甘肃省兰州一中2015届高三冲刺(数学理)模拟试题(含答案)
甘肃省兰州一中2015届高三冲刺模拟试题
数 学（理 科）
第I 卷（选择题）
注意事项：
1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
一、选择题
1.设集合M={}22|21x x y -=，N={}2|y y x =，则M
N =( )
A. {（1,1）}
B. {（-1,1），（1,1）}
C. )
1,2
?+∞?? D. 2,2
??+∞????
2. 设i 是虚数单位，那么使得31()1
2
2
n i -+
=的最小正整数n 的值为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
3. 如果直线ax +by =4与圆C ：x 2+y 2=4有两个不同的交点，那么点（a ，b ）和圆C 的位置关系是（ ） A.在圆外
B.在圆上
C.在圆内
D.不能确定
4.要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数πcos(2)3
y x =-的图象（ ）
A ．向右平移
π6个单位长度 B ．向左平移π
6个单位长度 C ．向右平移π12个单位长度 D ．向左平移π
12
个单位长度
5.过椭圆22143
y x +=的右焦点F 作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，
则11||||
AB CD +的值为（ ） A. 18 B. 16 C. 1 D. 712
6. 已知ABC ?的外接圆半径为R ，且B b a C A R sin )2()sin (sin 222-=-（其中a ，b 分别是A ∠，B ∠的对边），那么角C 的大小为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
7.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某多面件的三视图，该多面体的体积为（ ） A. 403cm B. 503cm C. 603cm D. 803cm
8.电子钟表一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都 由4个数字组成，那么一天中任一时刻的4个数字之和等于23 的概率是（ ） A. 1180
B.
1288 C. 1360 D. 1480
9.已知三棱锥S —ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，△ABC
是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2，则此三 棱锥的体积为（ ）
A. 14
B.
24 C. 26 D. 212
10.执行右图程序框图，如果输入的正实数x 与输出的实数y 满足y =x ，
则x = （ ） A.
3 B. 132+ C. 13 D. 1132
+
11.已知函数3y x =在k x a =时的切线和x 轴交于1k a +，若11a =，则数列
{}n a
的前n 项和为（ ）
A. 1233n +
B. 12()3n -
C. 23()3n -
D. 1
233
n
n -- 12.已知函数()3,f x x mx x R =-∈，若方程()f x =2在[4,4]x ∈-恰有3 个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A. (
31,32
?-??
B. (
313,2???
C. ()
()31,3,2-∞-+∞ D. ()()31,3,2
-∞+∞ 第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 在(x 2+
24x
－4)5的展开式中含x 4
项的系数是___________. (用数字填写答案) 14.在△ABC 中，∠A=90°，AB=1，BC=5，点M ，N 满足AM AB λ=，(1)AN AC λ=-，
R λ∈，若2BN CM ?=-，则λ=_________.
15.平面上满足约束条件2,0,100.
x x y x y ≥??
+≤??
--≤?的点（x ，y ）形成的区域为D ，区域D 关于直线y =2x
对称的区域为E ，则两个区域中距离最近的两点之间的距离为__________.
16.定义在R 上的奇函数()f x 的导函数满足()()f x f x '<，且()()31f x f x ?+=-，若
()2015f e =-，则不等式()x f x e <的解集为__________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）
已知点A (sin ,1)θ，B (cos ,0)θ，C (sin ,2)θ-，且AB BP =.
（Ⅰ）记函数()f BP CA θ=?，(,)82
ππθ∈-，讨论函数的单调性，并求其值域；
（Ⅱ）若O ，P ，C 三点共线，求||OA OB +的值.
18. （本小题满分12分）
如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ， ∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且△PAD 是以AD 为底的等腰三角形. （Ⅰ）证明：AD ⊥PB ；
（Ⅱ）若四棱锥P —ABCD 的体积等于32
，试求PB 与平面PCD 所
成角的正弦值.
19. （本小题满分12分）
一种智能手机电子阅读器，特别设置了一个“健康阅读”按钮，在开始阅读或者阅读期间的任意时刻按下“健康阅读”按钮后，手机阅读界面的背景会变为蓝色或绿色以保护阅读者的视力. 假设“健康阅读”按钮第一次按下后，出现蓝色背景与绿色背景的概率都是.2
1从按钮第二次按下起，若前次出现蓝色背景，则下一次出现蓝色背景、绿色背景的概率分别为31、3
2
；若前次出现绿色背景，则下一次出现蓝色背景、绿色背景的概率分别为
53、.5
2
记第)1,(≥∈n N n n 次按下“健康阅读”按钮后出现蓝色背景概率为P n . （Ⅰ）求P 2的值；
（Ⅱ）当,2n N n ∈≥时，试用P n -1表示P n ； （Ⅲ）求P n 关于n 的表达式.
A
B
C
D
P
20. （本小题满分12分）
已知椭圆C:()222210y x a b a b
+=>>的左右焦点1F ，2F 与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆C 上任意一点P 做椭圆C 的切线与直线1F P 的垂线1F M 相交于点M ，求点M 的轨迹方程；
（Ⅲ）若切线MP 与直线x =-2交于点N ，求证：11||
||
NF MF 为定值.
21. （本小题满分12分）
已知函数()ln h x x x =，2
()(0)a x a x
?=>. （Ⅰ）求()()x
a
g x t dt ?=
?
；
（Ⅱ）设函数()()()1f x h x g x '=--，试确定()f x 的单调区间及最大最小值； （Ⅲ）求证：对于任意的正整数n ，均有111123!
n
n
e e n ++++≥成立.
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，按所做的第一题计分，做答时请写清题号.
22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲
如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=?，
90ABC ∠=?，120BCD ∠=?，对角线BD AC ,交于点S ，
且SB DS 2=，P 为AC 的中点．
求证：（Ⅰ）?=∠30PBD ；
（Ⅱ）DC AD =．
23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角
坐标系，直线L 的参数方程为123x t
y t
=+???=+?? (t 为参数).
（Ⅰ）写出直线L 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
S
D A P
C
B
（Ⅱ）设曲线C 经过伸缩变换12
x x y y '=??
?'=??得到曲线C '，设 M(x ,y )为C '上任意一点，
求2232x xy y -+的最小值，并求相应的点M 的坐标.
24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲
已知正数a ，b ，c 满足a +b +c =6，求证：
1111(1)(1)(1)2
a b b c c a ++≥+++.
甘肃省兰州一中2015届高三冲刺模拟试题参考答案
数 学（理 科）
第I 卷（选择题）
一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
D
B
A
C
D
B
A
C
C
D
D
B
第Ⅱ卷
二、填空题
13. -960 ； 14. 23 ； 15. 1255
； 16. ()1,+∞ ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）
解：设P （x ，y ），由 AB BP = 得 O B O A O P O B
-=-
， 即 (cos sin ,1)(cos ,)x y θθθ--=-，
所以 2cos sin ,1x y θθ=-=-，亦即(2cos sin ,1)P θθ--；…………………… 2分 （Ⅰ）()(sin cos ,1)(2sin ,1)f BP CA θθθθ=?=-?-
22sin 2sin cos 1sin 2cos 2θθθθθ=--=--
2sin(2)4
πθ=-+；
由(,)82ππθ∈-得52(0,)44
ππθ+∈，
所以，当2(0,)42
ππθ+∈即(
,88ππθ?∈-??
时，()f θ单调递减，且2()0f θ-≤<，
当)
52,4
24
πππθ?+∈??即)
,82
ππθ?∈??时，()f θ单调递增，且2()1f θ-≤<，
故，函数()f θ的单调递减区间为(
,88ππ?-??，单调递增区间为)
,82
ππ???，
值域为)
2,1?-?
. …………………………………… 6分
（Ⅱ）由O 、P 、C 三点共线可知，OP ∥OC ，
即 (1)(sin )2(2cos sin )θθθ-?-=?-，得4tan 3
θ=，
所以 2||(sin cos )122sin cos OA OB θθθθ+=++=+
2
22752sin cos 2tan 22sin cos tan 15
θθθθθθ=+=+=++ ………………………………… 12分
18. （本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：取AD 的中点G ，连PG ，BG ，CG ；
60PA PD
PG AD AD PGB AB AD BG AD DAB =?⊥?
?
?⊥=???⊥??∠=???平面 …………………………………… 5分
（Ⅱ） ∵ 侧面PAD ⊥底面ABCD ，PG ⊥AD ，
∴ PG ⊥底面ABCD ；
在底面直角梯形ABCD 中，由已知可得3BC =， 由 32
P A B C D
V -
=，即 311[123]32
2
PG ?+??=（），得3PG =，
而BG=CG=3，DG=1，
在Rt △PGB 、Rt △PGC 、Rt △PGD 中分别可求得PB=6、PC=6、PD=2，
在△PCD 中，222
1cos 24
PD CD PC PDC PD CD +-==-??，
∴ 15
sin 4
PDC =
，∴△PCD 的面积151sin 24
PDC
S PD CD PDC =???=， 设点B 到平面PCD 的距离为h ，由P BCD B PCD V V --=得215
5
h =
， ∴ PB 平面PCD 所成角的正弦值为2151015
5
6
h PB
=
?=.
…………………………………… 12分
19. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）若按钮第一次、第二次按下后均出现蓝色背景，则其概率为
6
1
3121=?； 若按钮第一次、第二次按下后依次出现绿色背景、蓝色背景，则其概率为.10
35
321=? 故所求概率为.15
7103612=+=
P …………………………………… 4分 （Ⅱ）第1-n 次按下按钮后出现蓝色背景的概率为2,(1≥∈-n N n P n ），则出现绿色背景的概率为11--n P .
PB PGB ?平面AD PB ?
?⊥?
?
G
A
B
C
D
P
若第1-n 次、第n 次按下按钮后均出现蓝色背景，则其概率为3
11?
-n P ； 若第1-n 次、第n 次按下按钮后依次出现绿色背景、蓝色背景，则其概率为.53
)1(1?--n P
所以，5
3
154)1(5331111+-=-+=
---n n n n P P P P （其中2,≥∈n N n ）. …………………………………… 8分
（Ⅲ）由（2）得)199
(1541991--=-
-n n P P （其中2,≥∈n N n ）. 故}199{-n P 是首项为381，公比为154
-的等比数列，
所以).1,(19
9
)154(3811≥∈+-=
-n N n P n n …………………………………… 12分
20. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）依题意，2c =a =4，∴ c =2，b =23；
∴椭圆C 的标准方程为2211612
y x +=； …………………………………… 2分
（Ⅱ）设00(,)P x y ，由（Ⅰ），1(2,0)F -，设00(,)P x y ，(,)M x y 过椭圆C 上过P 的切线方程为： 0011612
x x y y
+=， ① 直线1F P 的斜率1002F P y k x =
+，则直线1MF 的斜率100
2
MF x k y +=-， 于是，则直线1MF 的方程为：00
2
(2)x y x y +=-+， 即 00(2)(2)yy x x =-++， ②
① 、②联立，解得 x = -8，
∴ 点M 的轨迹方程为 x = -8； …………………………………… 8分 （Ⅲ）依题意及（Ⅱ），点M 、N 的坐标可表示为(8,)M M y -、(2,)N N y -， 点N 在切线MP 上，由①式得 003(8)
2N x y y +=
， 点M 在直线1MF 上，由②式得 00
6(2)
M x y y +=
， 0202
2
129(8)||4N
x NF y y +==， 02
200222
12
36[(2)]||[(2)(8)]M y x MF y y ++=---+=，
∴ 00222200122222
2
100009(8)(8)||1||436[(2)]16(2)y x x NF MF y y x y x ++=?=++++， ③ 注意到点P 在椭圆C 上，即 22
00
11612
x y +=，
于是020484x y -=代人③式并整理得
2121||1
||4
NF MF =， ∴
11||
||NF MF 的值为定值12
. …………………………………… 12分
21. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）2111()()[]|()x x
x a a
a
a x a g x t dt dt a a t t x a x
?-=
==-=--=??
； …………… 3分
（Ⅱ）∵ ()(ln )ln 1(0)h x x x x x ''==+>，
∴ ()ln 11ln (0)x a x a f x x x x x x
--=+--=->，
22()1()(0)x x a x a
f x x x x x
---'=-=>，
∵ a >0，∴ 函数()f x 在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增， 函数()f x 的最小值为()ln f a a =，函数()f x 无最大值； ……………… 7分 （Ⅲ）取a =1，由（Ⅱ）知，1()ln (1)0x f x x f x
-=-≥=，
∴ 11ln 1x x x x -≥=-，即 11ln ln e x x x ≥-=，亦即 1x e e x
≥，……… 10分 分别取 1,2,,x n = 得
111e e ≥，1
22e e ≥，133e e ≥，…，1n e e n
≥，
将以上各式相乘，得：111123!
n
n
e e
n ++++≥ ……………………………… 12分
22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲
证明： （Ⅰ）由已知得 90ADC ∠=?，从而D C B A ,,,四点共圆，AC 为直径，P 为该圆的圆心．
作BD PM ⊥于点M ，知M 为BD 的中点，
所以BPM ∠＝
1
2
BPD ∠＝60A ∠=?， 从而?=∠30PBM ． …………………………………… 5分
（Ⅱ）作BP SN ⊥于点N ，则1
2
SN SB =． 又BD MB DM SB DS 21
,2=
==， ∴ SN SB SB SB DM DS MS ==-=-=2
1
232，
∴ Rt △PMS ≌Rt △PNS ， ∴ ?=∠=∠30NPS MPS ，
又PB PA =，所以1
152
PAB NPS ∠=∠=?，
故DCA DAC ∠=?=∠45，所以DC AD =． ……………………10分
23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（1）圆C 的方程为2
2
4x y += …………………………………… 1分
直线L 方程为3320x y --+= ………………………… 3分
（2）由''12
x x y y
?=??=??和224x y +=得'C 2
214x y += ………………… 5分
设M 为2x cos y sin θθ
==??
?，则 22
3232cos(2)3x xy y πθ-+=++ …… 8分
所以当M 为3(1,
)2或3
(1,)2
--时原式取得最小值1． …………… 10分 24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 已知正数a ，b ，c 满足a +b +c =6，求证：1111(1)(1)(1)2
a b b c c a ++≥+++.
证明：由已知及均值不等式：
33111(1)(1)(1)(1)(1)(1)
a b b c c a abc a b c ++≥++++++
3
333111(1)(1)(1)33
a b c a b c abc a b c =
≥+++++++?+++?
31232
==? ……………………… 10分
N
M S D
A P C
B