第6练 熟练掌握基本初等函数
第6练 夯基础——熟练掌握基本初等函数
[题型分析·高考展望] 基本初等函数的性质、图象及其应用是高考每年必考内容，一般为二至三个选择题、填空题，难度为中档.在二轮复习中，应该对基本函数的性质、图象再复习，达到熟练掌握，灵活应用.对常考题型进行题组强化训练，图象问题难度稍高，应重点研究解题技巧及解决此类问题的总体策略.
体验高考
1.(2015·浙江)若a ＝log 43，则2a ＋2－
a ＝________.
答案
4
3
3 解析 ∵a ＝log 43，∴4a ＝3?2a ＝3， ∴2a ＋2－
a ＝3＋
13＝43
3. 2.(2015·天津)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x
－m |
－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b
＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜b C.c ＜a ＜b D.c ＜b ＜a
答案 C
解析 因为函数f (x )＝2|x
－m |
－1为偶函数，
所以m ＝0，即f (x )＝2|x |－1. 因为a ＝f (log 0.53)＝f ????log 21
3 ＝21
|log |
3
2
－1＝2log 3
2
－1＝3－1＝2，
b ＝f (log 25)＝2|log 5|
2
－1＝4，
c ＝f (2m )＝f (0)＝2|0|－1＝0， 所以c 3.(2016·山东)已知函数f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >1 2时，f ????x ＋12＝f ???x －12，则f (6)等于( ) A.－2 B.－1 C.0 D.2 答案 D 解析 当x >1 2时，f ????x ＋12＝f ????x －12， 即f (x )＝f (x ＋1)，∴T ＝1，∴f (6)＝f (1). ∵当x <0时，f (x )＝x 3－1， 当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝2，故选D. 4.(2016·上海)已知a ∈R ，函数f (x )＝log 2???? 1x ＋a . (1)当a ＝5时，解不等式f (x )＞0； (2)若关于x 的方程f (x )－log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围； (3)设a ＞0，若对任意t ∈[12，1]，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1， 求a 的取值范围. 解 (1)log 2????1x ＋5＞0?1 x ＋5＞1?4x ＋1x ＞0 ?x (4x ＋1)＞0， ∴不等式的解为{x |x ＞0或x ＜－1 4 }. (2)依题意，log 2???? 1x ＋a ＝log 2[(a －4)x ＋2a －5]， ∴1 x ＋a ＝(a －4)x ＋2a －5＞0， ① 可得(a －4)x 2＋(a －5)x －1＝0， 即(x ＋1)[(a －4)x －1]＝0. ② 当a ＝4时，方程②的解为x ＝－1，代入①式，成立； 当a ＝3时，方程②的解为x ＝－1，代入①式，成立； 当a ≠3且a ≠4时，方程②的解为x ＝－1或1 a －4. 若x ＝－1为方程①的解，则1 x ＋a ＝a －1＞0，即a ＞1， 若x ＝1a －4为方程①的解，则1 x ＋a ＝2a －4＞0，即a ＞2. 要使得方程①有且仅有一个解，则1＜a ≤2. 综上，若原方程的解集有且只有一个元素， 则a 的取值范围为1＜a ≤2或a ＝3或a ＝4. (3)f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减， 依题意，f (t )－f (t ＋1)≤1， 即log 2??? ? 1t ＋a －log 2??? ?1t ＋1＋a ≤1， ∴1 t ＋a ≤2????1t ＋1＋a ， 即a ≥1t －2t ＋1＝1－t t (t ＋1). 设1－t ＝r ，则r ∈[0，1 2]， 1－t t (t ＋1)＝r (1－r )(2－r )＝r r 2－3r ＋2. 当r ＝0时，r r 2－3r ＋2＝0； 当0＜r ≤12时，r r 2－3r ＋2 ＝ 1 r ＋2r －3. ∵函数y ＝x ＋2 x 在(0，2)上递减， ∴r ＋2r ≥12＋4＝92， ∴ 1r ＋2r －3≤192 －3＝2 3， ∴a 的取值范围为a ≥23 . 高考必会题型 题型一 指数函数的图象与性质 指数函数性质：指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)为单调函数；当a ＞1时，在(－∞，＋∞)上为增函数，当0＜a ＜1时，在(－∞，＋∞)上为减函数；指数函数y ＝a x 为非奇非偶函数，值域为(0，＋∞). 例1 (1)设a ＝20.3，b ＝30.2，c ＝70.1，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c ＜a ＜b B.a ＜c ＜b C.a ＜b ＜c D.c ＜b ＜a (2)若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a ＞0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是______. 答案 (1)A (2)(0，1 2 ) 解析 (1)由已知得a ＝80.1，b ＝90.1，c ＝70.1，构建幂函数y ＝x 0.1，根据幂函数在区间(0，＋∞)上为增函数，得c ＜a ＜b . (2)方程|a x －1|＝2a (a ＞0且a ≠1)有两个实根转化为函数y ＝|a x －1|的图象与y ＝2a 的图象有两个交点. ①当0＜a ＜1时，如图(1)， ∴0＜2a ＜1，即0＜a ＜1 2 ； ②当a ＞1时，如图(2)，而y ＝2a ＞1，不符合要求. 综上，0＜a ＜1 2 . 点评 (1)指数函数值比较大小，除考虑指数函数单调性、值域外，还需考虑将其转化为幂函数，利用幂函数的单调性比较大小. (2)数形结合思想是解决函数综合问题的主要手段，将问题转化为基本函数的图象关系，比较图象得出相关变量的方程或不等关系，从而使问题解决. 变式训练1 (1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( ) A.a ＞1，b ＜0 B.a ＞1，b ＞0 C.0＜a ＜1，b ＞0 D.0＜a ＜1，b ＜0 (2)如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a ＞0，a ≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a 的值为( ) A.13 B.1C.3 D.13或3 答案 (1)D (2)D 解析 (1)由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0＜a ＜1，又由图象在y 轴截距小于1可知a － b ＜1，即－b ＞0，所以b ＜0，故选D. (2)令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2. 当a ＞1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈[1 a ，a ]， 又函数y ＝(t ＋1)2－2在[1 a ，a ]上单调递增， 所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去)； 当0＜a ＜1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈[a ，1 a ]， 又函数y ＝(t ＋1)2－2在[a ，1 a ]上单调递增， 所以y max ＝????1a ＋12 －2＝14， 解得a ＝1 3 (负值舍去). 综上知a ＝3或a ＝1 3 . 题型二 对数函数的图象与性质 y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)基本性质：过定点(1，0)； a ＞1时在(0，＋∞)上单调递增，0＜a ＜1时在(0，＋∞)上单调递减； 0＜a ＜1时，x ∈(1，＋∞)，y ＜0，x ∈(0，1)，y ＞0； a ＞1时，x ∈(1，＋∞)，y ＞0，x ∈(0，1)，y ＜0； y ＝log a x ，x ∈(0，＋∞)，y ∈R ，是非奇非偶函数. 例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( ) (2)当0＜x ≤1 2时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( ) A.? ???0， 22 B.??? ?2 2，1C.()1，2 D.()2，2 答案 (1)C (2)B 解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ； 又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.选C. (2)方法一 构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a ＞1时不满足条件；当0＜a ＜1时，画出两个函数在??? ?0，1 2上的图象，如图所示. 可知f ????12＜g ???? 12， 即2＜log a 12 ， 则a ＞ 22，所以a 的取值范围为??? ?2 2，1. 方法二 ∵0＜x ≤1 2，∴1＜4x ≤2，∴log a x ＞4x ＞1， ∴0＜a ＜1，排除选项C ，D ； 取a ＝12，x ＝12，则有421 ＝2，log 2 11 2 ＝1， 显然4x ＜log a x 不成立，排除选项A. 点评 对于含参数的指数、对数函数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论.解决对数函数问题时，首先要考虑其定义域，其次再利用性质求解. 变式训练2 (1)设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 2 1a ，????12b ＝log 2 1b ，??? ?12c ＝log 2c ，则( ) A.a ＜b ＜c B.c ＜b ＜a C.c ＜a ＜b D.b ＜a ＜c (2)设函数f (x )＝????? log 2 x ，x ＞0，log 21 (－x )，x ＜0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( ) A.(－1，0)∪(0，1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞) C.(－1，0)∪(1，＋∞) D.(－∞，－1)∪(0，1) 答案 (1)A (2)C 解析 (1)如图， 在同一坐标系中，作出函数y ＝??? ?12x ，y ＝2x ，y ＝log 2x 和y ＝log 2 1x 的图象.由图象可知a ＜b ＜c . (2)由题意可得? ???? a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或???? ? a ＜0，log 21 (－a )＞log 2(－a )， 解得a ＞1或－1＜a ＜0. 题型三 幂函数的图象与性质 例3 (1)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)·23-n n x (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上 是减函数，则n 的值为( ) A.－3 B.1C.2 D.1或2 (2)已知定义域为R 的函数f (x )＝????? 1|x －1|， x ≠1， 1， x ＝1， 若关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有3 个不同的实根x 1，x 2，x 3，则x 21＋x 22＋x 2 3等于( ) A.13 B.2b 2＋2b 2 C.5 D.3c 2＋2c 2 答案 (1)B (2)C 解析 (1)由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，当n ＝1时，函数f (x )＝x －2 为偶函数，其图象关于y 轴对称，且f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以n ＝1满足 题意；当n ＝－3时，函数f (x )＝x 18为偶函数，其图象关于y 轴对称，而f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以n ＝－3不满足题意，舍去.故选B. (2)作出f (x )的图象，由图知，只有当f (x )＝1时有3个不同的实根.∵关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有3个不同的实数解x 1，x 2，x 3，∴必有f (x )＝1，从而x 1＝1，x 2＝2，x 3＝0，故可得 x 21＋x 22＋x 2 3＝5，故选C. 点评 在幂函数中，y ＝x －1 非常重要，在高考中经常考查，要会画其函数作平移变换后的图 象，并对其对称中心、单调性作深入研究. 变式训练3 已知幂函数f (x )＝(t 2－t ＋1)·2 7325 +-t t x (t ∈N )是偶函数，则实数t 的值为( ) A.0 B.－1或1 C.1 D.0或1 答案 C 解析 因为函数为幂函数，所以t 2－t ＋1＝1，即t 2－t ＝0，所以t ＝0或t ＝1.当t ＝0时，f (x )＝7 5 x 为奇函数，不满足条件；当t ＝1时，f (x )＝85 x 为偶函数，所以t ＝1. 高考题型精练 1.(2016·北京)已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则( ) A.1x －1 y ＞0 B.sin x －sin y ＞0 C.????12x －????12y ＜0 D.ln x ＋ln y ＞0 答案 C 解析 函数y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，所以1x ＜1y ，即1x －1 y ＜0，A 错；函数y ＝sin x 在(0， ＋∞)上不是单调函数，B 错；函数y ＝????12x 在(0，＋∞)上单调递减，所以????12x ＜????12y ，即??? ?12x －????12y ＜0，C 正确；ln x ＋ln y ＝ln xy ，当x ＞y ＞0时，xy 不一定大于1，即不一定有ln xy ＞0，D 错. 2.函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.1 2C.2 D.4 答案 B 解析 当a ＞1时，a ＋log a 2＋1＝a ，log a 2＝－1，所以a ＝1 2，与a ＞1矛盾；当0＜a ＜1时， 1＋a ＋log a 2＝a ，log a 2＝－1，所以a ＝1 2 . 3.若函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a 等于( ) A.14 B.1 2C.2 D.4 答案 A 解析 若a ＞1，有a 2＝4，a － 1＝m ，此时a ＝2，m ＝12， 此时g (x )＝－x 为减函数，不符合题意； 若0＜a ＜1，有a － 1＝4，a 2＝m ， 故a ＝14，m ＝1 16 ，检验知符合题意. 4.下列函数中，与函数y ＝????? e x ，x ≥0，????1e x ，x ＜0的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是 ( ) A.y ＝－1 x B.y ＝x 2＋2 C.y ＝x 3－3 D.y ＝log 1e |x | 答案 B 解析 y ＝????? e x ，x ≥0，e －x ，x ＜0 ＝e |x |为偶函数，且在(－∞，0)上为减函数.而y ＝－1 x 为奇函数，y ＝ x 3－3为非奇非偶函数，故排除A ，C.y ＝x 2＋2为偶函数，且在(－∞，0)上为减函数.y ＝log 1 e |x |为偶函数，但其在(－∞，0)上为增函数.综上知，选B. 5.(2015·课标全国Ⅰ)设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a 的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2) ＋f (－4)＝1，则a 等于( ) A.－1 B.1C.2 D.4 答案 C 解析 设f (x )上任意一点为(x ，y )，关于y ＝－x 的对称点为(－y ，－x ).将(－y ，－x )代入y ＝2x ＋ a ，得y ＝a －log 2(－x )，由f (－2)＋f (－4)＝1，得a －1＋a －2＝1，2a ＝4，a ＝2. 6.设函数f (x )的零点为x 1，g (x )＝4x ＋2x －2的零点为x 2，若|x 1－x 2|≤0.25，则f (x )可以是( ) A.f (x )＝x 2－1 B.f (x )＝2x －4 C.f (x )＝ln(x ＋1) D.f (x )＝8x －2 答案 D 解析 g (x )＝4x ＋2x －2在R 上单调递增， 且g ????14·g ????12＝????2－3 2×1＜0， 即x 2∈???? 14，12. f (x )＝x 2－1的零点为x 1＝±1， f (x )＝2x －4的零点为x 1＝2， f (x )＝ln(x ＋1)的零点为x 1＝0， f (x )＝8x －2的零点为x 1＝14， 只有选项D 满足|x 1－x 2|≤0.25.故选D. 7.已知0＜a ＜1，则函数f (x )＝a x －|log a x |的零点个数为________. 答案 2 解析 分别画出函数y ＝a x (0＜a ＜1)与y ＝|log a x |(0＜a ＜1)的图象，如图所示，图象有两个交点. 8.已知函数f (x )＝? ???? log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数 a 的取值范围是________. 答案 (1，＋∞) 解析 画出函数y ＝f (x )与y ＝a －x 的图象，如图所示，所以a ＞1. 9.(2016·浙江)已知a ＞b ＞1.若log a b ＋log b a ＝5 2，a b ＝b a ，则a ＝______，b ＝______. 答案 4 2 解析 设log b a ＝t ，则t ＞1，所以t ＋1t ＝52，解得t ＝2，所以a ＝b 2，①所以a b ＝b a ?b 2b ＝2b b ， ②解得b ＝2，a ＝4. 10.若函数y ＝????12|1－x | ＋m 的图象与x 轴有公共点，则实数m 的取值范围是________. 答案 [－1，0) 解析 由题意得，函数y ＝ ??? ??? ?121－x ＋m ，x ≤1， ??? ?12x －1 ＋m ，x ＞1， 首先作出函数y ＝ ??? ??? ?121－x ，x ≤1，??? ?12x －1 ，x ＞1 的图象，如图所示. 由图象可知， 要使函数y ＝ ??? ??? ?121－x ＋m ，x ≤1，??? ?12x －1 ＋m ，x ＞1 的图象与x 轴有公共点， 则m ∈[－1，0). 11.已知函数f (x )＝???? ? －x 2 ＋2x ，x >0，0，x ＝0， x 2＋mx ，x <0是奇函数. (1)求实数m 的值； (2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围. 解 (1)∵函数f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x ). 当x >0时，－x <0， 有(－x )2－mx ＝－(－x 2＋2x )， 即x 2－mx ＝x 2－2x . ∴m ＝2. (2)由(1)知f (x )＝???? ? －x 2 ＋2x ，x >0，0，x ＝0， x 2＋2x ，x <0， 如图. 当x >0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1， ∴当x ∈[1，＋∞)时，f (x )单调递减； 当x ∈(0，1]时，f (x )单调递增. 当x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∴当x ∈(－∞，－1]时，f (x )单调递减； 当x ∈[－1，0)时，f (x )单调递增. 综上知：函数f (x )在[－1，1]上单调递增. 又函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增. ∴???? ? a －2>－1，a －2≤1， 解得1 12.设函数f (x )＝ka x －a － x (a ＞0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数. (1)若f (1)＞0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)＞0的解集； (2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a － 2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值. 解 因为f (x )是定义域为R 的奇函数， 所以f (0)＝0，所以k －1＝0， 即k ＝1，f (x )＝a x －a － x . (1)因为f (1)＞0，所以a －1 a ＞0， 又a ＞0且a ≠1，所以a ＞1. 因为f ′(x )＝a x ln a ＋a － x ln a ＝(a x ＋a － x )ln a ＞0， 所以f (x )在R 上为增函数. 原不等式可化为f (x 2＋2x )＞f (4－x )， 所以x 2＋2x ＞4－x ，即x 2＋3x －4＞0， 所以x ＞1或x ＜－4. 所以不等式的解集为{x |x ＞1或x ＜－4}. (2)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝3 2， 即2a 2－3a －2＝0， 所以a ＝2或a ＝－1 2(舍去). 所以g (x )＝22x ＋2 －2x －4(2x －2－ x ) ＝(2x －2－ x )2－4(2x －2－ x )＋2. 令t (x )＝2x －2－ x (x ≥1)， 则t (x )在(1，＋∞)上为增函数(由(1)可知)， 即t (x )≥t (1)＝3 2 ， 所以原函数为ω(t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2， 所以当t ＝2时，ω(t )min ＝－2， 此时x ＝log 2(1＋2). 即g (x )在x ＝log 2(1＋2)处取得最小值－2. 第二章函数与基本初等函数Ⅰ 第一节函数的概念及其表示 1．函数与映射的概念 2．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域： 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集． (2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则． (3)相同函数：如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，则这两个函数相同，这是判断两函数相同的依据． (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[小题体验] 1．(教材习题改编)下列五个对应f，不是从集合A到集合B的函数的是________(填序号)． ①A ＝? ??? ??1 2，1，32 ，B ＝{－6，－3,1}，f ????12 ＝－6，f (1)＝－3，f ??? ?32 ＝1； ②A ＝{1,2,3}，B ＝{7,8,9}，f (1)＝f (2)＝7，f (3)＝8； ③A ＝B ＝{1,2,3}，f (x )＝2x －1； ④A ＝B ＝{x |x ≥－1}，f (x )＝2x ＋1； ⑤A ＝Z ，B ＝{－1,1}，n 为奇数时，f (n )＝－1，n 为偶数时，f (n )＝1. 解析：根据函数定义，即看是否是从非空数集A 到非空数集B 的映射．③中集合A 中的元素3在集合B 中无元素与之对应，故不是A 到B 的函数．其他均满足． 答案：③ 2．(教材习题改编)若f (x )＝x －x 2，则f ???? 12 ＝________. 解析：f ????12 ＝12－????12 2＝14. 答案：14 3．(教材习题改编)用长为30 cm 的铁丝围成矩形，若将矩形面积S (cm 2)表示为矩形一边长x (cm)的函数，则函数解析式为________，其函数定义域为________． 解析：矩形的另一条边长为15－x ，且x >0,15－x >0. 故S ＝x (15－x )，定义域为(0,15)． 答案：S ＝x (15－x ) (0,15) 4．函数f (x )＝ x －4 |x |－5 的定义域是________________． 答案：[4,5)∪(5，＋∞) 1．解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则． 2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，若A ，B 不是数集，则这个映射便不是函数． 3．误把分段函数理解为几个函数组成． [小题纠偏] 1．函数y ＝x 与函数y ＝ x x ________(填“是”或“不是”)同一函数． 解析：函数y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，y ＝x x 的定义域为(0，＋∞)．因为两个函数的定义域不同，所以不表示同一函数． 答案：不是 2．函数f (x )＝x －1·x ＋1的定义域为________． 六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）； α 1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数 n m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）； 4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m 3.（选，补充）指数函数值的大小比较* N ∈a ； a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(， x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y = 的图像越靠近y 轴； b.2.当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ? ? ?=1)( 一、一次函数 二、二次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3）二次函数图象的性质 图像 定义域 (),-∞+∞ 对称轴 2b x a =- 顶点坐标 24,24b ac b a a ??-- ??? 值域 24,4ac b a ??-+∞ ??? 24,4ac b a ?? --∞ ?? ? 单调区间 ,2b a ??-∞- ??? 递减 ,2b a ?? -+∞ ??? 递增 ,2b a ? ?-∞- ??? 递增 ,2b a ?? -+∞ ??? 递减 ①.二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为 ,2b x a =-顶点坐标是24(, )24b ac b a a -- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞- 上递减， 在[,)2b a -+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,] 2b a -∞-上递增，在[,)2 b a -+∞上递减，当2b x a =-时，2max 4()4ac b f x a -=． 三、幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象 2b x a =- 2b x a =- 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 基本初等函数及图形 (1) 常值函数（也称常数函数） y =c （其中c 为常数） (2) 幂函数 μ x y =，μ是常数； (3) 指数函数 x a y = (a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ； (4) 对数函数 x y a log =(a 是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞； 1. 当u 为正整数时，函数的定义域为区间) ,(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当 u>1时在原点处与X 轴相切。且u 为奇数时，图形关于原点对称；u 为偶数时图形关于Y 轴对称； 2. 当u 为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数。 3. 当u 为正有理数m/n 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞+∞）。函数的图形均经过原点和（1 ,1）. 如果m>n 图形于x 轴相切,如果m 正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 正切函数 x y tan =， 2π π+ ≠k x ，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ， 余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ； 一、一次函数与二次函数 （一）一次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2 ()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3）二次函数图象的性质 ①.二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2x a =- 顶点坐标是2 4(,)24b ac b a a -- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞- 上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递 增，在[,)2b a -+∞上递减，当2b x a =- 时，2max 4()4ac b f x a -=． 二、幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数y x α =叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象 过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． 三、指数函数 （1）根式的概念：如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根． （2）分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数 指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． （3）运算性质 五、基本初等函数及其性质和图形 1.幂函数 函数称为幂函数。如，， ，都是幂函数。没有统一的定义域，定义域由值确定。如 ,。但在内 总是有定义的，且都经过（1,1）点。当 时，函数在上是单调增加的，当时，函数在内是单调减少的。下面给出几个常用的幂函数： 的图形，如图1-1-2、图1-1-3。 图1-1-2 图1-1-3 2.指数函数 函数称为指数函数，定义域 ，值域；当时函数为单调增加 的；当时为单调减少的，曲线过点。高等 数学中常用的指数函数是时，即。以与 为例绘出图形，如图1-1-4。 图1-1-4 3.对数函数 函数称为对数函数，其定义域 ，值域。当时单调增加，当 时单调减少，曲线过（1，0）点，都在右半平面 内。与互为反函数。当时的对数 函数称为自然对数，当时，称为常用对数。以为例绘出图形，如图1-1-5。 图1-1-5 4.三角函数有 ，它们都是周期函 数。对三角函数作简要的叙述： （１）正弦函数与余弦函数：与定义域都是，值域都是。它们都是有界函数，周期都是，为奇函数，为偶函数。图形为图1-1-6、图1-1-7。 图1-1-6正弦函数图形 图1-1-7余弦函数图形 （２）正切函数，定义域，值 域为。周期，在其定义域内单调增加的奇函数，图形为图1-1-8 图1-1-8 （３）余切函数，定义域，值域为 ，周期。在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-9。 图1-1-9 （４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的偶函数，图形如图1-1-10。 图1-1-10 （５）余割函数，定义域，值域为 ，为无界函数，周期在定义域为奇函 数，图形如图1-1-11。 1.2.2 基本初等函数的导数公式 1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝e 3 ，则y ′＝0 B ．若y ＝ 1 x ，则y ′＝－1 2x C ．若y ＝－x ，则y ′＝－1 2x D ．若y ＝3x ，则y ′＝3 2．下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②? ????sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′|x =3＝－227.其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是( ) A ．1 B ．0 C ．2 D ．1 2 4．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A ．??????0，π4∪??????3π4，π B ．[0，π) C ．??????π4，3π4 D ．??????0，π4∪??????π2，3π4 5．曲线y ＝e x 在点(2，e 2 )处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.12e 2 B.94 e 2 C ．2e 2 D ．e 2 6．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N * )在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n 的值为( ) A ．1n B ．1n ＋1 C ．n n ＋1 D ．1 课后探究 1．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为 2．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为 一、选择题 2．已知函数f (x )＝x 3 的切线的斜率等于3，则切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定 4．y ＝x α 在x ＝1处切线方程为y ＝－4x ，则α的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．1 D ．－1 5．f (x )＝ 1x 3 x 2 ，则f ′(－1)＝( ) A ．52 B ．－52 C ．53 D ．－53 6.函数y ＝e x 在点(2，e 2 )处的切线与坐标轴围成三角形的面积为( ) A ．94e 2 B ．2e 2 C ．e 2 D ．e 2 2 二、填空题 7．曲线y ＝x n 在x ＝2处的导数为12，则n 等于________． 8．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s ＝5 t ，则质点在t ＝32时的速度等于________． 9．在曲线y ＝4 x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为________． 三、解答题 10．求证双曲线y ＝1 x 上任意一点P 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为定值． 一、选择题 11．(2014·北京东城区联考)曲线y ＝13x 3 在x ＝1处切线的倾斜角为( ) A ．1 B ．－π4 C ．π4 D ．5π4 基本初等函数及图形 基本初等函数为以下五类函数： (1) 幂函数 ,y x μμ=是常数； 1.当μ为正整数时，函数的定义域为区间(,)x ∈-∞+∞，他们的图形都经过原点，并当μ>1时在原点处与x 轴相切。且μ为奇数时，图形关于原点对称；μ为偶数时图形关于y 轴对称； 2.当μ为负整数时。函数的定义域为除去x =0的所有实数。 3.当μ为正有理数m n 时，n 为偶数时函数的定义域为(0,)+∞，n 为奇数时函数的定义域为(,)-∞+∞。函数的图形均经过原点和(1,1). 如果m n >图形于x 轴相切,如果m n <,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对称;m ，n 均为奇数时,跟原点对称 .4.当μ为负有理数时,n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时,定义域为去除x =0以外的一切实数. (2) 指数函数 x a y =(a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ； 1.当μ为正整数时，函数的定义域为区间 ，他们的图形都经过原点，并当μ>1时在原点处与x 轴相切。且μ为奇数时，图形关于原点对称；μ为偶数时图形关于y 轴对称； 2.当μ为负整数时。函数的定义域为除去x =0的所有实数。 3.当μ为正有理数m n 时，n 为偶数时函数的定义域为(0,)+∞，n 为奇数时函数的定义域为(,)-∞+∞。函数的图形均经过原点和(1,1). 如果m n >图形于x 轴相切,如果m n <,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对称;m ,n 均为奇数时,跟原点对称. 4.当μ为负有理数时,n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;n 为奇数时,定义域为去除x =0以外的一切实数. (3) 对数函数 x y a log =(a 是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞； 1. 他的图形为于y 轴的右方.并通过点(1,0) 2. 当a >1时在区间(0,1),y 的值为负.图形位于x 的下方,在区间(1,)+∞,y 值为正,图形位于x 轴上方.在定义域是单调增函数.a <1在实用中很少用到. (4) 三角函数 正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 1.1 初等函数图象及性质 1.1.1 幂函数 1函数（μ是常数）叫做幂函数。 2幂函数的定义域，要看μ是什么数而定。 但不论μ取什么值，幂函数在(0,+ ∞ )内总有定义。 3最常见的幂函数图象如下图所示：[如图] 4 2 -551015 -2 -4 -6 4①α＞0时，图像都过（0,0）、（1,1 注意α＞1与0<α＜1的图像与性质的区别. ②α＜0时，图像都过（1,1）点，在区间（0 上无限接近y轴，向右无限接近x轴. ③当x>1时，指数大的图像在上方. 1.1.2 指数函数与对数函数 1．指数函数 1函数 （a 是常数且a>0,a ≠ 1）叫做指数函数，它的定义域是区间(-∞ ,+∞ )。 2因为对于任何实数值x ，总有，又，所以指数函数的图形，总在x 轴的上方， 且通过点(0,1)。 若a>1，指数函数是单调增加的。若0 2．对数函数 由此可知，今后常用关系式，如： 指数函数的反函数，记作（a是常数且a>0，≠ a1），叫做对数函数。它的定义域是区间(0,+∞ )。 对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x对称（图1-22）。 的图形总在y轴上方，且通过点(1,0)。 若a>1，对数函数是单调增加的，在开区间(0,1)内函数值为负，而在区间(1,+∞ )内函数值为正。 若0 （高数）基本初等函数图像与性质 1.函数的五个要素：自变量，因变量，定义域，值域，对应法则 2.函数的四种特性：有界限，单调性，奇偶性，周期性 3.每个函数的图像很重要 一、幂函数 a x =y (a 为常数） 最常见的几个幂函数的定义域及图形 1.当a 为正整数时，函数的定义域为区间(,)x ∈-∞+∞，他们的图形都经过原点，并当a>1时在原点处与x 轴相切。且a 为奇数时，图形关于原点对称；a 为偶数时图形关于y 轴对称； 2.当a 为负整数时。函数的定义域为除去x =0的所有实数。 3.当a 为正有理数m n 时，n 为偶数时函数的定义域为(0,)+∞，n 为奇数时函数的定义域为(,)-∞+∞。函数的图形均经过原点和(1,1)； 如果m n >图形于x 轴相切,如果m n <,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对 称;m，n均为奇数时,跟原点对称。 4.当a为负有理数时,n为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数；n为奇数时,定义域为去除x=0以外的一切实数。 二、指数函数 x a y=(a是常数且01 a a >≠ ，)，) , (+∞ -∞ ∈ x 图形过（0，1）点，a>1时，单调增加；0 四、三角函数 正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 正切函数 x y tan =，2ππ+≠k x ，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ， 余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ； 五、反三角函数 反正弦函数 x y arcsin =， ]1,1[-∈x ，]2,2[ππ-∈y ， 反余弦函数 x y arccos =，]1,1[-∈x ，],0[π∈y ， 六种基本初等函数 e l e m e n r y f u n c t i o n 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988） 六种基本初等函数（e l e m e n t a r y f u n c t i o n）一、常数函数（constant function） 数。例如，函数f(x)=4，因为f映射任意的值到4，因此函数f(x)是一个常数。 二、幂函数（power function) 形如y=x^a(a为）的函数。如，y = x^ 1/2，y = x，y= x^ 2，y= x^3 等。 三、指数函数(exponential function) 形如y=a^x的函数，式中a为不等于1的正常数。 四、(logarithmic function) 指数函数的反函数，记作y=loga x式中a为不等于1的正常数，定义域是X 〉0。 对数函数图形对数函数与指数函数互为反函数 五、三角函数(trigonometric function) 即正弦函数y=sinx ，余弦函数y=cosx ，正切函数y=tanx，余切函数 y=cotx ，正割函数y=secx，余割函数y=cscx。 六、反三角函数(inverse trigonometic function) y = arcsin x，为y=sin x的反函数 y = arccos x，为y=cos x 的反函数 y = arctan x，为y=tan x 的反函数 y = arccot x ，为y=cot x的反函数 y = arcsec x ，为y=sec x的反函数 y = arccsc x ，为y=csc x的反函数 七、定义域，值域和单调性 基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）； α 1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数 n m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）； 4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m 3.（选，补充）指数函数值的大小比较* N ∈a ； a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(， x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y = 的图像越靠近y 轴； b.2.当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ? ? ?=1)( 一、选择题 1．(2011·山东烟台模拟)幂函数y ＝f (x )的图像经过点(4，12)，则f (14 )的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：设幂函数f (x )＝x α，把(4，12)代入得α＝－12 ， 则f (x )＝x 12-－12，f (14)＝(14)12-＝2. 答案：B 2．(2011·福州质检)设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．[2，＋∞) C ．(－∞，0]∪[2，＋∞) D ．[0,2] 解析：二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，又f (x )＝a (x －1)2－a ＋c ， 所以a >0，即函数图像的开口向上，对称轴是直线x ＝1. 所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2. 答案：D 3.设00，ab >b 2，因此A 不正确；同理可知C 不正确；由 函数y ＝(12)x 在R 上是减函数得，当0(12)b >(12)a >(12)1，即12<(12)a <(12 )b ，因此B 正确；同理可知D 不正确． 答案：B 4．(2011·北京高考)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为 第三章 基本初等函数（Ⅰ） 一、指数和指数函数 ①指数 1、定义：n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数。规定：1 a a = 2、整数指数幂的运算法则： m n m n a a a + ?= () n m m n a a = (),0m m n n a a m n a a -=>≠ ()m m m ab a b =? 规定：()010a a =≠，；()1 0n n a a a -= ≠ 3、平方根：如果2 x a =，则x 叫做a 的平方根 当0a >时，有两个平方根，互为相反数，记作：a ±（a 为算术平方根） 当0a = 时，00= 当0a <时，在实数范围内没有平方根 立方根：如果3 x a =，则x 叫做a 的立方根（或三次方根） 在实数范围内a 只有一个立方根，记作3a 举例382=，382-=-，311 273 - =- n 次方根：如果n x a =（,1,a R n n N +∈>∈） ，则x 叫做a 的n 次方根 注意：（1）偶次方根： 正数的偶次方根有两个，互为相反数，记作：,,n n a a - （0,a a >为偶数）负数的偶次方根在实数范围内不存在 （2）奇次方根：正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，都表示为n a （3）算术根： 正数的正n 次方根叫做的a 的n 次算术根 4、根式：当n a 有意义时，n a 叫做根式，n 叫做根指数 5、根式性质：（1） () ()1,n n a a n n N +=>∈； （2）,,n n a n a a n ??=??? 为奇数为偶数 6、分数指数幂性质：（1）()10n n a a a = >； （2）()() ()11 ,0m m m n m m n n n n a a a a a a ??=== => ??? ；（3）11 m n m n m n a a a - = = 函数的概念与基本初等函数 1. 函数的有关概念 1) 函数的定义：A,B 为两个非空数集，存在某种对应关系f ,使结合A 中的任意一个 数x ，在集合B 中都有唯一确定的数，就称:f A B →为集合A 到B 的一个函数（映射）； (),y f x x A =∈ 2) 函数的表示法：解析法，图想法，列表发。 3) 分段函数：定义域在不同子集上，对应关系不同，要用不同的式子来表示的函数。 4) 复合函数：[()]y f g x =，注意()g x 的值域是()f x 的定义域。 求函数解析式的常用方法：配凑法，待定系数法，换元法，构造法。 例1.已知21 1,0 ()2(1),0x x f x x x ?+≤?=??-->? 使()1f x ≥-成立的x 的取值范围是_______ 解析：由题意知2 0111(1)12 x x x x ≤?>?? ??+≥---≥-???或，解得[4,2]- 例2.已知()f x 是一次函数，且3(1)()29f x f x x +-=+，则函数()f x 的解析式为 __________ 解析：令()f x ax b =+，代入到条件当中得出关于a,b 的联立方程，得a=1,b=3 例3.已知1()2()3f x f x x +=，则()f x 的解析式为__________ 解析：用1x 替换x 得13()2()f f x x x +=，由条件联立得到2()f x x x =- 2. 函数的基本性质 （1）单调性：增函数，减函数 复合函数的单调性：同增异减。 （2）奇偶性:偶函数；()()f x f x -=图像关于y 轴对称 寄函数；()()f x f x -=-图像关于原点对称 （3）周期性非零常数T 满足()()f x T f x +=，就称函数()f x 是周期为T 的函数 例1.2243,0 ()23,0 x x x f x x x x ?-+≤?=?--+>??，不等式()(2)f x a f a x +>-在[,1]a a +上恒成立， 则实数a 的取值范围是_________ 解析：函数()f x 在两个区间都是减函数，又在R 上连续，所以2x a a x +<- 20x a -<，又2y x a =-在[,1]a a +上位增函数，所以只要max 2(1)0y a a =+-<， 故a<-2 例2.函数(),()f x g x 分别是偶函数，寄函数，且32()()1f x g x x x -=++，则 (1)(1)f g +=________ 解析：由题得3 2 ()()()()1f x g x f x g x x x ---=+=-++，所以(1)(1)1f g += 例3.()f x 是寄函数，(1)2f =，且x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+，则 (667)f =_________ 解析：令3x =-得(3)(3)(3)f f f =-+，即(3)0f -=，又()f x 是寄函数 所以(3)0f =，(6)()f x f x +=，则(61111)(1)2f f ?+== 66 一、常见数列极限的存在情况： (1)1,1,1,1,1,L L 。通项1n y =，极限11()n y n =??￥（收敛） 即lim11n ?￥ = (2)11111, ,,,,,234n L L 。通项1n y n =，极限1 0()n y n n =??￥（收敛） 即01 lim =￥?n n (如图2) (3) 01 n n =+ (4))?￥（收 敛）即n ( (5)2,(6)1,-(如图6) n y 67 (7) 1,2,3,,,n L L 。通项n y n =，极限()n y n n =?￥?￥（发散）(如图7) 。 (8) (1)2n n y =- 极限 (1)n n y =-(如图8) （一）当x (1) 函数y y -￥ 68 (3)函数y x =-，极限lim x x ?±￥ -=￥m （）； (4)函数1y x = ，极限1 lim 0x x ?±￥= 限不存 y 69 2、指数函数部分 (9)函数(1x y a a =>），极限lim (1)x x a a ?+￥ =+￥>（极限不存在）（注意：x ?+￥） (10)函数(1x y a a =>）极限lim 0 (1)x x a a ?-￥ =>;（注意：x ?-￥） (11)函数 (01)x y a a =<<，极限lim 0 (01)x x a a ?+￥ =<< （注意：x ?+￥） (12)函数 (01)x y a a =<<，极限lim (01)x x a a ?-￥ =+￥<< 极限不存在（注意：x ?-￥） （x ?+￥ （注意：x ?-￥） x x 第三章 基本初等函数 第一讲 幂函数 1、幂函数的定义 一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数. 如112 3 4 ,,y x y x y x - ===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 注意： y x α=中，前面的系数为1，且没有常数项 2、幂函数的图像 （1）y x = （2）12 y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3 y x = y x = 2 y x = 3 y x = 12 y x = 1y x -= 定义域 R R R {}|0x x ≥ {}|0x x ≠ 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 在第Ⅰ象限单调增减性 在 第Ⅰ象限单调递增 在 第Ⅰ象限单调递增 在 第Ⅰ象限单调递增 在 第Ⅰ象限单调递增 在 第Ⅰ象限单调递减 定点 （1，1） （1，1） （1，1） （1，1） （1，1） 3（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x =）； （2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸； （3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 第二讲 指数函数 1、指数 （1）n 次方根的定义 若x n =a ，则称x 为a 的n 次方根，“n ”是方根的记号. 在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根. （2）方根的性质 ①当n 为奇数时，n n a =a . ②当n 为偶数时，n n a =|a |=?? ?<-≥). 0(), 0(a a a a （3）分数指数幂的意义 ①a n m =n m a （a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）. ②a n m - = n m a 1= n m a 1 （a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）. 2、指数函数的定义 一般地，函数x y a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 说明： 因为a ＞0，x 是任意一个实数时，x a 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R . 基本初等函数及图形 (1) 常值函数(也称常数函数) y =c(其中c 为常数) (2) 幂函数 μ x y =,μ就是常数; (3) 指数函数 x a y = (a 就是常数且01a a >≠，),),(+∞-∞∈x ; (4) 对数函数 x y a log =(a 就是常数且01a a >≠，),(0,)x ∈+∞; 1、 当u 为正整数时,函数的定义域为区间) ,(+∞-∞∈x ,她们的图形都经过原点,并当u>1 时在原点处与X 轴相切。且u 为奇数时,图形关于原点对称;u 为偶数时图形关于Y 轴对称; 2、 当u 为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数。 3、 当u 为正有理数m/n 时,n 为偶数时函数的定义域为(0, +∞),n 为奇数时函数的定义域为(-∞+∞)。函数的图形均经过原点与(1 ,1)、 如果m>n 图形于x 轴相切,如果m (5) 三角函数 正弦函数x y sin =,) , (+∞ -∞ ∈ x,]1,1 [- ∈ y, 余弦函数x y cos =,) , (+∞ -∞ ∈ x,]1,1 [- ∈ y, 正切函数x y tan =,2 π π+ ≠k x ,k Z ∈,) , (+∞ -∞ ∈ y, 余切函数x y cot =,πk x≠,k Z ∈,) , (+∞ -∞ ∈ y; 1.她的图形为于y轴的右方、并通过点(1,0) 2.当a>1时在区间(0,1),y的值为负、图形位于x的下 方,在区间(1, +∞),y值为正,图形位于x轴上方、在 定义域就是单调增函数、 a<1在实用中很少用到/函数与基本初等函数Ⅰ
(完整版)六大基本初等函数图像及其性质
最新基本初等函数讲义(全)
五类基本初等函数及图形
6类基本初等函数的图形及性质(考研数学基础)_完美版
基本初等函数图像及性质大全
五大基本初等函数性质及其图像
(完整版)基本初等函数的导数公式随堂练习
基本初等函数图像
基本初等函数(整理)
(完整版)(考研高数)基本初等函数图像与性质
六种基本初等函数elemenryfunction
高数总结：基本初等函数图像及其性质
专题一 第三讲 二次函数、基本初等函数及函数的应用
基本初等函数(Ⅰ)知识点总结
函数的概念与基本初等函数
常见基本初等函数极限
基本初等函数(3)
6类基本初等函数以及三角函数考研数学基础
相关文档
- 6类基本初等函数的图形及性质(考研数学基础) 完美版
- 6类基本初等函数的图形及性质(考研数学基础)_完美版
- 6类基本初等函数的图形及性质(考研数学基础) 完美版
- 基本初等函数和函数的应用知识点总结
- 要求掌握的几类基本初等函数总结(图像及其性质)
- 基本初等函数知识点归纳
- 基本初等函数知识点总结
- (完整)六大基本初等函数图像及其性质
- 基本初等函数知识点总结
- 基本初等函数
- (完整版)基本初等函数的图形及性质
- 基本初等函数图像
- 6类基本初等函数以及三角函数(考研数学基础)
- (完整)五大基本初等函数性质及其图像
- 6类基本初等函数以及三角函数(考研数学基础)
- 六类基本初等函数以及求导
- 基本初等函数(I)
- 六种基本初等函数elemenryfunction
- 五大基本初等函数性质和图像
- 人教版高中数学必修一基本初等函数ppt课件