε 则称数列{}n a 收敛于a ,a 为它的极限。记作 a a n n =∞ →lim {(或a n →a,(n →∞)) 说明 (1)若数列{}n a 没有极限,则称该数列为发散数列。 (2)数列极限定义的“符号化”记法:a a n n =∞ →lim ? ε ?>0,?N ,当n (3)上述定义中ε的双重性:ε>0是任意..

考研数列极限计算汇总

数列极限及其计算(习题部分) 数列极限存在性的证明以及数列极限的计算,是考研数学的重难点,有时会命制成压轴题。 在考研范围内,数列极限计算常用的方法主要有单调有界准则、夹逼准则、初等变形、定积分定义、归结原理、级数收敛的必要条件、转化为幂级数求和等。本章部分题目涉及到后续章节的知识(如利用定积分定义求极限),自学本讲义的同学可暂时跳过。 题型一、递推数列的极限 (一)单调有界准则 例题1设,证明收敛并求极限值 注:利用单调有界准则证明递推数列的收敛性,是常考题型。在具体证明单调性和有界性时,常用到一些经典的不等式放缩,如均值不等式,柯西不等式等等;有时也可用数学归纳法证明。(在进行含有自然数的命题的证明时,我们常常可以考虑数学归纳法,这是一个很好用也很流氓的一个方法。) 类题1,证明收敛并求极限值 类题2设,证明收敛并求极限值 注:若题干改为,问此时是否收敛,该如何 证明?若将减弱为,又该如何证明? 类题3,证明收敛并求极限值 [注]:此题对于极限值的取舍才是关键点,这是很多辅导书都没有讲清楚的地方,希望大家好好思考。 类题4设数列,证明收敛并求极限 类题5设可导,且,对于数列,有。证明数列收敛, 且极限值满足方程 类题6,证明收敛并求极限值 类题7(2018年数学二压轴题)设,证明收敛并求极限 注:这题是我当年考研时的原题,当时考完以后,很多人就在吹这个题多么的不常规,是考研史上最难的数列极限题。也正常,弱者总喜欢找各种理由。 例题2 设,证明收敛 注:①.该题说明,某些不是递推型的数列,也可以用单调有界准则来证明 ②.是一个非常重要的极限,我们将这个极限值定义为欧拉常数, 即。该题表明,当的时候,和是等价无穷

求极限的方法及例题总结

1.定义: 说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明,例如:;5 )13(lim 2 =-→x x (2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2.极限运算法则 定理1 已知)(lim x f ,)(lim x g 都存在,极限值分别为A ,B ,则下面极限都存在,且有(1)B A x g x f ±=±)]()(lim[ (2)B A x g x f ?=?)()(lim (3) )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用。

. 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下,要使用这些法则,往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后,再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解:原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注:本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解:原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→

高考数学专题三 数列与极限

专题三数列与极限 【考点聚焦】 考点1:数列的有关概念,简单的递推公式给出的数列; 考点2:等差、等比数列的概念,等差、等比数列的通项公式,前n项和公式,并运用它们解决一些问题; 考点3:数列极限的意义,极限的四则运算,公比的绝对值小于1的无穷等比数列的前n 项和的极限; 考点4:数学归纳法 【自我检测】 1、_________________叫做数列。 3、无穷等比数列公比|q|<1,则各项和S=______。 4、求数列前n项和的方法:(1)直接法;(2)倒序相加法;(3)错位相减法;(4) 分组转化法;(5)裂项相消法. 【重点?难点?热点】 问题1:等差、等比数列的综合问题 “巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要,但用“基本量法”并树立“目标意识”,“需要什么,就求什么”,既要充分合理地运用条件,又要时刻注意题的目标,往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果 例1:设等比数列{a n}的各项均为正数,项数是偶数,它的所有项的和等于偶数项和的4倍,且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍,问数列{lg a n}的前多少项和最大?(取lg2=03,lg3=04) 思路分析突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列,而等差数列中前n项和有最大值,一定是该数列中前面是正数,后面是负数,当然各正数之和最大;另外,等差数列S n是n的二次函数,也可由函数解析式求最值

解法一 设公比为q ,项数为2m ,m ∈N *,依题意有 ??? ? ?+=?--?=--?)(9)()(1)1(1)1(312131122121q a q a q a q a q q q a q q a m m ,化简得?????==?????+==+10831 , ),1(9114121 a q q q a q q 解得 设数列{lg a n }前n 项和为S n ,则 S n =lg a 1+lg (a 1q 2)+…+lg (a 1q n -1)=lg (a 1n ·q 1+2+…+(n - 1)) =n lg a 1+ 21n (n -1)·lg q =n (2lg2+lg3)-21 n (n -1)lg3 =(-23lg )·n 2+(2lg2+2 7lg3)·n 可见,当n =3lg 3lg 272lg 2+时,S n 最大 而4 .024.073.043lg 3 lg 272lg 2??+?= +=5, 故{lg a n }的前5项和最大 解法二 接前,3 1,1081= =q a ,于是lg a n =lg [108(31)n -1]=lg108+(n -1)lg 31, ∴数列{lg a n }是以lg108为首项,以lg 3 1 为公差的等差数列, 令lg a n ≥0,得2lg2-(n -4)lg3≥0, ∴n ≤4 .04 .043.023lg 3lg 42lg 2?+?=+=5 5 由于n ∈N *,可见数列{lg a n }的前5项和最大 点评 本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则,等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力 演变1 等差数列{a n }的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它前3m 项的和为_______ 点拨与提示:本题可以回到数列的基本量,列出关于d 1和a 的方程组,然后求解;或运用等差数列的性质求解. 问题2:函数与数列的综合题 数列是一特殊的函数,其定义域为正整数集,且是自变量从小到大变化时函数值的序列。注意深刻理解函数性质对数列的影响,分析题目特征,探寻解题切入点. 例2:已知函数f (x )= 4 12 -x (x <-2) (1) 求f (x )的反函数f -- 1(x ); (2) 设a 1=1, 1 1+n a =-f --1 (a n )(n ∈N *),求a n ; (3)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,b n =S n +1-S n 是否存在最小正整数m ,使得对任意n ∈N *,有

数列的极限经典习题

Chap1 数列的极限 1. 设()01,2, n x n >=及lim n n x a →∞ =,用N ε-语言, 证明 : n =. 证 0n x >, 0a ∴≥. (1) 当0a =时, 那么lim 0n n x →∞ =, 下证0n =. 0ε?>, 则存在0N >, 当n N >时, 200n n x x ε<=-<. ε<, 0ε<. 0n ∴=. (2) 当0a >时, 0ε?>, 存在0N >, 当n N >时 , n x a -<. ε= < < . n ∴= 综上两方面 ,即证. 2. 已知lim n n x a →∞ =, 用N ε-语言, 证明 : n = 证 (1) 当0a =时, 那么lim 0n n x →∞ =, 0ε?>, 存在0N >, 当n N >时, 2 n x ε<; ε<, 此即0n ==. (2) 当0a ≠时, 因为 2 2 2 2 2 33 04 4 +=+ ≥>. 令2 3 4 M = , lim n n x a →∞ =, 则对0ε?>,存在0N >, 当n N >时,有 n x a M ε-<. 2 2 n x a -= 1 n x a M M M εε-≤ < ?= n ∴=

3. (算术平均收敛公式)设lim n n x a →∞ =.令12n n x x x n ξ+++= , 求证:lim n n a ξ→∞=. 证法1 由施笃兹公式 12lim lim n n n n x x x n ξ→∞ →∞+++= ()() () 12121lim 1n n n x x x x x x n n -→∞ ++ +-++ +=-- lim n n x a →∞ ==. 证法 2 由lim n n x a →∞ = , 则0ε?>, 存在10N >, 使当1n N >时, 有 2 n x a ε -<. ① ( ) 1112111 n N N n x x x a x a x a x a x a n n +++ +-≤ -++-+-+ +- 令111N c x a x a =-++-, 那么 1212 n x x x n N c a n n n ε++ +--≤ +? . ② 存在20N >, 使当2n N >时, 有 2 c n ε <. 再令{}12max ,N N N =, 故当n N >时, 由①,②有 1212 222 n x x x n N a n n ε εεε ε++ +--< + ?<+=. 12lim lim n n n n x x x a n ξ→∞ →∞++ ∴==. 4. (几何平均收敛公式)设()01,2, n x n >=. 且lim n n x a →∞ =. 证明: n a =. 证 lim n n x a →∞ =, limln ln n n x a →∞ ∴=. 再由算术平均收敛公式可知 ()121 ln ln ln ln lim n x x x a n n n e e a ++→∞ ∴===. 5. 证明: 1n =, 其中1a >. 证 令1 1n a α-= ,则0α>, 依伯努利不等式, 有 ()() 1 1111n n a n n a αα=+≥+=+-,

高中数列极限练习题

高中数列极限练习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

数列极限 1.极限概念:一般地,当项数n 无限增大时,无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个常数A (即n a A -无限地接近于0),那么就说数列{}n a 以A 为极限,或者说A 是数列{}n a 的极限。 (由于要“无限趋近于”,所以只有无穷数列才有极限)。 记法:lim n n a A →+∞ =; 读作:“当n 趋向于无穷大时,n a 的极限等于A ”; 注意:(1)}{n a 是无穷数列; (2)数值变化趋势:递减的、递增的、摆动的; (3)不是所有数列都存在极限;如:21,n a n n N *=-∈; 2.极限第二定义:对于无穷数列{}n a ,若存在一个常数A ,对于任意小的正数 ε,总存在自然数m N *∈,使得当n m >时,n a A ε-<恒成立,则称A 是数列 {}n a 的极限。 说明: lim n n a A →+∞ =的几何意义:从几何上看,数列{}n a 的极限为A ,是指以A 为中心的 区间(,)A A εε-+,必然从某项1m a +起,后面的所有项都落在区间(,)A A εε-+之中。换句话说,数列{}n a 至多有m 项123,,,...,m a a a a 落在区间(,)A A εε-+之外。 例1.求下列无穷数列极限: (1)数列 ,21 ,,161,81,41,21n ; (2)数列 ,1, ,43,32,21+n n ; (3)数列 ,)1(, ,31,21,1n n ---; 例2.判断下列数列是否有极限,若有,写出极限;若没有,说明理由 (1)111 1,,,...,,...23n ;

第二章极限题及答案:极限的四则运算

分类讨论求极限 例 已知数列{}n a 、{}n b 都是由正数组成的等比数列,公比分别为q p ,,其中q p >,且1≠p ,1≠q ,设n n n b a c +=,n S 为数列{}n C 的前n 项和,求1lim -∞→n n n S S . (1997年全国高考试题,理科难度0.33) 解: ()() 1 1 1111--+--=q q b p p a S n n n ()( )()() ()( )()( ) 1 1111 1111111111--+----+--= ---n n n n n n q p b p q a q p b p q a S S . 分两种情况讨论; (1)当1>p 时,∵ 0>>q p ,故10<< p q , ∴1 lim -∞→n n n S S ()()()()????? ? ?????????????????? ??--+???? ??--?????????? ??--+???? ??-------1111111111111111111lim n n n n n n n n n n p p q p b p q a p p p q p b p q a p ()()()()()()010110 10111111?-+--?-+--? =p b q a p b q a p ()() p q a q a p =--? =1111 (2)当1

数列极限例题

三、数列的极限 观察数列})1(1{1 n n --+当∞→n 时的变化趋势. 问题: 当n 无限增大时, n x 是否无限接近于某一确定的数值?如果是, 如何确定? 通过上面演示实验的观察: 当n 无限增大时, n x n n 1 )1(1--+=无限接近于1. 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它. =-1n x n n n 11)1(1 =-- 给定,1001 由,10011n 时, 有,100 11<-n x 给定,10001只要1000>n 时, 有,1000 11<-n x 给定,100001只要10000>n 时, 有,10000 11<-n x 给定,0>ε只要])1[(ε =>N n 时, 有ε<-1n x 成立. 定义 如果对于任意给定的正数ε(不论它多么小), 总存在正整数N , 使得对于N n >时的一切n x , 不等式ε<-a x n 都成立, 那末就称常数a 是数列n x 的极限, 或者称数列n x 收敛于a , 记为 ,lim a x n n =∞ → 或).(∞→→n a x n 如果数列没有极限, 就说数列是发散的. 注意: N -ε定义,0,0lim :>?>??=∞ →N a x n n ε 使N n >时, 恒有.ε<-a x n 其中记号:?每一个或任给的; :?至少有一个或存在. 数列收敛的几何解释: 当N n >时, 所有的点n x 都落在),(εε+-a a 内, 只有有限个(至多只有N 个)落在其外. 注意:数列极限的定义未给出求极限的方法. 121+N 3

例1 证明.1)1(lim 1 =-+-∞→n n n n 证 注意到1-n x 1)1(1--+=-n n n n 1=. 任给,0>ε 若要,1ε<-n x 只要,1εn 所以, 取 ],1 [ε =N 则当N n >时, 就有 ε<--+-1)1(1 n n n . 即.1)1(lim 1 =-+-∞→n n n n 重要说明:(1)为了保证正整数N ,常常对任给的,0>ε给出限制10<<ε; (2)逻辑“取 ],1 [ε=N 则当N n >时, 就有ε<--+-1)1(1 n n n ”的详细推理见下,以后不再重复说明或解释,对函数极限同样处理逻辑推理. 由于111+<≤??????=N N ε ε,所以当N n >时一定成立ε11>+≥N n ,即得εε 不妨取10<<ε, 若要1-n x =1)1(1--+=-n n n n 1=<ε ,只要 ,1ε>n 所以, 取 ],1[ε=N 则当N n >时, 由于111+<≤??????=N N ε ε,所以当N n >时一定成立ε11>+≥N n ,即得εε寻找N , 但不必要求最小的N. 例3证明0lim =∞→n n q , 其中1

7.7.3 数列的极限(含答案)

【课堂例题】 例1.利用||1,lim 0n n a a →∞ <=,计算下列极限: (1) 3 lim 0.2 n n +→∞ (2) 42 1lim() 3 n n -→∞ (3) 1 lim 216 n n →∞- 例2.模仿例1,求极限: (1) 25lim 45n n n n n →∞-+ (2) 21 21 (3)4lim 43n n n n n ++-+→∞--+ 例3. 在半径为R R 的圆的内接正n n 边形中, n r 是边心距,n p 是周长,n S 是面积(3,4,5,)n = (1)n S 与n r 、n p 是什么关系? (2)求lim ,lim n n n n r p →∞ →∞ ; (3)利用(1)(2)的结果说明圆面积公式2 S R π=. (选用)例4.利用极限计算抛物线2y x =, 以及直线1x =和x 轴,所围成的区域面积S . O R n r 1.5

【基础训练】 1.已知数列{}n a 的极限为A ,如果数列{}n b 满足662,10 33,10n n n a n b a n ?≤?=??>?,那么( ) A.lim n n b A →∞ = B.2 lim 3 n n b A →∞ = C.lim 3n n b A →∞= D.lim n n b →∞不存在 2.计算:(写出计算过程) (1) 12lim 31 n n n →∞-=+ ; (2) 1 1 (2)3lim 23n n n n n ++→∞--=+ . 3.计算: (1) 1242lim 22n n n n ++→∞-=+ ;(2) 35lim 26n n n n n →∞-=+ ; 4.计算: (1) 11 2(3)lim 2(3)n n n n n ++→∞+-=+- ;(2) 3113121259lim 23n n n n n n +-+-→∞--=+ . 5.计算极限:1242lim 2 n n n →∞++++. 6.设等差数列{}n a 的公差是2,前n 项的和为n S ,求22 lim n n n a n S →∞- 7.已知1 *13() ,2n n a n N -=?∈,求下列极限: (1) 1 2lim n n a a a n →∞++ +; (2) n

第一讲 数列的极限典型例题

第一讲 数列的极限 一、内容提要 1.数列极限的定义 N n N a x n n >?N ∈?>??=∞ →, , 0lim ε,有ε<-a x n . 注1 ε的双重性.一方面,正数ε具有绝对的任意性,这样才能有 {}n x 无限趋近于)(N n a x a n ><-?ε 另一方面,正数ε又具有相对的固定性,从而使不等式ε<-a x n .还表明数列{}n x 无限趋近于a 的渐近过程的不同程度,进而能估算{}n x 趋近于a 的近似程度. 注2 若n n x ∞ →lim 存在,则对于每一个正数ε,总存在一正整数N 与之对应,但这种N 不是 唯一的,若N 满足定义中的要求,则取 ,2,1++N N ,作为定义中的新的一个N 也必须满足极限定义中的要求,故若存在一个N 则必存在无穷多个正整数可作为定义中的N . 注3 a x n →)(∞→n 的几何意义是:对a 的预先给定的任意-ε邻域),(εa U ,在{}n x 中至多除去有限项,其余的无穷多项将全部进入),(εa U . 注4 N n N a x n n >?N ∈?>??≠∞ →00, , 0lim ε,有00 ε≥-a x n . 2. 子列的定义 在数列{}n x 中,保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为{}n x 的子列,记为{}k n x ,其中k n 表示k n x 在原数列中的项数,k 表示它在子列中的项数. 注1 对每一个k ,有k n k ≥. 注2 对任意两个正整数k h ,,如果k h ≥,则k h n n ≥.反之,若k h n n ≤,则k h ≤. 注3 K k K a x k n n >?N ∈?>??=∞ →, , 0lim ε,有ε<-a x k n . 注4 ?=∞ →a x n n lim {}n x 的任一子列{}k n x 收敛于a . 3.数列有界 对数列{}n x ,若0>?M ,使得对N n >?,有M x n ≤,则称数列{}n x 为有界数列. 4.无穷大量 对数列{}n x ,如果0>?G ,N n N >?N ∈?,,有G x n >,则称{}n x 为无穷大量,记 作∞=∞ →n n x lim .

数列的极限知识点-方法技巧-例题附答案和作业题

数列的极限 一、知识要点 1数列极限的定义:一般地,如果当项数n 无限增大时,无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于..... 某个常数a (即|a n -a |无限地接近于0),那么就说数列}{n a 以a 为极限记作 lim n n a a →∞ =. (注:a 不一定是{a n }中的项) 2几个重要极限: (1)01 lim =∞→n n (2)C C n =∞ →lim (C 是常数) (3)()()()?? ? ??-=>=<=∞ →1,11,110lim a a a a a n n 或不存在, (4)??? ?? ??<=>=++++++++----∞→)()()(0lim 0 11101110t s t s b a t s b n b n b n b a n a n a n a s s s s t t t t n 不存在 3. 数列极限的运算法则: 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞ →∞ →那么 B A b a n n n +=+∞ →)(lim B A b a n n n -=-∞ →)(lim B A b a n n n .).(lim =∞ → )0(lim ≠=∞→B B A b a n n n 4.无穷等比数列的各项和 ⑴公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项的和,当n 无限增大时的极限,叫做这个无穷等比数列各项的和,记做lim n n S S →∞ = ⑵1 lim ,(0||1)1n n a S S q q →∞ == <<- 二、方法与技巧 ⑴只有无穷数列才可能有极限,有限数列无极限. ⑵运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件.(参与运算的数列都有极限,运算法则适应有限个数列情形) ⑶求数列极限最后往往转化为 ()N m n m ∈1或()1

数列的极限经典习题

2 x 2 Chap1 数列的极限 1. 设 x n 0 n 1,2, 及 lim x n n a ,用 N 语言 , 证明 : lim x n a . n 证 x n 0 , a 0. (1) 当a 0 时, 那么 lim x n n 0 , 下证 lim x n 0 . n 0 , 则存在 N 0 , 当 n N 时, 0 x n x n 0 . x n , 此即 x n . lim x n 0 . n (2) 当a 0 时, 0 , 存在 N 0 , 当 n N 时, x n a a . x n a x n a x n a . x n a a lim x n a . n 综上两方面 ,即证. 2. 已知 lim n x n a , 用 N 语言 , 证明: lim 3 n n 3 a . 证 (1) 当a 0时, 那么 lim x n n 0 , 0 , 存在 N 0 , 当 n N 时, x n ; 3 x n , 此即 lim n 3 x n 3 a . (2) 当a 0 时, 因为 2 2 2 1 3 2 3 2 3 x 3 x 3 a 3 a 3 x 3 a 3 a 3 a 0 . n n n 2 4 4 令 M 3 3 2 4 2 , lim x n a , 则对 0 ,存在 N 0, 当 n N 时,有 x n a M . x 3 a x n a 而 3 n 2 2 3 x 3 x 3 a 3 a n n x n a 1 M M M n

1 n lim n 3 x n 3 a . 3.(算术平均收敛公式)设lim n x n a .令n x1 x2 n x n , 求证: lim a . n 证法 1 由施笃兹公式 lim lim x1 x2 x n n n n n x 1 x 2 l i m n x n x 1 x 2 n n 1 x n 1 l i mx n a . n 证法 2 由lim x n n a , 则0 , 存在N1 0 , 使当n N1 时, 有 x n a . ①2 x1 x2x n a 1 x a x a x a x a n n 1 N1N1 1 n 令c x1 a1 x N a , 那么 x1 x2x n a c n N1 . ② n n n 2 存在N 20 , 使当 c n N 2时, 有. n 2 再令N max N1 , N2, 故当n N 时, 由①,②有 x1 x2 n lim n x n a x1 x2 lim n N1 2 n x n a . . 2 2 2 n n n 4.(几何平均收敛公式)设x n0 n 1,2, . 且lim x n a . 证明: lim n n x1x2x n a . 证lim x n n a , limln x n n ln a . 再由算术平均收敛公式可知 1 ln x ln x ln x lim n n x1 x2 x n 1 2 lim e n e ln a a . 5.证明: lim n a n 1, 其中a 1. n n n

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