【精选】高考数学大一轮复习第三章三角函数解三角形第六节解三角形教师用书理
第六节 解三角形
☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆
1．正弦定理
R 2＝c
sinC
＝b sinB ＝a sinA 其中2R 为△ABC 外接圆直径。
。
C sin R 2＝c ，B sin R 2＝b ，A sin R 2＝a 变式： 。
C sin ∶B sin ∶A sin ＝c ∶b ∶a
2．余弦定理
；
B cos ac 2－2c ＋2a ＝2b ；A cos bc 2－2c ＋2b ＝2a 。
C cos ab 2－2b ＋2a ＝2c
变式：cos A ＝b2＋c2－a22bc ；cos B ＝a2＋c2－b2
2ac
；
cos C ＝a2＋b2－c2
2ab
。
sin 2
A ＝sin 2
B ＋sin 2
C －2sin B sin C cos A 。
3．解三角形
(1)已知三边a ，b ，c 。
运用余弦定理可求三角A ，B ，C 。
(2)已知两边a ，b 及夹角C 。 运用余弦定理可求第三边c 。
(3)已知两边a ，b 及一边对角A 。
先用正弦定理，求sin B ，sin B ＝bsinA
a
。
，
b ≥a ；若两解，b 一解 。 一解，b >a ；若无解，b ≤a 为直角或钝角时，若A ② (4)已知一边a 及两角A ，B (或B ，C )用正弦定理，先求出一边，后求另一边。 4．三角形常用面积公式 (1)S ＝1 2 a ·h a (h a 表示a 边上的高)。 (2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ＝abc 4R 。 (3)S ＝1 2 r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)。 微点提醒 1．在一个三角形中，边和角共有6个量，已知三个量(其中至少有一边)就可解三角形。 2．判断三角形形状的两种思路：一是化边为角；二是化角为边，并用正弦定理(余弦定理)实施边、角转换。 3．当a 2＋b 2 时判断三角形的形状，由cos C ＝a2＋b2－c22ab <0，得∠C 为钝角，则三角形 为钝角三角形。 小|题|快|练 一 、走进教材 1．(必修5P 10A 组T 4改编)在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC ＝( ) A.π6 B.π3 C. 2π3D.5π6 【解析】 因为在△ABC 中，设AB ＝c ＝5，AC ＝b ＝3，BC ＝a ＝7，所以由余弦定理得cos ∠BAC ＝b2＋c2－a22bc ＝9＋25－4930＝－12，因为∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC ＝2π 3 。故选C 。 【答案】 C 2．(必修5P 10B 组T 2改编)在△ABC 中，如果有性质a cos A ＝b cos B ，那么这个三角形的形状 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形或等腰三角形 D ．不确定 【解析】 由已知及正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B ，sin2A ＝sin2B ，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π 2 ，所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形。故选C 。 【答案】 C 3．(必修5P 20A 组T 11改编)在△ABC 中，A ＝π3，AB ＝2，且△ABC 的面积为3 2 ，则边BC 的 长为________。 【解析】 因为S ＝12AB ·AC sin A ＝12×2×AC sin π3＝32 ，所以AC ＝1。由余弦定理可得BC 2 ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ，即BC 2＝22＋12 －2×2×1×12 ，解得BC ＝3。 【答案】3 二、双基查验 1．(2016·天津高考)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝() A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【解析】 设△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 则a ＝3，c ＝13，∠C ＝120°， 由余弦定理得13＝9＋b 2 ＋3b ，解得b ＝1，即AC ＝1。故选A 。 【答案】 A 2．在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则∠A 等于( ) A ．30° B．45° C ．60° D．75° 【解析】∵cos A ＝b2＋c2－a22bc ＝1＋4－32×1×2＝1 2 ， 又∵0° 【答案】 C 3．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，∠A ＝45°，则此三角形有( ) A ．无解 B ．两解 C ．一解 D ．解的个数不确定 【解析】∵ a sinA ＝ b sinB ，∴sin B ＝b a sin A ＝24 18 sin45°， ∴sin B ＝22 3 ， 又∵a 【答案】 B 4．△ABC 中，∠B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为__________。 【解析】 设BC ＝x ，由余弦定理得49＝25＋x 2 －10x cos120°，整理得x 2 ＋5x －24＝0， 即x ＝3。因此S △ABC ＝12AB ×BC ×sin B ＝12×3×5×32＝153 4 。 【答案】 153 4 5．一船向正北航行，看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上。继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60°，另一灯塔在船的南偏东75°，则这艘船每小时 航行__________海里。 【解析】 如图，由题意知在△ABC 中，∠ACB ＝75°－60°＝15°，∠B ＝ 15°， ∴AC ＝AB ＝8。 在Rt △AOC 中，OC ＝AC ·sin 30°＝4。 ∴这艘船每小时航行4 12＝8(海里)。 【答案】 8 第一课时 正弦定理和余弦定理 ＝45，cos C ＝5 13 ，a ＝1，则b ＝________。 (2)(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于1 3BC ，则cos A ＝( ) A. 31010 B.10 10 C ．－ 1010D ．－310 10 【解析】 (1)因为cos A ＝45，cos C ＝5 13，所以sin A ＝35，sin C ＝12 13 ，从而sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A cos C ＝35×513＋45×1213＝6365。由正弦定理a sinA ＝b sinB ，得b ＝asinB sinA ＝21 13 。 (2)设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意可得13a ＝c sin π4＝2 2c ，则a ＝ 322c 。在△ABC 中，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac ＝92c 2＋c 2－3c 2＝52c 2，则b ＝10 2c 。由余弦定理，可得cos A ＝b2＋c2－a22bc ＝52c2＋c2－9 2c2 2×10 2 c×c ＝－10 10。故选C 。 【答案】 (1)21 13 (2)C 反思归纳 1.已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形，正弦定理的形式多样，其中a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 能够实现边角互化。 2．已知两边和它们的夹角或已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形，在运用余弦定理时，要注意整体思想的运用。 【变式训练】 (2016·山东高考)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 。已知b ＝c ，a 2 ＝2b 2 (1－sin A )。则A ＝( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6 【解析】 由余弦定理得a 2 ＝b 2 ＋c 2 －2bc cos A ＝2b 2 －2b 2 cos A ，所以2b 2 (1－sin A )＝2b 2 (1－cos A )，所以sin A ＝cos A ，即tan A ＝1，又0 4 。故选C 。 【答案】 C 则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定 【解析】 依据题设由正弦定理，得sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2 A ，有sin( B ＋ C )＝sin 2 A ，从而sin( B ＋ C )＝sin A ＝sin 2 A ，解得sin A ＝1，∴A ＝ π 2 。故选B 。 【答案】 B 【母题变式】 1.若将本典例条件改为“2sin A cos B ＝sin C ”，试判断△ABC 的形状。 【解析】 解法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即 sin(A －B )＝0，因为－π 解法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得 2a ·a2＋c2－b22ac ＝c ?a 2＝b 2 ?a ＝b ，故△ABC 为等腰三角形。 【答案】 等腰三角形 2．若将本典例条件改为“(a 2 ＋b 2 )sin(A －B )＝ (a 2 －b 2 )sin(A ＋B )”，试判断三角形的形状。 【解析】∵(a 2 ＋b 2 )sin(A －B )＝(a 2 －b 2 )sin(A ＋B )， ∴b 2 [sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2 [sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2sin A cos B ·b 2 ＝2cos A sin B ·a 2 ， 即a 2 cos A sin B ＝b 2sin A cos B 。 解法一：由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2 A cos A sin B ＝sin 2 B sin A cos B ， 又sin A ·sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin2A ＝sin2B 。 在△ABC 中，0<2A <2π，0<2B <2π， ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π 2。 ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 解法二：由正弦定理、余弦定理得： a 2b b2＋c2－a22bc ＝b 2a a2＋c2－b2 2ac ， ∴a 2 (b 2 ＋c 2 －a 2 )＝b 2 (a 2 ＋c 2 －b 2 )， ∴(a 2 －b 2 )(a 2 ＋b 2 －c 2 )＝0， ∴a 2 －b 2 ＝0或a 2 ＋b 2 －c 2 ＝0。 即a ＝b 或a 2 ＋b 2 ＝c 2 。 ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 【答案】 等腰三角形或直角三角形 3．若将本典例条件改为：“2a sin A ＝(2b ＋c )·sin B ＋(2c ＋b )sin C ，且sin B ＋sin C ＝1”，试判断△ABC 的形状。 【解析】 由已知，根据正弦定理得2a 2 ＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2 ＋bc ，cos A ＝－12，sin A ＝32， 则sin 2 A ＝sin 2 B ＋sin 2 C ＋sin B sin C 。 又sin B ＋sin C ＝1，所以sin B sin C ＝1 4， 解得sin B ＝sin C ＝1 2 。 因为0 6， 所以△ABC 是等腰钝角三角形。 【答案】 等腰钝角三角形 反思归纳 1.判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别。 2．判断三角形形状主要有以下两种途径： (1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断； (2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断。 【典例3】 (2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c 。 (1)求C ； (2)若c ＝7，△ABC 的面积为33 2 ，求△ABC 的周长。 【解析】 (1)由已知及正弦定理得，2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 2cos C sin(A ＋B )＝sin C ， 故2sin C cos C ＝sin C 。又因为C 为△ABC 的内角， 可得cos C ＝12，所以C ＝π 3。 (2)由已知，12ab sin C ＝33 2。 又C ＝π 3 ，所以ab ＝6。 由已知及余弦定理得，a 2 ＋b 2 －2ab cos C ＝7， 故a 2 ＋b 2 ＝13，从而(a ＋b )2＝25。 所以△ABC 的周长为5＋7。 【答案】 (1)π 3 (2)5＋7 反思归纳 与三角形面积有关问题的解题策略 (1)求三角形的面积。对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝1 2bc sin A ，一般是已知哪一个 角就使用含哪个角的公式。 (2)已知三角形的面积解三角形。与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化。 【变式训练】 在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c 。已知cos2A －3cos(B ＋C )＝1。 (1)求角A 的大小； (2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值。 【解析】(1)由cos2A －3cos(B ＋C )＝1， 得2cos 2 A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0， 解得cos A ＝1 2或cos A ＝－2(舍去)。 因为0＜A ＜π，所以A ＝π 3 。 (2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝3 4bc ＝53， 得bc ＝20。又b ＝5，所以c ＝4。 由余弦定理得a 2 ＝b 2 ＋c 2 －2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝21。 又由正弦定理得sin B sin C ＝b a sin A ·c a sin A ＝bc a2sin 2 A ＝2021×34＝57。 答案(1)π3(2)5 7 1．在△ABC 中，若a ＝4，b ＝3，cos A ＝1 3，则B 等于() A.π4 B.π3 C.π6 D.2π3 解析 因为cos A ＝1 3，所以sin A ＝ 1－19＝223 ， 由正弦定理，得4sinA ＝3sinB ， 所以sin B ＝ 2 2 ， 又因为b 4。故选A 。 答案 A 2．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝2 3 ，则b ＝( ) A.2 B. 3 C ．2 D ．3 解析 由余弦定理，得4＋b 2 －2×2b cos A ＝5，整理得3b 2 －8b －3＝0，解得b ＝3或b ＝－1 3 (舍去)。故选D 。 答案 D 3．(2016·辽宁五校联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C 等于( ) A.2π3 B.π3 C.3π4 D.5π6 解析 因为3sin A ＝5sin B ，所以由正弦定理可得3a ＝5b 。因为b ＋c ＝2a ，所以c ＝2a －35a ＝75 a 。令a ＝5， b ＝3， c ＝7，则由余弦定理c 2＝a 2＋b 2 －2ab cos C ，得49＝25＋9－2×3×5cos C ，解得cos C ＝－12，所以C ＝2π 3 。故选A 。 答案 A 4．(2016·北京高考)在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则b c ＝________。 解析∵a ＝3c ，∴sin ∠A ＝3sin ∠C ，∵∠A ＝2π3，∴sin ∠A ＝32，∴sin ∠C ＝1 2，又 ∠C 必为锐角， ∴∠C ＝π 6 ， ∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝π，∴∠B ＝π 6，∴∠B ＝∠C ， ∴b ＝c ，∴b c ＝1。 答案 1 5.(2016·广东惠州三调)如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1，CD ＝3，cos B ＝ 33 。 (1)求△ACD 的面积； (2)若BC ＝23，求AB 的长。 解析 (1)cos D ＝cos2B ＝2cos 2 B －1＝－13。 因为∠D ∈(0，π)，所以sin D ＝22 3， 所以△ACD 的面积S ＝1 2 ·AD ·CD ·sin D ＝2。 (2)在△ACD 中，AC 2 ＝AD 2 ＋DC 2 －2AD ·DC ·cos D ＝12，所以AC ＝23。在△ABC 中，AC 2 ＝ AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝12，把已知条件代入并化简得AB 2－4AB ＝0，因为AB ≠0，所以AB ＝4。 答案 (1) 2 (2)4 第二课时 解三角形的综合应用 【典例1】 (1)如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为________m 。 (2)如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m 、50 m ， BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角∠CAD 等于 ________。 (3)(2015·湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________ m 。 【解析】 (1)在△ABC 中，∵∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，∴∠B ＝30°。 由正弦定理得 AB ＝AC·sin∠ACB sinB ＝ 50×22 12＝502(m)。 (2)依题意可得AD ＝2010 m ，AC ＝30 5 m ，又CD ＝50 m ，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝ AC2＋AD2－ CD2 2AC·AD ＝ 5 ＋ 10 －502 2×305×2010 ＝ 6 0006 0002 ＝ 2 2 ，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°。 (3)在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°－30°＝45°，由正弦定理得BC sin∠BAC ＝AB sin∠ACB ，即BC sin30°＝600 sin45° ，BC ＝ 3002。又 由题意知，在Rt △BCD 中，∠BCD ＝90°，∠CBD ＝30°，所以由tan ∠CBD ＝CD BC 可得CD ＝tan30°×3002＝1006。 【答案】 (1)50 2 (2)45° (3)100 6 反思归纳 利用正、余弦定理解决实际测量问题，实际上是把问题转化到相关三角形中，利用三角形的边、角关系求解。 【变式训练】 (1)(2017·马鞍山模拟)一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°，距灯塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N 处，则该船航行的速度为( ) A. 172 2 海里/小时 B ．346海里/小时 C. 176 2 海里/小时 D ．342海里/小时 (2)如图，在塔底D 的正西方A 处测得塔顶的仰角为45°，在它的南偏东60°的B 处测得塔顶的仰角为30°，AB 的距离是84 m ，则塔高为( ) A ．24 m B ．12 5 m C ．127 m D ．36 m 【解析】 (1)如图所示， 在△PMN 中，PM ＝68，∠PNM ＝45°，∠PMN ＝15°，∠MPN ＝120°， 由正弦定理可得68sin45°＝MN sin120° ， 所以MN ＝346， 所以该船的航行速度为1762海里/小时。故选C 。 (2)设塔高CD ＝x m ，则AD ＝x m ，DB ＝3x m 。 在△ABD 中，利用余弦定理，得842 ＝x 2 ＋(3x )2 －23·x 2 cos150°，解得x ＝±127(负 值舍去)，故塔高为127 m 。故选C 。 【答案】 (1)C (2)C ＋c ＝2a 。 (1)求角B 的大小； (2)若BD 为AC 边上的中线，cos A ＝17，BD ＝129 2 ，求△ABC 的面积。 【解析】 (1)2b cos C ＋c ＝2a ，由正弦定理，得2sin B cos C ＋sin C ＝2sin A ，∵A ＋B ＋C ＝π， ∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ， ∴2sin B cos C ＋sin C ＝2(sin B cos C ＋cos B sin C )， ∴sin C ＝2cos B sin C 。 ∵0 2。 又0 3。 (2)在△ABD 中，由余弦定理得? ?? ??12922＝c 2＋? ????b 22 －2c ·b 2cos A ，∴1294＝c 2＋b24－17bc ，① 在△ABC 中，由正弦定理得c sinC ＝b sinB ，由已知得sin A ＝43 7 ，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝53 14 ， ∴c ＝5 7 b ，② 由①②解得??? ?? b ＝7， c ＝5， ∴S △ABC ＝1 2 bc sin A ＝103。 【答案】 (1)π 3 (2)10 3 反思归纳 此类题目求解时，一般有如下思路： (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果。 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题。 【变式训练】 如图，在△ABC 中，sin ∠ABC 2＝3 3，AB ＝2，点D 在线段AC 上，且AD ＝ 2DC ，BD ＝43 3 ，则cos C ＝________。 【解析】 由条件得cos ∠ABC ＝1 3 ， sin ∠ABC ＝22 3 。在△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝3b ， 则9b 2＝a 2 ＋4－43 a ① 因为∠ADB 与∠CDB 互补， 所以cos ∠ADB ＝－cos ∠CDB ，所以4b2＋163－41633b ＝－b2＋163－a2 83 3b ，所以3b 2－a 2 ＝－6②。联 立①②解得a ＝3，b ＝1，所以AC ＝3，BC ＝3。在△ABC 中，cos C ＝BC2＋AC2－AB22BC·AC ＝ 32＋32－22 2×3×3 ＝7 9 。 【答案】 7 9 【典例3】 已知向量m ＝? ??cos 2，－1，n ＝? ????3sin 2，cos22，函数f (x )＝m ·n ＋1。 (1)求函数f (x )在[0，π]上的最值，并求此时x 的值； (2)将函数f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2(纵坐标不变)，再将所得图象向左 平移π3个单位长度并向下平移1 2 个单位长度，得到函数g (x )的图象。若在△ABC 中，角A ，B ， C 的对边分别为a ，b ，c ，g ? ????A 2 ＝1 2 ，a ＝2，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积。 【解析】 (1)f (x )＝3sin x 2cos x 2－cos 2x 2＋1＝32sin x －12cos x ＋12＝sin ? ????x －π6＋12。 ∵x ∈[0，π]， ∴x －π6∈?????? －π6 ，5π6， ∴当x －π6＝－π 6，即x ＝0时，f (x )min ＝0， 当x －π6＝π2，即x ＝2π3时，f (x )max ＝3 2。 ∴当x ＝0时，f (x )min ＝0，当x ＝2π 3 时， f (x )max ＝32 。 (2)将f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2(纵坐标不变)，得到函数y ＝ sin ? ????2x －π6＋12的图象，再将所得图象向左平移π3个单位长度并向下平移12个单位长度，得到函数g (x )＝sin ??????2?
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