圆过定点问题

圆过定点问题

1、求圆x2+y2-2ax+4ay-5=0过的定点 x2+y2-5=2ax-4ay x2+y2-5=(2x-4y)a

当

x2+y2-5=0且(2x-4y)=0时一定成立所以x=2y

代入x2+y2-5=0

5y2=5

y=±1

x=2y=±2

所以定点有两个(2,1),(-2,-1)

圆锥曲线中的定点定值问题(教师版)

第四讲 圆锥曲线中的定点定值问题 一、直线恒过定点问题 例1. 已知动点E 在直线:2l y =-上，过点E 分别作曲线2 :4C x y =的切线,EA EB ， 切点为 A 、 B , 求证：直线AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标； 解：设),2,(-a E )4,(),4,(2 22211x x B x x A ，x y x y 2 1 4'2=∴= , )(21 41121点切线过，的抛物线切线方程为过点E x x x x y A -=-),(2 1 421121x a x x -=--∴整理得：082121=--ax x 同理可得：2 22280x ax --= 8 ,2082,2121221-=?=+∴=--∴x x a x x ax x x x 的两根是方程 )2 4,(2+a a AB 中点为可得，又22 12 121212124442 AB x x y y x x a k x x x x - -+====-- 2(2)()22a a AB y x a ∴-+=-直线的方程为，2()2 a y x AB =+∴即过定点0,2. 例2、已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012 x x y y +=， 直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒 过一定点G ，求点G 的坐标。 解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --= 设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n 则0000001 212022x n m y x n m y x y ?=-?+??-??--=??，解得3200020432 0000 2002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ?+--=?-??+--?=?-? ∴ 直线PN 的斜率为4320000032 00004288 2(34) n y x x x x k m x y x x -++--==---+

圆锥曲线定值定点问题【最新】

圆锥曲线问题的解题规律可以概括为: “联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布范围，曲线定义不能忘，引参、用参巧解题，分清关系思路畅、数形结合关系明，选好, 选准突破口，一点破译全局活。 定点、定直线、定值专题 （2012*荷泽一模〉已知直线1：y=x+AZ&. I.!a|O：x-+y-=5.椭圆E：牛+牛二i过圆O上任 意一点P作椭换1E的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之枳为宦值. 2. （2012?自贡三模）：过点0）作不打y轴垂直的直线1交该椭于M、 5 4 N两点，A为椭圆的左顶点-试判断ZMAN的大小是否为怎值，并说明理由? 2 2 3.（2013?川山二模〉设A（XI，yi）. B （x?, y2> 是椭PilA;+^=b（a>b：>0）上的两点, 己知向量二（:丄竺），二（二2竺）.且W恳二0?若椭圆的离心率巴出.短轴长为2, ba ba 2 O为坐标原点： （I）求椭岡的方程： （11 ）若直线AB过椭鬪的焦点F （0, C）, Cc为半焦距），求直线AB的斜率k的值：（llf）试问：△AOB的iflf枳是否为怎值？如果是，请给予证明；如果不是.请说明理由. 4.已知椭鬪C的中心在原点，傑点在X轴上，长轴长是短轴长的近倍.且椭圆C经过点M（2, V2）. （1）求椭鬪C的标准方程：

(2》过鬪0： 二3卜的任意一点作圆的一条切线椭鬪C 交于A 、B 两点.求证: 3 5.已知平面上的动点P(x, y)及两定点A ( -2, 0), B (2, 0).直线PA. PB 的斜率分 ki* k2 且k J ? k 2= - 求动点P 的轨迹C 的方程： 设直线h 戸kx+m 仃曲线C 交于不同的两点M. N ? ②若直线BM. BN 的斜率都存在并满足kBM.kBif-亍 证明直线I 过定点，并求出这个 富点. 2 2 - 6. (2011>新疆模拟)已知椭圆C ；青+丫5二1(a>b>0)的离心率为丄，以原点为圆心，椭 a D 2 圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+V6=0相切. (I )求椭圆C 的方程； (II)设P(4, 0), A. B 是椭圆C 上关于X 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆 C 于另一点E,证明直线AE 与X 轴相交于窪点Q ： 7.已知椭圆Q 的离心率为2,它的一个焦点和抛物线y2=-4x 的焦点重合. (1)求椭鬪Q 的方程； 2 + y ― 1 (a>b>0)上过点(xo ，yo>的切线方程为 X2 ygy 2 —+ ~72 a b ① 过直线1： x=4上点M 引椭圜Q 的两条切线，切点分别为A, B.求证：直线AB 恒过是 点C ； ② 是否存在实数入使得iAq+|BC|=x>jACHpC!>若存在，求出入的值：若不存在，说明理由? 2 c 过椭圆c ：刍+y2=i 的右焦点F 作直线I 交椭圆C fA 、B 两点，交y 轴于M 点，若 5 亦二X 1万，旋二X 2丽，求证：入1+入2为定值. 别是 (1) (2) ①若OM 丄ON <0为坐标原点).证明点O 到直线I 的距离为定值，并求出这个定值 =1-

圆过定点问题(非常好)

实用标准文档 圆过定点问题 班级__________________ 姓名________________ . . 2 2 . . 1.已知定点G (- 3, 0), S是圆C: (X- 3) +y=72 (C为圆心)上的动点，SG的垂直平分线与SC交于点E.设点E 的轨迹为M. (1 )求M的方程； (2)是否存在斜率为1的直线，使得直线与曲线M相交于A, B两点，且以AB为直径的圆恰好经过原点？若存在， 求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 2 2 2 2 2.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C i： (x+1) +y =1，圆C2: (x- 3) + (y - 4) =1. (I)判断圆C1与圆C的位置关系； (n)若动圆C同时平分圆C1的周长、圆C的周长，则动圆c是否经过定点？若经过，求出定点的坐标; 若不经过，请说明理由. 3 .已知定点A (- 2, 0), B (2, 0),及定点F ( 1, 0),定直线I : x=4，不在x轴上的动点M到定点F 的距离是 它到定直线I的距离的+倍，设点M的轨迹为E,点C是轨迹E上的任一点，直线AC与BC分别交直线I与点P, Q (1)求点M的轨迹E的方程； (2)试判断以线段PQ为直径的圆是否经过定点F,并说明理由. 文案大全

4.如图，已知椭圆C: 一'「+y =1的上、下顶点分别为A B,点P在椭圆上，且异于点A、B,直线AP BP 4 与直线I : y= - 2分别交于点M N, (i)设直线AP BP的斜率分别为k i、k2，求证：k i? k2为定值； (ii)当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论. 5?如图所示，已知圆C: x2+y2=r2(r >0)上点(1, 価)处切线的斜率为-亜，圆C与y轴的交点分 3 别为A, B,与x轴正半轴的交点为D, P为圆C在第一象限内的任意一点，直线BD与AP相交于点M直 线DP与y轴相交于点N. (1)求圆C的方程； (2)试问：直线MN是否经过定点？若经过定点，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由. 2 6.二次函数f (x) =3x - 4x+c (x€ R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为O C. (1)求实数c的取值范围； (2)求0 C的方程； (3)问0 C是否经过某定点(其坐标与c的取值无关)？请证明你的结论. 2 7.如图，抛物线M y=x +bx (b^ 0)与x轴交于O, A两点，交直线l : y=x于O, B两点，经过三点O, A, B作圆 C. (I )求证：当b变化时，圆C的圆心在一条定直线上； (II )求证：圆C经过除原点外的一个定点； (III )是否存在这样的抛物线M使它的顶点与C的距离不大于圆C的半径？

恒过定点问题的解题策略

宜兴市丁蜀高级中学高三理科二轮复习微专题 恒过定点问题的解题策略 一课前热身： 1.动直线(2)(34)210()a x a y a a R ++-+-=∈过定点 . 2.动圆22(2)(4)440()x y a x a y a a R ++++---=∈过定点 . 3.在平面直角坐标系xOy 中,设抛物线x y 42=的焦点为F ,准线为P l ,为抛物线上一点,以P 为圆心的圆与直线l 相切，则圆过定点 4.如图，已知圆224x y +=，直线:4l x =，圆O 与x 轴交A ，B 两 点， M 是圆O 上异于A ，B 的任意一点，直线AM 交直线l 于点P ， 直线BM 交直线l 于点Q .求证：以PQ 为直径的圆C 过定点，并求 出定点坐标. 二 例题讲评 例1. 1.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>> 过点 圆右顶点A 的两条斜率乘积为14 -的直线分别交椭圆C 于,M N 两 点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）直线MN 是否过定点D ？若过定点D ，求出点D 的坐标；若不过，请说明理由. 例2.已知圆M 的方程；4)4(2 2=+-y x ，点C )0,1(，设P 是圆M 上一动点，在x 轴上是否存在异于C 的定点B ，使得PB PC 恒为定值λ？若存在，求出定点B 的坐标，并求λ的值；若不存在，说明理由.

三巩固训练 1.已知椭圆22 :142 x y C +=的上顶点为A ，过A 点引两条直线分别交椭圆于,P Q 两点，设直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k .若121k k =-时，问直线PQ 是否过定点 2.已知点P 是椭圆C 上任意一点，点P 到直线的距离为，到点的距离为，且 直线与椭圆C 交于不同的两点A,B （A,B 都在轴的上方），且.（1）求椭圆C 的方程； （2）当A 为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线的方程； （3）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由. 1:2l x =-1d ()1,0F -2d 21d d l x 180OFA OFB ∠+∠=y l l OFA ∠l

圆过定点问题(非常好)()

圆过定点问题 班级_________________姓名_______________ 1．已知定点G（﹣3，0），S是圆C：（X﹣3）2+y2=72（C为圆心）上的动点，SG的垂直平分线与SC交于点E．设点E的轨迹为M． （1）求M的方程； （2）是否存在斜率为1的直线，使得直线与曲线M相交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 2．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+1）2+y2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1． （Ⅰ）判断圆C1与圆C2的位置关系； （Ⅱ）若动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长，则动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由． 3．已知定点A（﹣2，0），B（2，0），及定点F（1，0），定直线l：x=4，不在x轴上的动点M到定点F 的距离是它到定直线l的距离的倍，设点M的轨迹为E，点C是轨迹E上的任一点，直线AC与BC分 别交直线l与点P，Q． （1）求点M的轨迹E的方程； （2）试判断以线段PQ为直径的圆是否经过定点F，并说明理由．

4．如图，已知椭圆C：+y 2 =1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆上，且异于点A、B，直线AP、 BP与直线l：y=﹣2分别交于点M、N， （ⅰ）设直线AP、BP的斜率分别为k1、k2，求证：k1?k2为定值； （ⅱ）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论． 5．如图所示，已知圆C：x2+y2=r2（r＞0）上点处切线的斜率为，圆C与y轴的交点 分别为A，B，与x轴正半轴的交点为D，P为圆C在第一象限内的任意一点，直线BD与AP相交于点M，直线DP与y轴相交于点N． （1）求圆C的方程； （2）试问：直线MN是否经过定点？若经过定点，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由． 6．二次函数f（x）=3x2﹣4x+c（x∈R）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为⊙C．（1）求实数c的取值范围； （2）求⊙C的方程； （3）问⊙C是否经过某定点（其坐标与c的取值无关）？请证明你的结论． 7．如图，抛物线M：y=x2+bx（b≠0）与x轴交于O，A两点，交直线l：y=x于O，B两点，经过三点O，A，B作圆C． （I）求证：当b变化时，圆C的圆心在一条定直线上； （II）求证：圆C经过除原点外的一个定点； （III）是否存在这样的抛物线M，使它的顶点与C的距离不大于圆C的半径？

高考圆锥曲线中的定点与定值问题(题型总结超全)

专题0８解锁圆锥曲线中的定点与定值问题 一、解答题 1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为,离心率为;圆过椭圆的三个顶点．过点且斜率不为０的直线与椭圆交于两点. (Ⅰ)求椭圆的标准方程； (Ⅱ)证明：在轴上存在定点,使得为定值;并求出该定点的坐标． 【答案】（1)(２） 【解析】试题分析：(Ⅰ)设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得,可得椭圆的方程；(Ⅱ）设直线的方程为,将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得 。设x轴上的定点为,可得 ,由定值可得需满足，解得可得定点坐标。 解得。 ∴椭圆的标准方程为. （Ⅱ）证明: 由题意设直线的方程为, 由消去ｙ整理得, 设,,

要使其为定值，需满足, 解得 ． 故定点的坐标为 ． 点睛：解析几何中定点问题的常见解法 (１)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点; (2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意． 2．【四川省成都市第七中学201７－２0１8学年高二上学期半期考】已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线2 :2C y px =（0,p p >为常数)交于不同的两点,M N ,当1 2 k =时，弦MN 的长为15（1)求抛物线C 的标准方程; （2）过点M 的直线交抛物线于另一点Q ,且直线MQ 经过点()1,1B -,判断直线NQ 是否过定点？若过定点，求出该点坐标;若不过定点,请说明理由． 【答案】(1）24y x =；(2)直线NQ 过定点()1,4- 【解析】试题分析:(1)根据弦长公式即可求出答案; (2)由(1）可设()()() 2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ,则1 2 MN k t t =+， 则()11:220MN x t t y tt -++=; 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++= ()1212:220NQ x t t y t t -++=. 由()1,0-在直线MN 上1 1 t t ?= (1）; 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ?+++=将（1)代入()121221t t t t ?=-+- (2) 将(2)代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ?-+-+-=，即可得出直线NQ 过定点．

圆过定点问题(非常好)

实用文档 圆过定点问题 班级_________________姓名_______________ 1．已知定点G（﹣3，0），S是圆C：（X﹣3）2+y2=72（C为圆心）上的动点，SG的垂直平分线与SC交于点E．设点E的轨迹为M． （1）求M的方程； （2）是否存在斜率为1的直线，使得直线与曲线M相交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 2．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+1）2+y2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1． （Ⅰ）判断圆C1与圆C2的位置关系； （Ⅱ）若动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长，则动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由． 3．已知定点A（﹣2，0），B（2，0），及定点F（1，0），定直线l：x=4，不在x轴上的动点M到定点F 的距离是它到定直线l的距离的倍，设点M的轨迹为E，点C是轨迹E上的任一点，直线AC与BC分 别交直线l与点P，Q． （1）求点M的轨迹E的方程； （2）试判断以线段PQ为直径的圆是否经过定点F，并说明理由．

4．如图，已知椭圆C：+y2=1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆上，且异于点A、B，直线AP、 BP与直线l：y=﹣2分别交于点M、N， （ⅰ）设直线AP、BP的斜率分别为k1、k2，求证：k1?k2为定值； （ⅱ）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论． 5．如图所示，已知圆C：x2+y2=r2（r＞0）上点处切线的斜率为，圆C与y轴的交点 分别为A，B，与x轴正半轴的交点为D，P为圆C在第一象限内的任意一点，直线BD与AP相交于点M，直线DP与y轴相交于点N． （1）求圆C的方程； （2）试问：直线MN是否经过定点？若经过定点，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由． 6．二次函数f（x）=3x2﹣4x+c（x∈R）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为⊙C．（1）求实数c的取值范围； （2）求⊙C的方程； （3）问⊙C是否经过某定点（其坐标与c的取值无关）？请证明你的结论． 7．如图，抛物线M：y=x2+bx（b≠0）与x轴交于O，A两点，交直线l：y=x于O，B两点，经过三点O，A，B作圆C． （I）求证：当b变化时，圆C的圆心在一条定直线上； （II）求证：圆C经过除原点外的一个定点； （III）是否存在这样的抛物线M，使它的顶点与C的距离不大于圆C的半径？

圆过定点问题(非常好)

圆过定点问题 班级_＿_____＿＿_____＿__姓名＿______________ 1.已知定点Ｇ(﹣3，０）,S是圆C:(X﹣３）２＋ｙ2=7２(Ｃ为圆心）上的动点，ＳG的垂直平分线与SC交于点E.设点E的轨迹为M． (１）求Ｍ的方程; (２）是否存在斜率为1的直线，使得直线与曲线M相交于A，Ｂ两点,且以AB为直径的圆恰好经过原点？若存在,求出直线的方程;若不存在，请说明理由． 2.在平面直角坐标系ｘOy中，已知圆C1：(x+1）２+y2=１,圆C2：（x﹣3)2+（y﹣4）2=1． （Ⅰ）判断圆C1与圆C２的位置关系; (Ⅱ)若动圆C同时平分圆C1的周长、圆Ｃ2的周长，则动圆Ｃ是否经过定点?若经过，求出定点的坐标；若不经过,请说明理由. 3．已知定点A（﹣2,０），Ｂ(2，0），及定点F(1,0)，定直线l：x=4,不在x轴上的动点M到定点F的距离是它到定直线ｌ的距离的倍,设点M的轨迹为E,点C是轨迹Ｅ上的任一点,直线AＣ与BＣ分别交直线l 与点P，Ｑ． （1)求点M的轨迹E的方程； (2)试判断以线段PQ为直径的圆是否经过定点F，并说明理由.

4.如图，已知椭圆C:+ｙ2＝1的上、下顶点分别为Ａ、B,点Ｐ在椭圆上，且异于点A、B，直线AP、B Ｐ与直线l：y=﹣2分别交于点Ｍ、N， （ⅰ)设直线ＡＰ、BP的斜率分别为k1、k2，求证:k1?k2为定值; （ⅱ）当点P运动时，以MＮ为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论． 5．如图所示，已知圆Ｃ：x2+ｙ2=r2（r>０)上点处切线的斜率为，圆Ｃ与y轴的交点分 别为Ａ，B，与ｘ轴正半轴的交点为D，P为圆C在第一象限内的任意一点,直线BＤ与ＡP相交于点Ｍ，直线DP与ｙ轴相交于点N． （１）求圆C的方程； （２）试问:直线MN是否经过定点？若经过定点，求出此定点坐标;若不经过,请说明理由. 6.二次函数ｆ(x)=3ｘ２﹣4x+c(x∈R）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为⊙C．（1）求实数c的取值范围； （2）求⊙C的方程; （3）问⊙C是否经过某定点(其坐标与c的取值无关)？请证明你的结论． 7.如图，抛物线Ｍ:y=x２+bx(ｂ≠0)与x轴交于O，A两点，交直线l:ｙ＝x于Ｏ，B两点，经过三点O，A,B 作圆C. （I)求证：当ｂ变化时,圆C的圆心在一条定直线上; (II）求证:圆C经过除原点外的一个定点； （III)是否存在这样的抛物线M,使它的顶点与Ｃ的距离不大于圆C的半径？

直线与圆定点定值问题 (1)

直线与圆定点，定值范围问题习题 1.直线(21)(1)740()m x m y m m R +++--=∈，则直线过定点____________. 2.若圆222 (3)(5)x y r -++=上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离等于1，则半径r 的取值范围为____________. 3.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ________． 4.圆222 :22440C x y tx t y t +--+-=，则圆过定点________________. 5.若直线 y=x+b 与曲线y =b 的取值范围______________. 6.平面内动点M 到定点(2,0),(2,0)A B -的距离之比为1 2 ，则动点M 的轨迹方程是______________________. 7已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R)对称，则ab 的取值范围是 ________． 8.一束光线从点A (－1,1)出发经x 轴反射，到达圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上一点的最短路 程是________ 9.设有一组圆C k ：(x －k ＋1)2 ＋(y －3k )2 ＝2k 4 (k ∈N * )下列四个命题正确的序号有： ①存在一条定直线与所有的圆均相切； ②存在一条定直线与所有的圆均相交； ③存在一条定直线与所有的圆均不相交； ④所有的圆均不经过原点． 10.已知过点A （0，1），且斜率为k 的直线l 与圆C ：1)3()2(22 =-+-y x ，相交于M 、 N 两点. （1）求实数k 的取值范围； （2）AM ?AN 是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理 由。 11.已知⊙C,22 (1)5,x y +-=直线mx-y+1-m=0 (1)证明：对于m R ∈,直线与圆总有两个不同的交点A,B, (2)求弦AB 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 （3）若定点P(1，1)分弦满足PB=2PA,求AB 直线方程 12.已知⊙O 2 2 4x y +=过点 P (作倾斜角互补的直线交圆A,B ，证明直线AB 的斜率为定值。 13.点A(0，2)是圆2 2 16x y +=内的一定点，B,C 是这个圆上的两动点，若AB CA ⊥,求BC 中点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状。

动圆过定点问题

一个圆过定点问题的探究和推广 已知圆O 的方程为221x y +=,直线1l 过定点(3,0)A 且与圆O 相切. (1)求直线1l 的方程; (2)设圆O 与x 轴交与,P Q 两点,M 是圆O 上异于,P Q 的任意一点,过点A 且与x 轴垂直的直线为 2l ,直线PM 交直线2l 于点'P ,直线QM 交直线2l 于点'Q .求证:以''Q P 为直径的圆C 总经过定点,并求出定点坐标. 解:(1)省略; (2)对于圆方程122=+y x ,令0y =,得1x =±,即(1,0),(1,0)P Q -. 又直线2l 过点A 且与x 轴垂直，∴直线2l 方程为3x =. 设(,)M s t ，则直线PM 方程为).1(1 ++=x s t y 解方程组3,(1)1x t y x s =???=+?+? ,得).14,3('+s t P 同理可得,).1 2,3('-s t Q ∴以P Q ''为直径的圆C '的方程为0)12)(14()3)(3(=--+- +--s t y s t y x x ， 又122=+t s ，∴整理得2262(61)0s x y x y t -+-++=， 若圆C '经过定点,只需令0y =,从而有2610x x -+=, 解得3x =± ∴圆C ' 总经过定点坐标为(3±. 备注:本题是09年江苏省苏北四市(徐州、宿迁、淮安、连云港)第三次调研考试第17题) 笔者对命题者提出的参考解法不是很认同,参考解法中引进的参数不太合理,导致后期定点的出现不自然,同时完全掩盖了该问题的几何背景.对此,笔者给出了如下的改进解法: 解:设直线,PM QM 的斜率分别为12,k k ,则121k k =- 直线1:(1)PM y k x =+,令3x =,则1'(3,4)P k , 直线2:(1)QM y k x =-,令3x =,则2'(3,2)Q k , 以P Q ''为直径的圆C '的方程为12(3)(3)(4)(2)0x x y k y k --+--=,

圆过定点问题非常好

圆过定点问题 班级＿__＿＿_＿______＿__＿姓名______＿___＿_＿__ 1、已知定点G(﹣3,0),Ｓ就是圆C:(X﹣３)2+y2=72(C为圆心)上的动点,SＧ的垂直平分线与SＣ交于点Ｅ.设点Ｅ的轨迹为M、 (1)求M的方程; (2)就是否存在斜率为1的直线,使得直线与曲线M相交于A,B两点,且以ＡB为直径的圆恰好经过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由、 2.在平面直角坐标系xＯy中,已知圆C１:(x+1)２+y２=1,圆C2:(x﹣3)２+(y﹣4)２=1、 (Ⅰ)判断圆C1与圆C２的位置关系; (Ⅱ)若动圆Ｃ同时平分圆C1的周长、圆C2的周长,则动圆C就是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由、 3.已知定点A(﹣2,0),B(2,0),及定点F(1,0),定直线ｌ:x=4,不在x轴上的动点Ｍ到定点F的距离就是它到定直线l的距离的倍,设点M的轨迹为E,点Ｃ就是轨迹Ｅ上的任一点,直线AC与BC分别交直线l与点P,Q、 (1)求点Ｍ的轨迹E的方程; (2)试判断以线段PQ为直径的圆就是否经过定点F,并说明理由、 4.如图,已知椭圆C:+ｙ２=1的上、下顶点分别为A、B,点Ｐ在椭圆上,且异于点A、B,直线AP、ＢP与

直线l:y＝﹣2分别交于点M、N, (ⅰ)设直线AP、ＢP的斜率分别为ｋ1、ｋ2,求证:k１?k2为定值; (ⅱ)当点P运动时,以MＮ为直径的圆就是否经过定点？请证明您的结论. 5、如图所示,已知圆C:ｘ2+y2=r2(r＞０)上点处切线的斜率为,圆C与ｙ轴的交点分别为 A,Ｂ,与ｘ轴正半轴的交点为D,Ｐ为圆C在第一象限内的任意一点,直线BＤ与AＰ相交于点M,直线DP与y轴相交于点N、 (１)求圆Ｃ的方程; (2)试问:直线MＮ就是否经过定点？若经过定点,求出此定点坐标;若不经过,请说明理由. 6、二次函数ｆ(ｘ)＝３x2﹣4x+c(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为⊙C. (1)求实数c的取值范围; (2)求⊙Ｃ的方程; (３)问⊙C就是否经过某定点(其坐标与ｃ的取值无关)？请证明您的结论. 7.如图,抛物线M:y=ｘ2+ｂx(b≠0)与x轴交于O,A两点,交直线l:ｙ=x于O,B两点,经过三点O,A,B作圆C、(Ｉ)求证:当b变化时,圆C的圆心在一条定直线上; (II)求证:圆C经过除原点外的一个定点; (ＩIＩ)就是否存在这样的抛物线M,使它的顶点与C的距离不大于圆C的半径？

椭圆中定点定值问题(与顶点有关)

椭圆中的“定” 四、与椭圆的顶点有关 22. 已知A 是椭圆122 22=+b y a x C ：()0>>b a 的左顶点，过定点() 0,m M 的动直线与椭圆相交与不同的两点 C B ,（都不与点A 重合） ，记直线AC AB ,的斜率为21,k k ，则 ()() a m a a m b k k +-=2221. 23. 已知A 是椭圆122 22=+b y a x C ：()0>>b a 的左顶点，过定点()(),0N a n n ≠的动直线与椭圆相交与不同的两点C B ,（都不与点A 重合），记直线AC AB ,的斜率为21,k k ，则n a k k 21121=+. 24. 若椭圆()0122 22>>=+b a b y a x 上任一点P （非短轴端点）与短轴两端 点21B B 、的连线，交x 轴于点M 和 N ，O 为原点，则2a ON OM =?.

25. 若椭圆()0122 22>>=+b a b y a x 上任一点P （非长轴端点）与长轴两端点21A A 、的连 线，交y 轴于点Q 和R ，O 为原点，则 2b OR OQ =?. 26.（1） 12,A A 是椭圆()0122 22>>=+b a b y a x 的左右顶点，直线l 与椭圆交于,C D 两点，并 与x 轴交于点P ，直线1AC 与直线2A D 交于 点Q ，当点P 异于12,A A 两点时， 2OP OQ a =. 27.已知点A 是椭圆122 22=+b y a x C ：()0>>b a 的左顶点，点C B ,在椭圆上，直线AC AB ,的斜率为21,k k （1）若q k k =21（不等于零的常数），则直线BC 过定点()2222,0a b a q b a q ??+ ? ?-?? ，此定点的另一个表达式是22,02e a e ?? ?-?? （e 是离心率）. （2）若q k k =+2 111（不等于零的常数），则直线BC 过定点??? ? ?? q a a 2,. （3）若12k k q +=（不等于零的常数），则直线 BC 过定点22,b a aq ??- ?? ? .

解析几何中定值与定点问题

解析几何中定值与定点问题 【探究问题解决的技巧、方法】 (1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的． (2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究． 【实例探究】 题型1：定值问题: 例1：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的 焦点，离心率等于 （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若 为定值. 解：（I）设椭圆C的方程为，则由题意知b= 1. ∴椭圆C的方程为 （II）方法一：设A、B、M点的坐标分别为 易知F点的坐标为（2，0）. 将A点坐标代入到椭圆方程中，得

去分母整理得 方法二：设A、B、M点的坐标分别为 又易知F点的坐标为（2，0）. 显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是 将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得 又 例2.已知椭圆C经过点A(1,3/2),两个焦点为(-1,0),(1,0). 1）求椭圆方程 2）E、F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值 （1）a2-b2=c2 =1 设椭圆方程为x2/（b2+1）+y2/b2=1 将（1，3/2）代入整理得4b^4-9b2-9=0 解得b2=3 （另一值舍） 所以椭圆方程为x2/4+y2/3=1 （2） 设AE斜率为k 则AE方程为y-(3/2)=k(x-1)①

圆锥曲线中的定值定点问题

圆锥曲线中的定值定点 问题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

2019届高二文科数学新课改试验学案(10) ---圆锥曲线中的定值定点问题 1.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 点(在C 上. （I ）求C 的方程； （II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M , 证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值. 2.已知椭圆C ：22 221x y a b +=过点A （2,0），B （0,1）两点. （I ）求椭圆C 的方程及离心率； （Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ， 求证：四边形ABNM 的面积为定值. 3.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12 ，其左焦点到点()2,1P （I ）求椭圆C 的标准方程 （Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点（,A B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆 过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标. <圆锥曲线中的定值定点问题>答案 1.【答案】（I ）22 22184 x y +=（II ）见试题解析

试题解析： 【名师点睛】本题第一问求椭圆方程的关键是列出关于22,a b 的两个方程,通过解方程组求出22,a b ,解决此类问题要重视方程思想的应用；第二问是证明问题,解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题. 2.

圆锥曲线的定点、定值和最值问题

圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题 会处理动曲线（含直线）过定点的问题；会证明与曲线上动点有关的定值问题；会按条件建 . 一、主要知识及主要方法： 1. 形式出现，特殊方法往往比较奏效。 2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。 3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值. 二、精选例题分析 【举例1】 （05广东改编）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同 动点A 、B 满足AO BO ⊥． （Ⅰ）求AOB △得重心G 的轨迹方程； （Ⅱ）AOB △的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值； 若不存在，请说明理由． 【举例2】已知椭圆2 2142x y +=上的两个动点,P Q 及定点1,2M ? ?? ，F 为椭圆的左焦点，且PF ，MF ，QF 成等差数列.()1求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ； ()2设点A 关于原点O 的对称点是B ，求PB 的最小值及相应的P 点坐标. 【举例3】（06全国Ⅱ改编）已知抛物线2 4x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且 AF FB λ=u u u r u u u r （0λ>）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线（切线斜率分别为0.5x A ，0.5x B ），设其交点为 M 。 （Ⅰ）证明FM AB ?u u u u r u u u r 为定值；

高中数学：圆锥曲线中的定值、定点问题

高中数学：圆锥曲线中的定值、定点问题【基础回顾】 一、课本基础提炼 1.将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y得到关于x的方程mx2+nx+p=0. （1）若m≠0，当△＞0时，直线与圆锥曲线有两个交点. 当△=0时，直线与圆锥曲线有且只有一个公共点，此时直线与双曲线相切. 当△＜0时，直线与圆锥曲线无公共点. （2）当m=0时，若圆锥曲线为双曲线，则直线与双曲线只有一个交点，此时直线与双曲线的渐近线平行；若圆锥曲线为抛物线，则直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛物线的对称轴平行. （3）设直线与圆锥曲线的交点A（x1，y1），B（x2，y2），则 2. 直线y＝kx＋b(k≠0)与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长 二、二级结论必备

1.对与圆锥曲线有关的中点弦问题，常用点差法，及设出弦的端点坐标，代入曲线方程，两式相减，利用中点公式和直线的斜率公式即可得出直线的斜率. 2. 已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点的直线交抛物线于 A、B两点(如右图所示)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则有以下结论： (1)|AB|＝x1＋x2＋p，或 (α为AB所在直线的倾斜角)； (3)y1y2＝－p2. (4)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. 3.过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p 4.椭圆与双曲线的通径长为 5.P(x0，y0)是抛物线C上一点，F为抛物线的焦点.

（1）当焦点在x轴正半轴上时， （2）当焦点在x轴负半轴上时， （3）当焦点在x轴正半轴上时， （4）当焦点在x轴正半轴上时， 【技能方法】 定点问题解题技巧： (1)引进参数法。设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点，即为所求定点。 (2)特殊到一般法。从特殊位置入手，找到定点,再证明该定点与变量无关。 定值问题解题技巧：

动圆过定点问题教学内容

动圆过定点问题

一个圆过定点问题的探究和推广 已知圆O 的方程为221x y +=,直线1l 过定点(3,0)A 且与圆O 相切. (1)求直线1l 的方程; (2)设圆O 与x 轴交与,P Q 两点,M 是圆O 上异于,P Q 的任意一点,过点A 且与x 轴垂直的直线为 2l ,直线PM 交直线2l 于点'P ,直线QM 交直线2l 于点'Q .求证:以''Q P 为直径的圆C 总经过定点,并求出定点坐标. 解:(1)省略; (2)对于圆方程122=+y x ,令0y =,得1x =±,即(1,0),(1,0)P Q -. 又直线2l 过点A 且与x 轴垂直，∴直线2l 方程为3x =. 设(,)M s t ，则直线PM 方程为).1(1 ++=x s t y 解方程组3,(1)1x t y x s =???=+?+? ,得).14,3('+s t P 同理可得,).1 2,3('-s t Q ∴以P Q ''为直径的圆C '的方程为0)12)(14()3)(3(=--+- +--s t y s t y x x ， 又122=+t s ，∴整理得2262(61)0s x y x y t -+-++=， 若圆C '经过定点,只需令0y =,从而有2610x x -+=,解得322x =± ∴圆C '总经过定点坐标为(322,0)±. 备注:本题是09年江苏省苏北四市(徐州、宿迁、淮安、连云港)第三次调研考试第17题) 笔者对命题者提出的参考解法不是很认同,参考解法中引进的参数不太合理,导致后期定点的出现不自然,同时完全掩盖了该问题的几何背景.对此,笔者给出了如下的改进解法: 解:设直线,PM QM 的斜率分别为12,k k ,则121k k =- 直线1:(1)PM y k x =+,令3x =,则1'(3,4)P k ,

圆锥曲线专题——定值定点问题(附解析)

第1页（共15页） 圆锥曲线专题——定值定点问题 1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1 2 ，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为 半径的圆与直线0x y -+=相切． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，且2 2OA OB b k k a =-，判断AOB ?的面 积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由． 【解答】 解：（1）椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切， ∴b == 又222a b c =+，1 2 c e a = =， 解得24a =，23b =， 故椭圆的方程为22 143 x y +=． ()II 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由22 14 3y kx m x y =+?? ?+=??化为222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， △22226416(34)(3)0m k k m =-+->，化为22340k m +->． ∴122 834mk x x k +=-+，21224(3)34m x x k -=+． 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+， 3 4 OA OB k k =-，

第2页（共15页） ∴ 121234y y x x =-，12123 4 y y x x =-， 22222 3(4)34(3)34434m k m k k --=- + +，化为22 243m k - =， ||AB = = 又114d = =- = ， 1 ||2 S AB d === 22 === （1）求椭圆E 的标准方程； （2）过F 作直线l 与椭圆交于A 、B 两点，问：在x 轴上是否存在点P ，使PA PB 为定值，若存在，请求出P 点坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（ 1）由题意知1c =，过F 且与x 轴垂直的弦长为3， 则223b a =，即222() 3a c a -=，则2a =，b ∴椭圆E 的标准方程为22143 x y +=； （2）假设存在点P 满足条件，设其坐标为(,0)t ， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，当l 斜率存在时，设l 方程为(1)y k x =-， 联立22 (1) 3412 y k x x y =-??+=?，整理得：2222(43)84120k x k x k +-+-=，△0>恒成立．

圆锥曲线定点 定直线 定值问题

定点、定直线、定值专题 1、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）若直线l :y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． 【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为22 221(0)x y a b a b +=>> 3,1a c a c +=-=，2 2,1,3a c b ===22 1.43 x y ∴+ = (II)设1122(,),(,)A x y B x y ，由22143y kx m x y =+???+=??得222 (34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +->. Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 1AD BD k k ?=-，1212122 y y x x ∴ ?=---， (最好是用向量点乘来)1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++， 2271640m mk k ++=，解得1222,7 k m k m =-=- ，且满足22340k m +->. 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k m =- 时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0).7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 2、已知椭圆C 的离心率e = ，长轴的左右端点分别为()1A 2,0-，()2A 2,0。（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线x my 1=+与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S 。试问：当m 变化时，点S 是否恒在一条定直线上若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。 解法一：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为()22 22x y 1a b 0a b +=>>。 ………………… 1分 ∵a 2= ，c e a == c =222b a c 1=-=。 ……………… 4分 ∴椭圆C 的方程为2 22x y 14 +=。 ……………………………………… 5分