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人教版初三数学上册垂直于圆的直径

人教版初三数学上册垂直于圆的直径
人教版初三数学上册垂直于圆的直径

关于“垂径定理”教学设计的研究

广州市花都区花东镇迳口初级中学张翠怡

目录

一、承诺书……………………………………………………………………

二、原生教案…………………………………………………………………

三、文献综述…………………………………………………………………

四、上课教案…………………………………………………………………

五、课时PPT…………………………………………………………………

六、教学反思…………………………………………………………………

七、参考文献…………………………………………………………………

承诺书

本人郑重承诺:

1、此《关于垂径定理教学设计研究》中的“原生教案”为本人在仅有教材的情况下写成。

2、“文献综述”部分为本人在至少参考指定的两书两网基础上获得至少 7 份文献资料并认真阅读后写成。(期刊网4篇内容)

3、“上课教案”为本人在文献研究和反复思考的基础上对“原生教案”修改而成。

4、“反思”部分是本人真实情况的写照。

签名:张翠怡;日期: 2014 年 11 月 21 日

原生教案

?课题:垂径定理

?课型:概念课

【教学目标】

知识与技能:

1、使学生理解圆的轴对称性,直径所在的直线是它的对称轴。

2、了解垂径定理,能够证明垂径定理,进一步理解证明的必要性。

3、利用垂径定理解决实际问题。

过程与方法:

1、经历探索垂径定理的过程,让学生进一步掌握推理证明的方法,发展演绎推理能

力。

2、初步学会从数学的角度提出问题,理解问题,体验解决问题的多样性,发展实践

能力和创新精神。

情感态度与价值观:

1、培养学生积极参与数学活动的兴趣。

2、通过参与数学活动的探究,使学生形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。

【教学重点】垂径定理的性质及其运用。

【教学难点】垂径定理的证明。

?教学流程框图

教学过程设计(突出科学性)

一、情景创设

情景问题:赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?(ppt)

学完本节课后这个问题我们就可以解决了。 二、回顾旧识

我们已经学习过对称的有关概念,下面复习两道问题

1)什么是轴对称图形? 2)我们学习过的轴对称图形有哪些? (运用几何画板演示沿上述图形对称轴对折图形的动画) 三、学习新课 1、问:

(1)我们所学的圆是不是轴对称图形? (2)如果是,它的对称轴是什么?

拿出一张圆形纸片,沿着圆的任意一条直径对折,重复做几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?:(1)圆是轴对称图形。(2)对称轴是过圆点的直线(或任何一条直径所在的直线)(3)圆的对称轴有无数条

2、动手操作,揭示课题

任意画一个圆,在圆上任意作一条弦AB 和直径CD , 使CD ⊥AB ,垂足为E 。

(1)它是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么? (2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧?

(板书课题:垂直于弦的直径) 学生得出结论:AE=EB 、⌒AC =⌒CB 、⌒AD =⌒DB 3、探求新知

提问:这个结论是同学们通过演示观察猜想出来的,结论是否正确还要从理论上证明它,下面我们试着来证明它

已知:CD 是⊙O 的直径,AB 是弦,AB ⊥CD 垂足为M 求证:AE=EB 、⌒AC =⌒CB 、⌒AD =⌒DB

分析:要证AM=BM ,只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等.因此,只要连结OA 、?OB

或AC 、BC 即可.

证明:如图,连结OA 、OB ,则

OA=OB

D

C

在Rt △OAM 和Rt △OBM 中

OA OB OM OM =??

=?

∴Rt △OAM ≌Rt △OBM ∴AM=BM

∴点A 和点B 关于CD 对称 ∵⊙O 关于直径CD 对称

∴当圆沿着直线CD 对折时,点A 与点B 重合,⌒AC 和⌒CB 重合,⌒AD 和⌒DB 重合 ∴⌒AC =⌒CB 、⌒AD =⌒DB

<板书>垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。 几何语言表述为:∵CD 是⊙O 的直径,AB 是弦,AB ⊥CD ∴AE=EB 、⌒AC =⌒CB 、⌒AD =⌒DB

<进一步也可推知>垂径定理的逆定理:平分弦的直径垂直于弦,并且垂直于弦所对的两条弧)

几何语言表述为:∵CD 是⊙O 的直径,AB 是弦,AE=EB

∴AB ⊥CD 、⌒AC =⌒CB 、⌒AD =⌒DB 5、概念辨析

(电脑显示)练习1 AE=EB 吗?(注意:直径,垂直于弦,缺一不可!)

四、运用新知

例1:一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10, 水面宽AB=16。求截面圆心O 到水面的距离。

在学生发表见解的情况下总结归纳:(1)圆中有关弦、半径的计算问题通常利用垂径定理来解决。(2)重要的辅助线:过圆心做弦的垂线构造直角三角形,结合垂径

定理与解直角三角形的有关知识解题。

总结口诀:半径半弦弦心距,化为勾股最容易,另外加上弓形高,Rt三角形少不了

例2:解决情景问题

赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m ,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?

五、课堂练习

已知:如图,在以O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 交小圆于C ,D 两点。 求证:AC =BD 。

六、归纳小结

1、学习垂径定理后,你认为应该注意哪些问题?

2、应用垂径定理如何添辅助线?垂径定理有哪些应用

3、这节课的学习你有什么疑问? 七、课后作业

课本第89页2、12

B

文献综述

《广州市义务教育阶段学科学业质量评价标准(数学)》中关于“垂径定理”的学业水平达标要求有以下表述:知识与技能目标要求了解垂径定理,并证明垂径定理。评价说明要求学生了解垂径定理的同时会用其进行有关运算[1],因此教学中证明垂径定理是学习的难点,会用垂径定理解决问题是学习的重点。《评价标准》中目标要求描述较少,但此部分内容是《圆》这一章的重要内容,也是本章的基础,所以本人将目标内容进行丰富和补充。

垂径定理揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系,是圆的轴对称性的具体化;也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据;同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据;在中考中更是处处能体现垂径定理的理解和运用。而在近五年中考中,直接考察了本节课的内容有2013年第16题。原题为“如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,

点P 在第一象限,⊙P 与x 轴交于O ,A 两点,点A 的坐标为(6,0),⊙P 的半径为

则点P 的坐标为 .”该题正确答案为(3,2),平均分2.228,难度0.7427,区分度0.679。本题主要考查垂径定理、勾股定理。学生出错的原因是对圆的对称性及垂径定理理解不够深入。文中建议教学中加强对基础知识的教学,同时重视引导学生用自己的语言表达对基本概念、基本性质、定理的理解。[2]

还有的就是2009年第20题。原题为:“如图10,在O ⊙中,60ACB BDC ∠=∠=°

AC =.(1)求BAC ∠的度数;(2)求O ⊙的周长.”

本题满分10分,平均分5.78分,难度0.578,区分度0.855。 本题第1问比较常规,学生容易得分,第2问需要添加适当的 辅助性,学生虽然能够添加辅助性,但很多不能准确用几何语言

图10

描述,更谈不上接下来进行进一步的推理描述,暴露出学生对垂径定理的理解不够透,运用得很不灵活。文中建议在平时教学中,注意单元知识间的串联整合,用典型例题覆盖单元知识基础知识的同时,加大对垂径定理知识的整合创新,从而加强学生的能力培养。[3]

针对近几年数学年报提出的教学建议,本人从中国知网中查阅了3篇《垂径定理》的教学设计和1篇《2014年中考专题复习—圆》的资料。

辽宁省鞍山市华育学校孙奇静老师[4]的教学设计在这节课的安排比较合理,这节课孙奇静老师设置的知识与技能目标为“掌握垂径定理”,比《评价标准》的描述“了解垂径定理”的要求要高,根据广州中考常考模式,选择孙奇静老师的目标描述。孙奇静老师设置的过程与方法目标为“通过观察、动手操作培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力”,情感态度与价值观目标为“通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义观点及美育教育”。本人认为孙奇静老师的情感态度与价值观目标设置太空泛,因此根据本人教学设计中“证明垂径定理”的这一环节设置,情感态度与价值观目标修改为“通过参与数学活动的探究,使学生形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯”。这一目标的设置与数学中考年报提出的“在教学中对垂径定理中五个条件,其中两个成立,另外三个条件成立的相关专题训练不足”起到补充性的作用。

湖北省老河口市仙人渡中学的江治老师的《垂径定理教学设计》[5]相对而言,就显得比较简单。江治老师主要通过引导发现法和直观演示法进行垂径定理的教学,教学设计的引入也是以课本的实例“求赵州桥主桥拱的半径”来激发学生的学习兴趣。而在证明垂径定理的成立这一环节比较简单,只是简单写了证明的思路,没有详细写出证明的过程,这不利于提高学生的书写逻辑推理。因此我在教学设计中证明垂径定理这一环节主要让学生自主参与到数学活动的探究中去,使学生形成实事求是的态度以及进行质疑和

独立思考的习惯,从而与我教学设计中的情感态度与价值观紧密结合在一起。

常州市武进区湖塘实验中学苏红芬老师的《垂径定理例题的变式拓展》[6]一文为我的教学设计提供了选题的参考。苏红芬老师以垂径定理为例,创设变式,呈现是知识“源于课本,又高于课本”,使同学们能够在不同角度、不同层次下认识垂径定理。因此我在教学设计中设计垂径定理的练习时,主要以苏红芬老师一文中的练习为主,再结合学生的实际情况进行适当的变式,使不同层次的学生接受不同层次的教育。在进行练习变式时,我又参考了海口市琼山区东昌学校方国志老师《2014年中考专题复习——圆》[7]一文,文章中详细地写出了《圆》这一章在中考的地位及复习策略,对垂径定理这一知识点提出的要求是熟练掌握垂径定理,考查的方式会以“选择题”、“填空题”或“解答题”等题型出现。结合方国志老师的一文提出的复习建议,我在教学设计中的题型设计注重双基的训练和培养学生的逻辑推理能力,进一步加强书写几何题的训练。

因此本节课的教学设计我以实例为引入点,以探究活动为主线设计了5个环节,重点在于让学生掌握垂径定理并会运用定理解决实际问题。通过对垂径定理的证明引导学生用自己的语言表达对基本概念、基本性质、定理的理解,同时设计一系列的变式训练加强学生的逻辑推理能力的训练,夯实学生的基础知识和技能。

学完本节课后这个问题我们就可以解决了。

二、回顾旧识

我们已经学习过对称的有关概念,下面复习两道

2)我们学习过的轴对称

A ∴点

四、运用新知

例1:一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10,

)圆中有关弦、半径的计算问题通常利

)重要的辅助线:过圆心做弦的垂线构造直角三角形,结合

O

A

B

C

D C

E

五、课堂练习

已知:如图,在以O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 交小圆于C ,D 两点。

变式练习:如图,一条公路的转弯处是一段圆弦(即图中⌒CD ,点O 是⌒CD 的圆心,,垂足为F ,EF=90m ,求这段弯路的半径。

是过点P的直径,则

D.PO=PD

第1、2题

A

课时PPT

垂径定理拱的半径(精确到0.1 m).

圆的对称性

●圆是轴对称图形吗?

如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?

你是用什么方法解决上述问题的?请用准备好的圆形纸片,沿着它的直径翻折,重复做几次,你发现了什么?

拱的半径吗?

O 为圆心的两

交小圆于C ,D O

A B

C

D

人教版九年级数学上册圆知识点归纳及练习含答案完整版

人教版九年级数学上册圆知识点归纳及练习含 答案 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

圆 24.1.1圆 知识点一圆的定义 圆的定义:第一种:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心,线段OA叫作半径。第二种:圆心为O,半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。 比较圆的两种定义可知:第一种定义是圆的形成进行描述的,第二种是运用集合的观点下的定义,但是都说明确定了定点与定长,也就确定了圆。 知识点二圆的相关概念 (1)弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫作直径。 (2)弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆。 (3)等圆:等够重合的两个圆叫做等圆。 (4)等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段,弧是曲线,判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中,只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧,而不是长度相等的弧。 24.1.2垂直于弦的直径 知识点一圆的对称性 圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 知识点二垂径定理 (1)垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。如图所示,直径为CD,AB是弦,且CD⊥AB, A B AM=BM 垂足为M AC=BC AD=BD D 垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 如上图所示,直径CD与非直径弦AB相交于点M, CD⊥ABAM=BMAC=BC AD=BD 注意:因为圆的两条直径必须互相平分,所以垂径定理的推论中,被平分的弦必须不是直径,否则结论不成立。 24.1.3弧、弦、圆心角 知识点弦、弧、圆心角的关系(1)弦、弧、圆心角之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。 (2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余的各组量也相等。 (3)注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件,如果丢掉这个条件,即使圆心角相等,所对的弧、弦也不一定相等,比如两个同心圆中,两个圆心角相同,但此时弧、弦不一定相等。

九年级数学上册 圆 几何综合(提升篇)(Word版 含解析)

九年级数学上册 圆 几何综合(提升篇)(Word 版 含解析) 一、初三数学 圆易错题压轴题(难) 1.如图,二次函数y=x 2-2mx+8m 的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边且OA≠OB ),交y 轴于点C ,且经过点(m ,9m ),⊙E 过A 、B 、C 三点。 (1)求这条抛物线的解析式; (2)求点E 的坐标; (3)过抛物线上一点P (点P 不与B 、C 重合)作PQ ⊥x 轴于点Q ,是否存在这样的点P 使△PBQ 和△BOC 相似?如果存在,求出点P 的坐标;如果不存在,说明理由 【答案】(1)y=x 2 +2x-8(2)(-1,- 72)(3)(-8,40),(-15 4,-1316),(-174 ,-25 16 ) 【解析】 分析:(1)把(),9m m 代入解析式,得:22289m m m m -+=,解这个方程可求出m 的值; (2)分别令y =0和x =0,求出OA ,OB ,O C 及AB 的长,过点E 作EG x ⊥轴于点 G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ,AE ,设OF =GE =a ,根据AE CE = ,列方过程求出a 的值, 从而求出点E 的坐标; (3)设点P (a , a 2+2a -8), 则2 28,2PQ a a BQ a =+-=-,然后分PBQ ∽CBO 时 和PBQ ∽BCO 时两种情况,列比例式求出a 的值,从而求出点P 的坐标. 详解:(1)把(),9m m 代入解析式,得:22289m m m m -+= 解得:121,0m m =-=(舍去) ∴228y x x =+-

人教版初三数学圆的测试题及答案

九年级圆测试题 一、选择题(每题3分,共30分) 1.如图,直角三角形A BC 中,∠C =90°,A C =2,A B =4,分别以A C 、BC 为直径作半圆,则图中阴影的面积为 ( ) A 2π- 3 B 4π-4 3 C 5π-4 D 2π-23 2.半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为 ( ) A 1∶2∶3 B 1∶ 2∶3 C 3∶2∶1 D 3∶2∶1 3.在直角坐标系中,以O(0,0)为圆心,以5为半径画圆,则点A(3-,4)的位置在 ( ) A ⊙O 内 B ⊙O 上 C ⊙O 外 D 不能确定 4.如图,两个等圆⊙O 和⊙O ′外切,过O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ,A 、B 是切点,则∠AOB 等于 ( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 5.在Rt △A BC 中,已知A B =6,A C =8,∠A =90°,如果把此直角三角形绕直线A C 旋转一周得到一个圆锥,其表面积为S 1;把此直角三角形绕直线A B 旋转一周得到另一个圆锥,其表面积为S 2,那么S 1∶S 2等于 ( ) A 2∶3 B 3∶4 C 4∶9 D 5∶12 6.若圆锥的底面半径为 3,母线长为5,则它的侧面展开图的圆心角等于 ( ) A . 108° B . 144° C . 180° D . 216° 7.已知两圆的圆心距d = 3 cm ,两圆的半径分别为方程0352 =+-x x 的两根,则两圆的位置关系是 ( ) A 相交 B 相离 C 相切 D 内含 8.四边形中,有内切圆的是 ( ) A 平行四边形 B 菱形 C 矩形 D 以上答案都不对 9.如图,以等腰三角形的腰为直径作圆,交底边于D ,连结AD ,那么

2017-2018人教版九年级上册数学课本知识点归纳

2017-2018人教版九年级上册数学课本知识点归纳 第二十一章 二次根式 一、二次根式 1.二次根式:把形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式, “ ” 表 示二次根号。 2.最简二次根式:若二次根式满足:①被开方数不含分母;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。这样的二次根式叫做最简二次根式。 3.化简:化二次根式为最简二次根式(1)如果被开方数是分数(包括小数)或分式,先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式,然后利用分母有理化进行化简。(2)如果被开方数是整数或整式,先将他分解因数或因式,然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 4.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式。 5.代数式:运用基本运算符号,把数和表示数的字母连起来的式子,叫代数式。 6.二次根式的性质 (1))0()(2≥=a a a )0(≥a a (2)==a a 2 )0(<-a a

(3))0,0(≥≥?=b a b a ab (乘法) (4))0,0(≥≥=b a b a b a (除法) 二、二次根式混合运算 1.二次根式加减时,可以把二次根式化成最简二次根式,再把被开方数相同的最简二次根式进行合并。 2.二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样,先乘方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里的(或先去括号)。 第二十二章一元二次方程 一、一元二次方程 1、一元二次方程 含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ,其中2ax 叫做二 次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数;c 叫做常数项。 二、降次----解一元二次方程 1.降次:把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程,都是要一元二次方程降次) 2、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做 直接开平方法。直接开平方法适用于解形如x 2 =b 或b a x =+2)(的一元

人教版初三数学上册圆的概念和性质

2013—2014学年九年级数学(上)周末辅导资料(10) 理想文化教育培训中心 学生姓名:_______ 得分: _____ 一、垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。 如图,在⊙O 中,直径C D 垂直弦AB 于E 点, 则有 AE =_____,AD =________,C A =_________。 垂径定理小结:⑴ 垂直弦;⑵平分弦;⑶平分弧;只要有一个结论成立,其他两个都成立。 例1:(1)如图(1),AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB,垂足为E,如果AB=20,CD=16, 那么线段OE 的长为( ) A 、10 B 、8 C 、6 D 、4 (2)如图(2),已知⊙O 的半径为5,弦AB =6,M 是AB 上任意一点,则线段OM 的长可能是( ) A .2.5 B .3.5 C .4.5 D .5.5 (3)高速公路的隧道和桥梁最多.图3是一个隧道的横截面,若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分,路面AB =10米,净高CD =7米,则此圆的半径OA =( ) A .5 B .7 C . 375 D .37 7 (4)(2013?广安)如图4,已知半径OD 与弦AB 互相垂直,垂足为点C ,若AB=8cm ,CD=3cm ,则圆O 的半径为 ( ) (5)如图,已知⊙O 的半径为2,弦BC 的长为,点A 为弦BC 所对优弧上任意一点(B ,C 两点除外)。 ⑴求∠BAC 的度数; ⑵求△ABC 面积的最大值. 二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系: 图(2) 图3

定理:在同圆等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对弦的弦心距也相等. 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 例2:(1)(2013?常州)如图1,△ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD为⊙O的直径,AD=6,则DC=. (2)(2013?内江)如图2,半圆O的直径AB=10cm,弦AC=6cm,AD平分∠BAC,则AD的长为() .cm cm cm (3) (2013?宜昌)如图,DC 是⊙O直径,弦AB⊥CD于F,连接BC,DB,则下列结论错误的是() . 图1 图2 图3 图4 (4)(2013?苏州)如图4,AB是半圆的直径,点D是AC的中点,∠ABC=50°,则∠DAB等于() 三、圆周角定理 圆周角定理: 一条弧所对的周角等于它所对圆心角的一半。 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等. 推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦直径. 推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角是直角三角形. 圆内接四边形定理:圆内接四边形的对角互补,任何一个外角都等于它的内对角。 例3:(1)如图(1),在⊙O中,∠AOB=102°,则∠APB=。 (2)如图(2),在⊙O中,∠AOB=100°,则∠ACB=。 (3)(2013?自贡)如图,在平面直角坐标系中,⊙A经过原点O,并且分别与x轴、y轴交于B、C两点,已知B(8,0),C(0,6),则⊙A的半径为() A、3; B、4; C、4; D、 5

九年级上册数学圆章节知识点总结

九年级上册数学圆章节知 识点总结 Prepared on 21 November 2021

与圆相关的基本知识和计算 一、知识梳理: (一):圆及圆的有关概念 1.圆:到顶点的距离等于定长的点的集合叫做圆; 2.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆,大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的叫做劣弧; 3.弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径,它是圆的最长的弦; 4.等圆:能够完全重合的两个圆叫做等圆;等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧; 5.圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角;圆周角:顶点在圆上且两边与圆相交的角叫做圆周角; (二)圆的有关性质: 1.对称性:圆是中心对称图形,其对称中心是圆心;圆是轴对称图形,其对称轴是直径所在的直线; 2.垂径定理及其推论: (1)、垂径定理:垂直弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧; (2)、推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧;3.圆心角、弧、弦之间的关系 (1)定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等;(2)推论:在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么他们所对的圆心角相等、所对的弦相等。在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等、所对的弧相等。 4.圆周角与圆心角的关系 (1)在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半;

(2)推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,0 90的圆周角所对的弦是直径; 5.圆内接四边形对角互补。 (三)点与圆的位置关系 1、点和圆的位置关系 如果圆的半径为r,已知点到圆心的距离为d,则可用数量关系表示位置关系. (1)d>r点在圆外;(2)d=r点在圆上;(3)d<r点在圆内. 2、确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定一个圆. (四)直线与圆的位置关系 1、(1)直线与圆的位置关系有关概念 ①相交与割线:直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线. ②切线与切点:直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,惟一的公共点叫做切点. ③相离,当直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离. (2)用数量关系判断直线与圆的位置关系 如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么: (1)直线l和⊙O相交d<r(如图(1)所示); (2)直线l和⊙O相切d=r(如图(2)所示); (3)直线l和⊙O相离d>r(如图(3)所示). 2、切线 (1)切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径. (3)切线长:圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长. (4)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. (五)三角形的外接圆和内切圆 1、三角形的外接圆 (1)定义:经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆.

人教版初三数学圆练习题汇总

圆练习题 1.如图,已知线段OA 交⊙O 于点B ,且OB =AB ,点P 是⊙O 上的一个动点,那么∠OAP 的最大值是( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 2.如图,已知AB 是⊙O 的直径,AD 切⊙O 于点A ,点C 是EB ︵ 的中点,则下列结论不成立的是( ) A. OC ∥AE B. EC =BC C. ∠DAE =∠ABE D. AC ⊥OE 3. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,半径为2的⊙P 的圆心P 的坐标为(-3,0),将⊙P 沿x 轴正方向平移,使⊙P 与y 轴相切,则平移的距离为( ) A. 1 B. 1或5 C. 3 D. 5 4.若正方形的边长为6,则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为( ) A. 6,3 2 B. 32,3 C. 6,3 D. 62,32 5.已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为2 cm 和3 cm ,若O 1O 2=7 cm ,则⊙O 1和⊙O 2的位置关系是( ) A. 外离 B. 外切 C. 内切 D. 相交 6在同一平面直角坐标系中有5个点:A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2,-2), E(0,-3). (1)画出△ABC 的外接圆⊙P ,并指出点D 与⊙P 的位置关系. (2)若直线l 经过点D(-2,-2),E(0,-3),判断直线l 与⊙P 的位置关系. 7如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的切线,切点为D ,CD 与AB 的延长线交于点C ,∠A =30°,给出下面3个结论:①AD =CD ;②BD =BC ;③AB =2BC ,其中正确结论的个数是( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

人教版九年级上册数学全册教案公开课

人教版九年级上册数学 全 册 教 案 第二十一章一元二次方程 21.1 一元二次方程 教学目标 知识技能 1.通过类比一元一次方程,了解一元二次方程的概念及一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念. 2.了解一元二次方程的解的概念,会检验一个数是不是一元二次方程的解.

数学思考与问题解决 通过丰富的实例,列出一元二次方程,让学生体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型,培养学生初步形成“模型思想”,增强学生应用数学知识解决实际问题的意识. 情感态度 使学生经历类比一元一次方程得到一元二次方程概念的过程,减少学生对新知识的陌生感,提高学生学习数学的兴趣. 重点难点 重点:通过类比一元一次方程,了解一元二次方程的概念及一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)和一元二次方程的解等概念,并能用这些概念解决简单问题. 难点:一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项系数的识别. 教学设计 活动一:创设情境 1.什么是方程?什么是一元一次方程? 2.指出下面哪些方程是已学过的方程?分别是什么方程? (1)3x+4=1;(2)6x-5y=7;(3)-=0;(4)y=5;(5)x2-70x +825=0;(6)7+=4;(7)x(x+5)=150;(8)-=0. 3.什么是“元”?什么是“次”?

活动二:一元二次方程及其相关概念的学习 自学教材第2~3页,思考教师所提下列问题: 1.问题1中列方程的等量关系是________,所列方程为________,化简后为________. 2.问题2中列方程的等量关系是________,为什么要乘?所列方程为________,化简后为________. 3.观察上面化简后的方程,会发现:等号两边都是________,只含有________个未知数,并且未知数的最高次数是________的方程,叫做一元二次方程. 4.任何一个方程都要化成它的一般形式,一元二次方程的一般形式为________(a≠________).为什么? 5.说出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项,在确定各个系数时要注意什么? 设计意图:通过设问的方式来加深学生对一元二次方程的理解,排除学生对一元二次方程及其相关概念理解的障碍,让学生体会到一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型,同时,通过设问也给学生学习探究搭建了交流平台. 活动三:尝试练习 1.判断下列方程是否为一元二次方程. (1)3x+2=5y-3;(2)x2=4;(3)3x2-=0;(4)x2-4=(x+2)2;

人教版九年级数学上册圆

初中数学试卷 金戈铁骑整理制作 圆 章节测试 时间:40分钟 满分:120分 姓名: 得分: 一、选择题(本大题共9小题,共54分) 1. 如图,圆锥的底面半径为2,母线长为6,则侧面积为( ) A. 4π B. 6π C. 12π D. 16π 2. 一个扇形的弧长是10πcm ,面积是60πcm 2,则此扇形的圆心角的度数是( ) A. 300° B. 150° C. 120° D. 75° 3. 下列圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角最大的图形是( ) A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 4. 如图,AB 是⊙O 的直径,C ,D 是⊙O 上位于AB 异侧的两点.下列四个角中,一定与∠ACD 互余的角是( ) A. ∠ADC B. ∠ABD C. ∠BAC D. ∠BAD 5. 如图,在⊙O 中,AB 是直径,AC 是弦,连接OC ,若∠ACO =30°,则∠BOC 的度数是( ) A. 30° B. 45° C. 55° D. 60°

6.如图,CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M,若AB=12, OM:MD=5:8,则⊙O的周长为() A. 26π B. 13π C. D. 7.如图,将半径为2,圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°,点O,B的 对应点分别为O′,B′,连接BB′,则图中阴影部分的面积是() A. B. 2- C. 2- D. 4- 8.如图,在半径为4的⊙O中,CD是直径,AB是弦,且CD⊥AB,垂足为点E,∠AOB=90°, 则阴影部分的面积是() A. 4π-4 B. 2π-4 C. 4π D. 2π

人教版初中数学圆的技巧及练习题

人教版初中数学圆的技巧及练习题 一、选择题 1.一个圆锥的底面半径是5,高为12,则这个圆锥的全面积是( ) A .60π B .65π C .85π D .90π 【答案】D 【解析】 【分析】 根据勾股定理求出圆锥侧面母线长,再根据圆锥的全面积=底面积+侧面积求出答案. 【详解】 ∵圆锥的底面半径是5,高为12, ∴侧面母线长为2251213+=, ∵圆锥的侧面积=51365ππ??=, 圆锥的底面积=2525ππ?=, ∴圆锥的全面积=652590πππ+=, 故选:D. 【点睛】 此题考查圆锥的全面积,圆锥侧面母线长与底面圆的半径、圆锥的高的关系,熟记计算公式是解题的关键. 2.如图,在平行四边形ABCD 中,BD ⊥AD ,以BD 为直径作圆,交于AB 于E ,交CD 于F ,若BD=12,AD :AB=1:2,则图中阴影部分的面积为( ) A .123 B .1536π-π C .30312π- D .48336π-π 【答案】C 【解析】 【分析】 易得AD 长,利用相应的三角函数可求得∠ABD 的度数,进而求得∠EOD 的度数,那么一个阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形DOE -S △BOE ,算出后乘2即可. 【详解】 连接OE ,OF . ∵BD=12,AD :AB=1:2, ∴AD=43 ,AB=83,∠ABD=30°, ∴S △ABD =33,S 扇形= 60361 6,633933602 OEB S ππ?==?=V

∵两个阴影的面积相等, ∴阴影面积=() 224369330312ππ?--=- . 故选:C 【点睛】 本题主要是理解阴影面积等于三角形面积减扇形面积和三角形面积. 3.已知,如图,点C ,D 在⊙O 上,直径AB=6cm ,弦AC ,BD 相交于点E ,若CE=BC ,则阴影部分面积为( ) A .934 π- B . 9942 π- C . 39 324 π- D . 39 22 π- 【答案】B 【解析】 【分析】 连接OD 、OC ,根据CE=BC ,得出∠DBC=∠CEB=45°,进而得出∠DOC=90°,根据S 阴影=S 扇形-S △ODC 即可求得. 【详解】 连接OD 、OC , ∵AB 是直径, ∴∠ACB=90°, ∵CE=BC , ∴∠CBD=∠CEB=45°, ∴∠COD =2∠DBC=90°, ∴S 阴影=S 扇形?S △ODC = 2903360 π?? ?1 2×3×3=94π ?92.

人教版九年级数学上册讲义(全册)

人教版九年级数学上册讲义(全册) 第二十一章二次根式 教材内容 1.本单元教学的主要内容: 二次根式的概念;二次根式的加减;二次根式的乘除;最简二次根式. 2.本单元在教材中的地位和作用: 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的,它也是今后学习其他数学知识的基础. 教学目标 1.知识与技能 (1)理解二次根式的概念. (2)理解(a≥0)是一个非负数,()2=a(a≥0),=a(a≥0). (3)掌握·=(a≥0,b≥0),=·; =(a≥0,b>0),=(a≥0,b>0). (4)了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减. 2.过程与方法 (1)先提出问题,让学生探讨、分析问题,师生共同归纳,得出概念.?再对概念的内涵进行分析,得出几个重要结论,并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简. (2)用具体数据探究规律,用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规定,?并运用规定进行计算.(3)利用逆向思维,?得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它进行化简. (4)通过分析前面的计算和化简结果,抓住它们的共同特点,?给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念,来对相同的二次根式进行合并,达到对二次根式进行计算和化简的目的. 3.情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生:利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神,经过探索二次根式的重要结论,二次根式的乘除规定,发展学生观察、分析、发现问题的能力. 教学重点 1.二次根式(a≥0)的内涵.(a≥0)是一个非负数;()2=a(a≥0);=a(a≥0)?及其运用. 2.二次根式乘除法的规定及其运用. 3.最简二次根式的概念. 4.二次根式的加减运算. 教学难点 1.对(a≥0)是一个非负数的理解;对等式()2=a(a≥0)及=a(a≥0)的理解及应用.2.二次根式的乘法、除法的条件限制. 3.利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式. 教学关键 1.潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力,突出重点,突破难点. 2.培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力,?培养学生一丝不苟的科学精神. 单元课时划分 本单元教学时间约需11课时,具体分配如下: 21.1 二次根式3课时 21.2 二次根式的乘法3课时 21.3 二次根式的加减3课时 教学活动、习题课、小结2课时

人教版九年级数学上册圆知识点归纳及练习含答案

24.1.1 圆 知识点一圆的定义 o叫作圆圆的定义:第一种:在一个平面内,线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点 心,线段0A叫作半径。第二种:圆心为0,半径为r的圆可以看成是所有到定点0的距离等于定长r的点的集合。 比较圆的两种定义可知:第一种定义是圆的形成进行描述的,第二种是运用集合的观点下的定义,但是都说明确定了定点与定长, 也就确定了圆。 知识点二圆的相关概念 (1)弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫作直径。 (2)弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆。( 等圆:等够重合的两个圆叫做等圆。 (4)等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段,弧是曲线,判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中,只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧,而不是长度相等的弧。 24.1.2垂直于弦的直径 知识点一圆的对称性 圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 知识点二垂径定理 (1)垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。如图所示,直径为CD, AB是弦,且CDLAE, C ~|M A B AM=BM 垂足为M AC=BC AD=BD D 垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧如 上图所示,直径CD与非直径弦AB相交于点M CDLABAM=BMAC=BC AD=BD 注意:因为圆的两条直径必须互相平分,所以垂径定理的推论中,被平分的弦必须不是直径,否则结论不成立。 24.1.3弧、弦、圆心角 知识点弦、弧、圆心角的关系(1)弦、弧、圆心角之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相 等,所对的弦也相等。 (2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余的各组量也相等。 (3)注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件,如果丢掉这个条件,即使圆心角相等,所对的弧、弦也不一定相等,比如两个同心 圆中,两个圆心角相同,但此时弧、弦不一定相等。 24.1.4圆周角 知识点一圆周角定理

最新人教版九年级数学《圆》综合检测试题及答案

九年级数学 《圆》单元测试 一、选择 1。下列命题中正确的有( )个 (1) 平分弦的直径垂直于弦 (2)经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线 (3)在同圆或等圆中,圆周角等于圆心角的一半 (4)平面内三点确定一个圆 (5)三角形的外心到各个顶点的距离相等 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 2。如图,直线PA PB ,是O 的两条切线, A B ,分别为切点,120APB =?∠,10OP = 厘米,则弦AB 的长为( ) A . B .5厘米 C . D .2 厘米 3。小明想用直角尺检查某些工件是否恰好是半圆形,下列几个图形是半圆形的是( ) 4。已知在△ABC 中,AB=AC=13,BC=10,那么△ABC 的内切圆的半径为( ) A .310 B .5 12 C .2 D .3 5。若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10 cm 、深约为2 cm 的小坑,则该铅 球的直径约为( ) A. 10 cm B. 14.5 cm C. 19.5 cm D. 20 cm 二、选择 6。如图9,在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长),⊙A 的半径为1, ⊙B 的半径为2,要使⊙A 与静止的⊙B 内切,那么⊙A 由图示位置需向右平移 _______个单位长. 7。一扇形的圆心角为150°,半径为4,用它作为一个圆锥的侧面,那么这个圆锥的表面积 是_____________ 8。已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5的⊙O 上,如果底边BC 的长为8,那么BC 边上的高为 。 9。直角三角形的两条直角边分别为5cm 和12cm ,则其外接圆半径长为 10。点A 是半径为3的圆外一点,它到圆的最近点的距离为5,则过点 A 的切线长为 __________ 11、如图,直线AB 、CD 相交于点O ,∠AOC =300,半径为1cm 的⊙P 的圆心在射线OA 上, 开始时,PO =6cm .如果⊙P 以1cm/秒的速度沿由A 向B 的方向移动,那么当⊙P 的运

人教版九年级数学上册全册教案

(此文档为word格式,下载后您可任意编辑修改!) 数学教案(七年级上册) 第1章有理数 第2章整式的加减 第3章一元一次方程 第4章图形认识初步 第一章有理数 1.1正数和负数 教学目标: 1、了解正数与负数是从实际需要中产生的。 2、能正确判断一个数是正数还是负数,明确0既不是正数也 不是负数。 3、会用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量。 重点:正、负数的概念 重点:负数的概念、正确区分两种不同意义的量。 2、正数和负数 教师:如何来表示具有相反意义的量呢?我们现在来解决问题4提出的问题。 结论:零下5℃用-5℃来表示,零上5℃用5℃来表示。 为了用数表示具有相反意义的量,我们把其中一种意义的量。如零上、向东、收入和高于等规定为正的,而把与它相反的量规定为负的。正的用小学学过的数(0除外)表示,负的用小学学过的数(0除外)在前面加上“-”(读作负)号来表示。根据需要,有时在正数前面也加上“+”(读作正)号。 注意:①数0既不是正数,也不是负数。0不仅仅表示没有,也可以表示一个确定的量,如温度计中的0℃不是没有表示没有温度,它通常表示水结成冰时的温度。②正数、负数的“+”“-”的符号是表示量的性质相反,这种符号叫做性质符号。

三、巩固知识 1、课本P3 练习 2、课本P4例 义。 四、总结 ①什么是具有相反意义的量?②什么是正数,什么是负数?③引入负数后,0的意义是什么? 五、布置作业 课本P5习题1.1第1、2题。 1.2.1有理数 教学目标: 1、正确理解有理数的概念及分类,能够准确区分正整数、0、负整数、正分数、负分数。 2、掌握有理数的分类方法,会对有理数进行分类,体验分类是数学上常用的处理问题的方法。 重点:正确理解有理数的概念 重点:有理数的分类 教学过程: 一、知识回顾,导入新课 什么是正数,什么是负数? 问题1:学习了负数之后,我们对数的认识范围扩大了,你能写出三个不同类型的数吗?(请三位同学上黑板上写出,其他同学在自己的练习本上写出,如果有出现不同类型的数,同学们可上黑板补充。)问题2:观察黑板上的这么数,并给它们分类。 先让学生独立思考,接着讨论和交流分类的情况,得出数的类型有5类:正整数、0、负整数、正分数、负分数。 二、讲授新课 1、有理数的定义 引导学生对前面的数进行概括,得出:正整数、零、负整数统称为整数;正分数和负分数统称分数。整数可以看作分母为1的分数,正整数、零、负整数、正分数和负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数,即整数和分数统称有理数。 2、有理数的分类 让学生在总结出5类数基础上,进行概括,尝试进行分类,通过交流和讨论,再加上老师适当的指导,逐步得出下面的两种分类方式。 (1)按定义分类:(2)按性质分类:

人教版九年级数学上册圆单元测试题及答案

九年级数学第二十四章圆测试题(A) 时间:45分钟分数:100分 一、选择题(每小题3分,共33分) 1 .若O O所在平面内一点P到O O上的点的最大距离为10, A . 14 B . 6 C . 14 或6 D. 7 或3 2. 如图24—A —1 , O O的直径为10,圆心O到弦AB的距离 A . 4 B . 6 C . 7 I 3. 已知点O ABC的外心,若/ A=80 A . 40 4. 如图 A . 20° B . 80 24—A — 2, B . C. 160° △ ABC内接于O 最小距离为 OM的长为 4则此圆的半径为( 3,则弦AB 的长是 D . 8 ,则/ BOC的度数为( D. 120° 若/ A=40 °,则/ OBC的度数为( O 图24—A — 4 图24—A — 3 小明同学设计了一个测量圆直径的工具, 垂直,在测直径时,把O点靠在圆周上, A . 12个单位 B . 10个单位 6. 如图 A . 80° 7. 如图 PB于点 A . 5 24—A —4, AB为O O的直径,点 B. 50° C. 40 ° 24—A —5, P 为O O 外一点, 5 .如图24—A —3, 标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起, 读得刻度OE=8个单位,OF=6个单位,则圆的直径为( D . 15个单位 ,则/ A等于() 并使它们保持 ) PA 、 C、D,若PA=5,则△ PCD的周长为( B . 7 C . 8 D . 10 C . 1个单位 C 在O O 上,若/ B=60 ° D . 30° PB分别切O O于A、B, ) CD切O O于点E,分别交PA、 &若粮仓顶部是圆锥形,且这个圆锥的底面直径为 毡,则这块油毡的面积是() 4m,母线长为3m,为防雨需在粮仓顶部铺上油 A . 6m2 C . 12m22 D . 12二 m 9.如图24—A —6,两个同心圆,大圆的弦AB 点P,且 CD=13 , PC=4,则两圆组成的圆环的面积是( A. 16 n B . 36 n 10 .已知在△ ABC中, 10 A . 3 11.如图 C、D E、 C. 52 n AB=AC=13 , 与小圆相切于点P,大圆的弦CD经过) D. 81 n BC=10,那么△ ABC的内切圆的半径为( 12 B . 5 24—A —7,两个半径都是4cm的圆外切于点C, 一只蚂蚁由点A开始依A、B、 F、C、G A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行,蚂蚁在这 C. 2 径上不断爬行,直到行走2006 n cm后才停下来, A . D 点 B . E 点 C . F 点D 二、填空题(每小题3分,共30分) 12 .如图24—A —8,在O O中,弦AB等于O 则蚂蚁停的那一个点为( .G点 O的半径,0C丄AB交O O于点C,则 8段路 )

人教版初中数学圆的经典测试题附答案

人教版初中数学圆的经典测试题附答案 一、选择题 1.如图,在矩形ABCD 中,6AB =,对角线10AC =,O e 内切于ABC ?,则图中阴影部分的面积是( ) A .24π- B .242π- C .243π- D .244π- 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据勾股定理求出BC ,连接OA 、OB 、OC 、过点O 作OH ⊥AB ,OE ⊥BC ,OF ⊥AC ,设 O e 的半径为r ,利用面积法求出r=2,再利用三角形ABC 的面积减去圆O 的面积得到阴 影的面积. 【详解】 ∵四边形ABCD 是矩形, ∴∠B=90°, ∵6AB =,10AC =, ∴BC=8, 连接OA 、OB 、OC 、过点O 作OH ⊥AB ,OE ⊥BC ,OF ⊥AC , 设O e 的半径为r , ∵O e 内切于ABC ?, ∴OH=OE=OF=r , ∵11 ()22 ABC S AB BC AB AC BC r =?=++?V , ∴ 11 68(6108)22r ??=++?, 解得r=2, ∴O e 的半径为2, ∴21 68-2 224-4ABC O S S S ππ=-=???=V e 阴影, 故选:D .

【点睛】 此题考查矩形的性质,勾股定理,三角形内切圆的定义,阴影面积的求法,添加合适的辅助线是解题的关键. 2.在Rt△ABC中,∠ACB=90°.AC=8,BC=3,点D是BC边上动点,连接AD交以CD为直径的圆于点E,则线段BE长度的最小值为( ) A.1 B.3 2 C.3D. 5 2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据直径所对的圆周角为直角可知∠CED=90°,则∠AEC=90°,设以AC为直径的圆的圆心为O,若BE最短,则OB最短,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 OE=1 2 AC=4,在Rt△OBC中,根据勾股定理可求得OB=5,即可得解. 【详解】 解:连接CE, ∵E点在以CD为直径的圆上, ∴∠CED=90°, ∴∠AEC=180°-∠CED=90°, ∴E点也在以AC为直径的圆上, 设以AC为直径的圆的圆心为O,若BE最短,则OB最短,∵AC=8, ∴OC=1 2 AC=4, ∵BC=3,∠ACB=90°, ∴22 OC BC ,

人教版九年级数学上册知识点总结

人教版九年级数学上册知识点总结 21.1 一元二次方程 知识点一一元二次方程的定义 等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。 注意一下几点: ①只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2;③是整式方程。 知识点二一元二次方程的一般形式 一般形式:ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中,ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。 知识点三一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一直接开平方法解一元二次方程 (1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a . (2)直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程,如果p≥0,就可以利用直接开平方法。 (3)用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的平方

根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。 (4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是:①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程; ④解一元一次方程,求出原方程的根。 知识点二配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为:一移、二除、三配、四开。 (1)把常数项移到等号的右边;⑵方程两边都除以二次项系数; ⑶方程两边都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式;⑷若等号 右边为非负数,直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法 知识点一公式法解一元二次方程 (1)一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),如果b2-4ac≥0,那么方程的两个 根为x= a ac b b 2 4 2 - ± - ,这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式,我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法。 (2)一元二次方程求根公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 (3)公式法解一元二次方程的具体步骤: ①方程化为一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0),一般a化为正值②确定公式中a,b,c 的值,注意符号; ③求出b2-4ac的值;④若b2-4ac≥0,则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解,

人教版初三数学圆的测试题及答案

九年级圆测试题 姓名: 班级: 得分: 一、选择题(每题3分,共30分) 1.如图,直角三角形ABC 中,∠C =90°,AC =2,AB =4,分别以AC 、BC 为直径作半圆,则图中阴影的面积为 ( ) A 2π-3 B 4π-43 C 5π-4 D 2π-23 2.半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为 ( ) A 1∶2∶3 B 1∶2∶3 C 3∶2∶1 D 3∶2∶1 3.在直角坐标系中,以O(0,0)为圆心,以5为半径画圆,则点A(3-,4)的位置在 ( ) A ⊙O 内 B ⊙O 上 C ⊙O 外 D 不能确定 4.如图,两个等圆⊙O 和⊙O ′外切,过O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ,A 、B 是切点,则∠AOB 等于 ( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 5.在Rt △ABC 中,已知AB =6,AC =8,∠A =90°,如果把此直角三角形绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥,其表面积为S 1;把此直角三角形绕直线AB 旋转一周得到另一个圆锥,其表面积为S 2,那么S 1∶S 2等于 ( ) A 2∶3 B 3∶4 C 4∶9 D 5∶12 6.若圆锥的底面半径为 3,母线长为5,则它的侧面展开图的圆心角等于 ( ) A . 108° B . 144° C . 180° D . 216° 7.已知两圆的圆心距d = 3 cm ,两圆的半径分别为方程0352 =+-x x 的两根,则两圆的位置 O O' A B 第4题图

关系是() A 相交 B 相离 C 相切 D 内含 8.四边形中,有内切圆的是() A 平行四边形 B 菱形 C 矩形 D 以上答案都不对9.如图,以等腰三角形的腰为直径作圆,交底边于D,连结AD,那么() A ∠BAD +∠CAD= 90° B ∠BAD>∠CAD C ∠BA D =∠CAD D ∠BAD <∠CAD B C A . 10.下面命题中,是真命题的有()①平分弦的直径垂直于弦;②如果两个三角形的周长之比为3∶2,则其面积之比为3∶4; ③圆的半径垂直于这个圆的切线;④在同一圆中,等弧所对的圆心角相等;⑤过三点有且只有一个圆。 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 二、填空题(每题3分,共24分) 11.一个正多边形的内角和是720°,则这个多边形是正边形; 12.现用总长为m 80的建筑材料,围成一个扇形花坛,当扇形半径为_______时,可使花坛的面积最大; 13.如图是一个徽章,圆圈中间是一个矩形,矩形中间是一个菱形,菱形的边长 是 1 cm ,那么徽章的直径是; 14.如图,弦AB的长等于⊙O的半径,如果C是? AmC上任意一点,则sinC = ;

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