2.11二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c(a≠0)的图象与性质—知识讲解(基础)

2.11二次函数y=ax 2(a ≠0)与y=ax 2

+c(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）

【学习目标】

1．理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式；

2．会用描点法画出二次函数y=ax 2

(a≠0) 与()2

0y ax c a =+≠的图象，并结合图象理解抛物线、对称轴、顶

点、开口方向等概念；

3. 掌握二次函数y=ax 2(a≠0) 与()20y ax c a =+≠的图象的性质，掌握二次函数()20y ax a =≠与()2

0y ax c a =+≠之间的关系；

（上加下减）.

【要点梳理】

要点一、二次函数的概念 1.二次函数的概念

一般地，形如y=ax 2

+bx+c （a≠0，a, b, c 为常数）的函数是二次函数. 若b=0，则y=ax 2

+c ； 若c=0，则y=ax 2

+bx ； 若b=c=0，则y=ax 2

.

以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax 2

+bx+c （a ≠0）是二次函数的一般式. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①

（a ≠0）；②

（a ≠0）；③

（a ≠0）；④

（a ≠0），

其中；⑤（a ≠0）.

要点诠释：

如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b 、c 可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.

2.二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；

2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；

3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）（或称交点式）.

要点诠释：

任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式

可以互化.

要点二、二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象及性质 1.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象

用描点法画出二次函数y=ax 2

（a ≠0）的图象，如图，它是一条关于y 轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.

因为抛物线y=x 2

关于y 轴对称，所以y 轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x 2

的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x

2

有最

低点，所以函数y=x 2

有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.

2.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象的画法

用描点法画二次函数y=ax 2

（a ≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算

出对应的y 值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确. 要点诠释：

二次函数y=ax 2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y 轴．y=ax 2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax 2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象．

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.

3.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象的性质

二次函数y=ax 2

（a≠0）的图象的性质，见下表：

a>0

a<0

要点诠释：

顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a │相同，抛物线的开口大小、形状相同.

│a │越大，开口越小，图象两边越靠近y 轴，│a │越小，开口越大，?图象两边越靠近x 轴. 要点三、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象及性质 1.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象 （1）0a >

（2）0a <

2.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象的性质

关于二次函数2

(0)y ax c a =+≠的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及

3.二次函数()20y ax a =≠与()20y ax c a =+≠之间的关系；（上加下减）.

()20y ax a =≠的图象向上（c ＞0）【或向下（c ＜0）】平移│c │个单位得到()20y ax c a =+≠的图象.

要点诠释：

抛物线2(0)y ax c a =+≠的对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，c )，与抛物线2

(0)y ax a =≠的形状相同．

函数2(0)y ax c a =+≠的图象是由函数2

(0)y ax a =≠的图象向上（或向下）平移||c 个单位得到的，顶点坐标为(0，c )．

抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x 轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x ＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a 的值不变，只是位置发生变化而已．

【典型例题】

类型一、二次函数的概念

1．下列函数中，是关于x 的二次函数的是________(填序号)．

(1)y ＝-3x 2；(2)2

1y x x

=+； (3)y ＝3x 2-4-x 3；

(4)2

123

y x =--

； (5)y ＝ax 2+3x+6； (6)y =

．

【答案】(1)、(4)；

()0c c +>

()0c c +<

()0c c +>

()0c c +<

【解析】紧扣二次函数的定义去判断，(1)、(4)符合二次函数的条件；

(2)中不是关于x 的整式，而是分式；(3)中x 的最高次数不是2，而是3； (5)中二次项系数a 可能为0；

(6)

不是整式而是根式，

所以(2)、(3)、(5)、(6)均不符合二次函数的条件．

【总结升华】判断一个函数是否是二次函数，应抓住三个特征：

(1)经整理后，函数表达式是含自变量的整式； (2)自变量的最高次数为2；

(3)二次项系数不为0，尤其是含有字母系数的函数，应特别注意含字母的二次项系数是否为0．

举一反三：

【变式】如果函数2

32

(3)1m

m y m x mx -+=-++是二次函数，求m 的值．

【答案】 根据题意，得2322,

30,m m m ?-+=?-≠? 解得m ＝0．

类型二、二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象及性质

2．函数y ＝x 2

的图象对称轴左侧上有两点A (a ，15)，B (b ，

1

4

)，则a -b_______0(填“＞”、“＜”或“＝”号)．

【答案】＜.

【解析】解法一：将A (a ，15)，1,

4B b ?

? ???

分别代入y ＝x 2

中得：215a =， ∴

a =21

4

b =， 又A 、B 在抛物线对称轴左侧，∴ a ＜0，b ＜0

，即a =，12

b =-， ∴

1

02

a b -=< 解法二：画函数y ＝x 2的草图(如图所示)，可知在y 轴左侧(x ＜0)时，y 随x 的增大而减小，

又∵ 1

154

>

，a ＜b ，即a -b ＜0． 【总结升华】利用草图和函数的增减性比较函数值的大小或自变量的大小显得更简单、直观，充分运用了数形

结合的思想．

举一反三：

【变式1】二次函数2y ax =与22y x =-的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则a = ． 【答案】2；

【变式2】不计算比较大小：函数2y x =的图象左侧上有两点A （a ，15），B （b ，0.5），则a b ． 【答案】＜.

类型三、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象及性质

3．求下列抛物线的解析式：

（1）与抛物线2

132

y x =-

+形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线； （2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y 轴对称的抛物线． 【答案与解析】

（1）由于待求抛物线2132y x =-

+形状相同，开口方向相反，可知二次项系数为12

， 又顶点坐标是（0，-5），故常数项5k =-，所以所求抛物线为2

152

y x =-．

（2）因为待求抛物线顶点为（0，1），所以其解析式可设为21y ax =+，

又∵ 该抛物线过点（3，-2），∴ 912a +=-，解得1

3

a =-． ∴ 所求抛物线为2

113

y x =-

+． 【总结升华】抛物线形状相同则||a 相同，再由开口方向可确定a 的符号，由顶点坐标可确定k 的值，从而确定

抛物线的解析式2y ax k =+．

4．在同一直角坐标系中，画出2

y x =-和

21y x =-+的图象，并根据图象(如图所示)回答下列问题．

(1)抛物线21y x =-+向________平移________个单位得到抛物线2y x =-；

(2)抛物线，21y x =-+开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；

(3)抛物线21y x =-+，当x________时，随x 的增大而减小；当x________时，函数y 有最________值，其最________值是________．

【答案】 (1)下； l ； (2)向下； y 轴； (0，1)； (3)＞0； ＝0； 大； 大 ； 1. 【解析】在同一平面直角坐标系内画出两条抛物线，利用图象回答问题．

(1)抛物线21y x =-+向 下 平移 1__个单位得到抛物线2y x =-；

(2)抛物线，21y x =-+开口方向是 向下 ，对称轴为___ y 轴_____，顶点坐标为_ (0，1)__；

(3)抛物线21y x =-+，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小； 当x ＝0__时，函数y 有最 大 值，其最 大__值是 1 ．

【总结升华】本例题把函数21y x =-+与函数2y x =-的图象放在同一直角坐标系中进行对比，易得出二次函

数2(0)y ax k a =+≠与2(0)y ax a =≠的图象形状相同，只是位置上下平移的结论．2(0)y ax k a =+≠可以看作是把2(0)y ax a =≠的图象向上(0)k >或向下(0)k <平移||k 个单位得到的．

【巩固练习】

一、选择题

1．下列函数是二次函数的是( )． A ．1y x x =

- B

．21y =+ C ．2(1)(2)y x x x =--- D ．21

23

y x x =-+ 2．函数||1

(3)31m y m x x -=-+-是二次函数，则m 的值是( )．

A ．3

B ．-3

C ．±2

D ．±3

3．把抛物线2

y x =向右平移1个单位，所得到抛物线的函数表达式为( )．

A ．21y x =+

B ．2(1)y x =+

C ．21y x =-

D ．2(1)y x =-

4．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率是x ，两年后这台机器的价格为y 万元，则y 与x 之间的函数关系式为( )．

A ．y ＝60(1-x)2

B ．y ＝60(1-x)

C ．y ＝60-x 2

D ．y ＝60(1+x)2

5．在同一坐标系中，作出22y x =，22y x =-，2

12

y x =

的图象，它们的共同点是（ ）． A ．关于y 轴对称，抛物线的开口向上 B ．关于y 轴对称，抛物线的开口向下 C ．关于y 轴对称，抛物线的顶点都是原点 D ．关于原点对称，抛物线的顶点都是原点

6．汽车的刹车距离y (m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数2

1(0)20

y x x =

>，若汽车某次的刹车距离为5 m ，则开始刹车时的速度为( )．

A ．40 m/s

B ．20m/s

C ．10 m/s

D ．5 m/s

二、填空题

7．已知抛物线的解析式为y ＝-3x 2

，它的开口向________，对称轴为________，顶点坐标是________， 当x ＞0时，y 随x 的增大而________．

8．若函数y ＝ax 2

过点(2，9)，则a ＝________．

9．已知抛物线y ＝x 2

上有一点A ，A 点的横坐标是-1，过点A 作AB ∥x 轴，交抛物线于另一点B ， 则△AOB 的面积为________． 10．函数2y x =，2

12

y x =

、23y x =的图象大致如图所示，则图中从里向外的三条抛物线对应的函数关系式是_____________________．

第10题 第12题

11．边长为12 cm 的正方形铁片，中间剪去一个边长x cm 的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y(cm 2

)与x(cm)之间的函数关系式为_______． 12．如图所示，用一段长30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD ，设AB 的边长为x 米，

则菜园的面积y(单位：米2

)与x(单位：米)的函数关系式为_____ ___(不要求写自变量的取值范围)．

三、解答题

13．已知2

(2)m m

y m x +=+是二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．

(1)求m 的值；(2)画出函数的图象．

14. 几位同学聚会，每两个人之间握手一次，试写出握手的总数m 与参加聚会的人数n 之间的函数关系式．

15．已知抛物线2(2)1y a x =-+的顶点为A ，原点为O ，该抛物线交y 轴正半轴于点B ，且3A O B S =△，求：(1)此抛物线所对应的函数关系式；(2)x 为何值时，y 随x 增大而减小?

【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】D ；

【解析】根据二次函数的定义判断．A 项中，

1

x

不是整式； B

项中21+是根式，而不是整式；C 项中，去括号合并后不合2

x 项．

2．【答案】B ；

【解析】由二次函数的定义知，二次项系数a ≠0，当m ＝3时，m-3＝0，所以A 、D 不正确．

由|m|-1＝2得m ＝±3，显然C 选项不正确．

3．【答案】D ； 【解析】由抛物线2

y x =的图象知其顶点坐标为(0，0)，将它向右平移1个单位后，

抛物线的顶点坐标为(1，0)，因此所得抛物线的解析式为2(1)y x =-．

4．【答案】A ；

【解析】一年后这台机器的价格为60-60x ＝60(1-x)，

两年后这台机器的价格为y ＝60(1-x)(1-x)＝60(1-x)2

．以此类推．

5.【答案】C ；

【解析】y ＝2x 2

，y ＝-2x 2

，2

12

y x =

的图象都是关于y 轴对称的，其顶点坐标都是(0，0)． 6.【答案】C ；

【解析】当y ＝5时，x 2

＝100，x ＝10．

二、填空题 7．【答案】下 ； y 轴； (0，0)； 减小； 8．【答案】

9

4

； 【解析】将点(2，9)代入解析式中求a. 9．【答案】 1 ；

【解析】由抛物线的对称性可知A(-1，1)，B(1，1)，则1

1

21122

AOB A S AB y ==??=△.

10．【答案】23y x =，2y x =，2

12

y x =

． 【解析】先比较

1

2

，|1|，|3|的大小关系，由|a|越大开口越小，可确定从里向外的三条抛物线所对应的函数依次是y ＝3x 2

，y ＝x 2

，2

12

y x =

． 11．【答案】y ＝144-x 2

；

【解析】剩下四方框的面积为两个正方形的面积差.

12．【答案】2

301522

x x y x

x -==-+． 三、解答题

13.【答案与解析】

(1)∵ 2

(2)m

m

y m x +=+为二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，

∴ 2220m m m ?+=?+>?， ∴ 12

2

m m m ==-??>-?或．

∴m=1.

(2)由(1)得这个二次函数解析式为2

3y x =，自变量x 的取值范围是全体实数， 可以用描点法画出这个函数的图象．如图所示．

14.【答案与解析】

n 位同学中，因为每人除自己之外都要与其余同学分别握手一次，即握(n-1)次手，

考虑到两位同学彼此的握手只算一次，所以n 位同学共握手1

(1)2

n n -次． 即2111(1)222

m n n n n =

-=- 15.【答案与解析】

（1）由题意知A(2，1)，令0x =，则41y a =+，所以(0,41)B a +．由3AOB S =△得

1

(41)232

a +?=，所以12a =

，因此抛物线的解析式为2

1(2)12

y x =-+． （2）当2x <时，y 随x 增大而减小．

二次函数的图像教学设计

《二次函数的图像（1）》教学设计 教学目标： 1、经历描点法画函数图像的过程； 2、学会观察、归纳、概括函数图像的特征； 3、掌握2ax y =型二次函数图像的特征； 4、经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。 教学重点： 2ax y =型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳 教学难点： 选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂。 教学设计： 一、回顾知识 前面我们在学习正比例函数、一次函数和反比例函数时时如何进一步研究这些函数的？先（用描点法画出函数的图像，再结合图像研究性质。） 引入：我们仿照前面研究函数的方法来研究二次函数，先从最特殊的形式即 2ax y =入手。因此本节课要讨论二次函数2ax y =（0≠a ）的图像。 板书课题：二次函数2ax y =（0≠a ）图像 二、探索图像 1、 用描点法画出二次函数2x y =和2x y -=图像 ①无论x 取何值，对于2x y =来说，y 的值有什么特征？对于2x y -=来说，又有什么特征？ ②当x 取 1,2 1 ±±等互为相反数时，对应的y 的值有什么特征？ （2） 描点（边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来）. （3） 连线，用平滑曲线按照x 由小到大的顺序连接起来，从而分别得到

2x y =和2x y -=的图像。 2、 练习：在同一直角坐标系中画出二次函数22x y =和22x y -=的图像。 学生画图像，教师巡视并辅导学困生。（利用实物投影仪进行讲评） 3、二次函数2ax y =（0≠a ）的图像 由上面的四个函数图像概括出： （1） 二次函数的2ax y =图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线， （2） 这条抛物线关于y 轴对称，y 轴就是抛物线的对称轴。 （3） 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意：顶点不是与y 轴的交点。 （4） 当o a 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图像在x 轴的上方(除顶点外)；当o a 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点图像在x 轴的下方(除顶点外)。 （最好是用几何画板演示，让学生加深理解与记忆） 三、 课堂练习 观察二次函数2x y =和2x y -=的图像 (2)在同一坐标系内，抛物线2x y =和抛物线2x y -=的位置有什么关系？如果在同一个坐标系内画二次函数2ax y =和2ax y -=的图像怎样画更简便？ (抛物线2x y =与抛物线2x y -=关于x 轴对称，只要画出2ax y =与2 ax y -=中的一条抛物线，另一条可利用关于x 轴对称来画) 四、例题讲解 例题：已知二次函数2ax y =（0≠a ）的图像经过点（-2，-3）。 （1） 求a 的值，并写出这个二次函数的解析式。 （2） 说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置。 练习：（1）课本第31页课内练习第2题。 (2)已知抛物线y=ax2经过点A （-2，-8）。 （1）求此抛物线的函数解析式；

二次函数yax2的图象

二次函数y=ax2的图象 教学设计示例1 课题:二次函数的图象 教学目标: 1、会用描点法画出二次函数的图象; 2、根据图象观察、分析出二次函数的性质; 3、进一步理解二次函数和抛物线的有关知识 4、渗透由非凡到一般的辩证唯物主义观点; 5、渗透数形结合的数学思想方法,培养观察能力和分析问题的能力; 6、培养学生勇于探索创创新及实事求是的科学精神. 教学重点:根据图象,观察、分析出二次函数的性质 教学难点:渗透数形结合的数学思想方法 教学用具:直尺、微机 教学方法:谈话、探究式 教学过程: 1、列表、描点画出函数与的图象,引入新课 例:画出函数与的图象 解:列两个表 x 4 3

1 0 1 2 3 4 8 2 2 8 x 2 1

1 2 8 2 2 8 分别描点画图 2、根据图象发现问题,由学生探索出新知识. 提问:你能从图象中发现抛物线是哪些性质?这两个函数图象有何异同? 这两个函数的图象都关于y轴对称.这一点可以从刚才的列表中可以看出, 时所对应的y值分别相等,如等.这样的两个点关于y轴对称.由这些点构成的抛物线也关于y轴对称.从解析式中也可以得出这个结论:互为相反数的两个数的平方数相等,因此,这两个函数的图象都是关于y轴对称

从图中可以看出,x可取x轴上的任意一点,而y对应的是大于、等于零的数.即抛物线有最低点.这一点可以从解析式中得到很好的解释, 可取 任意实数. 图象开口向上.这也说明数与形是数学中的两条线索,它们是互相对应的,反映了数形结合的思想. 从图中也可以看出抛物线不同于我们以前学过的正比例函数和一次函数,这两个函数的图象都是直线,而抛物线是曲线,有一个拐弯,函数的图象都在最低点拐了一个弯.这样它们的性质几发生了变化.在y轴的左侧,从左向右呈下坡趋势,即y随x的增大而减小;在y轴的右侧,从左向右,呈上坡趋势,即y随x的增大而增大.这一变化趋势也可以从列表中看出. 这两个图象除以上相同之处外,还有不同的地方.如: 离y轴近, 离y轴远.从列表中可以看出:如过点,而过点也就是说,当x=2时, 的图象所对应的点高于所对应的点.因此会有上述的结论. 3、画出函数的图象 与中的a都是正数,当a0时,抛物线的开口向上,当a<0时,抛物线的开口向下,a的绝对值越大,图象越靠近y 轴. 6、小结:这一节课,从始至中都是结合图象观察、归纳

中考二次函数图象信息题

2017中考数学分类试题汇编 ?二次函数图像信息题 1.（2017?黄?石市）如图是?二次函数 的图象，对下列列结论：① ；② ；③ ，其中错误的个数是（ ）A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2.（2017年年烟台市）?二次函数的图象如图所示，对称轴是直线， 下列列结论：① ；② ；③；④ . 其中正确的是（）A ．①④ B ．②④ C.①②③ D ．①②③④ 3．（2017?甘肃省天?水市）如图是抛物线y 1=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象的?一部分，抛物线的顶点坐标是A （1，3），与x 轴的?一个交点是B （4，0），直线y 2=mx+n （m ≠0）与抛物线交于A ，B 两点，下列列结论： ①abc ＞0；②?方程ax 2+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x 轴的另?一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x ＜4时，有y 2＞y 1；⑤x （ax+b ）≤a+b ，其中正确的结论是．（只填写序 号） 4.（2017乐?山市）已知?二次函数y=x 2-2 mx （m 为常数），当-1 ≤x ≤2时，函数值y 的最?小值为-2，则m 的值是 或 或 第1题图第2题图第3题图

5．（2017黔东南州）如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列列结论：①b 2=4ac ；②abc ＞0；③a ＞c ；④4a ﹣2b+c ＞0，其中正确的个数有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．（2017年年贵州省安顺市）?二次函数y=ax 2+bx+c （≠0）的图象如图，给出下列列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②3b+2c ＜0；③4a+c ＜2b ；④m （am+b ）+b ＜a （m ≠1），其中结论正确的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．（2017年年四川省?广安）如图所示，抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为B （﹣1，3），与x 轴的交点A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b 2﹣4ac=0；②a+b+c ＞0；③2a ﹣b=0；④c ﹣a=3其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．（2017年年?甘肃省天?水市）如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=4cm ，∠B=30°，点P 从点B 出发，以 cm/s 的速度沿BC ?方向运动到点C 停?止，同时点Q 从点B 出发，以1cm/s 的速 度沿BA ﹣AC ?方向运动到点C 停?止，若△BPQ 的?面积为y （cm 2），运动时间为x （s ），则下列列最能反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ） A ． B ． C ． 第5 题图 第6 题图 第7 题图 D ．

二次函数中各项系数abc与图像的关系

二次函数中各项系数a ，b ，c 与图像的关系 一、首先就y=ax 2+bx+c （a≠0）中的a ，b ，c 对图像的作用归纳如下： 1 a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下； 决定张口的大小：∣a ∣越大，抛物线的张口越小． 2 b 的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关． b 与a 同号，说明02<- a b ，则对称轴在y 轴的左边； b 与a 异号，说明?b 2a >0，则对称轴在y 轴的右边； 特别的，b = 0，对称轴为y 轴． 3 c 的作用：c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标．抛物线与y 轴的交点（0，c ） c > 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴； c < 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴； 特别的，c = 0，抛物线过原点． 4 a,b,c 共同决定判别式?=b 2?4ac 的符号进而决定图象与x 轴的交点 b 2?4a c >0 与x 轴两个交点 b 2?4a c =0 与x 轴一个交点 b 2?4a c <0 与x 轴没有交点 5 几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ； x= -1时，y=a - b + c ． 当x = 1时，① 若y > 0，则a + b + c >0；② 若y < 时0，则a + b + c < 0 当x = -1时，① 若y > 0，则a - b + c >0；② 若y < 0，则a - b + c < 0． 扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。 一．选择题（共8小题） 1．已知二次函数y=ax 2+bx +c 的图象大致如图所示，则下列关系式中成立的是（ ） A ．a ＞0 B ．b ＜0 C ．c ＜0 D ．b +2a ＞0 2．如果二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是（ ） A ．a ＞0 B ．b ＜0 C ．ac ＜0 D ．bc ＜0． 3．已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：① abc ＞0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对于下列结论：①a ＜0； ②b ＜0；③c ＞0；④2a +b=0；⑤a ﹣b +c ＜0，其中正确的个数是（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 5．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：：①a ＜0； ②b ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④a +b +c ＜0；其中结论正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．如图所示，抛物线y=ax 2+bx +c 的顶点为（﹣1，3），以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②4a ﹣2b +c ＜0；

几种特殊的二次函数的图象特征如下

当时开口向上当时开口向下(轴) (轴) (0，) (，0) (，) () 的图象 的解 方程有两个相等实数解 四、规律方法指导 1.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法：，∴顶点是，对称轴是直线. (2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(， )，对称轴是直线.

2.直线与抛物线的交点 (1)轴与抛物线得交点为(0，). (2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(，). (3)抛物线与轴的交点 二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程 的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别 式 判定： ①有两个交点抛物线与轴相交； ②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切； ③没有交点抛物线与轴相离. (4)平行于轴的直线与抛物线的交点 同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是的两个实数根. (5)一次函数的图象与二次函数的图象的交点，由方程 组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点；②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点. (6)抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为， 由于、是方程的两个根，故 抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c的作用

决定对称轴的位置，对称轴是直线 b-4ac<0 抛物线与x轴无公共点 确定二次函数的最大值或最小值，首先先看自变量的取值范围.再分别求出二次函数在顶点处的函数值和在端点处的函数值，比较这些函数值，其中最大的是函数的最大值，最小的是函数的最小值. ①若自变量的取值范围是全体实数，函数有最大值或最小值，如图所示. 图(1)中，抛物线开口向上，有最低点，则当时，函数有最小值是； 图(2)中，抛物线开口向下，有最高点，则当时，函数有最大值是. ②若自变量的取值范围不是全体实数，函数有最大值或最小值，如图所示.

二次函数yaxh的图象与性质

2.2 二次函数的图象与性质 第3课时 二次函数y =a (x -h )2的图象与性质 1．掌握二次函数y ＝ax 2与y ＝a (x －h )2(a ≠0)图象之间的联系；(重点) 2．能灵活运用二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)的知识解决简单的问题．(难点) 一、情境导入 二次函数y ＝ax 2＋c (a ≠0)的图象可以由y ＝ax 2(a ≠0)的图象平移得到： 当c >0时，向上平移c 个单位长度； 当c <0时，向下平移－c 个单位长度． 问题：函数y ＝ (x －2)2的图象，能否也可以由函数y ＝ x 2平移得到？本节课我们就一起讨论． 二、合作探究 探究点：二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质 【类型一】 二次函数y ＝a ( x －h )2的图象 顶点为(－2，0)，开口方向、形状与函数y ＝－1 2x 2的图象相同的抛物线的解 析式为( ) A ．y ＝12(x －2)2 B ．y ＝1 2(x ＋2)2 C ．y ＝－12(x ＋2)2 D ．y ＝－1 2(x －2)2 解析：因为抛物线的顶点在x 轴上，所 以可设该抛物线的解析式为y ＝a (x －h )2(a ≠0)，而二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)与y ＝－12x 2的图象相同，所以a ＝－1 2，而抛物 线的顶点为(－2，0)，所以h ＝2，把a ＝－12， h ＝2代入y ＝a (x －h )2得y ＝－1 2 (x ＋2)2.故选 C. 方法总结：决定抛物线形状的是二次项 的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全相同． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题 【类型二】 二次函数y ＝a ( x －h )2的性质 若抛物线y ＝3(x ＋2)2的图象上 的三个点，A (－32，y 1)，B (－1，y 2)，C (0，y 3)，则y 1，y 2，y 3的大小关系为________________． 解析：∵抛物线y ＝3(x ＋2)2的对称轴为x ＝－2，a ＝3＞0，∴x ＜－2时，y 随x 的增大而减小；x ＞－2时，y 随x 的增大而增大．∵点A 的坐标为(－32，y 1)，∴点A 在抛物线上的对称点A ′的坐标为(2，y 1)．∵－1＜0＜2，∴y 2＜y 3＜y 1.故答案为y 2＜y 3＜y 1. 方法总结：函数图象上点的坐标满足解析式，即点在抛物线上．解决本题可采用代入求值方法，也可以利用二次函数的增减性解决． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第4题 【类型三】 二次函数y ＝a (x －h )2 的图象与y ＝ax 2的图象的关系 将二次函数y ＝－2x 2的图象平移 后，可得到二次函数y ＝－2(x ＋1)2的图象，平移的方法是( ) A ．向上平移1个单位 B ．向下平移1个单位 C ．向左平移1个单位 D ．向右平移1个单位 解析：抛物线y ＝－2x 2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y ＝－2(x ＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函数y ＝－2x 2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y ＝－2(x ＋1)2的图象．故选C. 方法总结：解决本题要熟练掌握二次函

(一)二次函数图象信息题常见的四种类型

专题训练(一)二次函数图象信息题常见的四种类型?类型之一由系数的符号确定图象的位置 1．［2016·合肥45中月考］在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a＜0，b＞0，c＜0，则符合条件的图象是() 图1－ZT－1 2．［2018·安徽省合肥168教育集团］月考已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，若a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是图1－ZT－2中的() 图1－ZT－2 3．已知函数y＝ax和y＝a(x＋m)2＋n，且a＞0，m＜0，n＜0，则这两个函数在同一平面直角坐标系内的大致图象是() 图1－ZT－3 4．已知二次函数y＝x2＋2ax＋2a2，其中a＞0，则其图象不经过第________象限． ?类型之二由某一函数的图象确定其他函数图象的位置 5．已知y＝ax2＋bx＋c的图象如图1－ZT－4所示，则y＝ax＋b的图象一定过() 图1－ZT－4 A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 6．如果一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，那么二次函数y＝ax2＋bx的图象可能是()

图1－ZT－5 7．如图1－ZT－6，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能为() 图1－ZT－6 图1－ZT－7 ?类型之三由函数图象确定系数及代数式的符号 8．［2017·六盘水］已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图1－ZT－8所示，则() A．b＞0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＜0 D．b＜0，c＞0 图1－ZT－8 9.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c如图1－ZT－9所示，对称轴为直线x＝1，则代数式：(1)abc； (2)a＋b＋c；(3)a－b＋c；(4)4a＋2b＋c中，值为正数的个数是() A．1 B．2 C．3 D．4 图1－ZT－9

二次函数系数abc与图像的关系

二次函数系数a、b、c与图象的关系 知识归纳： 1.a的作用：决定开口方向和开口大小 2.a与b的作用：左同右异（对称轴的位置） 3.c的作用：与y轴交点的位置。 4.b2-4ac的作用：与x轴交点的个数。 5.几个特殊点：顶点，与x轴交点，与y轴交点，（1，a+b+c), (-1,a-b+c) （2，4a+2b+c), （-2，4a-2b+c)。 针对训练： 1.判断下列各图中的a、b、c及△的符号。 (1)a___0； b___0； c___0；△__0. (2)a___0； b___0； c___0；△__0. (3)a___0； b___0； c___0；△__0. (4)a___0； b___0； c___0；△__0. (5)a___0； b___0； c___0；△__0. 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图， 用（＞，＜，=）填空： a___0； b___0； c___0； a+b+c__0； a-b+c__0.

3.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示，则下列关于a、b、c间的关系判断正确的是（） A.ab<0 B.bc<0 C.a+b+c>0 D.a－b+c<0 4.二次函数y=ax2+bx+c图象如图，则点 A（b2-4ac，-b a）在第 象限． 5．已知 a＜0，b＞0，c＞0，那么抛物线y=ax2+bx+c的顶点在（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，判断下列各式的符号：(1)a； (2)b； (3)c； (4)a+b+c； (5)a-b+c；(6)b2-4ac； (7)4ac-b2； (8)2a+b； (9)2a-b 7.练习：填空 （1）函数y=ax2+bx+c（a≠0）的函数值恒为正的条件：，恒为负的条件： . （2）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象在x轴的下方，则方程ax2+bx+c=0的解得情况为： . 3题图4题图6题图

二次函数图像与性质培优题及答案

2016/11/24 14:57:23 一．选择题（共10小题） 1．一次函数y=ax +b （a ≠0）与二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）图象上部分点的坐标（x ，y ）对应值列表如下： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 … 则该函数图象的对称轴是（ ） A ．直线x=﹣3 B ．直线x=﹣2 C ．直线x=﹣1 D ．直线x=0 3．二次函数y=ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么一次函数y=ax +b 的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．已知函数y=ax 2﹣2ax ﹣1（a 是常数，a ≠0），下列结 论正确的是（ ） A ．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1） B ．当a=﹣2时，函数图象与x 轴没有交点 C ．若a ＞0，则当x ≥1时，y 随x 的增大而减小 D ．若a ＜0，则当x ≤1时，y 随x 的增大而增大 5．如图，已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论： ①abc ＞0 ②4a +2b +c ＞0 ③4ac ﹣b 2＜8a ④＜a ＜ ⑤b ＞c ． 其中含所有正确结论的选项是（ ） A ．①③ B ．①③④ C ．②④⑤ D ．①③④⑤ 6．抛物线y=x 2+bx +c （其中b ，c 是常数）过点A （2，6） ，且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x ≤3）有交点，则c 的值不可能是（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 7．如图是抛物线y=ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n ），且与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论： ①a ﹣b +c ＞0；②3a +b=0；③b 2=4a （c ﹣n ）； ④一元二次方程ax 2+bx +c=n ﹣1有两个不相等的实数根． 其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a +b=0；（2）9a +c ＞3b ；（3）8a +7b +2c ＞0；（4）若点A （﹣3，y 1）、点B （﹣，y 2）、点C （，y 3）在该函数图象上，则y 1＜y 3＜y 2；（5）若方程a （x +1）（x ﹣5）

二次函数y=ax2的图象和性质练习题(含答案)

二次函数y=a 2x 的图象和性质练习题 第1题． 对于抛物线22y x =+和2y x =-的论断：(1)开口方向不同；(2)形状完全相同；(3)对称轴相同．其中正确的有（ ） A ．0个 B ．1个 C ． 2个 D ．3个 第2题． 下列关于抛物线221y x x =++的说法中，正确的是（ ） A ．开口向下 B ．对称轴是直线x =1 C ．与x 轴有两个交点 D ．顶点坐标是(-1，0) 第3题． 二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图，a ，b ，c 的取值范围（ ） A ．a <0，b <0，c <0 B ．a <0，b >0，c <0 C ．a >0，b >0，c <0 D ．a >0，b <0，c <0 第4题． 与抛物线224y x x =--关于y 轴对称的图象表示的函数关系式是（ ） A ．224y x x =-++ B ．224y x x =++ C ．224y x x =+- D ．224y x x =-+ 第5题． 若抛物线2(1)221y m x mx m =-++-的图象的最低点的纵坐标为零，则m =_______． 第6题． 对于抛物线2(0)y ax bx c a =++≠，当顶点纵坐标等于_________时，顶点在x 轴上，此时抛物线与x 轴只有一个公共点，而a ≠0，所以，抛物线与x 轴只有一个公共点的条件是_________． 第7题． 若抛物线22y x x m =++与x 轴只有一公共点，则m =_________．

第8题． 函数243y x x =+-的图象开口向_________，顶点坐标为__________ 第9题． 二次函数22y x =+的图象开口_____，对称轴是________，顶点坐标是_______． 第10题． 抛物线223y x x =+-与x 轴交点个数为________． 第11题． 二次函数2(3)y x =-的图象向右平移3个单位，在向上平移1个单位，得到的图象的关系式是____． 第12题． 抛物线2261y x x =-+-的顶点坐标为_________，对称轴为________． 第13题． 作出下列函数的图象：222y x =- 第14题． 作出下列函数的图象：22y x =- 第15题． 用描点法画出下列二次函数的图象：2y x = 第16题． 已知二次函数2y ax =的图象经过点A(-1，1) ① 求这个二次函数的关系式； ② 求当x =2时的函数y 的值． 第17题． 若抛物线2221y x mx m m =-+++的顶点在第二象限，则常数m 的取值范围是（ ） A ．12m m <->或 B ．12m -<< C ．10m -<< D ．1m >

二次函数一般是中a-b-c与图像都关系

二次函数图像与系数a，b，c的关系 一．选择题（共35小题） 1．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（） A．1个B．2个 C．3个 D．4个 2．如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法： ①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0 其中正确的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＜0；④b﹣4a=0；⑤方程ax2+bx=0的两个根为x1=0，x2=﹣4，其中正确的结论有（）

A．①③④B．②④⑤C．①②⑤D．②③⑤ 4．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论： ①4ac＜b2； ②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3； ③3a+c＞0 ④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3 ⑤当x＜0时，y随x增大而增大 其中结论正确的个数是（） A．4个B．3个 C．2个 D．1个 5．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论： ①当x＞3时，y＜0；②3a+b＜0；③﹣1≤a≤﹣；④4ac﹣b2＞8a； 其中正确的结论是（）

9年级4.3—二次函数背景下的特殊图形问题

二次函数背景下的特殊图形问题 1.如图1，抛物线213442 y x x = --与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ． （1）求点A 、B 、C 的坐标； （2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由； （3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

2.如图1，抛物线233384 y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A 、B 的坐标； （2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标； （3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．

作业、在直角坐标平面内，为原点，二次函数的图像经过A （-1，0） 和点B （0，3），顶点为P 。 （1）求二次函数的解析式及点P 的坐标； （2）如果点Q 是x 轴上一点，以点A 、P 、Q 为顶点的三角形是直角三角形，求点Q 的坐标。 O 2y x bx c =-++

1.已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－(a＋1)x与直线y＝kx的一个公共点为A(4，8)． （1）求此抛物线和直线的解析式； （2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值； （3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积． 备用图

22.1.3《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》练习题(含答案)

22.1.3 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质 第1课时 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象和性质 01 基础题 知识点1 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象 1．(教材P 33练习变式)函数y ＝13x 2＋1与y ＝1 3 x 2的图象的不同之处是(C ) A ．对称轴 B ．开口方向 C ．顶点 D ．形状 2．(自贡期中)二次函数y ＝x 2＋1的图象大致是(B ) 3．(上海中考)如果将抛物线y ＝x 2＋2向下平移1个单位长度，那么所得新抛物线的解析式是(C ) A ．y ＝(x －1)2＋2 B ．y ＝(x ＋1)2＋2 C ．y ＝x 2＋1 D ．y ＝x 2＋3 4．抛物线y ＝2x 2－1在y 轴右侧的部分是上升(填“上升”或“下降”)． 5．填写下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值． 6.在同一平面直角坐标系中画出二次函数y ＝－2x 2，y ＝－2x 2＋3的图象． (1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； (2)抛物线y ＝－2x 2＋3与抛物线y ＝－2x 2有什么关系？ 解：如图所示：

(1)抛物线y ＝－2x 2开口方向向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，0)． 抛物线y ＝－2x 2＋3开口方向向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，3)． (2)抛物线y ＝－2x 2＋3可由抛物线y ＝－2x 2向上平移3个单位长度得到． 知识点2 二次函数y ＝ax 2＋k 的性质 7．(河池中考)已知点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)均在抛物线y ＝x 2－1上，下列说法中正确的是(D ) A ．若y 1＝y 2，则x 1＝x 2 B ．若x 1＝－x 2，则y 1＝－y 2 C ．若0＜x 1＜x 2，则y 1＞y 2 D ．若x 1＜x 2＜0，则y 1＞y 2 8．下列关于抛物线y ＝－x 2＋2的说法正确的是(D ) A ．抛物线开口向上 B ．顶点坐标为(－1，2) C ．在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大 D ．在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大 9．二次函数y ＝3x 2－3的图象开口向上，顶点坐标为(0，－3)，对称轴为y 轴，当x >0时，y 随x 的增大而增大；当x <0时，y 随x 的增大而减小．因为a ＝3>0，所以y 有最小值，当x ＝0时，y 的最小值是－3． 10．能否通过适当地上下平移二次函数y ＝1 3x 2的图象，使得到的新的函数图象经过点(3，－ 3)，若能，说出平移的方向和距离；若不能，说明理由． 解：设平移后的函数解析式为y ＝1 3x 2＋k ， 把(3，－3)代入，得－3＝1 3×32＋k ， 解得k ＝－6.

专训 二次函数图象信息题的四种常见类型

专训二次函数图象信息题的四种常见类型 名师点金：利用图象信息解决二次函数的问题主要是运用数形结合思想将图象信息转换为数学语言，掌握二次函数的图象和性质是解决此类问题的关键． 根据抛物线的特征确定a ，b ，c 及与其有关的代数式的符号 1．【2015·孝感】如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝OC.则下列结论： ①abc ＜0；②b 2－4ac 4a ＞0；③ac －b ＋1＝0；④OA·OB ＝－c a .其中正确结论的个数是() A ．4 B ．3 C ．2 D ．1(第1题) (第2题) 利用二次函数的图象比较大小 2．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象如图，若点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在此函数图象上，且x 1

(第4题) 4．【中考·阜新】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，那么一元二次方程ax2＋bx＝0的根是____________． 根据抛物线的特征确定其他函数的图象 5．【中考·聊城】二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图象大致是() (第5题) 6．如图，A(－1，0)，B(2，－3)两点在一次函数y1＝－x＋m与二次函数y2＝ax2＋bx －3的图象上． (1)求m的值和二次函数的解析式． (2)设二次函数的图象交y轴于点C，求△ABC的面积． (第6题)

二次函数系数abc与图像的关系精选练习题

二次函数系数a、b、c与图像的关系 知识要点 二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定： （1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0． （2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号． （3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．（4）b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0． （5）当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=-1时，可确定a-b+c的符号．（6）由对称轴公式x=，可确定2a+b的符号． 一．选择题（共9小题） 1．（2014?威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0） 的图象如图，则下列说法： ①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当 x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）． 其中正确的个数是（） A．1B．2C．3D．4 2．（2014?仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（）A．③④B．②③C．①④D．①②③3．（2014?南阳二模）二次函数y=ax2+bx+c的图象 如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论： ①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中，正 确的结论有（） A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2014?襄城区模拟）函数y=x2+bx+c与y=x的 图象如图，有以下结论： ①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1 ＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0． 其中正确结论的个数为（） A．1B．2C．3D．4 5．（2014?宜城市模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法： ①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2． 其中说法正确的是（） A．①②B．②③C．②③④D．①②④

3讲义特殊的二次函数图像三(教师版)

复习引入: （一）在同一直角坐标系中画出二次函数y = x2与y = （X T）2+1与y = （x-1 ）2+1的图像列表（取点原则：取原点及左右对称点） 描点、连线 分 （1）函数y（x 1）2+1与y（x-1 ）2+1的图像与y =x2图像有哪些相同处及不同处 析： （2）产生这三个图像的差异的本质原因是什么平移 （3）这三个二次函数若与坐 总结：y =a（x m）2 k的图像性质（左加右减，上加下减）

a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a >0 向上 (-m,k) 直线 x = _m x > —m 时，y 随x 的增大而增大；x ￡ —m 时， y 随x 的增大而减小；x = -m 时，y 有最小值 k . a cO 向下 (-m, k) 直线 x = -m x > —m 时，y 随x 的增大而减小；x ￡ —m 时， y 随x 的增大而增大；x = -m 时，y 有最大值 k . 1 ?平移步骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y =a(x m)2 k ，确定其顶点坐标(-m,k); ⑵ 保持抛物线y 二ax 2的形状不变，将其顶点平移到(-m,k)处，具体平移方法如下: 2. 平移规律 在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”. 概括成八个字“左加右减，上加下减”. 例题分析 1. 填表 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 2 y = -(x -2) +4 下 直线X=2 (2,4) 1 2 厂尹3)2_5 上 直线X=-3 (-3,-5) 2,1 y = —3(x —2) + — 3 下 直线X=2 (2,1/3) —3、2 7 y = ——(x —一) 一 — 12 4 12 下 直线X=3/4 (3/4,-7/12) 向左平移1个单位，再向下平移 3个单位，得到的抛物线的表达式为 y=-5(x+1) 2-3 ___________ 3. 抛物线y =2x 2沿x 轴向 _______ 左 ___ 平移_2 ____ 单位，再沿y 轴向 _______ 下 _______ 移 ￥ y=a(x-h)2 y=ax 2+k ! 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移KI 个单位 y=a(x-h)2+k 向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】 平移|k 个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位 向右(h>0)【或左 (h<0)】 平移kl 个单位

中考二次函数图象信息题赏析

中考二次函数图象信息题赏析 二次函数是初中数学的重点内容之一,其图象是一种直观形象的交流语言,含有大量的有价值的信息,用好这些信息有助于培养和提高同学们分析问题,解决问题的能力.为考查同学们的“数形结合思想”和应用图象信息的能力,二次函数图象信息题便成了近年来各地中考的热点,解答这类题的关键是准确分析解析式中的有关量与函数图象的位置关系,正确地 进行“数”和“形”的转换.现精选两例08年中考题,归类浅析如下,供同学们鉴赏： 一、由系数的符号确定其图象的位置 例1（2008年山东省泰安市中考题）在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是（ ） 解析:本例将二次函数与一次函数的图象 放在同一直角坐标系中,加大了知识的考查力 度,解决这类问题的基本方法是排除法,数学思 想方法是数形结合和分类讨论. (1)如果m ＞0,则由一次函数y mx m =+的性质,可知其图象上升,且与y 轴的交点在x 轴上方,很明显,只有(C)满足,但对二次函数222y mx x =-++而言,当m ＞0时,其开口方向应向下,显然不合,所以(C)不可能. （2）如果m ＜0,则由一次函数y mx m =+的性质,可知其图象下降,且与y 轴的交点在x 轴下方,这(A)、(B)和 (D)都满足,但对二次函数222y mx x =-++而言,当m ＜0时,其开口方向应向上 ,所以(A)不可能. 对称轴m m a b x 1)(222=-?-=-=＜0,应在y 轴的左侧,故(B)也不可能. 只有(D)满足条件,故应选(D). 二、由抛物线的位置确定系数及其代数式的符号 例3（2008年四川省乐山市中考题）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示， 令|42||||2||2|M a b c a b c a b a b =-++++-++-，则 A..M>0 B. M<0 C. M=0 D. M 的符号不能确定 解析：解决本例的基本思想仍然是数形结合.由抛物线在坐标 系中的位置,确定其系数及其代数式的符号. (1)由图象可知,当2-=x 时，其对应点在x 轴的上方，即y ＞0，则c b a +-24＞0； (2)由图象可知,当1=x 时，其对应点在x 轴的下方，即y ＜0，从而c b a ++＜0； (3)抛物线开口向下,a ＜0，对称轴在y 轴的左侧，则a b 2-＜0，由a ＜0，得到 b ＜0，所以b a +2＜0；

二次函数图像与abc的关系专题训练

二次函数2y ax bx c =++图象的位置与abc 的关系 归纳： 二次函数2y ax bx c =++的对称轴为________,顶点坐标为______________ （1）a 的符号由 决定： ①开口方向向 ? a 0；②开口方向向 ? a 0. （2）b 的符号由 决定； ①对称轴在y 轴的左侧 ?b a 、 ； ②对称轴在y 轴的右侧 ?b a 、 ； ③对称轴是y 轴 ?b 0. ④由对称轴公式x=，可确定2a+b 的符号． （3）c 的符号由 决定： ①抛物线与y 轴交于正半轴 ?c 0； ②抛物线与y 轴交于负半轴?c 0； ③抛物线过原点 ?c 0. （4）ac b 42-的符号由 决定： ①抛物线与x 轴有 交点? b 2-4ac 0； ②抛物线与x 轴有 交点? b 2-4ac 0； ③抛物线与x 轴有 交点? b 2-4ac 0； （5）当x=1时，可确定a+b+c 的符号，当x=-1时，可确定a-b+c 的符号． 【典型例题】 已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列 4个结论中：①abc>0；②b0；④b 2-4ac>0； ⑤b=2a.正确的是 （填序号） 【课后作业】 1.根据图象填空，： （1）a 0 ，b 0 ，c 0， abc 0. （2）b 2-4ac 0 （3）c b a ++ 0；c b a +- 0； （4）当0>x 时，y 的取值范围是 ； 当0>y 时，x 的取值范围是 . 2.若一条抛物线c bx ax y ++=2的顶点在第二象限，交于y 有两个交点，则下列结论正确的是（ ）. A.a ﹥0,bc ﹥0; B.a ﹤0,bc ﹤0; C. a ﹤0, bc ﹥0; D.a ﹥0, bc ﹤0