三角函数和向量

1．已知锐角α,且5α的终边上有一点P(sin(－50°），cos 130°)，则α的值为()

A．8°B．44°

C．26°D．40°

答案B

解析∵sin (－50°）＜0，cos 130°＝－cos 50°＜0,

∴点P(sin（－50°)，cos 130°)在第三象限．

又∵0°＜α＜90°，∴0°＜5α＜450°。

又∵点P的坐标可化为（cos 220°，sin 220°），

∴5α＝220°,∴α＝44°，故选B.

2．已知向量错误!＝(2，0）,向量错误!＝（2，2），向量错误!＝(错误!cos α，错误!sin α)，则向量错误!与向量错误!的夹角的取值范围是（）

A.错误!

B.错误!

C。错误!D。错误!

答案D

解析由题意，得：错误!＝错误!＋错误!＝(2＋错误!cos α，2＋错误!sin

α)，所以点A的轨迹是圆(x－2）2＋（y－2)2＝2，如图，当A位于使向量

错误!与圆相切时，向量错误!与向量错误!的夹角分别达到最大、最小值,

故选D。

3．已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足｜c－a－b｜＝1，则｜

c|的最大值为( ）

A。2－1 B.2

C.错误!＋1 D。错误!＋2

答案C

解析建立平面直角坐标系，令向量a,b的坐标a＝（1，0），b＝（0,1),令向量c＝（x，y），则有错误!＝1，|c｜的最大值为圆（x－1)2＋(y－1)2＝1上的动点到原点的距离的最大值，

即圆心(1，1)到原点的距离加圆的半径，即错误!＋1。

4．已知函数f (x ）＝sin 错误!－错误!在［0,π]上有两个零点，则实数m 的取值范围为（ )

A ．[－错误!，2］

B ．［错误!，2)

C ．（错误!，2］

D ．[错误!，2］ 答案 B

解析 如图，画出y ＝sin （???x ＋π3在[0，π]上的图像，当直线y ＝错误!与其有两个交点时，错误!∈错误!，所以m ∈［错误!，2)．

5．已知函数y ＝2sin （ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π）为偶函数，其图像与直线y ＝2某两个交点的横坐标分别为x 1，x 2,若|x 2－x 1|的最小值为π,则该函数的一个递增区间可以是( ）

A.错误!

B 。错误!

C 。错误!

D 。错误!

答案 A

解析 由函数为偶函数知φ＝错误!＋k π(k ∈Z ）．又因为0＜φ＜π，所以φ＝错误!，所以y ＝2cos ωx 。由题意知函数的最小正周期为π,故ω＝2，所以y ＝2cos 2x ,经验证知选项A 满足条件．故选A 。

题型一 三角函数的图像与性质

例1 已知函数f (x )＝cos x ·sin 错误!－错误!cos 2

x ＋错误!,x ∈R 。

(1)求f （x )的最小正周期；

(2）求f (x )在闭区间错误!上的最大值和最小值．

解 (1）由已知，得 f (x )＝cos x 错误!－错误!cos 2x ＋错误!

＝错误!sin x cos x －错误!cos 2

x ＋错误!

＝错误!sin 2x －错误!（1＋cos 2x )＋错误!

＝错误!sin 2x －错误!cos 2x

＝错误!sin 错误!。

所以f (x ）的最小正周期T ＝错误!＝π.

(2）因为f （x ）在区间错误!上是减函数,在区间错误!上是增函数,

f 错误!＝－错误!，f 错误!＝－错误!，

f 错误!＝错误!，

所以函数f （x ）在闭区间错误!上的最大值为错误!,最小值为－错误!.

思维升华 三角函数的图像与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ）＋k 的形式，然后将t ＝ωx ＋φ视为一个整体,结合y ＝sin t 的图像求解．

已知函数f (x ）＝sin(ωx ＋错误!)＋sin （ωx －错误!）－2cos 2

错误!,x ∈R (其中ω>0）．

(1）求函数f (x ）的值域;

（2）若函数y ＝f (x ）的图像与直线y ＝－1的两个相邻交点间的距离均为错误!，求函数y ＝f (x )的单调增区间．

解 （1）f （x )＝错误!sin ωx ＋错误!cos ωx ＋错误!sin ωx －错误!cos ωx －(cos ωx ＋1)

＝2（错误!sin ωx －错误!cos ωx )－1＝2sin(ωx －错误!)－1。

由－1≤sin (ωx －π6

)≤1， 得－3≤2sin（ωx －错误!)－1≤1，

所以函数f （x )的值域为[－3,1］．

（2）由题设条件及三角函数图像和性质可知，y ＝f (x )的周期为π，

所以错误!＝π，即ω＝2.

所以f （x )＝2sin(2x －错误!）－1，

再由2k π－π2

≤2x －错误!≤2k π＋错误!（k ∈Z ), 解得k π－错误!≤x ≤k π＋错误!(k ∈Z )．

所以函数y ＝f (x ）的单调增区间为[k π－错误!，k π＋错误!]（k ∈Z )．

题型二 三角函数和解三角形

例2 （2015·山东）设f （x )＝sin x cos x －cos 2错误!.

（1)求f （x )的单调区间;

（2)在锐角△ABC 中，角A ,B ，C 的对边分别为a ,b ,c 。若f 错误!＝0,a ＝1，求△ABC 面积的最大值．

解 (1)由题意知f (x )＝错误!－错误!

＝错误!－错误!＝sin 2x －错误!.

由－错误!＋2k π≤2x ≤错误!＋2k π，k ∈Z ，

可得－错误!＋k π≤x ≤错误!＋k π，k ∈Z ；

由错误!＋2k π≤2x ≤错误!＋2k π，k ∈Z ，

三角函数与向量综合题练习

平面向量与三角函数综合练习 题型一三角函数平移与向量平移的综合 三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同，但它们实质是 一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中?解答平移问题主要注意两个方面的确定：(1)平移的方向；(2)平移的单位?这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标 例1 把函数y = sin2x的图象按向量a = (- , —3)平移后，得到函数y = Asin( w x+ )(A > 0, w> 0 , 6 || = p的图象，贝U 和B的值依次为 题型二三角函数与平面向量平行(共线)的综合 此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数 的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与民性质进行求解?此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查 例2 已知A、B、C为三个锐角，且 A + B + C=n若向量8 = (2 —2sinA , cosA + si nA)与向量6 = (cosA —si nA , 1 + si nA)是共线向量. (I)求角A; 一 C —3B (n)求函数y = 2sin 2B + cos —；—的最大值? 题型三三角函数与平面向量垂直的综合 此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要条件 将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等.

已知向量 "a = (3sin a cos a ), "b = (2sin a, 5sin a — 4cos a , （I ）求tan a 的值； a （n ）求 cos （ +）的值. 2 3 题型四三角函数与平面向量的模的综合 此类题型主要是利用向量模的性质 |"|2 ="2,如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法： （1） 先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解； （2）先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标 运算进行求解? 5 v 3< 0 v av ，且 sin 3=— ，求 sin a 的值. 2 13 题型五 三角函数与平面向量数量积的综合 此类题型主要表现为两种综合方式： （1）三角函数与向量的积直接联系； （2）利用三角函数与向量的夹 角交汇，达到与数量积的综合 ?解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解 ? 例 5 设函数 f(x)=""其中向量"=(m , cosx) , " = (1 + sinx , 1), x € R ,且 f( ) = 2. (I)求 实数m 的值；（n ）求函数f （x ）的最小值. 六、解斜三角形与向量的综合 在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的，说明正弦定理、余弦定理与向量 有着密切的联系?解斜三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标， 要求 根据向量的关系解答相关的问题 ? b A A b 例6 已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，其对边分别为 a 、 b 、 c ,若m = （— cos ；, sin'）, n = 妖（牛,2 n ，且b 已知向量 ""=(cos a ,sin a ), " = (cos B,sin 3, a — 3）的值；（n ）若一- l " —= .(I )求 cos(

向量、三角函数和解三角形、复数、函数测试试卷

阶段性考试试卷 姓名： 分数： 一、选择题（每题5分，共13题，65分） 1．若命题1)1(log ),,0(:2≥+ +∞∈?x x x p ，命题01,:0200≤+-∈?x x R x q ，则下列命题为真命题的是( ) A.p q ∨ B.p q ∧ C.()p q ?∨ D.()()p q ?∧? 2．已知函数 ，则不等式f （x ）≤5的解集为（ ） A ．[﹣1，1] B ．（﹣∞，﹣2]∪（0，4） C ．[﹣2，4] D ．（﹣∞，﹣2]∪[0，4] 3．设复数z 满足 11z i z +=-,则的z 虚部为（ ） A ．i - B ．i C ．1 D ．1- 4．函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且在区间]0,(-∞上是减函数，则不等式)1()(ln f x f -<的解集为( ) A.()+∞,e B.??? ??+∞,1 e C.??? ??e e ,1 D.?? ? ??e 1,0 5．已知函数2 ()(1)x f x e x =-+（e 为自然对数的底），则()f x 的大致图象是（ ） 6． 对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ．||||||a b a b ?≤ B ．a b a b -≤- C ．() 2 2a b a b +=+ D ．()() 22a b a b a b +-=- 7．若()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，[)()1212,0,x x x x ?∈+∞≠，有()() 2121 0f x f x x x -<-，则（ ） A ．()()()213f f f -<< B ．()()()123f f f <-< C ．()()()312f f f << D ．()()()321f f f <-< 8．已知函数()sin()(0,||)2 f x x π ω?ω?=+>< 的最小正周期为π，且其图像向左平移 3 π 个单位后得到函数 ()cos g x x ω=的图象，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于直线12 x π =对称 B ．关于直线512 x π = 对称 C ．关于点( ,0)12 π 对称 D ．关于点5( ,0)12 π 对称

三角函数和向量知识点

三角函数知识点 1. 三角函数符号规律记忆口诀：一全正，二正弦，三是切，四余弦。 2. 弧度制: ○ 1r l =||α； ○2弧长公式:r l ||α=,其中||α为圆心角的弧度数．．．； ○3扇形的面积公式:2||2 121R R l S α=?= 扇形； ○ 41弧度=815730.57'?=?，π弧度 180=。 3. 三角函数的公式: )2 (cos sin tan 1 cos sin 22Z k k ∈+≠==+，公式一 ππαααααα 公式组二：x x k x x k x x k x x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππ 公式组三：x x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=- 公式组四：x x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ 公式组五： x x x x x x x x cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππ 公式组六： x x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=--=-=-ππππ 其中诱导公式记忆方法：奇变偶不变，符号看象限．．．．．．．．．．．。 其中奇． 是指2π的系数为奇数，偶．是指2 π 的系数为偶数，变．是指：正弦与余弦互变，正切与余切互变。看符号时是指对原三角函数进行判断，并且要将．．α视为锐角．．．．。 如：ααπ cos )2 ( sin =+，ααπ sin )2 ( cos -=+。 4. 三角恒变换的主要公式： βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s (-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- β αβ αβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (-+= + β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan(+-= - αααco s s i n 22s i n ?= ααααα2 2 2 2 s i n 211c o s 2s i n c o s 2c o s -=-=-= 22cos 1sin 2αα-= 22cos 1cos 2αα+= αα α2tan 1tan 22tan -= 化一公式：sin cos a b αα+=22sin()a b α?++(角?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b a ?= )，常

专题二 三角函数与平面向量的综合应用

专题二 三角函数与平面向量的综合应用 （时间：45分钟 满分：100分） 一、选择题(每小题7分，共35分) 1．已知sin(2π－α)＝45，α∈????3π2，2π，则sin α＋cos αsin α－cos α 等于( ) A.17 B ．－17 C ．－7 D ．7 2．如图，D 、 E 、 F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则( ) A ．＋BE →＋CF →＝0 B. －CF →＋DF → ＝0 C ．＋CE →－CF →＝0 D. －BE →－FC →＝0 3．已知向量a ＝(2，sin x )，b ＝(cos 2x,2cos x )，则函数f(x)＝a ·b 的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C ．2π D ．4π 4．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ， sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( ) A.π6，π3 B.2π3，π6 C.π3，π6 D .π3，π3 5.已知向量OB →＝（2，0），向量=(2,2)，向量CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与向 量OB →的夹角的取值范围是( ) A.????0，π4 B.??? ?π4，512π C.????512π，π2 D.??? ?π12，512π 二、填空题(每小题6分，共24分) 6．在直角坐标系xOy 中，已知点A (－1,2)，B (2cos x ，－2cos 2x )，C (cos x,1)，其中x ∈[0，π]，若⊥，则x 的值为______． 7.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ,AD ⊥AB ,AD =1,BC =2,AB =3,P 是BC 上的一个动点，当?PD PA 取得最小值时，tan ∠DP A 的值为 ________．

向量和三角函数综合试题(卷)

向量与三角函数综合试题 1．已知向量a 、b 满足b ·(a-b)=0，且|a|=2|b|，则向量a +2b 与a 的夹角为 （ D ） A.3π B.3π2 C. 2π D.6π 2．已知向量),(n m =，)sin ,(cos θθ=，其中R n m ∈θ,,.若||4||=，则当2 λλ或2-<λ B ．2>λ或2-<λ C ．22< <-λ D ．22<<-λ 3．已知O 为原点，点P （x ，y ）在单位圆x 2 +y 2 =1上，点Q （2cos θ，2sin θ），且PQ =(3 4， －3 2)，则·的值是 （ A ） A ．18 25 B ．9 25 C ．2 D ．9 16 4．R t t ∈+===,),20cos ,20(sin ,)25sin ,25(cos 0 0，则||的最小值是B A. 2 B. 22 C. 1 D. 2 1 5．如图，△ABC 中，AB=4，AC=4，∠BAC=60°，延长CB 到D ，使||||BA BD =u u u r u u u r ，当E 点在线段AD 上移动时，若,AE AB AC λμλμ=+-u u u r u u u r u u u r 则的最大值是（ C ） A ．1 B 3 C ．3 D ．236．已知向量(2,0)OB =u u u v ,向量(2,2)OC =u u u v ,向量22)CA αα=u u u v ,则向量OA u u u v 与向量OB uuu v 的夹角的取值围是（ D ） A ．[0, ]4π B ．5[,]412ππ C ．5[,]122ππ D ．5[,]1212 ππ 7．已知向量(1,1),(1,1),(22)a b c θθ==-=r r r ,实数,m n 满足ma nb c +=r r r ,则 22(1)(1)m n -+-的最小值为（ D ） A 21 B ．1 C 2 D ．322- 8．如图，BC 是单位圆A 的一条直径, F 是线段AB 上的点，且2BF FA =u u u r u u u r ， 若DE 是圆A 中绕圆心A 运动的一条直径，则FD FE u u u r u u u r g 的值是（ B ） B ．）

三角函数和向量

1．已知锐角α,且5α的终边上有一点P(sin(－50°），cos 130°)，则α的值为() A．8°B．44° C．26°D．40° 答案B 解析∵sin (－50°）＜0，cos 130°＝－cos 50°＜0, ∴点P(sin（－50°)，cos 130°)在第三象限． 又∵0°＜α＜90°，∴0°＜5α＜450°。 又∵点P的坐标可化为（cos 220°，sin 220°）， ∴5α＝220°,∴α＝44°，故选B. 2．已知向量错误!＝(2，0）,向量错误!＝（2，2），向量错误!＝(错误!cos α，错误!sin α)，则向量错误!与向量错误!的夹角的取值范围是（） A.错误! B.错误! C。错误!D。错误! 答案D 解析由题意，得：错误!＝错误!＋错误!＝(2＋错误!cos α，2＋错误!sin α)，所以点A的轨迹是圆(x－2）2＋（y－2)2＝2，如图，当A位于使向量 错误!与圆相切时，向量错误!与向量错误!的夹角分别达到最大、最小值, 故选D。 3．已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足｜c－a－b｜＝1，则｜ c|的最大值为( ） A。2－1 B.2 C.错误!＋1 D。错误!＋2 答案C 解析建立平面直角坐标系，令向量a,b的坐标a＝（1，0），b＝（0,1),令向量c＝（x，y），则有错误!＝1，|c｜的最大值为圆（x－1)2＋(y－1)2＝1上的动点到原点的距离的最大值，

即圆心(1，1)到原点的距离加圆的半径，即错误!＋1。 4．已知函数f (x ）＝sin 错误!－错误!在［0,π]上有两个零点，则实数m 的取值范围为（ ) A ．[－错误!，2］ B ．［错误!，2) C ．（错误!，2］ D ．[错误!，2］ 答案 B 解析 如图，画出y ＝sin （???x ＋π3在[0，π]上的图像，当直线y ＝错误!与其有两个交点时，错误!∈错误!，所以m ∈［错误!，2)． 5．已知函数y ＝2sin （ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π）为偶函数，其图像与直线y ＝2某两个交点的横坐标分别为x 1，x 2,若|x 2－x 1|的最小值为π,则该函数的一个递增区间可以是( ） A.错误! B 。错误! C 。错误! D 。错误! 答案 A 解析 由函数为偶函数知φ＝错误!＋k π(k ∈Z ）．又因为0＜φ＜π，所以φ＝错误!，所以y ＝2cos ωx 。由题意知函数的最小正周期为π,故ω＝2，所以y ＝2cos 2x ,经验证知选项A 满足条件．故选A 。 题型一 三角函数的图像与性质 例1 已知函数f (x )＝cos x ·sin 错误!－错误!cos 2 x ＋错误!,x ∈R 。 (1)求f （x )的最小正周期； (2）求f (x )在闭区间错误!上的最大值和最小值． 解 (1）由已知，得 f (x )＝cos x 错误!－错误!cos 2x ＋错误! ＝错误!sin x cos x －错误!cos 2 x ＋错误! ＝错误!sin 2x －错误!（1＋cos 2x )＋错误! ＝错误!sin 2x －错误!cos 2x ＝错误!sin 错误!。 所以f (x ）的最小正周期T ＝错误!＝π. (2）因为f （x ）在区间错误!上是减函数,在区间错误!上是增函数,

三角函数 空间向量

（1）求函数24 74sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值。 解：2 4 74sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+- ()2272sin 24cos 1cos x x x =-+- 2272sin 24cos sin x x x =-+ 272sin 2sin 2x x =-+ ()2 1sin 26x =-+ 由于函数()2 16z u =-+在[]11-，中的最大值为 ()2 max 11610z =--+= 最小值为 ()2 min 1166z =-+= 故当sin 21x =-时y 取得最大值10，当sin 21x =时y 取得最小值6 （2）已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω??=++ ?? ?（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ） 求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03 ?????? ，上的取值范围． 解：（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-= +112cos 222 x x ωω=-+ π1sin 262x ω? ?=-+ ?? ?． 因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以 2π π2ω =，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262 f x x ??=- + ?? ?． 因为2π03 x ≤≤ ， 所以ππ7π2666 x --≤≤，

所以1πsin 2126x ??- - ?? ?≤≤， 因此π130sin 2622x ? ?- + ?? ?≤≤，即()f x 的取值范围为302?? ???? ，． （3））已知函数2 2s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=（,0x R ω∈>）的最小值正周期 是 2 π ． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合． （3）已知函数2 2s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=（,0x R ω∈>）的最小值正周期是 2 π ． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合． 解： ()2 42sin 22 4sin 2cos 4cos 2sin 22 2cos 2sin 12sin 2 2cos 12+??? ? ? +=+??? ? +=++=+++? =πωπωπωωωωωx x x x x x x x f 由题设，函数()x f 的最小正周期是2 π ，可得222πωπ=，所以2=ω． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()244sin 2+??? ? ? += πx x f ． 当ππ π k x 22 4 4+= + ，即()Z k k x ∈+ = 216 π π 时，??? ? ?+44sin πx 取得最大值1，所以函数 ()x f 的最大值是22+，此时x 的集合为? ?? ???∈+=Z k k x x ,216|ππ （1）如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且13BM BD =，1 3 AN AE =．求证：//MN 平面CDE ． 解析：要证明//MN 平面CDE ，只要证明向量NM 可以用平面CDE 内的两个不共线的向量DE 和DC 线性表示．

三角函数与平面向量综合题的六种类型

第1讲 三角函数与平面向量综合题3.17 题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合 【例1】 已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(cosA －sinA ，1＋sinA)是共线向量. （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2的最大值. 题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合 【例2】 已知向量→a ＝(3sinα,cosα)，→b ＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(3π 2 ，2π)，且→a ⊥→b ． （Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(α2＋π 3)的值． 题型三. 三角函数与平面向量的模的综合 【例3】 已知向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)，|→a －→b |＝2 5 5.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ) 若－π2＜β＜0＜α＜π 2，且sinβ＝－513，求sinα的值. 题型四 三角函数与平面向量数量积的综合 【例4】设函数f(x)＝→a ·→b .其中向量→a ＝(m ，cosx)，→b ＝(1＋sinx ，1)，x ∈R ，且f(π2)＝2.（Ⅰ） 求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值. 题型五：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算 【例5】（山东卷）在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan C = （1）求cos C ；（2）若5 2 CB CA ?= ，且9a b +=，求c ． 题型六：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算 【例6】()f x a b =? ，其中向量(,cos 2)a m x = ，(1sin 2,1)b x =+ ，x R ∈，且函数 ()y f x =的图象经过点(,2)4 π ． （Ⅰ）求实数m 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。 题型七：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题 【例7】设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈ ，函数()()f x a a b =?+ . （Ⅰ）求函数()f x 的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式3 ()2 f x ≥成立的x 的取值集. 【跟踪训练】 三角函数与平面向量训练反馈 1、已知向量=（x x x 3,52-），=（2，x ），且⊥，则由x 的值构成的集合是（ ） A 、｛0，2，3｝ B 、｛0，2｝ C 、｛2｝ D 、｛0，-1，6｝ 2、设02x π≤≤, sin cos x x =-,则 （ ） A ．0x π≤≤ B ． 74 4x π π≤≤ C ．544 x ππ ≤≤ D ． 32 2 x π π ≤≤ 3、函数1cos 4tan 2sin )(++?=x x x x f 的值域是 。 4、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos cos 2B b C a c =-+. （1）求角B 的大小； （2）若 b a ＋ c ＝4，求a 的值. 5、已知向量 )1),3 (cos(π + =x ，)21),3(cos(-+ =π x ，)0),3 (sin(π+=x 函数 x f ?=)(， x g ?=)(， x h ?-?=)( （1）要得到)(x f y =的图象，只需把)(x g y =的图象经过怎样的平移或伸缩变换？ （2）求)()()(x g x f x h -=的最大值及相应的x ．

三角函数与平面向量(好)

三角函数与平面向量 一：考点分析 小题主要考查三角函数图象与性质，利用诱导公式与和差角公式、倍角公式、正余弦定 理求值化简，有时与向量相结合。大题一般三角函数的图象与性质与向量及解三角形相结合。 1任意角的三角函数： (1)弧长公式：I |aR R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，I 为弧长。 cosa 2.已知 tan -- =2,,则 3sin 2一一 -cos sin -- +1=( ) A.3 B.-3 C.4 D.-4 3 .已知sin 、,2 cos .. 3 , 则tan ( ) A.二 B .2 C D . 2 2 2 4.若 sin(— 3 1 5 ) ，贝U cos(—— )的值为 ( ) A 1 f 1 2 2 2^2 A. — B. c. D. 3 3 3 3 类型二：三角恒等变换 1.若 sin( ) 4 5 (o,—), 则sin 2 cos 的值等于 5 2 2 2.若 cos2 2 则cos +sin 的值为 sin( 4) 2 3.已知角 e 的顶点与原点重合，始边与 x 轴正半轴重合，终边在直线 n 类型一： 诱导公式的应用 3 sin(2 ) cos(3 ) cos( ) 1 .化简： 2 sin( )sin(3 ) cos( ) (4)诱导公式：(奇变偶不变，符号看象限) (2) 扇形的面积公式： S llR R 2 (3) 同角三角函数关系式：商数关系： 为圆弧的半径，I 为弧长。 , sin a tana 平方关系： sin 2a cos 2 a 1 k 所谓奇偶指的是整数 k 的奇偶性; 2 y = 2x 上，则

平面向量与三角函数教案

平面向量与三角函数教案

1 第十讲 平面向量及其应用 例1:△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB.若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →＝ （ ） 例题 2.如图，在直角梯形ABCD 中， ,1,3 AB AD AD DC AB ⊥===，动点P 在BCD ?内 运动，（含边界）， 设 () ,AP AB AD R αβαβ=+∈u u u r u u u r u u u r ，则αβ+的取值范围 是 . 例3.设P 是ABC ?内一点，满足()()() 21,AP x y AB y AC x y R =-+-∈u u u r u u u r u u u r . 则x 的取值范围是 . .已知△ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于P ，交边AC 于Q ，设△APQ 的面积为1 S ，△ABC 的面积为2 S ， AP pPB =u u u r u u u r ， AQ qQC =u u u r u u u r ， 则（ⅰ）pq p q =+ ， （ⅱ）12 S S 的取值范围是 .

例1. 在 ABC V 中， 60,3, B A C ∠=o 则 2AB BC +的最大值为 _________． 例2. 在锐角△ABC 中，tan A = t + 1，tan B = t - 1，则t 的取值范围是_________． 例3. 在△ABC 中，设AD 为BC 边上的高，且AD = BC ， b ， c 分别表示角B ，C 所对的边长，则b c c b +的取值范围是____________． 例4. 在等边ABC V 中，点P 在线段AB 上，满足,AP AB λ=uu u r uu u r 若, CP AB PA PB ?=?uu r uu u r uu r uu r 则实数λ的值是_________． 例5. 在ABC V 中有如下结论：“若点M 为ABC V 的重心， 则0MA MB MC ++=uuu r uuu r uuu r r ”，设a ，b ，c 分别为ABC V 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为ABC V 的重心.如果30aMA bMB ++=uuu r uuu r uuu r r ， 则内角A 的大小为_________；若a ＝3，则ABC V 的面积为_________． 例6. 点O 为△ABC 的外心，已知AB =3，AC = 2，若 AO xAB y AC =+uuu r uu u r uuu r ，x + 2y = 1，则cos B = _________． 例7. 如图，平面内有三个向量,,，其中OA u u u r 与OB u u u r 的 夹角为120°，OA u u u r 与OC u u u r 的夹角为150°，且 1 OA OB ==u u u r u u u r ， 23 OC =u u u r 若()OC OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r ，，则 λμ +的值为_________． A O B x y 1 23 5.0- 3 -

三角函数及平面向量知识点总结

三角函数 1. 正角：逆时针旋转；负角：顺时针旋转。 2. 时针在1小时内所转的角度为-30； 分针在1小时内所转的角度为-360。 3. 一般地，与角α终边相同的角的集合为：{} 360,k k ββα=?+∈Z 。 4. 终边落在直线上的角用180k α?+表示。 5. 1,,2 L S LR R α===弧长弧度数即面积半径 （经常联系起来考察）。 6. 180()rad π=。 7. 对任意角α ：(() sin cos tan 0y r r x r y x x ααα= == =≠正弦：余弦：正切： 8. ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － s i n α cos α tan /cot αα 9. 22sin sin cos 1,tan cos ααααα +== “知其一就可以求其二”。 10. ()()()sin sin cos cos tan tan αααααα-=--=-=-奇函数 偶函数奇函数 诱导公式关键步骤：（1）把α看成锐角；（2）确定符号；（3）确定函数名称。（π±同名函数，322 ππ±±或需换函数名称）

11. 周期函数：()()f x T f x +=。 不是任何函数都有最小正周期。 12. 一般地，()sin y A x ω?=+及()cos y A x ω?=+() ,,A ω?其中为常数的周期2T πω=；()tan y A x ω?=+的周期T πω =。 13. 函数图象： y ＝tanx y ＝cotx

14. 函数性质： （注：表中k 均为整数） 15. 图象平移：以sin y x =变换到4sin(3)3 y x π=+为例 sin y x =向左平移 3 π 个单位 （左加右减） s i n 3y x π? ?=+ ??? 横坐标变为原来的 13倍（纵坐标不变） sin 33y x π? ?=+ ?? ? 纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变） 4sin 33y x π??=+ ?? ? sin y x =横坐标变为原来的1 3 倍（纵坐标不变）()sin 3y x = 向左平移 9π个单位 （左加右减） sin 39y x π??=+ ???sin 33x π? ?=+ ?? ? 纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）4sin 33y x π??=+ ? ? ? 注意：在变换中改变的始终是X 。 注意：阅读章节后链接的内容，特别是反三角的表示。

2021届高考数学解答题核心素养题型3 三角函数与平面向量综合问题(答题指导解析版)

专题03 三角函数与平面向量综合问题 （答题指导） 【题型解读】 ??题型一：三角函数的图象和性质 1．注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解． 2．解决三角函数图象与性质综合问题的步骤 (1)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． (2)构造f (x )＝a 2 ＋b 2 ? ?? ?? a a 2＋ b 2 ·sin x ＋b a 2＋b 2·cos x . (3)和角公式逆用，得f (x )＝a 2＋b 2 sin(x ＋φ)(其中φ为辅助角)． (4)利用f (x )＝a 2 ＋b 2 sin(x ＋φ)研究三角函数的性质． (5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 【例1】 (2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ? ????ωx －π6＋sin ? ????ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ? ????π6＝0. (1)求ω； (2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π 4 个 单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在??????－π4 ，3π4上的最小值． 【答案】见解析 【解析】(1)因为f (x )＝sin ? ????ωx －π6＋sin ? ????ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin

向量与三角函数综合试题

A B C D F 向量与三角函数综合试题 1．已知向量a 、b 满足b ·(a-b)=0，且|a|=2|b|，则向量a +2b 与a 的夹角为 （ D ） A.3π B.3π2 C. 2π D.6π 2．已知向量),(n m a =，)sin ,(cos θθ=b ，其中R n m ∈θ,,.若||4||b a =，则当2 λλ或2-<λ B ．2>λ或2-<λ C ．22< <-λ D ．22<<-λ 3．已知O 为原点，点P （x ，y ）在单位圆x 2 +y 2 =1上，点Q （2cos θ，2sin θ），且PQ =(3 4， －3 2)，则OP ·OQ 的值是 （ A ） A ．18 25 B ．9 25 C ．2 D ．9 16 4．R t b t a u b a ∈+===,),20cos ,20(sin ,)25sin ,25(cos 0 0，则|u |的最小值是B A. 2 B. 22 C. 1 D. 2 1 5．如图，△ABC 中，AB=4，AC=4，∠BAC=60°，延长CB 到D ，使||||BA BD =u u u r u u u r ，当E 点在线段AD 上移动时，若,AE AB AC λμλμ=+-u u u r u u u r u u u r 则的最大值是（ C ） A ．1 B ．3 C ．3 D ．23 6．已知向量(2,0)OB =u u u v ,向量(2,2)OC =u u u v ,向量(2cos ,2sin )CA αα=u u u v ,则向量OA u u u v 与向量OB uuu v 的夹角的取值范围是（ D ） A ．[0, ]4π B ．5[,]412ππ C ．5[,]122ππ D ．5[,]1212 ππ 7．已知向量(1,1),(1,1),(2cos ,2sin )a b c θθ==-=r r r ,实数,m n 满足ma nb c +=r r r ,则 22(1)(1)m n -+-的最小值为（ D ） A ．21- B ．1 C ．2 D ．322- 8．如图，BC 是单位圆A 的一条直径, F 是线段AB 上的点，且2BF FA =u u u r u u u r ， 若DE 是圆A 中绕圆心A 运动的一条直径，则FD FE u u u r u u u r g 的值是（ B ） B ．） （ ）

平面向量与三角函数、解三角形的综合习题.doc

三角函数与平面向量、解三角形综合题 题型一： 三角函数与平面向量平行 ( 共线 ) 的综合 【例 1】 已知 A 、 B 、C 为三个锐角，且 A ＋B ＋ C ＝π . 若向量 → ＝ (2 － 2sinA ，cosA ＋ sinA) 与向 p → ＝ (cosA － sinA ，1＋ sinA) 是共线向量 . 量 q （Ⅰ）求角 A ；（Ⅱ）求函数 y ＝ 2sin 2 C － 3B B ＋ cos 2 的最大值 . 题型二 . 三角函数与平面向量垂直的综合 → → 3 【例 2】 已知向量 a ＝(3sin α,cos α) ， b ＝(2sin α， 5sin α－ 4cos α) ，α∈ ( 2 ，2π) ， → → 且 a ⊥ b ． α （Ⅰ）求 tan α 的值；（Ⅱ）求 cos( 2＋ 3)的值． 题型三 . 三角函数与平面向量的模的综合 → → → → 2 【例 3】 已知向量 a ＝(cos α,sin α) ， b ＝(cos β,sin β) ， | a － b | ＝ 5 5.( Ⅰ ) 求 cos( α －β ) 的值； ( Ⅱ ) 若－ 2 ＜β＜ 0＜α＜ 2 5 ，且 sin β＝－ 13，求 sin α 的值 . 题型四 三角函数与平面向量数量积的综合 → → → → ，x ∈R ，且 f( 2 ) 【例 3】 设函数 f(x) ＝ a · b . 其中向量 a ＝ (m ，cosx) ， b ＝ (1 ＋ sinx ，1) ＝ 2. （Ⅰ）求实数 m 的值；（Ⅱ）求函数 f(x) 的最小值 . 题型五：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算 【例 5】（山东卷）在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ， tan C 3 7 ． uuur uuur 5 ，且 a b 9 ，求 c ． （1）求 cosC ；（ 2）若 CB CA 2 题型六：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算 【例 6】f ( x) r r r r (1 sin 2x,1) ， R ，且函数 y f ( x) a b ，其中向量 a (m,cos 2x) ，b x 的图象经过点 ( ,2) ． 4 （Ⅰ）求实数 m 的值； （Ⅱ）求函数 y f ( x) 的最小值及此时 x 值的集合。

专题04 三角函数与平面向量结合问题(原卷版)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品 第一篇 三角函数与解三角形 专题04 三角函数与平面向量结合问题 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，已知点()2,0A 和单位圆上的两点()10 B ,，34,55 C ?? - ??? ，点P 是 劣弧BC 上一点，BOC α∠=，BOP β∠=． （1）若OC OP ⊥，求()()sin sin παβ-+-的值； （2）设()f t OA tOP =+，当()f t 的最小值为1时，求OP OC ?的值． 【思路引导】 （1）根据任意角三角函数定义可求得sin ,cos αα，利用2 π βα=-可求得sin cos βα=-，结合诱导公式可化简求出结果； （2）利用向量坐标表示可得到()2cos ,sin OA tOP t t ββ+=+，可求得2 24cos 4OA tOP t t β+=++，根据二次函数性质可求得22min 44cos OA tOP β+=-，从而利用()f t 的最小值构造方程可求得2cos β，

根据角的范围可求得sin β和cos β，进而根据数量积的坐标运算可求得结果. 【典例2】【江苏省启东中学2020届高三上学期期初考试数学试题】 在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin a αα=，，()sin cos b ββ=-，，() 12c =-． （1）若a b c +=，求sin ()αβ-的值； （2）设5π 6 α= ，0πβ<<，且()//a b c +，求β的值． 【思路引导】 （1）利用向量的数量积转化求解两角差的三角函数即可； （2）通过向量平行，转化求解角的大小即可．

(完整word版)三角函数与向量综合题

题型一 三角函数平移与向量平移的综合 三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同，但它们实质是一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中.解答平移问题主要注意两个方面的确定：(1)平移的方向；(2)平移的单位.这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标. 【例1】 把函数y ＝sin2x 的图象按向量→a ＝(－π6 ，－3)平移后，得到函数y ＝Asin(ωx ＋?)(A ＞0，ω＞0，|?|＝π2 )的图象，则?和B 的值依次为 （ ） A ．π12，－3 B ．π3，3 C ．π3，－3 D ．－π12，3 【分析】 根据向量的坐标确定平行公式为??? x ＝x '＋π6y ＝y '＋3 ，再代入已知解析式可得.还可以由向量的坐标得图象的两个平移过程，由此确定平移后的函数解析式，经对照即可作出选择. 【解析1】 由平移向量知向量平移公式??? x '＝x －π6y '＝y －3，即??? x ＝x '＋π6y ＝y '＋3 ，代入y ＝sin2x 得y '＋3＝sin2(x '＋π6)，即到y ＝sin(2x ＋π3)－3，由此知?＝π3 ，B ＝－3，故选C. 【解析2】 由向量→a ＝(－π6 ，－3)，知图象平移的两个过程，即将原函数的图象整体向左平移π6个单位，再向下平移3个单位，由此可得函数的图象为y ＝sin2(x ＋π6 )－3，即y ＝sin(2x ＋π3)－3，由此知?＝π3 ，B ＝－3，故选C. 【点评】 此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起，主要考查分析问题、解决问题的综合应用能力，同时考查方程的思想及转化的思想.本题解答的关键，也是易出错的地方是确定平移的方向及平移的大小. 题型二 三角函数与平面向量平行(共线)的综合 此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与民性质进行求解.此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查. 【例2】 已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(cosA －sinA ，1＋sinA)是共线向量. （Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2 的最大值. 【分析】 首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式，由于可求得A 角的正弦值，再根据角的范围即可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题根据第(Ⅰ)小题的结果及A 、B 、C 三个角的关系，结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角B 的表达式，再根据B 的范

专题33 三角函数与向量问题(解析版)

专题33 三角函数与向量问题 专题知识梳理 平面向量与三角函数是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇命题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣”转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解. 考点探究 【例1】 (2017·江苏卷)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]. (1)若a ∥b ，求x 的值； (2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值. 【解析】(1)∵a ∥b ，∴3sin x ＝－3cos x ，∴3sin x ＋3cos x ＝0， 即sin ????x ＋π6＝0.∵0≤x ≤π，∴π6≤x ＋π6≤76π，∴x ＋π6＝π，∴x ＝5π 6. (2)f (x )＝a·b ＝3cos x －3sin x ＝－23sin ??? ?x －π 3. ∵x ∈[0，π]，∴x －π3∈????－π3，2π3，∴－3 2≤sin ????x －π3≤1，∴－23≤f (x )≤3， 当x －π3＝－π 3，即x ＝0时，f (x )取得最大值3； 当x －π3＝π2，即x ＝5π 6 时，f (x )取得最小值－2 3. 【例2】 (2018·南京模拟)已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈????0，π 2，t 为实数. (1)若a －b ＝???? 25，0，求t 的值； (2)若t ＝1，且a ·b ＝1，求tan ? ???2α＋π 4的值. 【解析】(1)因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝???? 25，0， 所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α.由cos α－sin α＝15，得(cos α－sin α)2＝125， 即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝24 25. 所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝49 25. 因为α∈????0，π2，所以cos α＋sin α＝75 ，