福建省莆田市2021届新高考数学一模试卷含解析

福建省莆田市2021届新高考数学一模试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知直线22y x a =-是曲线ln y x a =-的切线，则a =（ ） A ．2-或1 B ．1-或2 C ．1-或

12

D ．1

2

-

或1 【答案】D 【解析】 【分析】

求得直线2

2y x a =-的斜率，利用曲线ln y x a =-的导数，求得切点坐标，代入直线方程，求得a 的值.

【详解】

直线2

2y x a =-的斜率为1， 对于ln y x a =-，令1

1y x '==，解得1x =，故切点为()1,a -，代入直线方程得212a a -=-，解得12

a =-或1. 故选：D 【点睛】

本小题主要考查根据切线方程求参数，属于基础题.

2．若23455

012345(21)(21)(21)(21)(21)a a x a x a x a x a x x +-+-+-+-+-=，则2a 的值为（ ）

A ．

5

4

B ．

58

C ．

516

D ．

532

【答案】C 【解析】 【分析】 根据5

51

[(21)1]32

x x =-+，再根据二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】 因为551

[(21)1]32

x x =

-+，所以二项式5[(21)1]x -+的展开式的通项公式为：55155(21)1(21)r r r r r r T C x C x --+=?-?=?-，令3r =，所以2235(21)T C x =?-，因此有

3

2255111545323232216

C C a ?=

?=?=?=. 故选：C 【点睛】

本题考查了二项式定理的应用，考查了二项式展开式通项公式的应用，考查了数学运算能力

3．若实数,x y 满足不等式组121210x y x y x y +≥-??

-≤-??--≤?

，则234x y -+的最大值为（ ）

A ．1-

B ．2-

C ．3

D ．2

【答案】C 【解析】 【分析】

作出可行域，直线目标函数对应的直线l ，平移该直线可得最优解． 【详解】

作出可行域，如图由射线AB ，线段AC ，射线CD 围成的阴影部分（含边界），作直线:2340l x y -+=，平移直线l ，当l 过点(1,1)C 时，234z x y =-+取得最大值1． 故选：C ．

【点睛】

本题考查简单的线性规划问题，解题关键是作出可行域，本题要注意可行域不是一个封闭图形． 4．已知,m n 表示两条不同的直线，αβ，表示两个不同的平面，且,m n αβ⊥?，则“αβ⊥”是“//m n ”的( )条件. A ．充分不必要 B ．必要不充分

C ．充要

D ．既不充分也不必要

【答案】B 【解析】 【分析】

根据充分必要条件的概念进行判断. 【详解】

对于充分性：若αβ⊥，则,m n 可以平行，相交，异面，故充分性不成立；

若//m n ，则,n n αβ⊥?，可得αβ⊥，必要性成立. 故选：B 【点睛】

本题主要考查空间中线线，线面，面面的位置关系，以及充要条件的判断，考查学生综合运用知识的能力.解决充要条件判断问题，关键是要弄清楚谁是条件，谁是结论.

5．已知函数()()2

22ln 25f x a x ax =+++.设1a <-，若对任意不相等的正数1x ，2x ，恒有

()()

1212

8f x f x x x -≥-，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．()3,1--

B ．()2,1--

C ．(],3-∞-

D ．(],2-∞-

【答案】D 【解析】 【分析】

求解()f x 的导函数，研究其单调性，对任意不相等的正数12,x x ，构造新函数，讨论其单调性即可求解. 【详解】

()f x 的定义域为()0,∞+，()()2221224ax a a f x ax x x

+++'=+=

， 当1a <-时，()0f x '<，故()f x 在()0,∞+单调递减； 不妨设12x x <，而1a <-，知()f x 在()0,∞+单调递减， 从而对任意1x 、()20,x ∈+∞，恒有()()

1212

8f x f x x x -≥-，

即

()()12128f x f x x x -≥-，

()()()12218f x f x x x -≥-，()()112288f x x f x x ≥++，

令()()8g x f x x =+，则()22

48a g x ax x

+'=

++，原不等式等价于()g x 在()0,∞+单调递减，即1

240a ax x

+++≤， 从而()2

22

214122121

x x a x x ---≤=-++，因为()2

2212221x x --≥-+， 所以实数a 的取值范围是(],2-∞- 故选：D.

【点睛】

此题考查含参函数研究单调性问题，根据参数范围化简后构造新函数转换为含参恒成立问题，属于一般性题目.

6． “1

cos 22α=-

”是“3

k παπ=+，k Z ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件

【答案】B 【解析】 【分析】

先求出满足1

cos 22

α=-的α值，然后根据充分必要条件的定义判断． 【详解】 由1cos 22α=-

得2223k παπ=±，即3k παπ=±，k Z ∈ ，因此“1

cos 22α=-”是“3

k παπ=+，

k Z ∈”的必要不充分条件．

故选：B ． 【点睛】

本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础．解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断． 7．设复数z 满足i

(i i

2i z z -=-为虚数单位)，则z =（ ） A ．

13

i 22

- B ．13

i 22+ C ．13i 22

--

D ．13

i 22

-

+ 【答案】B 【解析】 【分析】 易得2i

1i

z +=

-，分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 【详解】

由已知，i i 2z z -=+，所以2i (2i)(1i)13i 13

i 1i 2222

z ++++====+-. 故选：B. 【点睛】

本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.

8．已知双曲线C ：2

214

x y -=，1F ，2F 为其左、右焦点，直线l 过右焦点2F ，与双曲线C 的右支交于A ，

B 两点，且点A 在x 轴上方，若223AF BF =，则直线l 的斜率为( )

A ．1

B ．2-

C ．1-

D ．2

【答案】D 【解析】 【分析】

由|AF 2|＝3|BF 2|，可得223AF F B u u u u v u u u u v

=.设直线l 的方程x ＝m ＞0，设()11,A x y ，()22,B x y ，即

y 1＝﹣3y 2①，联立直线l 与曲线C,得y 1+y 2＝y 1y 2＝214m -③，求出m 的值即可求出直线的斜率. 【详解】

双曲线C ：2

214

x y -=，F 1，F 2为左、右焦点，则F 20）

，设直线l 的方程x ＝，m ＞0，∵双曲线的渐近线方程为x ＝±2y ，∴m≠±2，

设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且y 1＞0，由|AF 2|＝3|BF 2|，∴223AF F B u u u u v u u u u v =，∴y 1＝﹣3y 2①

由22{

440

x my x y =--=，得(

)

2

2

410m y -++=

∴△＝（）2﹣4（m 2﹣4）＞0，即m 2+4＞0恒成立，

∴y 1+y 2＝2

4

m -

-②，y 1y 2＝214m -③，

联立①②得22

204

y m -=-

>-，联立①③得2

221304y m -=<-，

2y ∴=2

221123y m =-即：2

21123m =-??

，0m >，解得：12m =，直线l 的斜率为2， 故选D ． 【点睛】

本题考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，属于中档题． 9．在等差数列{}n a 中，若n S 为前n 项和，911212a a =+，则13S 的值是（ ） A ．156 B ．124

C ．136

D ．180

【答案】A 【解析】 【分析】

因为711911212a a a a +==+，可得712a =，根据等差数列前n 项和，即可求得答案. 【详解】

Q 711911212a a a a +==+，

∴712a =， ∴()

113137131313121562

a a S a +=

==?=.

故选：A. 【点睛】

本题主要考查了求等差数列前n 项和，解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前n 项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

10．盒子中有编号为1，2，3，4，5，6，7的7个相同的球，从中任取3个编号不同的球，则取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率是（ ） A ．

235

B ．

835

C ．

635

D ．

37

【答案】B 【解析】 【分析】

由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有1

1

42C C ，所有的情况有3

7C 种，由古典概型的概率公式即得解. 【详解】

由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有1

1

42C C ，所有的情况有3

7C 种 由古典概型，取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率为：

114237835

C C P C ==

故选：B 【点睛】

本题考查了排列组合在古典概型中的应用，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.

11．若()5

2

11x a x ??+- ???

的展开式中的常数项为-12，则实数a 的值为（ ）

A ．-2

B ．-3

C ．2

D ．3

【答案】C 【解析】 【分析】

先研究5

11x ??- ???

的展开式的通项，再分()2x a +中，取2x 和a 两种情况求解.

【详解】

因为5

11x ??- ???

的展开式的通项为()5

151r r r r T C x -+=-，

所以()5

2

11x a x ??+- ???

的展开式中的常数项为：()32320

551112(1)0x C C x a a -+--=--=-，

解得2a =， 故选：C. 【点睛】

本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 12．方程2(1)sin 10x x π-+=在区间[]2,4-内的所有解之和等于( ) A ．4 B ．6

C ．8

D ．10

【答案】C 【解析】 【分析】

画出函数sin y x =π和12(1)y x =--的图像，sin y x =π和1

2(1)

y x =--均关于点()1,0中心对称，计算

得到答案. 【详解】

2(1)sin 10x x π-+=，验证知1x =不成立，故1

sin 2(1)

x x π=-

-，

画出函数sin y x =π和1

2(1)

y x =-

-的图像，

易知：sin y x =π和1

2(1)

y x =-

-均关于点()1,0中心对称，图像共有8个交点，

故所有解之和等于428?=. 故选：C .

【点睛】

本题考查了方程解的问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数关于点()1,0中心对称是解题的关键.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．不等式1x ax lnx xe ++≤对于定义域内的任意x 恒成立，则a 的取值范围为__________. 【答案】(],1-∞ 【解析】 【分析】

根据题意，分离参数，转化为1

x xe lnx a x

--≤只对于()0,∞+内的任意x 恒成立，令

()ln 1ln 1

x x x xe lnx e x x x

g x +----=

∴=，则只需在定义域内()min a g x ≤即可，利用放缩法1x e x ≥+，得出ln ln 1x x e x x +≥++，化简后得出()min g x ，即可得出a 的取值范围. 【详解】

解：已知1x ax lnx xe ++≤对于定义域()0,∞+内的任意x 恒成立，

即1

x xe lnx a x

--≤对于()0,∞+内的任意x 恒成立，

令()1

x x g xe ln x x =--，则只需在定义域内()min a g x ≤即可，

()ln ln 1ln 1ln 1

x x x x x xe lnx e e x e x x x x

g x +--?---∴=-==

， 1x e x ≥+Q ，当0x =时取等号，

由1x e x ≥+可知，ln ln 1x x e x x +≥++，当ln 0x x +=时取等号，

()ln ln 1ln 1ln 1

1x x e x x x x x x

g x +--++--=≥=∴，

当ln 0x x +=有解时，

令()()ln 0h x x x x =+>，则()1

10h x x

'=+

>， ()h x ∴在()0,∞+上单调递增，

又11

10h e e

??=

-< ???

Q ，()110h =>， ()00,x ∴?∈+∞使得()00h x =， ()min 1g x ∴=，

则1a ≤，

所以a 的取值范围为(],1-∞. 故答案为：(],1-∞. 【点睛】

本题考查利用导数研究函数单调性和最值，解决恒成立问题求参数值，涉及分离参数法和放缩法，考查转化能力和计算能力.

14．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落.小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中.己知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是

1

2

，则小球落入A 袋中的概率为__________．

【答案】34

【解析】

记小球落入B 袋中的概率()P B ，则()()1P A P B +=，又小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直

向右下落，小球将落入B 袋，所以有()33

111224

P B ????=+= ? ?????，则()()

314P A P B =-=．

故本题应填34． 15．已知向量,a b r r 满足1a b ?=-r r

，()

23a a b -=r r r g ，则a =r ______________.

【答案】1

【解析】 【分析】

首先根据向量的数量积的运算律求出2

a r ，再根据a =r 计算可得；

【详解】

解：因为()

23a a b -=r r r

g ，

所以223a a b -=r r r

g 又1a b =-r r

g 所以21a =r

所以1a =

=r

故答案为：1 【点睛】

本题考查平面向量的数量积的运算，属于基础题.

16．若双曲线()22

2

2:10,0x y C a b a b

-=>>，则双曲线C 的渐近线方程为______． 【答案】3y x =± 【解析】 【分析】

利用22

110c b a a ????=+= ? ?????

,得到,a b 的关系式,然后代入双曲线C 的渐近线方程b y x a =±即可求解. 【详解】

因为双曲线C 的离心率为222c

e c a b a

=

==+, 所以222210c a a b ==+,即3b a =, 因为双曲线C 的渐近线方程为b y x a

=±

, 所以双曲线C 的渐近线方程为3y x =±. 故答案为:3y x =± 【点睛】

本题考查双曲线的几何性质;考查运算求解能力;熟练掌握双曲线的几何性质是求解本题的关键;属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。