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2.8函数的应用-秦颖琪

2.8函数的应用

一、知识与能力目标

解决实际问题的解题过程

（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；

（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；

（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.

求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。

二、主要知识

1．建立函数模型

将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。2．怎样选择数学模型分析解决实际问题

（1）直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解；

（2）列式比较法：若题所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较；

（3）描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化情况，确定所需要用的数学模型，问题即可顺利解决。

三．例题分析

题型一：导数型

例1．(2009山东卷理)两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有

关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城

A 和城

B 的总影响度为0.065. （1）将y 表示成x 的函数；

（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧

上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理

厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离;若不存在，说明理由。解（1）如图,由题意知AC ⊥BC,

400BC x =-,22

4(020)400k y x x x =+<<-

其中当x =时，y=0.065,所以k=9 所以y 表示成x 的函数为22

49(020)400y x x x =

+<<- （2）2249400y x x =+-,4

322322

89(2)18'(400)(400)

x x y x x x x ?--=--=--,令'0y =得422188(400)x x =-,所以2160x =,即x =,当0x <<时, 422188(400)x x <-,即'0y <所以函数为单调减函数,当20x <<时, 422188(400)x x >-,即'0y >所以函数为单调增函数.所以当x =时, 即当C 点

到城A 的距离为时, 函数22

49(020)400y x x x =+<<-有最小值. 跟踪练习1：

设球的半径为时间t 的函数()R t 。若球的体积以均匀速度c 增长，则球的表面积的增长速度与球半径

A.成正比，比例系数为C

B. 成正比，比例系数为2C

C.成反比，比例系数为C

D. 成反比，比例系数为2C 题型二：二次函数型

例2．一辆中型客车的营运总利润y （单位：万元）与营运年数x （x ∈N ）的变化关系如表所示，则客车的运输年数为（）时该客车的年平均利润最大。

（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7

解:表中已给出了二次函数模型

c bx ax y ++=2，

由表中数据知，二次函数的图象上存在三点（4，7），（6，11），

（8，7），则

???+?+?=+?+?=+?+?=.887,6611,

44722

2c b a c b a c b a 。解得a =－1，b =12，c =-25，

即25122

-+-=x x y

而取“=”的条件为

x x 25

，

即x =5，故选（B ）。跟踪练习2：

某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元．（1）写出y 与x 之间的函数关系式；

（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）（3）使用若干年后，对机床的处理方案有两种：（Ⅰ）当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；（Ⅱ）当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由．题型三：分段函数型

例3．（2008年湖北文理15）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，

y 与t 的函数关系式为116t a

y -??

= ?

（a 为常数），如图所示．

据图中提供的信息，回答下列问题：

（I ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为

；

（II ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么，药物释放开始，至少需要经过几个小时后，学生才能回到教室？

解：（I ）由题意和图示，当00.1t ≤≤时，可设y kt =（k 为待定系数），由于点()

0,1,1在直线上，10

k ∴=；同理，当

0.1t >时，可得

0.111

10.101610a

a a -??

=?-=?= ???

，所以可知()()

110

1000.1 10.1

16t t t y t -≤≤???=???>? ?

????

（II ）由题意可得10.254y ≤=，即得110400.1t t ?≤???≤≤?或110111640.1

t t -????≤ ?????>?1040t ?≤≤或 0.6t ≥，由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．

跟踪练习3：

通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)的值越大，表示接受能力越强)，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可以有以下公式：

f(x)＝?????－0.1x2＋2.6x ＋43 (0＜x ≤10)59 (10＜x ≤16)－3x ＋107 (16＜x ≤30)

(1)开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？ (2)开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？

(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？题型四：不等式型

例4．（2006湖南理20）对1个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物

体的清洁度定义为: ）物体质量（含污物）

污物质量

1为8.0, 要求清洗完后的清洁度为99.0.

有两种方案可供选择, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为)31(≤≤a a . 设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度

是

18.0++x x )1(->a x , 用y 单位质量的水第二次清洗后的清洁度是

y ac

y ++, 其中c )99.08.0(<

(Ⅰ)分别求出方案甲以及95.0=c 时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少; (Ⅱ)若采用方案乙, 当a 为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小? 并讨论a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响.

解：(Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为x 与z ,由题设有

0.8

x x ++=0.99,解得x =19. 由0.95c =得方案乙初次用水量为3, 第二次用水量y 满足方程:

0.950.99,y a

y a

+=+解得y =4a ,故z =4a +3.

即两种方案的用水量分别为19与4a +3.

因为当13,4(4)0,a x z a x z ≤≤-=->>时即,故方案乙的用水量较少. （II ）设初次与第二次清洗的用水量分别为x 与y ，类似（I ）得

5(1)

c x c -=

-，(99100)y a c =-（*）

于是545(1)c x y c -+=-+(99100)a c -1

100(1)15(1)a c a c =

+----

当a 为定值时,11x y a a +≥-=-+,

当且仅当

100(1)5(1)

a c c =--时等号成立.此时

1)1(0.8,0.99),

c c ==-不合题意,舍去或

将1

c =*）式得11,.x a y a =>-=

故1

c =,

此时第一次与第二次用水量分别为1a 与,

最少总用水量是()1T a a =-+.

当'13,()10a T a

≤≤=

->时,故T(a )是增函数，这说明,随着a 的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量. 跟踪练习4：

为了保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地长方形ABCD 上规划出一块长方形地面建造公园，公园一边落在CD 上，但不得越过文物保护区AEF ?的EF.问如何设计才能使公园占地面积最大，并求这最大面积.（其中AB=200m ，BC=160m ，AE=60m ，AF=40m.）

题型五：指数、对数型函数

例5．有一个湖泊受污染，其湖水的容量为V 立方米，每

天流入湖的水量等于流出湖的水量。现假设下雨和蒸发平衡，且污染物和湖水均匀混合。

用)0(])0([)(≥-+=-p e r p g r p t g t

v r

，表示某一时刻一立方米

湖水中所含污染物的克数（我们称其湖水污染质量分数），

)0(g 表示湖水污染初始质量分数。

（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数；

（2）分析r

g <

)0(时，湖水的污染程度如何。解：（1）设210t t <≤，因为)(t g 为常数，)()(21t g t g =，

即0]][)0([21

=----t v r

t v r

e e

p g ，则r p g =)0(；

（2）设210t t <<，=-)()(21t g t g ]][)0([21t v

r t v

r e

e r

p g ----

=2112])0([t t v

t v

r t v

r e

e r

p g +-?-

因为0)0(<-r

g ，210t t <<，)()(21t g t g <。污染越来越严重。跟踪练习：

碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟” .碳14的“半衰期”是5730年，即碳14大约每经过5730年就衰变为原来的一半. 科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14.动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变.死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14就按其确定的规律衰变.经探测，一块鱼化石中碳14的残留量约为原始含量的46.5%.

设这群鱼是距探测时t 年前死亡的，则t 满足的等式为，将t 用自然对数的运算式子可以表示为 . （只写出运算式子不需要计算出结果，式子中可以出现自然对数、实数之间的四则运算.）

四、随堂练习

1、某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆。租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元。

（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

2、某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x （吨）与每吨产品的价格p （元/吨）之间的关系式为：2

1242005

p x =-

,且生产x 吨的成本为50000200R x =+（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本）

3、甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米／时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v （千米／时）的平方成正比，比例系数为b ；固定部分为a 元.

① 把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米／时）的函数，并指出函数的定义域；

② 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

4、某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图2—10中（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2—10中（2）的抛物线表示

图2—10

（1）写出图中（1）表示的市场售价与时间的函数关系式P ＝f （t ）；写出图中（2）表示的种植成本与时间的函数关系式Q ＝g （t ）；

（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大? （注：市场售价和种植成本的单位：元／102 ，ｋg ，时间单位：天）

5、（北京理）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x ，梯形面积为S ．（I ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域；（II ）求面积S 的最大值．

五．参考答案：

跟踪练习1：

解：由题意可知球的体积为34

()()3

V t R t π=

，则'2'()4()()c V t R t R t π==，由此可得 '

4()()()

R t R t R t π=，而球的表面积为2()4()S t R t π=，所以'2'()4()8()()v S t R t R t R t ππ==表＝，即'

'228()()24()()()()()()

c c v R t R t R t R t R t R t R t R t ππ?表＝＝＝＝，故选D

跟踪练习2：

解：（1）依题得：2*(1)501249824098.()

2x x y x x x x x N -?

?=-+?-=-+-∈????

（2

）解不等式

240980,:1010x x x -+-><<得*,317,3x N x ∈∴≤≤ 故从第年开始盈利。

（3）（Ⅰ）

989824040(2)4012y x x x x x =-+-=-+≤-=

当且仅当

2x x =

时，即x=7时等号成立．

∴到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30＝114万元．

（Ⅱ）

24098(10)102,10102y x x x =-+-=--+=max 当x ＝时，y

故到2011年，盈利额达到最大值，工厂获利102+12＝114万元盈利额达到的最大值相同，而方案Ⅰ所用的时间较短，故方案Ⅰ比较合理．跟踪练习3：

解：(1)当0＜x ≤10时，f(x)＝－0.1x2＋2.6x ＋43＝－0.1(x －13)2＋59.9 故f(x)在0＜x ≤10时递增，最大值为f(10)＝－0.1(10－13)2＋59.9＝59 当10＜x ≤16时，f(x)≡59

当x ＞16时，f(x)为减函数，且f(x)＜59

因此，开讲10分钟后，学生达到最强接受能力(为59)，能维持6分钟时间.…………5分 (2)f(5)＝－0.1(5－13)2＋59.9＝53.5 f(20)＝－3×20＋107＝47＜53.5

故开讲5分钟时学生的接受能力比开讲20分钟时要强一些.……………………………8分 (3)当0＜x ≤10时，令f(x)＝55，解得x ＝6或20(舍) 当x ＞16时，令f(x)＝55，解得x ＝171

因此学生达到(含超过)55的接受能力的时间为1713－6＝111

3＜13(分)

老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题.

跟踪练习4：

解：设CG=X ，矩形CGPH 面积为Y ，

如图3280

26014040-=

?-=X EN x EN

∴HC=160

3276032802x

x -=--

∴

=??? ??≤-?=-?=2

276061)2760(26132760x x x x y 372200 当19027602=?-=x x x （m ）即CG 长为190m 时，最大面积为372200

（m2）

跟踪练习5:

465

.0215730

=??

? ??t

5.0ln 465

.0ln 5730?=

随堂练习：

1、解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：50

3000

3600-

=12，所以这时租出了88辆车.

（2）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为：f （x ）=（100－

3000

-x ）

（x －150）－503000-x ×50，整理得：f （x ）=－502

x +162x －21000=－50

1（x －4050）

+307050.所以，当x =4050时，f （x ）最大，其最大值为f （4050）=307050.即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元. 2、解：每月生产x 吨时的利润为

)20050000()5

24200()(2x x x x f +--=

(200,2000240005

3)()

0(50000240005

212

3舍去解得由-===+-='≥-+-=x x x x f x x x

0)(200),0[)(='=+∞x f x x f 使内只有一个点在因，故它就是最大值点，且最大值

为：)(31500005000020024000)200(5

1)200(3

元=-?+-=f

答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元. 3、解：由主要关系：运输总成本＝每小时运输成本×时间，

有y ＝(a ＋bv 2

)

所以全程运输成本y （元）表示为速度v （千米／时）的函数关系式是：y ＝S(a

＋bv)，其中函数的定义域是v ∈(0，c] .

整理函数有y ＝S(a v ＋bv)＝S(v ＋a

b v )，由函数y ＝x ＋k

(k>0)的单调性而得：

当a b

时，y 取最小值；

当

≥c 时，则v ＝c 时，y 取最小值. 综上所述，为使全程成本y 最小，当

a b

≥c 时，行驶速度应为v ＝c.

4解：（1）由图（1）可得市场售价与时间的函数关系为

f （t ）＝??

?≤<-≤≤-;

300200,3002,

2000,300t t t t

由图（2）可得种植成本与时间的函数关系为 g （t ）＝

200

（t －150）2＋100，0≤t ≤300．（2）设t 时刻的纯收益为h （t ），则由题意得h （t ）＝f （t ）－g （t ），

即h （t ）＝???????≤<-+-≤≤++-.300200,2102527200

1,2000,2175

21200122t t t t t t 当0≤t ≤200时，配方整理得h （t ）＝－

200

（t －50）2＋100，所以，当t ＝50时，h （t ）取得区间［0，200］上的最大值100；当200＜t ≤300时，配方整理得 h （t ）＝－

200

（t －350）2＋100，所以，当t ＝300时，h （t ）取得区间（200，300］上的最大值87.5.

综上，由100＞87．5可知，h （t ）在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t ＝50，

即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大. 5、解：（I ）依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O xy -（如图），则点C 的横坐标为x ．

点C 的纵坐标y 满足方程22

221(0)4x y y r r

+=≥，

解得)y x r =<<

(22)2

S x r =

2()x r =+ 其定义域为{}

0x x r <<．

（II ）记2

()4()()0f x x r r x x r =+-<<，，

则2

()8()(2)f x x r r x '=+-．

令()0f x '=，得12

x r =．因为当02r x <<时，()0f x '>；当2

x r <<时，()0f x '<，所以12f r ??

???

是()f x 的最大值．

因此，当1

x r =

时，S 22．

即梯形面积S 2

．

(完整版)《反比例函数的应用》综合练习及答案

3 反比例函数的应用教材跟踪训练（一）填空题：（每空2分，共12分） 1．长方形的面积为60cm2，如果它的长是ycm，宽是xcm，那么y是x的函数关系，y写成x的关系式是。 2．A、B 途中是匀速直线运动，速度为v km/h，到达时所用的时间是t h，那么t是v的函数，t可以写成v的函数关系式是。 3．如图，根据图中提供的信息，可以写出正比例函数的关系式是；反比例函数关系式是。（二）选择题（5′×3＝15′） 1．三角形的面积为8cm2，这时底边上的高y（cm）与底边x（cm）之间的函数关系用图象来表示是。 2．下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是 A：小明完成100m赛跑时，时间t（s）与跑步的平均速度v（m/s）之间的关系。 B：菱形的面积为48cm2，它的两条对角线的长为y（cm）与x（cm）的关系。 C：一个玻璃容器的体积为30L 间的关系。 D：压力为600N时，压强p与受力面积S之间的关系。 3．如图，A、B、C为反比例函数图象上的三个点，分别从A、 B、C向xy轴作垂线，构成三个矩形，它们的面积分别是S1、 S2、S3，则S1、S2、S3的大小关系是 A：S1＝S2＞S3B：S1＜S2＜S3 C：S1＞S2＞S3D：S1＝S2＝S3 x y -1 O 2 x y B A O C

（三）解答题（共21分） 1．（12分）如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V （m 3/h ）与排完水池中的水所用的时间t(h)之间的函数关系图象。 ①请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量。 ②写出此函数的解析式 ③若要6h 排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？ ④如果每小时排水量是5m 3，那么水池中的水将要多少小时排完？ 2．（9分）如图正比例函数y=k 1x 与反比例函数x y 2 交于点A ，从A 向x 轴、y 轴分别作垂线，所构成的正方形的面积为4。 ①分别求出正比例函数与反比例函数的解析式。 ②求出正、反比例函数图象的另外一个交点坐标。 ③求△ODC 的面积。 D x y B A O C

第28章_锐角三角函数全章教案

课题锐角三角函数——正弦一、教学目标 1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。 2、能根据正弦概念正确进行计算 3、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。二、教学重点、难点重点：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。三、教学过程（一）复习引入操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。（演示学校操场上的国旗图片）小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。你想知道小明怎样算出的吗？师：通过前面的学习我们知道，利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度；实际上我们还可以象小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高度。这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法。下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦（二）实践探索为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。现测得斜坡与水平面所成角的度数是30o,为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？分析：问题转化为，在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A=30o，BC=35m,求AB 根据“再直角三角形中，30o角所对的边等于斜边的一半”，即 34 1米 10米 ?

反比例函数与实际应用应用题

实际问题与反比例函数（1） 1．京沈高速公路全长658km，汽车沿路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的函数关系式为 2．完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x人完成这项任务，试写出人均报酬y（元）与人数x（人）之间的函数关系式 3．一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V＝10时，ρ＝1.43，（1）求ρ与V的函数关系式；（2）求当V＝2时氧气的密度ρ 4．小林家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v（米/分），所需时间为t（分）,（1）则速度v与时间t之间有怎样的函数关系？（2）若小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？（2）如果小林骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？5．学校锅炉旁建有一个储煤库，开学初购进一批煤，现在知道：按每天用煤0.6 吨计算，一学期（按150天计算）刚好用完.若每天的耗煤量为x吨，那么这批煤能维持y天, （1）则y与x之间有怎样的函数关系（2）画函数图象（3）若每天节约0.1吨，则这批煤能维持多少天？实际问题与反比例函数 (二) 达标练习： 1、某蓄水池的排水管每小时排水8米3，6小时可交将满池水全闻排空。（1）蓄水池的容积是多少？（2）如果每小时排水量达到Q（米）3，那么将满池水排空所需时间为t(小时)，

写出t 与Q 之间的函数关系。 2、学校锅炉旁建有一个储煤为库，开学初购进一批煤，现在知道：按每天用煤0.6吨计算，一学期（按150天计算）刚好用完。若每天耗煤量为x 吨，那么这批煤能维持y 天。（1） y 与x 之间有怎样的函数关系？（2）请画出函数图象；（3）若每天节约0.1吨，则这批煤能维持多少天？巩固提高 1、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P （千帕）是气体体积V （立方米）的反比例函数，其图像如图所示（千帕是一种压强单位）（1）写出这个函数的解析式；（2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？实际问题与反比例函数（三）求反比例有关的面积 1、如图2，在x 轴上点P 的右侧有一点D ，过点D 作x 轴的垂线交双曲线x y 8 于点B ，连结BO 交AP 于C ，设△AOP 的面积为S 1，△BOD 面积为S 2，则S 1与S 2的大小关系是S 1 S 2。（选填“>”“<”或“＝”）面积= 。 O x y 图2 A B D P C

2函数的单调性及其应用高三复习专题

函数的单调性 1.单调性与单调区间：例1.下列函数中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x ”的是（） A ．()f x =1x B ．()f x =2(1)x - C ．()f x =x e D ．()ln(1)f x x =+ 演变1.给定函数：①1 2y x =，②12 log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，其中在区间 (0,1)上单调递减的函数序号是（） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 例2.函数2()21 x f x x -= -的单调区间为__________ 演变1.函数25---=a x x y 在),1(+∞-上单调递增，则a 的取值范围是__________ 例3.函数267)(x x x f --=的单调递增区间为__________ 演变1. 函数()f x =__________ 例4.函数2()2||3f x x x =--的单调递增区间为__________ 演变1.函数|32|)(2--=x x x f 的单调递增区间为__________ 2.利用单调性求参数范围：例1.已知函数2)1(22+-+=x a x y 在)4,(-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是_______ 演变1.若ax x x f 2)(2+-=与1 )(+=x a x g 在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是__________ 例2.已知函数(31)4(1)()log (1)a a x a x f x x x -+

[中考数学]反比例函数的实际应用

一、选择题 1. （2011?泰州，5，3分）某公司计划新建一个容积V （m 3）一定的长方体污水处理池，池的底面积S （m 2）与其深度h （m ）之间的函数关系式为错误!未找到引用源。(0)v S h h =≠，这个函数的图象大致是（） A 、 B 、. C 、. D 、. 考点：反比例函数的应用；反比例函数的图象。专题：几何图形问题；数形结合。分析：先根据长方体的体积公式列出解析式，再根据反比例函数的性质解答．注意深度h （m ）的取值范围．解答：解：根据题意可知：(0)v S h h =≠错误!未找到引用源。，依据反比例函数的图象和性质可知，图象为反比例函数在第一象限内的部分．故选C ．点评：主要考查了反比例函数的应用和反比例函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．反比例函数y=错误!未找到引用源。的图象是双曲线，当k ＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k ＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限． 2. （2011湖北咸宁，5，3分）直角三角形两直角边的长分别为x ，y ，它的面积为3，则y 与x 之间的函数关系用图象表示大致是（） A 、 B 、 C 、 D 、考点：反比例函数的应用；反比例函数的图象。专题：图表型。分析：根据题意有：xy=3；故y 与x 之间的函数图象为反比例函数，且根据x y 实际意义x 、y 应大于0，其图象在第一象限；故可判断答案为C ．解答：解：∵错误!未找到引用源。xy=3，

∴y=错误!未找到引用源。（x＞0，y＞0）．故选C．点评：本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．3.（2011黑龙江大庆，4，3分）若一个圆锥的侧面积是10，则下列图象中表示这个圆锥母线l与底面半径r之间的函数关系的是（） A、B、C、D、考点：圆锥的计算；反比例函数的图象；反比例函数的应用。专题：应用题。分析：圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求得圆锥母线长l与底面半径r之间函数关系，看属于哪类函数，找到相应的函数图象即可．解答：解：由圆锥侧面积公式可得l=错误!未找到引用源。，属于反比例函数．故选D．点评：本题考查了圆锥的计算及反比例函数的应用的知识，解决本题的关键是利用圆锥的侧面积公式得到圆锥母线长l与底面半径r之间函数关系． 4.（2011?南充，7，3分，）小明乘车从南充到成都，行车的平均速度v（km/h）和行车时间t（h）之间的函数图象是（） A、B、 C、D、考点：反比例函数的应用；反比例函数的图象。专题：数形结合。分析：根据时间t、速度v和路程s之间的关系，在路程不变的条件下，得v=错误!未找到引用源。，则v是t的反比例函数，且t＞0．解答：解：∵v=错误!未找到引用源。（t＞0）， ∴v是t的反比例函数，故选B．点评：本题是一道反比例函数的实际应用题，注：在路程不变的条件下，v是t的反比例函数．

函数单调性的应用

函数单调性的应用一、比较大小例1 若函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，对任意实数x 都有f (2－x )＝f (2＋x )成立，试比较f (－1)，f (2)，f (4)的大小. 解依题意可知f (x )的对称轴为x ＝2， ∴f (－1)＝f (5). ∵f (x )在[2，＋∞)上是增函数， ∴f (2)

(3)利用单调性解不等式时，一定要注意变量的限制条件，以防出错. 三、求参数的值或取值范围例3 已知a>0，函数f(x)＝x3－ax是区间[1，＋∞)上的单调函数，求实数a的取值范围. 解任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x10. Δy＝f(x2)－f(x1)＝(x32－ax2)－(x31－ax1) ＝(x2－x1)(x21＋x1x2＋x22－a). ∵1≤x13. 显然不存在常数a，使(x21＋x1x2＋x22－a)恒为负值. 又f(x)在[1，＋∞)上是单调函数， ∴必有一个常数a，使x21＋x1x2＋x22－a恒为正数，即x21＋x1x2＋x22>a. 当x1，x2∈[1，＋∞)时，x21＋x1x2＋x22>3， ∴a≤3.此时，∵Δx＝x2－x1>0，∴Δy>0，即函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数， ∴a的取值范围是(0,3]. 四、利用函数单调性求函数的最值例4 已知函数f(x)＝x2＋2x＋a x，x∈[1，＋∞). (1)当a＝4时，求f(x)的最小值；

第28章《锐角三角函数》单元测试(及答案)

第28章锐角三角函数单元测试一、选择题（每题3分，共30分） 1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，下列式子不一定成立的是（） A ．sinA=sin B B ．cosA=sinB C ．sinA=cosB D ．∠A+∠B=90° 2．在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A 的三角函数值（） A 扩大3倍 B 缩小3倍 C 都不变 D 有的扩大，有的缩小 3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（） A ．c = sin a A B ．c =cos a A C ．c =a ·tanA D ．c =a ·cotA 4、若tan(α +10°)=3，则锐角α的度数是 ( ) A 、20° B 、30° C 、35° D 、50° 5．已知△ABC 中，∠C=90°，设sinA=m ，当∠A 是最小的内角时，m 的取值范围是（） A ．0＜m ＜12 B ．0＜m ＜22 C ．0＜m ＜33 D ．0＜m ＜32 6．小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降（） A ．1米 B ． 3 米 C ．2 3 米 D ．23 3 米 7．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=4 3 ，BC=8，则AC 等于（） A ．6 B ． 32 3 C ．10 D ．12 8．sin 2θ＋sin 2 (90°－θ) (0°＜θ＜90°）等于（） A 0 B 1 C 2 D 2sin 2 θ 9．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连结BD ，若cos ∠BDC= 35 ，则BC 的长是（） A 、4 cm B 、6 cm C 、8 cm D 、10 cm 10．以直角坐标系的原点O 为圆心，以1为半径作圆。若点P 是该圆上第一象限内的一点，且OP 与x 轴正方向组成的角为α，则点P 的坐标为（） A (cos α ,1) B (1 , sin α) C (sin α , cos α) D (cos α , sin α) （附加）小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD=8米，BC=20米，CD 与地面成30o角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为( ) A ．9米 B ．28米 C ．（7+3）米 D ．（14+23）米二、填空题：（每题3分，共30分） 1．已知∠A 是锐角，且sinA= 3 2 ，那么∠A ＝ . 2．已知α为锐角，且sin α =cos500 ，则α ＝ . 3．已知3tan A -3=0，则∠A ＝ . （第9题）（附加题）

函数单调性的应用教案

《函数单调性的应用》教案一、教材分析-----教学内容、地位和作用本课是北师大版新课标普通高中数学必修一第二章第三节《函数的单调性》的内容，该节中内容包括：函数的单调性、函数的最值。总课时安排为3课时，《函数单调性的应用》是本节中的第三课时。函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、最值，比较两个函数值的大小或自变量的大小、求参变量的取值范围以及解函数不等式等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中对函数的单调性的应用考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。在本节课是以函数的单调性的应用为主线，它始终贯穿于整个课堂教学过程；这是本节课的重点内容。二、学情分析教学目标的制定与实现，主要取决于我们对学习者掌握的程度。只有了解学习者原来具有的认知结构，学习者的准备状态，学习风格，情感态度等，我们才能制定合适的教学目标，安排合适的教学活动与评价标准。不同的教学环境，不同的学习主体有着不同的学习动机和学习特点。我所教授的班级的学生具体学情具体到我们班级学生而言有以下特点：学习习惯不太好，需要不断的引导和规范；数学基本功不太扎实，演算不能做到又准又快；独立解决问题能力弱，畏难情绪严重，探索精神不足。只有少部分学生学习习惯良好，学风严谨，思维缜密。三、教学目标：根据新课标的要求，以及对教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标： (一)三维目标 1 知识与技能：（1）.会利用函数单调性求最值或值域. （2）.会利用函数单调性比较两个函数值或两个自变量的大小. （3）.会利用函数单调性求参变量的取值范围. （4）.会利用函数单调性解函数不等式. （5) .通过函数单调性应用的教学，逐步培养学生观察、分析、概括与合作能力； 2 过程与方法：（1）通过本节课的学习，通过“数与形”之间的转换，渗透数形结合的数学思想。（2）通过合作探究活动，明白考虑问题要细致、缜密，说理要严密、明确。 3 情感，态度与价值观：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作与评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离，培养学生对数学的兴趣。。（二）重点、难点重点：利用函数单调性求最值或值域，求参变量的取值范围

反比例函数的实际应用

反比例函数的实际应用第一部分：知识点回顾详解点一、反比例函数在实际问题中的应用在解决实际问题时主要应用反比例函数的性质：在中，当0k >时，在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，在每个象限内，y 随x 的增大而增大。说明：（1）在实际问题中，k 都取大于零的值。（2）实际问题中的自变量一般为正数，因此图象一般只在第一象限内。详解点二、利用反比例函数解决实际问题反比例函数的性质在实际生活中应用广泛，在运用时要看清问题中的数量关系，充分利用数形结合来解决。主要考点有：考点1、对实际问题的反比例函数图象的考查考点2、反比例关系的确定及其应用考点3、反比例函数与一次函数在实际问题中的综合应用第二部分：例题剖析例1．（2009年青岛市）一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流I （A ）与电阻R （Ω）之间的函数关系如图4所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A ，那么此用电器的可变电阻应（ A ） A ．不小于Ω B ．不大于Ω C ．不小于14Ω D ．不大于14Ω 分析：本题是与物理学中的有关知识相结合，必须借助物理知识，建立数学模型，从而使问题获解．解这类题的一般步骤是：（1）由图象可知，是一支双曲线，因而可判断该函数为反比例函数，故可设m I R = ，问题便可解决；2）将数字代入，解方程即可；（3）解简单的不等式即可．解：由图象可知，是一支双曲线，故可设m I R =，将（6，8）代入得：m=48，所以， 48I R =，又由题意得：48R ≤10，所以I≥，故选A ． 6 O R /Ω I /A 8 图4

2021年函数单调性的定义与应用

函数的性质——单调性欧阳光明（2021.03.07）【教学目的】使学生了解增函数、减函数的概念，掌握判断函数增减性的方法步骤；【重点难点】重点：函数的单调性的有关概念；难点：证明或判断函数的单调性一、增函数与减函数 ⒈增函数与减函数定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2. ⑴若当x1(fx2),则说f(x) 在这个区间上是减函数说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数y=x2，当x∈[0,+∞)时是增函数，当x∈(-∞,0)时是减函数. ⒉单调性与单调区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降

说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集； ⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在x 1,x 2那样的特定位置上，虽然使得 f(x 1)<(fx 2)，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数； ⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“f(x 1)<(fx 2) 或f(x 1)>(fx 2) ”改为“f(x 1)≤(fx 2) 或f(x 1)≥(fx 2)”即可； ⑷定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延：①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减. ②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数. ⒊ 例题例1图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数. 练习：1、函数11-=x y 的增减性的正确说法是： A ．单调减函数 B.在)0,(-∞上是减函数,在),0(+∞上是减函

对数函数的单调性及其应用

对数函数的单调性及其性质一、相关内容 1、当01时，指数函数x a y log =在R 上单调递增。二、基础练习 1、比较下列各组数值的大小（1）3.37.1和1.28.0 （2）7.03.3和8.04.3 （3）25log ,27log ,23 98 （4）60.70.70.76log 6，，（5）3.0222,3.0log ,3.0===c b a （6）(61)0，2，log 221 ,log 0.523 （7）6.05，56.0，5log 6.0 （8）a=log 0.50.6，b=log 20.5，c=log 35 （9）0.52a =，πlog 3b =，2log 0.5c =

2、选择题 1) 若(0,1)x ∈，则下列结论正确的是（） A ．122lg x x x >> B ．122lg x x x >> C ．122lg x x x >> D ．1 2lg 2x x x >> 2) 若b a ,是任意实数,且b a >，则（） A 22b a > B 1-b a D b a ??? ??0 B ．a 1－a >1 C ．log a (1－a )<0 D ．(1－a )2>a 2 6) 设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( ) A.10 B ．10 C ．20 D ．100 7) 已知log 12b 2a >2c B ．2a >2b >2c C ．2c >2b >2a D ．2c >2a >2b 8) 函数x y a log =当x >2 时恒有y >1，则a 的取值范围是（） A ．1221 ≠≤≤a a 且 B ．02121 ≤<≤，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为1 2，则a = （） A ．2 B ．2 C ．22 D ．4 11) 若0,0,1a b ab >>>，12log ln 2a =，则log a b 与a 2 1log 的关系是（） A ．12log log a b a < B ．12log log a b a = C ．12log log a b a > D ．12 log log a b a ≤ 12) 已知函数log (2)a y ax =-在区间[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．(2,)+∞