高中数学指数函数与对数函数

2020-2021学年高一数学单元知识梳理：指数函数与对数函数

1．指数式、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数式、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化．

2．指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时，

函数的单调性及图象特点．

3．比较几个数的大小是指数函数、对数函数性质的应用，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比较，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较．

4．求含有指数函数和对数函数的复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间．

5．函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图选式、图象变换以及用图象解题．函数图象形象地显示了函数的性质．在解方程或不等式时，特别是非常规的方程或不等式，画出图象，利用数形结合能快速解决问题．

6．方程的解与函数的零点：方程f(x)＝0有实数解?函数y＝f(x)有零点?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．

7．零点判断法：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．

注意：由f(a)f(b)<0可判定在(a，b)内至少有一个变号零点c，除此之外，还可能有其他的变号零点或不变号零点．若f(a)f(b)>0，则f(x)在(a，b)内可能有零点，也可能无零点．

8．二分法只能求出其中某一个零点的近似值，另外应注意初始区间的选择．

9．用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：

一、指数、对数函数的典型问题及求解策略

指数函数、对数函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等，其中单调性是高考考查的重点，并且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时，要以已学函数的单

调性为主，结合复合函数单调性的判断法则，在函数定义域内进行讨论．

1．求定义域

【典例1】1．（2020·河南高三其模拟）函数234ln x x y x

-++=的定义域是（ ） A ．（0，1）∪（1，4]

B ．（0，4]

C ．（0，1）

D ．（0，1）∪[4，+∞）

【答案】A 【解析】2234034ln ln 0,0

x x x x y x x x ?-++≥-++=∴?≠>?14(0,1)(1,4]0,1x x x x -≤≤?∴∴∈??>≠?故选：A 2．（2020·湖南天心长郡中学高一月考）函数2()2log f x x x =-+的定义域是（ ）

A ．(0,2]

B ．[0,2)

C ．[0,2]

D ．(0,2) 【答案】A 【解析】由题意可得，020x x >??-≥?

, 解得02x <≤.故选：A.

2．比较大小问题

比较几个数的大小是指数、对数函数的又一重要应用，其基本方法是：将两个需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较；有时也采用搭桥法、图象法、特殊值法、作图法等方法．

【典例2】若0

B ．log x 3

C ．log 4x

D ．)41(x <)4

1(y

【答案】C

【解析】因为0

对于A ，函数y ＝3x 在R 上单调递增，故3x <3y ，错误．

对于B ，根据底数a 对对数函数y ＝log a x 的影响：当0log y 3，错误．

对于C ，函数y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，故log 4x

对于D ，函数y ＝)41(x 在R 上单调递减，故)41(x >)4

1(y ，错误． 【典例3】比较三个数0.32，log 20.3,20.3的大小．

【解析】解法一：∵0<0.32<12＝1，log 20.320＝1，∴log 20.3<0.32<20.3. 解法二：作出函数y ＝x 2，y ＝log 2x ，y ＝2x 的大致图象，如图所示，画出直线x ＝0.3，根据直线与三个函数图象的交点位置，即可看出log 20.3<0.32<20.3.

3．与指数、对数函数相关的单调性问题

【典例4】是否存在实数a ，使函数f （x ）＝log a （ax 2﹣x ）在区间[2，4]上是增函数？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．

【解析】设u （x ）＝ax 2﹣x ，显然二次函数u 的对称轴为x =12a ．

①当a ＞1时，要使函数f （x ）在[2，4]上为增函数，则u （x ）＝ax 2﹣x 在[2，4]上为增函数，

故应有 {12a ≤2u(2)=4a ?2＞0，解得 a ＞12．综合可得，a ＞1． ②当0＜a ＜1 时，要使函数f （x ）在[2，4]上为增函数，

则u （x ）＝ax 2﹣x 在[2，4]上为减函数，

应有 {12a ≥4u(4)=16a ?4＞0

，解得a ∈?．

综上，a ＞1时，函数f （x ）＝log a （ax 2﹣x ）在区间[2，4]上为增函数．

二、函数的图象问题

对于给定的函数图象，要能从函数左右、上下的分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质．注意图象与函数解析式中参数的关系，能够通过变换画出函数的图象．

1．图象的变换

【典例5】为了得到函数y ＝lg 10

3+x 的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( ) A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

【答案】C

【解析】∵y ＝lg 10

3+x ＝lg (x ＋3)－1，∴只需将y ＝lg x 的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，即可得到函数y ＝lg

103+x 的图象． 2．根据函数解析式确定图象

【典例6】已知f (x )＝a x －2，g (x )＝log a |x |(a >0，且a ≠1)，若f (4)g (4)<0，则y ＝f (x )，y ＝

g (x )在同一平面直角坐标系内的大致图象是( )

【答案】B

【解析】由f (4)g (4)<0知a 2·log a 4<0，∴log a 4<0，∴0

三、等价转化思想的体现

一般来说，小题对指数函数、对数函数的考查，仅限于这两类函数本身的概念、图象与性质．而解答题往往注重考查与这两类函数有关的复合函数的性质．这类题目的解题思想是：通过换元转化成其他函数，或是将其他函数通过转化与化归，变成这两类函数来处理．

【典例7】

（2020·吉化第一高级中学校高二期末（理））已知[]3,2x ∈-，求11()142x x f x =-+的最小值与最大值．

【解析】()221113142122124224x x x x x x x f x -----??=-+=-+=-+=-+ ??

?, ∵[]3,2x ∈-, ∴1284

x -≤≤. 则当122x -=,即1x =时,()f x 有最小值34

；当28x -=,即3x =-时，()f x 有最大值57． 四、函数零点与方程的解

根据函数零点的定义，函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的解，判断一个方程是否有

零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有解，有几个解．从图形上说，函数的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数零点、方程的解、函数图象与x轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，应引起我们的重视．

【典例8】关于x的方程x＋lg x＝3，x＋10x＝3的解分别为α，β，则α＋β等于()

A．6 B．5

C．4 D．3

【答案】D

【解析】将方程变形为lg x＝3－x和10x＝3－x.令y1＝lg x，y2＝10x，y3＝3－x，在同一平面直角坐标系中分别作出y1＝lg x，y2＝10x，y3＝3－x的图象，如图所示．这样方程lg x＝3－x的解可以看成函数y1＝lg x和y3＝3－x的图象的交点A的横坐标，方程10x ＝3－x的解可以看成函数y2＝10x和y3＝3－x的图象交点B的横坐标．因为函数y1＝lg x和y2＝10x互为反函数，所以y1＝lg x和y2＝10x的图象关于直线y＝x对称，由题意可得出A，B两点也关于直线y＝x对称，于是A，B两点的坐标分别为A(α，β)，B(β，α)．而A，B两点都在直线y＝3－x上，所以β＝3－α，所以α＋β＝3.

【典例9】（2018·福建厦门双十中学高三月考（理））已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－√x－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是________(由小到大).

【答案】x1

【解析】令y1＝2x，y2＝ln x，y3＝－√x－1，y＝－x，

∵函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－√x－1的零点分别为x1，x2，x3，

即函数y1＝2x，y2＝ln x，y3＝－√x－1与函数y＝－x交点的横坐标分别为x1，x2，x3.

分别作出函数的图象，结合图象可得x1

五、函数模型的应用

针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数模型来刻画．这当然需要我们深刻理解已学函数的图象和性质，熟练掌握已学函数的特点，并对一些重要的函数模型要有清晰的认识．对于一个具体的应用题，原题中的数量间的关系，一般是以文字和符号的形式给出，也有的是以图象的形式给出，此时我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为接近的函数模型进行模拟，从而解决一些实际问题或预测一些结果．

【典例10】为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示．

(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；

(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；

(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25 cm ，则可以灌溉土地多少公顷？

【解析】(1)描点、作图，如图甲所示：

(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y 与最大积雪深度x 满足一次函数模型y ＝a ＋bx (a ，b 为常数且b ≠0)．取其中的两组数据

(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y ＝a ＋bx ，得?

??+=+=b a b a 0.248.454.101.21，用计算器可得a ≈2.2，b ≈1.8.这样，得到一个函数模型：

y ＝2.2＋1.8x ，作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．

(3)由(2)得到的函数模型为y ＝2.2＋1.8x ，则由y ＝2.2＋1.8×25，求得y ＝47.2，即当最大积雪深度为25 cm 时，可以灌溉土地约为47.2公顷．

【典例11】载人飞船是通过火箭发射的．已知某型号火箭的起飞重量M t 是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m t 和燃料重量x t 之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y km/s 关于x 的函数关系为y ＝k [ln (m ＋x )－ln (2m )]＋4ln 2(其中k ≠0，ln x 是以e 为底x 的对数)．当燃料重量为(e －1)m t 时，该火箭的最大速度为4 km/s.

(1)求此型号火箭的最大速度y km/s 与燃料重量x t 之间的函数解析式；

(2)若此型号火箭的起飞重量是479.8 t ，则应装载多少吨燃料(精确到0.1 t ，取e ＝2.718)才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s ，顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道？

【解析】(1)由题意，得4＝k {ln [m ＋(e －1)m ]－ln (2m )}＋4ln 2，解得k ＝8， 所以y ＝8[ln (m ＋x )－ln (2m )]＋4ln 2＝8ln m

x m +. (2)由已知，得M ＝m ＋x ＝479.8，则m ＝479.8－x .

将y ＝8代入(1)中所得式中，得

8＝8ln x

-8.4798.479，解得x ≈303.3. 答：应装载约303.3 t 燃料，才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s ，顺利地把飞船送到预定的椭圆轨道．