2021届步步高数学大一轮复习讲义(理科)第八章 第7节 第2课时 利用空间向量解决有关空间角的开放问题
第2课时利用空间向量解决有关空间角的开放问题
考点一与线面角有关的探索性问题
【例1】(2019·湖北重点中学协作体联考)等边△ABC的边长为3，点D，E分别
是AB，BC上的点，且满足AD
DB＝
CE
EA＝
1
2(如图(1))，将△ADE沿DE折起到△A1DE
的位置，使二面角A1－DE－B成直二面角，连接A1B，A1C(如图(2)).
(1)求证：A1D⊥平面BCED；
(2)在线段BC上是否存在点P，使直线P A1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由.
(1)证明题图(1)中，由已知可得：
AE＝2，AD＝1，A＝60°.
从而DE＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝ 3.
故得AD2＋DE2＝AE2，∴AD⊥DE，BD⊥DE.
∴题图(2)中，A1D⊥DE，BD⊥DE，
∴∠A1DB为二面角A1－DE－B的平面角，
又二面角A1－DE－B为直二面角，
∴∠A1DB＝90°，即A1D⊥DB，
∵DE∩DB＝D且DE，DB?平面BCED，
∴A1D⊥平面BCED.
(2)解存在.由(1)知ED⊥DB，A1D⊥平面BCED.
以D为坐标原点，以射线DB、DE、DA1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz，如图，
过P 作PH ∥DE 交BD 于点H ，
设PB ＝2a (0≤2a ≤3)，则BH ＝a ，PH ＝3a ，DH ＝2－a ， 易知A 1(0，0，1)，P (2－a ，3a ，0)，E (0，3，0)， 所以P A 1→＝(a －2，－3a ，1). 因为ED ⊥平面A 1BD ，
所以平面A 1BD 的一个法向量为DE
→＝(0，3，0). 因为直线P A 1与平面A 1BD 所成的角为60°，所以sin 60°＝|P A 1→·DE
→||P A 1
→||DE →|
＝
3a 4a 2－4a ＋5×3＝32
，解得a ＝
5
4. ∴PB ＝2a ＝5
2，满足0≤2a ≤3，符合题意.
所以在线段BC 上存在点P ，使直线P A 1与平面A 1BD 所成的角为60°，此时PB ＝52.
规律方法 解决此类问题的基本策略是执果索因，其结论明确需要求出使结论成立的充分条件，将题设和结论都视为已知条件即可迅速找到切入点，建立方程(组)并解方程(组)，若有解，则存在并求得结论成立的条件，若无解，则不存在. 【训练1】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧面P AD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，∠ABC ＝45°，AD ＝AP ＝2，AB ＝DP ＝22，E 为CD 的中点，点F 在线段PB 上.
(1)求证：AD ⊥PC ；
(2)试确定点F 的位置，使得直线EF 与平面PDC 所成的角和直线EF 与平面ABCD 所成的角相等.
(1)证明 如图，在平行四边形ABCD 中，连接AC ，
因为AB ＝22，BC ＝2，∠ABC ＝45°，
由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2·AB ·BC ·cos 45°＝4，得AC ＝2， 所以AC 2＋BC 2＝AB 2， 所以∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC . 又AD ∥BC ，所以AD ⊥AC ， 因为AD ＝AP ＝2，DP ＝22， 所以AD 2＋AP 2＝DP 2，所以P A ⊥AD ，
又AP ∩AC ＝A ，所以AD ⊥平面P AC ，所以AD ⊥PC .
(2)解 因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，所以P A ⊥底面ABCD ，所以直线AC ，AD ，AP 两两互相垂直，以A 为原点，直线AD ，AC ，AP 为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0，0，0)，D (－2，0，0)，C (0，2，0)，B (2，2，0)，E (－1，1，0)，P (0，0，2)，所以PC →＝(0，2，－2)，PD →＝(－2，0，－2)，PB
→＝(2，2，－2).
设PF PB ＝λ(λ∈[0，1])，则PF
→＝(2λ，2λ，－2λ)，F (2λ，2λ，－2λ＋2)， 所以EF →＝(2λ＋1，2λ－1，－2λ＋2)，易得平面ABCD 的一个法向量为m ＝(0，0，1).
设平面PDC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
由?????n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，得???2y －2z ＝0，－2x －2z ＝0，
令x ＝1，得n ＝(1，－1，－1).
因为直线EF 与平面PDC 所成的角和直线EF 与平面ABCD 所成的角相等， 所以|cos 〈EF
→，m 〉|＝|cos 〈EF →，n 〉|， 即|EF →·m ||EF →||m |＝|EF →·n ||EF →||n |，所以|－2λ＋2|＝??????2λ3， 即3|λ－1|＝|λ|(λ∈[0，1])，解得λ＝3－32， 所以PF PB ＝3－32.
即当PF PB ＝3－3
2时，直线EF 与平面PDC 所成的角和直线EF 与平面ABCD 所成的角相等.
考点二 与二面角有关的探索性问题 多维探究
角度1 已知二面角探求长度
【例2－1】 (2018·贵阳模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，平面P AD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，P A ＝PD ＝2，BC ＝1
2AD ＝1，CD ＝ 3.
(1)求证：平面PBC ⊥平面PQB ；
(2)当PM 的长为何值时，平面QMB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小为60°？ (1)证明 ∵AD ∥BC ，Q 为AD 的中点，BC ＝1
2AD ， ∴BC ∥QD ，BC ＝QD ，
∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴BQ ∥CD .
∵∠ADC ＝90°，∴BC ⊥BQ . ∵P A ＝PD ，AQ ＝QD ，∴PQ ⊥AD .
又∵平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴PQ ⊥平面ABCD ，∴PQ ⊥BC . 又∵PQ ∩BQ ＝Q ，∴BC ⊥平面PQB . ∵BC ?平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PQB .
(2)解 由(1)可知PQ ⊥平面ABCD .如图，以Q 为原点，分别以QA ，QB ，QP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则Q (0，0，0)，D (－1，0，0)， P (0，0，3)，B (0，3，0)，C (－1，3，0)，
∴QB
→＝(0，3，0)，DC →＝(0，3，0)，DP →＝(1，0，3)，PC →＝(－1，3，－3). 设PM
→＝λPC →，则PM →＝(－λ，3λ，－3λ)，且0≤λ≤1，得M (－λ，3λ，3－3λ)，∴QM
→＝(－λ，3λ，3(1－λ)).
设平面MBQ 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则 ?????QM →·m ＝0，QB →·
m ＝0，即???－λx ＋3λy ＋3（1－λ）z ＝0，3y ＝0. 令x ＝3，则y ＝0，z ＝
λ
1－λ
， ∴平面MBQ 的一个法向量为m ＝? ?
???3，0，λ1－λ.
设平面PDC 的法向量为n ＝(x ′，y ′，z ′)，则 ?????DC →·n ＝0，DP →·
n ＝0，即???3y ′＝0，
x ′＋3z ′＝0. 令x ′＝3，则y ′＝0，z ′＝－3，
∴平面PDC 的一个法向量为n ＝(3，0，－3).
∴平面QMB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小为60°， ∴cos 60°＝|n ·m ||n ||m |＝
???
???33－3·λ1－λ12·
3＋? ??
??λ1－λ2
＝1
2，
∴λ＝12.∴PM ＝12PC ＝7
2. 角度2 已知二面角探求角度
【例2－2】 (2019·河北“五个一”名校联考)如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠ABC ＝60°，AB ＝2BC ＝2CD ，四边形DCEF 是正方形，N ，G 分别是线段AB ，CE 的中点.
(1)(一题多解)求证：NG ∥平面ADF ；
(2)设二面角A －CD －F 的大小为θ? ????
π2<θ<π，当θ为何值时，二面角A －BC －E 的
余弦值为13
13？
(1)证明 法一 如图，设DF 的中点为M ，连接AM ，GM ，
因为四边形DCEF 是正方形，所以MG 綉CD ，又四边形ABCD 是梯形，且AB ＝2CD ，AB ∥CD ，点N 是AB 的中点，
所以AN 綉DC ，所以MG 綉AN ，所以四边形ANGM 是平行四边形，所以NG ∥AM . 又AM ?平面ADF ，NG ?平面ADF ，所以NG ∥平面ADF . 法二 如图，连接NC ，NE ，
因为N 是AB 的中点，四边形ABCD 是梯形，AB ＝2CD ，AB ∥CD ， 所以AN 綉CD ，所以四边形ANCD 是平行四边形，所以NC ∥AD ， 因为AD ?平面ADF ，NC ?平面ADF ，所以NC ∥平面ADF ，
同理可得NE ∥平面ADF ，又NC ∩NE ＝N ，所以平面NCE ∥平面ADF ， 因为NG ?平面NCE ，所以NG ∥平面ADF .
(2)解 设CD 的中点为O ，EF 的中点为P ，连接NO ，OP ，易得NO ⊥CD ，以点O 为原点，以OC 所在直线为x 轴，以NO 所在直线为y 轴，以过点O 且与平面ABCD 垂直的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
因为NO ⊥CD ，OP ⊥CD ，所以∠NOP 是二面角A －CD －F 的平面角， 则∠NOP ＝θ，所以∠POy ＝π－θ，
设AB ＝4，则BC ＝CD ＝2，则P (0，2cos(π－θ)，2sin(π－θ))，E (1，2cos(π－θ)，2sin(π－θ))，C (1，0，0)，B (2，－3，0)，
CE
→＝(0，2cos(π－θ)，2sin(π－θ))，CB →＝(1，－3，0)， 设平面BCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则?????n ·CB →＝0，n ·CE →＝0，即???x －3y ＝0，2y cos （π－θ）＋2z sin （π－θ）＝0，
因为θ∈? ??
??
π2，π，所以cos(π－θ)≠0，
令z ＝1，则y ＝－tan(π－θ)，x ＝－3tan(π－θ)，
所以n ＝(－3tan(π－θ)，－tan(π－θ)，1)为平面BCE 的一个法向量， 又易知平面ACD 的一个法向量为m ＝(0，0，1)，
所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n
|m |·
|n |＝
1
4tan 2（π－θ）＋1
，
由图可知二面角A －BC －E 为锐角， 所以
14tan 2（π－θ）＋1
＝13
13， 解得tan 2(π－θ)＝3，又π
2<θ<π，
所以tan(π－θ)＝3，即π－θ＝π3，得θ＝2π
3，
所以当二面角A －CD －F 的大小为2π3时，二面角A －BC －E 的余弦值为13
13. 规律方法 1.解决探究性问题的基本方法是假设结论成立或对象存在，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，则说明假设成立，即存在，并可进一步证明；否则不成立，即不存在. 2.探索线段上是否存在点时，注意三点共线条件的应用.
3.利用空间向量的坐标运算，可将空间中的探究性问题转化为方程是否有解的问题进行处理.
【训练2】 (2019·华南师大附中质检)如图，在五面体ABCDEF 中，AB ∥CD ∥EF ，AD ⊥CD ，∠DCF ＝60°，CD ＝EF ＝CF ＝2AB ＝2AD ＝2，平面CDEF ⊥平面ABCD .
(1)求证：CE ⊥平面ADF ；
(2)已知P 为棱BC 上的点，试确定点P 的位置，使二面角P －DF －A 的大小为60°. (1)证明 ∵CD ∥EF ，CD ＝EF ＝CF ， ∴四边形CDEF 是菱形，∴CE ⊥DF .
∵平面CDEF ⊥平面ABCD ，平面CDEF ∩平面ABCD ＝CD ，AD ⊥CD ，AD ?平面ABCD ，
∴AD ⊥平面CDEF ，∵CE ?平面CDEF ，∴AD ⊥CE .
又∵AD ?平面ADF ，DF ?平面ADF ，AD ∩DF ＝D ， ∴直线CE ⊥平面ADF .
(2)解 由(1)知四边形CDEF 为菱形，又∵∠DCF ＝60°， ∴△DEF 为正三角形.
如图，取EF 的中点G ，连接GD ，则GD ⊥EF .
∵EF ∥CD ，∴GD ⊥CD .
∵平面CDEF ⊥平面ABCD ，GD ?平面CDEF ，平面CDEF ∩平面ABCD ＝CD ，∴GD ⊥平面ABCD .
又∵AD ⊥CD ，∴直线DA ，DC ，DG 两两垂直.
以D 为原点，分别以DA ，DC ，DG 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图的空间直角坐标系D －xyz .
∵CD ＝EF ＝CF ＝2，AB ＝AD ＝1，
∴D (0，0，0)，B (1，1，0)，C (0，2，0)，E (0，－1，3)，F (0，1，3)， ∴CE
→＝(0，－3，3)，DF →＝(0，1，3)，CB →＝(1，－1，0)，DC →＝(0，2，0). 由(1)知CE
→是平面ADF 的一个法向量.
设CP
→＝aCB →＝(a ，－a ，0)(0≤a ≤1)， 则DP
→＝DC →＋CP →＝(a ，2－a ，0). 设平面PDF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则?????n ·DF →＝0，n ·DP →＝0，即???y ＋3z ＝0，ax ＋（2－a ）y ＝0.
令y ＝3a ，则x ＝3(a －2)，z ＝－a ， ∴n ＝(3(a －2)，3a ，－a ). ∵二面角P －DF －A 的大小为60°，
∴|cos 〈n ，CE →
〉|＝|n ·CE →||n ||CE →|＝43a 12·3（a －2）2＋3a 2＋a 2＝12， 解得a ＝2
3或a ＝－2(不合题意，舍去). ∴P 在靠近点B 的CB 的三等分点处. 考点三 与空间角有关的最值问题
【例3】 (2018·太原二模)如图，在四棱锥E －ABCD 中，底面ABCD 是圆内接四边形，CB ＝CD ＝CE ＝1，AB ＝AD ＝AE ＝3，EC ⊥BD .
(1)求证：平面BED ⊥平面ABCD ；
(2)若点P 在平面ABE 内运动，且DP ∥平面BEC ，求直线DP 与平面ABE 所成角的正弦值的最大值.
(1)证明 如图，连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ，
∵AD ＝AB ，CD ＝CB ，AC ＝AC ，
∴△ADC ≌△ABC ，易得△ADO ≌△ABO ， ∴∠AOD ＝∠AOB ＝90°， ∴AC ⊥BD .
又EC ⊥BD ，EC ∩AC ＝C ，∴BD ⊥平面AEC ， 又OE ?平面AEC ，∴OE ⊥BD . 又底面ABCD 是圆内接四边形， ∴∠ADC ＝∠ABC ＝90°，
在Rt △ADC 中，由AD ＝3，CD ＝1，可得AC ＝2，AO ＝3
2， ∴∠AEC ＝90°，AE AC ＝AO AE ＝3
2，
易得△AEO ∽△ACE ，∴∠AOE ＝∠AEC ＝90°， 即EO ⊥AC .
又AC ，BD ?平面ABCD ，AC ∩BD ＝O ， ∴EO ⊥平面ABCD ，
又EO ?平面BED ，∴平面BED ⊥平面ABCD .
(2)解 如图，取AE 的中点M ，AB 的中点N ，连接MN ，ND ，DM ， 则MN ∥BE ，由(1)知，∠DAC ＝∠BAC ＝30°，即∠DAB ＝60°，
∴△ABD 为正三角形，∴DN ⊥AB ，又BC ⊥AB ， ∴平面DMN ∥平面EBC ， ∴点P 在线段MN 上.
以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A ? ????
32，0，0，B ? ????0，32，0，E ? ????0，0，32，M ? ????34，0，34，D ? ????0，－32，0，
N ? ??
??34，34，0， ∴AB →＝? ????－3
2，32，0，AE →＝? ????－32，0，32，
DM →＝? ????34，32，34，MN →＝? ????0，34，－34，
设平面ABE 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则?????AB →·n ＝0，AE →·
n ＝0，即???－3x ＋y ＝0，
－3x ＋z ＝0，
令x ＝1，则n ＝(1，3，3)， 设MP
→＝λMN →(0≤λ≤1)，可得 DP
→＝DM →＋MP →＝? ????34，32＋34λ，34－34λ， 设直线DP 与平面ABE 所成的角为θ， 则sin θ＝????????n ·DP →|n |·|DP →|＝1242×λ2＋λ＋4， ∵0≤λ≤1，∴当λ＝0时，sin θ取得最大值42
7. 故直线DP 与平面ABE 所成角的正弦值的最大值为42
7.
规律方法 解决空间角的最值问题一般是把空间角的某个三角函数值表示为某个变量的函数，利用这个函数的单调性求三角函数值的最值，求解时需要注意的是函数中自变量的取值范围对最值的决定作用.
【训练3】 (2019·成都诊断)如图所示，P A ⊥平面ADE ，B ，C 分别是AE ，DE 的中点，AE ⊥AD ，AD ＝AE ＝AP ＝2.
(1)求二面角A －PE －D 的余弦值；
(2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长.
解 (1)因为P A ⊥平面ADE ，AD ?平面ADE ，AB ?平面ADE ，所以P A ⊥AD ，P A ⊥AB ，又因为AB ⊥AD ，所以P A ，AD ，AB 两两垂直，
以{AB
→，AD →，AP →}为正交基底建立空间直角坐标系A －xyz ，则各点的坐标为 A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2).
因为P A ⊥AD ，AD ⊥AE ，AE ∩P A ＝A ， 所以AD ⊥平面P AE ，
所以AD
→是平面P AE 的一个法向量，且AD →＝(0，2，0). 易得PC →＝(1，1，－2)，PD →
＝(0，2，－2). 设平面PED 的法向量为m ＝(x ，y ，z ). 则?????m ·PC →＝0，m ·PD →＝0，即???x ＋y －2z ＝0，2y －2z ＝0.
令y ＝1，解得z ＝1，x ＝1.
所以m ＝(1，1，1)是平面PED 的一个法向量， 所以cos 〈AD →
，m 〉＝AD →·
m |AD →||m |＝33，
所以二面角A －PE －D 的余弦值为3
3.
(2)BP
→＝(－1，0，2)，故可设BQ →＝λBP →＝(－λ，0，2λ)(0≤λ≤1). 又CB
→＝(0，－1，0)，所以CQ →＝CB →＋BQ →＝(－λ，－1，2λ). 又DP
→＝(0，－2，2)， 所以cos 〈CQ →，DP →
〉＝CQ →·DP →|CQ →||DP →|＝1＋2λ10λ2＋2. 设1＋2λ＝t ，t ∈[1，3]， 则cos 2
〈CQ
→，DP →〉＝2t 25t 2－10t ＋9＝29? ??
??1t －592＋209≤9
10
，
当且仅当t ＝95，即λ＝25时，|cos 〈CQ
→，DP →〉|的最大值为31010
.
因为y ＝cos x 在? ?
?
??0，π2上是减函数，
所以当λ＝2
5时直线CQ 与DP 所成角取得最小值. 又因为BP ＝12＋22＝5，所以BQ ＝25BP ＝25
5.
[思维升华]
用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想. [易错防范]
求出法向量夹角的余弦值后，不清楚二面角的余弦值取正值还是负值，确定二面角余弦值正负有两种方法：
(1)通过观察二面角是锐角还是钝角来确定其余弦值的正负；
(2)当不易观察二面角是锐角还是钝角时可判断两半平面的法向量与二面角的位置关系来确定.
直观想象——立体几何中的动态问题
1.直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.
2.立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹的长度及动角的范围等.
3.一般是根据线、面垂直，线、面平行的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹(理科还可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程).
【例1】 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 分别是直线CD 、AB 上的动点，点P 是△A 1C 1D 内的动点(不包括边界)，记直线D 1P 与MN 所成角为θ，若θ的
最小值为π
3，则点P 的轨迹是( )
A.圆的一部分
B.椭圆的一部分
C.抛物线的一部分
D.双曲线的一部分
解析 把MN 平移到平面A 1B 1C 1D 1中，直线D 1P 与MN 所成角为θ，直线D 1P 与MN 所成角的最小值是直线D 1P 与平面A 1B 1C 1D 1所成角，即原问题转化为：直线D 1P 与平面A 1B 1C 1D 1所成角为π
3，点P 在平面A 1B 1C 1D 1的投影为圆的一部分，因为点P 是△A 1C 1D 内的动点(不包括边界)， 所以点P 的轨迹是椭圆的一部分.故选B.
答案 B
【例2】 (2018·石家庄一模)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为2的正方形，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝4，M 是PB 上的一个动点(不与P ，B 重合)，过点M 作平面α∥平面P AD ，截棱锥所得图形的面积为y ，若平面α与平面P AD 之间的距离为x ，则函数y ＝f (x )的图象是( )
解析 过M 作MN ⊥AB ，交AB 于N ，则MN ⊥平面ABCD ，过N 作NQ ∥AD ，交CD 于Q ，过Q 作QH ∥PD ，交PC 于H ，连接MH ，则平面MNQH 是所作的平面α，
由题意得2－x 2＝MN
4， 解得MN ＝4－2x ，由CQ CD ＝QH
PD . 即2－x 2＝QH 25，解得QH ＝5(2－x )，
过H 作HE ⊥NQ ，在Rt △HEQ 中，EQ ＝HQ 2－HE 2＝2－x ，
∴NE ＝2－(2－x )＝x ，∴MH ＝x .
∴y ＝f (x )＝（x ＋2）（4－2x ）
2＝－x 2
＋4(0 ∴函数y ＝f (x )的图象如图.故选C. 答案 C 【例3】 如图，在棱长为2的正四面体A －BCD 中，E 、F 分别为直线AB 、CD 上的动点，且|EF |＝ 3.若记EF 中点P 的轨迹为L ，则|L |等于________(注：|L |表示L 的测度，在本题，L 为曲线、平面图形、空间几何体时，|L |分别对应长度、面积、体积). 解析 如图，当E 为AB 中点时，F 分别在C ，D 处，满足|EF |＝3，此时EF 的中点P 在EC ，ED 的中点P 1，P 2的位置上； 当F 为CD 中点时，E 分别在A ，B 处，满足|EF |＝3，此时EF 的中点P 在BF ，AF 的中点P 3，P 4的位置上， 连接P 1P 2，P 3P 4相交于点O ，则四点P 1，P 2，P 3，P 4共圆，圆心为O ，圆的半径为12，则EF 中点P 的轨迹L 为以O 为圆心，以1 2为半径的圆， 其测度|L |＝2π×1 2＝π. 答案 π 【例4】 已知ABCD ⊥平面ADEF ，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，且AB ＝1，AD ＝CD ＝2，ADEF 是正方形，在正方形ADEF 内部有一点M ，满足MB ，MC 与平面ADEF 所成的角相等，则点M 的轨迹长度为( ) A.43 B.163 C.49π D.83π 解析 根据题意，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DE 所在直线为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系D －xyz ，如图1所示，则B (2，1，0)，C (0，2，0)，设M (x ，0，z )，易知直线MB ，MC 与平面ADEF 所成的角分别为∠AMB ，∠DMC ，均为锐角，且∠AMB ＝∠DMC ，所以sin ∠AMB ＝sin ∠DMC ?AB MB ＝CD MC ，即2MB ＝MC ，因此2 （2－x ）2 ＋12 ＋z 2 ＝ x 2 ＋22 ＋z 2 ，整理得? ?? ??x －832＋z 2＝16 9，由此可 得，点M 在正方形ADEF 内的轨迹是以点O ? ???? 83，0，0为圆心，半径为43的圆弧 M 1M 2，如图2所示，易知圆心角∠M 1OM 2＝π3，所以lM 1M 2＝π3×43＝4 9π，故选C. 答案 C 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 1.(2018·山西联考)如图，在三棱锥P －ABC 中，D 为棱P A 上的任意一点，点F ，G ，H 分别为所在棱的中点. (1)证明：BD ∥平面FGH ； (2)若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB ＝2，∠BAC ＝45°，当二面角C －GF －H 的平面角为π 3时，求棱PC 的长. (1)证明 因为G ，H 分别为AC ，BC 的中点，所以AB ∥GH ，且GH ?平面FGH ， AB ?平面FGH ，所以AB ∥平面FGH . 因为F ，G 分别为PC ，AC 的中点， 所以GF ∥AP ，且FG ?平面FGH ，AP ?平面FGH ，所以AP ∥平面FGH . 又因为AP ∩AB ＝A ， 所以平面ABP ∥平面FGH . 因为BD ?平面ABP ，所以BD ∥平面FGH . (2)解 在平面ABC 内过点C 作CM ∥AB ，如图，以C 为原点，分别以CB ，CM ，CF 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系C －xyz ，连接BG . 由△ABC 为等腰直角三角形知BG ⊥AC . 因为BG ⊥CF ，AC ∩CF ＝C ，所以BG ⊥平面P AC . 设CF ＝a ，则B (2，0，0)，G (1，－1，0)， 所以BG →＝(－1，－1，0)为平面P AC 的一个法向量. 又F (0，0，a )，H (1，0，0)，所以FH →＝(1，0，－a )，FG →＝(1，－1，－a ). 设m ＝(x ，y ，z )为平面FGH 的法向量， 则?????m ·FH →＝0，m · FG →＝0，即???x －az ＝0，x －y －az ＝0， 可得平面FGH 的一个法向量为m ＝(a ，0，1). 由|cos 〈m ，BG →〉|＝??????－a 2·a 2 ＋1＝12，得a ＝1(负值已舍去)，从而2a ＝2，所以棱PC 的长为2. 2.(2018·齐鲁名校教科研协作体联考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥平面PCD ，PD ⊥CD ，底面ABCD 是梯形，AB ∥DC ，AB ＝AD ＝PD ＝1，CD ＝2AB ，Q 为棱PC 上一点. (1)若点Q 是PC 的中点，证明：BQ ∥平面P AD . (2)PQ →＝λPC →，试确定λ的值使得二面角Q －BD －P 的大小为60°. (1)证明 如图(1)，取PD 的中点M ，连接AM ，MQ . 图(1) ∵点Q 是PC 的中点，∴MQ ∥CD ，MQ ＝12CD . 又AB ∥CD ，AB ＝1 2CD ， ∴MQ ∥AB ，MQ ＝AB ，∴四边形ABQM 是平行四边形.∴BQ ∥AM . 又AM ?平面P AD ，BQ ?平面P AD ，∴BQ ∥平面P AD . (2)解 由AD ⊥平面PCD ，PD ⊥CD ，可得DA ，DC ，DP 两两垂直，以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图(2)的空间直角坐标系，则D (0，0，0)，P (0，0，1)，C (0，2，0)，A (1，0，0)，B (1，1，0). 图(2) 设Q (x 0，y 0，z 0)，则PQ →＝(x 0，y 0，z 0－1)，PC → ＝(0，2，－1). ∵PQ →＝λPC →，∴(x 0，y 0，z 0－1)＝λ(0，2，－1)，∴Q (0，2λ，1－λ). 又易证BC ⊥平面PBD ， ∴n ＝(－1，1，0)是平面PBD 的一个法向量. 设平面QBD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 第5讲氧化还原反应的计算及方程式的配平 [考纲要求] 1.掌握常见氧化还原反应的配平和相关计算。2.能利用得失电子守恒原理进行相关计算。 考点一氧化还原反应方程式的配平方法 氧化还原反应的实质是反应过程中发生了电子转移，而氧化剂得电子总数(或元素化合价降低总数)必然等于还原剂失电子总数(或元素化合价升高总数)，根据这一原则可以对氧化还原反应的化学方程式进行配平。 配平的步骤： (1)标好价：正确标出反应前后化合价有变化的元素的化合价。 (2)列变化：列出元素化合价升高和降低的数值。 (3)求总数：求元素化合价升高和降低的总数，确定氧化剂、还原剂、氧化产物、还原产物的化学计量数。 (4)配系数：用观察法配平其他各物质的化学计量数。 (5)细检查：利用“守恒”三原则(即质量守恒、得失电子守恒、电荷守恒)，逐项检查配平的方程式是否正确。 [典例]根据FeS2＋O2―→Fe2O3＋SO2，回答下列问题： (1)氧化剂________，还原剂________，氧化产物________，还原产物________。 (2)元素化合价升高的元素为________，元素化合价降低的元素为________。 (3)1“分子”还原剂化合价升高总数为________，1“分子”氧化剂化合价降低总数为________。 (4)配平后各物质的系数依次为____________________。 答案(1)O2FeS2Fe2O3、SO2Fe2O3、SO2 (2)Fe、S O(3)114 (4)4、11、2、8 失误防范配平氧化还原反应方程式的关键是正确标出化合价，找准1“分子”氧化剂化合价降低总数，1“分子”还原剂化合价升高总数，在计算时，往往容易忽略氧化剂、还原剂中的粒子个数。 题组一正向配平类 选修4－5不等式选讲 1．两个实数大小关系的基本事实 a>b?________；a＝b?________；a 5．基本不等式 (1)定理：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)定理(基本不等式)：如果a ，b >0，那么a ＋b 2________ab ，当且仅当________时，等号成 立．也可以表述为：两个________的算术平均________________它们的几何平均． (3)利用基本不等式求最值 对两个正实数x ，y ， ①如果它们的和S 是定值，则当且仅当________时，它们的积P 取得最________值； ②如果它们的积P 是定值，则当且仅当________时，它们的和S 取得最________值． 6．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)定理 如果a ，b ，c 均为正数，那么a ＋b ＋c 3________3 abc ，当且仅当________时，等号 成立． 即三个正数的算术平均____________它们的几何平均． (2)基本不等式的推广 对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均__________它们的几何平均，即 a 1＋a 2＋…＋a n n ________n a 1a 2…a n ， 当且仅当________________时，等号成立． 7．柯西不等式 (1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2 n )≥(a 1b 1 ＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立． (3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立． 8．证明不等式的方法 (1)比较法 ①求差比较法 知道a >b ?a －b >0，a b ，只要证明________即可，这种方法称为求差比较法． ②求商比较法 由a >b >0?a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时要证明a >b ，只要证明________即可，这 种方法称为求商比较法． 第1讲探究型实验题 热点一未知产物及物质性质的探究 1．对未知产物的探究 通过化学反应原理猜测可能生成哪些物质，对这些物质逐一进行检验来确定究竟含有哪些物质。正确解答此类试题的关键：(1)猜测要全面；(2)熟记常见物质的检验方法。 4 (2)在烧杯中加入热水(或对烧杯加热)c (3)取少量溶液于试管中，加入KSCN溶液，溶液变成血红色，则有Fe3＋取少量溶液滴入适 量酸性高锰酸钾溶液中，高锰酸钾溶液褪色，则有Fe2＋a(4)b 11m－4n 14n 2．物质性质的探究 无机物、有机物性质的探究，必须在牢牢掌握元素化合物知识的基础上，大胆猜想，细心论证。 对物质性质探究的基本思路如下： 题组一 未知产物的探究 1．实验室中需要22.4 L(标准状况)SO 2气体。化学小组同学依据化学方程式Zn ＋2H 2SO 4(浓)=====△ZnSO 4＋SO 2↑＋2H 2O 计算后，取65.0 g 锌粒与98%的浓H 2SO 4(ρ＝1.84 g·cm －3)110 mL 充分反应，锌全部溶解，对于制得的气体，有同学认为可能混有杂质。 (1)化学小组所制得的气体中混有的主要杂质气体可能是______(填分子式)。产生这种结果的主要原因是________(用化学方程式和必要的文字加以说明)。 (2)为证实相关分析，化学小组的同学设计了实验，组装了如下装置，对所制取的气体进行探究。 ①装置B中加入的试剂为________，作用是________。 ②装置D加入的试剂为________________，装置F加入的试剂为________________。 ③可证实一定量的锌粒和一定量的浓硫酸反应后生成的气体中混有某杂质气体的实验现象是________。 ④U形管G的作用为________。 答案(1)H2随着反应的进行，硫酸浓度降低，致使锌与稀硫酸反应生成H2：Zn＋H2SO4===ZnSO4＋H2↑ (2)①NaOH溶液(或酸性KMnO4溶液，其他合理答案也可) 除去混合气体中的SO2②浓硫酸无水硫酸铜 ③装置E玻璃管中黑色CuO粉末变红色，干燥管F中无水硫酸铜变蓝色 ④防止空气中的H2O进入干燥管F而影响杂质气体的检验 解析(1)从物质的量关系来看，发生反应Zn＋2H2SO4(浓)===ZnSO4＋SO2↑＋2H2O，H2SO4略过量，但是实际上随着反应的进行，硫酸的浓度降低；当硫酸的浓度降到一定程度，反应变为Zn＋H2SO4===ZnSO4＋H2↑。(2)该实验的目的是为了通过加热还原CuO验证H2的存在，通过F装置进一步确认有H2O生成；具体的实验装置及作用是A—产生待研究的气体，B—除去气体中的SO2(可以利用SO2的性质选取NaOH溶液或酸性高锰酸钾溶液)，C—验证SO2已除尽，D—干燥气体，E—若有H2，则加热E玻璃管，CuO固体由黑色变为红色，F—利用无水硫酸铜吸水变蓝进一步确定气体中H2的存在，G—防止空气中的水蒸气进入F装置而干扰实验。 选修4－4 坐标系与参数方程 1．极坐标系 (1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做________，从O 点引一条射线Ox ，叫做________，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系． 设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的________，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝______，y ＝________. 另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________. 2．简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程 θ＝α (ρ∈R )表示过极点且与极轴成α角的直线； ρcos θ＝a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； ρsin θ＝b 表示过??? ?b ，π 2且平行于极轴的直线； ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程． (2)圆的极坐标方程 ρ＝2r cos θ表示圆心在(r,0)，半径为|r |的圆； ρ＝2r sin θ表示圆心在????r ，π 2，半径为|r |的圆； ρ＝r 表示圆心在极点，半径为|r |的圆． 3．曲线的参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数? ???? x ＝f (t )， y ＝g (t ). 并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________________，其中变量t 称为________． 4．一些常见曲线的参数方程 (1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为________________(t 为参数)． (2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为________________________(θ为参数)． (3)椭圆方程x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的参数方程为________________(θ为参数)． (4)抛物线方程y 2＝2px (p >0)的参数方程为________________(t 为参数)． 1．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π 4 )＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________． 2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为____________________． 3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线? ???? x ＝4t 2 ， y ＝4t (t 为参数)上，则PF ＝________. 4．直线? ???? x ＝－1＋t sin 40° ，y ＝3＋t cos 40°(t 为参数)的倾斜角为________． 5．已知曲线C 的参数方程是? ???? x ＝3t ， y ＝2t 2 ＋1(t 为参数)．则点M 1(0,1)，M 2(5,4)在曲线C 上的是________． 题型一 极坐标与直角坐标的互化 例1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π 3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标； 第1讲 化学实验基础知识和技能 [考纲要求] 1.了解化学实验室常用仪器的主要用途和使用方法。2.掌握化学实验的基本操作，能识别药品安全使用标志。3.了解实验室一般事故的预防和处理方法。 考点一 常用化学仪器的识别与使用 1．可加热的仪器 (1)仪器①的名称为试管，加热液体时，液体体积不能超过其容积的13 ，加热固体时，试管口应略向下倾斜。 (2)仪器②的名称为蒸发皿。使用方法：蒸发浓缩时要用玻璃棒搅拌。 (3)仪器③的名称为坩埚。使用方法：用于固体物质灼烧，把坩埚放在三脚架上的泥三角上加热，取放坩埚必须使用坩埚钳，加热完的坩埚应放在石棉网上冷却。 (4)仪器④的名称为圆底烧瓶。使用方法：a.常用于组装有液体参与反应的反应器；b.加热液 体时，不能超过其容积的12 。 (5)仪器⑤的名称为锥形瓶。使用方法：a.可用于组装气体发生器；b.用于滴定操作；c.作蒸馏装置的接收器。 收集：樱满唯 (6)仪器⑥的名称为烧杯。使用方法：a.可用于物质的溶解与稀释；b.用于称量具有腐蚀性的固体药品；c.组装水浴加热装置。 2．常用的计量仪器 完成下列空白 (1)仪器A的名称：量筒；用途：量取一定体积的液体；精确度：0.1 mL。 特别提醒①无“0”刻度；②不可加热，不可作反应容器，不可用于溶液的稀释；③选取量筒的规则是“大而近”，例如量取5.6 mL NaOH溶液应选取10 mL量筒，而不能选5 mL 或50 mL 量筒。 (2)仪器B的名称：容量瓶；用途：配制一定物质的量浓度的溶液；该仪器能长时间贮存溶液吗？不能。 (3)仪器C的名称：酸式滴定管。 ①使用前需“查漏”；②“0”刻度在上方；③不可盛装碱性溶液；④精确度：0.01 mL。 (4)仪器D的名称：碱式滴定管。 用于盛装碱性溶液，不可盛装酸性和强氧化性液体(如KMnO4溶液)。 (5)仪器E的名称：托盘天平。 ①称量前先调零点；②腐蚀性药品应放于烧杯内称量；③左盘放被称物，右盘放砝码，即“左物右码”；④精确度：0.1 g。 (6)仪器F的名称：温度计。 ①测反应混合液的温度时，温度计的水银球应插入混合液中但不能接触容器内壁；②测蒸汽的温度时，水银球应在液面以上；测馏分温度时，水银球应放在蒸馏烧瓶支管口处。3．常用的分离、提纯仪器 第十二章 推理证明、算法初步、复数 第1讲 归纳与类比一、选择题 1．观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为 ( )． A ．76 B ．80 C ．86 D ．92解析 由|x |＋|y |＝1的不同整数解的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x |＋|y |＝n 的不同整数解的个数为4n ，故|x |＋|y |＝20的不同整数解的个数为80.故选B.答案 B 2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( )．A ．289 B ．1 024C ．1 225 D ．1 378解析 观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，…，a n ＝a n －1＋n .∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。 、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。 考点一物质分离、提纯的常用方法及装置 1.物质分离、提纯的区别 (1)物质的分离 将混合物的各组分分离开来，获得几种纯净物的过程。 (2)物质的提纯 将混合物中的杂质除去而得到纯净物的过程，又叫物质的净化或除杂。 2.物质分离、提纯的常用方法及装置 (1)常规实验装置 ①过滤：适用条件：不溶性固体和液体的分离。说明：操作中a.一贴：滤纸紧贴漏斗内壁；二低：滤纸上边缘低于漏斗边缘，液面低于滤纸边缘；三靠：烧杯紧靠玻璃棒，玻璃棒轻靠三层滤纸处，漏斗下端尖口处紧靠烧杯内壁；b.若滤液浑浊，需更换滤纸，重新过滤。浑浊 的原因可能是滤纸破损、滤液超过滤纸边缘。 ②蒸发：适用条件：分离易溶性固体的溶质和溶剂。说明：蒸发结晶适用于溶解度随温度变化不大的物质；而对溶解度受温度变化影响较大的固态溶质，采用降温结晶的方法。 在蒸发结晶中应注意：a.玻璃棒的作用：搅拌，防止液体局部过热而飞溅；b.当有大量晶体析出时，停止加热，利用余热蒸干而不能直接蒸干。 ③蒸馏：适用条件：分离沸点相差较大的互溶液体混合物。说明：a.温度计的水银球放在蒸馏烧瓶的支管口处；b.蒸馏烧瓶内要加沸石；c.冷凝管水流方向应为“逆流”。 ④萃取和分液：适用条件：分离互不相溶的两种液体。说明：a.溶质在萃取剂中的溶解度大； b.两种液体互不相溶； c.溶质和萃取剂不反应； d.分液时下层液体从下口流出，上层液体从上口倒出。 ⑤升华(如下左图)：适用条件：除去不挥发性杂质或分离不同挥发程度的固体混合物。说明：利用物质升华的性质进行分离，属于物理变化。 ⑥洗气(如上右图)：适用条件：除去气体中的杂质气体。说明：长管进气短管出气。 (2)创新实验装置 ①过滤装置的创新——抽滤 由于水流的作用，使图1装置a、b中气体的压强减小，故使过滤速率加快。 第2讲 乙醇和乙酸 基本营养物质 [考纲要求] 1.了解乙醇、乙酸的组成。2.了解乙醇、乙酸的主要性质。3.了解乙醇、乙酸的重要应用。4.了解酯化反应。5.了解糖类、油脂和蛋白质的组成和主要性质。6.了解三类营养物质在生活中的应用。7.了解葡萄糖的检验方法。 考点一 乙醇和乙酸的结构与性质 1．乙醇、乙酸结构和性质的比较 物质名称 乙醇 乙酸 结构简式及官能团 CH 3CH 2OH —OH CH 3COOH —COOH 物理性质 色、味、 态 无色特殊香味的液体 无色刺激性气味的液体 挥发性 易挥发 易挥发 密度 比水小 物理性质 溶解性 与水任意比互溶 与水、乙醇任意比互溶 化学性质 燃烧乙醇――→ 羟基的性质 ????? 与Na 反应 氧化反应? ?? ?? 催化氧化酸性KMnO 4 氧化等酯化反应 燃烧乙酸――→ 羧基的性质 ? ???? 弱酸性(酸的通性) 酯化反应 2.完成下列关于乙醇、乙酸的化学方程式 (1)Na 与乙醇的反应： 2CH 3CH 2OH ＋2Na ―→2CH 3CH 2ONa ＋H 2↑。 (2)乙醇的催化氧化： 2CH 3CH 2OH ＋O 2――→Cu △2CH 3CHO ＋2H 2O 。 (3)乙醇和乙酸的酯化反应： CH 3CH 2OH ＋CH 3COOH 浓H 2SO 4 △ CH 3COOCH 2CH 3 ＋H 2O 。 收集：樱满唯 (4)乙酸与CaCO3反应： 2CH3COOH＋CaCO3―→(CH3COO)2Ca＋CO2↑＋H2O。 深度思考 1．能否用Na检验酒精中是否有水？应如何检验酒精中的少量水？ 答案不能，因为Na与乙醇也发生反应。实验室常用无水CuSO4来检验乙醇中是否含水。2．怎样鉴别乙酸和乙醇？ 答案物理方法：闻气味法。有特殊香味的是乙醇，有强烈刺激性气味的是乙酸。 化学方法：可用Na2CO3溶液、CaCO3固体或CuO、石蕊溶液等。加入Na2CO3溶液产生气泡的是乙酸，不能产生气泡的是乙醇。能溶解CaCO3固体且产生气泡的是乙酸。能溶解CuO，溶液变蓝的是乙酸。加入石蕊溶液变红的是乙酸。 题组一乙醇、乙酸的性质及应用 1．交警对驾驶员是否饮酒进行检测的原理是橙色的酸性K2Cr2O7水溶液遇呼出的乙醇蒸气迅速变蓝，生成蓝绿色的Cr3＋。下列对乙醇的描述与此测定原理有关的是() ①乙醇沸点低②乙醇密度比水小③乙醇具有还原性 ④乙醇是烃的含氧衍生物⑤乙醇可与羧酸在浓硫酸的作用下发生取代反应 A．②⑤B．②③ C．①③D．①④ 答案C 解析由题中信息(＋6价Cr被还原为＋3价)可知测定原理利用了乙醇的还原性，同时从体内可呼出乙醇蒸气，说明乙醇的沸点低。 2．下列关于有机物的说法错误的是() A．乙醇中是否含有水，可用无水硫酸铜来检验 B．乙醇和乙酸的熔点和沸点都比C2H6、C2H4的熔点和沸点高 C．乙酸的分子式为CH3COOH，属于弱电解质 D．食醋中含有乙酸，乙酸可由乙醇氧化得到 答案C 解析乙醇、乙酸常温下都是液体，而C2H6、C2H4是气体，B正确；CH3COOH是乙酸的结构简式，C错。 3．下列物质都能与Na反应放出H2，其产生H2的速率排列顺序正确的是() ①C2H5OH②CH3COOH(aq)③NaOH(aq) A．①＞②＞③B．②＞①＞③ C．③＞①＞②D．②＞③＞① §5.4复数 1．复数的有关概念 (1)定义：我们把集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)． (2)分类： (3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭?a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (5)模：向量OZ → 的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． 2．复数的几何意义 复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ → ＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系． 3．复数的运算 (1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R . (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→ ，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→. 概念方法微思考 1．复数a＋b i的实部为a，虚部为b吗？ 提示不一定．只有当a，b∈R时，a才是实部，b才是虚部． 2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？ 提示复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( × ) (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) (3)复平面中原点是实轴与虚轴的交点．( √ ) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ ) 题组二 教材改编 2．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1 答案 A 解析 ∵z 为纯虚数，∴????? x 2－1＝0， x －1≠0， ∴x ＝－1. 3．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA → 对应的复数是( ) A ．1－2i B ．－1＋2i C ．3＋4i D ．－3－4i 答案 D 解析 CA →＝CB →＋BA → ＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i. 4．若复数z 满足()3＋4i z ＝1－i(i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 等于( ) A ．－15－75 i B ．－15＋75 i 第3讲 硫及其化合物 [考纲要求] 1.了解硫及其重要化合物的主要化学性质及应用。2.了解硫的氧化物对大气的污染与防治。 考点一 硫及其氧化物的性质 1.硫单质的性质及应用 (1)硫元素的存在形态 形态— —游离态—火山喷口附近或地壳的岩层里—化合态—主要以硫化物和硫酸盐的形式存在 (2)硫单质的物理性质 硫单质俗称硫黄，是一种淡黄色固体；不溶于水，微溶于酒精，易溶于CS 2；有多种同素异形体，如单斜硫、斜方硫等。 (3)从化合价的角度认识硫单质的化学性质 S －2 ――→ 氧化性 S 0 ――→ 还原性 S ＋ 4 O 2 2.二氧化硫(SO2) (1)物理性质 二氧化硫是无色，有刺激性气味的有毒气体，是大气污染物之一；易溶于水，通常状况下，1体积水溶解约40体积SO2。 (2)化学性质 按要求完成下列方程式： SO 2 ??????? ?? 酸性氧化物的通性???? ? 与H 2O 反应：SO 2＋H 2O H 2SO 3与NaOH (足量)反应： 2NaOH ＋SO 2===Na 2SO 3＋H 2O 氧化性 (如与H 2 S 溶液反应)： SO 2 ＋2H 2 S===3S ↓＋2H 2 O 还原性??? ?? O 2：2SO 2＋O 2催化剂△ 2SO 3 Cl 2＋H 2O ：Cl 2＋SO 2＋2H 2O===2HCl ＋H 2SO 4 漂白性：可使品红溶液等有机色质褪色生成不稳定 的化合物 3.三氧化硫(SO 3) SO 3在标准状况下为无色、针状晶体，能与水反应：SO 3＋H 2O===H 2SO 4，放出大量的热，SO 3是酸性氧化物，它跟碱性氧化物或碱都能反应生成硫酸盐。 4.硫的氧化物的污染与治理 (1)来源：含硫化石燃料的燃烧及金属矿物的冶炼等。 (2)危害：危害人体健康，形成酸雨(pH 小于5.6)。 (3)治理：燃煤脱硫，改进燃烧技术。 (4)硫酸型酸雨的形成途径有两个： 途径1：空气中飘尘的催化作用，使2SO 2＋O 2催化剂 2SO 3、SO 3＋H 2O===H 2SO 4。 途径2：SO 2＋H 2O H 2SO 3、2H 2SO 3＋O 2===2H 2SO 4。 深度 思考 2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第3讲平面向量 的数量积 第3讲平面向量的数量积 一、选择题 1．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝() A.5 B.10 C．2 5 D．10 解析∵a⊥b，∴x－2＝0，∴x＝2.∴|a＋b|＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝4＋1＋1＋4＝10.故选B. 答案 B 2．设向量a＝(1，cos θ)与b＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于() A. 2 2 B. 1 2 C．0 D．－1 解析∵a⊥b，∴1×(－1)＋cos θ·2cos θ＝0，即2cos2θ－1＝0.又cos 2θ＝2cos2θ－1. 答案 C 3．若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝ ()．A．4 B．3 C．2 D．0 解析由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0. 答案 D 4．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0.向量a，b的夹角为60°，且|b|＝|a|，则向量a与c的夹角为() A．60°B．30° C．120°D．150°解析由a＋b＋c＝0得c＝－a－b， ∴|c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos 60°＝3|a|2， ∴|c|＝3|a|， 又a ·c ＝a ·(－a －b )＝－|a |2－a ·b ＝－|a |2－|a ||b |cos 60°＝－32|a |2. 设a 与c 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·c |a ||c |＝ －32|a |2 |a |·3|a |＝－32， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝150°. 答案 D 5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点的坐标是 ( )． A ．(－3,0) B ．(2,0) C ．(3,0) D ．(4,0) 解析 设P 点坐标为(x,0)， 则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)． AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1) ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1. 当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1. ∴此时点P 坐标为(3,0)，故选C. 答案 C 6．对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ＝α·ββ· β.若平面向量a ，b 满足 |a |≥|b |>0，a 与b 的夹角θ∈? ????0，π4，且a b 和b a 都在集合???? ??n 2| n ∈Z 中，则a b ＝ ( )． A.12 B ．1 C.3 2 D.52 解析 由定义αβ＝α·ββ2可得b a ＝a ·b a 2＝|a |·|b |cos θ|a |2＝|b |cos θ |a |，由|a |≥|b |>0，及 [考纲要求] 1.应用离子反应发生的条件，正确判断常见离子在溶液中能否大量共存。2.利用离子的特征反应，能鉴别常见离子以及进行综合推断。 考点一离子共存 1．离子共存问题是离子反应条件和本质的最直接应用 所谓几种离子在同一溶液中能大量共存，就是指离子之间不发生任何反应；若离子之间能发生反应，则不能大量共存。 2．熟记常考离子的性质 注意“两性离子”指既能与酸反应又能与碱反应的离子，一般为多元弱酸的酸式酸根离子。3．常见溶液酸、碱性的判断 酸性溶液：pH<7(常温)；能使pH试纸呈红色的溶液；能使甲基橙呈红色或橙色的溶液；能使石蕊溶液呈红色的溶液。 碱性溶液：pH>7(常温)；能使pH试纸呈蓝色的溶液；能使石蕊溶液呈蓝色的溶液；能使酚酞溶液呈红色的溶液。 呈酸性或碱性的溶液：和Al反应放出H2的溶液(HNO3除外)；能使甲基橙呈黄色的溶液；c(H ＋)水或c(OH－)水等于10－a mol·L－1(a>7)的溶液。 深度思考 (1)OH－不能和________________________________________________________大量共存(填具体离子，下同)。 答案H＋、NH＋4、Fe2＋、Fe3＋、Cu2＋、Zn2＋、Mg2＋、Al3＋、Cr3＋、HCO－3、HS－、HSO－3、H2PO－4、HPO2－4 (2)H＋不能和____________________________________________________大量共存。 答案OH－、CO2－3(HCO－3)、S2－(HS－)、SO2－3(HSO－3)、PO3－4(H2PO－4，HPO2－4)、SiO2－3、AlO－2、ClO－、F－、CH3COO－、NO－2 (3)CO2－3不能和________________________________________________大量共存。 答案H＋、Mg2＋、Ba2＋、Ca2＋、Fe3＋、Al3＋、Fe2＋、Cu2＋ (4)SO2－3不能和__________________________________________大量共存。 2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第三章 3.1 §3.1导数的概念及运算 1．函数y＝f(x)从x0到x1的平均变化率 Δy Δx＝f(x1)－f(x0) x1－x0 ＝ f(x0＋Δx)－f(x0) Δx. 2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义 当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导 数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝lim x1→x0f(x1)－f(x0) x1－x0 ＝lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx. (2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．函数f(x)的导函数 如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝ lim Δx→0f(x＋Δx)－f(x) Δx，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为 导数． 4．基本初等函数的导数公式 5． (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)?? ??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) [g (x )]2 (g (x )≠0)． 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同． ( × ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)． ( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点． ( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． ( × ) (5)若f (x )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2x . ( × ) (6)函数f (x )＝x 2ln x 的导函数为f ′(x )＝2x ·1x ＝2. ( × ) 2． (2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 答案 2 解析 设e x ＝t ，则x ＝ln t (t >0)，∴f (t )＝ln t ＋t ∴f ′(t )＝1 t ＋1，∴f ′(1)＝2. 3． 已知曲线y ＝x 3在点(a ，b )处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则a 的值是 ( ) A ．－1 B ．±1 C ．1 D ．±3 答案 B 第三章常见的金属及其化合物钠及其氧化物钠的其他常见化合物 碱金属元素 一、选择题(本题包括12个小题，每小题5分，共60分) 1．下列有关NaHCO3和Na2CO3性质的比较中，正确的是 ( ) A．热稳定性：Na2CO3 卤代烃 一、卤代烃水解反应与消去反应的比较 1．卤代烃发生水解反应与消去反应的条件有何异同？ 2．卤代烃发生水解反应与消去反应的产物是什么？ 3．简述卤代烃发生取代反应和消去反应的规律条件。 典例导悟1 已知烃A 的分子式为C 6H 12，分子中含有碳碳双键，且仅有一种类型的氢原子，在下面的转化关系中，D 1、D 2互为同分异构体，E 1、E 2互为同分异构体。 (1)反应②的化学方程式为________________________________________________ ________________________________________________________________________； (2)C 的化学名称是__________________；E 2的结构简式是___________________； (3)④、⑥的反应类型依次是____________________________________________。 变式演练1 以溴乙烷为原料制1,2-二溴乙烷，下列转化方案中最好的是( ) A ．CH 3CH 2Br ――→NaOH 溶液△CH 3CH 2OH ――→浓H 2SO 4170 ℃ CH 2===CH 2――→Br 2CH 2BrCH 2Br B ．CH 3CH 2Br ――→Br 2CH 2BrCH 2Br C ．CH 3CH 2Br ――→NaOH 的醇溶液△CH 2===CH 2――→HBr CH 3CH 2Br ――→Br 2CH 2BrCH 2Br D ．CH 3CH 2Br ――→NaOH 的醇溶液△CH 2===CH 2――→Br 2 CH 2BrCH 2Br 二、检验卤代烃分子中卤素的方法 1．如何检验卤代烃分子中的卤素原子，用化学方程式表示出实验原理。 过关测试 (满分100分限时90 min) 一、选择题(本题包括12小题，每小题3分，共36分，每题只有1个正确答案) 1．下列有关原子的叙述正确的是() A．原子是由质子和电子构成的 B．原子是由原子核和核外电子构成的 C．原子核都是由质子和中子构成的 D．任何物质都是由原子构成的 2．航天飞船用铝粉和高氯酸铵(NH4ClO4)的混合物作为固体燃料，高氯酸铵中Cl元素的化合价为() A．＋1 B．＋3 C．＋5 D．＋7 3．下列说法正确的是() A．1 mol H＋的质量是1 g B．H2的摩尔质量是2 g C．1 mol O2的质量是32 g·mol－1 D．1 mol Na＋的质量是11 g 4．原子总数和价电子总数都相等的微粒互为等电子体，它们具有相似的结构和性质，下列各组微粒互为等电子体的是() A．NH＋4和H2O B．N2和NO C．H3O＋和NH3D．BF3和NH3 5.氮化硅是一种新型陶瓷材料的主要成分，能承受高温，可用于制造业、航天业等领域，已知氮元素、硅元素的原子结构示意图如图所示，请推测氮化硅的化学式是() A．Si3N4B．Si4N3 C．N4Si3D．Si3N7 6．下列物质分类的正确组合是() 选项酸碱盐 酸性氧 化物 A 盐 酸 纯 碱 碳 铵 二氧化 硫 B 硫 酸 烧 碱 食 盐 一氧化 碳 C 醋 酸 苛 性钠 石 灰石 水 D 碳 酸 苛 性钾 苏 打 三氧化 硫 7.气体。该装置可用于() A．二氧化锰与双氧水反应制备氧气 B．碳酸钙和盐酸反应制备二氧化碳 C．加热高锰酸钾制取氧气 D．锌和盐酸反应制备氢气 8．下列说法正确的是(N A表示阿伏加德罗常数)() A．标准状况下18 g水的体积约为22.4 L B．在常温常压下，11.2 L H2的分子数为0.5N A C．在常温常压下，1 mol O2的质量为32 g D．在同温同压下，相同体积的任何单质气体含有相同数目的原子数 9．下列装置或操作能达到实验目的的是()第二章第5讲【2016化学大一轮步步高答案】解析
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