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初中几何题:二倍角问题辅助线的添加规律

初中几何题:二倍角问题辅助线的添加规律
初中几何题:二倍角问题辅助线的添加规律

初中几何题:二倍角问题辅助线的添加规律

一些几何题中常含有一个角是另一个角的二倍的条件,处理这类问题常用如下的方法添加辅助线:

(1)作二倍角的平分线,构成等腰三角形.

如下图,在△ABC中,∠ABC=2∠C,作∠ABC的角平分线交AC 于点D,则∠DBC=∠C,△DBC是等腰三角形.

(2)延长二倍角的一边,使其等于二倍角的另一边,构成两个等腰三角形,利用等腰三角形的性质证题.

如下图,在△ABC中,∠B=2∠C,可延长CB到D,使BD=AB,连接AD,则△ABD、△ADC都是等腰三角形.

【典例】已知,如下图所示,在△ABC中,∠C=2∠A,AC=2BC,求证:∠B=90°.

思路一:要证∠B=90°,可设法证∠B等于某个直角.由∠C=2∠A,可联想作∠C的角平分线CE,则△ACE是等腰三角形,如果作这个等腰三角形底边上的高ED,则出现直角,再证∠B=∠CDE 即可.

【证法一】如下图,作∠C的平分线CE交AB于点E,过E作ED ⊥AC于D.

则∠ACE=∠A,∴AE=CE.∵ED⊥AC,∴CD=1/2AC. ∵AC=2BC,∴CD=CB. 则可证得△CDE≌△CBE.

即∠B=∠CDE=90°.

思路二:作∠C的平分线CD,将△CDA沿CD翻折过来,得△CDE.要证∠ABC=90°,需证CD=ED,BC=BE.

【证法二】如下图,作∠C的平分线CD,延长CB到E,使CE=AC,∴AC=BC+BE. ∵AC=2BC,∴BC=BE.

在△ACD和△ECD中,AC=EC,∠ACD=∠ECD,CD=CD,∴△ACD ≌△ECD. ∴∠A=∠E,又∠DCB=∠DCA=∠A,

∴∠E=∠DCB. ∴DC=DE. ∴∠ABC=90°.

思路三:延长AC到D,使CD=BC,连接BD,则△CBD和△ABD 都是等腰三角形,由条件AC=2BC,可联想到取AC的中点E,连接BE,则∠DBE=90°.要证∠ABC=90°,只需证∠ABE=∠DBC. 【证法三】延长AC到D,使CD=CB,连接BD.取AC的中点E,连接BE,如下图

则EC=CD=BC,∴∠DBE=90°. ∵CD=CB,∴∠D=∠CBD ∴∠ACB=2∠D ∵∠ACB=2∠A,∴∠A=∠D

∴AB=BD 又∵AE=DC ∴△ABE≌△DBC. ∴∠ABE=∠DBC ∴∠ABC= ∠EBD=90°.

总结

关于二倍角问题,上面介绍了两种添加辅助线的方法,其主要目的都是为了构造等腰三角形和全等三角形,然后利用它们的相关性质探求解题途径.

初中几何常用辅助线专题.doc

初中几何常见辅助线做法 一、三角形常见辅助线做法 方法 1:有关三角形中线的题目,常将 中线加倍 ; 含有中点的题目,常常做 三角形的中位线 ,把结论恰当的转移 例 1、如图 5-1:AD 为△ ABC 的中线,求证: AB +AC > 2AD 。 【分析】:要证 AB + AC > 2AD ,由图想到: AB +BD >AD,AC + CD >AD ,所以有 AB +AC + BD +CD >AD + AD = 2AD ,左边比要证结论多 BD +CD ,故不能直接证出此题,而由 2AD 想到要构造 2AD ,即加倍中线,把所要证的线段转移到同一个三角形中去。 证明:延长 AD 至 E ,使 DE=AD ,连接 BE ,则 AE =2AD A ∵AD 为△ ABC 的中线 (已知) ∴BD = CD (中线定义) 在△ ACD 和△ EBD 中 BD CD (已证 ) B D C ADC EDB ( 对顶角相等 ) AD ED (辅助线的作法 ) E 图5 1 ∴△ ACD ≌△ EBD (SAS ) ∴BE =CA (全等三角形对应边相等) ∵在△ ABE 中有: AB + BE >AE (三角形两边之和大于第三边) ∴AB + AC >2AD 。 例 2、如图 4-1:AD 为△ ABC 的中线,且∠ 1=∠ 2,∠ 3=∠ 4,求证: BE +CF > EF 证明:延长 ED 至 M ,使 DM=DE ,连接 CM , MF 。在△ BDE 和△ CDM 中, BD 中点的定义 ) A CD( ∵ 1CDM (对顶角相等 ) ED MD ( 辅助线的作法 ) E F ∴△ BDE ≌△ CDM (SAS ) 2 3 4 C 1 又∵∠ 1=∠ 2,∠ 3=∠ 4 (已知) B D ∠1+∠ 2+∠ 3+∠ 4= 180°(平角的定义) ∴∠ 3+∠ 2=90°,即:∠ EDF =90° 图 4 1 M

初中数学几何辅助线技巧

几何常见辅助线口诀三角形 图中有角平分线,可向两边作垂线。 也可将图对折看,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。 角平分线加垂线,三线合一试试看。 线段垂直平分线,常向两端把线连。 线段和差及倍半,延长缩短可试验。 线段和差不等式,移到同一三角去。 三角形中两中点,连接则成中位线。 三角形中有中线,倍长中线得全等。 四边形 平行四边形出现,对称中心等分点。 梯形问题巧转换,变为三角或平四。 平移腰,移对角,两腰延长作出高。 如果出现腰中点,细心连上中位线。 上述方法不奏效,过腰中点全等造。 证相似,比线段,添线平行成习惯。 等积式子比例换,寻找线段很关键。 直接证明有困难,等量代换少麻烦。 斜边上面作高线,比例中项一大片。 圆形

半径与弦长计算,弦心距来中间站。 圆上若有一切线,切点圆心半径联。 切线长度的计算,勾股定理最方便。 要想证明是切线,半径垂线仔细辨。 是直径,成半圆,想成直角径连弦。 弧有中点圆心连,垂径定理要记全。 圆周角边两条弦,直径和弦端点连。 弦切角边切线弦,同弧对角等找完。 要想作个外接圆,各边作出中垂线。 还要作个内接圆,内角平分线梦圆。 如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。 内外相切的两圆,经过切点公切线。 若是添上连心线,切点肯定在上面。 要作等角添个圆,证明题目少困难。 由角平分线想到的辅助线 一、截取构全等: 如图,AB//CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E在AD上,求证:BC=AB+CD。

分析:在此题中可在长线段BC上截取BF=AB,再证明CF=CD,从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自己试一试。 二、角分线上点向两边作垂线构全等: 如图,已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证:∠ADC+∠B=180 分析:可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。 三、三线合一构造等腰三角形: 如图,AB=AC,∠BAC=90 ,AD为∠ABC的平分线,CE⊥BE.求证:BD=2CE。 分析:延长此垂线与另外一边相交,得到等腰三角形,随后全等。四、角平分线+平行线: 如图,AB>AC, ∠1=∠2,求证:AB-AC>BD-CD。

初中几何辅助线技巧秘籍

初中几何辅助线技巧大全 一初中几何常见辅助线口诀 人说几何很困难,难点就在辅助线。辅助线,如何添?把握定理和概念。 还要刻苦加钻研,找出规律凭经验。 三角形 图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。 线段垂直平分线,常向两端把线连。线段和差及倍半,延长缩短可试验。 线段和差不等式,移到同一三角去。三角形中两中点,连接则成中位线。 三角形中有中线,延长中线等中线。 四边形 平行四边形出现,对称中心等分点。梯形问题巧转换,变为△和□。 平移腰,移对角,两腰延长作出高。如果出现腰中点,细心连上中位线。 上述方法不奏效,过腰中点全等造。证相似,比线段,添线平行成习惯。 等积式子比例换,寻找线段很关键。直接证明有困难,等量代换少麻烦。 斜边上面作高线,比例中项一大片。 圆形 半径与弦长计算,弦心距来中间站。圆上若有一切线,切点圆心半径连。 切线长度的计算,勾股定理最方便。要想证明是切线,半径垂线仔细辨。 是直径,成半圆,想成直角径连弦。弧有中点圆心连,垂径定理要记全。 圆周角边两条弦,直径和弦端点连。弦切角边切线弦,同弧对角等找完。 要想作个外接圆,各边作出中垂线。还要作个内接圆,内角平分线梦圆如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。内外相切的两圆,经过切点公切线。 若是添上连心线,切点肯定在上面。要作等角添个圆,证明题目少困难。 注意点 辅助线,是虚线,画图注意勿改变。假如图形较分散,对称旋转去实验。

基本作图很关键,平时掌握要熟练。解题还要多心眼,经常总结方法显。 切勿盲目乱添线,方法灵活应多变。分析综合方法选,困难再多也会减。 虚心勤学加苦练,成绩上升成直线。 二 由角平分线想到的辅助线 口诀: 图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。 角平分线具有两条性质:a 、对称性;b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法,一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线; ②利用角平分线,构造对称图形(如作法是在一侧的长边上截取短边)。 通常情况下,出现了直角或是垂直等条件时,一般考虑作垂线;其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 (一)、截取构全等 几何的证明在于猜想与尝试,但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的,希望同学们能掌握相关的几何规律,在解决几何问题中大胆地 去猜想,按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。 如图1-1,∠AOC=∠BOC ,如取OE=OF ,并连接DE 、DF ,则有△OED ≌△OFD ,从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 图1-1 O A B D E F C A D E

初中几何辅助线大全 最全

三角形中作辅助线的常用方法举例 一、延长已知边构造三角形: 例如:如图7-1:已知AC =BD ,AD ⊥AC 于A ,BC ⊥BD 于B , 求证:AD =BC 分析:欲证 AD =BC ,先证分别含有AD ,BC 的三角形全等,有几种方案:△ADC 与△BCD ,△AOD 与△BOC ,△ABD 与△BAC ,但根据现有条件,均无法证全等,差角的相等,因此可设法作出新的角,且让此角作为两个三角形的公共角。 证明:分别延长DA ,CB ,它们的延长交于E 点, ∵AD ⊥AC BC ⊥BD (已知) ∴∠CAE =∠DBE =90° (垂直的定义) 在△DBE 与△CAE 中 ∵?? ???=∠=∠∠=∠)()() (已知已证公共角AC BD CAE DBE E E ∴△DBE ≌△CAE (AAS ) ∴ED =EC EB =EA (全等三角形对应边相等) ∴ED -EA =EC -EB 即:AD =BC 。 (当条件不足时,可通过添加辅助线得出新的条件,为证题创造条件。) 二 、连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解决。 三、有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段延长。 例如:如图9-1:在Rt △ABC 中,AB =AC ,∠BAC =90°,∠1=∠2,CE ⊥BD 的延长于E 。求证:BD =2CE 分析:要证BD =2CE ,想到要构造线段2CE ,同时CE 与 ∠ABC 的平分线垂直,想到要将其延长。 证明:分别延长BA ,CE 交于点F 。 ∵BE ⊥CF (已知) ∴∠BEF =∠BEC =90° (垂直的定义) 在△BEF 与△BEC 中, 1 9-图D C B A E F 1 2 A B C D E 1 7-图O

初中平面几何辅助线专题复习

初中平面几何辅助线专题复习 目录 第01讲辅助线的初步认识 第02讲截长补短法 第03讲中点模型——倍长中线 第04讲三垂直模型 第05讲角平分线模型(一) 第06讲角平分线模型(二) 第07讲手拉手模型——全等 第08讲最短路径问题 第09讲平面直角坐标系中的几何问题

第01讲辅助线的初步认识 【知识提要】 初中辅助线的添加时几何部分学习的重要内容,同时也是学生学习的难点之所在。当 问题的条件不够时,添加辅助线构成新图形,形成新关系,使分散的条件集中,建立 已知与未知的桥梁,把问题转化为自己能解决的问题,这是解决问题常用的策略。 辅助线的添加通常有两种情况: 1.按定义添辅助线: 如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线 段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。 2.按基本图形添辅助线: 每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形,添辅助线往 往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应该叫 做“补图”!这样可防止乱添线,添辅助线也有规律可循。 本节课我们就以启东作业中的问题为例,来介绍常见的辅助线的画法. 【典型例题】 例1:小春在做数学作业时,遇到一个这样的问题:如图,AB=CD,BC=AD,请说明 ∠A =∠C 的道理. BC=AD,所以只需连接BD,构造全等三角形即可. D

例2. 如图,O 是△ABC 内一点,连接OB 和OC. 你能说明OB +OC < AB + AC 的理由吗? 【思路点拨】要证明线段之间的不等关系,要将线段放在三角形中,利用三边关系来证明。△ABC 和△OBC 中无法解决,所以只需要将OB (OC )延长交AC (AB )于点D ,在△ABD (△ACD )和△OCD (△OBD )利用三边关系解决即可. 归纳:构造线段时辅助线的写法: 1. 连接**。例如:连接AB 2. 延长**。①例如:延长AB 交CD 于E 点;②延长AB 到E ,使BE = AB . 例题3:已知:如图AB ∥DE . 求证:∠B +∠C +∠D = 360° 【思路点拨】要证明这三个角的和是360°,可以 构造周角,2个180度或四边形的内角和来证明。 通过作平行线就可实现角的位置的转移,将角移动到 适当的位置。 归纳:构造平行线时辅助线的写法: 1. 过*作* ∥ *。例如:过点A 作AB ∥CD. 练习:叙述并证明三角形内角和定理。 例题4:已知:如图,△ABC 的∠B 的外角的平分线BD 和∠C 的外角平分线CE 相交于点P 求证:点P 也在∠BAC 的平分线上。 【思路点拨】已知CP 和BP 为外角平分心线,要证明P 角平分线上,只需要过P 向AM 、AN 、BC 归纳:构造垂线,中线,角平分心线时辅助线的写法: 1. 垂线:过*作*⊥*于点*。例如:过点A 作AB ⊥CD 于点B . C E A N B

1初中数学《几何辅助线秘籍》中点模型的构造1倍长中线法;构造中位线法

学生姓名学生年级学校 上课时间辅导老师科目 教学重点中点模型的构造(倍长中线法;构造中位线法;构造斜边中线法) 教学目标系统有序掌握几何求证思路,掌握何时该用何种方法做辅助线 开场:1.行礼;2.晨读;3.检查作业;4.填写表格 新 课 导 入 知识点归纳 1.已知任意三角形(或者其他图形)一边上的中点,可以考虑:倍长中线法(构造全等三角形);2.已 知任意三角形两边的中点,可以考虑:连接两中点形成中位线; 3.已知直角三角形斜边中点,可以考虑:构造斜边中线; 4.已知等腰三角形底边中点,可以考虑:连接顶点和底边中点利用“三线合一”性质. 新 课 内 容 做辅助线思路一:倍长中线法 经典例题1:如图所示,在△ABC中,AB=20,AC=12,求BC边上的中线AD的取值范围. 【课堂训练】 1.如图,已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线,且AC=AB,给出下列结论: ①AE=2AC;②CE=2CD;③∠ACD=∠BCE;④CB平分∠DCE,则以上结论正确的是 ( ) A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 第1题图第2题图 2.如图,在正方形ABCD中,E为AB边的中点,G、F分别为AD,BC边上的点,若AG=1, BF=2,∠GEF=90°,则GF的长为() A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3.如图,在△ABC中,点D、E为边BC的三等分点,则下列说法正确的有( ) ①BD=DE=EC;②AB+AE>2AD;③AD+AC>2AE;④AB+AC>AD+AE。 A. 1个B. 2个 C. 3个 D. 4个

4.如图,在△ABC 中,A B>BC,E 为BC 边的中点,AD为∠BAC 的平分线,过E 作AD 的平行线,交AB 于F ,交C A的延长线于G,求证:BF=CG. 5.如图所示,已知在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,F 是AD 上的一点,连接BE 并延长交AC 于点F,AE =EF ,求证:AC =B F. 6.如图所示,在△ABC 中,分别以AB 、AC为直角边向外做等腰直角三角形△ABD 和△ACE,F 为BC 边上中点,FA 的延长线交DE 于点G ,求证:①DE=2AF ;②FG ⊥DE . F G E D B C A F D B C A E G F B C A D E

初中几何常见辅助线作法口诀

初中几何常见辅助线作法口诀 人说几何很困难,难点就在辅助线。辅助线,如何添?把握定理和概念。还要刻苦加钻研,找出规律凭经验。 三角形 图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。线段垂直平分线,常向两端把线连。要证线段倍与半,延长缩短可试验。三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。四边形 平行四边形出现,对称中心等分点。梯形里面作高线,平移一腰试试看。平行移动对角线,补成三角形常见。证相似,比线段,添线平行成习惯。等积式子比例换,寻找线段很关键。直接证明有困难,等量代换少麻烦。斜边上面作高线,比例中项一大片。 圆 半径与弦长计算,弦心距来中间站。圆上若有一切线,切点圆心半径连。切线长度的计算,勾股定理最方便。要想证明是切线,半径垂线仔细辨。是直径,成半圆,想成直角径连弦。弧有中点圆心连,垂径定理要记全。圆周角边两条弦,直径和弦端点连。弦切角边切线弦,同弧对角等找完。要想作个外接圆,各边作出中垂线。还要作个内接圆,内角平分线梦圆如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。内外相切的两圆,经过切点公切线。若是添上连心线,切点肯定在上面。要作等角添个圆,证明题目少困难。辅助线,是虚线,画图注意勿改变。假如图形较分散,对称旋转去实验。基本作图很关键,平时掌握要熟练。解题还要多心眼,经常总结方法显。切勿盲目乱添线,方法灵活应多变。分析综合方法选,困难再多也会减。虚心勤学加苦练,成绩上升成直线。

作辅助线的常用方法

在利用三角形三边关系证明线段不等关系时,如直接证不出 来,可连接两点或廷长某边构成三角形,使结论中出现的线段在一个或几个三角形中,再运用三角形三边的不等关系证明,如: 例1、 已知如图1-1:D 、E 为△ABC 内两点, 求证:AB+AC>BD+DE+CE. 证明:(法一) 将DE 两边延长分别交AB 、AC 于M 、N , 在△AMN 中,AM+AN > MD+DE+NE;(1) 在△BDM 中,MB+MD>BD ; (2) 在△CEN 中,CN+NE>CE ; (3) 由(1)+(2)+(3)得: AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE ∴AB+AC>BD+DE+EC (法二:图1-2) 延长BD 交 AC 于F ,廷长CE 交BF 于G , 在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有: AB+AF> BD+DG+GF (三角形两边之和大于第三边)…(1) GF+FC>GE+CE (同上)………………………………..(2) DG+GE>DE (同上)…………………………………….(3) 由(1)+(2)+(3)得: AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE ∴AB+AC>BD+DE+EC 。 一、 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时,可连接两 点或延长某边,构造三角形,使求证的大角在某个三角形的外角的位置上,小角处于这个三角形的内角位置上,再利用外角定理: 例如:如图2-1:已知D 为△ABC 内的任一点,求证:∠BDC>∠BAC 。 因为∠BDC 与∠BAC 不在同个三角形中,没有直接的联系,可适当添加辅助线构造新的三角形,使∠BDC 处于在外角的位置,∠BAC 处于 在内角的位置; 证法一:延长BD 交AC 于点E ,这时∠BDC 是△EDC 的外角, A B C D E N M 1 1-图A B C D E F G 2 1-图A B C D E F G 1 2-图

八年级数学三角形辅助线大全(精简、全面)

三角形作辅助性方法大全 1.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时,如果直接证不出来,可连结两点或延长某边,构造三角形,使求证的大角在某个三角形外角的位置上,小角处在内角的位置上,再利用外角定理证题. 例:已知D 为△ABC 内任一点,求证:∠BDC >∠BAC 证法(一):延长BD 交AC 于E , ∵∠BDC 是△EDC 的外角, ∴∠BDC >∠DEC 同理:∠DEC >∠BAC ∴∠BDC >∠BAC 证法(二):连结AD ,并延长交BC 于F ∵∠BDF 是△ABD 的外角, ∴∠BDF >∠BAD 同理∠CDF >∠CAD ∴∠BDF +∠CDF >∠BAD +∠CAD 即:∠BDC >∠BAC 2.有角平分线时常在角两边截取相等的线段,构造全等三角形. 例:已知,如图,AD 为△ABC 的中线且∠1 = ∠2,∠3 = ∠4, 求证:BE +CF >EF 证明:在DA 上截取DN = DB ,连结NE 、NF ,则DN = DC 在△BDE 和△NDE 中, DN = DB ∠1 = ∠2 ED = ED ∴△BDE ≌△NDE ∴BE = NE 同理可证:CF = NF 在△EFN 中,EN +FN >EF ∴BE +CF >EF 3. 有以线段中点为端点的线段时,常加倍延长此线段构造全等三角形. 例:已知,如图,AD 为△ABC 的中线,且∠1 = ∠2,∠3 = ∠4,求证:BE +CF >EF 证明:延长ED 到M ,使DM = DE ,连结CM 、FM △BDE 和△CDM 中, BD = CD ∠1 = ∠5 ED = MD ∴△BDE ≌△CDM ∴CM = BE 又∵∠1 = ∠2,∠3 = ∠4 ∠1+∠2+∠3 + ∠4 = 180o F A B C D E D C B A 43 21N F E D C B A

初中几何辅助线大全最全

初中几何辅助线大全-最全 三角形中作辅助线的常用方法举例 一、延长已知边构造三角形: 例如:如图7-1 :已知AC= BD, AD丄AC于A , BC丄BD于B, 求证:AD= BC 分析:欲证AD = BC,先证分别含有AD, BC的三角形全等,有几种方案:△KDC与ABCD , △XOD与△BOC’MBD与ABAC,但根据现有条件,均无法证全等,差角的相等,因此可 设法作出新的角,且让此角作为两个三角形的公共角。 证明:分别延长DA CB它们的延长交于E点, ?/ AD丄AC BC丄BD (已知) ???/ CAE=Z DBE = 90 ° (垂直的定义) 在厶DBE与△ CAE中 E E(公共角) DBE CAE(已证) BD AC(已知) ? A DBE^A CAE (AAS ?ED= EC EB = EA (全等三角形对应边相等) ?ED- EA= EC— EB 即:AD= BC (当条件不足时,可通过添加辅助线得出新的条件,为证题创造条件。) 、连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解决。 三、有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段延长。 例如:如图9-1 :在Rt△ ABC中,AB= AC, / BAC= 90°,/ 1 = Z 2, CEL BD的延长于E。求证:BD= 2CE

分析:要证BD = 2CE,想到要构造线段2CE,同时CE

与/ABC的平分线垂直,想到要将其延长。 证明:分别延长BA CE交于点F。 ?/ BEX CF (已知) ???/ BEF=/ BEC= 90°(垂直的定义) 在厶BEF与厶BEC中, 1 2(已知) BE BE(公共边) BEF BEC(已证) 1 ? △ BEF^A BEC(ASA ?- CE=FE」CF (全等三角形对应边相等) 2 ?// BAC=90 BE 丄CF (已知) ???/ BAC=/ CAF= 90°/ 1 + / BDA= 90°/ 1 + Z BFC= 90° ???/ BDA=/ BFC 在厶ABM A ACF中 BAC CAF (已证) BDA BFC (已证) AB = AC(已知) ? △ ABD^A ACF (AAS ? BD= CF (全等三角形对应边相等)? BD= 2CE 四、取线段中点构造全等三有形。 例如:如图11-1 : AB= DC / A=/ D 求证:/ ABC=/ DCB 分析:由AB = DC ,ZA =/D,想到如取AD的中点N,连接NB , NC,再由SAS公理有△ ABN也Q CN,故BN = CN , ZABN =ZDCN。下面只需证/ NBC =ZNCB,再取BC的中点 M,连接MN,则由SSS公理有△ NBM也A CM,所以/NBC = ZNCB。问题得证。 证明:取AD, BC的中点N、M连接NB NM NC贝U AN=DN BM=C皿在厶ABN和厶DCN

初中几何辅助线大全

初中数学辅助线的添加浅谈人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的,当问题的条件不够时,添加辅助线构成新图形,形成新关系,使分散的条件集中,建立已知与未知的桥梁,把问题转化为自己能解决的问题,这是解决问题常用的策略。 一.添辅助线有二种情况: 1按定义添辅助线: 如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。 2按基本图形添辅助线: 每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形,添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应该叫做“补图”!这样可防止乱添线,添辅助线也有规律可循。举例如下: (1)平行线是个基本图形: 当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线 (2)等腰三角形是个简单的基本图形: 当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。 (3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形:

出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。 (4)直角三角形斜边上中线基本图形 出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。 (5)三角形中位线基本图形 几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线,当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点,则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。 (6)全等三角形: 全等三角形有轴对称形,中心对称形,旋转形与平移形等;如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形:或添对称轴,或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明,添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线 (7)相似三角形:

中考数学几何辅助线秘籍

中考数学几何辅助线秘籍 等腰三角形 1.作底边上的高,构成两个全等的直角三角形,这是用得最多的一种方法; 2.作一腰上的高; 3.过底边的一个端点作底边的垂线,与另一腰的延长线相交,构成直角三角形。 梯形 1.垂直于平行边 2.垂直于下底,延长上底作一腰的平行线 3.平行于两条斜边 4.作两条垂直于下底的垂线 5.延长两条斜边做成一个三角形 菱形 1.连接两对角 2.做高 平行四边形 1.垂直于平行边 2.作对角线--把一个平行四边形分成两个三角形 3.做高--形内形外都要注意 矩形 1.对角线 2.作垂线 很简单。无论什么题目,第一位应该考虑到题目要求,比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段,再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。还有一些关于平方的考虑勾股,A字形等。 三角形 图中有角平分线,可向两边作垂线(垂线段相等)。 也可将图对折看,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。 角平分线加垂线,三线合一试试看。 线段垂直平分线,常向两端把线连。 要证线段倍与半,延长缩短可试验。 三角形中两中点,连接则成中位线。 三角形中有中线,延长中线等中线。 解几何题时如何画辅助线? ①见中点引中位线,见中线延长一倍 在几何题中,如果给出中点或中线,可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关

问题。 ②在比例线段证明中,常作平行线。 作平行线时往往是保留结论中的一个比,然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。 ③对于梯形问题,常用的添加辅助线的方法有 1、过上底的两端点向下底作垂线 2、过上底的一个端点作一腰的平行线 3、过上底的一个端点作一对角线的平行线 4、过一腰的中点作另一腰的平行线 5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交 6、作梯形的中位线 7、延长两腰使之相交 四边形 平行四边形出现,对称中心等分点。 梯形里面作高线,平移一腰试试看。 平行移动对角线,补成三角形常见。 证相似,比线段,添线平行成习惯。 等积式子比例换,寻找线段很关键。 直接证明有困难,等量代换少麻烦。 斜边上面作高线。

中考数学专题初中几何辅助线几种常见添法培优试题.doc

2019-2020 年中考数学专题初中几何辅助线的几种常见添法培优试题 一、由角平分线想到的辅助线 1、截取构全等 例1:如图 1, AB∥ CD, BE 平分∠ ABC, CE平分∠ BCD,点 E 在 AD上。求证: BC=AB+CD。例2:已知,如图 2,AB=2AC,∠ BAD=∠ CAD, DA=DB。求证: DC⊥ AC。 例 3:如图 3,在△ ABC中,∠ C=2∠ B, AD平分∠ BAC。求证: AB-AC=CD。 2、角平分钱上的点向角两边作垂线构全等

例1:如图 4,已知 AB>AD,∠ BAC=∠ FAC, CD=BC。求证:∠ ADC+∠ B=180° 例 2:已知,如图5,△ ABC的角平分线BM、 CN相交于点P,求证:∠ BAC的平分线也经过点P。 3、作角平分线的垂线构造等腰三角形 例1:已知,如图 6,∠ BAD=∠ DAC, AB>AC, CD⊥ AD于 D,H 是 BC的中点。 1 求证: DH( AB AC) 例 2:如图 7, AB=AC,∠ BAC=90°, BD平分∠ ABC, CE⊥ BE。求证: BD=2CE。

例 3:已知,如图8,在△ ABC中, AD、 AE分别是△ BAC的内、外角平分线,过顶点B作 BF⊥ AD,交AD的延长线于 F,连结 FC 并延长交 AE于 M。 求证: AM=ME。 例 4:已知,如图9,在△ ABC中, AD平分∠ BAC,AD=AB,CM⊥ AD交 AD延长线于 M。 求证: AM 1 ( AB AC) 。 2 二、截长补短法 例 1:如图 10,正方形 ABCD中, E 为 BC上的一点, F 为 CD上的一点, BE+DF=EF。求∠ EAF的度数。

初中几何辅助线大全(潜心整理)

初中几何辅助线口诀 三角形 图中有角平分线,可向两边作垂线。 也可将图对折看,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。 角平分线加垂线,三线合一试试看。 线段垂直平分线,常向两端把线连。 要证线段倍与半,延长缩短可试验。 三角形中两中点,连接则成中位线。 三角形中有中线,延长中线等中线。 四边形 平行四边形出现,对称中心等分点。 梯形里面作高线,平移一腰试试看。 平行移动对角线,补成三角形常见。 证相似,比线段,添线平行成习惯。 等积式子比例换,寻找线段很关键。 直接证明有困难,等量代换少麻烦。 斜边上面作高线,比例中项一大片。 圆 半径与弦长计算,弦心距来中间站。 圆上若有一切线,切点圆心半径连。 切线长度的计算,勾股定理最方便。 要想证明是切线,半径垂线仔细辨。 是直径,成半圆,想成直角径连弦。 弧有中点圆心连,垂径定理要记全。 圆周角边两条弦,直径和弦端点连。 弦切角边切线弦,同弧对角等找完。 要想作个外接圆,各边作出中垂线。 还要作个内接圆,内角平分线梦圆 如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。 内外相切的两圆,经过切点公切线。 若是添上连心线,切点肯定在上面。 要作等角添个圆,证明题目少困难。

辅助线,是虚线,画图注意勿改变。 假如图形较分散,对称旋转去实验。 基本作图很关键,平时掌握要熟练。 解题还要多心眼,经常总结方法显。 切勿盲目乱添线,方法灵活应多变。 分析综合方法选,困难再多也会减。 虚心勤学加苦练,成绩上升成直线 作辅助线的方法 一、中点、中位线,延线,平行线。 如遇条件中有中点,中线、中位线等,那么过中点,延长中线或中位线作辅助线,使延长的某一段等于中线或中位线;另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线,以达到应用某个定理或造成全等的目的。 二、垂线、分角线,翻转全等连。 如遇条件中,有垂线或角的平分线,可以把图形按轴对称的方法,并借助其他条件,而旋转180度,得到全等形,,这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。 三、边边若相等,旋转做实验。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,有时边角互相配合,然后把图形旋转一定的角度,就可以得到全等形,这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心,因题而异,有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。 四、造角、平、相似,和、差、积、商见。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,欲证线段或角的和差积商,往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时,一般地,有两种方法:第一,造一个辅助角等于已知角;第二,是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀:“造角、平、相似,和差积商见。” 托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表) 五、两圆若相交,连心公共弦。 如果条件中出现两圆相交,那么辅助线往往是连心线或公共弦。 六、两圆相切、离,连心,公切线。 如条件中出现两圆相切(外切,内切),或相离(内含、外离),那么,辅助线往往是连心线或内外公切线。 七、切线连直径,直角与半圆。

初中几何添加辅助线的 条规律

规律1 如果平面上有n(n≥2)个点,其中任何三点都不在同一直线上,那么每两点画一条直线,一共可以画出n(n-1)条。 规律2 平面上的n条直线最多可把平面分成〔n(n+1)/2+1〕个部分。 规律3 如果一条直线上有n个点,那么在这个图形中共有线段的条数为n(n-1)条。 规律4 线段(或延长线)上任一点分线段为两段,这两条线段的中点的距离等于线段长的一半。 规律5 有公共端点的n条射线所构成的角的个数一共有n(n-1)个。 规律6 如果平面内有n条直线都经过同一点,则可构成小于平角的角共有2n (n-1)个。 规律7 如果平面内有n条直线都经过同一点,则可构成n(n-1)对对顶角。规律8 平面上若有n(n≥3)个点,任意三个点不在同一直线上,过任意三点作三角形一共可作出n(n-1)(n-2)个。 规律9 互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90°。 规律10 平面上有n条直线相交,最多交点的个数为n(n-1)个。 规律11 互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半。 规律12 当两直线平行时,同位角的角平分线互相平行,内错角的角平分线互相平行,同旁内角的角平分线互相垂直。 规律13 在证明直线和圆相切时,常有以下两种引辅助线方法:

(1)当已知直线经过圆上的一点,那么连结这点和圆心,得到辅助半径,再证明所作半径与这条直线垂直即可。 (2)如果不知直线与圆是否有交点时,那么过圆心作直线的垂线段,再证明垂线段的长度等于半径的长即可。 规律14 成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半。 规律15 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时,如果直接证不出来,可连结两点或延长某边构造三角形,使结论中出现的线段在一个或几个三角形中,再利用三边关系定理及不等式性质证题。 注意:利用三角形三边关系定理及推论证题时,常通过引辅助线,把求证的量(或与求证有关的量)移到同一个或几个三角形中去然后再证题。规律16 三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角,等于第三个内角的一半。 规律17 三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半。 规律18 三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于90o减去第三个内角的一半。 规律19 从三角形的一个顶点作高线和角平分线,它们所夹的角等于三角形另外两个角差(的绝对值)的一半。 注意:同学们在学习几何时,可以把自己证完的题进行适当变换,从而使自己通过解一道题掌握一类题,提高自己举一反三、灵活应变的能力。规律20 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时,如果直接证不出来,可连结两点或延长某边,构造三角形,使求证的大角在某个三角形外角的位置上,小角处在内角的位置上,再利用外角定理证题。 规律21

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初中几何辅助线—克胜秘籍等腰三角形 1. 作底边上的高,构成两个全等的直角三角形,这是用得最多的一种方法; 2. 作一腰上的高; 3 . 过底边的一个端点作底边的垂线,与另一腰的延长线相交,构成直角三角形梯形 1. 垂直于平行边 2. 垂直于下底,延长上底作一腰的平行线 3. 平行于两条斜边 4. 作两条垂直于下底的垂线 5. 延长两条斜边做成一个三角形 菱形 1. 连接两对角 2. 做高 平行四边形 1. 垂直于平行边 2. 作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形

3. 做高——形内形外都要注意 矩形 1. 对角线 2. 作垂线 很简单。无论什么题目,第一位应该考虑到题目要求,比如AB=AC+BD .................... 这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段,再证全等说明AC+BD另= 一条AB,就好了。还有一些关于平方的考虑勾股,A 字形等。 三角形 图中有角平分线,可向两边作垂线(垂线段相等)。 也可将图对折看,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。 角平分线加垂线,三线合一试试看。 线段垂直平分线,常向两端把线连。 要证线段倍与半,延长缩短可试验。 三角形中两中点,连接则成中位线。 三角形中有中线,延长中线等中线。 解几何题时如何画辅助线?

①见中点引中位线,见中线延长一倍在几何题中,如果给出中点或中线,可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。 ②在比例线段证明中,常作平行线。 作平行线时往往是保留结论中的一个比,然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。 ③对于梯形问题,常用的添加辅助线的方法有 1、过上底的两端点向下底作垂线 2、过上底的一个端点作一腰的平行线 3、过上底的一个端点作一对角线的平行线 4、过一腰的中点作另一腰的平行线 5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交 6、作梯形的中位线 7、延长两腰使之相交 四边形 平行四边形出现,对称中心等分点。 梯形里面作高线,平移一腰试试看 平行移动对角线,补成三角形常见。 证相似,比线段,添线平行成习惯。

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初中几何辅助线—克胜秘籍 等腰三角形 1. 作底边上的高,构成两个全等的直角三角形,这是用得最多的一种方法; 2. 作一腰上的高; 3 .过底边的一个端点作底边的垂线,与另一腰的延长线相交,构成直角三角形。梯形 1. 垂直于平行边 2. 垂直于下底,延长上底作一腰的平行线 3. 平行于两条斜边 4. 作两条垂直于下底的垂线 5. 延长两条斜边做成一个三角形 菱形 1. 连接两对角 2. 做高 平行四边形 1. 垂直于平行边 2. 作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形 3. 做高——形内形外都要注意 矩形 1. 对角线 2. 作垂线

很简单。无论什么题目,第一位应该考虑到题目要求,比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段,再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。还有一些关于平方的考虑勾股,A字形等。 三角形 图中有角平分线,可向两边作垂线(垂线段相等)。 也可将图对折看,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。 角平分线加垂线,三线合一试试看。 线段垂直平分线,常向两端把线连。 要证线段倍与半,延长缩短可试验。 三角形中两中点,连接则成中位线。 三角形中有中线,延长中线等中线。 解几何题时如何画辅助线? ①见中点引中位线,见中线延长一倍 在几何题中,如果给出中点或中线,可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。 ②在比例线段证明中,常作平行线。 作平行线时往往是保留结论中的一个比,然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。 ③对于梯形问题,常用的添加辅助线的方法有 1、过上底的两端点向下底作垂线

1初中数学《几何辅助线秘籍》中点模型的构造1(倍长中线法;构造中位线法)资料

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4.如图,在△ABC中,AB>BC,E为BC边的中点,AD为∠BAC的平分线,过E作AD的平行线,交AB于F,交CA的延长线于G,求证:BF=CG. G B A F E D C 5.如图所示,已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,F是AD上的一点,连接BE并延长交AC 于点F,AE=EF,求证:AC=BF. A E F B D C 6.如图所示,在△ABC中,分别以AB、AC为直角边向外做等腰直角三角△形ABD和△ACE,F 为BC边上中点,FA的延长线交DE于点G,求证:①DE=2AF;②FG⊥DE. D G E A B F C

初中数学证明题常见辅助线作法规律35069精编版

初中数学证明题常见辅助线作法规律 初中数学证明题常见辅助线作法记忆歌诀;及几何规律汇编;人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的,;初中几何常见辅助线作法歌诀;人说几何很困难,难点就在辅助线;辅助线,如何添?把握定理和概念;还要刻苦加钻研,找出规律凭经验;三角形;图中有角平分线,可向两边作垂线;也可将图对折看,对称以后关系现;角平分线平行线,等腰三角形来添;角平分线加垂线,三线合一试试 初中数学证明题常见辅助线作法记忆歌诀 及几何规律汇编 人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的,当问题的条件不够时,添加辅助线构成新图形,形成新关系,使分散的条件集中,建立已知与未知的桥梁,把问题转化为自己能解决的问题,这是解决问题常用的策略。 初中几何常见辅助线作法歌诀 人说几何很困难,难点就在辅助线。 辅助线,如何添?把握定理和概念。 还要刻苦加钻研,找出规律凭经验。 三角形

图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。线段垂直平分线,常向两端把线连。要证线段倍与半,延长缩短可试验。三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。四边形 平行四边形出现,对称中心等分点。梯形里面作高线,平移一腰试试看。平行移动对角线,补成三角形常见。证相似,比线段,添线平行成习惯。等积式子比例换,寻找线段很关键。直接证明有困难,等量代换少麻烦。斜边上面作高线,比例中项一大片。圆

半径与弦长计算,弦心距来中间站。圆上若有一切线,切点圆心半径连。切线长度的计算,勾股定理最方便。要想证明是切线,半径垂线仔细辨。是直径,成半圆,想成直角径连弦。弧有中点圆心连,垂径定理要记全。圆周角边两条弦,直径和弦端点连。弦切角边切线弦,同弧对角等找完。要想作个外接圆,各边作出中垂线。还要作个内接圆,内角平分线梦圆。如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。内外相切的两圆,经过切点公切线。若是添上连心线,切点肯定在上面。要作等角添个圆,证明题目少困难。辅助线,是虚线,画图注意勿改变。假如图形较分散,对称旋转去实验。基本作图很关键,平时掌握要熟练。

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