半方差函数

半方差

半方差函数(Semi-variogram)及其模型

半方差函数也称为半变异函数,它就是地统计学中研究土壤变异性的关键函数、

2、1、1半方差函数的定义与参数

如果随机函数Z(x)具有二阶平稳性,则半方差函数((h)可以用Z(x)的方差S2与空间协方差C(h)来定义:((h)= S2-C(h)

((h)反映了Z(x)中的空间相关部分,它等于所有以给定间距h相隔的样点测值之差平方的数学期望:

(1)

实际可用:

(2)

式中N(h)就是以h为间距的所有观测点的成对数目、某个特定方向的半方差函数图通常就是由((h)对h作图而得、在通常情况下,半方差函数值都随着样点间距的增加而增大,并在一定的间距(称为变程,arrange)升大到一个基本稳定的常数(称为基台,sill)、

土壤性质的半方差函数也可能持续增大,不表现出确定的基台与变程,这时无法定义空间方差,说明存在有趋势效应与非平稳性、另一些半方差函数则可能完全缺乏空间结构,在所用的采样尺度下,样品间没有可定量的空间相关性、

从理论上讲,实验半方差函数应该通过坐标原点,但就是许多土壤性质的半方差函数在位置趋于零时并不为零、这时的非零值就称为"块金方差(Nugget variance)"或"块金效应"、它代表了无法解释的或随机的变异,通常由测定误差或土壤性质的微变异所造成、

对于平稳性数据,基底方差与结构方差之与约等于基台值、

2、1、2 方差函数的理论模型

土壤在空间上就是连续变异的,所以土壤性质的半方差函数应该就是连续函数、但就是,样品半方差图却就是由一批间断点组成、可以用直线或曲线将这些点连接起来,用于拟合的曲线方程就称为半方差函数的理论模型、在土壤研究中常用的模型有:

①线性有基台模型:

式中C1/a就是直线的斜率、这就是一维数据拟合的最简单模型:

((h)=C0 +C1·h/a 0在极限情况下,C1/a可以为0,这时就有纯块金效应模型:

((h)=C0, h>0 (4)

((0)=0 h=0

②球状模型

((h)= C0 +C1[1、5h/a-0、5(h/a)3] 0a (5)

((0)=0 h=0

③指数模型

((h)=C0+C1[1-exp-h/a ] h>0 (6)

((0)=0 h=0

④双曲线模型

(7)

⑤高斯模型

((h)=C0+C1[1-exp(-h2/a2)] h>0 (8)

((0)=0 h=0

选定了半方差函数的拟合模型后,通常就是以最小二乘法计算方程的参数,并应用Ross等的最大似然程序(MLP),得到效果最好的半方差方程、

2、1、3 模型的检验(cross-validation,又称作jacknifing)

为了检验所选模型三个参数的合理性,必须作一定的检验、但就是到现在为止还没有一个有效的方法检验参数的置信区间;同时,由于我们不知道半方差模型的确切形式,所选定的模型只就是半方差函数的近似式,故无法以确切的函数形式对模型参数进行统计检验、交叉验证法的检验方法,一种间接的结合普通克立格的方法,为检验所选模型的参数提供了一个途径、这个方法的优点就是在检验过程中对所选定的模型参数不断进行修改,直至达到一定的精度要求、

交叉验证法的基本思路就是:依次假设每一个实测数据点未被测定,由所选定的半方差模型,根据n-1个其它测定点数据用普通克立格估算这个点的值、设测定点的实测值为,估算值为,通过分析误差,来检验模型的合理性、

2、1、4半方差函数的模型的选取原则与参数的确定

半方差函数的模型的选取原则就是:首先根据公式计算出((h)的散点图,然后分别用不同类型的模型来进行拟合,得到模型的参数值及离差平方与,首先考虑离差平方与较小的模型类型,其次,考虑块金值与独立间距,最后用交叉验证法来修正模型的参数、

2、2 Kriging最优内插估值法

如果区域化变量满足二阶平稳或本征假设,对点或块段的估计可直接采用点克立格法(Puctual Kriging )或者块段克立格法(Block Kriging)、这两种方法就是最基本的估计方法,也称普通克立格法(Origing Kriging,简称OK)、

半方差图除用于分析土壤特性空间分布的方向性与相关距离外,还可用于对未测点的参数进行最优内插估值与成图,该法原理如下:

Kriging最优内插法的原理

设x0为未观测的需要估值的点,x1, x2,…, xN 为其周围的观测点,观测值相应为y(x1 ),y(x2),…,y(xN)、未测点的估值记为(x0),它由相邻观测点的已知观测值加权取与求得:

(9)

此处,(i为待定加权系数、

与以往各种内插法不同,Kriging内插法就是根据无偏估计与方差最小两项要求来确定上式中的加权系数(i的,故称为最优内插法、

1、无偏估计设估值点的真值为y(x0)、由于土壤特性空间变异性的存在,以及,

?1

三种函数增长比较

§6 三种函数增长比较 一、教学目标: 1. 知识与技能 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义, 理解它们的增长差异性. 2. 过程与方法 能够借助信息技术, 利用函数图象及数据表格, 对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较, 初步体会它们的增长差异性; 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等), 了解函数模型的广泛应用. 3. 情感、态度、价值观 体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用. 二、 教学重点、难点： 1. 教学重点 将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. 2．教学难点 选择合适的数学模型分析解决实际问题. 三、 学法与教学用具： 1. 学法：学生通过阅读教材，动手画图，自主学习、思考，并相互讨论，进行探索. 2．教学用具：多媒体. 四、教学设想： （一）引入实例，创设情景. 教师引导学生阅读例1，分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作指导. （二）互动交流，探求新知. 1. 观察数据，体会模型. 教师引导学生观察例1表格中三种方案的数量变化情况，体会三种函数的增长差异，说出自己的发现，并进行交流. 2. 作出图象，描述特点. 教师引导学生借助计算器作出三个方案的函数图象，分析三种方案的不同变化趋势，并进行描述，为方案选择提供依据. （三）实例运用，巩固提高. 1. 教师引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益. 学生通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出本例的完整解答，然后全班进行交流. 2. 教师引导学生分析例2中三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况，进一步体会三种基本函数模型在实际中广泛应用，体会它们的增长差异. 3．教师引导学生分析得出：要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择，学会对数据的特点与作用进行分析、判断。 4．教师引导学生利用解析式，结合图象，对例2的三个模型的增长情况进行分析比较，写出完整的解答过程. 进一步认识三个函数模型的增长差异，并掌握解答的规范要求. 5．教师引导学生通过以上具体函数进行比较分析，探究幂函数n y x =（n ＞0）、指数函数n y a =（a ＞1）、对数函数log a y x =（a ＞1）在区间（0，+∞）上的增长差异，并

几种不同类型的函数模型知 识点

几种不同类型的函数模型 一 函数模型及数学建模 函数模型是解决实际问题的重要数学模型，将实际问题中的变量关系用函数表现出来，然后对函数进行研究得出相关数学结论，并依此解决实际问题． 那么如何建立数学模型呢？可按以下步骤完成． (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学结论还原为实际问题． 建模过程示意图： 二 几种常见的函数模型 1．一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)； 2．反比例函数模型：f(x)＝＋b(k、b为常数，k≠0)； 3．二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)； 4．指数函数模型：f(x)＝ab x＋c(a、b、c为常数，a≠0，b>0， b≠1)； 5．对数函数模型：f(x)＝mlog a x＋n(m、n、a为常数，a>0， a≠1)； 6．幂函数模型：f(x)＝ax n＋b(a、b、n为常数，a≠0，n≠1)；

7．分段函数模型：这个函数模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛． 三 指、对、幂三种函数模型增长速度的比较 正确认识“直线上升”、“指数爆炸”、“对数增长”和幂函数的增长差异． 直线上升反映了一次函数(一次项系数大于零)的增长趋势，其增长速度均匀(恒为常数)；在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不在同一 个“档次”上. 随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢，因此总会存在一个x0，当x>x0时，就有log a x1),y=log a x(a>1)和 y=x n(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上；（2）随着x的增大，y=a x(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=x n(n>0)的增长速度，表现为指数爆炸；（3）随着x的增大，y=log a x(a>1)的增长速度会越来越慢；（4）随着x的增大， y=a x(a>1)的图象逐渐表现为与y轴平行一样，而y=log a x(a>1)的图象逐渐表现为与x轴平行一样；（5）当a>1,n>0时，总会存在一个x0,当x>x0时，有a x＞x n＞log a x；（6）当0x0时，有log a x＜x n＜a x 一次函数模型 例1 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”和“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y1(元)、y2(元)的关系分别如图(1)、图(2)所示．

用excel计算方差

调用函数 STDEV 估算样本的标准偏差。标准偏差反映相对于平均值(mean) 的离散程度。 语法 STDEV(number1,number2,...) Number1,number2,... 为对应于总体样本的1 到30 个参数。也可以不使用这种用逗号分隔参数的形式，而用单个数组或对数组的引用。 说明 函数STDEV 假设其参数是总体中的样本。如果数据代表全部样本总体，则应该使用函数STDEVP 来计算标准偏差。 此处标准偏差的计算使用“无偏差”或“n-1”方法。 函数STDEV 的计算公式如下： 其中x 为样本平均值AVERAGE(number1,number2,…)，n 为样本大小。 忽略逻辑值（TRUE 或FALSE）和文本。如果不能忽略逻辑值和文本，请使用STDEVA 工作表函数。示例 假设有10 件工具在制造过程中是由同一台机器制造出来的，并取样为随机样本进行抗断强度检验。 如果您将示例复制到空白工作表中，可能会更易于理解该示例。 操作方法 创建空白工作簿或工作表。 请在“帮助”主题中选取示例。不要选取行或列标题。 从帮助中选取示例。 按Ctrl+C。 在工作表中，选中单元格A1，再按Ctrl+V。 若要在查看结果和查看返回结果的公式之间切换，请按Ctrl+`（重音符），或在“工具”菜单上，指向“公式审核”，再单击“公式审核模式”。 A 1 强度 2 1345 3 1301 4 1368 5 1322 6 1310 7 1370 8 1318 9 1350 10 1303 11 1299 公式说明（结果） =STDEV(A2:A11) 假定仅生产了10 件工具，其抗断强度的标准偏差(27.46391572) 方差分析 EXCEL的数据处理除了提供了很多的函数外，但这个工具必须加载相应的宏后才能使用，操作步骤为：点击菜单“工具-加载宏”，会出现一个对话框，从中选择“分析工具库”，点击确定后，在工具菜单栏内出现了这个分析工具。

excel方差函数是VAR

excel方差函数是VAR，excel均方差函数是STDEV。 我们通过下面的例子来理解方差和均方差的使用方法。A列是一些样本观察值，通过这些值，套用excel方差函数得到公式为：=VAR(A2:A7)，再套用均方差函数得到公式为：= STDEV(A2:A7)。 下图是在excel中计算方差和均方差的相关截图演示。 尽管excel提供了均方差函数，上面计算均方差除了使用SEDEV函数以外，也可以使用这样的方法完成：=SQRT(VAR(A2:A7))。 SQRT是开方函数，具体的详细案例参考：https://www.sodocs.net/doc/178216288.html,/show.asp?id excel开方函数有POWER和SQRT函数。excel开方可以使用开方函数或者数学运算来完成。下面是excel 开方详细介绍。 第一，excel开方函数相关介绍 excel开方函数一：POWER函数 POWER开方函数的用法是对数字进行乘幂运算。 POWER开方函数的语法是：POWER(number,power) 其中Number是底数，可以为任意实数。Power是指数，底数按该指数次幂乘方。excel开方函数二：SQRT函数

SQRT开方函数的用法是：返回给定数字的正平方根。 SQRT函数的语法是：SQRT(number)，其中Number是要计算平方根的数。 SQRT函数实例：A1单元格输入：=SQRT(16)，即可得出答案4，即16的平方根。excel开方函数三：SUMSQ函数 SUMSQ开方函数的用法是：返回参数的平方和。 SUMSQ函数的语法是：SUMSQ(number1, [number2], ...)，其中number1,number2等30个以内的数，SUMSQ开方函数可以求出它们的平方和。 excel开方函数大致就是POWER函数、SQRT函数和SUMSQ函数。其实excel 开方不仅可以用上面介绍的excel开方函数完成，也可以使用数学幂运算来完成excel开方计算。 第二，excel 开方实例应用介绍 1、8的三次方根，也就是平方，开方函数公式：=POWER(8,1/3)，答案2。 2、可以用“^”运算符代替函数，POWER开方函数来表示对底数乘方的幂次，例如5^ 2。将27开5次方，在单元格中输入=27^(1/5)，也可以用开方函数：=POWER(27,1/5) 3、如果刚好是开平方，可以用sqrt函数，例如求9的平方根，可以用：=SQRT(9)。 4、计算5的4次方，方法：=POWER(5,4)，或者=5^4，即可得出开方答案625。 5、=SUMSQ(3,4)，求3和4的平方和，返回“25”。 在使用Excel创建工作表时，有时会因操作失误而显示一些相关的错误值信息，比如#####、#N/A!、#VALUE!、#DIV/O!等等错误值。 下面小编分别讲解几种常见的错误值的意义和解决方法。

苏教版必修1《8.2.1 几个函数模型的比较》练习卷

苏教版必修1《8.2.1 几个函数模型的比较》练习卷 一、选择题（本大题共7小题，共35.0分） 1.已知命题p:?x∈R，ln(2x+1)≥0，则() A. p是假命题，?p:?x0∈R，ln(2x+1)≥0 B. p是假命题，?p:?x0∈R，ln(2x+1)<0 C. p是真命题，?p:?x0∈R，ln(2x+1)<0 D. p是真命题，?p:?x0∈R，ln(2x+1)>0 2.函数y=1 x?ln(x+1) 的图象大致为() A. B. C. D. 3.某地区植被被破坏后，土地沙漠化越来越严重，据测，最近三年该地区的沙漠增加面积分别为0.2 万公顷，0.4万公顷和0.76万公顷，若沙漠增加面积y万公顷是关于年数x的函数关系，则此关系用下列哪个函数模拟比较好() A. y=x 5B. y=1 10 (x2+2x) C. y=1 10 ?2x D. y=0.2+log16x 4.在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表： 则对x，y最适合的拟合函数是() A. y=2x B. y=x2?1 C. y=2x?2 D. y=log2x

5.一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度?(cm)与燃烧时间t(小时)的函 数关系用图象表示为图中的() A. B. C. D. 6.函数y=2x?x2的图象大致是() A. B. C. D. 7.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长，要增长到原来的y倍，需经过x年，则函 数y=f(x)的图象大致为() A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 8.函数f(x)=log2(x2?5x+4)的单调递减区间是______ ． 9.函数y=x2与函数y=lnx在区间(1,+∞)上增长较快的一个是__________．

Excel公式和函数 方差和标准差

Excel 公式和函数 方差和标准差 方差是一组数据中，各变量值与其均值离差平方和的平均数；而标准差是方差的平方根，两者均反映了数据中变量值的平均变异程度。在Excel 中，可以利用相应的统计函数，轻松、快捷的对这些值进行计算。 1．COVAR 函数 该函数用于返回协方差，即每对数据点的偏差乘积的平均数。利用协方差可以决定两个数据集之间的关系，例如，利用该函数检验教育程度与收入档次之间的关系。 语法：COVAR (array1, array2) 其中，参数Array1表示第一个所含数据为整数的单元格区域；参数Array2表示第二个所含数据为整数的单元格区域。 例如，假设未来经济可能有四种状态，每种状态发生的概率都是相同的，理财产品X 在四种状态下的收益率分别为14％、20％、35％和29％；而理财产品Y 在四种状态下的收益率分别为9％、16％、40％和28％。求这两种理财产品的收益率协方差为多少？ 将已知的两种产品在各状态下的收益率输入到工作表中。然后，选择“协方差”所对应的单元格，即C8单元格，插入COVAR 函数，并在【函数参数】对话框中，设置参数Array1为C3:C6；参数Array2为D3:D6，即可计算出这两种理财产品收益率的协方差为0.0094875，如图7-45所示。 图7-45 两种产品收益率的协方差 2．DE VSQ 函数 该函数用于返回数据点与各自样本平均值偏差的平方和。 语法：DEVSQ (number1, number2,...) 其中，参数Number1, number2, ...为1到255个需要计算偏差平方和的参数，它们可以是用逗号分隔的数值，也可以是数组引用。 例如，某化学实验小组进行了5次实验，分别统计了3种化学反应的响应时间，求各化学反应响应时间的偏差平方和分别为多少？ 选择D7单元格，插入DEVSQ 函数，在【函数参数】对话框中，设置参数Number1为B4:F4，即可计算化学反应1的偏差平方和为149，如图7-46所示。 然后，拖动该单元格右下角的填充柄，将公式填充至D9单元格，计算结果如图7-47所示。 提 示 在计算过程中，如果参数Array1和Array2所含数据点的个数不等，则COVAR 函数 返回错误值#N/A ；如果参数Array1和Array2当中有一个为空，则COVAR 函数返回 错误值#DIV/0!。 设置 计算结果

半方差函数

半方差 半方差函数(Semi-variogram)及其模型 半方差函数也称为半变异函数,它是地统计学中研究土壤变异性的关键函数. 2.1.1半方差函数的定义和参数 如果随机函数Z(x)具有二阶平稳性,则半方差函数((h)可以用Z(x)的方差S2和空间协方差C(h)来定义:((h)= S2-C(h) ((h)反映了Z(x)中的空间相关部分,它等于所有以给定间距h相隔的样点测值之差平方的数学期望: (1) 实际可用: (2) 式中N(h)是以h为间距的所有观测点的成对数目.某个特定方向的半方差函数图通常是由((h)对h作图而得.在通常情况下,半方差函数值都随着样点间距的增加而增大,并在一定的间距(称为变程,arrange)升大到一个基本稳定的常数(称为基台,sill). 土壤性质的半方差函数也可能持续增大,不表现出确定的基台和变程,这时无法定义空间方差,说明存在有趋势效应和非平稳性.另一些半方差函数则可能完全缺乏空间结构,在所用的采样尺度下,样品间没有可定量的空间相关性. 从理论上讲,实验半方差函数应该通过坐标原点,但是许多土壤性质的半方差函数在位置趋于零时并不为零.这时的非零值就称为"块金方差(Nugget variance)"或"块金效应".它代表了无法解释的或随机的变异,通常由测定误差或土壤性质的微变异所造成. 对于平稳性数据,基底方差与结构方差之和约等于基台值. 2.1.2 方差函数的理论模型 土壤在空间上是连续变异的,所以土壤性质的半方差函数应该是连续函数.但是,样品半方差图却是由一批间断点组成.可以用直线或曲线将这些点连接起来,用于拟合的曲线方程就称为半方差函数的理论模型.在土壤研究中常用的模型有: ①线性有基台模型: 式中C1/a是直线的斜率.这是一维数据拟合的最简单模型: ((h)=C0 +C1·h/a 0在极限情况下,C1/a可以为0,这时就有纯块金效应模型: ((h)=C0, h>0 (4) ((0)=0 h=0 ②球状模型 ((h)= C0 +C1[1.5h/a-0.5(h/a)3] 0a (5) ((0)=0 h=0 ③指数模型 ((h)=C0+C1[1-exp-h/a ] h>0 (6)

Excel计算方差和标准差

Excel计算方差和标准差 样本中各数据与的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的叫做样本标准差。样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。 方差(Variance)和标准差(Standard Deviation)。方差和标准差是测算离散趋势最重要、最常用的。方差是各变量值与其均值离差平方的平均数，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法。标准差为方差的算术平方根，用S表示。标准差与方差不同的是，标准差和变量的计算单位相同，比方差清楚，因此很多时候我们分析的时候更多的使用的是标准差。平均值=AVERAGE () 方差=VAR ( ) 标准差=STDEV ( ) 一、标准差 函数STDEV：估算样本的标准偏差。标准偏差反映相对于平均值(mean) 的离散程度。 语法STDEV(number1,number2,...) Number1,number2,... 为对应于总体样本的1 到30 个参数。也可以不使用这种用逗号分隔参数的形式，而用单个数组或对数组的引用。 说明函数STDEV 假设其参数是总体中的样本。如果数据代表全部样本总体，则应该使用函数STDEVP 来计算标准偏差。此处标准偏差的计算使用“无偏差”或“n-1”方法。 函数STDEV 的计算公式如下： 其中x 为样本平均值AVERAGE(number1,number2,…)，n 为样本大小。 忽略逻辑值（TRUE 或FALSE）和文本。如果不能忽略逻辑值和文本，请使用STDEVA 工作表函数。 示例假设有10件工具在制造过程中是由同一台机器制造出来的，并取样为随机样本进行抗断强度检验。如果您将示例复制到空白工作表中，可能会更易于理解该示例。 操作方法创建空白工作簿或工作表。请在“帮助”主题中选取示例。不要选取行或列标题。从帮助中选取示例。 按Ctrl+C。 在工作表中，选中单元格A1，再按Ctrl+V。 若要在查看结果和查看返回结果的公式之间切换，请按Ctrl+`（重音符），或在“工具”菜单上，指向“公式审核”，再单击“公式审核模式”。 A

3.2.1几类不同增长的函数模型(二)——几种函数增长快慢的比较

3.2.1几类不同增长的函数模型（二）——几种函数增长快慢的 比较 学习目标: ①结合实例体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模型的意义. ②学会借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异. ③能恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并借助信息技术解决一些实际问题. ④通过收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用. 教学重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数 模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类 型增长的含义． 教学难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题 一、合作交流与知识讲授相结合，通过学习熟悉的几种常见函数增长快慢的比较，体会比较方法，掌握基本结论，从而培养应用基本方法比较函数增长快慢的能力. 观察函数4x y y ==与在 [0，+∞）上的图象，说明在不同区间内，函数增长的快慢情况. 在同一坐标中函数图象如下 师生合作观察研究函数4x y y ==与的增长快慢. ①x ∈(0，16) 时，y =的图象在4x y = 4x 可知y =增长 ②(16,)x ∈+∞ 时，y 的图在4x y = 4x 可知4x y =增长 二、幂函数、指数函数、对函数增长快慢形成比较方法. 1．实例探究：比较函数y =2x ，y = x 2，y = log 2x 的增长快慢. 方法：①作图，列表比较、验证． ②应用二分法求2x = x 2的根，即y = 2x 与y = x 2的交点横坐标为 ． 观察： 2 22log x x x <<成立的x 的取值： x x 2log 22<<成立的x 的取值 ： 2．规律总结 ①对于指数函数y =a x (a ＞1)和幂函数y =x n (n ＞0)，在区间(0,)+∞上，无论n 比a 大多少，尽管在x 的一定变化范围内，a x 会小于x n ，但由于a x 的增长快于x n 的增长， 因此总存在一个x 0，当x ＞x 0时，就会有a x ＞x n . ②对于对数函数y =log a x (a ＞1)和幂函数y = x n (n ＞0)在区间(0,)+∞上，随着x 的增大，log a x 增长得越来越慢.在x 的一定变化范围内，log a x 可能会大于x n ，但由于log a x 的增长慢于x n 的增长，

方差概念及计算公式

方差概念及计算公式 一．方差的概念与计算公式 例1两人的5次测验成绩如下： X：50，100，100，60，50 E(X )=72；Y：73，70，75，72，70 E(Y )=72。 平均成绩相同，但X不稳定，对平均值的偏离大。方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。 单个偏离是 消除符号影响 方差即偏离平方的均值，记为D(X )： 直接计算公式分离散型和连续型，具体为： 这里是一个数。推导另一种计算公式 得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”，即 ， 其中

分别为离散型和连续型计算公式。称为标准差或均方差，方差描述波动程度。 二．方差的性质 1．设C为常数，则D(C) = 0（常数无波动）； 2．D(CX )=C2D(X ) （常数平方提取）； 证： 特别地D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )（方差无负值） 3．若X、Y相互独立，则 证：记 则 前面两项恰为D(X )和D(Y )，第三项展开后为 当X、Y 相互独立时， ， 故第三项为零。 特别地 独立前提的逐项求和，可推广到有限项。 三．常用分布的方差 1．两点分布

2．二项分布 X ~ B( n, p ) 引入随机变量X i（第i次试验中A出现的次数，服从两点分布） ， 3．泊松分布（推导略） 4．均匀分布 另一计算过程为 5．指数分布（推导略） 6．正态分布（推导略） ~ 正态分布的后一参数反映它与均值的偏离程度，即波动程度（随机波动），这与图形的特征是相符的。 例2求上节例2的方差。 解根据上节例2给出的分布律，计算得到

求均方差。均方差的公式如下：（xi为第i个元素）。 S = ((x1-x的平均值)^2 + (x2-x的平均值)^2+(x3-x的平均值)^2+...+(xn-x的平均值)^2)/n)的平方根 大数定律表表明：事件发生的频率依概率收敛于事件的概率p，这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。就是说当n很大时，事件发生的频率于概率有较大偏差的可能性很小。由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。 用matlab或c语言编写求导程序 已知电容电压uc,电容值 求电流i 公式为i=c(duc/dt) 怎样用matlab或c语言求解 函数的幂级数展开式

常见分布的期望和方差 ()

常见分布的期望和方差 x n (0,1) N()

概率与数理统计重点摘要 1、正态分布的计算：()()( )X F x P X x μ σ -=≤=Φ。 2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（参见P66～72） 3、分布函数(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞-∞ = ?? 具有以下基本性质： ⑴、是变量x ，y 的非降函数； ⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续； ⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y <<　 　，有下述不等式成立： 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥ 4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23 x y F x y πππ2=++22的概率密度为：2222 6(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π?==??++ 5、二维随机变量的边缘分布： 边缘概率密度： ()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx +∞ -∞+∞ -∞ ==?? 边缘分布函数： ()(,)[(,)]()(,)[(,)]x X y Y F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv +∞ -∞-∞+∞ -∞ -∞ =+∞==+∞=?? ?? 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。 6、随机变量的独立性：若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X ，Y 相互独立。简称X 与Y 独立。

几类不同增长的函数模型(1)

几类不同增长的函数模型（1） 一、教学目标 （一）知识目标： 1.借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异. 2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等几类不同增长的函数模型的意义. 3.恰当运用函数的三种表示法（解析式、表格、图象）并借助信息技术解决一些实际问题. （二）能力目标：初步培养学生应用数学知识解决实际问题的意识与能力。（三）情感目标：培养学生数学应用意识以及比较分析的数学思想，激发学生的学习热情. 二、教学重难点 （一）重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型的函数增长的含义. （二）难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题. 三、活动设计 1.自主学习，从实际问题出发能构建出相应的数学模型. 2.探究与活动，在教师的指引下通过列表、描点，画出相应函数模型的图形，并能比较发现它们的增长趋势. 四、教学过程 一、创设情景，引入新课 我们知道，函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述，能否举出一些函数模型的具体例子? 指数函数、对数函数、幂函数等等. 当我们面临一个实际问题时，应如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？如果我们能够找出相应的数学模型，又是如何去研究它的性质呢?本节课先通过具体实例来比较几类不同增长的函数模型的增长趋势.（板书几类不同增长的函数模型）二、讲解新课 例题剖析 【例1】假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？

《几类不同增长的函数模型》教案

《几类不同增长的函数模型》教案 教学目标 使学生通过投资回报实例，对直线上升和指数爆炸有感性认识. 通过阅读理解题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本质，弄清题中出现的量及起数学含义. 体验由具体到抽象及数形结合的思维方法. 教学重难点 重点：将实际问题转化为函数模型，比教常数函数、一次函数、指数函数模型的增长差异；结合实例让学生体会直线上升，指数爆炸等不同函数型增长的函义. 难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题. 教学过程 背景:(1)圆的周长随着圆的半径的增大而增大： L=2πR (一次函数) (2)圆的面积随着圆的半径的增大而增大： S=πR2(二次函数) （3）某种细胞分裂时，由1个分裂成两个，两个分裂成4个……，一个这样的细 胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系是y = 2x(指数型函数) . 2、例题 例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案呢？ 投资方案选择原则： 投入资金相同，回报量多者为优 (1)比较三种方案每天回报量 (2) 比较三种方案一段时间内的总回报量 哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案. x/天方案一方案二方案三 y/ 元 增长量/ 元 y/ 元 增长量/ 元 y/元增长量/元 1 40 0 10 0.4

2 40 0 20 10 0.8 0.4 3 40 0 30 10 1.6 0.8 4 40 0 40 10 3.2 1.6 5 40 0 50 10 6.4 3.2 6 40 0 60 10 12.8 6.4 7 40 0 70 10 25.6 12. 8 8 40 0 80 10 51.2 25.6 9 40 0 90 10 102.4 51.2 … … … … … … … 30 40 300 10 214748364.8 107374182.4 根据上表我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据. 解：设第x 天所得回报为y 元，则 方案一：每天回报40元； y=40 (x ∈N*) 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回 报10元； y=10x (x ∈N*) 方案三：第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番. Y=0.4×2x-1(x * N ) 图112-1

随机变量的方差

第五周随机变量函数的分布及随机变量的数字特征 5.3随机变量的方差 方差：随机变量偏离期望的程度（随机变量分布的分散程度） ()()()( )2Var X E X E X =-,()()()()2Var X E X E X =-()() ()222E X XE X E X =-+()()()()222E X E XE X E X =-+()()()()222E X E X E X E X =-+()()2 2E X E X =-()()()22Var X E X E X =-，()()()2Var aX b Var aX a Var X +==() X σ=， 标准差，X σ也记作()()() Var X Y Var X Var Y +≠+方差通常缩写为()Var X （varience）或()D X （deviation）。*************************************************************例5.3.1项目1：投资10万元 可能回收10万元保本；40%可能回收15万元，盈利5万元 10 5~3255X ?? ? ? ??? ,平均收益为()13205255E X =?+?=万元，项目2：投资10万元 60%可能回收0万元，亏损10万元；40%可能回收30万元，盈利20万元 21020~325 5X -?? ? ? ???,平均收益为()2321020255E X =-?+?=万元

()22132051055 E X =?+?=，()()()221116Var X E X E X =-=；()()222232102022055 E X =-?+?=，()()()22222216Var X E X E X =-=。两项投资的期望相等，均为2万元，但它们的方差一个是6，一个是216，差异非常大。期望刻画平均收益，而方差则刻画收益的波动，反映了投资的风险程度。*************************************************************

高考中常用函数模型归纳及应用

高考中常用函数模型．．．． 归纳及应用 一． 常数函数y=a 判断函数奇偶性最常用的模型，a=0时，既是奇函数，又是偶函数，a ≠0时只是偶函数。关于方程解的个数问题时常用。 例1．已知x ∈(0, π],关于方程2sin(x+ 3 π )=a 有两个不同的实数解，则实数a 的取植范围是（ ）A ．[-2，2] B.[ 3,2] C.( 3,2] D.( 3,2) 解析；令y=2sin(x+3π ), y=a 画出函数y=2sin(x+3 π )，y=a 图象如图所示，若方程有两个不同的解，则两个函数图象有两个不同的交点， 由图象知( 3,2)，选D 二． 一次函数y=kx+b (k ≠0) 函数图象是一条直线，易画易分析性质变化。常用于数形结合解决问题，及利用“变元”或“换元”化归 为一次函数问题。有定义域限制时，要考虑区间的端点值。 例2．不等式2x 2 +1≤m(x-1)对一切│m │≤2恒成立，则x 的范围是（ ） A ．-2≤x ≤2 B. 4 31- ≤x ≤0 C.0≤x ≤ 4 71+ D. 4 71-≤x ≤ 4 1 3- 解析：不等式可化为m(x-1)- 2x 2+1≥0 设f(m)= m(x-1)- 2x 2 +1 若x=1, f(m)=-3＜0 (舍) 则x ≠1则f(m)是关于m 的一次函数，要使不等式在│m │≤2条件下恒成立，只需? ? ?≥-≥0)2(0 )2(f f ，解之可得答案D 三． 二次函数y=ax 2 +bx+c (a ≠0) 二次函数是应用最广泛的的函数，是连接一元二次不等式和一元二次方程的纽带。很多问题都可以化归和转化成二次函数问题。比如有关三次函数的最值问题，因其导数是二次函数，最后的落脚点仍是二次函数问题。 例3．（1）.若关于x 的方程x 2 +ax+a 2 -1=0有一个正根和一个负根，则a 的取值范围是（ ） 解析：令f(x)= x 2 +ax+a 2 -1由题意得f(0)= a 2 -1 ＜0,即-1＜a ＜1即可。 一元二次方程的根分布问题可借助二次函数图象解决，通常考虑二次函数的开口方向，判别式对称轴与根的位置关系，端点函数值四个方面。也可借助韦达定理。

二项分布的散点图与函数图,方差及期望

2012—2013学年第2学期 合肥学院卓越工程师班 实验报告 课程名称：概率论与数理统计 实验项目:二项、几何分布分布的性质研究 实验类别：验证性 专业班级： 11级自动化卓越班 实验时间： 2013-6-10 组别：第六组 指导教师：

一. 小组成员（具体分工） 姓名学号具体分工 台路 1105031008 实验内容、实验步骤 实验总结、实验程序与结果（分布图 像） 实验目的、实验程序与结果（期望与 方差） 二. 实验目的 1.掌握一些matlab中基本的绘图函数命令，并学会用matlab绘图。 2.学会用matlab软件绘制出在不同参数下二项分布律散点图。 3.学会用matlab计算二项分布的数学期望及方差。 三. 实验内容 1.研究不同参数下二项分布的分布律的散点图，计算二项分布的数学期望及方差。 二项分布的概念： 考虑只有两种可能结果的随机试验，当成功的概率（π）是恒定的，且各次试验相互独立，这种试验在统计学上称为贝努里试验（Bernoulli trial）。如果进行n次贝努里试验，取得成功次数为X（X=0,1,…,n）的概率可用下面的二项分布概率公式来描述： 四.实验步骤

1.对实验任务及实验内容进行分析。 2.上网查找用matlab软件绘制二项分布图像的资料。 3.尝试编写用matlab软件绘制二项分布图像的代码。 3.分别改变不同的参数，分别用matlab绘制出二项分布的散点图。 4.计算二项分布的数学期望及方差。 5.撰写实验报告。 五．实验程序（经调试后正确的源程序） 1．画出二项分布的分布律散点图（n=60，p=0.3） 源程序： n=60 p=0.3 for k=1:1:n y=binocdf(k,n,p) plot(k,y,'*') hold on; title('二项分布散点图') End 2．画二项分布的分布函数图（n=60 70 80 90 100 p=0.3时的二项分布散点图） >> n=60 p=0.5 for k=1:1:n y=binocdf(k,n,p) plot(k,y,'*') hold on; title('n=60 70 80 90 100 p=0.3时的二项分布散点图')

几种不同类型的函数模型题型及解析

几种不同类型的函数模型题型及解析 1.在定义域（0，+∞）内随着x的增大，增长速度最快的是（）A．y=100 B．y=10x C．y=lgx D．y=e x 分析：本题考察对数函数、指数函数与幂函数的增长差异，直接根据常数函数、正比例函数、指数函数、对数函数的增长差异，得出结论 解：由于函数y=100是常数函数，函数y=2x是正比咧函数，函数y=e x是指数函数，函数y=lgx是对数函数， 由于指数函数的增长速度最快，所以选D 2.在区间（3，+∞）上，随着x的增大，增长速度最快的函数（）A y=x2 B y=2x C y=2x D y=log2x 分析：本题考察对数函数、指数函数与幂函数的增长差异，在同一坐标系画出四个函数的图象，比较图象上升的平缓程度，可得答案． 解：在区间（3，+∞）上，①y=x2，②y=2x，③y=2x，④y=log2x的 图象如右图所示，由图可知y=2x的函数值随着x的增大增长速度最 快，所以选B 3.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是（） A．y=100x B．y=log100x C．y=x100D．y=100x 分析：由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，底 数大于1的指数函数增长最快． 解：由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数 y=100x增长速度最快．所以选D 4.某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y（万公顷）关于年数x的函数关系较为近似的是（） A．y=0.2x B．C．D．y=0.2+log16x 分析：利用所给函数，分别令x=1，2，3，计算相应的函数值，即可求得结论． 解：对于A，x=1，2时，符合题意，x=3时，y=0.6，与0.76相差0.16；对于B，x=1时，y=0.3；x=2时，y=0.8；x=3时，y=1.5，相差较大，不符合题意；对于C，x=1，2时，符合题意，x=3时，y=0.8，与0.76相差0.04，与A比较，符合题意；对于D，x=1时，y=0.2；x=2时，y=0.45；x=3时，y＜0.7，相差较大，不符合题意；故选C 5.假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？ 解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40(x∈N*)进行描述；方案二可以用函数y＝10x (x∈N*)进行描述；方案三可以用函数y＝0.4×2x－1(x∈N*)进行描述. 三个函数，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型．要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析．作出三个函数的图象如图所示．由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四

正态分布的数学期望与方差

正态分布的数学期望与方差 正态分布： 密度函数为：分布函数为 的分布称为正态分布，记为N(a, σ2). 密度函数为： 或者 称为n元正态分布。其中B是n阶正定对称矩阵，a是任意实值行向量。 称N(0,1)的正态分布为标准正态分布。 （1）验证是概率函数（正值且积分为1） （2）基本性质： （3）二元正态分布： 其中， 二元正态分布的边际分布仍是正态分布： 二元正态分布的条件分布仍是正态分布：

即（其均值是x的线性函数） 其中r可证明是二元正态分布的相关系数。 （4）矩，对标准正态随机变量，有 （5）正态分布的特征函数 多元正态分布 （1）验证其符合概率函数要求（应用B为正定矩阵，L为非奇异阵，然后进行向量线性变换） （2）n元正态分布结论 a) 其特征函数为： b) 的任一子向量,m≤n 也服从正态分布，分布为其中，为保留B 的第，…行及列所得的m阶矩阵。 表明：多元正态分布的边际分布还是正态分布 c) a,B分别是随机向量的数学期望及协方差矩阵，即 表明：n元正态分布由它的前面二阶矩完全确定 d) 相互独立的充要条件是它们两两不相关 e) 若，为的子向量，其中是，的协方差矩阵，则是，相应分量的协方差构成的相互协方差矩阵。则相互独立的充要条件为＝0 f) 服从n元正态分布N(a,b)的充要条件是它的任何一个线性组合服

从一元正态分布 表明：可以通过一元分布来研究多元正态分布 g) 服从n元正态分布N(a,b),C为任意的m×n阶矩阵，则服从m元正态分布 表明：正态变量在线性变换下还是正态变量，这个性质简称正态变量的线性变换不变性 推论：服从n元正态分布N(a,b)，则存在一个正交变化U，使得是一个具有独立正态分布分量的随机向量，他的数学期望为Ua，而他的方差分量是B的特征值。 条件分布 若服从n元正态分布N(a,b)，，则在给定下，的分布还是正态分布，其条件数学期望： (称为关于的回归) 其条件方差为： （与无关）