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湖北省武汉市二桥中学2019-2021年九年级下学期3月月考数学试题

湖北省武汉市二桥中学2019-2021年九年级下学期3月月考

数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．-2019的相反数是（）

A．2019 B．-2019 C．

2019

D．

2019

2．若代数式

在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（）

A．x >-1 B．x =-1 C．x ≠ 0 D．x ≠-1

3．计算x2- 2x2的结果（）

A．－1 B．-x2C．x2D．x4

4．计算(x +1)(x - 2)的结果是（）

A．x2- 2 B．x2+ 2 C．x2-x + 2 D．x2-x - 2 5．如图，下列选项中不是正六棱柱的三视图的是（）

A．B．C．D．

6．为了更好保护水资源，造福人类，某工厂计划建一个容积V（m3）一定的污水处理池，池的底面积S（m2）与其深度h（m）满足关系式：V=Sh（V≠0），则S关于h的函数图象大致是

A．B．C．D．

7．对于反比例函数

=，下列说法正确的个数是（）

①函数图象位于第一、三象限；②函数值y 随x 的增大而减小；③若A(-1，1y），B

（2，2y ），C(1，3y )是图象上三个点，则1y <3y <2y ；④P 为图象上任一点，过 P 作 PQ ⊥y 轴于点 Q ，则△OPQ 的面积是定值．

A ．1 个

B ．2 个

C ．3 个

D ．4 个

8．如图，身高 1.8m 的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影 BA 由 B 向 A 走去，

当走到 C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得 BC ＝3.2m ，

CA ＝0.8m ，则树的高度为( )

A ．4.8m

B ．6.4m

C ．8m

D ．9m

9．如图，?ABC 内接于⊙ O ，AD 是?ABC 边 BC 上的高，D 为垂足．若 BD = 1，AD = 3，BC = 7，则⊙O 的半径是（）

A B ．5 C ．2 D ．2

10．n 个数按一定的规律排列成 1，－3，9，－27，81，－243，…，其中最后三个数的和为 5103，则 n 为（）

A ．8

B ．9

C ．10

D ．11

二、填空题

11．计算：_____．

12．计算11x x x

+-的结果为__________． 13．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上一点，且AB =AE ，若AE 平分

∠DAB ，∠EAC =25°，则∠AED 的度数是______度．

14．在△ABC 中，ED ∥BC ，S 四边形BCDE ∶S △ABC =21∶25，AD =4，则 DC 的长为____．

15．把一根 9m 长的钢管截成 1m 长和 2m 长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中 1m 长的钢管有 a 根，则 a 的值可能有_____种．

16．如图，⊙O 的半径为 3，AB 为圆上一动弦，以 AB 为边作正方形 ABCD ，求 OD 的最大值__．

三、解答题

17．计算：()32242x x x -?

18．如图，A 、D 、B 、E 四点顺次在同一条直线上，AC ＝DF ，BC ＝EF ，AD ＝BE ，求证：∠C ＝∠F ．

19．计算：cos 230)

sin 454?+3tan60° 20．请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）

（1）如图①，四边形 ABCD 中，AB =AD ，∠B =∠D ，画出四边形 ABCD 的对称轴 m ；（2）如图②，四边形 ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =∠D ，画出 BC 边的垂直平分线 n ．（3）如图③，△ABC 的外接圆的圆心是点 O ，D 是AC 的中点，画一条直线把△ABC 分成面积相等的两部分．

21．如图，等腰三角形 ABC 中，AC ＝BC ＝13，AB ＝10．以 BC 为直径作⊙O 交 AB 于点 D ，交 AC 于点 G ，DF ⊥AC ，垂足为 F ，交 CB 的延长线于点 E ．

(1)求证：直线 EF 是⊙O 的切线；

(2)求 sin ∠E 的值．

22．某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg ．设第x 天的销售价格为y （元/kg ），销售量为()m kg ．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当130x 时，y=40；当3150x 时，y 与x 满足一次函数关系，且当36x =时，37y =；44x =时，33y =．②m 与x 的关系为550m x =+．

（1）当3150x 时，y 与x 的关系式为；

（2）x 为多少时，当天的销售利润W （元）最大？最大利润为多少？

（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W （元）随x 的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨a 元/kg ，求a 的最小值．

23．四边形 ABCD 中，E 为边 BC 上一点，F 为边 CD 上一点，且∠AEF=90°．

（1）如图 1，若 ABCD 为正方形，E 为 BC 中点，求证：23

EC DF =．（2）若 ABCD 为平行四边形，∠AFE=∠ADC ，

①如图 2，若∠AFE=60°，求EC DF

的值； ②如图 3，若 AB=BC ，EC=2CF ．直接写出 cos ∠AFE 值为．

24．抛物线()()y x 3x 1=-+与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，点D 为顶点．

（1）求点B 及点D 的坐标．

（2）连结BD ，CD ，抛物线的对称轴与x 轴交于点E ．

①若线段BD 上一点P ，使∠DCP=∠BDE ，求点P 的坐标．

②若抛物线上一点M ，作MN ⊥CD ，交直线CD 于点N ，使∠CMN=∠BDE ，求点M 的坐标．

参考答案

1．A

【分析】

根据只有符号不同的两个数是互为相反数解答即可.

【详解】

解：-2019的相反数是2019．

故选A．

【点睛】

本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数.

2．D

【分析】

先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．

【详解】

由题意得

x＋1≠0，

解得x≠?1，

故选：D．

【点睛】

本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．3．B

【分析】

合并同类项即可求解．

【详解】

x2- 2x2=-x2

故选B．

【点睛】

此题主要考查整式的加减，解题的关键是熟知合并同类项法则．

4．C

【分析】

根据多项式的乘法即可求解．

【详解】

( x +1)( x - 2)= x 2-2x+x +2=x 2-x +2

故选C ．

【点睛】

此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知多项式乘多项式的运算法则．

5．A

【分析】

主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．

【详解】

正六棱柱三视图分别为：三个左右相邻的矩形，两个左右相邻的矩形，正六边形．故选A ．

【点睛】

本题考查了几何体的三种视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．

6．C

【解析】

试题分析：∵V=Sh （V 为不等于0的常数），∴V S h

=（h≠0），S 是h 的反比例函数．根据反比例函数的图象和性质可知，图象为反比例函数在第一象限内的部分．

故选C ．

7．B

【分析】

根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．

【详解】

21k y x

+=中,21k +＞0，∴函数图象位于第一、三象限，①正确；函数在各象限中，y 随x 的增大而减小，故②错误；

若 A(-1，1y ），B （2，2y ），C(1，3y )是图象上三个点，则1y <2y <3y ，故③错误；

④P 为图象上任一点，过P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，则△OPQ 的面积等于212

k +，为定值，故

④正确．故选：B．【点睛】

本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数

=（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图

象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大．

8．D

【分析】

利用相似三角形对应线段成比例解题．

【详解】

因为人和树均垂直于地面，所以和光线构成的两个直角三角形相似，

设树高x米，则

1.8 AC

AB x

=，

即

0.8 1.8 0.8 3.2x

∴x＝9

故选：D．

【点睛】

此题主要考查相似三角形中的对应线段成比例，解题的关键是找到对应边进行列式求解．9．C

【分析】

过点A作直径AH，连接CH，根据勾股定理分别求出AB、AC，证明△ABD∽△AHC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．

【详解】

过点A作直径AH，连接CH，

∵BD＝1，BC＝7，

∴CD＝6．

∵AD ⊥BC ，

∴AB =，AC =

∵AH 为⊙O 的直径，

∴∠ACH ＝90?，

∴∠ADB ＝∠ACH ，

由圆周角定理得，∠B ＝∠H ，

∴△ABD ∽△AHC ，

∴AB AD

AH AC =，即AH =，

解得，AH ＝，

∴⊙O 的半径＝

，故选：C ．

【点睛】

本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握相似三角形的判定和性质、圆周角定理是解题的关键．

10．B

【分析】

由所给数，找到规律为相邻数据符号相反，后一个数是前一个数的?3倍，设最后三个数依次为x ，?3x ，9x ，则有x ＋（?3x ）＋9x ＝5103，解出x ＝729，再由6561＝38＝（?3）8＝（?3）n?1，即可求n ．

【详解】

观察数据可得，相邻数据符号相反，后一个数是前一个数的?3倍，

∴第1个数为（?3）0，第2个数为（?3）1，第n 个数可设为（?3）n?1，

设最后三个数依次为x ，?3x ，9x ，

则有x ＋（?3x ）＋9x ＝5103，

解得：x ＝729，

第n 个数为9×729=6561＝38＝（?3）8＝（?3）n?1，

∴n?1＝8，

∴n ＝9，

故选：B ．

【点睛】

本题考查数字的变化规律；能够通过所给例子，找到式子的规律，列出正确的一元一次方程是解题的关键．

11．【分析】

根据二次根式的加减法则合并同类二次根式即可．

【详解】

原式＝（3＋2

＝

故答案为：

【点睛】

本题考查了二次根式的加减法则，能根据法则正确合并同类二次根式是解此题的关键． 12．1

【分析】

根据分式的加减法法则计算即可得答案．

【详解】

11x x x

+- =11x x

+- =1．

故答案为：1

【点睛】

本题考查分式的加减，同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减；熟练掌握运算法则是解题关键．

13．85

【分析】

先证明∠B =∠EAD ，然后利用SAS 证明△ABC ≌△EAD ，得出∠AED =∠BAC ．再证明

△ABE为等边三角形，可得∠BAE=60°，求出∠BAC的度数，即可得∠AED的度数．

【详解】

∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，BC=AD，∴∠EAD=∠AEB．

又∵AB=AE，∴∠B=∠AEB，∴∠B=∠EAD．在△ABC和△EAD中，

∵AB=AE，∠ABC=∠EAD，BC=AD，∴△ABC≌△EAD（SAS），∴∠AED=∠BAC．

∵AE平分∠DAB，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB=∠B，∴△ABE为等边三角

形，∴∠BAE=60°，∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=85°，∴∠AED=∠BAC=85°．

故答案为85．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质；熟记平行四边形的性质，证明三角形全等和等边三角形是解决问题的关键．

14．6

【分析】

先利用比例的性质得到S△ADE：S△ABC＝4：25，再证明△ADE∽△ABC，则根据相似三角形

的性质得

ADE

ABC

S C

S??

，从而可求出AC，然后计算AC?AD即可．

【详解】

∵S四边形BCDE：S△ABC＝21：25，∴S△ADE：S△ABC＝4：25，

∵ED∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴

25 ADE

ABC

S C

S??

，

∴AD

＝

，

∴AC＝5

×4＝10，

∴CD＝AC?AD＝10?4＝6．故答案为：6．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．

15．4

【分析】

根据题意列二元一次方程即可解决问题．

【详解】

设2m的钢管b根，根据题意得：

a＋2b＝9，

∵a、b均为正整数，

∴

，

．

a 的值可能有4种，

故答案为：4．

【点睛】

本题运用了二元一次方程的整数解的知识点，运算准确是解此题的关键．

16．＋3

【分析】

把AO绕点A顺时针旋转90?得到AO′，得到△AOO′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出OO′，再根据正方形的性质可得AB＝AD，再求出∠BAO＝∠DAO′，然后利用“边角边”证明△ABO和△ADO′全等，根据全等三角形对应边相等可得DO′＝BO，再根据三角形的任意两边之和大于第三边求解即可．

【详解】

如图，连接AO、BO、把AO绕点A顺时针旋转90?得到AO′，连接DO’

∴△AOO′是等腰直角三角形，

∵AO＝3，

∴OO，

在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90?，

∵∠BAO＋∠BAO′＝∠DAO′＋∠BAO′＝90?，

∴∠BAO ＝∠DAO ′，

在△ABO 和△ADO ′，

AO AO BAO DAO AB AD ='??∠=∠'??=?

，

∴△ABO ≌△ADO ′（SAS ），

∴DO ′＝BO ＝3，

∴OO ′＋O ′D ≥OD ，

当O 、O ′、D 三点共线时，取“＝”，

此时，OD 的最大值为

＋3．

故答案为：

＋3．

【点睛】

本题考查了圆的基本性质、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，利用旋转作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．

17．67x

【解析】

【分析】

按顺序先分别进行积的乘方运算、同底数幂的乘法运算，然后再合并同类项即可.

【详解】

()32242x x x -?

=668x x -

67x =.

【点睛】

本题考查了整式的混合运算，涉及了积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.

18．见解析

【分析】

根据题意得出AB ＝DE ，再利用SSS 得出△ACB ≌△DFE ，进而得出答案．

【详解】

∵AD ＝BE ，

∴AD ＋DB ＝BE ＋DB ，

∴AB ＝DE ，

在△ACB 与△DFE 中，

AC DF AB DE CB FE =??=??=?

，

∴△ACB ≌△DFE （SSS ），

∴∠C ＝∠F ．

【点睛】

此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 19．

【分析】

首先将特殊角的三角函数值代入，然后进行二次根式的混合运算即可求解．

【详解】

解：)230sin 453tan 60cos ??+?

＝214-?

＝3144

-+＝

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值，是基础知识要熟练掌握．

20．见解析

【分析】

（1）连接AC即为四边形ABCD 的对称轴m；

（2）连接梯形的对角线交于点M、延长BA、CD交于点N，连接MN即为BC 边的垂直平分线；

（3）连接OD，交AC于点Q，可证CQ＝AQ，作过BQ的直线可构造等底同高的三角形，故其面积相等．

【详解】

（1）如图，连接AC，直线m为所求；

（2）如图，直线n为所求

（3）如图，连接OD，交AC于点Q，作直线BQ，则直线BQ即为所求．

【点睛】

本题考查了尺规作图，圆的有关性质等，解题关键是知道筝形、梯形的对称性，三角形面积的有关性质等．

21．（1）见解析（2）119 169

【分析】

（1）求证直线EF是⊙O的切线，只要连接OD证明OD⊥EF即可；

（2）根据∠E＝∠CBG，可以把求sin∠E的值得问题转化为求sin∠CBG，进而转化为求Rt△BCG中，两边的比的问题．

【详解】

（1）证明：方法1：连接OD、CD．

∵BC是直径，

∴CD⊥AB．

∵AC＝BC．

∴D是AB的中点．

∵O为CB的中点，

∴OD∥AC．

∵DF⊥AC，

∴OD⊥EF．

∴EF是O的切线．

方法2：∵AC＝BC，

∴∠A＝∠ABC，

∵OB＝OD，

∴∠DBO＝∠BDO，

∵∠A＋∠ADF＝90°

∴∠EDB＋∠BDO＝∠A＋∠ADF＝90°．即∠EDO＝90°，

∴OD⊥ED

∴EF是O的切线．

（2）解：连BG．

∵BC是直径，

∴∠BDC＝90°．

∵AC＝BC＝13，AB＝10

∴AD=1

AB=5

∴CD12

∵AB?CD＝2S△ABC＝AC?BG，

∴BG＝

AB CD

＝

1012120

1313

=．

∴CG

119

==．

∵BG⊥AC，DF⊥AC，∴BG∥EF．

∴∠E ＝∠CBG ，

∴sin ∠E ＝sin ∠CBG ＝1191313

CG BC =＝119169．

【点睛】

本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．

22．（1）1552

y x =

+；（2）x 为32时，当天的销售利润W （元）最大，最大利润为4410元；（3）3

【分析】（1）依据题意利用待定系数法，易得出当3150x 时，y 与x 的关系式为：1552

y x =+，（2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润w （元）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．

（3）要使第31天到第35天的日销售利润W （元）随x 的增大而增大，则对称轴352b a =

，求得a 即可

【详解】

（1）依题意，当x=36时，37;44y x ==时，y=33，

当3150x 时，设y kx b =+，则有37363344k b k b =+??=+?，解得1255

k b ?=-???=? y ∴与x 的关系式为：1552

y x =+ （2）依题意，

(18)W y m =-?

(4018)(550),(130)155(550),(3150)2x x W x x x -?+??∴=???-++ ???

?? 整理得， 21101100,(130)51601850,(3150)2

x x W x x x +??=?-++?? 当130x 时， W 随x 增大而增大

30x ∴=时，取最大值3011011004400W =?+=

当3150x 时，

22551601850(32)441022

W x x x =++=-+ 502

-< 32x ∴=时，W 取得最大值，此时W=4410

综上所述，x 为32时，当天的销售利润W （元）最大，最大利润为4410元

（3）依题意，

(18)W y a m =+-?=25(1605)1850502

x a x z ++++ 第31天到第35天的日销售利润W （元）随x 的增大而增大

∴对称轴

1605355222b a x a +==???- ???，得3a ≥ 故a 的最小值为3．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．

23．（1）见解析（2）12（3）13 【分析】

（1）如图1中，设正方形的边长为2a ．只要证明△ABE ∽△ECF ，可得

AB BE EC CF

=，求出CF 、DF 即可解决问题；

（2）如图2中，在AD上取一点H，使得FH＝DF．只要证明△AEF是等边三角形，推出AF＝2EF，再证明△AHF∽△FCE，可得EC：HF＝EF：AF＝1：2;

（3）如图3，作FT＝FD交AD于点T，作FH⊥AD于H，证△FCE∽△ATF，设CF＝2，

则CE＝4，可设AT＝x，则TF＝2x，AD＝CD＝2x＋2，DH＝1

DT＝

，分别用含x

的代数式表示出∠AFE和∠D的余弦值，列出方程，求出x的值，即可求出结论．【详解】

（1）证明：如图1中，设正方形的边长为2a．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B＝∠C＝90°，

∵∠AEF＝90°，

∴∠AEB＋∠FEC＝90°，∠FEC＋∠EFC＝90°，

∴∠AEB＝∠EFC，

∴△ABE∽△ECF，

∴AB BE EC CF

∵BE＝EC＝a，AB＝CD＝2a，

∴CF＝1

a，DF＝CD?CF＝

a，

∴

EC a

DF a

；

（2）如图2中，在AD上取一点H，使得FH＝DF，

∵∠AEF＝90°，∠AFE＝∠D＝60°，

∴AF＝2EF，

∵FH＝DF，

∴△DHF是等边三角形，

∴∠FHD＝60°，

∴∠AHF＝120°，

湖北省武汉市二桥中学2019-2021年九年级下学期3月月考数学试题

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