七年级下册数学讲义

目录

第一讲同底数幂的乘法 (1)

第二讲幂的乘方与积的乘方 (5)

第三讲同底数幂的除法 (9)

第四讲整式的乘法 (13)

第五讲平方差公式（1） (18)

第六讲平方差公式（2） (22)

第七讲完全平方式(1) (26)

第八讲完全平方式(2) (29)

第九讲整式的除法 (33)

第十讲单元测试 (37)

第十一讲两条直线的位置关系 (41)

第十二讲平行线的性质 (47)

第十三讲平行线的判定(1) (52)

第十四讲平行线的判定(2) (57)

第十五讲本章复习 (61)

第十六讲用表格表示的变量间关系 (66)

第十七讲用关系式表示的变量间关系 (70)

第一讲 同底数幂的乘法

1. 同底数幂的乘法性质：a m

? a n

= a

m +n

(其中 m ,

n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，

指数相加.

? 1 ?3 ? 1 ?4

例 1. 计算： （1） - ? ? 2 ? ? - ?

? 2 ?

（2） a 2 ? a ? a

7

（3） - a 2

? (- a )3

（4）

32

? 27 ? 81

2. 同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.

例 2.

计算： (1)(x - 2 y )2 (2 y - x )

3

(2)(a - b - c )(b + c - a )2 (c - a + b )3

3. 三个或三个以上同底数幂相乘时， 也具有这一性质， 即 a m ? a n ? a p = a m +n + p

（ m , n , p 都是正整数）.

例 3.

计算： （1） (- 2)2

? (- 2)3

? (- 2) =

； （2） a ? a 3 ? a 5

= ；

（3） (a + b )(a + b

)m

(a + b )n

=

；

（4） a 4n

a

n +3

a =

；

4. 逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，

它们的指数之和等于原来的幂的指数。即 a

m +n

= a m ? a n （ m , n 都是正整数）.

例 4. 已知 a m

= 2, a n

= 3 ，求下列各式的值。

（1）

a m +1

（2）

a 3+n

（3）

a m +n +3

1

知识点梳理

一．选择题;

1. 已知

2x

＝a ，2y

＝b ，那么 2

x ＋y

等于( )

A ．a ＋b

B ．2ab

C ．ab

D ．xy

2．一块长方形土地的长为 4×108

d m ，宽为 3×103

d m ，则这块土地的面积( )

A ．12×1024

dm

2

B ．1.2×1012dm

2

C ．12×1012dm 2

D ．12×108dm 2

3．计算(－2)2000·2

2001

的结果，正确的是(

)

A ．2

B ．－2

C ．24001

D ．－24001

4. 在等式 x 2·x 3

·(

)＝x 12 中，括号里面应填( )

A ．x

2

B ．x 6

C ．x

7

D ．x 8

5．下列各式计算正确的是(

)

6．

7．81×27 可记为(

)

A ．

B ．

C ．

D ．

8．当 a <0，n 为正整数时，（－a ）5

·（－a ）2n

的值为（

）

A ．正数

B ．负数

C ．非正数

D ．非负数

9．若 10m

＝3,10n

＝2，则 10m ＋n

的值为(

)

A ．5

B ．6

C ．8

D ．9

二．填空题； 1．计算：a 7

·（－a ）6

=

． 2．44×（﹣0.25）5

= ．

3．计算：

．

4.（－2）

2009

+（－2）2010

＝

.

5. 计算：

2

随 堂 练 习

A ．a ·a 2

＝a

3

B ．x 5

·x 5

＝x 25

C ．a 2

·a 2

＝2a

2

D ．x 2

＋x 3

＝x 6

若 x ≠ y ,则下面多项式不成立的是( )

A ． ( y - x )2 = (x - y )

2

B ． ( y - x )3

= -(x - y )3

C ． (- y - x )2

= (x + y )

2

D ． (x + y )2

= x 2

+ y

2

(1)若2x＋1＝16，则x＝．

(2)若x n－3·x n＋3＝x10，则n＝．

(3)若a x＝4，a y＝3，则a x＋y＝．a2x＋y＝

．6.（1）若a m =2 ，

a n = 8 ，则a m+n =

[-(x -y)3m]=

（2）(x -y)p(y -x)2n

（3）已知2x+2 =m ，用含m 的的代数式表示2x =

三.解答题;

1．已知a n＋1·a m＋n＝a6，且m＝2n＋1，求m n的值．

2．(1）我们规定：a*b＝10a×10b，试求12*3和2*5的值．

（2）已知3×27×39＝3x＋8，求x的值．

3.1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于3.75×105千克煤完全燃烧放出的热量，据估计地壳里含9.2×109千克镭，试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤完全燃烧放出的热量？

3

4.某种病毒繁殖非常快，每分钟会由 1 个繁殖到 3 个．

试问：经过 4 分钟，1 个病毒会繁殖到多少个？若这些病毒继续繁殖，m 分钟后会繁殖到多少个？

课后巩固

1．计算并把结果写成同一个底数幂的形式:① 34 ? 9 ?81 ；② 625 ?125 ? 56

4

知识点梳理

第二讲幂的乘方与积的乘方

1.幂的乘方法则：(a m )n =a mn (其中m, 例1. 若x3 =8a3b6，求x 的值；

2.公式的推广：（1）((a m )n ) p =a mnp n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. ( a ≠ 0 ，m, n, p 均为正整数)

(2) 逆用公式：a mn=(a m)n=(a n)m

例2. 3555 ，4444 ，5333 的大小．

3.积的乘方法则：(ab)n =a n ?b n(其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.

例3.若5n = 2 ，4n = 3 ，则20n = ．

4.（1）公式的推广：(abc)n =a n ?b n ?c n( n 为正整数).

（2）逆用公式：a n b n=(ab)n逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便。

例4.已知：26=a2=4b，求a+b的值．.

例5.若x=2m+1，y=3+4m．

（1）请用含 x 的代数式表示 y；

（2）如果 x=4，求此时 y 的值．

5

一．选择题;

1. 若

，那么

的值是 ( ) A ．10

B ．52

C ．20

D ．32

2. 下列运算正确的是（

）

A ．3a +2b =5a b

B ．a 3?a 2=a

5

C ．a 8?a 2=a 4

D ．（2a 2）3=﹣6a 6

3．计算

的结果为（

）．

A ．

B ．

C ．

D ．

4．如果

，那么 、 的值为（

）．

A ．

C ．

，

，

B ．

D ．

，

，

5．下列四个等式：（ ）；（ ）

；（ ）

；

（ ）

．其中正确的算式有（ ）．

A ． 个

B ． 个

C ． 个

D ． 个

6. 如果

，则 的值是（

）．

A ．

B ．

C ．

D ．无法确定 7．已知

，那么

的值是（ ）．

A ．

B ．

C ．

D ．

8．若 5x =125y ,3y =9z ,则 x ∶y ∶z 等于(

)

A ．1∶2∶3

B ．3∶2∶1

C ．1∶3∶6

D ．6∶2∶1

9．已知 10x

=m,10y

=n,则 10

2x+3y

等于(

)

A ．2m+3n

B ．m 2

+n

3

C ．6mn

D ．m 2n 3

10．已知 a=-34

,b=(-3)4

,c=(23

)4

,d=(22

)6

,则下列 a,b,c,d 四者关系的判断正确的是(

)

A ．a=b,c=d

B ．a=b,c≠d

11．计算(－p)8

·[(－p)2

]3

·[(－p)3

]2

的结果是

( A ．－p

20

B ．p

20 C ．a≠b,c=d

)

C ．－p

18

D ．a≠b,c≠d

D ．p

18

6

随 堂 练 习

二. 填空题;

1．若a4n＝3，那么(a3n)4＝．

2．已知实数、满足，，则的值是．

3．（）若，则．（）若，则．

4．（）若，则．（）若，则．

5．．

三.解答题;

1．计算

(1)(-0.25)11×411(2)(-0.125)200×8201

2．已知，求的值．

3．（）如果，求的值．

（）已知，求的值．

4．已知2x=a,4y=b,8z=ab,试猜想x,y,z之间的数量关系,并说明理由.

7

5.如果a2+a=0（a≠0），求a2005+a2004+12的值．

7.若1+2+3+…+n=a，求代数式（x n y）（x n﹣1y2）（x n﹣2y3）…（x2y n﹣1）（xy n）的值．

课后巩固

1.用公式表示图中阴影部分面积S，并求出当a＝1.2×103c m，r＝4×102c m时，S的值．(π取3.14)

8

知识点梳理

第三讲

同底数幂的除法

1. 同底数幂除法性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减 a m ÷ a n = a m -n

例 1.下列计算正确的是（

）

A ．x 8

÷x 4

=x

2

B ． -x 10

÷ (-x )4

= (-x )

6

C ．x 3

÷x =x

2

D ．x 6

÷x 3

÷x 2

=x 6

÷x =x 5

2.0 指数幂的意义： a 0 = 1(a ≠ 0)

例 2.下列各式的计算中，不正确的个数是 (

)

①100

÷10-1

= 10 ；②10-4

?(2 ? 4)0

= 1000 ；③ (-0.1)0

÷ (-2-1 )-3

= 8 ；

④ (-10)-4

÷ (-10-1 )-4

= -1 ；

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

3. 负整式幂的意义： a

- p

= ( 1

) p （ a ≠ 0, a 是正整数）

a

例 3.若 a=0.32 ， b=﹣3﹣2

， c=（﹣ ）

﹣2

， d=（﹣ ）0 ， 则（ ） A. a ＜b ＜c ＜d

B. b ＜a ＜d ＜c

C. a ＜d ＜c ＜b

D. c ＜a ＜d ＜b

4.科学计数法： a ?10n (1 ≤ a < 10) (1nm = 10-9 m )

例 4. （1）已知空气的单位体积质量为 1.24×10－3 克／厘米 3，1.24×10－3

用小数表示为 (

)

A ．0.000124

B ．0.0124

C ．－0.00124

D ．0.00124

（2）花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为 0.000037 毫克，1 克＝1000 毫克，那么0.000037 毫克用科学记数法表示为( )

A ．3.7×10－5

克

B ．3.7×10－6

克

C ．37×10－7

克

D ．3.7×10－8

克

9

一．选择题;

1.下列计算正确的是（

）

A. （a+b ）2=a 2+b 2

B. a 9÷a 3=a 3

C. （ab ）3=a 3b 3

D. （a 5）2=a 7

2.计算：（ ）﹣

2+（﹣2）0 等于（

）

A. 10

B. 9

C. 7

D. 4

3. 下列运算中，正确的是（ ）

A. 0.50=0

B. （9﹣3﹣

2）0=0

C. （﹣1）0=1

D. （﹣2）0=﹣2

4. 下列运算中，正确的是（ ）

﹣

﹣

-2

1 ﹣

﹣

﹣ ﹣ ﹣

A. a 2

?（a 3

）2

=a

3

B. (a - 2) =

a 2

- 4

C. a 2

÷a 6

=a

4

D. （a 2

） 3

÷a 2=a 8

5.计算（a 3）3÷（﹣a 2）4 的结果是（

）

A. a 4

B. a 3

C. a 2

D. a

6.若 10y =5，则 102

﹣2y

等于（

）

4 A. 75

B. 4

C. ﹣5 或 5

D.

5

7.如果 a=（﹣99）0 ， b=（﹣0.1）

﹣1

， C=（ ）

﹣2

， 那么 a 、b 、c 的大小关系为（ ）

A. a ＞c ＞b

B. c ＞a ＞b

C. a ＞b ＞c

D. c ＞b ＞a

8．将( 1 )-1，(-2)0

，(-3)2

这三个数按从小到大的顺序排列，正确的是 (

)

6

A ． (-2)0

< ( 1 )-1

< 6

(-3)2 1

B. ( ) 6

-1 < (-2)0

< (-3)

2

C ． (-3)2 < (-2)0 < ( 1

)-1

6

D ． (-2)0 < (-3)2 < ( 1

)-1

6

9．已知 5m －2n －3＝0，则 25m ÷22n

的值为(

)

A ．2

B ．0

C ．4

D ．8

10．下列计算错误的有（ ）

①a 8

÷a 2

=a 4

； ② (-m )4 ÷ (-m )2 = -m 2 ；③x 2n ÷x n =x n

； ④ -x 2

÷（-x ）2

=-1．

A ．1 个

B ．2 个

C ．3 个

D ．4 个

10

随 堂 练 习

二．填空题；

?1 ?-1

1.计算：（﹣1）0﹣ ?=

?2 ?

2.若3x=12，3y=4，则3x﹣y=．

3.已知a m=3，a n=9，则a3m﹣n=

4.若（x+1）0=1，则x的取值范围是．

5.如果10b=n，那么称b为n的“拉格数”，记为d（n），由定义可知：d（n）=b．如102=100，

则d（100）=d（102）=2，给出下列关于“拉格数”d（n）的结论：①d（10）=10，②d（10﹣2）= d(10)3

﹣2，③

d (10) =3，④d（mn）=d（m）+d（n），⑤d（）=d（m）÷d（n）．

其中，正确的结论有（填写所有正确的序号）．

6.计算：﹣4（a2b﹣1）2÷8ab2=．

7.已知以a m=2，a n=4，a k=32．则a3m+2n﹣k的值为．

8.若实数m，n满足|m﹣3|+（n﹣2015）2=0，则m﹣1+n0=

9.用小数表示下列各数：

(1)2.05×10－3=；(2)－2.36×10－5=；(3)31×10－6=；

10．已知5x-2y+2=0，则35x÷32y=

三．解答题；

1.已知x m=9，x n=4，x k=4，求x m+2k﹣3n的值．

2.已知a2-3a+1=0，求a+a-1的值；

11

3.已知(2x -1) x+2 = 1 ，求整数x的值；

4.已知4m=y﹣1，9n=x，22m+1÷32n﹣1=12，试用含有字母x的代数式表示y．

课后巩固

1．阅读材料，求1+ 2-1 + 2-2 +??????+2-2018 的值；

解：设S=1+ 2-1 + 2-2 +??????+2-2018 ①

则 2S = 2 ++1+ 2-1 + 2-2 +??????+2-2017 ②

② - ①，得：S= 2 - 2-2018

请仿此计算：

(1) 1+ 3-1 + 3-2 +??????+3-2018 ；

(2) 1+ 3-1 + 3-2 +??????+3-n(n为正整数).

12

知识点梳理

第四讲

整式的乘法

1. 单项式的乘法法则：

单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有 的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

1 1

1

例 1：（1） a 2bc 2

? 2abc ? bc 2

3

（2） (-2m 3n 3 )3

? (-2m 2 n 2 )4

2. 单项式与多项式的乘法法则：a(b+c+d)= ab + ac + ad

单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．

例 2：（1） 2abc ( 1 2

1 ab 2

c + a 2bc 2 )

（2） (- 1 2

m 2 n )2

? (2n + 3m - n 2 )

3. 多项式与多项式的乘法法则：( a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所

得的积相加．

例 3：（1）（2 - a ）(4 - b )

( 2 )( 2 a - c )( 3 c + b +

2 a )

3

例 4.(1)(3a-n)(a-2n)．

(2) (x+2y)(5a+3b)．

13

随堂练习

一. 选择题：

1.如果(x-5)(2x+m)的积中不含x 的一次项，则m 的值是（）

A. 5

B. -10

C. -5

D. 10

2.下列运算中，正确的是（）

A. 4a?3a=12a

B. （ab2）2=ab4

C. （3a2）3=9a6

D. a?a2=a3

3.已知M，N 分别表示不同的单项式，且3x（M﹣5x）=6x2y3+N（）

A. M=2xy3 ，N=﹣15x

B. M=3xy3 ，N=﹣15x2

C. M=2xy3 ，N=﹣15x2

D. M=2xy3 ，N=15x2

4.下列各式计算正确的是（）

A. （x+5）（x﹣5）=x2﹣10x+25

B. （2x+3）（x﹣3）=2x2﹣9

C.

（3x+2）（3x﹣1）=9x2+3x﹣2 D. （x﹣1）（x+7）=x2﹣6x﹣7

5.化简﹣3a?（2a2﹣a+1）正确的是（）

A. ﹣6a3+3a2﹣3a

B. ﹣6a3+3a2+3a

C. ﹣6a3﹣3a2﹣3a

D. 6a3﹣3a2﹣3a

6.计算2x3?（﹣x2）的结果是（）

A. ﹣2x5

B. 2x5

C. ﹣2x6

D. 2x6

7.下列运算中正确的是（）

A. 3a+2a=5a2

B. （2a2）3=8a6

C. 2a2?a3=2a6

D. （2a+b）2=4a2+b2

8.如果（x﹣p）（x﹣3）=x2+qx+6，那么（）

A. p=2，q=﹣5

B. p=2，q=﹣1

C. p=1，q=﹣5

D. p=﹣2，q=5

9.计算y2（﹣xy3）2 的结果是（）

A. x3y10

B. x2y8

C. ﹣x3y8

D. x4y12

14

10.下列说法不正确的是（）

A.两个单项式的积仍是单项式

B.两个单项式的积的次数等于它们的次数之和

C.单项式乘以多项式，积的项数与多项式项数相同

D.多项式乘以多项式，合并同类项前，积的项数等于两个多项式的项数之和

二. 填空题;

1.若（x+3）（x﹣5）=x2+ax+b，a=．b=．

2.计算：（2a+3b）=12a2b+18ab2．

3.计算：﹣a（﹣2a+b）= ．

4.有若干张如图所示的正方形A 类、B 类卡片和长方形C 类卡片，如果要拼成一个长为（2a+b），宽为（3a+2b）的大长方形，则需要C 类卡片张．

5.如果（x+1）（x2﹣4ax+a）的乘积中不含x2项，则a为

． 6.若（ax﹣b）（3x+4）=bx2+cx+72，则a+b+c的值为

7.关于整式（x﹣2）（x+n）运算结果中，一次项系数为2，则n= ．

三．解答题；

1.计算：（1）(﹣3a﹣4)（3x+4）（2）（x2+3）（2x2﹣5）

2 1

2 3

2..若（x +px﹣

3

）（x ﹣3x+q）的积中不含 x 项与x 项，

（1）求 p、q 的值；

（2）求代数式（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014的值．

15

3.甲、乙两人共同计算一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中 a 前面

的符号，得到的结果为6x2+18x+12；由于乙漏抄了第二个多项中的x的系数，得到的结果为2x2+2x

﹣12，请你计算出 a、b 的值各是多少，并写出这道整式乘法的正确结果．

4 .阅读后作答：我们知道，有些代数恒等式可以用平面图形的面积来表示，例如（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用图1所示的面积关系来说明．

（1）图2 中阴影部分的面积为；

（2）根据图 3 写出一个等式；

（3）已知等式（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq，请画出一个相应的几何图形加以说明．

16

课后巩固

1.观察以下等式：（x+1）（x2﹣x+1）=x3+1

（x+3）（x2﹣3x+9）=x3+27

（x+6）（x2﹣6x+36）=x3+216

…

（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（）=a3+b3

（2）利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立．

（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）

17

第五讲平方差公式（1）知识点梳理

1.平方差公式：(a +b)(a -b) =a2 -b2 两数和与这两数差的积,等于它们的平方差

2.平方差公式常见的变形：

（1）位置变化：(x +y)(-y +x) =x2 -y2

（2）符号变化：(-x +y)(-x -y) =x2 -y2

例1.①已知m＋n＝12，m－n＝2，则m2－n2＝．

②计算：(2x＋3)(3－2x)＝.

（3）指数变化：(x2 +y2 )(x2 -y2 ) =x4 -y4

（4）系数变化：(2a +b)(2a -b) = 4a2 -b2

例2．在下列各式中，计算结果是a2b2－64的是() A．(－ab＋

8)(－ab＋8) B．(8＋ab)(8－ab)

C．(－ab－8)(－ab＋8) D．(－ab＋8)(ab－8)

例3.计算(－4a－1)(4a－1)的结果等于( )

A．16a2－1B．－8a2－1

C．－4a2＋1D．－16a2＋1

例4．若M·(3x－y2)＝y4－9x2，则多项式M为() A．－3x

－y2B．y2－3x

C．3x＋y2D．3x－y2

例5．对于任意的整数n，能整除(n＋3)(n－3)－(n＋2)(n－2)的整数是( ) A．4 B．3 C．5 D．2

18

一．选择题；

1．计算(－3a ＋2b )(－3a －2b )的结果是(

)

A ．9a 2

－4b

2

B ．－9a 2

－4b 2

C ．4b 2

－9a

2

D ．9a 2

＋4b 2

2. 下列式中能用平方差公式计算的有(

)

①(x － y )(x ＋ y )；②(3a －bc )(－bc －3a )；③(100＋1)(100－1)；④(x ＋1)(y －1)．

3. 如果(2x ＋3y )M ＝9y 2－4x 2

，那么 M 表示的式子为( ) A ．2x ＋

3y B ．2x －3y C ．－2x －3y

D ．－2x ＋3y

2 1 4. 用简便方法计算 40 ×39 ，变形正确的是( )

3 3

2 1 2 2

A ．(40＋

C ．(40＋ )(39＋

3 1 )(40－ 3 ) B ．(40＋ 3

1)

D ．(40－ 3

－ ) 3 3 2 2

－ ) 3 3 5. 为了应用平方差公式计算(a －b ＋c )(a ＋b －c )必须先适当变形，下列各式变形中，正确的是 ( )

A ．[(a ＋c )－b ][(a －c )＋b ]

B ．[(a －b )＋c ][(a ＋b )－c ]

C ．[(b ＋c )－a ][(b －c )＋a ]

D ．[a －(b －c )][a ＋(b －c )] 6．计算(a ＋1)(a －1)(a 2

＋1)(a 4

＋1)的结果是(

) A ．a 8

－1

B ．a 8

＋1

C ．a 16－1

D ．以上答案都不对

7．计算(a －1)(a ＋1)－(a 2

＋1)的结果是(

)

A ．2a

B ．0

C ．－2

D ．－1

8．为了应用平方差公式计算(x ＋2y －1)(x －2y ＋1)，下列变形正确的是(

)

A ．[x －(2y ＋1)]

2

B ．[x －(2y －1)][x ＋(2y －1)]

C ．[(x －2y )＋1][(x －2y )－1]

D ．[x ＋(2y ＋1)]

2

9．计算 20172

－2016×2018＋(－1)

2017

的结果是( )

A ．0

B ．1

C ．－1

D ．3

10．计算(a 4+b 4)(a 2+b 2)(b -a )(a +b )的结果是(

)

A.a 8-b 8

B.a 6-b 6

C.b 8-a 8

D.b 6-a 6

19

随 堂 练 习

1 1

2 A ．1 个

2

B ．2 个

C ．3 个

D ．4 个

2017年人教版七年级下册数学总复习讲义

第五章相交线与平行线 1、两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补；相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。性质是对顶角相等。 2、三线八角：对顶角（相等），邻补角（互补），同位角，内错角，同旁内角。 3、两条直线被第三条直线所截： 同位角F（在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧） 内错角Z（在两条直线内部，位于第三条直线两侧） 同旁内角U（在两条直线内部，位于第三条直线同侧） 4、两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。 5、垂直三要素：垂直关系，垂直记号，垂足 6、垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 7、垂线段最短。 8、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 9、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。如果b//a,c//a,那么b//c 10、平行线的判定： ①同位角相等，两直线平行。②内错角相等，两直线平行。③同旁内角互补，两直线平行。 11、推论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。 12、平行线的性质： ①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。 13、平面上不相重合的两条直线之间的位置关系为_______或________ 14、平移：①平移前后的两个图形形状大小不变，位置改变。②对应点的线段平行且相等。 平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。 对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。 15、命题：判断一件事情的语句叫命题。 命题分为题设和结论两部分；题设是如果后面的，结论是那么后面的。 命题分为真命题和假命题两种；定理是经过推理证实的真命题。 用尺规作线段和角 1．关于尺规作图：尺规作图是指只用圆规和没有刻度的直尺来作图。 2．关于尺规的功能 直尺的功能是：在两点间连接一条线段；将线段向两方向延长。 圆规的功能是：以任意一点为圆心，任意长度为半径作一个圆；以任意一点为圆心，任意长度为半径画一段弧。 第六章实数

七年级下册数学讲义

目录 第一讲同底数幂的乘法 (1) 第二讲幂的乘方与积的乘方 (5) 第三讲同底数幂的除法 (9) 第四讲整式的乘法 (13) 第五讲平方差公式（1） (18) 第六讲平方差公式（2） (22) 第七讲完全平方式(1) (26) 第八讲完全平方式(2) (29) 第九讲整式的除法 (33) 第十讲单元测试 (37) 第十一讲两条直线的位置关系 (41) 第十二讲平行线的性质 (47) 第十三讲平行线的判定(1) (52) 第十四讲平行线的判定(2) (57) 第十五讲本章复习 (61) 第十六讲用表格表示的变量间关系 (66) 第十七讲用关系式表示的变量间关系 (70)

第一讲 同底数幂的乘法 1. 同底数幂的乘法性质：a m ? a n = a m +n (其中 m , n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变， 指数相加. ? 1 ?3 ? 1 ?4 例 1. 计算： （1） - ? ? 2 ? ? - ? ? 2 ? （2） a 2 ? a ? a 7 （3） - a 2 ? (- a )3 （4） 32 ? 27 ? 81 2. 同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. 例 2. 计算： (1)(x - 2 y )2 (2 y - x ) 3 (2)(a - b - c )(b + c - a )2 (c - a + b )3 3. 三个或三个以上同底数幂相乘时， 也具有这一性质， 即 a m ? a n ? a p = a m +n + p （ m , n , p 都是正整数）. 例 3. 计算： （1） (- 2)2 ? (- 2)3 ? (- 2) = ； （2） a ? a 3 ? a 5 = ； （3） (a + b )(a + b )m (a + b )n = ； （4） a 4n a n +3 a = ； 4. 逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同， 它们的指数之和等于原来的幂的指数。即 a m +n = a m ? a n （ m , n 都是正整数）. 例 4. 已知 a m = 2, a n = 3 ，求下列各式的值。 （1） a m +1 （2） a 3+n （3） a m +n +3 1 知识点梳理

2017年人教版七年级下册数学总复习讲义Word版

第五章 相交线与平行线 1、两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补；相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。性质是对顶角相等。 2、三线八角：对顶角（相等），邻补角（互补），同位角，内错角，同旁内角。 3、两条直线被第三条直线所截： 同位角F （在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧） 内错角Z （在两条直线内部，位于第三条直线两侧） 同旁内角U （在两条直线内部，位于第三条直线同侧） 4、两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。 5、垂直三要素：垂直关系，垂直记号，垂足 6、垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 7、垂线段最短。 8、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 9、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。如果b//a,c//a,那么b//c 10、平行线的判定： ①同位角相等，两直线平行。②内错角相等，两直线平行。 ③同旁内角互补，两直线平行。 11、推论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。 12、平行线的性质： ①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。 13、平面上不相重合的两条直线之间的位置关系为_______或________ 14、平移：①平移前后的两个图形形状大小不变，位置改变。②对应点的线段平行且相等。 平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。 对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。 15、命题：判断一件事情的语句叫命题。 命题分为题设和结论两部分；题设是如果后面的，结论是那么后面的。 命题分为真命题和假命题两种；定理是经过推理证实的真命题。 用尺规作线段和角 1．关于尺规作图：尺规作图是指只用圆规和没有刻度的直尺来作图。 2．关于尺规的功能 直尺的功能是：在两点间连接一条线段；将线段向两方向延长。 圆规的功能是：以任意一点为圆心，任意长度为半径作一个圆；以任意一点为圆心，任意长度为半径画一段弧。 第六章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 2、无理数 （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等；

人教版七年级下册数学培优讲义(附答案)

第19讲相交线、平行线 知识理解 1．如果∠AOB＋∠DOE＝180°，∠AOB与∠BOC互为邻补角，那么∠DOE与∠BOC的关系是（）A．互为补角B．互补C．相等D．互余 2．如图，三条直线a、b、c相交于一点，则∠1、∠2、∠3的度数和是（） A．360°B．180°C．120°D．90° 3．如果两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角（） A．相等B．互补C．相等或互余D．相等或互补 4．下列语句事正确的有（） ①有公共顶点且相等的两个角是对顶角；②有公共顶点且互补的两个是邻补角；③对顶角的平分线 在同一直线上；④对顶角相等但不一定互补；⑤对顶角有公共的邻补角． A．1个B．2个C．3个D．4个 5．下列说法：①点与直线的位置关系有点在直线上和点在直线外两种；②直线与直线的位置关系的相交、垂直和平行三种，其中（） A．①②都对B．①对②错C．①错②对D．①②都错 6．下列图中的∠1和∠2不是同位角的是（） A B C D 7．已知，如图，BD⊥AC，AE⊥CG，AF⊥AC，AG⊥AB，则图中表示A点到直线BC的距离的是（）A．线段BD的长B．线段AE的长C．线段AF的长D．线段AG的长 8．如图，不能判断AB∥DF的是（） A．∠2＋∠A＝180°B．∠A＝∠3 C．∠1＝∠A D．∠1＝∠4

第7题图 第8题图 第9题图 9．如图，下列条件中能说明AB ∥CD 的是（ ） A ．∠1＝∠2 B ．∠3＝∠4 C ．∠BA D ＋∠ABC ＝180° D ．∠ABC ＝∠ADC ，∠1＝∠2 10．在下列条件下，不能得到互相垂直的直线是（ ） A ．邻补角的平分线所在直线 B ．平行线的同旁内角平分线所在直线 C ．两组对边分别平行，一组对边方向相同，另一组对边方向相反的两个角的平分线所在直线 D ．两组对边互相垂直的两角的平分线所在直线 11．如图，已知DE ⊥AB ，∠1＝∠2，∠AGH ＝∠B ，则下列结论： ①GH ∥BC ；②∠D ＝∠HGM ；③DE ∥FG ；④FG ⊥A B ．其中正确的是（ ） A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②③④ 12．（1）观察图①，图中共有 条直线， 对对顶角， 对邻补角． （2）观察图②，图中共有 条直线， 对对顶角， 对邻补角． （3）观察图③，图中共有 条直线， 对对顶角， 对邻补角． （4）若有n 条不同直线相交于一点，则可以形成 对对顶角， 对邻补角． H M

人教版七年级数学下册期末复习(一)相交线与平行线讲义【精校】.doc

期末复习(一) 相交线与平行线 各个击破 命题点 1 命题 【例1】已知下列命题： ①若a＞0，b＞0，则a＋b＞0； ②若a≠b，则a2≠b2； ③两点之间，线段最短； ④同位角相等，两直线平行． 其中真命题的个数是(C) A．1个B．2个 C．3个D．4个 【思路点拨】命题①、③、④显然成立，对于命题②，当a＝2、b＝－2时，虽然有a≠b，但a2＝b2，所以②是假命题． 【方法归纳】要判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可．和命题有关的试题，多以选择题 的形式出现，以判断命题真假为主要题型． 1．下列语句不是命题的是(C) A．两直线平行，同位角相等 B．锐角都相等 C．画直线AB平行于CD D．所有质数都是奇数 2．(兴化三模)说明命题“x＞－4，则x2＞16”是假命题的一个反例可以是x＝－3． 3．(日照期中)命题“同旁内角互补”的题设是两个角是两条直线被第三条直线所截得到的同旁内角，结论 是这两个角互补，这是一个假命题(填“真”或“假”)． 命题点 2 两直线相交 【例2】如图所示，直线AB，CD相交于点O，∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE. (1)判断OF与OD的位置关系； (2)若∠AOC∶∠AOD＝1∶5，求∠EOF的度数． 【思路点拨】(1)根据∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE，求得∠FOD＝90°，从而判断OF与OD的位置

关系． (2)根据∠AOC，∠AOD的度数比以及邻补角性质，求得∠AOC.然后利用对顶角性质得∠BOD的度数，从而得∠EOD的度数．最后利用∠FOD＝90°，求得∠EOF的度数． 【解答】(1)∵OF平分∠AOE， ∴∠AOF＝∠EOF＝1 2 ∠AOE. 又∵∠DOE＝∠BOD＝1 2 ∠BOE， ∴∠DOE＋∠EOF＝1 2 (∠BOE＋∠AOE) ＝1 2 ×180°＝90°， 即∠FOD＝90°.∴OF⊥OD. (2)设∠AOC＝x°， ∵∠AOC∶∠AOD＝1∶5，∴∠AOD＝5x°. ∵∠AOC＋∠AOD＝180°，∴x＋5x＝180，解得x＝30. ∴∠DOE＝∠BOD＝∠AOC＝30°. 又∵∠FOD＝90°，∴∠EOF＝90°－30°＝60°. 【方法归纳】求角的度数问题时，要善于从图形中挖掘隐含条件，如：邻补角、对顶角，然后结合 条件给出的角的和、差、倍、分等关系进行计算． 4．(梧州中考)如图，已知直线AB与CD交于点O，ON平分∠BOD.若∠BOC＝110°，则∠AON的度数为145°． 5．如图，直线AB，CD相交于点O，已知：∠AOC＝70°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE∶∠EOD＝2∶3，求∠AOE的度数． 解：∵∠AOC＝70°，∴∠BOD＝∠AOC＝70°. ∵∠BOE∶∠EOD＝2∶3，

人教版初一数学下册同步精编讲义

第1讲相交线 知识点1 直线交点个数 1. 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交，相对的，我们称这两条直线为相交线． 【典例】 1.观察下列平面图形： 第一个图2条直线相交，最多有1个交点；第二个图3条直线相交最多有3个交点；第三个图4条直线相交；最多有6个交点，…，像这样，则30条直线相交，最多交点的个数是_____________. 【方法总结】 根据2条，3条，4条直线相交时最多的交点个数发现规律，根据规律，写出n条相交线交点最多的个数的表达式：1+2+3+4+5+…+（n﹣1），因为1+2+3+4+5+…+（n﹣1）=，所以n条相交线交点最多的个数为，令n=30即可求出答案.

【随堂练习】 1．在平面内，若两条直线的最多交点数记为a1，三条直线的最多交点数记为a2，四条直线的最多交点数记为a3，…，依此类推，则 ． 2．平面上有10条直线，其中4条直线交于一点，另有4条直线互相平行，这10条直线最多有几个交点？它们最多能把平面分成多少个部分？ 知识点2 邻补角与对顶角 邻补角 1. 邻补角：两个角有一条公共边，他们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角. 2. 邻补角的模型： ∠1和∠3是邻补角，∠1和∠4是邻补角，∠2和∠3是邻补角，∠2和∠4是邻补角， 特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 3. 邻补角的性质：两个角的和为180°.

对顶角 1. 对顶角的模型： ∠1和∠2是对顶角，∠3和∠4是对顶角. 特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③每个角的两边互为另一个角的反向延长线. 2. 对顶角的性质：对顶角相等. 【典例】 1.如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分． （1）直接写出图中∠AOC的对顶角：__________，∠EOB的邻补角：______________; （2）若∠AOC=70°且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数． 【方法总结】 （1）根据对顶角和邻补角的定义直接写出即可；（2）根据对顶角相等求出∠BOD的度数，再根据∠BOE：∠EOD=2：3求出∠BOE的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于180°即可求出∠AOE的度数． 本题主要考查了对顶角和邻补角的定义，牢记“对顶角相等”和“互为邻补角的两个角的和等于180°”是解题的关键．

七年级数学下册《第十二章 证明》复习讲义 (新版)苏科版

第12章《证明》 班级姓名 一、知识要点： 1．叫做命题，_________叫真命题，___________ 叫假命题。2．证明与图形有关的命题的一般步骤有（1）_________ （2）_________ (3) _________ 3. 三角形的内角和为，直角三角形的两个锐角，三角形的外角等于_____________ 4.______________ _________ 叫互逆命题 二、基础练习： 1．下面的句子中是命题的有___________________． （1）我是扬州人；（2）房间里的花；（3）你吃饭了吗？（4）内错角相等； （5）延长线段AB；（6）明天可能下雨；（7）若a2>b2 则a>b. （8）对顶角相等； 2．写出下列命题的条件与结论，并判断真假。 （1）能被2整除的数也能被4整除；条件是_________ 结论是_________ 它是（）命题 （2）相等的两个角是对顶角；条件是_________ 结论是_________ 它是（）命题 3. （1）命题“内错角相等”的条件是_________，结论是________ ，这个命题的逆命题的条件是___________，结论是__________． （2）命题“如果a>0，b>0，那么ab>0”的条件是___________，结论是_________，?这个命题的逆命题是___________． 4．如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠A=65°，则∠BEC=______°． (1) (2) (3) 5．如图2，∠1、∠2、∠3分别是△ABC的3个外角，则∠1+∠2+∠3=_______°． 6．如图3，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BD平分∠CBE，则∠ADB=______°．

人教版七年级数学上册辅导讲义

最新人教版七年级数学上册培优辅导讲义 第1讲与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（） A ．－18% B ．－8% C ．＋2% D ．＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ．－5吨 B ．＋5吨 C ．－3吨 D ．＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京 时间15：00，纽约时问是____ 【例２】在－22 7 ，π，0，0.033. 3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0???? ??? ???????? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数； （2）按整数、分数分类，有理数????????????????? 正整数 整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－ 22 7是分数，0.033. 3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．

七年级下册人教版数学培优讲义(带标准答案)

七年级下册人教版数学培优讲义(带答案)

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第19讲相交线、平行线 知识理解 1．如果∠AOB＋∠DOE＝180°，∠AOB与∠BOC互为邻补角，那么∠DOE与∠BOC的关系是（）A．互为补角B．互补C．相等D．互余 2．如图，三条直线a、b、c相交于一点，则∠1、∠2、∠3的度数和是（） A．360°B．180°C．120°D．90° 3．如果两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角（） A．相等B．互补C．相等或互余D．相等或互补 4．下列语句事正确的有（） ①有公共顶点且相等的两个角是对顶角；②有公共顶点且互补的两个是邻补角；③对顶角的平 分线在同一直线上；④对顶角相等但不一定互补；⑤对顶角有公共的邻补角． A．1个B．2个C．3个D．4个 5．下列说法：①点与直线的位置关系有点在直线上和点在直线外两种；②直线与直线的位置关系的相交、垂直和平行三种，其中（） A．①②都对B．①对②错C．①错②对D．①②都错 6．下列图中的∠1和∠2不是同位角的是（） A B C D 7．已知，如图，BD⊥AC，AE⊥CG，AF⊥AC，AG⊥AB，则图中表示A点到直线BC的距离的是（）A．线段BD的长B．线段AE的长C．线段AF的长D．线段AG的长 8．如图，不能判断AB∥DF的是（） A．∠2＋∠A＝180°B．∠A＝∠3 C．∠1＝∠A D．∠1＝∠4

第7题图第8题图第9题图 9．如图，下列条件中能说明AB∥CD的是（） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠BAD＋∠ABC＝180°D．∠ABC＝∠ADC，∠1＝∠2 10．在下列条件下，不能得到互相垂直的直线是（） A．邻补角的平分线所在直线 B．平行线的同旁内角平分线所在直线 C．两组对边分别平行，一组对边方向相同，另一组对边方向相反的两个角的平分线所在直线D．两组对边互相垂直的两角的平分线所在直线 11．如图，已知DE⊥AB，∠1＝∠2，∠AGH＝∠B，则下列结论： ①GH∥BC；②∠D＝∠HGM；③DE∥FG；④FG⊥A B．其中正确的是（） H M A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④ 12．（1）观察图①，图中共有条直线，对对顶角，对邻补角． （2）观察图②，图中共有条直线，对对顶角，对邻补角． （3）观察图③，图中共有条直线，对对顶角，对邻补角． （4）若有n条不同直线相交于一点，则可以形成对对顶角，对邻补角．

人教版七年级下数学精品讲义精编

第五章相交线和平行线 第一节相交线 一、课标导航 二、核心纲要 1. 对顶角与邻补角 ⑴对顶角：两条直线相交所成的四个角中，一个角的两边与另一个角的两边互为反向延长线，这两个角叫做对顶角.对顶角相等. 注：相等的角不一定是对顶角. ⑵邻补角：两条直线相交所成的四个角中，两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，这两个角叫做邻补角.邻补角互补. 注：互补的角不一定是邻补角. 2.垂线 ⑴定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直.其中一条直线是另一条直线的垂线. ⑵垂线的性质 性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. ⑶点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 注：距离是指线段的长度，是一个数量；线段是图形，它们之间不能等同. ⑷垂线的画法 画法：1）一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上.

2）二移：移动三角尺使已知点落在它的另一条直线上. 3）三画：沿着这条直角边画线. 注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线. ②过一点作线段的垂线，垂足可以在线段上，也可以在线段的延长线上. 3.三线八角 ①∠4与∠8在截线l 的同侧，同在被截直线a ，b 的下方，则∠4与∠8是同位角.形似“F ”. ②∠5与∠3在截线l 的两旁，在被截直线a ，b 的之间，则∠5与∠3是内错角.形似“Z ”. ③∠5与∠4在截线l 的同侧，在被截直线a ，b 的之间，则∠5与∠4是同旁内角.形似“U ”. 本节重点讲解：一个画法（垂线的画法），三个性质（对顶角、邻补角和垂线），七个概念（对顶角、邻补角、垂线、点到直线的距离、同位角、内错角和同旁内角）. 三、全能突破 基础演练 1. (1) 在图5-1-2中所示的五个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 (2) 下列说法正确的是（ ） A. 有公共顶点的两个角是对顶角 B. 两条直线相交所成的角是邻补角 C. 两条直线相交所成的无公共边的两个角是对顶角 D. 有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 图5-1-2 1 2 3 4 5 6 7 8

最新人教版七年级数学下册《平面直角坐标系》讲义(精品教案)

《平面直角坐标系》讲义 一、知识网络 二、知识要点与典型例题 1、数轴 2、有序数对 有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对。 ①、记作（a ，b）； ②注意：a、b的先后顺序对位置的影响。 【典型例题】 如果用有序数对（3，2）表示课室里第3 列第2排的座位，则位于 第5列第4排的座位应记作（） A、（4，5） B、（5，4） C、（5、4） D、（4、5） 3、平面直角坐标系 1、历史：法国数学家笛卡儿最早引入坐标系， 用代数方法研究几何图形； 2、构成坐标系的各种名称：如右图

3、各种特殊点的坐标特点。 【典型例题分析】 题型一：坐标轴上点的特征 1、x轴上点，纵坐标为0；y轴上点，横坐标为0。 2、已知点A（x，y），且xy=0，则点A在（）。 A.原点 B.x轴上 C.y轴上 D.x轴或y轴上。 +=，则点B在（）。 3、已知点P（x，y），且x y0 A.原点 B.x轴的正半轴或负半轴 C.y轴的正半轴或负半轴上 D.在坐标轴上，但不在原点。 4、已知点A（－3，2m+3）在x轴上，点B（n-4，4）在y轴上，则点C（m，n）在（）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5、如果点B（x－1，x＋3）在y轴上，那么x= （） A.1 B.－1 C.3 D.－3 6、点P（m＋3, m＋1）在直角坐标系的x轴上，则点P坐标为（）A．（0，－2）B．（2，0）C．（4，0）D．（0，－4） 题型二：各个象限内点的特征 各象限中的点的坐标特征:平面内一点P（x，y），如位于第一象限，则x>0， y>0；如位于第二象限，则x<0，y>0；如位于第三 象限，则x<0，y<0；如位于第四象限，则x>0，y<0。 1、已知点P（a,b）,ab＞0,a＋b ＜0,则点P在（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限 2、若点P（a，b）在第四象限，则点M（b－a，a－b）在_______。 3、已知点A（－3，2m－1）在x轴上，点B（n＋1，4）在y轴上，则点C （m，n）在（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

人教版七年级下册数学综合复习(讲义及答案).doc

综合复习 一、选择题 1.不等式组的解集如图所示，则这个不等式组的解集为（） A．B．C． D．或 2.如图，AB⊥CD，垂足为点B，EF是经过B点的一条直线，已知∠EBD=145°，则∠ABF 的度数为（） A．35°B．45°C．55°D．60° 3.如图，AB∥EF∥CD，若∠F=130°，∠C=65°，则∠CBF的度数为（） A．15°B．32.5°C．25°D．50° 4.若，则2xy的值为（） A．-15 B．15 C．D． 5.若，则x，y的值分别是（） A．-2，7 B．7，-2 C．-7，2 D．2，-7 6.已知点A(1，0)，B(0，2)，点P在x轴上，且△P AB的面积为5，则点P的坐标为（） A．(-4，0) B．(6，0) C．(-4，0)或(6，0) D．(0，-4)或(0，6) 7.已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=20°，∠B=40°，∠C=30°，则∠ADC的度数是（） A．80°B．85°C．90°D．95° 8.若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（）

A．B． C．D． 二、填空题 9.若a，b为实数，且满足，则y-x的值为________． 10.已知点P(2a，1-3a)在第二象限，且点P到x轴的距离与到y轴的距离之和为6，则a的 值为_________． 11.已知正方形ABCD的边长为4，AB∥x轴，若点A的坐标为 (-2，3)，且点C在x轴下方，则点C的坐标为____________． 12.甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解 为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，则的值为_______．13.若关于x的不等式组无解，则的取值范围是____________． 14.若关于x，y的方程组的解满足，则m的取值范围为____________． 15.若，且，则b的取值范围是_____． 三、解答题 16.计算： （1）． （2）已知，化简：．

(word完整版)七年级数学下册《平面直角坐标系》讲义新人教版

广东省东莞市寮步信义学校七年级数学下册《平面直角坐标系》讲义新人教版一、知识网络 二、知识要点与典型例题 1、数轴 2、有序数对 有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对。 ①、记作（a ，b）； ②注意：a、b的先后顺序对位置的影响。 【典型例题】 如果用有序数对（3，2）表示课室里第3列第2排的座位，则位于 第5列第4排的座位应记作（） A、（4，5） B、（5，4） C、（5、4） D、（4、5） 3、平面直角坐标系 1、历史：法国数学家笛卡儿最早引入坐标系， 用代数方法研究几何图形； 2、构成坐标系的各种名称：如右图 3、各种特殊点的坐标特点。 【典型例题分析】 题型一：坐标轴上点的特征 1、x轴上点，纵坐标为0；y轴上点，横坐标为0。 2、已知点A（x，y），且xy=0，则点A在（）。 A.原点 B.x轴上 C.y轴上 D.x轴或y轴上。

3、已知点P （x ，y ），且x y 0+=，则点B 在 （ ）。 A.原点 B.x 轴的正半轴或负半轴 C.y 轴的正半轴或负半轴上 D.在坐标轴上，但不在原点。 4、已知点A （－3，2m+3）在x 轴上，点B （n-4，4）在y 轴上，则点C （m ，n ）在 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5、如果点B （x －1，x ＋3）在y 轴上，那么x= （ ） A.1 B.－1 C.3 D.－3 6、点P （m ＋3, m ＋1）在直角坐标系的x 轴上，则点P 坐标为 （ ） A ．（0，－2） B ．（ 2，0） C ．（ 4，0） D ．（0，－4） 题型二：各个象限内点的特征 各象限中的点的坐标特征:平面内一点P （x ，y ），如位于第一象限，则x>0，y>0；如位于第二象限，则x<0，y>0； 如位于第三象限，则x<0，y<0；如位于第四象限，则x>0，y<0。 1、已知点P （a,b ）,ab ＞0,a ＋b ＜0,则点P 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2、若点P （a ，b ）在第四象限，则点M （b －a ，a －b ）在_______。 3、已知点A （－3，2m －1）在x 轴上，点B （n ＋1，4）在y 轴上，则点C （m ，n ）在 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4、已知03)2(2 =++-b a ，则),(b a P --的坐标为 （ ） A 、 )3,2( B 、 )3,2(- C 、 )3,2(- D 、 )3,2(-- 5、若点),(n m P 在第三象限，则点),(n m Q --在 （ ） Ａ、第一象限 Ｂ、第二象限 Ｃ、第三象限 Ｄ、第四象限 6、已知平面直角坐标系内点),(y x 的纵、横坐标满足2 x y =，则点),(y x 位于（ ） A 、x 轴上方（含x 轴） B 、x 轴下方（含x 轴） C 、y 轴的右方（含y 轴） D 、y 轴的左方（含y 轴） 7、已知点P （a,b ）,ab ＞0,a ＋b ＞0,则点P 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 8、已知点P （x, x ），则点P 一定（ ） A ．在第一象限 B ．在第一或第四象限 C ．在x 轴上方 D ．不在x 轴下方 9、已知P(0，a)在y 轴的负半轴上，则Q(21,1a a ---+)在( ) A 、y 轴的左边，x 轴的上方 B 、y 轴的右边，x 轴的上方 C 、y 轴的左边，x 轴的下方 D 、y 轴的右边，x 轴的下方 题型三 平行于坐标轴的直线的点的坐标特点 平行于x 轴(或横轴)的直线上的点的纵坐标相同；平行于y 轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同。 【典型例题】 1、平行于x 轴的直线上的任意两点的坐标之间的关系是( ) A 、横坐标相等 B 、纵坐标相等 C 、横坐标的绝对值相等 D 、纵坐标的绝对值相等 2、已知点M （3，－2）与点M ′（x ，y ）在同一条平行于y 轴的直线上，且M ′到x 轴的距离等于4，那么点M ′的

七年级数学下册培优讲义(人教版)

2016年最新人教版七年级下册数学培优讲义 第1讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译 1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析 【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成了哪几对对 顶角？一共构成了哪几对邻补角？ 【解法指导】⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. ⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】 01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则：⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵图中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ． ⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解； 【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝2 1 ∠BOC ，∠FOC ＝ 21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋2 1 ∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝2 1×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE . 【变式题组】 01．已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80° A C D E F A C D E F P Q R C E F E A A C D O （第1题图） 1 4 3 2 （第2题图）

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人教版七年级数学下册知识点 第五章 相交线与平行线一、知识要点 1、在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有两种：相交和平行，垂直是相交的一种特殊情况。 2、在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线。如果两条直线只有一个公共点，称这两条直线相交；如果两条直线没有公共点，称这两条直线平行。 3、两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是 邻补角。邻补角的性质：邻补角互补。 4、两条直线相交所构成的四个角中，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角。对顶角的性质：对顶角相等。如图1所示，∠1与∠3互为对顶角。∠1=∠3；∠2与∠4互为对顶角，∠2=∠4 5、两条直线相交所成的角中，如果有一个是直角或90°时，称这两条直线互相垂直， 其中一条叫做另一条的垂线。如图2所示，当∠1=90°时，a⊥b。垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。 性质3：如图2所示，当a ⊥b 时，∠1=∠2=∠3=∠4=90°。点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离。 6、同位角、内错角、同旁内角基本特征： ①在两条直线(被截线)的同一方，都在第三条直线(截线)的同一侧，这样的两个角叫同位角。同位角呈“F ” ②在两条直线(被截线)之间，并且在第三条直线(截线)的两侧，这样的两个角叫内错角。内错角呈“Z ” ③在两条直线(被截线)的之间，都在第三条直线(截线)的同一旁，这样的两个角叫同旁内角。同旁内角呈“U ”7、平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。图11342图21342a b 图3a 57861 342b c

人教版七年级数学上册辅导讲义

? － 最新人教版 七年级数学上册培优辅导讲义 第 1 讲 与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例 1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7 米 ⑵收人－50 元 ⑶体重增加－3 千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素： 一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7 米表示向后 7 米⑵收入－50 元表示支出 50 元⑶体重增加－3 千克表示体重减小 3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加 10%，那么减少 8%可以记作（ ） A ． －18% B ． －8% C ． ＋2% D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3 吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出 5 吨大米表示为( ) A ． －5 吨 B ． ＋5 吨 C ． －3 吨 D ． ＋3 吨 03．（ft 西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间 15：00，纽约时问是_ 【例２】在－ 22 . ，π，0， 0.0 33 3这四个数中有理数的个数（ ) 7 A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 ? ?正整数 ?正有理数? ?? 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数 ?0 ?正分数 ； ? ?负整数 ?负有理数? ?? ? ?正整数 ? ? ?整数?0 ?负份数 ? （2）按整数、分数分类，有理数? ?负整数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因 ? ?正分数 ?分数? ?? ?负分数 为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π 不是有理数， 22是分数， 7 . 0.0 33 3是无限循环小数可以化成分数形式，0 是整数，所以都是有理数，故选 C ．

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第12讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译 1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析 【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. ⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两 边的反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】 01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则： ⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角 是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ． ⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解； 【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝2 1 ∠BOC ，∠FOC ＝ 21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋2 1∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝2 1×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE . 【变式题组】 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80° 02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ . 【例３】如图，直线l 1、l 2相交于点O ，A 、B 分别是l 1、l 2上的点，试用三角尺完成下列作图： ⑴经过点A 画直线l 2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线 段. 【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段. 【变式题组】 01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（ ） A ．4cm B ． 5cm C ．不大于4cm D ．不小于6cm A B C D E F A B C D E F P Q R A B C E F E A A C D O （第1题图） 1 4 3 2 （第2题图） l 2

数学讲义初一下册相交线,垂线(提高)知识讲解

相交线，垂线（提高）知识讲解 【学习目标】 1.了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质； 2.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质； 3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离； 4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算. 【要点梳理】 知识点一、邻补角与对顶角 1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角． 要点诠释： (1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°． (2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角． (3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角． (4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边；另一边互为反向延长线. 2.对顶角及性质： （1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角． （2）性质：对顶角相等． 要点诠释： (1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角． (2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线. 【高清课堂：相交线两条直线垂直】

知识点二、垂线 1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足． 要点诠释： ⊥； (1)记法：直线a与b垂直，记作：a b 直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O. (2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： ∠=°判定 90 AOC CD⊥AB． 性质 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 要点诠释： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．要点诠释： （1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性． （2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 要点诠释： （1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 【典型例题】 类型一、邻补角与对顶角