八年级数学上册 19.2.3 一次函数与方程、不等式 优质教案
1.掌握一次函数与方程、不等式的关系;(重点)
2.综合应用一次函数与方程、不等式的关系解决问题.(难点
)
一、情境导入
1.下面三个方程有什么共同点和不同点?你能进行解释吗?
(1)2x +1=3;(2)2x +1=0;(3)2x +1=-1. 能从函数的角度解这三个方程吗?
2.下面三个不等式有什么共同点和不同点?你能从函数的角度对这三个不等式进行解释吗?
(1)3x +2>2;(2)3x +2<0;(3)3x +2<-1. 二、合作探究
探究点一:一次函数与一元一次方程
一次函数y =kx +b (k ,b 为常数,且k ≠0)
的图象如图所示,根据图象信息可求得关于x 的方程kx +b =0的解为( )
A .x =-1
B .x =2
C .x =0
D .x =3
解析:∵y =kx +b 经过点(2,3)、(0,1),
∴?????b =1,2k +b =3,解得?????b =1,k =1,
∴一次函数解析式为y =x +1.令x +1=0,解得x =-1.故选A.
方法总结:当某个一次函数的值为0时,求相应的自变量的值.从图象上看,相当于已知直线y =kx +b ,确定它与x 轴的交点的横坐标的值.
探究点二:一次函数与一元一次不等式
对照图象,请回答下列问题: (1)当x 取何值时,2x -5=-x +1? (2)当x 取何值时,2x -5>-x +1? (3)当x 取何值时,2x -5<-x +1?
解析:(1)直线y =2x -5与直线y =-x +1的交点横坐标的值即为方程2x -5=-x +1的解;(2)直线y =2x -5在直线y =-x +1上方的部分对应的x 的取值范围即为不等式2x -5>-x +1的解集;(3)直线y =2x -5在直线y =-x +1下方的部分对应的x 的取值范围即为不等式2x -5<-x +1的解集.
解:(1)由图象可知,直线y =2x -5与直线y =-x +1的交点的横坐标是2,所以当x 取2时,2x -5=-x +1;
(2)由图象可知,当x >2时,直线y =2x -5落在直线y =-x +1的上方,即2x -5>-x +1;
(3)由图象可知,当x <2时,直线y =2x -5落在直线y =-x +1的下方,即2x -5<-x +1.
方法总结:从函数的角度看,就是寻求使一次函数y =kx +b 的值大于(或小于)0的自变量x 的取值范围;从函数图象的角度看,就是确定直线y =kx +b 在x 轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合.
探究点三:一次函数与二元一次方程(组
)
直角坐标系中有两条直线:y =35x +9
5
,y
=-3
2x +6,它们的交点为P ,第一条直线交x 轴于
点A ,第二条直线交x 轴于点B .
(1)求A 、B 两点的坐标;
(2)用图象法解方程组?
????5y -3x =9,
3x +2y =12;
(3)求△P AB 的面积.
解析:(1)分别令y =0,求出x 的值即可得到点A 、B 的坐标;(2)建立平面直角坐标系,然后作出两直线,交点坐标即为方程组的解;(3)求出AB 的长,再利用三角形的面积公式列式计算即可得解.
解:(1)令y =0,则35x +9
5=0,解得x =-3,
所以点A 的坐标为(-3,0).令-3
2x +6=0,解得
x =4,所以点B 的坐标为(4,0);
(2)如图所示,方程组的解是?
????x =2,
y =3;
(3)AB =4-(-3)=4+3=7,S △P AB =1
2×7×3
=212
. 方法总结:本题考查了二元一次方程(组)与一次函数的关系:两个方程的解的对应点分别在两条直线上,所以作出两个二元一次方程所对应的两条直线,求出交点,则交点的坐标同时满足两个方程,即为方程组的解.
探究点四:运用一次函数与方程、不等式解决实际问题
某销售公司推销一种产品,设x (单位:
件)是推销产品的数量,y (单位:元)是付给推销员的月报酬.公司付给推销员的月报酬的两种方案如图所示,推销员可以任选一种与公司签订合同,看图解答下列问题:
(1)求每种付酬方案y 关于x 的函数表达式; (2)当选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬时,求x 的取值范围.
解析:(1)由图已知两点,可根据待定系数法列方程组,求出函数关系式;(2)列出方程得出两直线的相交点的坐标,即可得选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬时x 的取值范围.
解:(1)设方案一的解析式为y =kx ,把(40,1600)代入解析式,可得k =40,∴方案一y 关于x 的解析式为y =40x ;设方案二的解析式为y =ax +b ,把(40,1400)和(0,600)代入解析式,可得
?????b =600,40a +b =1400,解得?
????a =20,b =600,∴方案二y 关于x 的解析式为y =20x +600;
(2)根据两直线相交可得40x =20x +600,解得x =30,故两直线交点的横坐标为30.当x >30时,选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬.
方法总结:解决此类识图题,同学们要注意分析其中的“关键点”,还要善于分析各图象的变化趋势.
三、板书设计
1.一次函数与一元一次方程的关系 2.一次函数与一元一次不等式的关系 3.用图象法求二元一次方程组的解
4.应用一次函数与方程、不等式解决实际问题
在教学的过程中,学生是教学的主体,所以发挥学生的主动性相当的重要.本节课是在一次函数的基础上教学的,是对学生学习的又一次综合与扩展.课堂教学充分体现了新课标的教学理念:教师为主导、学生为主体,把课堂还给学生.
6.3正方形 【教学目标】 1、掌握正方形地概念 2、经历探索正方形有关性质和判别条件地过程,了解正方形与矩形、菱形地关系 3、掌握正方形地性质 4、掌握正方形地判定 5、进一步加深对特殊与一般地认识 【教学重点、难点】 重点:正方形地性质与判定. 难点:正方形与矩形、菱形、平行四边形地概念之间地联系. 【教学过程】 一、情景引入 出示一块方巾,它是什么几何图形?(正方形) 中国人对正方形有特殊地感情,如“坦荡方正”,“天圆地方”等词语,还有许多实物都是正方形地形状(教师可以多媒体演示),今天我们就来研究正方形 板书课题:6.3正方形 二、探索新知 这块方巾是否也可以说是平行四边形?矩形?菱形? 与一般地平行四边形相比,它有何特殊性? 与一般地矩形相比,它有何特殊性? 与一般地菱形相比,它又有何特殊性? 根据以上知识,你能完成课本P145地图6-19吗?根据图6-19,你有何发现?
三、 梳理新知 结合学生地发现与图6-19,师生共同归纳出以下几点: 有一组邻边相等,并且有一个角是直角地平行四边形叫做正方形 正方形既是特殊地矩形,又是特殊地菱形,故正方形具有矩形、菱形地性质 性质:四个角都是直角,四条边相等 对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角 判定:一组邻边相等地矩形是正方形 有一个角是直角地菱形是正方形 四、 巩固新知 课本做一做 五、 实践应用 (1)、给你一块矩形纸条,如何把它变成正方形纸条? (2)、完成课本节前图 (3)、请你用最快地速度画一个正方形,然后想一想,你所选择地画法是否经得起推敲?比一比,你周围地同学是否有比你更好地方法?教师等待学生互相交流后,请学生代表发言 六、 理论提升 例题:已知,如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=900,CD 是∠ACB 地平分线,DE ⊥BC ,DF ⊥AC ,垂足分别是E 、F 求证:四边形CFDE 是正方形 证明:∵DE ⊥BC ,DF ⊥AC ∴∠DEC=∠DFC=900∵∠ACB=900 ∴四边形CFDE 是矩形(为什么?) ∵CD 是∠ACB 地平分线 ∴∠ACD=∠BCD C A D B F E
人教版初中数学方程与不等式之无理方程知识点复习 一、选择题 1.方程20x x -=的解是___________。 【答案】x=0或x=4 【解析】 【分析】 将原式两边开方再求解即可. 【详解】 移项得2x x =,两边平方得24x x =,解得x=0或x=4,检验知x=0或x=4. 【点睛】 本题考查了无理方程,利用平方将方程转化整式方程. 2.方程 的解为 . 【答案】3. 【解析】 首先把方程两边分别平方,然后解一元二次方程即可求出x 的值. 解:两边平方得:2x+3=x 2 ∴x 2﹣2x ﹣3=0, 解方程得:x 1=3,x 2=﹣1, 检验:当x 1=3时,方程的左边=右边,所以x 1=3为原方程的解, 当x 2=﹣1时,原方程的左边≠右边,所以x 2=﹣1不是原方程的解. 故答案为3. 3.方程2 =x ﹣6的根是______. 【答案】x=12. 【解析】 两边平方,求得一元二次方程的解,进一步利用x ﹣3≥0验证得出答案即可. 解:2=x ﹣6 4(x ﹣3)=x 2﹣12x+36 整理得x 2﹣16x+48=0 解得:x 1=4,x 2=12 代入x ﹣3>0,当x=4时,等式右边为负数, 所以原方程的解为x=12. 故答案为:x=12. 4.方程1x -______. 【答案】1x = 【解析】
【分析】 两边平方解答即可. 【详解】 原方程可化为:(x-1)2=1-x, 解得:x1=0,x2=1, 经检验,x=0不是原方程的解, x=1是原方程的解 x=. 故答案为1 【点睛】 此题考查无理方程的解法,关键是把两边平方解答,要注意解答后一定要检验. 5.0 =的解是_______________ 【答案】x=2 【解析】 【分析】 由题意可知3-x=0或2-x=0,再结合二次根式有意义的条件即可求得答案. 【详解】 =, =, ∴x=3或x=2, 检验:当x=3时,2-x<0x=3舍去, ∴x=2, 故答案为x=2. 【点睛】 本题考查了解无理方程,熟练掌握解方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键. 6.x =-的解________ x=- 【答案】2 【解析】 【分析】 两边平方后解此无理方程可得. 【详解】 解:两边同时平方可得:2-x=x2, 解得:x1=-2,x2=1, 检验得x2=1不是方程的根, a=-, 故1 a=- 故答案为1 【点睛】
不等式和不等式组 知识点: 一、不等式与不等式的性质 1、不等式:表示不等关系的式子。(表示不等关系的常用符号:≠,<,>)。 2、不等式的性质: (l )不等式的两边都加上(或减去)同一个数,不等号方向不改变,如a > b , c 为实数?a +c >b +c (2)不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号方向不变,如a >b , c >0?ac >bc 。 (3)不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号方向改变,如a >b ,c <0?ac <bc. 注:在不等式的两边都乘以(或除以)一个实数时,一定要养成好的习惯、就是先确定该数的数性(正数,零,负数)再确定不等号方向是否改变,不能像应用等式的性质那样随便,以防出错。 3、任意两个实数a ,b 的大小关系(三种): (1)a – b >0? a >b (2)a – b=0?a=b (3)a –b <0?a <b 4、(1)a >b >0? b a > (2)a >b >0?22b a < 二、不等式(组)的解、解集、解不等式 1、能使一个不等式(组)成立的未知数的一个值叫做这个不等式(组)的一个解。 不等式的所有解的集合,叫做这个不等式的解集。 不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做不等式组的解集。 2.求不等式(组)的解集的过程叫做解不等式(组)。
三、不等式(组)的类型及解法 1、一元一次不等式: (l )概念:含有一个未知数并且含未知数的项的次数是一次的不等式,叫做一元一次不等式。 (2)解法:与解一元一次方程类似,但要特别注意当不等式的两边同乘以(或除以)一个负数时,不等号方向要改变。 2、一元一次不等式组: (l )概念:含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组,叫做一元一次不等式组。 (2)解法:先求出各不等式的解集,再确定解集的公共部分。 注:求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便。 典型例题: 1、判断正误: (1)若a >b ,c 为实数,则2ac >2 bc ; (2)若2ac >2bc ,则a >b 2、若a <b <0,那么下列各式成立的是( ) A 、b a 11< B 、ab <0 C 、1 b a 3、如果x -y <0,那么x 与y 的大小关系是x y .(填<或>符号) 4、若x y >,则下列式子错误的是( ) A .33x y ->- B .33x y ->- C .32x y +>+ D .33x y >
二次函数与一次函数、反比例函数、 一元二次方程、不等式组 课程目标: 灵活运用二次函数的性质解一元二次方程; 熟练解决二次函数与与其它函数结合的有关问题。 课程要求: 完成讲义中的练习; 完成课后配套练习。 一、二次函数与一元二次方程、不等式(组) 例1.函数(是常数)的图像与轴的交点个数为( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或2个 例2.已知实数x ,y 满足x 2 +3x +y -3=0,则x +y 的最大值为 . 例3.设函数y=x 2 ﹣(k+1)x ﹣4(k+5)的图象如图所示,它与x 轴交于A 、B 两点,且线段OA 与OB 的长的比为1:4,则k= _________ . 例4. 如图10-2,是二次函数y =ax 2 +bx+c 图象的一部分,其对称轴为直线x =1,若其与x 轴一交点为A (3,0),则由图象可知,不等式ax 2+bx +c <0的解集是 . 例5. 已知P (3,m -)和Q (1,m )是抛物线2 21y x bx =++上的两点. (1)求b 的值; (2)判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根,若有, 2 2y mx x m =+-m x
求出它的实数根;若没有,请说明理由; (3)将抛物线2 21y x bx =++的图象向上平移k (k 是正整数)个单位,使平移后的图象与x 轴无交点,求k 的最小值. 【当堂练】 1.已知二次函数c bx ax y ++=2 的图象如图10-1所示,则下列结论正确的是( ) A .a >0 B .c <0 C .b 2 -4ac <0 D .a +b +c >0 2.如图所示,函数的图像与轴只有一个交 点,则交点的横坐标 . 3.二次函数的图像与轴的交点坐标为 . =ax2+bx+c 中,a<0,抛物线与x 轴有两个交点A (2,0)B (-1,0),则ax2+bx+c>0的解是____________; ax2+bx+c<0的解是____________ 5. 抛物线与轴有 个交点,因为其判别式 0,相应二次方程的根的情况为 . 6.关于的方程有两个相等的实数根,则相应二次函数 与轴必然相交于 点,此时 . 2 (2)7(5)y k x x k =--+-x 0x =2 69y x x =-+-x 2 283y x x =--x 2 4b ac -= 2 3280x x -+=x 2 5mx mx m ++=25y mx mx m =++-x m =O
公开课-- 八年级数学教案 &t;&It;长方体和正方体的表面积>>教学设计 【教学内容】 西师版第十册第39页例1。 【教学目标】 1结合具体情境,探索并掌握长方体和正方体的表面积的计算方法从中获得解决问题的方法和成功的体验。 2& #57360;培养学生动手操作、观察、抽象概括的能力和初步的空间观念。 3& #57360;让学生感受知识的形成过程,从而激发学生学习数学的兴趣。 4& #57360;让学生体会所学知识在实际中的应用价值。 【教学重点】 长方体、正方体表面积的计算方法。 【教学难点】 确定长方体每一个面的长和宽
【教具学具】 教具:长方体、正方体纸盒(可展开)。 学具:长方体、正方体纸盒、剪刀。 【教学过程】 一、复习引入 师:前面我们学习了长方体、正方体的表面积,谁来说说什么是它们的表 面积? 出示一个长方体,指名摸它的表面。 师:我们已经掌握了长方体和正方体面的特征,也会计算每个面的面积, 今天就运用这些知识来计算它们的表面积。 二、探究学习 1& #57360;探索长方体表面积的计算方法 出示例1:制作下面这样一个长方体的纸盒,至少需要用多少平方厘米的纸板?师:请大家想一想,这道题实际上是求什么呢?你打算怎样解决这个问题呢? 4人小组合作完成这个长方体表面积的计算。 汇报交流计算情况,教师总结学生的不同算法,点拨得出长方体的表面积的计算方法。
生1 我们组是这样算的:8×4×2 +4×5×2 + 8×5×2 = 184cm2前后面左右面上下面 师:你能把这种求表面积的方法归纳一下吗? 生:长×宽×2 +长×高×2 + 宽×高×2。 生2:我们组是把6个面的面积分别算出来后再相加。 生3:我们组是先算前面+左面+上面”的面积,再乘2就可以了。即: (8×4 + 4×5 + 8×5)×2 = 184cm2。 师:为什么求出这3个面的面积和,再乘2就可以了? 生:长方体6个面可以分为3组,相对的面相等,只要算出这个长方体盒子的一半,再乘2就可以了。 师:你能把这种求表面积的方法归纳一下吗? 生:(长×宽 + 长×高 + 宽×高)×2。(师板书) 师:观察真仔细,归纳能力真强。 师:在这些方法中你认为哪些比较简便?把你喜欢的方法给同桌交流交流 2& #57360;探索正方体表面积的计算方法
初中数学方程与不等式之不等式与不等式组专项训练 一、选择题 1.如果关于x 的不等式组232x a x a >+?? <-?无解,则a 的取值范围是( ) A .a <2 B .a >2 C .a≥2 D .a≤2 【答案】D 【解析】 【分析】 由不等式组无解,利用不等式组取解集的方法确定出a 的范围即可. 【详解】 ∵不等式组232x a x a +?? -?><无解,∴a +2≥3a ﹣2,解得:a ≤2. 故选D . 【点睛】 本题考查了不等式的解集,熟练掌握不等式组取解集的方法是解答本题的关键. 2.若a b <,则下列变形错误的是( ) A .22a b < B .22a b +<+ C .1122a b < D .22a b -<- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据不等式的性质解答. 【详解】 ∵a b <,∴22a b <,故A 正确; ∵a b <,∴22a b +<+,故B 正确; ∵a b <,∴1122 a b <,故C 正确; ∵a b <,∴2-a>2-b ,故D 错误, 故选:D. 【点睛】 此题考查不等式的性质,熟记性质定理并运用解题是关键. 3.小明要从甲地到乙地,两地相距1.8千米.已知他步行的平均速度为90米/分,跑步的平均速度为210米/分,若他要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地,至少需要跑步多少分钟?设他需要跑步x 分钟,则列出的不等式为( ) A .210x +90(15﹣x )≥1.8 B .90x +210(15﹣x )≤1800 C .210x +90(15﹣x )≥1800 D .90x +210(15﹣x )≤1.8
完全平方公式 一、指导思想 本节课的设计主要突出学生学习的主体性,强调学生学习过程的体验。学生在通过已有知识情况下计算、观察、分析、归纳得出完全平方公式,整个过程给学生一个自主学习探索的空间。 二、教材分析 在本章教学中,注意知识形成过程的教学,充分调动学生思维,体现学生主体地位;注意基础知识的落实,因为本章的基础知识在继续学习、生活实际中有着广泛应用,所以要打好基础。本节主要内容包括:两数和(差)的完全平方公式、公式的几何背景、简单的计算。两数和(差)的完全平方公式是运用一般多项式的相乘法则,对特殊的多项式推导出来的。从多项式乘法到乘法公式是从一般到特殊的认识过程,对它的研究和学习,可以开阔学生视野,使他们进一步了解“特殊——一般——特殊”的认识规律。 三、背景分析 1、学情分析: 学生已经掌握了多项式乘法法则并且理解幂的意义,这为本节课的学习奠定基础,其知识点通过学生计算、观察、分析、归纳得出,在教师的引导下和学生的积极参与,相信他们能很好完成本节课内容。 2、教学方法: (1)“探究式学习”。在教学中,突出学生的主动性,让学生通过观察特点——分析——归纳总结——得出结论,初步掌握探究的学习方法。 (2)在学生的主体参与互动中,培养学生能力,帮助学生结合公式结构特点,分析式子结构,运用转化思想加以解决。 3、技术手段: 利用ppt课件及实物投影 四、教学流程 五、教学目标 1、知识与技能 (1)使学生能正确叙述完全平方公式,并能运用它进行计算.
(2)培养学生分析问题、解决问题的能力,以及运算能力. 2、过程与方法 (1)在公式的形成过程的教学中,培养学生观察、归纳、猜想、论证的能力,以及分析、综合、抽象和概括的能力. (2)了解“特殊---一般---特殊”的认识规律,体现和学习研究问题的方法. 渗透由特殊到一般再由一般到特殊的思想. (3)渗透数形结合思想. 3、情感态度与价值观 通过学生自己分析得出结论,使他们感受成功的喜悦从而激发学生学习兴趣。 六、教学重点与难点 重点:完全平方公式的熟记和运用 难点:对公式特征的理解 七、教学过程与教学资源设计
初中数学方程与不等式之一元一次方程经典测试题及答案 一、选择题 1.有一下式子:①0x =;②325+=;③14x =;④29x =;⑤23=x x ;⑥34x -;⑦2(1)2x +=;⑧20x y +=.其中是一元一次方程的个数是( ) A .2 B .3 C .4 D .5 【答案】B 【解析】 【分析】 我们将只含有一个未知数,且未知数的最高次数为1的整式方程称之为一元一次方程,据此进一步判断即可. 【详解】 ①0x =,满足定义,是一元一次方程; ②325+=,未含有未知数,故不是一元一次方程; ③14x =,分母含有未知数,不是整式方程,故不是一元一次方程; ④29x =,未知数次数为2,故不是一元一次方程; ⑤23=x x ,满足定义,故是一元一次方程; ⑥34x -,不是等式,故不是一元一次方程; ⑦2(1)2x +=,满足定义,故是一元一次方程; ⑧20x y +=,含有两个未知数,故不是一元一次方程; 综上所述,一共有3个一元一次方程, 故选:B. 【点睛】 本题主要考查了一元一次方程的判断,熟练掌握相关概念是解题关键. 2.方程2﹣24736 x x --=-去分母得( ) A .2﹣2(2x ﹣4)=﹣(x ﹣7) B .12﹣2(2x ﹣4)=﹣x ﹣7 C .12﹣2(2x ﹣4)=﹣(x ﹣7) D .以上答案均不对 【答案】C 【解析】 【分析】 两边同时乘以6即可得解. 【详解】 解方程:247236 x x --- =- 去分母得:122(24)(7)x x --=--.
故选C. 【点睛】 本题考查了解一元一次方程的去分母,两边乘以同一个数时要注意整数也要乘以这个数. 3.某书店推出一种优惠卡,每张卡售价为50元,凭卡购书可享受8折优惠,小明同学到该书店购书,他先买购书卡再凭卡付款,结果省了10元。若此次小明不买卡直接购书,则他需要付款() A.380元B.360元C.340元D.300元 【答案】D 【解析】 【分析】 此题的关键描述:“先买优惠卡再凭卡付款,结果节省了10元”,设出未知数,根据题中的关键描述语列出方程求解. 【详解】 解:设小明同学不买卡直接购书需付款是x元, 则有:50+0.8x=x-10 解得:x=300 即:小明同学不凭卡购书要付款300元. 故选:D. 【点睛】 本题考查一元一次方程的应用,关键在于找出题目中的等量关系,根据等量关系列出方程解答. 4.今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍,5年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍.设今年儿子的年龄为x岁,则下列式子正确的是() A.4x-5=3(x-5) B.4x+5=3(x+5) C.3x+5=4(x+5) D.3x-5=4(x-5) 【答案】D 【解析】 【分析】 设今年儿子的年龄为x岁,则今年父亲的年龄为3x岁,根据5年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍,即可得出关于x的一元一次方程,此题得解. 【详解】 设今年儿子的年龄为x岁,则今年父亲的年龄为3x岁,依题意,得: 3x﹣5=4(x﹣5). 故选D. 【点睛】 本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解题的关键.
六年级数学讲义(七) 一元一次不等式(组) 【知识要点】 (一)不等式及其性质 1.不等式的概念: 用不等号“<”、“>”、“≦”、“≧”、“≠”表示不等关系的式子,叫做不等式。 如:x+3>5。 2.常见的不等号及其含义: “≠”读作“不等于”,它表明两个量是不相等的,但不能确定哪个量大,哪个量小; “>”读作“大于”,它表明左边的量比右边的量大; “≧”读作“大于或等于”,它表明左边的量不小于右边的量;“<”读作“小于”,它表明左边的量比右边的量小; “≦”读作“小于或等于”,它表明左边的量不小于右边的量。
3.不等式的基本性质: (1)不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不 变,即: a>b →a ±m>b ±m 。 (2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不 变,即: a>b 且m>0→am>bm ;a m >b m 。 (3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改 变,即: a>b 且m<0→am
2.若x-2y>x ,则y______0; 3.若(3.14-π)x<2,则x______ 23.14-π ; 4.若-a 3 >-b 3 ,则2a+105______2b+105; 5.若a>0,b<0,c<0,则(a -b )c______0; (二)一元一次不等式的解法 1.不等式的解的定义: 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。 2.不等式解集的定义: 一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。如: x-1>2的解集是x>3。 3.解不等式: 求解不等式解集的过程叫做解不等式。 步骤: ①去分母;
二次函数与不等式 班级____________ 姓名___________________ 1、二次函数的图象如图,则不 式<0的解 22--=x x y 22--x x 集x 的范围是______________; 2、函数的图象如图,那么:c bx x a y ++=2(1)方程=2的根是________________;c bx x a ++2(2)不等式>2的解集是______________;c bx x a ++2(3)不等式<2的解集是_____________;c bx x a ++2 3、已知关于x 的一元二次方程的两根分 02=++n mx x 别为x 1=a,x 2=b (ab C.a 课题:13.1 轴对称 学习目标:1、根据实例认识轴对称,掌握轴对称图形和关于直线成轴对称这两个概念; 2、能识别轴对称图形,并能找出轴对称图形的对称轴、对应点; 3、培养学生的观察能力、思维能力、操作能力、归纳能力; 学习重点:能识别轴对称图形并找出轴对称图形的对称轴. 学习难点:会找特殊图形的对称轴. 学习方法:操作、归纳、练习 一、自主学习: 阅读课本P58---P59,你认为本节课我们要掌握哪些知识? 1、 2、 3、 4、 二、探究交流: 探究一:轴对称图形 1、思考:仔细观察下列图形,你能发现它们有什么共同特征吗? 2、如果一个图形沿着一条折叠,两旁的部分能够,这图形 就叫做;这条就是它的。 练习: 1、辨析PPT上图形是否为轴对称图形 :2、画出下列图形的对称轴。 探究二:两个图形成轴对称 3、思考:仔细观察下面的每对图形,你能发现它们有什么共同特征吗? 4、把一个图形沿着某一条折叠,如果它能够与,那么就说这图形,这条叫做对称轴,折叠后重合的点是,叫做; 练习: 1、想一想:一辆汽车的车牌在水中的倒影如图所示,你能确定该车车牌的号码吗? 2、玩一玩推理游戏,你敢挑战一下自己吗? 探究三:轴对称图形和两个图形成轴对称的区别和联系 三、巩固反馈: 1、下列图形是轴对称图形的有 (填序号) ①三角形 ②线段 ③角 ④等腰三角形 ⑤平行四边形 ⑥正方形 ⑦圆 ⑧梯 形 ⑨等腰梯形 ⑩扇形 2、如下图所示,下列图案中,是轴对称图形的是( ) A.(1)(2)(3)(6) B.(1)(3)(5)(6) C.(1)(3)(6) D.(1)(3)(4)(6) 4、关于对称轴,下列说法正确的是( )。 A 、圆的直径是对称轴; B 、角的平分线是对称轴; C 、角的平分线所在的直线是对称轴; D 、长方形有四条对称轴。 5、轴对称图形的对称轴的条数有( )。 A 、1条 B 、2条 C 、3条 D 、至少1条 6、下列图形中对称轴最多的是( ) A 、圆 B 、正方形 C 、长方形 D 、线段 初中数学方程与不等式之不等式与不等式组分类汇编及答案 一、选择题 1.若关于x 的不等式组21x x a ? >-?无解,则a 的取值范围是( ) A .3a ≤- B .3a <- C .3a > D .3a ≥ 【答案】D 【解析】 【分析】 利用不等式组取解集的方法:大大小小找不到即可得到a 的范围. 【详解】 ∵关于x 的不等式组21x x a ? >-? 无解, ∴a-1≥2, ∴a ≥3. 故选:D. 【点睛】 考查了一元一次不等式组:解一元一次不等式组时,一般先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分,利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.解集的规律:同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到. 2.若x 2+在实数范围内有意义,则x 的取值范围在数轴上表示正确的是( ) A . B . C . D . 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式有意义的条件:被开方数为非负数可得x+2≥0,再解不等式即可. 【详解】 2x + ∴被开方数x+2为非负数, ∴x+2≥0, 解得:x≥-2. 故答案选D. 【点睛】 本题考查了二次根式有意义的条件,解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件. 3.若关于x 的不等式6234 x x a x x +<+???+>??有且只有三个整数解,则实数a 的取值范围是( ) A .15<a ≤18 B .5<a ≤6 C .15≤a <18 D .15≤a ≤18 【答案】A 【解析】 【分析】 解不等式组,由有且只有三个整数解确定出a 的范围即可. 【详解】 解不等式组得:23x a x >???? ,即2<x <3a , 由不等式组有且只有三个整数解,得到整数解为3,4,5, ∴5<3 a ≤6, 解得:15<a≤18, 故选:A . 【点睛】 此题考查了一元一次不等式组的整数解,熟练掌握解不等式组的方法是解本题的关键. 4.从4-,1-,0,2,5,8这六个数中,随机抽一个数,记为a ,若数a 使关于x 的不等式组0331016x a x -???+≥? 无解,且关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解,则符合条件的a 的值的个数是( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 【答案】C 【解析】 【分析】 由不等式组无解确定出a 的一个取值范围、由分式方程其解为非负数确定a 的一个取值范围,综上可确定a 的最终取值范围,根据其取值范围即可判定出满足题意的值. 【详解】 解:0331016x a x -???+≥?①② 解①得,x a < 解②得,2x ≥ ∵不等式组无解 第 周第 课时 授课时间:20 年 月 日(星期 ) 课题: §3.4 2 a b + 第1课时 授课类型:新授课 【学习目标】 1.知识与技能:学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等; 2.过程与方法:通过实例探究抽象基本不等式; 3.情态与价值:通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣 【能力培养】 培养学生严谨、规范的学习能力,辩证地分析问题的能力,学以致用的能力,分析问题、解决问题的能力。 【教学重点】 2 a b +≤的证明过程; 【教学难点】 2 a b +≤等号成立条件 【板书设计】 【教学过程】 1.课题导入 2 a b +≤的几何背景: 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据 中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风 车,代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不 等关系吗? 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关 系。 2.讲授新课 1.问题探究——探究图形中的不等关系。 将图中的“风车”抽象成如图,在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角 形的两条直角边长为a,b 。这样,4个直角三角形的面积的和是2ab ,正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积,我们就得到了一个不等式:222a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b 时,正方形EFGH 缩为一个点,这时有222a b ab +=。 2.总结结论:一般的,如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 结论的得出尽量发挥学生自主能动性,让学生总结,教师适时点拨引导。 3.思考证明:你能给出它的证明吗? 证明:因为 2 22)(2b a ab b a -=-+ 当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时 所以,0)(2≥-b a ,即.2)(22ab b a ≥+初中数学八年级《轴对称》优秀教学设计
初中数学方程与不等式之不等式与不等式组分类汇编及答案
基本不等式教案第一课时
二次函数与方程和不等式练习题