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2017-2019三年高考真题理科数学试题分类汇编:专题15 概率与统计(解答题)

专题15 概率与统计(解答题)

1.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液,每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:

记C为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值;

(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).【答案】(1)a=0.35,b=0.10;(2)甲、乙离子残留百分比的平均值的估计值分别为4.05,6.00.(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.

b=1–0.05–0.15–0.70=0.10.

(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为

2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.

乙离子残留百分比的平均值的估计值为

3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.

2.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10:10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.

(1)求P(X=2);

(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.

【答案】(1)0.5;(2)0.1.

(1)X=2就是10∶10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,

则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分.

因此P (X =2)=0.5×0.4+(1–0.5)×(1–0.4)=0.5.

(2)X =4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,

且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.

因此所求概率为[0.5×(1–0.4)+(1–0.5)×

0.4]×0.5×0.4=0.1. 3.【2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为

23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.

(1)用X 表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X 的分布列和数学期望;

(2)设M 为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M 发生的概率.

【答案】(1)分布列见解+析,()2E X =;(2)20243

. 【分析】本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.

(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为23,故2~(3,)3X B ,从而3321()C ()(),0,1,2,333

k k k P X k k -===. 所以,随机变量X 的分布列为

随机变量X 的数学期望()323

E X =?=. (2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y , 则2

~(3,)3Y B ,且{3,1}{2,0}M X Y X Y =====.

由题意知事件{3,1}X Y ==与{2,0}X Y ==互斥,

且事件{3}X =与{1}Y =,事件{2}X =与{0}Y =均相互独立,

从而由(1)知()({3,1}{2,0})P M P X Y X Y =====

(3,1)(2,0)P X Y P X Y ===+==

(3)(1)(2)(0)P X P Y P X P Y ===+==

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