设 f ( x )
2 x
, 求 f ( x ) 的 定 义 域 及 值 域 。
1 x
设 f ( x) 对一切实数
x 1, x 2 成立 f ( x 1 x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 ),且 f (0 ) 0, f (1) a ,
求 f (0 )及 f ( n).(n 为正整数 )
定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ,若 f ( x) 表 示 将 x 之 值 保 留 二
位小数,小数第 3 位起以后所有数全部舍去,试用
表 示 f ( x) 。
I ( x)
定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ,若 g ( x)
表 示 将 x 依 4 舍 5 入
法 则 保 留 2 位 小 数 , 试 用 I ( x) 表 示 g ( x) 。
在某零售报摊上每份报纸的进价为 0.25 元,而零售价为 0.40 元,并且如果报纸当天未售
出 不 能 退 给 报 社 ,只 好 亏 本 。若 每 天 进 报 纸 t 份 ,而 销 售 量 为 x 份 ,试 将 报 摊 的 利 润 y 表 示 为
x 的函数。
定义函数 I ( x)表示不超过 x 的最大整数叫做 x 的取整函数,试判定
( x)
x
I ( x )的周期性。
判定函数
x
x
ln( 1 x x )的奇偶性。
f ( x ) ( e 1) 设 f ( x )
e x sin x , 问 在 0 ,
上 f ( x ) 是 否 有 界 ?
函 数 y f ( x ) 的 图 形 是 图 中 所 示 的 折 线 O BA , 写 出 y f ( x) 的 表 达 式 。
x 2
,
0 x ;
x , x ;
设 f ( x)
2 ( x)
0 4 求 f
( x ) 及f ( x ) .
x x
4 x x
,
.
, .
2 2
2 4 6
设 f ( x )
1, x 0 ;
( x ) 2 x
1, 求 f
( x ) 及
f ( x) .
1 , x
0 .
e x , x
;
0 , x 0 ;
设 f ( x ) 求 f ( x )的反函数 g ( x ) 及 f ( x ) .
x x ( x) x 2, x
0 , . .
1 x ) , ( x ) x , x 0 ; 求 f ( x ) .
设 f ( x )( x x 2
, x
2 0 .
2
x , x
0 ;
求 f f ( x ) 设 f ( x )
x
0. .
2 ,
0 , x ; x
, x
;
( x )
求 f ( x)
( x ).
设 f ( x )
x , x 0 . x , x
.
1
e x ,
x 0 ;
设 f ( x )
x 1, 0 x
4 ; 求 f ( x ) 的 反 函 数 ( x ) . x
1,
4
x
.
x ,
x
;
1
设 f ( x )
x 2 , 1 x 4 ; 求 f ( x) 的 反 函 数 ( x) .
2 x , 4 x
.
1
x 2
, x
0;
设 f ( x )
求:
x , x
0. (1) f ( x )的定义域;
(2 ) f ( 2) 及 2 . 为常数 )。
f ( a ) ( a
1 , x ;
1
设 f ( x )
x , x 1; 求 f ( x 2 3)
f (sin x ) 5 f ( 4 x
x 2
6) .
1,
x
1.
设 f ( x )
2 x 1, x
0 ;
求 f ( x 1) .
x 2
4 , x
0 .
设 f ( x )
x 2
, x 1;
, 求 f
(cos ) 及 f (sec ) .
log 2 x , x
1 .
4
4
x
2 , 1
x 0;
设 f ( x ) 0 ,
x 0; 试作出下列函数的图形 :
x 2 ,
x
0 .
(1) y
;
;
f ( x )
f ( x)
.
f ( x) ( 2) y
f ( x ) (3 ) y
2
x , 2 x ;
设
f ( x ) , x 0 试作出下列函数的图形 :
1 x , x
2
2 0
(1) y
; ; f ( x) f ( x ) .
f ( x ) ( 2) y
f ( x ) ( 3) y
2
2 ;
1 x , x
设 f ( x )
1 试画出 y
f ( x ), y
f ( x), y
f ( x ) .的图形。
x
x
, .
1 1 2
设 f ( x )
( x ), 1 x
0, ( x ) ( )
1 1
求
在
2
,使 f
x
,上是偶函数。
x
,
x .
x 0
1
( x ),当 x0时,
设 f ( x )0,
x
(1)求 f ( 2cos
(2 )求( x ),使
0,
当x 0时,
1
,当 x 0时.
x
x);
f ( x) 在 (,)是奇函数。
1 x0;
设
f ( x )x ,
0x
;
F
(
x
)
f
(12
x
),
1
2x, 1x2.
(1)求 F ( x )的表达式和定义域;
(2 )画出 F ( x )的图形。
0 ,1x0;
设 f ( x )x1,0x 1 ;求 f ( x ) 的定义域及值域。
2x,1x 2 .
设 f ( x )
1x , x0 ;
2 x, x0.
求 f ( 2 ) 、 f ( 0 ) 及 f ( 2) 的值。
设 f ( x )x 2x1, x1;
f (1 a ) ,其中 a 0 .
2 x x 2, x1
求 f (1 a )
求函数 y ln x1的反函数,并作出这两个函数的图形。
求函数 y sin(x
4
) 的反函数 y( x ) ,并作出这两个函数的图形(草图)。求函数 y tan(x1) 的反函数 y( x ) ,并作出这两个函数的图形(草图)。利用图形的叠加作出函数 y x sin x 的图形。
利用图形的叠加作出函数 y x 1的图形
。x
作函数 y
1
的图形(草图)
。x1
作函数 y ln(x1)的图形(草图)。
作函数 y arcsin(x1)的图形。(草图)
作出下列函数的图形:(草图)
(1) y x 21;
(2 ) y x2;
(3) y( x1) 2 .
设函数 y lg ax ,就 a1和 a2时,分别作出其草图。
利用 y2x 的图形(如图)作出下列函数的图形(草图):
(1) y 2 x1;
(2 ) y12x .
3
利用 y sin x 的图形(如图)作出下列函数的图形:(草图)
(1) y sin 2 x;
(2 ) y sin( x)。
4
利用 y sin x 的图形(如图)作出下列函数的图形:(草图)
(1) y 1
sin x ;2
(2 ) y 1
sin x 1
2
ππ
2
求函数 y ln x(,)的反函数,并指出其定义域。
3
求函数 y ch x(x)的反函数,并指出其定义域。
3
求函数 y Sh x(x)的反函数,并指出其定义域。
3
2 x 1 的反函数,并指出其定
求函数,y e义域。
e 2 x1
验证 1cth 2 x1。
2
x
sh
验证 1th2
1
x
ch
2
。
x
验证 Ch ()Ch Ch Sh Sh。
验证 Ch ()Ch Ch Sh Sh。
验证 Sh ()Sh Ch Ch Sh。
验证 Sh ()Sh Ch Ch Sh。
验证 2 Shx Chx Sh2 x。
证明 Sh 2 x Ch 2 x Ch 2 x 。
设 f ( x )arctan x(x), ( x )x a ,
1ax ( a1,x 1 ),验证:f( x) f ( x) f ( a )。
设 f ( x )1ln x , ( x )x1,求 f( x ) 。
设 f ( x )x,( x)1
,求 f( x) 。
12x
x
设 f ( x )sin x,( x) 2 x,求 f( x) 、f( x ) 及 f f ( x) 。
设 f ( x )
x 1, ( x)2
1
, 求 f
( x ) 及f ( x ) 。
x
1
设 f ( x )
x ( x 0 , x
1 及 f f f x
。
x
1 1) , 求 f
f ( x)
1
x 2
1
, 求 f
设 f ( x )
, ( x)
( x ) 及 其 定 义 域 。
x 1
x 2
1
已 知 f ( x )
2
( x )
( x) 0 ,求 ( x ) , 并 指 出 其 定 义 域 。
e x , f
1 x , 且 设 f ( x )
ln x , ( x ) 1 x 2
, 求 f ( x ) 及 f (0) 。
设 f ( x ) arcsin x ,
( x ) lg x ,求 f ( x) 及其定义域。
求 函 数 y
x 2
1 ( x
1)的反函数,并指出反函数的定义域。
求 函 数 y
lg arccos
x 3
(
1 x) 的 反 函 数 , 并 指 出 其 定 义 域 。
1
求函数 y
arctg
1 x 的反函数 。
1 x
求 函 数 y
求 函 数 y
求 函 数 y
1
(e x
e x
) 的 反 函 数 , 并 指 出 其 定 义 域 。
2
a x ln
(a 0) 的 反 函 数 的 形 式 。
a
x
x
e 的反函数,并指出其定义域。
1 e x
求函数 y
x x 4 x 的反函数 。
求函数 f ( x)
1
1 x 1)的反函数
( x),并指出
( x)的定义域。
( x
1
1 x
求 函 数 f ( x)
log a ( x
1
x 2 ) 的 反 函 数 ( x )( 式 中 a
0, a 1) 。
x
x
e
e
, 求 f ( x ) 的 反 函 数 ( x ) , 并 指 出 其定 义 域 .
设 f ( x )
e x
e x
x
( 0
x
) , 试 讨 论 f ( x ) 的 单 调 性 和 有 界 性 。
设 f ( x )
1 x
讨 论 函 数 f ( x )
x
1 在区间 (0,1)和 (1,
)内的单调性。
x
讨 论 函 数 f ( x )
x
的有界性。
1
2
x
讨 论 函 数 f ( x )
1
, 当 x (
, 0 ) (0 ,
)时的有界性。
1
3
2 x
讨 论 函 数 f ( x ) 2 x
在 ( ,
讨 论 函 数 f ( x )
x
a x
( a 1) 在 讨 论 函 数 f ( x ) 1 ln x 在 (0 )上的单调性。
(
,
)上的单调性。
,
)内的单调性 。
x
2, 1 x 1
设 f ( x )
, ( x )f ( a x ) b
x ,
x
3
1 1 试求 a , b 的值,使 ( x)( x 0除外 )为奇函数。
判断 f ( x)e x11x
x
1
ln
x
( 1x1)的奇偶性。e1
证明 f ( x)( 2 3 ) x(2 3 ) x是奇函数。
判定 f ( x )x arc cot x在其定义域 (,)上的奇偶性。
判定 f ( x )3 (1 3 x ) 23 (1 3 x ) 2(x)的奇偶性。
判定 f ( x )
a
(a0)(x)的奇偶性。x 2 a 2x
设 f ( x )
2e x
x ,求奇函数1e
设函数 f ( x ) 满足 4f ( x )
1 2 f ( )
x
判断 f ( x ) log a ( x x 2 1 )( a G ( x) 与偶函数 F ( x ), 使 f ( x ) G ( x ) F ( x ) 。
1
,讨论 f ( x ) 的奇偶性。
x
0, a1)的奇偶性。
a x
判定函数 f ( x ) 2 x( a 0 , a1) 的奇偶性。
a 1
设函数 f ( x ) 对任意实数 x、 y满足关系式:
f ( x y ) f ( x) f ( y )
(1) 求 f ( 0) ;
(2 ) 判定函数 f ( x ) 的奇偶性。
求 f ( x )sin x 1
sin 2 x 2
设 f x是以 T
2为周期的周期函数,且在,上 f
(
x
)
x 2
2
x,求 f
(
x在,
( )0 2) 2 4上的表达式。
求 f ( x )sin 3 x cos x 的最小正周期。
设 f ( x ) 为奇函数,且满足条件 f (1) a 和 f ( x 2 ) f ( x )f (2 ) 。
(1) 试求 f (2 ) 及 f ( n)( n为正整数 ) ;
(2 ) 如果 f ( x ) 是以 2 为周期的周期函数,试确定 a的值。
x x
x)
设 F ( x) ( x x) e1(
则F ( x)
(A)是奇函数而不是偶函数;(B)是偶
函数而不是奇函数;
(C)是奇函数又是偶函数;(D)非
奇函数又非偶函数。
答(
12
2 x
讨论函数 f ( x )4在 (,)
)的有界性
。
1 x 3
1
sin 3 x 的最小正周期。
设 f ( x ) 是定义在 (,) 内的任意函数,则 f ( x ) f ( x) 是()(A)奇函数;(B)偶函数;
(C)非奇非偶函数;(D)非负函数。
下列函数中为非偶数函数的是()
x
( A ) y sin x2 1 ;( B ) y arccos x ;
2 x1
(C ) y x 2 3 x4x 2 3 x 4 ; ( D ) y x lg( x1 x 2 )
1x 2
设 f ( x ) (A)在( (B)在(
(C)在( (D)在 (x x , (,) ,则 f ( x )()
,)单调减;
,)单调增;
,0)内单调增,而在(0,)内单调减;
,0)内单调减,而在(0,)内单调增。
答()
f ( x )
x x ( e e ) sin
(A)有界函数;
(C)偶函数;x 在其定义域
( (B)单调增函数(D)
奇函数。
,) 上是
;
答()
f ( x )sin x在其定义域(,+ )上是
(A)奇函数;(B)非奇函数又非偶函数;
(C)最小正周期为2 的周期函数;(D)最小正周期为的周期函数。
答()
f ( x )cos( x 2)
在定义域(,) 上是
1 x 2
(A)有界函数;(B)周期函数;(C)奇函数;(D)偶函数。
答()
f ( x ) (cos 3 x ) 2
在 其 定 义 域 (
, ) 上 是
(A)最小正周期为3 的周期函数;
(B)最小正周期为
的周期函数;
3
(C)最小正周期为
2
的周期函数;
(D)非周期函数。
3
答 (
)
设 f ( x )
x 3
,
3
x 0 3
, 0
,则此函数是
x x
2
(A)奇函数; (B)偶函数;
(C)有界函数;
(D)周期函数。
答 (
)
3
,
x 0
sin x
设 f ( x )
,则此函数是
sin
3
x , 0
x
(A)周期函数; (B)单调减函数;
(C)奇函数;
(D)偶函数。
答 (
)
f ( x ) x ( e
x
e x
) 在 其 定 义 域 (
,
) 上 是
(A)有界函数; (B)奇函数;
(C)偶函数;
(D)周期函数。
答 ( )
函 数 f ( x )
a x
0) 是
ln (a
a x
(A)奇函数; (B)偶函数;
(C ) 非 奇 非 偶 函 数 ; ( D ) 奇 偶 性 决 定 于 a 的 值
答 (
)
下列函数中为非奇函数 的是
( A ) y
2 x
1 ; ( B ) y
lg( x
1 x
2
);
2 x
1
(C ) y
x arccos
x ;
( D ) y
x
2
3 x
7
x
2
3 x 7
1 x
2
答( )
1
的单调性的正确判断是关于函数 y
x
( A ) 当 x0 时, y
1单调增;
x
( B ) 当 x0 时, y 1
单调减;x
(C ) 当 x0 时, y 1
单调减;当 x0 时, y
1单调
增;x x
( D ) 当 x0 时, y 1
单调增;当 x0 时, y
1单调
增。
x x
答()
下列函数中(其中x 表示不超过 x 的最大整数),非周期函数的是( A ) y sin x cos x ;( B ) y sin 2 2 x ;
(C ) y a cos bx ;( D ) y x x
答()
下列函数中为奇函数的是
( A ) y x2x ) ;( B ) y2) ;
tan(sin x cos( x
4
(C ) y cos(arctan x ) ;( D ) y2x x
2
答()
求函数 y
x
)的定义域及值域。arcsin(lg
10
确定函数 y arccos
2 x
2
的定义域及值域。1x
求函数 y lg( 1 2 cos x) 的定义域及值域。
求函数 y 2 x x 2的定义域及值域。
已知 f ( x ) 是二次多项式,且 f ( x 1 ) f ( x )8 x 3 , f (0 )0 ,求f ( x) 。
图中圆锥体高 O H = h ,底面半径 HA = R,在 O H 上任取一点 P ( O P = x),过 P 作平面垂直于 O H ,试把以平面为底面的圆锥体的体积V表示为x的函数。
设一球的半径为 r ,作外切于球的圆锥,试将圆锥体积 V 表示为高 h 的函数,并
指出其定义域。
在半径为 R 的球内嵌入一内接圆柱,试将圆柱的体积表示为其高的函数,并指出函数的定义域。
在半径为 20 厘米的圆内作一个内接矩形,试将矩形的面积表示成一边长的函数。
生产队要用篱笆围成一个形状是直角梯形的苗圃(如图),它的相邻两面借用夹角为135的两面墙(图中 AD 和DC),另外两面用篱笆围住,篱笆的总长是 30 米,将苗圃的面积表示成 AB 的边长 x 的函数。
有一条由西向东的河流,经相距 150 千米的 A、B两城,从 A城运货到 B城正北 20 千米的 C 城,先走水道,运到M 处后,再走陆道,已知水运运费是每吨每千米 3 元,陆运运费是每吨每千米 5元,求沿路线 AMC 从 A 城运货到 C 城每吨所需运费与 MB 之间的距离的函数关系。
由直线 y x , y2x 及x轴所围成的等腰三角形O A B。在底边上任取一点 x [ 0 , 2 ] ,过 x 作垂直 x 轴的直线,试将图上阴影部分的面积表示成 x 的函数。
旅客乘火车可免费携带不超过 20 千克的物品,超过 20 千克,而不超过 50 千克的部分,每千克交费 0.20 元,超过50千克部分每千克交费 0.30 元,求运费与携带物品重量的函数关系。
设有一块边长为 a 的正方形铁皮,现将它的四角剪去边长相等的小正方形后,
制作一个无盖盒子,试将盒子的体积表示成小正方形边长的函数。
等腰直角三角形的腰长为 l(如图),试将其内接矩形的面积表示成矩形的底边长 x 的函数。
在底 AC = b ,高BD = h 的三角形 ABC中,内接矩形KLM N(如图),其高为x,试将矩
形的周长 P 和面积 S 表示为 x 的函数。
设M 为密度不均匀的细杆 OB 上的一点,若 OM 的质量与 OM 的长度的平方成正比,又
已知 OM =4 单位时,其质量为 8 单位,试求 OM 的质量与长度间的关系。
等 腰 梯 形 AB C D ( 如 图 ), 其 两 底 分 别 为 AD = a 和 B C = b , ( a > b ) , 高 为 h 。 作 直 线
a b
a
b
M N // BH , M N 与 顶 点 A 的 距 离 A M = x (
x
) ,将梯形内位于直线 MN 左边
2
2 的 面 积 S 表 示 为 x 的 函 数 。
建 一 蓄 水 池 , 池 长 50 m , 断 面 尺 寸 如 图 所 示 , 为 了 随 时 能 知 道 池 中 水 的 吨 数 ( 1 立 方 米水 为 1 吨 ),可 在 水 池 的 端 壁 上 标 出 尺 寸 ,观 察 水 的 高 度 x ,就 可 以 换 算 出 储 水 的 吨 数 T ,试列 出 T 与 x 的 函 数 关 系 式 。
设
f ( x )
arcsin(lg x ( x ) 的 定 义 域 .
) , 求 f
10
设
f ( x )
x 3 ln( 4 x ), 求 f ( x ) 的 定 义 域 .
arcsin 2
设
f ( x)
6
5 x
x 2
lg( x 2
5 x 6) , 求 f ( x ) 的 定 义 域 。
设 f ( x)
2
x
1
,求 f ( x )的定义域 .
lg( 1 x)
设 f ( x ) lg( 1 2 cos x ),求 f ( x)的定义域。
f ( x) l
g x 1
x 的定义域。
设
,求 f
2 x 1
设
f ( x )
9 x 2
src sin 2 x
1
,求 f ( x )的定义域 。
ln( x 2) 4
设
(t ) t 3
1 求
(t 2
)
( t )
2
( t )
设 f ( x
2 ) x
2
2 x 3求 f ( x ) 及 f ( x h ).
设
f ( x )
x , 求 f ( 2), f ( a), f (1
),
f
1
。
1 x a
f ( x )
设 f ( x)
1
x
求 f ( 1
)及 f f ( x) . 1)
x 2 x , 求 f ( x ).
1
x x
设 f ( x 设
f (sin
x
) 1 cos x ,
求 f (cos
x ).
2
2
x 2
f ( 1
)
2
2 x
,求 f ( x ) 。
设 2 f ( x)
x
x
x
1
设 f ( x
1 ) x 2
( x
0) , 求 f ( x) 。
x
x 4
1
设 z
x y
f ( x y ) , 且当 y
0 时 , z x 2
, 求 f ( x ) 及 z 。
设 f (t )
e t
, f ( x ) f ( x
y) 。
证明 ( y )
f
设 F ( x ) lg( x
1) , 证明当 y
1时有 F ( y 2
2 )
F ( y
2) F ( y) 。
设 f ( x)
ln 1
x
, 证明 f ( y )
f ( z ) y
z
f (
)
1
x 1 yz
(式中 y
1, z 1).
设 f ( x)
2 x 2
, 求 f ( 2), f ( 2 ), f ( 5 ) 。
2
f ( 1
) 。
设 f ( t )
2t
2 5
5t , 证明 f ( t )
2
t 2
t
t
设 f ( 1
)
x (
x
) 2
, 求 f ( x ) 。
x
x
1
设 f ( x 1) x 2
,
求 f (2 x
1) 。
1
2
设 y
f (t
x ),且当 x
t
2t
5,求 f ( x ) 。
x
2 时 , y
2
设 f (ln x )
x 2
x
2,0
x
,求 f ( x )及其定义域
。
设 f ( 1
)
x(1
x 2
1 ) ( x
0 ),求 f ( x) 。
x
1 )
3
设 f ( x
x
4
x
x ( x
0),求 f ( x) 。
x
3 x 2
1
设 f ( x)
x
2 ,求 f ( 1 x
) ( x 1) 。
1 x 1 x
设 f ( x)
2
bx
c ,计算 f ( x
3)
3 f ( x
2 )
3 f ( x
1)
f ( x ) 1 的 值 , 其 中a , b ,
c
是
ax
给定的常数。
设 f ( x)
a bx
c
( x
0, abc
0 ),
x
求数 m ,使 f (
m )
f ( x),对一切 x 0 成立 。
x 设 f ( x) lg
x
5
x
,
5 (1 )确定 f ( x )的定义域;
( 2 )若 f g ( x )
lg x ,求 g ( 2)的值 。
设 y 1 a f ( x 1) 满足条件, y | a 0 x 及 y | x 1 2 ,
求 f ( x) 及 y .
设 f ( x )
25 x 2
arctan
1
, 求 f ( x ) 的 定 义 域 。
x
设 f ( x )
lg x 2
5x
, 求 f ( x ) 的 定 义 域 。
6
设 f ( x)
2 x 2
。
1 x
,求 f ( x )的定义域
设 f ( x) sin x 16
x 2
,求 f ( x ) 的定义域 。
设 f ( x ) 的 定 义 域 为 a . b , F ( x ) f ( x m) f ( x m ) ,
( m 0 ) , 求 的定义域。
F ( x) 求函数
f ( x ) arccos
2 x 1 x
2 x
2
的定义域 。
1 x
设
f ( x)ln2x ,求
f ( x)f1的定义域。
2x x
设
f ( x)arcsin 2x1
sin x,求f ( x)的定义域。
5
设
f ( x )2x22
x ) ,求
f ( x )
的定义域。
x ln( x
f ( x )lo
g 2 (log2x ) 的定义域是 _________________。
f ( x )
2 x
的定义域是 ________________。x 2 3 x2
函数 f ( x )arcsin 2 x1
。
3
的定义域用区间表示为 ______________
函数 f ( x )
1
的定义域用区间表示为 ________________。x x
函数 f ( x )arccos( 2 x1) 的定义域用区间表示为_____________。函数 f ( x )x ( x 4 )的定义域是_____________。
函数f ( x )ln( 6x x 2)
的定义域用区间表示为 ______________。
函数 f( x )
1
的定义域用区间表示为 _____________。ln(x 4 )
设 f ( x )x1ln( 2x) ,则f ( x )的定义域用区间表示为。
函数 f( x )2x
的定义域用区间表示为 _______________。x2
设 f ( x ) arcsin2x,则 f ( x )的定义域用区间表示为 ______________ 。
设 f ( x )的定义域是 (0,1) ,则f ( 1 x2设 f ( x )ln x , ( x ) arcsin x ,则 f [
设 f ( x ) 的定义域是[0,4),则f(x2))
的定义域是________________。( x )]的定义域是________________。的定义域是 ______________。
设f1
的定义域是 ______________。
( x )
的定义域是
(1 , 2]
,则f
1
x
设 f( x ) 的定义域是(0,1),则 f (lg x) 的定义域是______________。
函数 f ( x )sin(arcsin x ) 与函数 g ( x )arcsin(sin x ) 是否表示同一函数?为什么?
函数 f ( x )ln( x 2 2 x1) 与函数g ( x ) 2 ln( x 1)
是否表示同一函数?为什么?
函数 f ( x )cos(arccos x) 与函数 g ( x )x 是否表示同一函数?为什么?
1
函数 f ( x )(1 cos 2 x ) 2
与函数g ( x )sin x
是否表示同一函数?为什么?
函数
f ( x )x 1 与函数
g ( x )1是否表示同一函数?为什么?
x 211x
函数 f ( x )
lg x
x是否表示同一函数?为什么?10与函数 g ( x )
函数 f ( x ) 3 x 4x 3与函数 g ( x )x3 x 1
是否表示同一函数?为什么?
函数
f ( x )x1
与函数 g ( x)
x1
是否表示同一函数?为什么?x2x2
函数
f ( x )
x
与函数 g ( x)
ln x
ln e e是否表示同一函数?为什么?
函数 f ( x )x 21x 与函数 g ( x )
1
是否表示同一函数?为什么?x 2 1x
1x
的定义域及值域。设 f ( x )
,确定 f ( x )
1x
关于大学高等数学函数极 限和连续 Last revision on 21 December 2020
第一章 函数、极限和连续 § 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ? ? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的; 则它必定存在反函数: y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1<x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( ); 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( ); 若f(x 1)<f(x 2),
则称f(x)在D内严格单调增加( ); 若f(x1)>f(x2), 则称f(x)在D内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性:D(f)关于原点对称 偶函数:f(-x)=f(x) 奇函数:f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性: 周期函数:f(x+T)=f(x), x∈(-∞,+∞) 周期:T——最小的正数 4.函数的有界性: |f(x)|≤M , x∈(a,b) ㈢基本初等函数 1.常数函数: y=c , (c为常数) 2.幂函数: y=x n , (n为实数) 3.指数函数: y=a x , (a>0、a≠1) 4.对数函数: y=log x ,(a>0、a≠1) a 5.三角函数: y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数:y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣复合函数和初等函数 1.复合函数: y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x∈X 2.初等函数:
1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同. 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时,则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同,但定义域不同,所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >(M 为一个常数),则()x f 为无穷大. 错误 根据无穷大的定义,此题是错误的。 3、如果数列有界,则极限存在. 错误 如:数列()n n x 1-=是有界数列,但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ,a a n n =∞ →lim . 错误 如:数列()n n a 1-=,1)1(lim =-∞ →n n ,但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ,则()α+=A x f (当∞→x 时,α为无穷小). 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系,此题是正确的。 6、如果α~β,则()α=β-αo . 正确 ∵1lim =α β ,是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα,即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时,x cos 1-与2x 是同阶无穷小. 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x . 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在,∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 . 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点. 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ,=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点. 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值.
第一章 函数、极限与连续 由于社会和科学发展的需要,到了17世纪,对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应,数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代,这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点,认识到“数”的研究比“形”更重要,以积极的态度开展对“无限”的研究,由常量数学发展为变量数学,微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法,而连续性则是函数的一种重要属性.因此,本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念,其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质,以及与极限概念密切相关的,并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外,还给出了两个极其重要的极限.随后,运用极限的概念引入函数的连续性概念,它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节 变量与函数 一、变量及其变化范围的常用表示法 在自然现象或工程技术中,常常会遇到各种各样的量.有一种量,在考察过程中是不断变化的,可以取得各种不同的数值,我们把这一类量叫做变量;另一类量在考察过程中保持不变,它取同样的数值,我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的,如自然数由小到大变化、数列的变化等,而更多的则是在某个范围内变化,即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间,记为,a b ????,即 ,{|}a b x a x b =≤≤????; 满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间,记为(,)a b ,即 (,){|}a b x a x b =<<; 满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间,记为 (,a b ?? (或),a b ??),即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤?), 左开右闭区间与右开左闭区间统称为半开半闭区间,实数a ,b 称为区间的端点. 以上这些区间都称为有限区间.数b a -称为区间的长度.此外还有无限区间: (){|}x x -∞+∞=-∞<<+∞=R ,, (,{|}b x x b -∞=-∞<≤??, (,){|}b x x b -∞=-∞<<, ){|}a x a x +∞=≤<+∞??, , (){|}a x a x +∞=<<+∞,, 等等. 这里记号“-∞”与“+∞”分别表示“负无穷大”与“正无穷大”. 邻域也是常用的一类区间. 设0x 是一个给定的实数,δ是某一正数,称数集:
设 f ( x ) 2 x , 求 f ( x ) 的 定 义 域 及 值 域 。 1 x 设 f ( x) 对一切实数 x 1, x 2 成立 f ( x 1 x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 ),且 f (0 ) 0, f (1) a , 求 f (0 )及 f ( n).(n 为正整数 ) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ,若 f ( x) 表 示 将 x 之 值 保 留 二 位小数,小数第 3 位起以后所有数全部舍去,试用 表 示 f ( x) 。 I ( x) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ,若 g ( x) 表 示 将 x 依 4 舍 5 入 法 则 保 留 2 位 小 数 , 试 用 I ( x) 表 示 g ( x) 。 在某零售报摊上每份报纸的进价为 0.25 元,而零售价为 0.40 元,并且如果报纸当天未售 出 不 能 退 给 报 社 ,只 好 亏 本 。若 每 天 进 报 纸 t 份 ,而 销 售 量 为 x 份 ,试 将 报 摊 的 利 润 y 表 示 为 x 的函数。 定义函数 I ( x)表示不超过 x 的最大整数叫做 x 的取整函数,试判定 ( x) x I ( x )的周期性。 判定函数 x x ln( 1 x x )的奇偶性。 f ( x ) ( e 1) 设 f ( x ) e x sin x , 问 在 0 , 上 f ( x ) 是 否 有 界 ? 函 数 y f ( x ) 的 图 形 是 图 中 所 示 的 折 线 O BA , 写 出 y f ( x) 的 表 达 式 。 x 2 , 0 x ; x , x ; 设 f ( x) 2 ( x) 0 4 求 f ( x ) 及f ( x ) . x x 4 x x , . , . 2 2 2 4 6 设 f ( x ) 1, x 0 ; ( x ) 2 x 1, 求 f ( x ) 及 f ( x) . 1 , x 0 . e x , x ; 0 , x 0 ; 设 f ( x ) 求 f ( x )的反函数 g ( x ) 及 f ( x ) . x x ( x) x 2, x 0 , . . 1 x ) , ( x ) x , x 0 ; 求 f ( x ) . 设 f ( x )( x x 2 , x 2 0 . 2 x , x 0 ; 求 f f ( x ) 设 f ( x ) x 0. . 2 , 0 , x ; x , x ; ( x ) 求 f ( x) ( x ). 设 f ( x ) x , x 0 . x , x . 1
第一章函数与极限 一、对于函数概念要注意以下几点: (1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素:定义域和对应法则。定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件,无此条件,函数就没意义。对应法则是正确理解函数概念的关键。函数关系不同于一般的依赖关系,“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。函数关系也不同于因果关系。例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系,但时间变化并不是气温变化的实际原因。y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则,“f”是一个记号,不是一个数,不能把f(x)看作f乘以x。如果函数是用公式给出的,则“f”表示公式里的全部运算。 (2) 函数与函数表达式不同。函数表达式是表示函数的一种形式,表示函数还可以用其他的形式,不要以为函数就是式子。 (3) f(x)与f(a)是有区别的。f(x)是函数的记号,f(a)是函数值的记号,是f(x)当x=a时的函数值。 (4)两个函数,当其定义域相同,对应法则一样时,此二函数才是相同的。 二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性: 对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点: (1) 并不是函数都具有这些特性,而是在研究函数时,常要研究函数是否具有这些特性。 (2) 函数是否“有界”或“单调”,与所论区间有关系。 (3) 具有奇、偶性的函数,其定义域是关于原点对称的。如果f(x)是奇函数,则f(0)=0。存在着既是奇函数,又是偶函数的函数,例f(x)=0。f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。 (4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期,但不是任何周期函数都有最小周期。
第三节 函数的极限(一) 教学目的:(1)理解函数极限和左、右极限的概念; (2)理解无穷小概念,掌握其性质 教学重点:函数极限的概念,无穷小概念 教学难点:函数极限的概念的理解与应用 教学方法:讲授法 教学时数:2课时 本节我们将数列极限的概念推广到一元实值函数,然后研究函数极限的性质及其运算法则. 一、函数极限的概念 1.自变量x 趋于无穷大时函数的极限 1)+∞→x 时的极限: +∞→x 读作“x 趋于正无穷大”,表示x 无限增加,0x > . 例:对于x x f 1)(= ,当自变量+∞→x 时,x x f 1 )(=与常数0无限接近 . 复习数列极限的定义:数列{}n x 以a 为极限即a x n n =∞ →lim ? 0>?ε,N ?,N n >时,ε<-a x n . 令()n f x n =,则()?=∞ →a n f n lim 0>?ε,N ?,当N n >时,()ε<-a n f .将n 换成连续变量x ,将a 改记为A ,就可以得到x →+∞时,()A x f →的极限的定义及其数学上的精确描述 . 定义3.1:设函数)(x f 在),(+∞a 内有定义,,A ∈若0>?ε,0X ?>,当x X >时,有()ε<-A x f ,则称数A 为函数()x f 当x →+∞时的极限,记作()lim x f x A →+∞ =, 或()A x f →,(x →+∞) . 几何意义:对任意给定的0ε>,在轴上存在一点X ,使得函数的图象 {(,)|(),(,)}x y y f x x a =∈+∞在X 右边的部分位于平面带形),(),(εε+-?+∞A A X 内 . 2)x →-∞时的极限: x →-∞读作“x 趋于负无穷大”,表示x 无限增加,0x < . 定义:设函数)(x f 在),(a -∞内有定义,,A ∈若0>?ε,0X ?>,当x X <-时,有()ε<-A x f ,则称数A 为函数()x f 当x →-∞时的极限,记作()lim x f x A →-∞ =
第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ???∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1 (y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的; 则它必定存在反函数: y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1 )=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1<x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( ); 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( ); 若f(x 1)<f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调增加( ); 若f(x 1)>f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性:D(f)关于原点对称 偶函数:f(-x)=f(x) 奇函数:f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性: 周期函数:f(x+T)=f(x), x ∈(-∞,+∞) 周期:T ——最小的正数 4.函数的有界性: |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数: y=c , (c 为常数) 2.幂函数: y=x n , (n 为实数) 3.指数函数: y=a x , (a >0、a ≠1) 4.对数函数: y=log a x ,(a >0、a ≠1) 5.三角函数: y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x
有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式(集锦) 一、0 101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =+++?∞>??? (系数不为0的情况) 二、重要公式(1)0sin lim 1x x x →= (2)()1 0lim 1x x x e →+= (3 ))1n a o >= (4 )1n = (5)lim arctan 2x x π→∞= (6)lim tan 2 x arc x π →-∞=- (7)lim arc cot 0x x →∞ = (8)lim arc cot x x π→-∞ = (9)lim 0x x e →-∞ = (10)lim x x e →+∞ =∞ (11)0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系(0x →) sin x x tan x x a r c s i n x x arctan x x 2 11c o s 2 x x - ()ln 1x x + 1x e x - 1l n x a x a - ()11x x ? +-? 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2 tan sec x x '= ⑹()2 cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '=
设x x x f += 12)(,求)(x f 的定义域及值域。 ,,,且成立,对一切实数设a f f x f x f x x f x x x f =≠=+)1(0)0()()()()(212121)()()0(为正整数.及求n n f f 定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数,若)(x f 表示将x 之值保留二位小数,小数第3位起以后所有数全部舍去,试用)(x I 表示)(x f 。 定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数,若)(x g 表示将x 依4舍5入法则保留2位小数,试用)(x I 表示)(x g 。 在某零售报摊上每份报纸的进价为0.25元,而零售价为0.40元,并且如果报纸当天未售出不能退给报社,只好亏本。若每天进报纸t 份,而销售量为x 份,试将报摊的利润y 表示为x 的函数。 的取整函数,试判定的最大整数叫做表示不超过定义函数x x x I )(的周期性。)()(x I x x -=? 的奇偶性。 判定函数)1ln()1()(x x e x f x x -+?-=+ [ )设,问在,上是否有界?f x e x f x x ()sin ()=+∞0 函数的图形是图中所示的折线,写出的表达式。y f x OBA y f x ==()() ???≤≤-<≤=????≤≤+<≤=., ; ,.,;, 设64240)(42220)(2 x x x x x x x x x x f [][].及求)()(x f x f ?? [][]设,; ,. ,求及.f x x x x x f x f x ()()()()=-≤>???=-101021??? ???>-≤=????>≤-=. ,; ,., ;,设000)(00)(2 x x x x x x x e x f x [].及的反函数求)()()(x f x g x f ? []设,,;,.求.f x x x x x x x x f x ()()()()=+=<≥???1 2002?? []设,; , .求.f x x x x f f x ()()=+<≥???2020 .求.,; ,.,;,设)()( 111)(000)(x x f x x x x x x x x x f ?+? ??≥<+=????≥<=
高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”,则必有 (A ) F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. (B ) F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. (C ) F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. (D ) F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2.设函数,1 1)(1 -= -x x e x f 则 (A ) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. (B ) x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 (C ) x=0是f(x)的第一类间断点,x=1是f(x)的第二类间断点. (D ) x=0是f(x)的第二类间断点,x=1是f(x)的第一类间断点. 3.设f (x)=x x 1 -,x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( ) A ) 1-x B ) x -11 C ) X 1 D ) x 4.下列各式正确的是 ( ) A ) lim + →x )x 1 +1(x =1 B ) lim + →x )x 1 +1(x =e C ) lim ∞ →x )x 1 1-(x =-e D ) lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e 5.已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ,则=a ( )。 A.1; B.∞; C.3ln ; D.3ln 2。 6.极限:=+-∞→x x x x )1 1( lim ( ) A.1; B.∞; C.2 -e ; D.2 e 7.极限:∞ →x lim 3 32x x +=( ) A.1; B.∞; C.0; D.2. 8.极限:x x x 11lim 0-+→=( ) A.0; B.∞; C 2 1; D.2.
函数极限总结 一.极限的产生 极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。 极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期,但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中,牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。但迟至18世纪下半叶,达朗贝尔等人才认识到,把微积分建立在极限概念的基础之上,微积分才是完善的,柯西最先给出了极限的描述性定义,之后,魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义(ε-δ和ε-N 定义)。 从此,各种极限问题才有了切实可行的判别准则,使极限理论成为了微积分的工具和基础。[1] 二.极限知识点总结 1. 极限定义 函数极限:设函数f(x)在点的x 0某一去心邻域内有定义,如果存在常数A ,对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正数 ,使得当x 满足不等式 时,对应的函数值 都满足不等式: 那么常数A 就叫做函数f(x)?当x →x 0时的极限,记作。[2] 单侧极限:?.左极限:或 ?.右极限:或 定理: 函数当时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相 δ<<|x -x |00ε <-|)(|A x f A x f x x =→)(lim 0 A x f x x =- →)(lim )()(左→→x A x f A x f x x =+ →)(lim )()(右→→x A x f A x f x f A x f x x ==? =+-→)()()(lim 0 )(x f 0x x →
等 即。 2. 极限概念 函数极限可以分成以的极限为例,f(x) 在点x 0以A 为极限的定义是:对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正数δ,使得当x 满足不等式 时,对应的函数值f(x)都满足不 等式:|f(x)-A|<ε,那么常数A 就叫做函数f(x)当 x →x 。时的极限。 函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性[2] 3. 存在准则 有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得,需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。 准则Ⅰ.如果数列,及满足以下条件: (1)从某项起,即,当时,有; (2);, 那么数列的极限存在,且 准则Ⅰ'如果(1)当(或)时, (2) ,, 那么存在,且等于。 夹逼定理:(1)当时,有??成立 (2) ?,那么,极限存在,且等于A 【准则Ⅰ,准则Ⅰ′合称夹逼定理】 )()()(lim 0 00x f x f x f x x →+-==0,,,x x x x x →-∞→+∞→∞→0x x →{}n x {}n y {}n z +∈?N n 00n n >n n n z x y ≤≤a y n x =∞→lim a z n x =∞ →lim {}n x a x n x =∞ →lim ),(0r x U x ο ∈M x >||)()()(x h x f x g ≤≤A x g x x x =∞→→)(lim ) (0 A x h x x x o =∞→→)(lim ) ()(lim ) (0 x f x x x ∞→→A ),(x 0r x U ο ?()0x f
高等数学公式 1导数公式: 2基本积分表: 3三角函数的有理式积分: 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=, , , a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
目录 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (8) 9、函数的极限 (10) 10、函数极限的运算规则 (11)
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合 ⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说 A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A B(或B A)。。 ⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。 ⑶、真子集:如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B 的真子集。 ⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作,并规定,空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论: ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C,如果A是B的子集,B是C的子集,则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”,这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。(在求并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次。) 即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。 ⑵、交集:一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。 ⑶、补集: ①全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集。通常记作U。 ②补集:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U 的补集。简称为集合A的补集,记作C U A。
第一篇 函数、极限与连续 第一章 函数、极限与连续 高等数学的主要内容是微积分,微积分是以变量为研究对象,以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容,继而介绍极限的概念、性质、运算等知识,最后通过函数的极限引入函数的连续性概念,这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识. 第1节 集合与函数 1.1 集合 1.1.1 集合 讨论函数离不开集合的概念.一般地,我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合,组成集合的事物或对象称为该集合的元素. 通常用大写字母A 、B 、C 、 表示集合,用小写字母a 、b 、c 、 表示集合的元素. 如果a 是集合A 的元素,则表示为A a ∈,读作“a 属于A ”;如果a 不是集合A 的元素,则表示为A a ?,读作“a 不属于A ”. 一个集合,如果它含有有限个元素,则称为有限集;如果它含有无限个元素,则称为无限集;如果它不含任何元素,则称为空集,记作Φ. 集合的表示方法通常有两种:一种是列举法,即把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合.例如,有1,2,3,4,5组成的集合A ,可表示成 A ={1,2,3,4,5}; 第二种是描述法,即设集合M 所有元素x 的共同特征为P ,则集合M 可表示为 {}P x x M 具有性质|=. 例如,集合A 是不等式022<--x x 的解集,就可以表示为 {} 02|2<--=x x x A . 由实数组成的集合,称为数集,初等数学中常见的数集有: (1)全体非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集),记作N ,即 {} ,,,3,2,1,0n N =; (2)所有正整数组成的集合称为正整数集,记作+ N ,即 {} ,,,3,2,1n N =+; (3)全体整数组成的集合称为整数集,记作Z ,即 {} ,,,3,2,1,0,1,2,3,,,n n Z ----=;
2 、 高等数学公式 导数公式: 基本积分表: tgxdx In cosx C ctgxdx In sin x r C secxdx In secx tgx C cscxdx In cscx ctgx C dx 1 arctg x C 2 2 a x a a dx 1In 2a x a C 2 2 x a x a dx 1In 2a a x C 2 2 a x a x dx arcsi 吐 C / 2 2 va x a dx sec 2 xdx tgx C 2 cos x dx 2 . .2 csc xdx ctgx C sin x secx tgxdx secx C cscx ctgxdx cscx C a x dx x a C In a shxdx chx C chxdx shx C dx 2 2 ----------- In(x . x a ) C ;2 2 v 3 .x a 2 2 n sin n xdx n cos xdx ■- x 2 a 2dx x x 2 2 a 2 一 x 2 a 2dx x 2 -x 2 a 2 2 2 x 2 2 :a x dx 一 :■ a x n 1 三角函数的有理式积分: 2 _____________________ a 2 2 In(x x a ) C 2 a (tgx) sec x (ctgx) csc x (secx) secx tgx (cscx) cscx ctgx (a x ) a x l na (log a x) 1 xl na (arctgx) (arcctgx) 1 1 x 2 * * * 1 1 x 2 (arcsin x) (arccos x) 1
第一篇 函数、极限与连续 第一章 函数、极限与连续 高等数学的主要内容是微积分,微积分是以变量为研究对象,以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容,继而介绍极限的概念、性质、运算等知识,最后通过函数的极限引入函数的连续性概念,这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识. 第1节 集合与函数 1.1 集合 1.1.1 集合 讨论函数离不开集合的概念.一般地,我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合,组成集合的事物或对象称为该集合的元素. 通常用大写字母A 、B 、C 、 表示集合,用小写字母a 、b 、c 、 表示集合的元素. 如果a 是集合A 的元素,则表示为A a ∈,读作“a 属于A ”;如果a 不是集合A 的元素,则表示为A a ?,读作“a 不属于A ”. 一个集合,如果它含有有限个元素,则称为有限集;如果它含有无限个元素,则称为无限集;如果它不含任何元素,则称为空集,记作Φ. 集合的表示方法通常有两种:一种是列举法,即把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合.例如,有1,2,3,4,5组成的集合A ,可表示成 A ={1,2,3,4,5}; 第二种是描述法,即设集合M 所有元素x 的共同特征为P ,则集合M 可表示为 {}P x x M 具有性质|=. 例如,集合A 是不等式022<--x x 的解集,就可以表示为 {} 02|2<--=x x x A . 由实数组成的集合,称为数集,初等数学中常见的数集有: (1)全体非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集),记作N ,即 {} ,,,3,2,1,0n N =; (2)所有正整数组成的集合称为正整数集,记作+ N ,即 {} ,,,3,2,1n N =+; (3)全体整数组成的集合称为整数集,记作Z ,即 {} ,,,3,2,1,0,1,2,3,,,n n Z ----=;
第一章函数与极限 教学目的: 1、理解函数的概念,掌握函数的表示方法,并会建立简单应用问题中的函数关系 式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念,以及极限存在与左、右极 限之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质(有 界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质。 教学重点: 1、复合函数及分段函数的概念; 2、基本初等函数的性质及其图形; 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则; 4、两个重要极限; 5、无穷小及无穷小的比较; 6、函数连续性及初等函数的连续性; 7、区间上连续函数的性质。 教学难点: 1、分段函数的建立与性质; 2、左极限与右极限概念及应用; 3、极限存在的两个准则的应用; 4、间断点及其分类; 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a M. 集合的表示:
列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A ={a , b , c , d , e , f , g }. 描述法: 若集合M 是由元素具有某种性质P 的元素x 的全体所组成, 则M 可表示为 A ={a 1, a 2, ? ? ?, a n }, M ={x | x 具有性质P }. 例如M ={(x , y )| x , y 为实数, x 2+y 2=1}. 几个数集: N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N ={0, 1, 2, ???, n , ???}. N +={1, 2, ?? ?, n , ???}. R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z ={???, -n , ???, -2, -1, 0, 1, 2, ???, n , ???}. Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. },|{互质与且q p q Z p q p +∈∈=N Q 子集: 若x ∈A , 则必有x ∈B , 则称A 是B 的子集, 记为A ?B (读作A 包含于B )或B ?A . 如果集合A 与集合B 互为子集, A ?B 且B ?A , 则称集合A 与集合B 相等, 记作A =B . 若A ?B 且A ≠B , 则称A 是B 的真子集, 记作A ≠?B . 例如, N ≠?Z ≠?Q ≠?R . 不含任何元素的集合称为空集, 记作?. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 或者属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集(简称并), 记作A ?B , 即 A ? B ={x |x ∈A 或x ∈B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有既属于A 又属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集(简称交), 记作A ?B , 即 A ? B ={x |x ∈A 且x ∈B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 而不属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的差集(简称差), 记作A \B , 即 A \ B ={x |x ∈A 且x ?B }. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中进行, 所研究的其他集合A 都是I 的子集. 此时, 我们称集合I 为全集或基本集. 称I\A 为A 的余集或补集, 记作A C . 集合运算的法则: 设A 、B 、C 为任意三个集合, 则 (1)交换律A ?B =B ?A , A ?B =B ?A ; (2)结合律 (A ?B )?C =A ?(B ?C ), (A ?B )?C =A ?(B ?C ); (3)分配律 (A ?B )?C =(A ?C )?(B ?C ), (A ?B )?C =(A ?C )?(B ?C ); (4)对偶律 (A ?B )C =A C ?B C , (A ?B )C =A C ?B C .
(一)函数、极限、连续 一、选择题: 1、 在区间(-1,0)内,由( )所给出的函数是单调上升的。 (A);1+=x y (B);2x x y -= (C)34+-=x y (D)25-=x y 2、 当+∞→x 时,函数f (x )=x sin x 是( ) (A )无穷大量 (B )无穷小量 (C )无界函数 (D )有界函数 3、 当x →1时,31)(,11)(x x x x x f -=+-=?都是无穷小,则f (x )是)(x ?的( ) (A )高阶无穷小 (B )低阶无穷小 (C )同阶无穷小 (D )等阶无穷 小 4、 x =0是函数1 ()arctan f x x =的( ) (A )可去间断点 (B )跳跃间断点; (C )振荡间断点 (D )无穷间断点 5、 下列的正确结论是( ) (A ))(lim x f x x →若存在,则f (x )有界; (B )若在0x 的某邻域内,有()()(),g x f x h x ≤≤且),(lim 0 x g x x →),(lim 0x h x x →都存在,则),(lim 0 x f x x →也 存在; (C )若f(x)在闭区间[a , b ]上连续,且f (a ), f (b )<0则方程f (x )=0,在(a , b )内有唯一的实根; (D ) 当∞→x 时,x x x x x a sin )(,1)(==β都是无穷小,但()x α与)(x β却不能比. 二、填空题: 1、 若),1(3-=x f y Z 且x Z y ==1 则f (x )的表达式为 ; 2、 已知数列n x n 101 4- =的极限是4, 对于,101 1=ε满足n >N 时,总有ε<-4n x 成立的最小N 应是 ; 3、 3214lim 1 x x ax x b x →---+=+(b 为有限数) , 则a = , b = ; 4、 设 ,)(a x a x x f --=则x =a 是f (x )的第 类 间断点; 5、 ,0 , ; 0, )(,sin )(?? ?>+≤-==x n x x n x x g x x f 且f [g (x )]在R 上连续,则n = ; 三、 计算题: 1、计算下列各式极限: (1)x x x x sin 2cos 1lim 0-→; (2)x x x x -+→11ln 1lim 0;
1 第一章 函数极限与连续 高等数学可以说是变量数学,它的研究对象、研究方法与初等数学相比都有相当大的差异。它主要研究对象是函数,它的主要内容是微积分学,它的主要手段是以极限为工具,并在实数范围内研究函数的变化率及其规律性,从而产生微积分的基本概念及性质。本章主要介绍函数的概念及其基本性质;数列与函数的极限及其基本性质;连续函数的概念及其基本性质,为进一步学好函数的微积分打下一个良好的基础。 第一节 函数的概念 一、几个基本概念 1 常量与变量 在日常生活或生产实践中,观察某一个事件的结果往往是用一个量的形式来表现的,在观察的某一个过程中始终保持不变的量称之为常量,经常变化的量称之为变量。通常用小写字母a 、b 、c …… 等表示常量,用小写字母x 、y 、z 、…… 表示变量。 例如:圆周率π是永远不变的量,它是一个常量;某商品的价格在一定的时间段内是不变的,所以,在这段时间内它也是常量;又如一天中的气温,工厂在生产过程中的产量都是不断变化的量,这些量都是变量。 注意: 1 常量和变量是相对的,它们依赖于所研究的过程和所研究的对象。在不同的过程中常量和变量是可以转化的。如商品的价格,某段时间是常量,另一段时间就有可能是变量了; 2 从几何意义上来表示,常量对应数轴上的定点,变量对应数轴上的动点。 2 集合、区间 集合是表示具有同一种属性的全体。 例如:某班的全体学生组成一个集合;长虹集团05年度的所有产品组成一个集合;所有正有理数仍组成一个集合等等。 有关集合的运算、集合的表示等方面的基本知识,中学数学已有介绍,这里就不一一赘述了 下面向读者介绍高等数学中常用的数集及其简明表示符号: 开区间:()b a ,={} | b x a x << ;