04_正交变换1W
二次型经可逆线性变换化为标准形和经正交变换化为标准形有什么区.
二次型经可逆线性变换化为标准形和经正交变换化为标准形有什么区别？ 首先要搞清两个概念：矩阵的相似和合同 矩阵的相似： 设B A 、为n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P 使B AP P =-1，则A 与B 相似。 相似的性质(相似的必要条件)：若~A B ,则 (1)A B =； (2) ()()r A r B =； (3) E A E B λλ-=-即有相同的特征值； (4) ii ii a b =∑∑。 矩阵的合同：A 和B 为两个n 阶对称矩阵,若存在n 阶可逆矩阵C 使B AC C T =，则称A 与B 合同。 例如：1 11,,,1412A B C ?? ???? ? === ? ? ????? ? ? 则有T C AC B =，显然两矩阵合同特征值未必相同！从而两矩阵合同未必相似！ 由实对称矩阵的性质实对称矩阵一定能相似对角化。从而一定存在可逆阵P 使得1 P AP -=Λ,特别地, 必有正交矩阵Q （1T Q Q -=）使1123,,1,2,3T i Q AQ Q AQ i λλλλ-?? ?==Λ== ? ??? 为A 的特征值，故而任意一个实对称矩阵A ，一定存在正交矩阵Q ，使得A 不仅合同而且相似于一个对角阵。 下面看看什么叫可逆线性变化和正交变换？ 1112132122 23313233,0c c c C c c c C c c c ?? ? =≠ ? ??? ,若C 为可逆矩阵，称x Cy =为可逆线性变换； 若C 是正交矩阵，称x Cy =为正交变换。 下面来看看对一个二次型施行可逆线性变换会带来什么？ 以三元二次型为例： (),123,,()()()x Cy C T T T T T f x x x x Ax Cy A Cy y C AC y y By ?===== 可逆 ,且()T T T T B C AC C AC B ===, 故经可逆线性变换()123,,f x x x 仍为关于123,,y y y 的二次型，且原二次型矩阵A 和新二次型矩阵B 是合同的关系，若C 是正交矩阵,那么1T C C -=,1 T B C AC C AC -==,所以,A B 不仅合同而且相似。 对于任意一个实对称矩阵A ，一定存在正交矩阵Q （1 T Q Q -=）使得 1 12 3,,1,2,3T i Q AQ Q AQ i λλλλ-?? ? ==Λ== ? ?? ? 为A 的特征值， 因此若用正交变换x Qy =,222112233x Qy T T x Ax y y y y y λλλ?=∧=++= (标准形)即A 与∧合同且A 与∧相似, 其中∧的对角线123,,λλλ为A 的特征值。
欧式空间中线性变换和正交变换的关系
欧氏空间中线性变换和正交变换的关系 摘要 对欧式空间中的线性变换与正交变换之间的关系进行讨论 关键词：欧式空间 线性变换 正交变换 线性变换和正交变换是欧氏空间的两种重要变换。本文首先引入线性变换和正交变换在欧氏空间中的定义，然后讨论两者之间的关系。为了阅读方便，本文从最基本的概念谈起，即先定义线性空间、内积、欧氏空间、线性变换和正交变换。 定义1 设V 不是空集，P 为一个数域，在V 中定义加法和数量乘法（简称数乘），若对P l k V ∈?∈?,,,,γβα，满足： （1）V ∈+βα，（关于加法封闭） （2）αββα+=+，（交换律） （3）） （）（γβαγβα++=++，（结合律） （4）V V ∈?=+∈?ααα，使0,0，（零元） （5）0=-+∈-?∈?）（，使）（，ααααV V ，（负元） （6）V k ∈?α（关于数乘封闭） （7）αα=?1 （8）αα）（）（kl l k = （9）αααl k l k +=+）（ （10）βαβαk k k +=+）（ 则称V 为数域P 上的线性空间。 定义2 设V 是R 上的一个线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记为),(βα，它具有以下性质（R k V ∈∈,,,γβα）： （1）),(),(αββα= （2）),(),(βαβαk k = （3）),(),(),(γβγαγβα+=+ （4）0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα。 定义3 定义2中的线性空间V 就称为欧几里得空间，简称欧氏空间。 定义4 设V 是一个线性空间，P 为一个数域，对于P k V ∈?∈?,,βα，有 （1）()()()A A A αβαβ+=+ （2）()()A k kA αα?= 则称A 为V 上的线性变换。 定义5 设A 是欧氏空间V 的一个变换，如果对于任意的,,V ∈βα即保持内积不变，
DCT变换原理
数字图像的冗余包括空间冗余、结构冗余、知识冗余和视觉冗余等。空间冗余是指规则物体和规则背景的表面物理特性都具有相关性，数字化后表现为数字冗余。例如：某图片的画面中有一个规则物体,其表面颜色均匀,各部分的亮度、饱和度相近,把该图片作数字化处理,生成位图后,很大数量的相邻像素的数据是完全一样或十分接近的,完全一样的数据当然可以压缩,而十分接近的数据也可以压缩,因为恢复后人亦分辨不出它与原图有什么区别,这种压缩就是对空间冗余的压缩。再比如视觉冗余，视觉系统对于图像场的注意是非均匀和非线性的，视觉系统不是对图像的任何变化都能感知，因此对图像进行压缩后人眼也并不会非常敏锐地察觉画面内容有所删减。 所谓的图像压缩编码技术就是对要处理的图像数据按一定的规则进行变换和组合, 从而达到以尽可能少的数据流(代码)来表示尽可能多的数据信息。在众多的图像压缩编码标准中，JPEG(Joint Photographic Experts Group)格式是一种称为联合图像专家组的图像压缩格式，它适用于不同类型、不同分辨率的彩色和黑白静止图像。 而在JPEG图像压缩算法中，有一种是以离散余弦变换(DCT，Discrete Cosine Transform)为基础的有损压缩算法，是为本论文的主要研究对象。 DCT变换利用傅立叶变换的性质。采用图像边界褶翻将像变换为偶函数形式，然后对图像进行二维傅立叶变换，变换后仅包含余弦项，所以称之为离散余弦变换。 DCT编码属于正交变换编码方式，用于去除图像数据的空间冗余。变换编码就是将图像光强矩阵(时域信号)变换到系数空间(频域信号)上进行处理的方法。在空间上具有强相关的信号，反映在频域上是在某些特定的区域内能量常常被集中在一起，或者是系数矩阵的分布具有某些规律。我们可以利用这些规律在频域上减少量化比特数，达到压缩的目的。图像经DCT变换以后，DCT系数之间的相关性就会变小。而且大部分能量集中在少数的系数上，因此，DCT变换在图像压缩中非常有用，是有损图像压缩国际标准JPEG的核心。从原理上讲可以对整幅图像进行DCT变换，但由于图像各部位上细节的丰富程度不同，这种整体处理的方式效果不好。为此，发送者首先将输入图像分解为8*8或16*16块，然后再对每个图像块进行二维DCT变换，接着再对DCT系数进行量化、编码和传输；接收者
论正交变换的理论基础及其在图像处理中的应用
滨江学院 《计算机图像处理》课程设计报告 题目论正交变换的理论基础及其在图像处理中的应用专业12计算机科学与技术 学生姓名 学号 二Ｏ一五年六月十日
目录 1课程设计目的 (2) 2课程设计要求 (2) 3 正交变换的概述 (2) 3.1 信号的正交分解 (2) 3.2 正交变换的定义 (3) 3.3 正交变换的分类 (4) 3.4 正交变换的标准基 (4) 3.4.1 一维DFT的标准基 (4) 3.4.2 二维DFT (6) 3.4.3 正交变换的标准基图像 (7) 3.5 正交变换在图像处理中的应用 (8) 6 总结 (9) 7 参考文献 (9)
1课程设计目的 (1) 理解正交变换的基本概念及分类。 (2) 了解正交变换在图像处理中的应用 2课程设计要求 （1）掌握课程设计的相关知识、概念清晰。 （2）查阅资料，根据不同处理需求，设计完成对数字图像的处理与分析。 （3）熟练掌握matlab 软件的基本操作与处理命令。 （4）进一步理解数字图像处理与分析的过程与意义。 3 正交变换的概述 3.1 信号的正交分解 完备的内积空间称为希尔伯特空间。折X 为一希尔伯特空间,φ1 ,φ2 , ?,φn 是X 空间中的一向量,如果它们是线性独立的,则称之为空间X 中的一组“基”。某一信号x 就可以按这样的一组基向量作分解,即 X=∑=N n n n a 1φ （式3-1） 式（3-1）中a 1 , a 2 , ?, a n 是分解系数, 它们是一组离散值。假设φ1 ,φ2 , ?,φn 是一组两两互相正交的向量,则式(3-1) 称为x 的正交展开, 或正交分解。系数a 1 , a 2 , ?, a N 是x 在各个基向量上的投影 ,若N=3 ,其含义如图3-1 所示。
正 交 变 换
正 交 变 换 1．研究对象：空间中物体的位置变化。 观察空间中的物体，当我们把一个物体从一个地点搬到另一个地点时，物体有什么性质保持不变，有什么东西会起变化。 2． 正交变换的建立 搬动物体，除了物体的位置发生变化外，物体的本身属性都保持不变。用数学的相关知识进行描述之即长度、面积、角度、体积等保持不变。从测量、计算的角度而言，物体的度量性质不变。由于长度是各种计算的基础，长度不变将导致角度、面积、体积等不变，即长度不变是本质性的。 用数学语言——变换——描述上述现象，即搬动物体的过程是一个保持长度不变的变换。 定义：保持任两点间距离不变的变换称为正交变换。 3． 正交变换的不变系统 直线、线段、单位向量、垂直性、平行性，······。 4． 笛卡尔直角坐标系 为了用代数的方法来研究正交变换，我们应该建立一种在正交变换下保持不变的坐标系 5． 特例 物体位置的变动不外乎移动、转动和翻动（以及它们的组合），它们的数学表示为 （1） 平移 ?? ?+='+='0 0y y y x x x （2） 旋转 ???+='-='θθθθc o s s i n s i n c o s y x y y x x 或 X X ??? ? ? ?-='θθθθc o s s i n s i n c o s 。 （3） 反射 ?? ?-='='y y x x 或 X X ??? ? ??-='100 1 。 问题探索：绕点),(000y x P 6． 正交变换的代数表示 M O O O M O ''+'='，
另一方面， 21e y e x M O '+'=' 所以 M O O O e y e x ''+'='+'21 （*） 又 2010e y e x O O +='， 21e y e x OM +=， 根据正交变换的性质知 2 1e y e x M O '+'='' 由向量代数知识可知 2221122 2211111,e a e a e e a e a e +='+=' 将它们代入（*）可得 2 02221101211222112221111201021)()() ()(e y y a x a e x y a a e a e a y e a e a x e y e x e y e x +++++=+++++='+' 所以 ? ??++='++='022210 1211y y a x a y x y a x a x 所以正交变换的代数表示为 ? ??++='++='23222113 1211a y a x a y a y a x a x ， 其中 0,1222112112 22212221211=+=+=+a a a a a a a a 。 关于正交变换的代数表示，也可通过向量、矩阵的语言推演如下： M O O O M O ''+'=' （*） A e e e e X e e M O X e e O O ),(),(,),(,),(212 12 1021 =''''=''=' 代入（*）得 0212121),(),(),(X e e AX e e X e e +=' 即 0X AX X +=' 再由 ,),)(,(2121T e e e e E = T T T e e AA e e e e e e E ),(),(),)(,(21212121 =''''= 所以 E e e e e e e E e e AA T T T ===----})],{[(),(})],{[(),(121121121121
用正交变换化二次型成标准形
§6用配方法化二次成标准形 用正交变换化二次型成标准形,具有保持几何形状不变的优点.如果不限于用正交变换法,那么还有多种方法对应有多个可逆的线型变幻把二次型化成标准形.这里只介绍拉格朗日配方法.下面举例来说明这种方法 例15 化二次型 3 2 3 1 2 1 2 2 2 2 2 1 62252x x x x x x x x x f +++++= 成标准形,并求所用的变换矩阵 解 由于 f 中含变量 1x 的平方项，故把含1x 的项归并起来，配方可得 3 2 2 3 2 2 3 1 2 1 21 65222x x x x x x x x x f +++++= 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 1 6522)(x x x x x x x x x x x +++---++= 23 3 2 2 2 2 3 2 1 44)(x x x x x x x +++++= 上式右端除第一项外已不再含.1x 继续配方，可得 2 3 2 2 3 2 1 ) 2()(x x x x x f ++++= 令 ?????=+=++=,,2, 333223211x y x x y x x x y 即?????=-=+-=, , 2, 33 3223211y x y y x y y y x 就把化成标准形(规范形)22 21 y y f +=，所用变换矩阵为 ??? ? ? ?????--=10 210111 C ，). 01(≠=C 例 16 化二次型 3 2 3 1 2 1 622x x x x x x f -+=
成规范形，并求所用的变换矩阵. 解 在 f 中不含平方项。由于含有乘积项，故令 ? ?? ??=-=+=, , ,33212211y x y y x y y x 代入可得 .32312 22 18422y y y y y y f +--= 在配方，得 .6)2(2)(22 32 322 31y y y y y f +---= 令?? ? ? ???=-=-=,6),2(2),(233322311y z y y z y y z 即?? ? ? ? ???? =+=+=, 61, 6 221,61213332311z y z z y z z y 就把 f 化成规范形 , 33 22 2 1 z z z f +-= 所用变换矩阵为 ,61 0612121632121 610 6221061021100011011???? ???? ??? ??? ???--=??????? ? ? ?????? ??-=C
第二章用正交变换化为标准型新.
第二章用正交变换化为标准型 第一节2、1几种化标准形的方法 2、1、1配方法 2、1、2初等变换法 2、1、3偏导数方法 2、1、4雅可比方法 第二节2、2用正交变换化为标准形 p 2、2、1非退化线性替换的定义 2、2、2正交替换法 2、2、3例子 2、2 用正交变换化为标准形 2、2、1非退化线性替换的定义 定义1、设x,…,x;y,…,y是两组文字，系数在数域P中的一组关系式 称为由x,…,x到y,…,y的一个线性替换，或简称线性替换，如果系数行列式≠0，那么线性替换就称为非退化的。 2、2、2正交替换法 正交替换法：先写出二次型的矩阵A，在用正交替换X=TY将A对角化，从而
T’AT=，其中λ（i=1，2，…,n为二次型f(x,x,…x的矩阵的所有特征值，同时有f(x,x,…x=λy+λy+…+λy 2、2、3例子 【例1】用正交变换化二次型f(x,x,x=2x+5x+5x+4x x-4x x-8x x为标准形，要求写出所用的正交替换（广西师范大学*2001*（三）*15分） 解：A== =x-12x+21x-10=(x-1(x-1(x-10=0 x=1,1,10, (i x=1 E-A=---- η=η= (ii x=10 10E-A=--------
η=--γ γβ=η-<η,λ> γ=+=+=β -- γ=令V=（γ，γ，γ）= 令X=UY为所用正交变换，即Y=U’X f(x,x,x=X’AX=(UY’AUY=Y’U’AUY=Y’Y=y+y+10y为标准形 【例2】用正交变换化二次型f(x,x,x=x-2x+x+4x x+8x x+4x x为标准形，并写出所用的正交变换。（广西师范大学*2002*（三）*15分） 解：f的矩阵A=== =x-27x+-54=(x+3(x-6(x+3=0 即A的特征根为6，-3，-3 （i）x=6
图像处理中正交变换方法对比
目录 1课程设计目的 (1) 2课程设计要求 (1) 3 正交变换的概述 (1) 3.1 信号的正交分解 (1) 3.2 正交变换的定义 (2) 3.3 正交变换的分类 (3) 3.4 正交变换的标准基 (3) 3.4.1 一维DFT的标准基 (3) 3.4.2 二维DFT (5) 3.4.3 正交变换的标准基图像 (6) 3.5 正交变换在图像处理中的应用 (7) 4 傅里叶变换 (8) 4.1 傅里叶变换的定义及基本概念 (9) 4.2 傅里叶变换代码 (13) 4.3 傅里叶变换与逆变换结果 (14) 5 离散余弦变换 (14) 5.1 离散余弦变换的定义 (14) 5.2 离散余弦变换代码 (17) 5.3 离散余弦变换与逆变换结果 (17) 6 小波变换 (18) 6.1概述 (18) 6.2 小波变换的基本理论 (18) 6.3 小波变换代码 (20) 6.4 小波变换结果 (21) 7 结论 (21) 8 参考文献 (22)
图像处理中正交变换方法对比 1课程设计目的 (1) 理解正交变换的基本概念及分类。 (2) 掌握傅立叶变换及逆变换的基本原理方法。 (3) 掌握离散余弦变换的基本原理方法。 (4) 掌握小波变换的基本原理及方法。 (5) 学会利用matlab 软件进行数字图像处理与分析 2课程设计要求 （1）掌握课程设计的相关知识、概念清晰。 （2）查阅资料，根据不同处理需求，设计完成对数字图像的处理与分析。 （3）熟练掌握matlab 软件的基本操作与处理命令。 （4）进一步理解数字图像处理与分析的过程与意义。 3 正交变换的概述 3.1 信号的正交分解 完备的内积空间称为希尔伯特空间。折X 为一希尔伯特空间,φ1 ,φ2 , ?,φn 是X 空间中的一向量,如果它们是线性独立的,则称之为空间X 中的一组“基”。某一信号x 就可以按这样的一组基向量作分解,即 X=∑=N n n n a 1φ （式3-1） 式（3-1）中a 1 , a 2 , ?, a n 是分解系数, 它们是一组离散值。假设φ1 ,φ2 , ?,φn 是一组两两互相正交的向量,则式(3-1) 称为x 的正交展开, 或正交分解。系数a 1 , a 2 , ?, a N 是x 在各个基向量上的投影 ,若N=3 ,其含义如图3-1 所示。
主成分分析法概念及例题
主成分分析法 主成分分析（principal components analysis，PCA）又称：主分量分析，主成分回归分析法 目录 [显示] 1 什么是主成分分析法 2 主成分分析的基本思想 3 主成分分析法的基本原理 4 主成分分析的主要作用 5 主成分分析法的计算步骤 6 主成分分析法的应用分析 o案例一：主成分分析法在啤酒风味评价分析中的应用[1] 1 材料与方法 2 主成分分析法的基本原理 3 主成分分析法在啤酒质量一致性评价中的应用 4 结论 7 参考文献 [编辑] 什么是主成分分析法 主成分分析也称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。 在统计学中，主成分分析（principal components analysis,PCA）是一种简化数据集的技术。它是一个线性变换。这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中，使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上，第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上，依次类推。主成分分析经常用减少数据集的维数，同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。这是通过保留低阶主成分，忽略高阶主成分做到的。这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。但是，这也不是一定的，要视具体应用而定。 [编辑] 主成分分析的基本思想
在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。主成分分析正是适应这一要求产生的，是解决这类题的理想工具。 同样，在科普效果评估的过程中也存在着这样的问题。科普效果是很难具体量化的。在实际评估工作中，我们常常会选用几个有代表性的综合指标，采用打分的方法来进行评估，故综合指标的选取是个重点和难点。如上所述，主成分分析法正是解决这一问题的理想工具。因为评估所涉及的众多变量之间既然有一定的相关性，就必然存在着起支配作用的因素。根据这一点，通过对原始变量相关矩阵内部结构的关系研究，找出影响科普效果某一要素的几个综合指标，使综合指标为原来变量的线性拟合。这样，综合指标不仅保留了原始变量的主要信息，且彼此间不相关，又比原始变量具有某些更优越的性质，就使我们在研究复杂的科普效果评估问题时，容易抓住主要矛盾。上述想法可进一步概述为：设某科普效果评估要素涉及个指标，这指标构成的维随机向量为。对作正交变换，令，其中为正交阵，的各分量是不相关的，使得的各分量在某个评估要素中的作用容易解释，这就使得我们有可能从主分量中选择主要成分，削除对这一要素影响微弱的部分，通过对主分量的重点分析，达到对原始变量进行分析的目的。的各分量是原始变量线性组合，不同的分量表示原始变量之间不同的影响关系。由于这些基本关系很可能与特定的作用过程相联系，主成分分析使我们能从错综复杂的科普评估要素的众多指标中，找出一些主要成分，以便有效地利用大量统计数据，进行科普效果评估分析，使我们在研究科普效果评估问题中，可能得到深层次的一些启发，把科普效果评估研究引向深入。 例如，在对科普产品开发和利用这一要素的评估中，涉及科普创作人数百万人、科普作品发行量百万人、科普产业化（科普示范基地数百万人）等多项指标。经过主成分分析计算，最后确定个或个主成分作为综合评价科普产品利用和开发的综合指标，变量数减少，并达到一定的可信度，就容易进行科普效果的评估。 [编辑] 主成分分析法的基本原理 主成分分析法是一种降维的统计方法，它借助于一个正交变换，将其分量相关的原随机向量转化成其分量不相关的新随机向量，这在代数上表现为将原随机向量的协方差阵变换成对角形阵，在几何上表现为将原坐标系变换成新的正交坐标系，使之指向样本点散布最开的p 个正交方向，然后对多维变量系统进行降维处理，使之能以一个较高的精度转换成低维变量系统，再通过构造适当的价值函数，进一步把低维系统转化成一维系统。 [编辑] 主成分分析的主要作用
正交变换的等价条件及其应用
目录 1引言 ................................................................................................................... １2正交变换的定义及其等价条件 ........................................................................ １ 2.1定义..................................................................................................................................１ 2.2等价条件..........................................................................................................................２3正交变换的应用................................................................................................ ４ 3.1化二次型为标准形..........................................................................................................４ 3.2解不变子空间相关问题..................................................................................................８ 3.3求解矩阵问题..................................................................................................................８ 3.4求解欧氏空间中其它相关问题......................................................................................８ 3.5在积分中的应用.......................................................................................................... １１4结束语 ............................................................................................................ １２参考文献 ........................................................................................................... １３致谢语 ............................................................................................................... １４
正交变换的应用
正交变换的应用 刘铮 摘要：正交变换对于研究数学的内部结构和实际应用都很重要，我们在学习过程中许多方面都要用到正交变换. 本文系统的论述了正交变换在重积分、第一型曲面积分、多元函数Taylor公式这三种情况中的应用. 关键词：正交变换；曲面积分；多元函数Taylor公式 近代数学及其应用对科学技术的发展有着重要的作用,它需要对一些分析问题做出数学解答,而这些问题通常只有在代数化后才能解决,因此代数方法的意义也越来越引起人们的重视.某些问题在开始应用代数方法以后,也变得明显和易于理解,问题也就迎刃而解.正交变换方法就是在近代数学及其应用方面经常用到的一种方法. 正交变换是代数学的基本内容,在欧氏空间的线性变换中,正交变换是一个很重要的线性变换.它是保持点之间的距离不变的变换.欧式空间V的线性变换σ称为正交变换,如果它保持向量的内积不变,即对于V ξ,,都有 ?η ∈ ()()η ()() ξ σ σ, η ξ ,=. 本文通过不断的学习思考,结合许多学者对正交变换的研究成果,对进行正交变换的各种应用进行全面的探讨,更深层的理解,较全面的总结了正交变换在数学各方面的应用. 1 正交变换的定义及性质]1[ 正交变换就是保持点之间的距离不变的变换.在一般欧式空间中,我们有：定义1欧式空间V的线性变换σ称为正交变换,如果它保持向量的内积不ξ,,都有 变,即对于V ∈ ?η ()()η ()() ξ σ, σ η ξ ,=. 根据正交变换的定义,它具有如下性质:设σ是欧式空间V的一个变换,则下列条件是等价的: ①σ是V的正交变换; ②σ保持向量的内积不变; ③σ保持向量的长度和夹角不变;
图像的正交变换matlab
《数字图像处理》课程实验报告实验名1：图像的正交变换实验 院系：自动化测试与控制系 班级：1201132 姓名：李丹阳 学号：1120110113 哈尔滨工业大学 电气工程及自动化学院 光电信息工程 2015年12月13日
一、实验原理 二、实验内容 三、实验结果与分析 1、傅立叶变换 A)绘制一个二值图像矩阵,并将其傅立叶函数可视化。 （傅里叶变换A)的实验结果 B)利用傅立叶变换分析两幅图像的相关性，定位图像特征。读入图像‘cameraman.tif’， 抽取其中的字母‘a’。
（傅里叶变换B ）的实验结果 离散余弦变换(DCT) 使用dct2对图像‘linyichen.jpg ’进行DCT 变换。-5 05 （离散余弦变换A ）的实验结果 将上述DCT 变换结果中绝对值小于10的系数舍弃，使用idct2重构图像并与原图像比较。 离散余弦变换
附主要程序代码： f=zeros(30,30); f(5:24,13:17)=1; imshow(f,'notruesize') F=fft2(f); F2=log(abs(F)); figure,imshow(F2,[-15],'notruesize');colormap(jet); F=fft2(f,256,256); figure,imshow(log(abs(F)),[-15],'notruesize');colormap(jet); F2=fftshift(F); figure,imshow(log(abs(F2)),[-15],'notruesize');colormap(jet); B)利用傅立叶变换分析两幅图像的相关性，定位图像特征。读入图像‘cameraman.tif’， 抽取其中的字母‘a’。 bw=imread('cameraman.tif'); a=bw(59:71,81:91); imshow(bw); figure,imshow(a); C=real(ifft2(fft2(bw).*fft2(rot90(a,2),256,256)));%求相关性 figure,imshow(C,[]); thresh=max(C(:)); figure,imshow(C>thresh-10) figure,imshow(C>thresh-15) 1.离散余弦变换(DCT) A)使用dct2对图像‘linyichen.jpg’进行DCT变换。 RGB=imread('linyichen.jpg'); imshow(RGB) I=rgb2gray(RGB);%转换为灰度图像 figure,imshow(I) J=dct2(I); figure,imshow(log(abs(J)),[]),colormap(jet(64));colorbar; B)将上述DCT变换结果中绝对值小于10的系数舍弃，使用idct2重构图像并与原 图像比较。 RGB=imread('linyichen.jpg'); I=rgb2gray(RGB);%转换为灰度图像 J=dct2(I); figure,imshow(I) K=idct2(J); figure,imshow(K,[0255]) J(abs(J)<10)=0;%舍弃系数 K2=idct2(J); figure,imshow(K2,[0255])
正交变换法和配方法化二次型标准形(hfuu)
正交变换法和配方法化二次型标准形 1配方法化二次型标准形 用配方法化二次型为标准形的关键是消去交叉项，分如下两种情形处理： 情形1: 如果二次型()n x x x f ,,,21 含某文字例如1x 的平方项，而011≠a ,则集中二次型中含1x 的所有交叉项，然后与21x 配方，并作非退化线性替换 ??? ????==+++=n n n n x y x y x c x c x c y 2212121111（P c ij ∈） 则()n y y g y d f ,,2211 +=,其中()n y y g ,2是n y y ,,2 的二次型。 对()n y y y g ,,,32 重复上述方法直到化二次型f 为标准形为止. 情形2: 如果二次型()n x x x f ,,,21 不含平方项，及011=a ()n i ,,2,1 =,但含某一个0≠ij a ()j i ≠，则可先作非退化线性替换 () ?????? ?≠==-=+=j i k n k y x y y x y y x k k j i j j i i ,;,,2,1 把f 化为一个含平方项2i y 的二次型，再用情形1的方法化为标准形. 例1.1：用配方法化二次型 ()321,,x x x f =2 33222312121222x x x x x x x x x --+++ 为标准形，并写出所用的非退化线性替换. 解：先对1x 配方消去所有含有1x 的项21x ，21x x ，31x x ： ()321,,x x x f =21x +()1322x x x ++2 2x -322x x -23x =()2321x x x ++-()2 32x x ++2 2x -322x x -23x =()2 321x x x ++-324x x -232x
第七章 两种正交变换---沃尔什变换和离散余弦变换_01
第七章 两种正交变换 --- 沃尔什变换与离散余弦变换 信号作为信号空间的一个向量，可以用一组正交基来表示。任何正交而完备的函数族可以用作这样 的正交基。正弦、余弦函数各自都是正交函数。但它们都是不完备的。偶对称信号可以用余弦函数族表出；而奇对称信号只包含正弦分量。一般信号可以分解为偶对称和奇对称分量。所以，必须同时用余弦、正弦函数族才能完整地表示一般信号。复指数函数族通常被用作正交基来表示、分析信号的频谱，因为复指数函数既包含余弦分量，又包含正弦分量。换句话说，复指数函数族是正交的，完备的。它所张成的空间便是我们通常所说的频域。在实践中，除了付里叶变换大家族外，还有许多完备正交函数系可以代替复指数函数族来表示信号。在这领域，人们不断地进行探索。将无限维空间的时域信号用所选定的正交基来表示，这是一种正交变换。本章介绍付里叶变换之外的两种最常见的正交变换，即沃尔什变换和离散余弦变换，说明它们的特点和快速算法。 7.1 沃尔什变换 7.1.1 概述 基于复指数函数系（正弦-余弦函数系）的付里叶变换方法是目前信号与系统分析中的主要工具，其原因之一是这类信号易于获得，易于变换，便于检测，也容易理解。在电信技术发展史上，正弦-余弦信号以及付里叶变换方法首先得到广泛应用。但非正弦信号的研究与应用也一直受到重视。 20世纪60年代末至70年代初，数字技术与计算机科学迅速发展，利用开关元件产生和处理数字信号十分简便易行。大规模集成电路的迅猛发展提供了体积小、重量轻、可靠性很高的数字硬件。在这种背景下，人们对非正弦信号的研究和应用又再度重视起来。事实上，正弦-余弦函数系仅仅是完备正交函数系的一种。它作为变换核，在付里叶变换过程中要进行复数乘法、加法运算，其量化误差是累积的。因此，寻找其它更好的完备正交函数系一直是人们的追求。在这种探索中，应该记住 ● 1910年，匈牙利数学家哈尔（A.Haar ）提出哈尔函数，这是一组完备的正交函数。 ● 1922年，德国数学家拉德马赫（H.Rademacher ）提出一种只取两个数值的正交函数，称为拉 德马赫函数。它不是完备的正交函数系，但可以用来间接地表示沃尔什函数。 ● 1923年，美国数学家沃尔什（J.L.Walsh ）提出沃尔什函数（Walsh function ），这是一种完备的 正交函数系。 以上几种非正弦的正交函数各有不同特点，相互之间有着密切的联系。其中，沃尔什函数应用较多。 这种正交函数在搁置了近半个世纪后，到了20世纪70年代才得到广泛的应用，并有进一步的发展。 类似于人们熟知的付里叶变换，作为完备的正交函数系，沃尔什级数同样可以将给定的信号分解成若干个沃尔什函数，或者用有限个沃尔什函数去逼近一个信号。这种变换有如下显著特点： ● 它有类似于FFT 的快速算法。 ● 在快速沃尔什变换中，变换核只取+1和-1这两个值，故变换过程中只需要进行实数的加、减运 算，没有乘、除运算，从而使变换速度快，精度高，并且可以使用比较简单的专用硬件。 下面将介绍沃尔什函数的定义方法，说明沃尔什矩阵和快速沃尔什变换，举出实例说明沃尔什变换的应用。 7.1.2 定义 由于历史上的原因，有几种方法可以定义沃尔什函数。这里只介绍用符号函数定义的沃尔什函数表示方法，其中的表达式如下： ∏-=<≤=1 w 1)(0 )]2,sgn[cos(),(Wal p r r t t k t k π （7.1.1）
二次型经可逆线性变换化为标准形和经正交变换化为标准形有什么区.
二次型经可逆线性变换化为标准形和经正交变换化为标准形有什么区别? 首先要搞清两个概念：矩阵的相似和合同 矩阵的相似： 设A 、B 为n 阶矩阵，若存在可逆矩阵 P 使P 1AP B ，贝y A 与B 相似。 相似的性质(相似的必要条件)：若A~B ,则 (1) A B ; (2) r(A) r(B); ⑶ E A E B 即有相同的特征值；(4) a ii b i 。 矩阵的合同： A 和 B 为两个n 阶对称矩阵，若存在n 阶可逆矩阵 C 使C T AC B ，则称A 与B 合同。 3 一个实对称矩阵 A ，一定存在正交矩阵 Q ，使得A 不仅合同而且相似于一个对角阵。 F 面看看什么叫可逆线性变化和正交变换？ C 11 C 12 C 13 C C 21 C 22 C 23 , c | 0,若C 为可逆矩阵，称x Cy 为可逆线性变换; C 31 C 32 C 33 若C 是正交矩阵，称x Cy 为正交变换。 下面来看看对一个二次型施行可逆线性变换会带来什么? 以三元二次型为例： Cy ,C 可逆 (Cy)T A(Cy) y T (C T AC)y y T By ,且 B T (C T AC)T 其中的对角线1, 2, 3为A 的特征值。 1 1 1 例如：A , B ,C 1 4 1 2 从而两矩阵合同未必相似！ 由实对称矩阵的性质实对称矩阵 定能相似对角 化。 ,则有C T AC B ，显然两矩阵合同特征值未必相同！ 从而一定存在可逆阵 P 使得P 1AP ,特别地, 必有正交矩阵Q ( Q 1 Q T )使Q 1AQ Q T AQ i ,i 1,2,3为A 的特征值，故而任意 x f x 1, x 2, x 3 x Ax C T AC B , 故经可逆线性变换 f x 1, x 2, x 3 仍为关于 力，丫2,丫3的二次型，且原二次型矩阵 A 和新二次型矩阵 B 是合同的关 系，若C 是正交矩阵，那么C T 1 T 1 C , B C AC C AC ,所以A, B 不仅合同而且相似。 对于任意一个实对称矩阵 定存在正交矩阵 Q ( Q 1 Q T )使得 1 T Q AQ Q AQ i ,i 1,2,3为A 的特征值, 因此若用正交变换x Qy x X T A X Qy T y 1y 12 2y ； 3y f (标准形)即A 与合同且 A 与相似,
正交矩阵与正交变换的性质及应用
正交矩阵与正交变换的性质及应用 程祥 河南大学数学与信息科学学院 开封 475004 摘要 矩阵是数学中的重要概念，是代数学重要研究对象之一，也是数学与其他领域研究与应用的一个重要工具，而正交矩阵作为一类特殊且常用的矩阵，在矩阵论中占有重要地位，且应用非常广泛，因此对正交矩阵的探讨具有十分重要的意义.本文主要对正交矩阵的性质及结论进行归纳总结，并对相关性质进行推广. 关键词:正交矩阵;正交变换;性质 1.1 正交矩阵的的定义及其判定 定义1 n 阶实矩阵A , 若满足E A A =', 则称A 为正交矩阵. 性质1 A 为正交矩阵1'-=?A A . 性质2 A 为正交矩阵?'1,,,1,2,,0,, i j i j i j n i j αα=?==? ≠? .的列向量为A i α. 性质 3 A 为正交矩阵?' 1,,1,2,...0,, i j i j i j n i j ββ=?===?≠?.的行向量为A i β. 1.2 正交矩阵的性质 性质1]3[ 若A 为正交矩阵则*'1,,A A A -均为正交矩阵. 证明 有E A A A A E A A A A ====---1''11''''')()(,)()(, E A A A A ==* ' ' * * )()(, 可得 * ' 1 ,,A A A -均为正交矩阵. 性质2 若A 为正交矩阵则11)det(-=或A 证明 对E A A ='两边同取行列式,
可得 1))(det(2 =A , 故 11)det(-=或A . 性质3]4[ 若B A ,为正交矩阵，则AB 也为正交矩阵. 证明 有E AA A ABB AB AB ===''''))((, 可得 AB 为正交矩阵. 性质4 正交矩阵的特征值的模为1. 证明 设A 为正交矩阵，复数λ为其任一特征值X 为其对应的特 征向量，即X AX λ=，0≠X 两边取转置 ' ' ' X A X λ=， 由此得 X X AX A X λλ' ' ' =, 有E A A ='可得 X X X X ' 2 ' λ=, 从而1=λ. 性质5 正交矩阵的实特征值为1±. 性质6]5[ 行列式为1的奇数阶正交矩阵必有特征值1. 证明 设A 为n 阶正交矩阵且1)det(=A ，n 为奇数 则 ' ' ' ) ()1()1(A E A E A A A A E n n --=--=-=- A E n --=)1(A E --=, 故
正交变换例子
正交变换例子 图片大小256*256（每隔20个像素画同心圆，在圆上隔π/4取点） 半径 (像素) 角度 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 1 8.57E+05 9.37E+06 3.62E+06 1.06E+06 5.33E+05 1.73E+05 2.73E+05 4.25E+05 20 8.16E+03 6.60E+03 1.31E+04 1.43E+04 3.22E+04 2.29E+04 2.72E+04 5.19E+03 40 5.72E+03 1.69E+03 1.65E+04 4.02E+03 1.63E+04 9.96E+03 9.00E+03 6.27E+03 60 6.64E+03 4.14E+03 1.07E+04 2.57E+03 6.24E+03 2.58E+03 1.37E+04 4.25E+03 80 3.23E+03 5.54E+03 2.35E+03 3.55E+03 3.63E+03 7.54E+02 4.63E+03 1.93E+03 100 4.14E+03 2.57E+03 8.59E+03 1.85E+03 2.66E+03 2.41E+03 2.15E+03 1.56E+03 120 3.24E+03 3.05E+03 5.44E+03 3.38E+03 2.16E+03 2.47E+03 2.19E+03 3.86E+03
图片大小512*512（每隔20个像素画同心圆，在圆上隔π/4取点） 半径(像素) 角度 0 π/4 π/2 3π/4 π5π/4 3π/2 7π/4 1 3.43E+06 3.75E+07 1.45E+07 4.25E+06 2.13E+06 6.91E+05 1.09E+06 1.71E+06 20 2.97E+04 2.26E+04 5.09E+04 5.74E+04 1.27E+05 9.07E+04 1.03E+05 1.91E+04 40 2.37E+04 1.53E+04 3.94E+04 8.59E+03 1.86E+04 9.59E+03 4.86E+04 1.25E+04 60 2.37E+04 1.53E+04 3.94E+04 8.59E+03 1.86E+04 9.59E+03 4.86E+04 1.25E+04 80 1.04E+04 1.74E+04 1.07E+04 9.93E+03 1.10E+04 4.74E+03 1.49E+04 8.14E+03 100 1.65E+04 8.13E+03 3.03E+04 5.08E+03 5.54E+03 3.33E+03 1.03E+04 2.69E+03 120 6.40E+03 6.61E+03 1.12E+04 8.01E+03 8.45E+03 5.36E+03 4.19E+03 1.27E+04 140 3.51E+03 7.72E+03 2.41E+03 3.08E+03 8.90E+03 9.45E+03 1.73E+04 2.55E+03 160 3.36E+03 3.77E+03 1.77E+04 4.96E+03 1.22E+04 6.11E+03 1.11E+04 1.45E+03 180 1.85E+03 4.08E+03 1.08E+04 4.68E+03 2.78E+03 2.83E+03 1.65E+04 7.90E+03 200 3.75E+03 4.63E+03 1.56E+04 1.66E+03 3.06E+03 4.56E+03 8.27E+03 2.84E+03 220 8.96E+03 2.62E+03 6.61E+03 3.82E+03 7.78E+03 3.78E+03 6.36E+03 5.04E+03 240 5.76E+03 1.19E+03 5.81E+03 2.66E+03 4.06E+03 5.49E+0 2 1.05E+04 4.30E+03