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基于二叉树模型的期权定价

基于二叉树模型的期权定价
基于二叉树模型的期权定价

目录

摘要 (1)

ABSTRACT (2)

第一章绪论 (3)

1.1 背景介绍 (3)

1.2 本文的主题 (4)

第二章预备知识 (5)

2.1 期权 (5)

2.2二叉树方法 (6)

2.2.1 方法概述 (6)

2.2.2 二叉树方法的优点和缺点 (9)

2.2.3 风险中性定价 (9)

2.3 Black-Scholes 期权定价模型 (11)

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第三章本论 (14)

3.1期权定价的二叉树模型 (14)

................................................ 错误!未定义书签。

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................................................ 错误!未定义书签。

................................................ 错误!未定义书签。

3.2 例子模拟计算和结果分析 (18)

3.3 模型改进——三叉树 (19)

第四章结论...................................... 错误!未定义书签。谢辞及参考文献 (23)

谢辞 (23)

参考文献 (23)

附录 (25)

计算过程中涉及算法 (25)

摘要

Black-Scholes 期权定价模型为期权定价尤其是欧式期权定价提供了良好的解析结果,而Black-Scholes 公式是此模型的核心,但是此公式并不能很好地求解出在很多衍生模型例如亚式期权以及美式期权中的解析解。二叉树方法作为一种数值方法,同时也是图论中一种重要方法,应用于期权定价问题中,它有了更特别的演变。本文利用二叉树方法计算期权定价的数值解,用二叉树方法迭代多次,求出较为准确的期权价格。通过B-S公式得出的结果与二叉树方法得到的结论对比,分析二叉树方法模拟的优点和缺点。同时,我们还要研究二叉树模拟的步数与预测结果和精度间的关系,从而更加深入了解二叉树方法。然而,我们在模型中设立了许多条件,这些都使模型离真实情况越来越远,我们必须不断发展模型,完善模型。三叉树方法正是二叉树方法的合适补充。

关键词:二叉树方法,Black-Scholes 模型,风险中性定价

ABSTRACT

Black-Scholes Formula is the core of Black-Scholes Option Pricing Model which provides a practical method for option pricing. It has analytical solutions with good properties in some special situations, for instance, European options. However, the analytical solution is difficult to find in many derivative models like Asian options and American option. As a sort of typical statistical simulation method,Binomial tree plays very important roles in Graph Theory and other significant academic fields. W h e n i t a p p l i e s t o t h e o p t i o n p r i c e,b i n o m i a l

t r e e m e t h o d h a s m u c h m o r e s p e c i a l u s e.The main idea is that we put the binomial tree into effect,reapply this method and get numerical results of option price.By comparing the results of Black-Scholes formula with the results of binomial tree method,we come to the advantages and disadvantages of both method. Meanwhile,the study of the steps of binomial tree method is also included to get its relationship with the method’s results and accuracy,which leads us to understand this method deeply and rightly.However,we set many extra conditions,which pushes the situation further away from the real situation.The simple binomial tree method is supposed to be improved constantly in case the finance market changes ceaselessly.

Ternary tree is a good supplement for the binomial tree.

Key words: B i n o m i a l t r e e method, Black-Scholes option

pricing model,Risk-neutral valuation

第一章绪论

1.1 背景介绍

金融数学这门学科是随着金融市场崛起后产生的一门衍生学科,作为为金融学和数学的交叉学科,它的主要想法就是收集大量金融市场中的实际数据,建立适当的数学模型并不断进行优化,利用一系列的现代数学工具(例如概率论、随机分析以及程序辅助)研究风险资产如金融衍生产品的定价,同时尽可能规避投资风险以及选择最优的消费投资策略。期权交易作为金融衍生品中的重要部分,18世纪后期在美国与欧洲市场有了初步的雏形,发展初期交易制

度以及人们对这种新兴金融产品的认识还十分有限。那时的期权主要由商业自营者自己提出报价然后由出资人选择购买,因此商业自营者的报价一定会偏向于对自己有利的价格,正是由于这种不完备性期权交易的发展在当时一直受到各种因素的限制。到了1973年,横空出世的芝加哥交易所规范了期权合约标准了后期交易流程,使这种情况得到改善。

期权相关的研究从这种金融衍生品诞生起就开始了,金融从业者和投资者们想要依靠各种不同数学以及计算机工具来分析期权,想要从供求机制引导的市场波动中找出期权变化发展的隐藏规律,从而使自己获得最大的利润。1973 年,Black和Scholes得出的期权定价模型的出现是对于金融数学研究有重大

意义,尤其是在期权定价方面,它是在金融市场的基本准则上建立的,模型在提出之后又经过不同的研究人员改进,基本符合市场的变化规律,并依此可以对未来的期权价格进行定价研究。令很多数学家和金融学家欣喜的一点就是Black和Scholes得出的期权定价模型在欧式期权的应用中有着性质优良的解析解,这一点让很多人眼前一亮同时也为其它更加复杂的衍生品的研究打下了良好的基础。

随着这个模型的广泛应用,人们发现这个模型还是具有一定缺陷。正如很多这样的预测一样,在长期市场大环境下这个模型也许还有着不错的效果,然而金融市场越来越复杂,单纯的数学层面上的技术分析得到的结论往往不是那么尽如人意,于是人们开始不断的发展模型,向里面加入各种各样的新型变量,从而使其更加符合一小段时间下特定市场状况以得到更好的期权定价结果。但是这又带来另一个问题,随着模型越来越复杂,变量越来越多,计算模型的难度越来越大,求得解析解的情况已经很少,即使用一些现代的数学计算工具和软件,求解单个复杂的微分方程也是相当耗费时间和资源的,更不必说对于一些大的基金公司,要同时追踪上千上万只期权和股票,那么找到一个快速而且相对精准的计算方法就显得非常必要了。

1.2 本文的主题

使用风险中性原则进行定价是Black-Scholes模型构造原则之一,此方法使得用这个模型得到的期权价格实质上是一个期望。其本身就是一个随机问题,那么我们要估计其数值解很自然的就可以想到数值模拟的算法。二叉树方法正是典型的的随机模拟算法之一,其思路清晰,且没有涉及过多复杂运算,

是数值方法模拟的极优选择。对于计算机而言,如果采用数值模拟算法,就可以避免直接进行一些复杂微分方程的求数值解时不停地执行迭代循环的问题,大幅提升计算机运算速度。这主要是基于以下原因,首先,二叉树方法简洁易懂,不需要过多的数学及统计基础,只是基于概率论以及利息理论等简单内容的算法,另外,作为计算机模拟方法,二叉树方法过程并不复杂,计算量相对较小,一般只需30步迭代即可求得比较精确的期权价格,还有二叉树方法作为简单的模拟方法还有很大的发展空间,比如三叉树以及有股息的二叉树都是简单二叉树方法的发展。

第二章预备知识

2.1 期权

期权又被叫做选择权,它是在期货的基础上产生的一种衍生金融工具。具体是指在未来一定时期可以进行买卖的权利,是买方向卖方支付一定数量的金额(权利金)后拥有的在未来一段时间内或未来某一特定日期以事先规定好的价格即执行价格向卖方购买或售出一定数量的特定标的物的权利,但不负有必须买进或卖出的义务。所以从本质上讲,期权的实质上是在金融市场交易中将权利进行定价,使得权利的拥有者在规定时间内对于是否进行交易,行使其权利,而义务方必须履行。在期权的交易中,购买期权的一方称作买方,而出售期权的一方则叫做卖方;权利的拥有者称为买方,而义务的承担者则被叫做卖方。

期权又细分为两种:看涨期权和看跌期权。持有看涨期权的人可以在将来

某特定时间选择使用该权利以某一确定价格即执行价格买入一定量的某种资产,持有看跌期权的人则可以在将来某特定时间选择使用该权利以某一特定价格卖出一定量的某种资产。我们平时所说的欧式期权、美式期权和由基本期权衍生的亚式期权是根据不同种类期权行使时间的差别而产生的。本文中,我们主要讨论欧式期权。欧式期权的特征为:期权持有人也即期权的长头寸方只有在期权到期日此特定时刻才能选择是否行使期权。这也为我们建立模型以及统计计算提供了便利。

举一个简单的例子:投资者购买了一份股票的欧式看涨期权,期权合约表明该合约的持有者可以在3个月之后以20元的价格买入一份大豆。3个月后的履约日,一份股票的价格涨到了22元,那么,该合约的持有者可以履行该合约,以20元的价格买入一份股票然后再以22元的当时市场价卖出,从而赚得了2元的差价。

2.2二叉树方法

2.2.1 方法概述

二叉树方法、蒙特卡洛方法以及微分方程的有限差分方法等都是期权定价的重要方法,其中二叉树方法是对期权和其他衍生品进行估算而普遍使用的一种数值模拟方法。

Cox,Ross和Rubinstein在1979年提出的二叉树法是现在较为成熟的二叉树方法的思想基础,二叉树法中树图如下图所示,表示衍生品资产价格在有效期内按一定规律可能遵循的路径,从而更明显地分析真实期权,而且得出的

模拟结果与Black-Scholes 公式得到的结果是等价的,尤其是当二叉树方法的步数足够大的时候,二叉树方法得出的数值解与B-S 公式得到的解析解基本没有差异。

我们首先来讨论一步二叉树中各节点股票价格以及期权价格,假设初始0时刻股票价格为S 0,股票期权的价格为f ,T 表示期权的有效期,在期权此有

效期内,股票的价格可能会由S 0上涨到S 0u ,也有可能从S 0下跌到S 0d ,其中

u>1,d<1。当股票涨价时,这支股票价格增长的比率为u-1。当股票降价时,这支股票价格下跌的比率为1-d 。假设如果股票价格变到S 0u ,相应的期权价

格为f u ;而股票价格变为S 0d 时,期权价格为f d 。结果如图所示。

S 0u f u

S 0

f

S 0d f d

例如,我们将一个X 股股票的长头寸和一份期权的短头寸组成一个交易组合。我们能够找到一个实数X 使得当前交易组合不具有任何风险。期权到期时的价值在股票价格上涨时为

S 0uX-fu

期权到期时价值在股票价格下降时为

S 0dX-fd

令以上两个值相等,即

S 0uX-f u =S 0dX-f d

我们得出

这时的交易组合根据开始的假设应当是无风险的,由此它的收益率一定会等于无风险利率。上式表示,在时间T 当股票在两个节点之间变动时,X 为期权价格变化与股票价格变化的比率。

如果我们将此交易组合的无风险利率用r 表示,则此交易组合的贴现值应为 而当前交易组合的在0时刻的成本应为

S 0X-f

所以

将X 的表达式带入上式并进行化简,则有

[(1)]rT u d f e pf p f -=+- (2.1)

其中

rT e d p u d -=- (2.2)

当股票的价格代入如上方法设置的一步二叉树当中时,这一系列式子可以来对期权进行一步定价。

2.2.2 二叉树方法的优点和缺点

优点:二叉树方法可以在多种期权(例如美式期权和欧式期权)中进行应用,原理简洁明确是其最大的优势,并且在前人的努力下,简单二叉树模型已经比较完善,其中的参数设置已经比较成熟,相对于其它模拟(如蒙特卡洛方法)方法来讲,二叉树方法需要的初始数据较少,适合大体趋势的模拟。 缺点:二叉树方法作为数值模拟方法,其随机性没有典型的随机模拟方法那么好,毕竟股票价格是在一定规律下随机波动,缺少随机性的设置使得二叉树模拟并不精确,尤其是在步数较少的情况下,而在步数过大时,计算复杂度较高,会耗时耗力。

2.2.3 风险中性定价

风险中性定价是二叉树方法以及B-S 公式模型中一个重要的原理和原则,所谓的风险中性定价(risk-neutral valuation ):指当对衍生品定价时,我们可以假设投资者是风险中性的。这个假设具体是指投资风险增长时,投资者并不需要额外的预期回报率。我们将所有的投资者都是风险中性的世界定义为

风险中性世界(risk-neutral world)。当然,我们所生活的世界不是风险中性的,投资者所承受的风险越大,要求的回报也会越高。然而,我们发现当假设世界是风险中性时,给出衍生产品价格不但在风险中性世界是正确的,在我们所生活的世界里也是正确的。对于买方和卖方对于投资风险的厌恶程度这种感性的内容,我们无法用精确的数字来衡量,所以我们不得不设法躲避这个变量,而风险中性定价原则正好迎合了我们的需求。

此假设看起来有点问题,但我们经过反复考证就会有欣喜的发现:虽然投资者对风险会有喜恶,例如当投资者更喜欢大风险带来的高额利益时,股票价格会上涨,然而我们这里讨论的是期权价格与股票价格的关系,两个价格都会发生变化,但是此二者之间关系是稳定的。

风险中性世界中的两个特殊性质能巧妙地简化对期权等衍生品的定价:股票等投资的收益率期望在风险中性世界里是无风险利率

用于对期权等债权的收益期望值贴现的利率也等于无风险利率。

式(2.1)中参数p应当被理解为在风险中性世界里股票价格上涨的概率,而1-p则是相应的股票价格下跌的概率。表达式

的值则是期权到期日也即T时刻的收益在风险中性世界条件下的期望值,式(2.1)可以表达为期权今天的价值等于其收益在风险中性世界期望值的以无风险利率贴现所得的现值。这正是风险中性原则定价的一个应用。

为了证明我们对p的理解是合理的,当上涨概率为p时,股票在T时收益

的期望E(S

)为

T

将式(2.2)中p代入公式,得

以上公式说明当股票价格上涨概率为p时,资产的增长速度由无风险利率r给出。也即股票价格变化行为正如当p为价格上涨概率时在风险中性世界我们所期望的那样,当股票按二叉树的方式变化时,风险中性定价是正确的。2.3 Black-Scholes 期权定价模型

Black-Scholes 期权定价模型也经常被人们叫做 Black-Scholes-Merton 期权定价模型,主要是用来进行期权价格以及收益期望的计算和估计。这个模型的主要研究人员从两个不同的方向研究了期权定价问题,麦伦·斯科尔斯与费希尔·布莱克利用了资本资产定价模型来确定市场对期权所要求的回报与对股票所要求的回报之间的关系。而罗伯特·默顿所采用的方法主要采用了风险中性原则。即在一个很短的时间段内,由股票和期权给出的投资组合的回报率可以看做无风险利率。相对于前面两位研究者,默顿的方法更具有一般性。现在为金融研究者熟知并广泛应用的Black-Scholes期权定价模型正是基于默顿的方法和研究推导出来的。

之前在二叉树方法中我们已经引入了风险中性定价理论,在B-S定价模型中,风险中性定价原则也是非常重要的,布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程不涉及任何受投资者对风险选择影响的变量。股票的当前价格、到截止日期前时

间、股票价格波动率和无风险利率这些变量是方程中的所有变量,而它们均与风险选择无关。由于布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程与风险选择无关,我们可以利用一种巧妙的方法:如果风险选择在方程中不出现,那么它不会影响方程的解。因此,在计算0时刻期权价格f时,任何一组风险选择都可以被当做实际情况进行计算,特别地,可以假设所有的投资者均是风险中性的。

在应用风险中性定价计算的过程中,需要假设标的资产的期望收益率为无风险利率,由此用无风险利率对收益期望进行贴现求解。对于风险中性的投资者而言,他们不愿意用额外的风险换取额外的回报,因此在分析时利用风险中性假设可以大大简化分析的过程。

·不存在无风险套利机会

·模型研究的期权种类假定只为欧式期权

·股票的价格服从对数正态分布,而同时股票的收益率服从正态分布

·在期权有效期内,也即到期日前,无风险利率和股票的收益变量是常量·无税收和交易成本

·股票在期权有效期内没有股息

B-S微分方程

的解是关于看涨期权与看跌期权最着名的定价公式,分别为

式中

式中的N(x)表示标准正态分布的概率分布函数,也就是说这一函数等于服从标准正态分布的随机变量其值小于x的概率。此外,c表示欧式看涨期权的价

表示股票在初始0时刻的价格,K为期权在格,而p则为看跌期权的价格,S

到期日的执行价格,r表示连续复利的无风险利率,股票价格的波动率由σ给出,T表示从起始时刻到执行时刻的时长。

考虑最基本的欧式看涨期权,风险中性世界里,期权到期时的期望值是式中ê表示在风险中性世界里的期望值。从风险中性定价方法我们可得,欧式看涨期权的价格等于这个期望值以无风险利率贴现后的现值,也就是说

第三章 本论

3.1期权定价的二叉树模型

在这里我们只讨论欧式看涨期权没有股息且无套利的情况,这是由二叉树方法在此条件下有着性质十分良好的解析解决定的。由于近些年金融市场的发展、改革和完善,Black-Scholes 的初始模型的拟合优良程度已不如模型刚问世的时候,我们不断研究发展这个公式,同时添加各种可能参数,这样作为B-S 公式给出的理论值与二叉树方法进行比照,这两种方法的对照使我们辩证的看待它们的准确性,具体分析问题,讨论当参数取值不同时,B-S 公式以及二叉树方法的合理性,以便及时判断误差是来自模型本身的系统误差还是由二叉树方法本身所造成的。

要利用二叉树方法进行模拟计算就需要确定模型中的p,u 及d 。我们

设置以及选择这三个参数的目的中最终要的就是必须保证股票价格在时间t V 内的均值以及波动的方差都给出合理的值。由于我们假定了风险中性世界,将无风险利率r 视为股票的收益率期望,如果资产提供收益率q 的收入(如股息),那么资本增值的部分的收益率期望应该由r-q 给出,

这意味着在一个时间段t V

末,资产价格的期望值为()r q t Se -?,式中S 为资产在开始时也即0时刻的价格。要使二叉树模型与回报期望值相对应,我们应有

()(1)r q t e pu p d -?=+- (3.1)

将资产价格在t ?时间内增减变化的百分比变化记为R ,那么1+R 等于u 的概率为p ,而其值等于d 的概率为1-p 。由上式以及方差计算公式得

因为加减常数变量方差不变,所以R 的方差与1+R 的方差相同。

由股票价格服从过程

以及其离散形式

以及其性质

其中ε服从标准正态分布,得

由此可知,当t ?很小时,2t σ?近似地等于在t ?时间内股票价格变化百分比的

方差。因此

由式(3.1)得出,()22()(1)r q t e u d pu p d ud -?+=+-+,因此

()2()2()r q t r q t e u d ud e t σ-?-?+--=? (3.2) 式(3.1)和(3.2)给出了决定p 、u 及d 的两个条件,Cox 、Ross 和

Rubinstein 选取的第三个条件为 1u d = (3.3) 当忽略式中t ?的高阶项时,式(3.1)(3.2)(3.3)的解为

式中

变量a 有时也被称为增长因子。

模型中还有很重要的一个参数σ为股票价格波动率,关于波动率的计算方法有多种,比较常用的两种分别为:由历史股票价格数据来估计波动率和使用历史期权价格与B-S 公式的解析解来反推波动率。我们选择第一种方法求解:首先,我们要获取n+1个股票样本,新定义1

ln()i i i S S μ-=,根据股票价格服从对数正态分布以及其均值、方差我们可得i μ

的标准差为τ为时间区

间的长度。那么波动率的估计为σ=,也就是

如图所示,在时间0时,股票的价格S 0为已知;在时刻t ?时,其价

格有两种可能的值:S 0u ,S 0d ;在时刻2t ?时,股票价格有三种可能的值

分别为:S 02u ,S 0,S 02d ;以此类推。

S 0u 4 S 0u 3

S 0u 2 S 0u 2

S 0u S 0u

S 0 S 0 S 0

S 0d S 0d

S 0d 2 S 0d 2

S 0d 3

S 0d 4

在一般情形下,在时刻i t ?时,价格有取i+1种值的可能,它们是

图中,计算每一节点资产价格时,采用了关系式1u d

=,例如,当i=3和j=2时资产价格为200S u d S u =。此外,树中节点是重合的,即资产价格先上涨再下跌和先下跌再上涨所得出的值是一样的。

通过在期权到期日即时间T (树的末端)的期权价格由反向归纳

(backwards induction )的方式可以对期权进行定价。期权在时刻T 时的价格是已知的,例如看涨期权的价格为max(,0)T S K -,而看跌期权的价格为max(,0)T K S -,其中S T 为股票在时刻T 时的价格,K 为执行价格。因

为我们假定交易发生在风险中性世界中,在T t -?时刻每一节点上的期权价值等于将T 时刻期权价值的期望值以无风险利率r 在时间区间t ?上进行贴现。类似的,在2T t -?时刻每一个节点上的期权价值可以将T t -?时刻的期权价值的期望值以无风险利率进行贴现来求得,并以此类推。

假定一个欧式期权的期限分为N 个长度为t ?的时间区间。我们称在时

间i t ?的第j 个节点为(,)i j 节点,其中0,0i N j i ≤≤≤≤。令,i j f 为期权在

(,)i j 节点上的值,标的资产在(,)i j 节点上的价格为0j i j S u d -。如果是看涨期权,它在时间T (到期日)的值为max(,0)T S K -,因此

,0max(,0)j N j N j f S u d K -=-,(0,1,)j N =L

如果是看跌期权,它在到期日的值为max(,0)T K S -,因此

,0max(,0)j N j N j f K S u d -=-,(0,1,)j N =L

在i t ?时,从(,)i j 节点移动到(1)i t +?时刻,到(1,1)i j ++节点的概率为p ,到(1,)i j +节点的概率为1p -。由于是欧式期权,到期日才能被行

使,由风险中性定价原理可以得出,对01i N ≤≤-和0j i ≤≤,

3.2 例子模拟计算和结果分析

对于例子:一支无股息股票为欧式看涨期权,期限为5个月,股票当前价格为50元,执行价格为40元,无风险利率为每年10%,波动率为每年40%。如图(1)所示,经二叉树模拟计算得期权定价为12.52元,而由Black-Scholes 公式算得期权价格约为11.65元。

当上例中执行价格分别变为50元和30元时,二叉树方法模拟结果分别如图(2)(3)所示,约为6.09元和21.27元,B-S 公式算得结果分别为2.39元和21.22元。

当上例中期权执行价格分别变为60元和20元时,如图(5)所示,由二叉树模拟价格分别为2.52元和30.82元,由Black-Scholes 公式模拟的结果

基于二叉树模型的期权定价

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第三章本论 (14) 3.1期权定价的二叉树模型 (14) ................................................ 错误!未定义书签。 ................................................ 错误!未定义书签。 ................................................ 错误!未定义书签。 ................................................ 错误!未定义书签。 3.2 例子模拟计算和结果分析 (18) 3.3 模型改进——三叉树 (19) 第四章结论...................................... 错误!未定义书签。谢辞及参考文献 (23) 谢辞 (23) 参考文献 (23) 附录 (25) 计算过程中涉及算法 (25)

摘要 Black-Scholes 期权定价模型为期权定价尤其是欧式期权定价提供了良好的解析结果,而Black-Scholes 公式是此模型的核心,但是此公式并不能很好地求解出在很多衍生模型例如亚式期权以及美式期权中的解析解。二叉树方法作为一种数值方法,同时也是图论中一种重要方法,应用于期权定价问题中,它有了更特别的演变。本文利用二叉树方法计算期权定价的数值解,用二叉树方法迭代多次,求出较为准确的期权价格。通过B-S公式得出的结果与二叉树方法得到的结论对比,分析二叉树方法模拟的优点和缺点。同时,我们还要研究二叉树模拟的步数与预测结果和精度间的关系,从而更加深入了解二叉树方法。然而,我们在模型中设立了许多条件,这些都使模型离真实情况越来越远,我们必须不断发展模型,完善模型。三叉树方法正是二叉树方法的合适补充。 关键词:二叉树方法,Black-Scholes 模型,风险中性定价

欧式看涨期权二叉树定价

欧式看涨期权二叉树定价(含m a t l a b代码和结果图)实验概述 本实验首先介绍了二叉树方法的来源和主要理论基础,然后给出期权的二叉树定价方法的基本过程和MATLAB7. 0实现的过程。 19. 2 实验目的 (1)了解二叉树的定价机理; (2)掌握用MATLAB7. 0生成股票价格的二叉树格子方法; (3)掌握欧式期权和美式期权的二叉树定价方法。 19. 3 实验工具 MATLAB 7. 0。 19. 4 理论要点 构造二叉树图(Binomial Tree)是期权定价方法中最为常见的一种。这个树图表示了在期权有效期内股票价格可能遵循的路径。二叉树定价方法与风险中性定价理论是紧密联系的。Cox, Ross & Rubinstein (1979)首次提出了构造离散的风险中性概率可以给期权定价,在此基础上他们给出了二叉树定价方法。 1)一个简单的例子 假设当前(3月份)股票的价格So =50元,月利率是25%。4月份股票价格有两种可能:S高=100元,S低=25元。有一份看涨期权合约,合约约定在4月份可以以50元价格买进一股股票。现在考虑一个投资组合,进行几项操作:以价格C卖出3份看涨期权合约;以50元购入2股股票;以25%的月利率借人40元现金,借期为一个月。 根据上述组合,我们可以得到以下到期收益分布表,如表19. 1所示。 表19.1 投资组合的到期收益分布表 四月份 三月份

S低=25元S高=100元 卖出3份看涨期权合约3C 0 -150 买人两股股票-100 50 200 借人现金40 -50 -50 总计0 0 0 由一价定律3C-100+40=0,可得C= 20元,即为期权的价格。这个例子说明,可以用一个相当简单的方法为期权定价,唯一需要做的是假设对投资者而言不存在套利机会。我们可以通过某种方式构造一个股票和期权的组合,使得在4月份该组合的价值是确定的。于是我们可以说该组合无风险,它的收益率一定等于无风险收益率。二叉树方法正是基于上述思想构造了二项分布下的风险中性概率。 2)二叉树模型 考虑一个不支付红利的股票期权价格估值。我们把期权的有效期分为很多很小的时间间隔Δt。假设在每一个时间段内股票价格从开始的价格S以概率p上升到Su,以概率1-p下降到Sd,其中,u>1,O

二叉树期权定价法22222

二叉树期权定价法 摘要上世纪七十年代以来金融衍生品得到了蓬勃的发展,在这之中,期权的地位尤为受到重视,居于核心地位,很多的新创的衍生品,都包含了期权的成分。所以一直以来,期权的定价问题受到了大量经济学家的探索。实物期权的定价模式的种类较多,理论界和实务界尚未形成通用的定价模型,主要估值方式有两种:一是B l a c k-S c h o l e s期权定价模型;二是二叉树期权定价模型。 1973年,布莱克和斯科尔斯(B l a c k a n d C s c h o l e s)提出了 B l a c k-S c h o l e s期权定价公式,对标的资产的价格服从正态分布的期权进行定价。随后,罗斯开始研究标的资产的价格服从非正态分布的期权定价理论。1976年,约翰·考克斯(J o h n C a r r i n g t o n C o x)、斯蒂芬·罗斯(S t e p h e n A.R o s s)在《金融经济学杂志》上发表论文“基于另类随机过程的期权定价”,提出了风险中性定价理论。1979年,约翰·考克斯(J o h n C a r r i n g t o n C o x)、斯蒂芬·罗斯(S t e p h e n A.R o s s)、马克·鲁宾斯坦(M a r k R u b i n s t e i n)在《金融经济学杂志》上发表论文“期权定价:一种简单的方法”,该文提出了一种简单的对离散时间的期权的定价方法,被称为C o x-R o s s-R u b i n s t e i n二项式期权定价模型。 关键词 B l a c k-S c h o l e s期权定价模型虽然有许多优点,但是它的推导过程却是难以为人们所接受;二叉树期权定价模型假设股价波动只有

二叉树定价模型知识讲解

二叉树定价模型

期权定价的二叉树模型 Cox、Ross和Rubinstein提出了期权定价的另一种常用方法二叉树(binomial tree)模型,它假设标的资产在下一个时间点的价格只有上升和下降两种可能结果,然后通过分叉的树枝来形象描述标的资产和期权价格的演进历程。本章只讨论股票期权定价的二叉树模型,基于其它标的资产如债券、货币、股票指数和期货的期权定价的二叉树方法,请参考有关的书籍和资料。 8.1一步二叉树模型 我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。 例8.1 假设一只股票的当前价格是$20,三个月后该股票价格有可能上升到$22,也有可能下降到$18. 股票价格的这种变动过程可通过图8.1直观表示出来。 在上述二叉树中,从左至右的节点(实圆点)表示离散的时间点,由节点产生的分枝(路径)表示可能出现的不同股价。由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长,图8.1表示的二叉树称为一步(one-step)二叉树。这是最简单的二叉树模型。

一般地,假设一只股票的当前价格是,基于该股票的欧式期权价格为。经过一个时间步(至到期日T)后该股票价格有可能上升到相应的期权价格为;也有可能下降到 相应的期权价格为. 这种过程可通过一步(one-step)二叉树表示出来,如图8.2所示。我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。 为了对该欧式股票期权定价,我们采用无套利(no arbitrage)假设,即市场上无套利机会存在。构造一个该股票和期权的组合(portfolio),组合中有股的多头股票和1股空头期权。如果该股票价格上升到,则该组合在期权到期日的价值为;如果该股票价格下降到,则该组合在期 权到期日的价值为。根据无套利假设,该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等,即有 由此可得 (8.1) 上式意味着是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。在这种情况下,该组合是无风险的。以表示无风险利率,则该组合的现值(the present value)为 ,又注意到该组合的当前价值是,故有 即

金融工程-二叉树模型——期权定价方法试验报告---用于合并

期权定价(二叉树模型)实验报告1204200308 学号:1201 姓 名:郑琪瑶班级:创金 一、实验目的计算出支付连续红利率资产Excel 本实验基于二叉树模型对 期权定价。利用的期权价格,并探究输入参数(如无风险利率、波动率、期限、时间区间划分方从而巩固二叉树模型这种期权定价的数对于期权价格的影响,式、收益率等等)值方法的相关知识。 二、实验原理的红利时,在风险中性条件下,证券价格的当标的资产支付连续收益率为q应该满足以下,因此参数(股票价格上升的概率)、、增长率应该为pq?r u d式子:tq)?(r?dpe)(?pu?1?;同时在一小段时间内股票价格变化的方差 满足下式:2222?]p1?)p)dd?[pu?(?t?pu?(1?;1,将三式联列,可以解考克斯、罗斯和鲁宾斯确定参数的第三个条件是?u d)得(*(r?q)?t??edp?? u?d????t u?e????t?d?e???t?0?三、实验内容 1.假定有一支付连续红利率股票的美式看涨期权,有效期期限为5个月,目前 的股票价格和期权执行价格都为50元,无风险利率为10%,波动率为40%,连续收益率为3%,为了使得估计的期权价格比较准确,把时间区间划分成30步,即N=30,利用excel加载宏可以计算得到相应美式和欧式期权的价格 2.探究基于不同红利支付类型:支付已知收益率和支付已知红利数额,计算出相应的美式和欧式期权价格。 3.以支付已知收益率模式下分析期权价格。使资产连续复利收益率在[1%,10%]变化,保持其余变量不变,分别计算出相应美式f和欧式f期权的价格21 4.以支付已知红利数额模式下分析期权价格。探究下一期的红利支付数额为常数、递增及递减情况下,保持其余变量不变,分别计算出相应美式和欧式期权的价格。 5.根据上述每一步计算得到的当期期权价格的数据绘制折线图,观察折线图,得出结论。 四、实验过程:步骤一:输入已知参数输入参数支付连续收TRSX N 步数无风险利率波动率σ股票价格期限期权执行价格0RC益率9.00% 5 50.00

第九章 期权估价-二叉树期权定价模型

2015年注册会计师资格考试内部资料 财务成本管理 第九章 期权估价 知识点:二叉树期权定价模型 ● 详细描述: 一、单期二叉树模型 关于单期二叉树模型,其计算结果与前面介绍的复制组合原理和风险中性原理是一样的。 以风险中性原理为例: 根据前面推导的结果: 代入(1)式有: 二、两期二叉树模型 如果把单期二叉树模型的到期时间分割成两部分,就形成了两期二叉树模型。由单期模型向两期模型的扩展,不过是单期模型的两次应用。 三、多期二叉树模型

原理从原理上看,与两期模型一样 ,从后向前逐级推进 乘数确定期数增加以后带来的主要问题 是股价上升与下降的百分比如 何确定问题。期数增加以后 ,要调整价格变化的升降幅度 ,以保证年收益率的标准差不 变。把年收益率标准差和升降 百分比联系起来的公式是: u=1+上升百分比= d=1-下 降百分比= 其中:e=自然常 数,约等于2.7183 σ=标的资 产连续复利收益率的标准差 t=以年表示的时间长度(每期 时间长度用年表示) 做题程序: (1)根据标准差和每期时间间隔确定每期股价变动乘数(应用上述的两个公式) (2)建立股票价格二叉树模型 (3)根据股票价格二叉树和执行价格,构建期权价值的二叉树。 构建顺序由后向前,逐级推进。——复制组合定价或者风险中性定价。 (4)确定期权的现值 例题: 1.如果股票目前市价为50元,半年后的股价为51元,假设没有股利分红,则 连续复利年股票投资收益率等于()。 A.4% B.3.96% C.7.92% D.4.12% 正确答案:B 解析:r=ln(51/50)/0.5=3.96%

二叉树定价模型

.. 期权定价的二叉树模型 Cox、Ross和Rubinstein 提出了期权定价的另一种常用方法二叉树(binomialtree )模型,它假设 标的资产在下一个时间点的价格只有上升和下降两种可能结果,然后通过分叉的树枝来形象描述标的资产 和期权价格的演进历程。本章只讨论股票期权定价的二叉树模型,基于其它标的资产如债券、货币、股票 指数和期货的期权定价的二叉树方法,请参考有关的书籍和资料。 8.1 一步二叉树模型 我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。 例8.1假设一只股票的当前价格是$20,三个月后该股票价格有可能上升到$22,也有可能下降到$18.股 票价格的这种变动过程可通过图8.1直观表示出来。 在上述二叉树中,从左至右的节点(实圆点)表示离散的时间点,由节点产生的分枝(路径)表示可能 出现的不同股价。由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长,图 8.1表示的二叉树称为一步 (one-step)二叉树。这是最简单的二叉树模型。 一般地,假设一只股票的当前价格是,基于该股票的欧式期权价格为。经过一个时间步(至到期 日T)后该股票价格有可能上升到相应的期权价格为;也有可能下降到 相应的期权价格为. 这种过程可通过一 步( one- step )二叉树表示出来, 如图 8.2

所示。我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。

.. 为了对该欧式股票期权定价,我们采用无套利(noarbitrage)假设,即市场上无套利机会存 在。构造一个该股票和期权的组合(portfolio),组合中有股的多头股票和1股空头期权。 如果该股票价格上升到,则该组合在期权到期日的价值为;如果该股票价格下降到,则该组 合在期权到期日的价值为。根据无套利假设,该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应 该相等,即有 由此可得 (8.1) 上式意味着是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。在这种情况下,该组合是无风险的。以表示无风险利率,则该组合的现值(thepresent value)为,又注意到该组合 的当前价值是,故有 即 将(8.1) 代入上式,可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为 (8.2) (8.3) 需要指出的是,由于我们是在无套利(noarbitr age )假设下讨论欧式股票期权的定价,因此无风险利率

二叉树定价模型

二项式期权定价模型 1.实验名称: 二项式期权定价模型 2.实验目的: 利用二叉树期权定价模型公式Excel 模板计算期权价格。 3.基本原理 计算到期时资产价值的分布,求出资产的期望值,用适当的贴现率计算现值,得到资产的当前价值。 (1) 计算n 期中上升i 次的概率: ()(1 )i i n i i n P n C p p -=-; (2) 计算在终期时的价格分布: ()0i n i ni S S u d -= (3) 计算期权的价值: ()0max(,0)i n i ni Call S u d K -=-,()0max(,0)i n i ni Put K S u d -=-; (4)计算终期时的期望值:0()n n ni i ECall P i Call == ∑,0()n n ni i EPut P i put ==∑; (5)计算期权在起初时刻的价值: ()00 (1)max(,0)n RT RT i i n i i n i n i Call e ECall e C p p S u d K ----===--∑ ()00(1)max(,0)n RT RT i i n i i n i n i Put e EPut e C p p K S u d ----===--∑。 4. 实验数据域内容 已知股票价格为50,执行价格为50,时间为半年,无风险利率为5%,波动率为20%,分为10个时间段,利用二叉树定价模型计算看涨看跌期权的价格。 5. 操作过程与结果 (1)定义变量的符号 在单元格B2—B14中分别输入S 、K 、T 、R 、VOL 、n 、dt 、u 、d 、G-factor 、D-factor 、p 分别表示股票价格、期权执行价格、期权有效期、无风险利率、股价波动率、时段数、时段、上升因子、下降因子、增长因子、贴现因子、风险中性概率。如图:

金融工程-二叉树模型——期权定价方法实验报告---用于合并

期权定价(二叉树模型)实验报告 班级: 创金1201 姓名: 郑琪瑶 学号: 08 一、实验目的 本实验基于二叉树模型对期权定价。利用Excel 计算出支付连续红利率资产的期权价格,并探究输入参数(如无风险利率、波动率、期限、时间区间划分方式、收益率等等)对于期权价格的影响,从而巩固二叉树模型这种期权定价的数值方法的相关知识。 二、实验原理 当标的资产支付连续收益率为q 的红利时,在风险中性条件下,证券价格的增长率应该为q r -,因此参数p (股票价格上升的概率)、u 、d 应该满足以下式子: d p pu e t q r )1()(-+=?-; 同时在一小段时间内股票价格变化的方差满足下式: 2222])1([)1(d p pu d p pu t -+--+=?σ; 考克斯、罗斯和鲁宾斯确定参数的第三个条件是d u 1 =,将三式联列,可以解 得(*) 三、实验内容 1. 假定有一支付连续红利率股票的美式看涨期权,有效期期限为5个月,目前 的股票价格和期权执行价格都为50元,无风险利率为10%,波动率为40%,连续收益率为3%,为了使得估计的期权价格比较准确,把时间区间划分成30步,即N=30,利用excel 加载宏可以计算得到相应美式和欧式期权的价格 2.探究基于不同红利支付类型:支付已知收益率和支付已知红利数额,计算出相 应的美式和欧式期权价格。 3.以支付已知收益率模式下分析期权价格。使资产连续复利收益率在[1%,10%]变 化,保持其余变量不变,分别计算出相应美式f 1和欧式f 2期权的价格 4.以支付已知红利数额模式下分析期权价格。探究下一期的红利支付数额为常 数、递增及递减情况下, 保持其余变量不变,分别计算出相应美式和欧式期权的价格。 5.根据上述每一步计算得到的当期期权价格的数据绘制折线图,观察折线图,得出结论。 四、实验过程: 步骤一:输入已知参数 步骤二:根据已知参数及式(*)原理,计算如下参数

期权定价

第八章期权定价的二叉树模型 8.1 一步二叉树模型 我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。 例8.1 假设一只股票的当前价格是$20,三个月后该股票价格有可能上升到$22,也有可能下降到$18. 股票价格的这种变动过程可通过图8.1直观表示出来。 在上述二叉树中,从左至右的节点(实圆点)表示离散的时间点,由节点产生的分枝(路径)表示可能出现的不同股价。由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长,图8.1表示的二叉树称为一步(one-step)二叉树。这是最简单的二叉树模型。 一般地,假设一只股票的当前价格是,基于该股票的欧式期权价格为。经过一个时间步(至到期日T)后该股票价 格有可能上升到相应的期权价格为;也有可能下降到相应的期权价格为. 这种过程可通过一步(one-step)二叉树表示出来,如图8.2所示。我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。为了对该欧式股票期权定价,我们采用无套利(no arbitrage)假设,即市场上无套利机会存在。构造一个该股票和期权 的组合(portfolio),组合中有股的多头股票和1股空头期权。如果该股票价格上升到,则该组合在期权到期 日的价值为;如果该股票价格下降到,则该组合在期权到期日的价值为。根据无套利假设,该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等,即有 由此可得 (8.1) 上式意味着是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。在这种情况下,该组合是无风险的。以表示无风险 利率,则该组合的现值(the present value)为,又注意到该组合的当前价值是,故有

即 将(8.1)代入上式,可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为 (8.2) (8.3) 需要指出的是,由于我们是在无套利(no arbitrage)假设下讨论欧式股票期权的定价,因此无风险利率应该满足: . 现在回到前面的例子中,假设相应的期权是一个敲定价为$21,到期日为三个月的欧式看涨权,无风险的年利率为12%,求该期权的当前价值。 已知:且在期权到期日, 当时,该看涨权的价值为而当时,该看涨权的价值为 根据(8.3)和(8.2),可得 . 上述期权定价公式(8.2)和(8.3)似乎与股价上升或下降的概率无关,实际上,在我们推导期权价值时它已经隐含在股票价 格中了。不妨令股价上升的概率为,则股价下降的概率就是,在时间的期望股票价格为

二叉树和三叉树的期权定价方法

第七章期权定价的二叉树和三叉树方法在这一章中,我们利用二叉树和三叉树方法为期权定价。在第2.1节中我们已经介绍了利用基础途径的二叉树方法解决期权价格不确定性的模型。二叉树方法依赖于对相关随机过程的离散化并利用计算和内存的结合以满足易于管理的要求。我们也在,我们必须把原来的单步格方法扩展到多步格方法,但是我们必须校对格使它能够反映出相关模型,且这个模型是连续时间、连续状态的随机微分方程。然后我们就可以推广到多步的二叉树格和三叉树格。 在7.1节中,我们从如何利用在离散概率分布的时刻下随机价格波动校准简单的二叉树格。从这点来看,弄清楚网格技术和蒙特卡洛模拟之间的联系是非常重要的,而利用时刻匹配技术缩减方差可以看作一种快捷的抽样排序。然后我们讨论内存效率的实现是如何设计的,美式期权定价是7.2节的主题。同时,还是要注重它和其他技术方法的联系。现在我们要做的本质上是一个非常简单满足动态规划原则的程序,我们将在第10章程序中进一步拓展。在7.3节中,我们把上述方法推广到双标的资产的情形,虽然这是一个最简单的情形,但是我们可以从这个情形中看出内存控制是这一情形的基础。另一种一般化的代表是三叉树格方法,三叉树格方法可以作为一种更普遍的有限差分方法(具体将在,最后,我们在7.5节中具体讨论网格化方法的优势和劣势。 期权定价的二叉树和三叉树格方法 图7.1 单时期二叉树格 7.1 二叉树定价方法

在,我们已经考虑过单步二叉树方法在无套利情况下的期权定价, 这里我们为了方便直接利用图7.1。其主要思想是复制两个资产,一 个是无风险资产,另一个是相关股票。利用这两项资产,我们可以通 过它们的组合塑造任何收益率的资产。如果我们令u 和d 为任意两个 价格的角标,我们可以看到期权的价格应该为0f 则, ])1([0d u t r f p pf e f -+=-δ (7.1) 在公式7.1中u f 和d f 是标的资产在涨跌两种情况的期权价格,p 是风 险中性前提下相关资产升值的概率。 为了寻找一个更好的不确定性模型,我们可以增加分类的情况, 复制期权收益,甚至我们可以使用更多的资产,或允许中间日期交易。 第二种可能性更为实际,并且也是必不可少的,例如,对于在期权的 存续期内可以随时执行的美式期权来说。对其求极限,就会得到连续 时间模型,并且其最后收敛于Black —sholes 方程。当Black —sholes 方程没有解析解的时候,我们必须采取一些离散化的途径,比如说可 以通过蒙特卡洛模拟从而估计出风险中性条件下预期收益,或者建立 一个自适应网格的有限差分方法去解决相应的PDE 模型。就像我们 在图7.2中展示的一样,多级二叉树格方法就是一种可以选择的离散 化方法。我们也可以考虑利用树图,但是要注意使计算方法易于控制。 二叉树格定价 图7.2 新生成的二叉树图 这里我们为了方便令d u /1=。虽然这个不是必须的,但是在后面 我们可以看到,这个假设令模型简化了很多即每上一步紧接着下一步 都会得到相同的初始价格。

欧式看涨期权二叉树定价

欧式看涨期权二叉树定价(含matlab代码和结果 图) 实验概述 本实验首先介绍了二叉树方法的来源和主要理论基础,然后给出期权的二叉树定价方法的基本过程和MATLAB7.0实现的过程。 19. 2 实验目的 (1)了解二叉树的定价机理; (2)掌握用MATLAB7. 0生成股票价格的二叉树格子方法; (3)掌握欧式期权和美式期权的二叉树定价方法。 19.3实验工具 MATLAB7. 0。 19. 4理论要点 构造二叉树图(Binomial Tree)是期权定价方法中最为常见的一种。这个树图表示了在期权有效期内股票价格可能遵循的路径。二叉树定价方法与风险中性定价理论是紧密联系的。Cox,Ross&Rubinstein(1979)首次提出了构造离散的风险中性概率可以给期权定价,在此基础上他们给出了二叉树定价方法。 1)一个简单的例子 假设当前(3月份)股票的价格So =50元,月利率是25%。4月份股票 价格有两种可能:S 高=100元,S 低 =25元。有一份看涨期权合约,合约约定在4月份

可以以50元价格买进一股股票。现在考虑一个投资组合,进行几项操作:以价格C卖出3份看涨期权合约;以50元购入2股股票;以25%的月利率借人40元现金,借期为一个月。 根据上述组合,我们可以得到以下到期收益分布表,如表19.1所示。 表19.1投资组合的到期收益分布表 四月份 三月份 =25元 S 低=100元 S 高 卖出3份看涨期权合约3C 0 -150 买人两股股票-10050 200 借人现金40 -50 -50 总计0 00 由一价定律3C-100+40=0,可得C=20元,即为期权的价格。这个例子说明,可以用一个相当简单的方法为期权定价,唯一需要做的是假设对投资者而言不存在套利机会。我们可以通过某种方式构造一个股票和期权的组合,使得在4月份该组合的价值是确定的。于是我们可以说该组合无风险,它的收益率一定等于无风险收益率。二叉树方法正是基于上述思想构造了二项分布下的风险中性概率。 2)二叉树模型 考虑一个不支付红利的股票期权价格估值。我们把期权的有效期分为很多很小的时间间隔Δt。假设在每一个时间段内股票价格从开始的价格S以概率p 上升到Su,以概率1-p下降到Sd,其中,u>1,O

第45讲_二叉树期权定价模型

(二)二叉树期权定价模型 1.单期二叉树定价模型 期权价格=×+× U:上行乘数=1+上升百分比 d:下行乘数=1-下降百分比 【理解】 风险中性原理的应用 其中: 上行概率=(1+r-d)/(u-d) 下行概率=(u-1-r)/(u-d) 期权价格=上行概率×C u/(1+r)+下行概率×C d/(1+r) 【教材例7-10】假设ABC公司的股票现在的市价为50元。有1股以该股票为标的资产的看涨期权,执行价格为52.08元,到期时间是6个月。6个月以后股价有两种可能:上升33.33%,或者降低25%。无风险利率为每年4%。 【答案】 U=1+33.33%=1.3333 d=1-25%=0.75 =6.62(元) 【例题?计算题】假设甲公司的股票现在的市价为20元。有1份以该股票为标的资产的看涨期权,执行价格为21元,到期时间是1年。1年以后股价有两种可能:上升40%,或者降低30%。无风险利率为每年4%。 要求:利用单期二叉树定价模型确定期权的价值。 【答案】期权价格=(1+r-d)/(u-d)×C u/(1+r)=(1+4%-0.7)/(1.4-0.7)×7/(1+4%)=3.27(元) 2.两期二叉树模型 (1)基本原理:由单期模型向两期模型的扩展,不过是单期模型的两次应用。 【教材例7-11】继续采用[例7-10]中的数据,把6个月的时间分为两期,每期3个月。变动以后的数据如下:ABC公司的股票现在的市价为50元,看涨期权的执行价格为52.08元,每期股价有两种可能:上升22.56%或下降18.4%;无风险利率为每3个月1%。 【解析】 P=(1+1%-0.816)/(1.2256-0.816)=0.47363 C U=23.02×0.47363/(1+1%)=10.80 C d=0 C0=10.80×0.47363/(1+1%)=5.06 (2)方法: 先利用单期定价模型,根据C uu和C ud计算节点C u的价值,利用C ud和C dd计算C d的价值;然后,再次利用单期定价模型,根据C u和C d计算C0的价值。从后向前推进。 3.多期二叉树模型 (1)原理:从原理上看,与两期模型一样,从后向前逐级推进,只不过多了一个层次。 (2)股价上升与下降的百分比的确定:

期权定价的数值方法

期权定价的数值方法 小结 1.当不存在解析解时,可以用不同的数值方法为期权定价,其中主要包括二叉树图方法、蒙特卡罗模拟和有限差分方法。 2.二叉树图方法用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续运动在风险中性世界中可能遵循的路径,每个小的时间间隔中的上升下降概率和幅度均满足风险中性原理。从二叉树图的末端开始倒推可以计算出期权价格。 3.蒙特卡罗方法的实质是模拟标的资产价格在风险中性世界中的随机运动,预测期权的平均回报,并由此得到期权价格的一个概率解。 4.有限差分方法将标的变量满足的偏微分方程转化成差分方程来求解,具体的方法包括隐性有限差分法、显性有限差分法、“跳格子方法”和 Crank-Nicolson方法等。 5.树图方法和有限差分方法在概念上是相当类似的,它们都可以看成用离散化过程解出偏微分方程的数值方法,都适用于具有提前执行特征的期权,不太适合路径依赖型的期权。其中二叉树模型由于其简单直观和容易实现,是金融界中应用得最广泛的数值定价方法之一;有限差分方法则日益受到人们的重视。 6.蒙特卡罗方法的优点在于应用起来相当直接,能处理许多盈亏状态很复杂的情况,尤其是路径依赖期权和标的变量超过三个的期权,但是不擅长于处理美式期权,而且往往所需计算时间较长。 二叉树定价方法的基本思想:假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成,用离散的随机游走模型模拟资产价格连续运行可能遵循的路径。模型中隐含导出的概率是风险中性世界中的概率p,从而为期权定价。 蒙特卡洛模拟的基本思想:由于大部分期权的价值都可以归结为期权到期回报的期望值的贴现,因此尽可能地模拟风险中性世界中标的资产价格的多种运动路径,计算每种结果路径下的期权回报均值,之后贴现就可以得到期权价值。 蒙特卡洛模拟的优点:在大多数情况下,人们可以很直接地应用蒙特卡洛模拟,而无需对期权定价模型有深刻的认识;蒙特卡洛模拟的适用情形相当广泛。 蒙特卡洛模拟的缺点:只能为欧式期权定价,难以处理提前执行期权的的定价情形;为了达到一定的精准度,需要大量的模拟运算。 有限差分方法的基本思想:将衍生证券所满足的偏微分方程转化为一系列近似的差分方程,即用离散算子逼近偏微分方程中的各项,之后用迭代法求解以得到期权价值。

_二叉树期权定价模型

财务成本管理(2019)考试辅导 第十三章++产品成本计算 第1页 (二)二叉树期权定价模型 1.单期二叉树定价模型 期权价格=×+× U:上行乘数=1+上升百分比 d:下行乘数=1-下降百分比 【理解】 风险中性原理的应用 其中: 上行概率=(1+r-d )/(u-d ) 下行概率=(u-1-r )/(u-d ) 期权价格=上行概率×C u /(1+r )+下行概率×C d /(1+r ) 【教材例7-10】假设ABC 公司的股票现在的市价为50元。有1股以该股票为标的资产的看涨期权,执行价格为52.08元,到期时间是6个月。6个月以后股价有两种可能:上升33.33%,或者降低25%。无风险利率为每年4%。 【答案】 U=1+33.33%=1.3333 d=1-25%=0.75 =6.62(元) 【例题?计算题】假设甲公司的股票现在的市价为20元。有1份以该股票为标的资产的看涨期权,执行价格为21元,到期时间是1年。1年以后股价有两种可能:上升40%,或者降低30%。无风险利率为每年4%。 要求:利用单期二叉树定价模型确定期权的价值。 【答案】期权价格=(1+r-d )/(u-d )×C u /(1+r )=(1+4%-0.7)/(1.4-0.7)×7/(1+4%)=3.27(元) 2.两期二叉树模型 (1)基本原理:由单期模型向两期模型的扩展,不过是单期模型的两次应用。 【教材例7-11】继续采用[例7-10]中的数据,把6个月的时间分为两期,每期3个月。变动以后的数据如下:ABC 公司的股票现在的市价为50元,看涨期权的执行价格为52.08元,每期股价有两种可能:上升22.56%或下降18.4%;无风险利率为每3个月1%。 【解析】 P=(1+1%-0.816)/(1.2256-0.816)=0.47363 C U =23.02×0.47363/(1+1%)=10.80 C d =0 C 0=10.80×0.47363/(1+1%)=5.06 (2)方法: 先利用单期定价模型,根据C uu 和C ud 计算节点C u 的价值,利用C ud 和C dd 计算C d 的价值;然后,再次利用单期定价模型,根据C u 和C d 计算C 0的价值。从后向前推进。 3.多期二叉树模型 (1)原理:从原理上看,与两期模型一样,从后向前逐级推进,只不过多了一个层次。

欧式看涨期权二叉树定价

欧式看涨期权二叉树定价(含matlab代码和结果图)实验概述 本实验首先介绍了二叉树方法的来源和主要理论基础,然后给出期权的二叉树定价方法的基本过程和MATLAB7. 0实现的过程。 19. 2 实验目的 (1)了解二叉树的定价机理; (2)掌握用MATLAB7. 0生成股票价格的二叉树格子方法; (3)掌握欧式期权和美式期权的二叉树定价方法。 19. 3 实验工具 MATLAB 7. 0。 19. 4 理论要点 构造二叉树图(Binomial Tree)是期权定价方法中最为常见的一种。这个树图表示了在期权有效期内股票价格可能遵循的路径。二叉树定价方法与风险中性定价理论是紧密联系的。Cox, Ross & Rubinstein (1979)首次提出了构造离散的风险中性概率可以给期权定价,在此基础上他们给出了二叉树定价方法。 1)一个简单的例子 假设当前(3月份)股票的价格So =50元,月利率是25%。4月份股票价 格有两种可能:S 高=100元,S 低 =25元。有一份看涨期权合约,合约约定在4月份 可以以50元价格买进一股股票。现在考虑一个投资组合,进行几项操作:以价格C卖出3份看涨期权合约;以50元购入2股股票;以25%的月利率借人40元现金,

借期为一个月。 根据上述组合,我们可以得到以下到期收益分布表,如表19. 1所示。 表19.1 投资组合的到期收益分布表 四月份 三月份 S低=25元S高=100元 卖出3份看涨期权合约3C 0 -150 买人两股股票-100 50 200 借人现金40 -50 -50 总计0 0 0 由一价定律3C-100+40=0,可得C= 20元,即为期权的价格。这个例子说明,可以用一个相当简单的方法为期权定价,唯一需要做的是假设对投资者而言不存在套利机会。我们可以通过某种方式构造一个股票和期权的组合,使得在4月份该组合的价值是确定的。于是我们可以说该组合无风险,它的收益率一定等于无风险收益率。二叉树方法正是基于上述思想构造了二项分布下的风险中性概率。 2)二叉树模型 考虑一个不支付红利的股票期权价格估值。我们把期权的有效期分为很多很小的时间间隔Δt。假设在每一个时间段内股票价格从开始的价格S以概率p 上升到Su,以概率1-p下降到Sd,其中,u>1,O

二叉树期权定价模型

二叉树期权定价模型 [编辑本段] 二叉树期权定价模型概述 Black-Scholes期权定价模型虽然有许多优点, 但是它的推导过程难以为人们所接受。在1979年, 罗斯等人使用一种比较浅显的方法设计出一种期权的定价模型, 称为二项式模型(Binomial Model)或二叉树法(Binomial tree)。 二项期权定价模型由考克斯(J.C.Cox)、罗斯(S.A.Ross)、鲁宾斯坦(M.Rubi nstein)和夏普(Sharpe)等人提出的一种期权定价模型,主要用于计算美式期权的价值。其优点在于比较直观简单,不需要太多数学知识就可以加以应用。 二项期权定价模型假设股价波动只有向上和向下两个方向,且假设在整个考察期内,股价每次向上(或向下)波动的概率和幅度不变。模型将考察的存续期分为若干阶段,根据股价的历史波动率模拟出正股在整个存续期内所有可能的发展路径,并对每一路径上的每一节点计算权证行权收益和用贴现法计算出的权证价格。对于美式权证,由于可以提前行权,每一节点上权证的理论价格应为权证行权收益和贴现计算出的权证价格两者较大者。 [编辑本段] 构建二项式期权定价模型 1973年,布莱克和舒尔斯(Blackand Scholes)提出了Black-Scholes期权定价模型,对标的资产的价格服从正态分布的期权进行定价。随后,罗斯开始研究标的资产的价格服从非正态分布的期权定价理论。1976年,罗斯和约翰·考科斯(John Cox)在《金融经济学杂志》上发表论文“基于另类随机过程的期权定价”,提出了风险中性定价理论。 1979年,罗斯、考科斯和马克·鲁宾斯坦(Mark Rubinstein)在《金融经济学杂志》上发表论文“期权定价:一种简单的方法”,该文提出了一种简单的对离散时间的期权的定价方法,被称为Cox-Ross-Rubinstein二项式期权定价模型。 二项式期权定价模型和布莱克-休尔斯期权定价模型,是两种相互补充的方法。二项式期权定价模型推导比较简单,更适合说明期权定价的基本概念。二项式期权定

二叉树定价模型

期权定价的二叉树模型 )模型,它假tree二叉树(binomialRoss、和Rubinstein提出了期权定价的另一种常用方法Cox 设标的资产在下一个时间点的价格只有上升和下降两种可能结果,然后通过分叉的树枝来形象描述标的资产和期权价格的演进历程。本章只讨论股票期权定价的二叉树模型,基于其它标的资产如债券、货币、股票指数和期货的期权定价的二叉树方法,请参考有关的书籍和资料。 一步二叉树模型8.1 我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。 $18.,也有可能下降到,三个月后该股票价格有可能上升到$228.1假设一只股票的当前价格是$20例直观表示出来。8.1股票价格的这种变动过程可通过图 在上述二叉树中,从左至右的节点(实圆点)表示离散的时间点,由节点产生的分枝(路径)表示可能表示的二叉树称为一步8.1出现的不同股价。由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长,图

)二叉树。这是最简单的二叉树模型。(one-step 。经过一个时间步(至到期日一般地,假设一只股票的当前价格是,基于该股票的欧式期权价格为 )后该股票价格有可能上升到;也有可能下降到相应的期权价格为T )二叉树表示出来,如图这种过程可通过一步(one-step.相应的期权价格为所示。我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。8.2. )假设,即市场上无套利机会存在。构造一arbitrage为了对该欧式股票期权定价,我们采用无套利(no 股空头期权。如果该股票价格上升股的多头股票和1个该股票和期权的组合(portfolio),组合中有 ,则该组合在期权,则该组合在期权到期日的价值为到;如果该股票价格下降到。根据无套利假设,该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等,到期日的价值为即有 由此可得 (8.1) 是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。在这种情况下,该组合是无风险的。上式意味着 )为value又注意到该组合thepresent以表示无风险利率,则该组合的现值(, 的当前价值是,故有

股票期权二叉树定价-excel-VBA程序

Sub 期权定价() Dim i As Long '将输入的参数的值赋给相应的变量 s0 = Worksheets(1).Cells(1, 2) x = Worksheets(1).Cells(2, 2) r = Worksheets(1).Cells(3, 2) s = Worksheets(1).Cells(4, 2) t = Worksheets(1).Cells(5, 2) n = Worksheets(1).Cells(6, 2) '生成表格 Worksheets(1).Cells(1, 4) = "期数" Worksheets(1).Cells(2, 4) = "时间(年)" Worksheets(1).Cells(3, 4) = "上行乘数" Worksheets(1).Cells(4, 4) = "下行乘数" Worksheets(1).Cells(5, 4) = "股票价格" Worksheets(1).Cells(n + 6, 4) = "执行价格" Worksheets(1).Cells(n + 7, 4) = "上行概率" Worksheets(1).Cells(n + 8, 4) = "下行概率" Worksheets(1).Cells(n + 9, 4) = "买入期权价格"

'合并相应单元格 Set rr1 = Range("D5") For i = 1 To n Set rr1 = Union(Range("D" & (5 + i)), rr1) Next rr1.Select With Selection .HorizontalAlignment = xlGeneral .VerticalAlignment = xlBottom .WrapT ext = False .Orientation = 0 .AddIndent = False .IndentLevel = 0 .ShrinkToFit = False .ReadingOrder = xlContext .MergeCells = True End With '设置格式居中 With Selection .HorizontalAlignment = xlCenter .VerticalAlignment = xlCenter .WrapT ext = False

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