数列的综合问题题型归纳总结

数列的综合问题题型归纳总结

题型1 数列与不等式的综合 思路提示

数列与不等式的综合是高考的热点问题，内容主要包括两个方面：其一，不等式恒成立条件下，求参数的取值范围；其二，不等式的证明，常见方法有比较法、构造辅助函数法、放缩法和数学归纳法等. 一、不等式恒成立条件下，求参数的取值范围问题 利用等价转化思想将其转化为最值问题. ()a F n >恒成立max ()a F n ?>； ()a F n <恒成立min ()a F n ?<.

例6.38 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，1110,910n n a a S +==+. （1）求证：{lg }n a 是等差数列； （2）设n T 是数列13{}(lg )(lg )n n a a +的前n 项和，求使21

(5)4

n T m m >-对所有的*n N ∈都成立的最大正整

数m 的值.

解析 （1）由题意，1910(*)n n a S n N +=+∈ ① 故有1910(2,*)n n a S n n N -=+≥∈ ②

由①-②，可得19n n n a a a +-=，即110(2,*)n n a a n n N +=≥∈，所以有1

10(2,*)n n

a n n N a +=≥∈， 令1n =，代入式①，可得21910100a a =+=，故

2110a a =，故有110(*)n n

a

n N a +=∈， 故数列{}n a 是以10为首项，以10为公比的等比数列，故1101010n n n a -==g . 所以lg lg10n n a n ==，即有1lg lg (1)1n n a a n n +-=+-=， 故{lg }n a 是等差数列，且首项为lg101=，公差为1. （2）解法一：由（1）可知lg lg10n n a n ==，所以

13311

3()(lg )(lg )(1)1

n n a a n n n n +==-++，

故1111113

3[(1)()()]3(1)3223111

n T n n n n =-+-++-=-=-

+++L . 由1n ≥，可知33

312

n T n =-≥+. 依题意，

2

31(5)24

m m >-，解得16m -<<，则最大正整数m 的值为5. 解法二：先由题意21(5)4n T m m >-对任意的*n N ∈都成立，故需n T 的最小值2min 1

()(5)4

n T m m >-，而

133

0(lg )(lg )(1)

n n a a n n +=>+，

故数列13{

}(lg )(lg )n n a a +的前n 项和n T 是关于n 的单调递增函数，故n T 的最小值为13

2

T =，所以

2

31(5)24

m m >-，解得16m -<<，则最大正整数m 的值为5. 评注 本题中的解法二更为简捷，其原理是一个正项数列的前n 项和是关于n 的单调递增函数.其求解思想是深刻的，同学们应仔细体会并加以应用，有时它会给你带来更为快捷的解题方法.不等式的恒成立问题，

主要思想是转化为探求n S 的最值问题，这样既可通过分析n S 解析式的单调性的方法，也可通过“正项数列的前n 项和是关于n 的单调递增函数”得到n S 为n 的单调递增函数，故1n S S ≥，这种方法更能突显考生思维的深刻程度.

例6.39 数列{}n a 中，148,2a a ==且满足212(*)n n n a a a n N ++=-∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设12||||||n n S a a a =+++L ，求n S ； （3）设1

(*)(12)

n n b n N n a =

∈-，12(*)n n T b b b n N =+++∈L ，是否存在最大的整数m ，使得对任意

*n N ∈，均有32

n m

T >

成立若成立？求出m 的值；若不存在，请说明理由. 解析 （1）由题意，211n n n n a a a a +++-=-，所以{}n a 为等差数列.设公差为d ， 由题意得2832d d =+?=-，得82(1)102n a n n =--=-. （2）设12n n a a a A +++=L ，若1020n -≥，则5n ≤， 当5n ≤时，212128102||||||92

n n n n n

S a a a A a a a n n n +-=+++==+++=

?=-L L ； 当6n ≥时，212567555()2940n n n n S a a a a a a A A A A A n n =+++---=--=-=-+L L ， 故229(5)940(6)n n n n S n n n ?-≤?

=?-+≥??

.

（3）因为11111

()(12)2(1)21

n n b n a n n n n =

==--++，

所以11111111[(1)()()](1)2223121n T n n n =-+-++-=-++L ，又数列{}n T 是单调递增的，故11

4

T =为{}n T 的最

小值，故18432

m m >?<，所以m 的最大整数值是7.即存在最大整数7m =，使对任意任意*n N ∈，均有32

n m T >

. 评注 本题中的的第（3）问，还可以如下表述：11

0(12)2(1)

n n b n a n n ==>-+，故数列{}n b 的前n 项和n

T 是关于n 的单调递增函数，故n T 的最小值为1114T b ==

，所以114T =为n T 的最小值，故18432

m m >?<，故

m 的最大整数值是7.即存在最大整数7m =，使对任意*n N ∈，均有32

n m T >

. 变式1 已知等差数列{}n a 满足1(*)n n a a n N +>∈，11a =，该数列的前3项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{}n b 的前3项.

（1）分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式,n n a b ； （2）设1212(*)n n n a a a T n N b b b =+++∈L ，若231

()2n n n T c c Z n

++-<∈恒成立，求c 的最小值.

例6.40 已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和n S 与n a 之间满足22(2,*)21

n

n n S a n n N S =

≥∈-. （1）求证：数列1

{

}n

S 是等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；

（3）设存在正整数k

，使12(1)(1)(1)n S S S +++≥L 对于一切*n N ∈都成立，求k 的最大值.

解析 （1）因为212(2,*)21

n

n n n n S a S S n n N S -=

=-≥∈-， 故2

12()(21)n

n n n S S S S -=--，所以1120n n n n S S S S ---+=，两边同除以10n n S S -=g ， 得

11120n n S S --+=，故1112n n S S --=(2,*)n n N ≥∈，故数列1{}n

S 是公差为2的等差数列. （2）由（1）知，111(1)221n n n S S =+-?=-，所以1

(*)21

n S n N n =∈-. 123212

(2,*)(23)(21)(23)(21)

n n n n n a S S n n N n n n n ---+-=-=

=≥∈----，

又11a =不满足上式，

故1(1)2

(2,*)(23)(21)n n a n n N n n =??

=?-≥∈?--?

. （3

）12(1)(1)(1)n S S S +++≥L *n N ∈都成立

11(11)(1)(1)321n ?+++≥-L *n N ∈都成立，

即11

(11)(1)(1)

k +++≤L *n N ∈

恒成立，故min 11

(11)(1)(1)

k +++≤L .

令11(11)(1)(1)()f n +++=

L 2

211

[(11)(1)(1)]321()21n f n n +++-=+L ， 2

2

2222(

)

[(1)](22)21(21)1[()]23(21)(23)

n f n n n n f n n n n ++++=+=>+++g ， 故22[(1)][()]f n f n +>，即(1)()f n f n +>.

故min ()(1)f n f ==

=

，因为k 为正整数，所以k 的最大值为1. 变式1 设函数()y f x =的定义域为R ，当0x <时，()1f x >，且对任意,x y R ∈，都有()()()

f x y f x f y +=成立，数列{}n a 满足1(0)a f =，且11

()(*)(2)n n f a n N f a +=∈--.

（1）证明：()f x 在R 上为减函数； （2）求2015a 的值； （3

）若不等式12111

(1)(1)(1)n

a a a +++≥L *n N ∈都成立，求k 的最大值.

变式2 已知{}n a 是递增数列，其前n 项之和为n S ，11a >，且10(21)(2)(*)n n n S a a n N =++∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）是否存在,,*m n k N ∈，使得2()m n k a a a +=成立？若存在，写出一组符合条件的,,m n k 的值；若不存在，请说明理由； （3）设2(3)3

,251

n n n n n a n b a c n +-=-

=

-，若对于任意的*n N ∈，不等式

12031(1)(1)(1)n

b b b ≤+++L 恒成立，求正整数m 的最大值.

二、不等式的证明（构造辅助函数法与放缩法的应用） 1.构造辅助函数（数列）证明不等式 引理：10,

ln(1)ln 1(1)1x x x x x x x x x x

-><++. 证明：先证不等式的左边，ln(1)1x x x <++，移项得ln(1)01

x

x x -+<+， 构造辅助函数()ln(1)(0)1

x

f x x x x =

-+>+. 易知(0)0f =，欲证明()0f x <，只需证明()f x 在(0,)+∞上单调递减即可.

22

11()0(1)1(1)

x

f x x x x '=

-=-<+++，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，()(0)0f x f <=， 故

ln(1)1

x

x x <++. 再证明不等式的右边，ln(1)x x +<.

移项得ln(1)0x x +-<，构造辅助函数()ln(1)(0)g x x x x =+->.

易知(0)0f =，欲证明()0g x <只需证明()g x 在(0,)+∞上单调递减，

1()1011

x g x x x '=

-=-<++，故函数()g x 在(0,)+∞上为减函数. ()(0)0g x g <=，故ln(1)x x +<.

综上所述，当0x >时

ln(1)1

x

x x x <+<+. 不妨令1

(0,1],*x n N n

=∈∈，则上述不等式变形为：

经典不等式一：

111

ln(1)(*)1n N n n n

<+<∈+ 下面就利用经典不等式一来证明在有关数列与不等式综合题中所涉及的不等式证明问题.

例6.41 证明不等式111

ln (2,*)23n n n N n

>

+++≥∈L . 分析 观察不等式，左边只有一项，而右边却有1n -项，显然要将左边的形式加以变换. 解析 由

12212111ln ln(

)ln()ln()ln()ln(1)ln(1)ln(1)1231121121

n n n n n n n n n n n n n ---==+++=++++++-------g g L g L L 利

用经典不等式一的左边11

ln(1)1n n

<++来证明. 111111

ln(1),ln(1),,ln(1)12112

n n n n +

>+>+>---L . 故

11111123ln(1)ln(1)ln(1)ln ln ln

23121121

n

n n n +++<++++++=+++--L L L 234ln()ln 1231

n n n =????=-L

故111

ln (2,*)23n n n N n

>+++≥∈L .

变式1 证明：不等式2222

1111

(1)(1)(1)(1)234e n ++++

变式2 数列{}n a 满足11211

1,(1)(*)2n n

n

a a a n N n n +==+

+∈+. （1）求证：2(*,2)n a n N n ≥∈≥；

（2）已知不等式ln(1)x x +<对0x >成立，试证明：2n a e <.

变式3 设函数()ln 1f x x px =-+. （1）求函数()f x 的极值；

（2）当0p >时，若对任意的0x >，恒有()0f x ≤，求p 的取值范围； （3）求证：2222222ln 2ln 3ln 21

(*,2)232(1)

n n n n N n n n --+++<∈≥+L .

变式4 已知函数2()22

x f x x =-，各项都小于零的数列{}n a 满足1

4()1n n S f a =g .

（1）求证：111

ln (*)1n n

n n N a n a +<<-∈-； （2）求证：11111

ln 2015123201522014

+++<<+++

L L .

变式5 已知函数()x f x e x =-，其中e 为自然对数的底数. （1）求()f x 的最小值；

（2）设*n N ∈，且2n ≥，证明：1211

()()()1

n n n n n n n e -+++<

-L .

变式6 证明：不等式211

1()ln (1,2,)1

2n

k k n n k =-<-≤=+∑L .

经典不等式二：2111

ln(1)(*)n N n n n +>-∈.

经典不等式三：23111

ln(1)(*)n N n n n

+>-∈.

证明：令

1(0,1]x n

=∈，经典不等式二可变为2ln(1)x x x +>-，移项得2

ln(1)0x x x +-+>， 构造辅助函数2()ln(1)([0,1])f x x x x x =+-+∈.

211(21)(1)121(21)

()1201111

x x x x x x f x x x x x x +-+++-+'=-+===>++++，

故函数()f x 在[0,1]x ∈上单调递增，又(0)0f =，故()(0)0f x f >=，即2ln(1)0x x x +-+>. 令1(0,1]x n =∈，得2111

ln(1)(*)n N n n n

+>-∈.

同理可将经典不等式三构造辅助函数23()ln(1)([0,1])f x x x x x =+-+∈.

32322

13213(1)()230,[0,1]111

x x x x x f x x x x x x x +-++-'=-+==>∈+++，

故函数()f x 在[0,1]x ∈上单调递增，又(0)0f =，故()(0)0f x f >=，即23ln(1)0x x x +-+>. 令1(0,1]x n =∈，得23111

ln(1)(*)n N n n n

+>-∈.

例6.42 求证：对任意的*n N ∈，都有2

11

ln(1)n

i i n i

=-+>∑

成立. 分析 观察不等式的右边，不难想到可应用经典不等式证明. 解析 由经典不等式二知，2111

ln(1)n n n

+>-，

得2111ln(1)11(1)n n n +>----，L 2

1

ln(11)11+>-

， 故11

ln(1)ln(1)ln(11)1n n ++++++>

-L 211n

i i i =-∑，所以2

11

ln(1)n

i i n i

=-+>∑.证毕. 2.放缩法证明不等式

在证明不等式时，有时把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，我们称这种方法为放缩法.

放缩时常采用的方法有：舍去一些正项或负项、在和或积中放大或缩小某些项、扩大（或缩小）分式的分子（或分母）.

放缩法证不等式的理论依据是：,A B B C A C >>?>；,A B B C A C <

放缩法是一种重要的证题技巧，要想用好它，必须有目标，目标可从要证的结论中去查找. 方法1：对n a 进行放缩，然后求和.

当1n

k k a =∑既不关于n 单调，也不可直接求和，右边又是常数时，就应考虑对n a 进行放缩，使目标变成可

求和的情形，通常变为可裂项相消或压缩等比的数列.证明时要注意对照求证的结论，调整与控制放缩的度.

例6.43 求证：221

1n

k k

=<∑.

解析 证法一：2k ≥时，因为21111(1)1k k k k k <=---，所以2211

11n

k k

n =<-<∑.

证法二：2k ≥时，因为22111111

()1(1)(1)211

k k k k k k <==--+--+， 所以2

2111113(1)12214n

k k

n n =<+--<<+∑

. 证法三：2k ≥时，因为221111111422

k k k k <=---+

，所以221112

1113222n

k k n =<-<<-+∑. 评注 不同的证明方法可达不同的结论，基本原则是裂项要能相消；放缩程度越小、越精确，效果越好.此外，常用2(1)(1)n n n n n -<<+来放缩有关2n 的问题.

变式1 正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足：2

22(1)()0n

n S n n S n n -+--+=. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；

（2）令22

1(2)n n n b n a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T .证明：对于任意的*n N ∈，都有5

64

n T <.

例6.44 已知数列{}n a 满足1111

,()20(*)2

n n n a n a a a n N ++=-+=∈

（1）求n a ； （2）1

(2)2n n n n a b ++=

，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求证：1

2

n T <. 分析 由递推公式求出数列{}n a 的通项公式，从而求出数列{}n b 的通项公式，将数列{}n b 的通项进行放缩成为裂项相消可求和的形式.

解析 （1）由题意知1(2)n n n a na ++=，则12

n n a n

a n +=

+. 12121121

(2),,,13

n n n n a a a n n n a n a n a -----=≥==+L . 则

121211

12212

143(1)n n n n n a a a a n n a a a n n n n a -----===++g g L g g g L g g ，所以1(2)(1)n a n n n =

≥+， 当1n =时，11

2

a =

也适合，故1(1)n a n n =+.

（2）由题意及（1）得111

(2)211

2(1)22(1)2n n n n n n n a n b n n n n +++++===-

++g g g ， 所以22311111111111

()()[]122222322(1)22(1)22n n n n T n n n ++=-+-++-=-<

++L g g g g g g g . 变式1 已知函数()(1)(0)f x x x x =+>，数列{}n c 满足111

,()(*)2

n n c c f c n N +==∈.

求证：*,2n N n ∈≥时，都有12111

12111n

c c c <+++<+++L .

变式2 数列中，

.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，若数列

的前项和为，求证：.

变式3 在数列中，，且成等差数列，

成等比数列.

（1）求及

，由此猜测

的通项公式，并证明你的结论；

（2）证明：.

变式4 设数列

的前项和为，满足，且成等差数列.

（1）求的值； （2）求数列

的通项公式；

（3）证明：对一切正整数，有

.

例6. 45已知数列满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：.

分析：本题证明不等式的核心在于放缩，度的把握在于结论中的.

解析：（1）因为，所以，故是以2为公比的等比数列，故，所以.

（2）因为，所以.

又因为，所以

.

变式1已知数列满足，.

（1）猜想数列的单调性，并证明你的结论；

（2）证明：.

变式2 已知曲线，过C上一点作斜率为的直线，交曲线C于另一点，再过点作斜率为的直线，交曲线C于另一点，其中

，.

（1）求与的关系式；

（2）判断与2的大小关系，并证明你的结论；

（3）求证：.

变式3已知数列，满足，并且为非零实

数,).

（1）若成等比数列，求参数的值；

（2）当时，证明：；

（3）当时，证明：.

方法2 添舍放缩

例6. 46求证：.

解析：证法一：利用基本不等式.

.

证法二：.

.

变式1求证：.

变式2设数列满足，且对一切正整数均成立，令

，判定与的大小，并说明理由.

变式3已知. 求证：

方法3 对于一边是和或者积的数列不等式，可以把另外一边的含的式子看作是一个数列的前项的和或者积，求出该数列通项后再左、右两边一对一地比较大小，这种思路非常有效，还可以分析出放缩法证明的操作方法，易于掌握. 需要指出的是，如果另外一边不是含有的式子，而是常数，则需要寻找目标不等式的加强不等式，再予以证明.

例6. 47 求证：.

分析：假设，若对均有，则该不等式得证.

证明：设，

由，得，

显然对都成立，所以.

故原不等式得证.

变式1已知，求证：

变式2求证：

例6. 48已知，求证：.

分析：若，若对均有，则不等式得证.

解析：证明：设，则

时，，

此时

综上所述，对都成立，可见

，故原不等式成立.

变式1已知，求证：.

方法4：单调放缩

例6. 49等比数列的前项之和为，已知对任意的，点均在函数且均为常数的图象上.

（1）求的值；

（2）当时，记，求证：对任意的，不等式

成立.

解析：（1）由题意，，当时，，所以，由于

且，由已知，是等比数列，故数列是以为公比的等比数列，又

即解得.

（2）由（1）知，因此，所证不等式为，即证明

.

利用放缩法证明：因为，所以

.

证毕.

变式1 已知曲线，从点向曲线引斜率为的切线，切点为.

（1）求数列的通项公式；（2）求证：.

变式2已知各项均为正数的数列的前项和满足，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，并记为数列的前项和. 求证：

.

变式3已知函数，记在区间上的最小值为，令.

求证：.

最有效训练题

1. 设等差数列的前项的和为，且，则中的最大值是（）

A. B. C. D.

2. 设等差数列的前项的和为，已知

，有下列结论：①；②；③；④. 其中正确的结论的序号是（）

A. ①②

B. ①③

C. ②③

D. ②④

3. 已知数列中，，能使的可以等于（）

A. 14

B. 15

C. 16

D. 17

4. 已知函数，若方程有三个不同的实数根，且三个根从小到大依次成等比数列，则的值为（）

A. B. C. D. 1

5. 定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”.

现有定义在上的如下函数：①；②；③；④. 则其中是“保等比数列函数”的序号是（）

A. ①②

B. ③④

C. ①③

D. ②④

6. 若函数，图象在点处的切线为，在轴、轴上的截距分别为，则数列

的最大项为.

7. 等差数列，其前项的和为，满足，若随机从区间取实数作为该数列的公差，则使得当时最大的概率为.

8. 若数列的最大项是第项，则.

9. 定义：，已知数列满足：，若对任意正整数，都有

成立，则的值为.

10. 设数列是公差为的等差数列，其前项的和为，已知.

（1）求当时，最小值；

（2）当时，求证：.

11. 已知数列的前项的和为，，与的等差中项是.

（1）证明数列为等比数列；

（2）求数列的通项公式；

（3）若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.

12. 已知是等比数列，公比，前项的和为，且，数列满足

.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项的和为，求证：.

(完整版)数列题型及解题方法归纳总结

知识框架 111111(2)(2)(1)( 1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a q a a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=?? ←???-=≥?? =+-??-?=+=+??+=++=+??两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解 的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1) 11(1)() n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+???? ? ???????????????? ??? ???????????? ???? ????????????? ?????? ? ?? ?? ?? ?? ??? ???????? 等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积 归纳猜想证明分期付款数列的应用其他??????? ? ? 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。（2）由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数） 例1、 已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 ∴a n =1+2（n-1） 即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足11 2 n n a a +=，而12a =，求n a =？ （2）递推式为a n+1=a n +f （n ） 例3、已知{}n a 中112a = ，121 41 n n a a n +=+-，求n a . 解： 由已知可知)12)(12(11-+= -+n n a a n n )1 21 121(21+--=n n 令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1） 2 43 4)1211(211--= --+=n n n a a n ★ 说明 只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代 入，可得n-1个等式累加而求a n 。 (3)递推式为a n+1=pa n +q （p ，q 为常数） 例4、{}n a 中，11a =，对于n ＞1（n ∈N ）有132n n a a -=+，求n a . 解法一： 由已知递推式得a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。两式相减：a n+1-a n =3（a n -a n-1） 因此数列{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，其首项为a 2-a 1=（3×1+2）-1=4 ∴a n+1-a n =4·3n-1 ∵a n+1=3a n +2 ∴3a n +2-a n =4·3n-1 即 a n =2·3n-1 -1 解法二： 上法得{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，于是有：a 2-a 1=4，a 3-a 2=4·3，a 4-a 3=4·32，…，a n -a n-1=4·3n-2 ， 把n-1个等式累加得： ∴an=2·3n-1-1 (4)递推式为a n+1=p a n +q n （p ，q 为常数） )(3211-+-= -n n n n b b b b 由上题的解法，得：n n b )32(23-= ∴n n n n n b a )31(2)21(32-== (5)递推式为21n n n a pa qa ++=+

等比数列常考题型归纳总结很全面

等比数列及其前n 项和 教学目标： 1、熟练掌握等比数列定义；通项公式；中项；前n 项和；性质。 2、能熟练的使用公式求等比数列的基本量，证明数列是等比数列，解决与等比数列有关的简单问题。 知识回顾： 1．定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示。用递推公式 表示为)2(1≥=-n q a a n n 或q a a n n =+1。注意：等比数列的公比和首项都不为零。（证明数列是 等比数列的关键） 2．通项公式： 等比数列的通项为：11-=n n q a a 。推广：m n m n q a a -= 3．中项： 如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项；其中ab G =2。 4．等比数列的前n 项和公式 ?? ? ??≠--==)1(1)1()1(11q q q a q na S n n 5．等比数列项的性质 （1）在等比数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则q p n m a a a a =；特别的，若m ，p ，q N +∈且q p m +=2，则q p m a a a =2 。 （2）除特殊情况外，,...,,232n n n n n S S S S S --也成等比数列。n q q ='。 （其中特殊情况是当q=-1且n 为偶数时候此时n S =0，但是当n 为奇数是是成立的）。 4、证明等比数列的方法 （1）证： q a a n n =+1（常数）；（2）证：112 ·+-=n n n a a a （2≥n ）. 考点分析

高考数学易错点总结精编版

高考数学易错点总结公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-

高考数学易错点总结 收集整理了数学的一些易考易错点，帮助复习到现阶段的你做一次集中排查。 在看这些易错点之前，先说一下这些易错点的具体使用步骤与方法。 下面已列出高考数学易考易错知识点，请认真逐条阅读，每读一条，请在脑海中寻找该点对应的知识及相应题型。 第1 步 如以下第一条：指数、对数函数的限制条件你注意了吗（真数大于零，底数大于零且不等于1）它们的函数值分布情况是如何的当我们看完这一条后，脑中应该想到指、对函数的标准方程，对应的图像，可以的话在草稿纸上写一写、画一画！再想一想这类问题常考题型：如给出几个函数在一个图中的图像，判断字母a,b,c,d的大小等。 第2 步 逐条去看列出的易错点，将自己不清楚和确实自己易错的点记录下来。 第3 步 去寻一本专题复习书，仔细查看你记录下的易错点对应的知识，给出的例题怎样避开这些错误的，标注、总结、自我强调。 第4 步 再去寻一本专题练习的书（上面那本专题复习书上也许就有哦），实战检验一下你是否真正掌握了这些易错点。 ↓ · 高考数学易考易错点·

1.指数、对数函数的限制条件你注意了吗(真数大于零，底数大于零且不等于1)它们的函数值分布情况是如何的 2.利用换元法证明或求解时，是否注意“新元”的范围变化是否保证等价转化 3.利用放缩法证明或求解时，是否注意放缩的尺度及方向的统一? 4.图像变换的时候是否清楚任何变换都是对“变量本身”进行的? 5.对于集合，你是否清楚集合中的元素(数、点、符号、图形等)是什么及元素的特性(确定性、互异性、无序性)在集合运算时是否注意空集和全集 6.命题的否定(只否结论)与否命题(条件、结论全否)的区别你知道吗? 7.求一个函数或其反函数的解析式的时候你标明函数的定义域了吗? 8.映射的概念你了解吗对于映射f:A→B，是否注意到集合A中元素的任意性和集合B中与它对应元素的唯一性(B中可有多余元素) 9.根据定义证明函数的单调性时的一般步骤是什么(取值规定大小、作差化连乘积、判断符号下结论) 10.判断一个函数的奇偶性时是否注意到定义域关于原点对称这个必要非充分条件了? 11.“三个二次”的关系你清楚吗(二次函数的图像与轴的交点的横坐标即二次方程的根;不等式的解集为二次函数图像上方或下方的点的横坐标的集合)含有参数的二次型你是否注意对二次项系数、对称轴、定义域、判别式、根的大小等的讨论 12.数列也是一种特殊的函数你忽视了吗是否能利用数列性质解题

最新等比数列知识点总结及题型归纳(1)

等比数列知识点总结及题型归纳 1、等比数列的定义： ()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式： ()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q -===??≠?≠，首项：1a ；公比：q 推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=?= ?=3、等比中项： （1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab = 或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+?=? 4、等比数列的前n 项和n S 公式： （1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q S q q --= =-- 11''11n n n a a q A A B A B A q q =-=-?=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法： （1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n n a a qa q q a a a ++==≠?或为常数，为等比数列 （2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠?为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =??≠?为等比数列 6、等比数列的证明方法： 依据定义：若()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=?为等比数列 7、等比数列的性质： （2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。 （3）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ?=?。特别的，当2m n k +=时，得2n m k a a a ?= 注：12132n n n a a a a a a --?=?=??? （4）数列{}n a ，{}n b 为等比数列，则数列{}n k a ，{}n k a ?，{}k n a ，{}n n k a b ??，{}n n a b （k 为非零常数）均为等比数列。 （5）数列{}n a 为等比数列，每隔*()k k N ∈项取出一项23(,,,,)m m k m k m k a a a a +++???仍为等比数列 （6）如果{}n a 是各项均为正数的等比数列，则数列{log }a n a 是等差数列 （7）若{}n a 为等比数列，则数列n S ，2n n S S -，32,n n S S -???，成等比数列 （8）若{}n a 为等比数列，则数列12n a a a ??????，122n n n a a a ++??????，21223n n n a a a ++???????成等比数列

数列题型及解题方法归纳总结

累加累积 归纳猜想证明 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了 典型 题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 (1)观察法。(2)由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 ⑴递推式为a n+i =3+d 及a n+i =qa n (d ，q 为常数) 例1、 已知｛a n ｝满足a n+i =a n +2，而且a i =1。求a n 。 例1、解 ■/ a n+i -a n =2为常数 ??? ｛a n ｝是首项为1，公差为2的等差数列 /? a n =1+2 (n-1 ) 即 a n =2n-1 1 例2、已知｛a n ｝满足a n 1 a n ，而a 1 2，求a n =? 佥 1 2 解■/^ = +是常数 .■-傀｝是以2为首顶，公比为扌的等比数 把n-1个等式累加得： .' ? an=2 ? 3n-1-1 ji i ? / ] — 3 ⑷ 递推式为a n+1=p a n +q n (p ，q 为常数) s 1 1 【例即己知何沖.衍二右札+ 吧求％ 略解在如十冷)*的两边乘以丹得 2 严‘ *珞1 = ~〔2怙血)+1.令亠=2n 召 则也€%乜于是可得 2 2 n b n 1 n 1 n b n 1 b n (b n b n 1)由上题的解法，得：b n 3 2(—) ? a . n 3(—) 2(—) 3 3 2 2 3 ★说明对于递推式辺曲=+屮，可两边除以中叫得蹲= Q 計/斗引辅助财如(%=芒.徼十氣+护用 (5) 递推式为 a n 2 pa n 1 qa n 知识框架 数列 的概念 数列的分类 数列的通项公式 数列的递推关系 函数角度理解 (2)递推式为 a n+1=a n +f (n ) 1 2 例3、已知｛a n ｝中 a 1 a n 1 a n 1 ，求 a n . 4n 2 1 等差数列的疋义 a n a n 1 d(n 2) 等差数列的通项公式 a n a 1 (n 1)d 等差数列 等差数列的求和公式 S n (a 1 a n ) na 1 n(n 1)d 2 2 等差数列的性质 a n a m a p a q (m n p q) 两个基 本数列 等比数列的定义 a n 1 q(n 2) 等比数列的通项公式 a n n 1 a 1q 数列 等比数列 a 1 a n q 3(1 q ) (q 1) 等比数列的求和公式 S n 1 q 1 q / n a 1(q 1) 等比数列的性质 S n S m a p a q (m n p q) 公式法 分组求和 错位相减求和 裂项求和 倒序相加求和 解：由已知可知a n 1 a n (2n 1)(2n 1)夕2n 1 2n 令n=1，2，…，(n-1 )，代入得(n-1 )个等式累加，即(a 2-a 1) + 1广 K z 1】、 =-[(1-" + J J 5 _■ 冷(一 Jr ★ 说明 只要和f ( 1) +f (2) 入，可得n-1个等式累加而求a n 。 ⑶ 递推式为a n+1=ps n +q (p , q 为常数) 1 a n a 1 (1 2 +?…+f 例 4、｛a n ｝中，ai 1，对于 n > 1 (n € N) 有a n (a 3-a 2) + ? + (a n -a n-1) L )也 2n 1 4n 2 (n-1 )是可求的，就可以由 a n+1=a n +f (n )以n=1，2，…， 3a n 1 2 ，求 a n ? 数列 求和 解法一： 由已知递推式得 a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。两式相减：a n+1-a n =3 (a n -a n-1) 因此数列｛a n+1-a n ｝是公比为3的等比数列，其首项为 a 2-a 1= (3X 1+2) -1=4 --a n+1 -a n =4 ? 3 - a n+1 =3a n +2 - - 3a n +2-a n =4 ? 3 即 a n =2 ? 3 -1 解法_ : 上法得｛a n+1-a n ｝是公比为 3 的等比数列，于是有： a 2-a 1=4， a 3-a 2=4 ? 3， a 4-a 3=4 ? 3 ? 3 ， 数列的应用 分期付款 其他

数列知识点及常用解题方法归纳总结

数列知识点及常用解题方法归纳总结 一、 等差数列的定义与性质 () 定义：为常数，a a d d a a n d n n n +-==+-111() 等差中项：，，成等差数列x A y A x y ?=+2 ()()前项和n S a a n na n n d n n = +=+ -112 12 {}性质：是等差数列a n （）若，则；1m n p q a a a a m n p q +=++=+ {}{}{}（）数列，，仍为等差数列；2212a a ka b n n n -+ S S S S S n n n n n ，，……仍为等差数列；232-- （）若三个数成等差数列，可设为，，；3a d a a d -+ （）若，是等差数列，为前项和，则 ；421 21 a b S T n a b S T n n n n m m m m =-- {}（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52 a S an bn a b n n n ?=+ 0的二次函数） {}S S an bn a n n n 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界=+2 项，即： 当，，解不等式组可得达到最大值时的值。a d a a S n n n n 11 000 0><≥≤?? ?+ 当，，由可得达到最小值时的值。a d a a S n n n n 11000 <>≤≥?? ?+ {}如：等差数列，，，，则a S a a a S n n n n n n =++===--1831123 （由，∴a a a a a n n n n n ++=?==----12113331 ()又·，∴S a a a a 3132 22 33113 = +===

高中数学数列复习题型归纳解题方法整理

数列 一、等差数列与等比数列 1.基本量的思想： 常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。转化为“基本量”是解决问题的基本方法。 2.等差数列与等比数列的联系 1）若数列{}n a 是等差数列，则数列}{n a a 是等比数列，公比为d a ，其中a 是常数，d 是{}n a 的公差。 （a>0且a ≠1）； 2）若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列{}log a n a 是等差数列，公差为log a q ，其中a 是常数且 0,1a a >≠，q 是{}n a 的公比。 3）若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列。 3.等差与等比数列的比较

4、典型例题分析 【题型1】等差数列与等比数列的联系 例1 （2010陕西文16）已知{}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{}的通项;（Ⅱ）求数列{2}的前n项和. 解：（Ⅰ）由题设知公差d≠0， 由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得12 1 d + ＝ 18 12 d d + + ， 解得d＝1，d＝0（舍去），故{}的通项＝1+（n－1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知2m a=2n，由等比数列前n项和公式得 2+22+23+…+22(12) 12 n - - 21-2. 小结与拓展：数列{}n a是等差数列，则数列} {n a a是等比数列，公比为d a，其中a是常数，d是{}n a的公差。（a>0且a≠1）. 【题型2】与“前n项和与通项”、常用求通项公式的结合 例2 已知数列{}的前三项与数列{}的前三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{＋1－}是等差数列．求数列{}与{}的通项公式。 解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1＝8n(n∈N*) ① 当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2－1＝8(n－1)(n∈N*) ② ①－②得2n－1＝8，求得＝24－n， 在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1， ∴＝24－n(n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2， ∴数列{＋1－}的公差为－2－(－4)＝2，∴＋1－＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，

平面向量知识点易错点归纳定稿版

平面向量知识点易错点 归纳精编W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】

§5.1 平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念 2.向量的线性运算

减法求a与b的相反 向量－b的和的 运算叫做a与b 的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘求实数λ与向量 a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时， λa的方向与a的方向相同；当 λ<0时，λa的方向与a的方向相 反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋ μa；λ(a＋b)＝ λa＋λb 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 方法与技巧 1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”． 2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如AB→∥CD→且AB与CD不共线，则AB∥CD；若AB→∥BC→，则A、B、C三点共线． 失误与防范 1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性． 2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误. §5.2 平面向量基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x ＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， 1 λa＝(λx ，λy1)，|a|＝x21＋y21. 1 (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝x2－x12＋y2－y12. 3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b x1y2－x2y1＝0. 方法与技巧 1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． 2．平面向量共线的坐标表示 (1)两向量平行的充要条件 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是a＝λb，这与x1y2－x2y1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同．

等差数列知识点总结和题型归纳

等差数列 一．等差数列知识点： 知识点1、等差数列的定义: ①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示 知识点2、等差数列的判定方法: ②定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列 ③等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列 知识点3、等差数列的通项公式: ④如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为 d n a a n )1(1-+= 该公式整理后是关于n 的一次函数 知识点4、等差数列的前n 项和: ⑤2 )(1n n a a n S += ⑥d n n na S n 2) 1(1-+ = 对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数 知识点5、等差中项: ⑥如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2 b a A += 或b a A +=2 在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 知识点6、等差数列的性质: ⑦等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+= ⑧ 对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+ 也就是：ΛΛ=+=+=+--23121n n n a a a a a a ⑨若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列如下图所示：

数列知识点总结及题型归纳---含答案(新)

数列 一、等差数列 题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。 例：等差数列12-=n a n ，=--1n n a a 题型二、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-； 例：1.2. 3.题型三 a ，A 例：1） A ．2.A ． 题型四（1（2（3（4题型五1122 n n 221(),(2 为常数B A Bn An S n +=?{}n a 是等差数列 ) 递推公式：2 )(2)()1(1n a a n a a S m n m n n --+=+=

例：1.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++= （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63 3.已知{}n a 数列是等差数列，1010=a ，其前10项的和7010=S ，则其公差d 等于( ) 12 -- ．．B A C.1 D.2 4.5. ） 6.7.8. 9. 1011n 项和，求T n 12. 13.在等差数列{}n a 中，（1）已知812148,168,S S a d ==求和；（2）已知658810,5,a S a S ==求和； (3)已知3151740,a a S +=求

等差数列常考题型归纳总结很全面

等差数列及其前n项和 教学目标： 1、熟练掌握等差数列定义；通项公式；中项；前n项和；性质。 2、能熟练的使用公式求等差数列的基本量，证明数列是等差数列，解决与等差数列有关的简单问题。 知识回顾： 1. 定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等丁同一个常数，那么这个数列就叫等差数歹0,这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为a n a n1 d(n 2)或a n1 a n d (n 1)。(证明数歹0是等差数歹0的关键) 2. 通项公式： 等差数列的通项为：a n a i (n i)d，当d 0时，a n是关丁n的一次式，它的图象是一条直线上自然数的点的集合。推广：a n a m (n m)d 3. 中项： 如果a , A , b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项；其中A J。 2 4. 等差数列的前n项和公式 S n座U na i虹皂d可以整理成&= Sn2+(a i d)n。当d』时是n的一个常数 2 2 2 2 项为0的二次函数。 5. 等差数列项的性质 (1) 在等差数歹0 a n中，若m , n , p , q N且m n p q ,则a m a n a p a q ；特别的，若m , p , q N 且2m p q ,则2a m a p a q。 (2) 已知数列a n , b n为等差数列，S n,T n为其前n项和，则冬 b n T2n 1 (3) 若等差数列的前n项和为Sn,则Sn,S2n Sn,S3n S2n,也成等差数列，公差d' n2d ； S,(n 1) a n (4) S n & 1 , (n 2). (5)若数列｛%｝是公差为d的等差数列，则数列斜也是等差数列，且公差为 考点分析 考点一：等差数列基本量计算 例1、等差数列｛a n｝中，a i 3a8血120，贝U 3a’ a,的值为

等差数列题型总结、知识点

等差数列题型总结、知识点-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

等差数列 一．等差数列知识点： 1等差数列的定义: ①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示 2等差数列的判定方法: ②定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列 ③等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列 3等差数列的通项公式: ④如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为 d n a a n )1(1-+=该公式整理后是关于n 的一次函数 4等差数列的前n 项和: ⑤2 )(1n n a a n S += ⑥d n n na S n 2)1(1-+= 对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数 5等差中项: ⑥如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2b a A +=或 b a A +=2 在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 5等差数列的性质: ⑦等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+= ⑧ 对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+ 也就是： =+=+=+--23121n n n a a a a a a ⑨若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ， k k S S -2，k k S S 23-成等差数列如下图所示： k k k k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k 31221S 321-+-+++++++++++ 二、题型选析： 考试对等差数列的考察，侧重在求值、等差数列性质和前n 项和，求值的过程中，对首项和公差的把握是重中之重，其实很多的试题都是在围绕对首项和公差的应用在考察。性质的题要求学生对性质的熟练应用，题目一般在简单难度。 题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）

【高考数学一轮复习易错知识点总结】

【高考数学一轮复习易错知识点总结】 一、集合与函数 1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解。 2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况 3.你会用补集的思想解决有关问题吗? 4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件? 5.你知道否命题与命题的否定形式的区别。 6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则。 7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称。 8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域。 9.原函数在区间[-a，a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调。 10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值，作差，判正负)和导数法 11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号和或单调区间不能用集合或不等式表示。 12.求函数的值域必须先求函数的定义域。

13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题)。这几种基本应用你掌握了吗? 14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗? (真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论 15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值? 16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。 17.实系数一元二次方程有实数解转化时，你是否注意到：当时，方程有解不能转化为。若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形? 二、不等式 18.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：一正;二定;三等。 19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么? 20.解分式不等式应注意什么问题?用根轴法解整式(分式)不等式的注意事项是什么? 21.解含参数不等式的通法是定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键，注意解完之后要写上：综上，原不等式的解集是。 22.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示。 23.两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能相乘，即同向同正可乘;同时要注意同号可倒即a》b》0，a 三、数列 24.解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗? 25.在已知，求的问题中，你在利用公式时注意到了吗?(时，应有)需要验证，有些题目

数列题型与解题方法归纳总结

.下载可编辑. 知识框架 111111(2)(2)(1)(1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a q a a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=?? ←???-=≥?? =+-??-?=+=+??+=++=+??两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解 的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1) 11(1)() n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+???? ? ???????????????? ??? ???????????? ???? ????????????? ?????? ? ?? ?? ?? ????????????? 等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他??????? ? ? 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可 能在高考中顺利地解决数列问题。 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。（2）由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数） 例1、 已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 ∴a n =1+2（n-1） 即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足11 2 n n a a +=，而12a =，求n a =？ （2）递推式为a n+1=a n +f （n ） 例3、已知{}n a 中112a = ，12141 n n a a n +=+-，求n a . 解： 由已知可知)12)(12(11-+= -+n n a a n n )1 21 121(21+--=n n 令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+… +（a n -a n-1）

数列知识点总结和题型归纳总结

高三总复习----数列 一、数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位 置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。 例：判断下列各组元素能否构成数列 （1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9; (2)2010年各省参加高考的考生人数。 （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式 就叫这个数列的通项公式。 例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：5 1 4131211，，，，… 数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈）， 数列②的通项公式是n a = 1 n （n N +∈）。 说明： ①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈? +=? ； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列 实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。 例：画出数列12+=n a n 的图像. （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。 例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,…

高中数学必修等差数列知识点总结和题型归纳

二、题型选析： 题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用） 1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6 ，2a -5 ， -3a +2 ，则 a A . -1 B . 1 C .-2 D. 2 2．在数列 {a n } 中， a 1=2，2a n+1=2a n +1，则 a 101的值为 （ ） A ．49 B ．50 C ． 51 D ．52 3．等差数列 1，－ 1，－ 3，?，－ 89的项数是（ ） 等差数列 一．等差数列知识点： 知识点 1、等差数列的定义 : ①如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列 就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示 知识点 2、等差数列的判定方法 : ②定义法：对于数列 a n ，若a n 1 a n d （常数） ，则数列 a n 是等差数列 ③等差中项：对于数列 a n ，若2a n 1 a n a n 2，则数列 a n 是等差数列 知识点 3、等差数列的通项公式 : 的首项是 a 1 ，公差是 d ，则等差数列的通项为 该公式整理后是关于 n 的一次函数 n 项和 : n （n 1） ⑥ S n na 1 d 2 ④如果等差数列 a n a n a 1 （n 1）d 知识点 4、等差数列的前 ⑤ Sn n （a 1 a n ） 2 对于公式 2整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数 知识点 5、等差中项 : ⑥如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与b 的等差中项即： A a b 或2A a b 在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项 与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 知识点 6、等差数列的性质 : ⑦等差数列任意两项间的关系：如果 且 m n ，公差为 d ，则有 a n a m （n ⑧ 对于等差数列 a n ，若 n m p a n 是等差数列的第 n 项， a m 是等差数列的第 m 项， m ）d q ，则 a n a m a p a q 也就是： a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 ⑨若数列 a n 是等差数列， 等差数列如下图所示： S n 是其前 n 项的和， k N ，那么 S k ， S 2k S k ， S 3k S 2k 成 S 3k a 1 a 2 a 3 S k a k a k 1 S 2k a 2k S k a 2k 1 S 3k S 2k a 3k ①若项数为 2n n * ， 则 S 2n n a n a n 1 ， 且 S 偶 S 奇 S 奇 nd ， 奇 an ． ②若项数为 2n 1 n S 偶 a n 1 S 奇 n （其中 S 奇 na n ， S 偶 n 1 a n ）． S 偶 n 1 奇 等差数列的前 n 项和的性质： 10、 ，则 S 2n 1 2n 1 a n ，且 S 奇 S 偶 a n ， 等于（ ）

等差数列常考题型归纳总结很全面

等差数列及其前n 项和 教学目标： 1、熟练掌握等差数列定义；通项公式；中项；前n 项和；性质。 2、能熟练的使用公式求等差数列的基本量，证明数列是等差数列，解决与等差数列有关的简单问题。 知识回顾： 1．定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为)2(1≥=--n d a a n n 或)1(1≥=-+n d a a n n 。（证明数列是等差数列的关键） 2．通项公式： 等差数列的通项为：d n a a n )1(1-+=，当0≠d 时，n a 是关于n 的一次式，它的图象是一条直线上自然数的点的集合。推广：d m n a a m n )(-+= 3．中项： 如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项；其中2 a b A +=。 4．等差数列的前n 项和公式 11()(1)22 n n n a a n n S na d +-= =+可以整理成S n ＝2d n 2＋n d a )2(1-。 当d ≠0时是n 的一个常数项为0的二次函数。 5．等差数列项的性质 （1）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；特别的，若m ，p ，q N +∈且q p m +=2，则q p m a a a +=2。 （2）已知数列{}{}n n b a ,为等差数列，n n T S ,为其前n 项和，则1 21 2--= n n n n T S b a （3）若等差数列的前n 项和为 n S ，则 ,,,232n n n n n S S S S S --也成等差数列，公差d n d 2 '=； （4） ?? ?≥-==-)2(n ,) 1(n ,11n n n S S S a ； （5）若数列{n a }是公差为d 的等差数列，则数列???? ?? Sn n 也是等差数列，且公差为______。