《理论力学》第三章 力系的平衡习题解
C
R
B
第三章 力系的平衡习题解
[习题3－1] 三铰拱受铅直力F 作用，如拱的重量不计，求A 、B 处支座反力。 [解]:
（1）画受力图如图所示。 （2）因为BC 平衡，所以
①
0=∑ix
F
0sin 45cos 0=-αB C R R
10
14492sin 2
2
=
+=
l
l l α
10
34
4923cos 2
2
=
+=l
l l α
??=
=B B C R R R 5
1sin 2α
②
0=∑iy
F
0cos 45sin 0=-+P B C F R R α
P B C F R R =+10321 P B B
F R R =+
10
32
15
1
P P B F F R 79.04
10
==
P P C F F R 35.079.05
1=?=
（3）由AC 的平衡可知：P P C A F F R R 35.079.05
1'
=?=
=
B
F
F
T
B
R [习题3－2] 弧形闸门自重W ＝150ｋＮ，试求提起闸门所需的拉力F 和铰支座处的反力。
解：
0)(=∑i A
F M
06860sin 260cos 00=?+?-?-W F F
061508866.0=?+?--F F 900928.7=F
)(522.113kN F =
0=∑ix
F
060cos 0=-Ax R F
)(761.565.0522.113kN R Ax =?= （←）
0=∑iy
F
060sin 0=-+W R F Ay
)(690.51866.0522.11315060sin 0kN F W R Ax =?-=-= （↑）
)(77.7669.51761.5622kN R A =+=
0323.42761
.5669
.51arctan
==θ
[习题3－3] 已知F ＝10ｋＮ，杆AC 、BC 及滑轮重均不计，试用作图法求杆AC 、BC 对轮的约束力。
G
N 2
W 12
N 0
600
30
W
解： 作力三角形图如图所示。 )(142.14102kN R B =?=
，0=A R
[习题3－4] 直径相等的两均质混凝土圆柱放在斜面与之间，柱重kN W W 4021==。设圆柱与斜面接触处是光滑的，试用作图法求圆柱对斜面D 、E 、G 处的压力。
解：（1）以上柱为研究对象，其受力图与力三角形图如图所示。由力三角形图上读得：
)(20405.02
1
2kN W N G =?==，方向如图所示。
)(64.34866.04030cos 0
212kN W N =?==
（2）以下柱为研究对象，其受力图与力多边形如图所示。
)(28.6964.34866.04030cos 1202kN N W N D =+?=+=
[习题3－5] 图示一履带式起重机，起吊重量W ＝100ｋＮ，在图示位置平衡。如不计吊臂AB
自重及滑轮半径和摩擦，求吊臂AB 及缆绳AC 所受的力。
解：以轮A 为研究对象，其受力图如图所示。由轮A 的平衡条件可得：
0=∑ix
F
020cos 30cos 45cos 000=--AC AB T W R
6.869397.07071.0=-AC AB T R (1)
0=∑iy
F
020sin 30sin 45sin 000=---W T W R AC AB
150342.07071.0=-AC AB T R (2)
(2)-(1)得：
4.635977.0=AC T )(073.106kN T AC =
)(438.2637071
.0073
.1069397.06.867071.09397.06.86kN T R AC AB =?+=+=
[习题3－6] 压路机碾子重W ＝20ｋＮ，半径R ＝400ｍｍ，若用水平力F 拉碾子越过高ｈ＝80ｍｍ的石坎，问F 应多大?若要使F 为最小，力F 与水平线的夹角α应为多大?此时F 等于多少?
N
解：碾子走越过石坎时，22)()(h R R W h R F --=-
)(1520320
3204002
2kN F =?-=
当F 倾斜时，
2222)()(sin )(cos h R R W h R R F h R F --=--?+-?αα
4800sin 240cos 320=+ααF F 60sin 3cos 4=+ααF F α
αsin 3cos 460
+=
F
令
0)sin 3cos 4()
cos 3sin 4(6002
=++--=αααααd dF ，得： ααcos 3sin 4= 75.0tan =α
03775.0arctan ==α，此时， )(1237
sin 337cos 460
0min kN F =+=
[习题3－7] 长２l 的杆AB ，重Ｗ，搁置在宽α的槽内。A 、D 接触处都是光滑的，试求平衡时杆AB 与水平线所成的角α。设a l >。
解：以AB 杆为研究对象，其受力图如图所示。
0)(=∑i A
F M
0cos cos =?-?ααl W a N D
α2cos W a
l
N D =
0=∑ix F
0sin =-αD Ax N N
αααsin cos sin 2W a
l
N N D Ax ==
0=∑iy
F
0cos =-+W N N D Ay α
)cos 1(cos cos 33αααa
l
W W a l W N W N D Ay
-=-=-=
实际上，AB 杆在A 处所受到的约束是光滑面接触约束，约束反力的方向沿着接触面的公法线方向，即水平方向，指向AB 杆，故
0)cos 1(3=-=αa l
W N Ay
l
a
=α3cos
3
1
)arccos(a
l
=α
[习题3－8] 图示结构上作用一水平力F ，试求A 、C 、E 三处的支座反力。
解：
)
(
c
B
)
(a )
(b
（a ） 图：
0=∑iy
F
0cos cos =+-θθB A R R B A R R =
0=∑ix
F
0sin sin =+--F R R B A θθ F a a a F F
R R B A 5)2(sin 2
2=+==
+θ
F R A 52=
B A R F R ==
2
5
（b ）图：
0=∑ix
F
0sin sin '
=+-θθB D R R F R R R B B D 2
5'
=
== 0=∑iy
F
0cos cos '
=--θθB D C R R R
B
F a
a F R R D C 252252cos 2=??
==θ （c ）图：由作用与反作用公理及（C ）图的平衡条件可知：F R R C E 2==。
[习题3－9] AB 、AC 、AD 三连杆支承一重物如图所示。已知W ＝10ｋＮ，AB ＝４ｍ，AC ＝３ｍ，且ABEC 在同一水平面内，试求三连杆所受的力。
解：以结点A 为研究对象，其受力图如图所示。由结点A 平衡条件可知：
0=∑iz
F
030cos 0
=-W N AD
)(547.11866.0/1030cos /0kN W N AD ===
0=∑ix
F
0cos 30sin 0=-AC AD N N θ
)(464.35
3
5.0547.11cos 30sin 0kN N N AD AC =?
?==θ 0=∑iy
F
0sin 30sin 0=-AB AD N N θ
)(619.35
4
5.0547.11sin 30sin 0kN N N AD AB =?
?==θ [习题3－10] 立柱AB 用三根绳索固定，已知一根绳索在铅直平面ABE 内，其张力F T ＝100ｋＮ，立柱自重W ＝20ｋＮ，求另外两根绳索AC 、AD 的张力及立柱在B 处受到的约束力。
解：以结点A 为研究对象，其受力图如图所示。 由定滑轮的性质可知，kN F T T AE 100==
由结点A 的平衡条件可知， ①
0)(=∑i CD
F M
0430cos 330sin 30
=?+?+?-T T A F F R
04.3461503=++-A R )(47.165kN R A =
②
0=∑ix
F
02234
2322334332
222
2=??-?
+++?
AD AC T T AD AC T T =
0=∑iz
F
02134
454344=?-?-?-?
-T AD AE AC A F T T T R 05034
48034
447.165=-?--?
-AD AC T T
47.3534
434
4=?
+?AD AC T T
7.51=+AD AC T T
EA
T 7.512=AC T
AD AC T kN T ==)(85.25
以主柱AB 为研究对象，其受力图如图所示。
=∑0iz
F
)(47.18547.16520'
kN R W R A B =+=+=
[习题3－11] 连杆AB 、AC 、AD 铰接如图。杆AB 水平。绳AEG 上悬挂重物W ＝10ｋＮ。 图示位置，系统保持平衡，求G 处绳的张力
F T 及AB 、AC 、AD 三杆的约束力。ｘｙ平面为水平面。
解：以结点E 为研究对象，其受力图如图所示。
0=∑iy
F
030sin 0=-W T EA
)(201022kN W T EA =?==
0=∑ix
F
030cos 0=-T EA F T
)(32.17866.02030cos 0kN T F EA T =?==
0=∑iz
F
030sin 60sin 45sin 60sin 45sin 00000=-+AE AD AC N N N
021********=?-??+??
AE AD AC N N N 02
1
26=?-?
AE AC N N 06=-AE AC N N
)(16.86/206/kN N N AE AC ===
0=∑iy
F
045cos 45cos 00=-AD AC N N
)(16.8kN N N AC AD ==
0=∑ix
F
030cos 60cos 45sin 60cos 45sin 00000=-++AB AE AD AC N N N N
02322=-?+?
AB AE AC N N N 02
32022=-?+?
AB AC N N 032.17707.0=-+AB AC N N
)(1.2332.1716.8707.032.17707.0kN N N AC AB =+?=+=
R Oy
[习题3－12] 水平圆轮的直径AD 上作用着垂直于直径AD 、大小均为100Ｎ的四个力，该四力与作用于E 、H 的力F 、F ′成平衡，已知F ＝－F ′，求F 与′的大小。 解：
∑=0M
04.01002.010030cos 4.00=?-?-?F )(173)866.04.0/(60N F =?= N F F 173'==
[习题3－13] 滑道摇杆机构受两力偶作用，在图示位置平衡。已知OO 1＝OA ＝０.２ｍ，M 1＝200Ｎ·ｍ，求另一力偶矩M 2及O 、O 1两处的约束力（摩擦不计）。
解：以OA 为研究对象，其受力图如图所示。
0)(=∑i A F M
030cos 2.01.010
00=-?-?M R R y x
02001732.01.000=--y x R R 2000732.100=-y x R R (1)
以O 1A 为研究对象，其受力图如图所示。
)(346.0230cos 2.001m A O =?= )(173.060cos 346.001m B O == )(3.060sin 346.00m AB ==
'
Ax
)
(=
∑i A F
M
173
.0
3.0
2
01
1
=
+
?
-
?M
R
R
y
x
173
.0
3.0
2
01
1
=
+
-M
R
R
y
x
(2)
以整体为研究对象，其受力图如图所示。
=
∑ix F
1
=
+
Ox
x
O
R
R (3)
=
∑iy F
1
=
+
Oy
y
O
R
R (4)
)
(
1
=
∑i
O
F
M
200
2.0
2
=
+
-
?
-M
R
Ox
200
2.0
2
+
=
Ox
R
M (5)
（1）~（5）联立，解得：
=
y
R
1
=
y
O
R
2000
=
x
R（N）
2000
1
-
=
x
O
R（N）
600
200
2000
2.0
200
2.0
2
=
+
?
=
+
=
Ox
R
M(Ｎ·ｍ)
[习题3－14] 一力与一力偶的作用位置如图所示。已知F＝200Ｎ，Ｍ＝100Ｎ·ｍ，在C点加一个力使F与M成平衡，求该力及ｘ的值。
1
D Bx
M 解：根据力偶只能由力偶平衡的性质， 必须在C 点力上一个力F ，与原力F 构 成一力偶。所加上的力的大小为F=200N ， 方向如图所示。设力偶臂为d,则：
M Fd =
)(5.0200/100/m F M d ===
)(732.030cot )30
cos 5.01(0
m x =-
= [习题3－15] 杆件AB 固定在物体D 上，二板钳水平地夹住AB ，并受铅直力F
、F ′作用。设
F ＝F ′＝200Ｎ，试求D 对杆AB 的约束力。重量不计。
解：用力的平移定理，把F 与F ′平移至AB 杆上。以AB 杆为研究对象，其受力图如图所示。)(2412.0200'
m N M M ?=?==
0)(=∑i x
F M
0'
=--M M M Bx
)(482422m N M M Bx ?=?==
0)(=∑i y
F M
018.0200=?+-By M
)(3618.0200m N M By ?=?=
约束力偶矩的大小：)(603648222
2m N M M M By Bx B ?=+=+=
约束力偶矩矢的方向：087.3648
36
arctan
arctan
-=-==Bx
By M M θ（在第四象限） [习题3－16] 起重机如图所示。已知AD ＝DB ＝１ｍ，CD ＝1.5ｍ，CM ＝１ｍ；机身与平衡锤E 共重kN W 1001=，重力作用线在平面，到机身轴线的距离为0.5ｍ；起重量
kN W 302=。求当平面LMN 平行于AB 时，车轮对轨道的压力。
解：因为起重机平衡，所以：
0)(=∑i AB
F M
05.05.05.121=?+?+?-W W N C
)(333.435.1/)5.0305.0100(kN N C =?+?=
0)(=∑i CD
F M
045.01121=?-?+?-?W W N N A B 70=-A B N N (1)
0=∑iz
F
021=--++W W N N N C B A
030100333.43=--++B A N N
B
N C
N A N
Ax
R Ay
R Az
R Bx
R Bz
R W
T
F 667.86=+B A N N (2)
(1)+(2)得：
667.1562=A N )(334.78kN N A =
)(333.8334.78667.86667.86kN N N A B =-=-=
[习题3－17] 有一均质等厚的板，重200Ｎ，铰A 用球铰，另一铰B 用铰链与墙壁相连，再用一索EC 维持于水平位置。若∠ECA ＝∠BAC ＝３０°，试求索内的拉力及A 、B 两处的反力（注意：铰链B 沿y 方向无约束力）。 解：由板的平衡条件可知：
0)(=∑i AC
F M
0=?AB R BZ 0=BZ R
0)(=∑i z
F M
0=?-AB R Bx 0=Bx R
0)(=∑i x
F M
02
30sin 0=?
-?AB
W AB F T )(200N W F T ==
0=∑ix
F
030sin 30cos 00=-T Ax F R
)(6.865.0866.0200N R Ax =??=
0=∑iy
F
030cos 30cos 00=-T Ay F R
)(150)2
3(
2002
N R Ay =?= 0=∑iz
F
030cos 30cos 00=-T Az F R
)(150)2
3(
2002
N R Ay =?= 030sin 0=-+W F R T Az W F R T Az +-=030sin
)(1002005.0200N R Az =+?-=
[习题3－18] 手摇钻由支点B 、钻头A 和一个弯曲手柄组成。当在B 处施力B F 并在手柄上加力F 时，手柄恰可以带动钻头绕AB 转动（支点B 不动）。已知：B F 的铅直分量Bz F ＝50Ｎ，
F ＝150Ｎ。求：（１）材料阻抗力偶Ｍ为多大?（２）材料对钻头作用的力Ax F 、Ay F 、Az
F 为多大?（３）力B F 在ｘ、ｙ方向的分力Bx F 、By F 为多大?
解：
0)(=∑i x
F M
04.0=?-By F
0=By F
0)(=∑i y
F M
02.04.0=?+?F F Bx
)(754.0/2.0150N F Bx -=?-=
0)(=∑i z
F M
015.0=?-F M
)(5.2215.0150m N M ?=?=
0=∑ix
F
0=++Bx Ax F F F
)(75)75(150N F F F Bx Ax -=---=--=
0=∑iy
F
0=+Ay By F F 0=-=By Ay F F
0=∑iz
F
0=-Bz Az F F )(50N F F Bz Az ==
[习题3－19] 矩形板固定在一柱子上，柱子下端固定。板上作用两集中力1F
、2F 和集度为q 的分布力。已知1F ＝2ｋＮ，2F ＝4ｋＮ，ｑ＝400Ｎ／ｍ。求固定端Ｏ的约束力。
解：
0=∑ix
F
0sin 60cos 0
1=+θF R Ox
)(6.05
3
5.02sin 60cos 01kN F R Ox -=?
?-=-=θ
0=∑iy
F
0cos 60cos 0
1=-θF R Oy
Az
R Ay
R Ax
R Bz
R Bz
R E
T )(8.05
4
5.02cos 60cos 01kN F R Ox =?
?==θ 0=∑iz
F
0660sin 20
1=?---q F F R Oz
)(132.864.04866.02660sin 201kN q F F R Oz =?++?=?++=
0)(=∑i x
F M
04866.02464.0=??+??-x M
)(672.24866.02464.0m kN M x ?=??-??=
0)(=∑i y
F M
03866.02=??+y M
)(196.53866.02m kN M y ?-=??-=
0)(=∑i z
F M
0=z M
[习题3－20] 板ABCD 的A 角用球铰支承， B 角用铰链与墙相连（ｘ向无约束力），CD 中点E 系一绳，使板在水平位置成平衡，GE 平行于ｚ轴。已知板重1F ＝8ｋＮ，2F ＝2ｋＮ，试求A 、B 两处的约束力及绳子的张力。图中长度单位为m 。 解：
0)(=∑i x
F M
012421=?-?-?F F T E
)(5.44/)1228(kN T E =?+?=
0)(=∑i y
F M
05.221815.42=?-?-?+?Bz R )(25.42/)585.4(kN R Bz =++-=
0)(=∑i z
F M
02=?By R
By
R Bz
R Bx R Ay
R A T W
D
0=By R
0=∑ix
F
0=Ax R
0=∑iy
F
0=+By Ay R R 0=-=By Ay R R
0=∑iz
F
021=--++F F T R R E Bz Az
)(25.1285.425.421kN F F T R R E Bz Az =++--=++--=
[习题3－21] 均质杆AB ，重W ，长l ，A 端靠在光滑墙面上并用一绳AC 系住，AC 平行于ｘ轴， B 端用球铰连于水平面上。求杆A 、B 两端所受的力。图中长度单位为m 。 解：
0=∑iz
F
0=-W R Bz W R Bz =
0)(=∑i x
F M
060sin 60sin 60cos 2
60sin 60cos 00000=--?l R l
W
l R Ay Bz W W W W R R Bz Ay 25.025.05.025.05.0=-=-=
0=∑iy
F
0=+Ay By R R W R R Ay By 25.0-=-=
0)(=∑i AD
F M
060sin 60cos 60cos 60cos 0000=-l R l R Bx By
第三章 平面一般力系
第三章平面一般力系 教学目的及要求 1．掌握平面任意力系向一点简化的方法，会应用解析法求主矢和主矩，熟知平面任意力系简化的结果。 2．深入理解平面力系的平衡条件及平衡方程的三种形式。 3．能熟练地计算在平面任意力系作用下物体和物体系统的平衡问题。 4．正确理解静定与静不定的概念，会判断物体系统是否静定。 5．理解简单桁架的简化假设，掌握计算其杆件内力的节点法和截面法及其综合作用。 §3-1 平面一般力系向作用面内一点简化 教学重点：1.平面一般力系如何向作用面内一点简化 2. 主矢与主矩的概念 教学难点：对力的平移定理的理解和应用 教学内容： 首先对什么是平面一般力系进行分析。对于平面一般力系如何向其作用面内一点简化，从而引出力的平移定理。 1．力的平移定理 作用在刚体上的力可以向任意点平移，但必须附加一力偶，附加力偶的力偶矩等于原来的力对平移点（新作用点）的矩，它是一般力系向上点简化的依据。2．基本概念 1) 合力矢：汇交力系一般地合成为一合力，合力的作用线通过汇交点，合力矢等于力系的主矢。 2）主矢：平面力系各力的矢量和，即 3．应用力的的平移定理将平面一般力系向作用面内一点简化 用图形来进行讲解力系向一点简化的方法和结果。最终平面一般力系向一点简化可以得到两个简单的力系：平面汇交力系和平面力偶系。应用前两章学过的内容，这两个简单的力系还可以进一步简化成一个主矢和对简化中心的主矩。 结论：平面一般力系向作用面内任选一点O简化，可得到一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O，这个力偶的矩等于该力
系对于点O的主矩。 注意：主矢与简化中心无关；而主矩与简化中心有关，必须指明对于哪一点的主矩。 4．固定端约束 它是平面一般力系向作用面内一点简化的一个典型应用。可以将固定端支座的约束反力向作用平面内点A简化得到一个力和一力偶，这个力用两个未知分力来代替。 它限制了物体在平面内的转动，所以比铰支座多了一个给反力偶。 §3-2 平面一般力系简化结果与分析 教学重点：平面一般力系向作用面内一点简化的结果 教学难点：将一个力系向指定点简化的具体应用。 教学内容： 1．平面力系的简化步骤如下： 1)选取简化中心O：题目指定点或自选点（一般选在多个力交点上） 2) 建立直角坐标系Oxy 3) 求主矢 4) 求主矩：逆正顺负，画在图中 5) 简化结果讨论 2．平面力系的简化结果 一个力系的主矢与简化中心的选取无关；一般情况下，主矩与简化中心的选取有关。 平面一般力系向作用面内一点简化结果，有四种情况： 1) 简化为一个力偶的情形： 力系的主矢等于零，而力系对于简化中心的主矩不等于零。即： F R′=0，M o≠0 2) 简化为一合力的情形 力系向点O简化的结果为主矩等于零，主矢不等于零。即： F R′≠0，M o=0 3)若F R′≠0，M o≠0 平面力系与一力偶等效，此力偶为平面力系的合力偶，其力偶矩用主矩M o 度量，这时主矩与简化中心的选择无关。 原力系合成为作用点为O′的力F R，合力作用线在点O的哪一侧，由主矢和
平面一般力系的平衡 作业及答案
平面一般力系的平衡 一、 判断题： 1.下图是由平面汇交力系作出的力四边形，这四个力构成力多边形封闭，该力系一定平衡。（ ） 图 1 2.图示三个不为零的力交于一点，则力系一定平衡。（ ） 图 2 3.如图3所示圆轮在力F和矩为m的力偶作用下保持平衡，说明力可与一个力偶平衡。（ ） 4.图4所示力偶在x轴上的投影ΣX=0，如将x轴任转一角度 轴，那么Σ =0。（ ） 图 3 图 4
5.如图5所示力偶对a的力矩Ma（F，F＇）=F·d，如将a任意移到b，则力矩Mb（F，F＇）将发生变化。（ ） 图 5 图 6 6.图6所示物体的A、B、C、D四点各有一力作用，四个力作出的力多边形闭合，则此物体处于平衡状态。（ ） 7.如果两个力偶的力偶矩大小相等，则此两个力偶等效。（ ） 8.图示构件A点受一点力作用，若将此力平移到B点，试判断其作用效果是否相同（ ） 图 7 图 8 9.图8所示梁，若求支反力 时，用平面一般力系的平衡方程不能全部求出。 （ ） 10.图9所示物体接触面间静摩擦系数是f，要使物体向右滑动。试判断哪种施力方法省力。（ ） 图 9 图 10 11.力在坐标轴上的投影和该力在该轴上分力是相同的。（ ）
12.如果将图10所示力F由A点等效地平移到B点，其附加力矩M ＝Fa （ ）。 13.平面任意力系，其独立的二力矩式平衡方程为 ∑Fx＝0， ∑M A ＝0， ∑M B＝0，但要求矩心A、B的连线不能与x轴垂直。（ ） 二、选择题 1.同一个力在两个互相平行的同向坐标轴上的投影（ ）。 A.大小相等，符号不同 B.大小不等，符号不同 C.大小相等，符号相同 D.大小不等，符号相同 2.图11所示圆轮由O点支承，在重力P和力偶矩m作用下处于平衡。这说明（ ）。 图 11 A． 支反力R0与P平衡 B． m与P平衡 C． m简化为力与P平衡 D． R0与P组成力偶，其m（R0，P）=-P·r与m平衡 3. 图12所示三铰刚架，在D角处受一力偶矩为m的力偶作用， 如将该力力偶移到E角出，支座A、B的支反力 （ ）。 图12 A．A、B处都变化 B．A、B处都不变 C．A处变，B处不变
3-第三章力系的简化和平衡解读
第三章 力系的简化和平衡 引言 力系分为：空间一般力系（空间汇交系、空间平行力系）和平面一般力系（平面汇交力系、平面平行力系）。 研究物体受力情况→作用在物体上的一组复杂力系→简化及合成→平衡条件研究。 §3.1 力线平移定理 力线的平移定理：作用在刚体上O 点的力F 可平移到任意O '点，但必须附加上一个相应的力偶(称附加力偶)，这个附加力偶矩失等于原来的力F 对新作用点O '和矩。且 ()d F F M M O ?==' (d 是力偶臂) 力线平移定理不仅是力系简化的依据，也是分析力所物体效应的一个重要方法。注：力线平移定理只能适应于静定刚体 证明：如F 图所示 a. 力F 作用于刚体上O 点； b. 在刚上'O 处加上一对平衡力(F F ''',)，且F F F ''-='=。根据加减平衡力系原理：（F F F ''',,）中（F F '',）等值反向不共线，是一对力偶, 这个力偶称为附加力偶。附加力偶距失()F M d F M O '=?= b a
§3.2 力系的简化、主矢与主矩 一、力系的简化 在工程中，最常见的力系是不同一平面内，不完全相交，也不完全平行的空间的一般力系。在对作用于物体的力系的研究过程当中，首先将力系向任意一点进行简化。 如图所示：空间力系(1F ,2F ,…n F )，O 点为任取的简化中心 1) 根据力线平移定理，将力系中各力1F ,2F ,…m F 平移到O 点→作用于O 点的空间汇力系(1'F ,2'F ,…n F ')及附加力偶系(1M ,2M ,…n M ) 11'F F =，22'F F =,… n n F F '= ()11F M M O = ()22F M M O = … ()n O n F M M = 2) 将以上两个力系分别合成 F F F F F F F R n n ∑=+++=+++=' 2121 n O M M M M +++= 21 ()()()()i O n O O O F M F M F M F M ∑=+++= 21 R ':原力系主矢，是空间一般力系中各力的矢量和，与简化中心无关。 O M :原力系的主矩，空间力系中各力对简化中心O 点的矩的矢量和。O M 与简化 中心有关。 总结： y M y ) M O
初中物理《二力平衡》教学设计合集.doc
义务教育课程标准实验教科书九年级物理 第十二章第六节 《二力平衡》教学设计
《二力平衡》教学设计 【学习主题】二力平衡 【学习时间】1课时 【课程标准】知道二力平衡的条件 【内容分析】本节课是人民教育出版社出版的《义务教育课程标准实验教科书物理·九年级》第十二章第六节的学习内容。本节教材分为力的平衡的概念、二力平衡的条件和它的应用三部分。本节教材在知识体系中的地位和作用十分重要。首先，本章前两节已学习了惯性定律和惯性现象，为学习二力平衡做了充分的知识准备。其次，本节知识的学习和应用，为后面学习摩擦力和浮力等知识奠定了知识基础，也做好了思路和方法上的准备。再次，通过实验，使学生的观察、分析、综合、归纳和演绎能力得到进一步加强，为今后研究问题奠定了能力基础。因此，本节知识是联系新旧知识的纽带，在力学中起着承上启下的作用，是解决力学问题的理论基础。 【学情分析】学生对受力分析还不够全面，对物体受到力的理解也还不够准确，在学习过程中，在这方面要注意正确的引导。 【学习目标】1、通过分析具体事例，知道力的平衡的概念； 2、通过学生实验探究，知道二力平衡的条件； 3、结合二力平衡的条件，根据物体的运动状态判断受力情况或根据受力情况判断物体的运动状态； 4、通过探究二力平衡的条件，培养学生观察和实验的能力； 5、通过对二力平衡的条件的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力； 6、通过对比“二力平衡”和“相互作用力”，加深对二力平衡条件的理解。 【评价设计】（1）.通过问题1、2、3、4检测目标1的达成。 (2).通过问题5、6、7、8、11检测目标2的达成。 （3）.通过问题9、10检测目标4的达成。 （4）.通过问题12、13、14、15检测目标3的达成。 （5）.通过问题12、13、14、15检测目标5的达成。
《理论力学》第三章 力系的平衡习题解
《理论力学》第三章力系的平衡习题解
C 45α α O R C R P F 2 l B l C A A R 'C R 第三章 力系的平衡习题解 [习题3－1] 三铰拱受铅直力F 作用，如拱的重量不计，求A 、B 处支座反力。 [解]: （1）画受力图如图所示。 （2）因为BC 平衡，所以 ①0 =∑ix F sin 45cos 0=-αB C R R 10 14492sin 2 2 = += l l l α 10 34 4923cos 2 2 = +=l l l α ? ?= =B B C R R R 5 1sin 2α ②0 =∑iy F cos 45sin 0=-+P B C F R R α P B C F R R =+10321 P B B F R R =+ 10 32 15 1
F W A R θ A B C O P P B F F R 79.04 10 == P P C F F R 35.079.05 1=?= （3）由AC 的平衡可知：P P C A F F R R 35.079.05 1'=?= = [习题3－2] 弧形闸门自重W ＝150ｋＮ，试求提起闸门所需的拉力F 和铰支座处的反力。 解： )(=∑i A F M 6860sin 260cos 00=?+?-?-W F F 061508866.0=?+?--F F 900 928.7=F ) (522.113kN F =
F B R T A R C F T B R 0 =∑ix F 60cos 0=-Ax R F ) (761.565.0522.113kN R Ax =?= （←） =∑iy F 60sin 0=-+W R F Ay ) (690.51866.0522.11315060sin 0kN F W R Ax =?-=-= （↑） ) (77.7669.51761.5622kN R A =+= 323.42761 .5669 .51arctan ==θ [习题3－3] 已知F ＝10ｋＮ，杆AC 、BC 及滑轮重均不计，试用作图法求杆AC 、BC 对轮的约束力。
初中八年级物理二力平衡
10.2二力平衡 基础知识训练 1．文具盒放在水平桌面上，它所受重力为G ，对桌面压力为 F ，桌面对文具盒支持力 为N ，则上述的几个力中，互相平衡的两个力是 ． （题型一）2．在研究滑动摩擦力时，是用弹簧测力计拉着木块在水平桌面上做______运动，弹簧 测力计的示数表示 ______力的大小．根据____ __的条件可知，这时弹簧测力计的示 数与______的大小相等，因此可间接地知道滑动摩擦力的大小． （题型二） 3．某工地的起重机要吊装一个工件，该工件重1200N ．当起重机以2m/s 匀速吊着工件上升时，起重机的钢绳受到的拉力为N ；当起重机以5m/s 速度匀速吊着工件下降时， 钢绳受到的拉力为 N ，拉力的方向为 ；当起重机吊着工件以4m/s 的速 度沿水平方向做直线运动，工件受到的拉力为． （题型二）4．天花板上吊一盏灯，吊线的重力忽略不计，下列各对力中属于平衡力的是( ) （题型一） A ．天花板对吊线的拉力和吊线对天花板的拉力 B ．灯对吊线的拉力和吊线对灯的拉力 C ．天花板对吊线的拉力和吊线对灯的拉力 D ．灯受到的重力和吊线对灯的拉力 5．如图10-13所示，放在水平桌面上的物体的质量为5kg ，用10N 的水平拉力使物体 向右做匀速直线运动，下面的说法哪种正确： （） （题型二） A ．物体受到向左49N 的摩擦力 B ．物体受到向左10N 的摩擦力 C ．物体受到向右 10N 的摩擦力 D ．物体受到的摩擦力等于零 6．一跳伞运动员的质量为65kg ，降落伞的质量为5kg 。运动员在空中张开伞匀速竖直 下降，在此过程中人和伞受到空气阻力的大小为 （取g=10N/kg ）（） （题型二） A ．650N B ．65N C ．700N D ．70N 7．如图10-14所示，用F=150N 的水平力把重50N 的物体压在竖直墙壁上，当物体静止时受到摩擦力的大小为 （ ）（题型二） A ．0N B ．50N C ．150N D ．200N 8．一同学用水平力推停放在水平地面上的汽车，没能推动。此时（）（题型二） 图10-13 F 图10-14
ll第三章 平面力系教学提纲
第三章 平面力系 一、填空题 1．力F 作用线向O 点平移时，为不改变它对刚体的作用效果，这时应该 附加一力偶，该力偶的矩等于力F 对O 点的矩。 2．平面任意力系向其作用平面内不同两点简化，所得主矢的关系是相同，所得主矩的关系是力系对新简化中心的主矩等于原力系对原简化中心的主矩加上作用于原简化中心的主矢对新简化中心的矩。 3．平面任意力系平衡方程的二矩式应满足的附加条件是两矩心的连线不垂直于投影轴。 二、选择题 1．一平面任意力系向点A 简化后，得到如图3.1所示的主矢和主矩，则该力系的最后合成结果应是（A ） (A ) 作用在点A 左边的一个合力 (B ) 作用在点A 右边的一个合力 (C ) 作用在点A 的一个合力 (D ) 一个合力偶 2．在刚体同一平面内A ，B ，C 三点上分别作用1F ，2F ，3F 三个力，并构成封闭三角形，如图3.2所示，此力系是属于什么情况（C ） (A ) 力系平衡 (B ) 力系简化为合力 (C ) 力系可简化为合力偶 (D ) 无法判断 3．均质杆长为l ，重为W ，在D 处用一绳将杆吊于光滑槽内，则槽壁在A ，B 处对杆产生的反力A F ，B F 有关系（D ） (A ) A B F F > (B ) A B F F < (C ) 0A B F F == (D ) 0A B F F =≠ 三、计算题 1．试求图3.4中力P 对点O 的矩，已知60a cm =，20b cm =，3r cm =，400P N =。 解：（a ）()4000.6240O M Pa N m ==?=?P （b ）o 1 ()sin304000.61202 O M P a N m =-?=-??=-?P 图3.2 图3.1 图 3.3
初中物理《二力平衡》教学案例
《二力平衡》教学案例 （一）教学目的 1．掌握二力平衡的条件． 2．会应用二力平衡的条件解决简单的问题． （二）教具 滑轮、硬纸片、钩码、细绳、剪子． （三）教学过程 一、复习提问 1．牛顿第一定律的内容是什么？ 2．什么叫惯性？物体在什么情况下有惯性？ 二、引入新课 教师：牛顿第一定律告诉我们，物体在不受外力的时候总要保持静止状态或匀速直线运动状态．但是生活中一些物体受到力的作用也能保持静止或匀速直线运动。这是怎么回事呢？ 三、力的平衡 教师：请大家思考，你见过的哪些物体受到力的作用并保持静止状态？（学生思考并回答） 教室内的吊灯受到重力和拉力，吊灯保持静止．放在地上的水桶受重力和地面对它的支持力，水桶静止．课桌受到重力，书本对它向下压的力和地面的支持力，课桌静止． 教师：物体受到力的作用，物体保持匀速直线运动的情况也能见到．一列火车在一段平直的轨道上匀速行驶，火车受重力、支持力、水平向前的牵引力和向后的阻力． 教师：物体在受到几个力作用时，如果物体保持静止或匀速直线运动状态，我们就说这几个力相互平衡． 根据这个观点，我们可以从吊灯的静止状态可知吊灯受到的重力和拉力相互平衡． 教师：请大家按照这样的说法叙述上述各例中的物体的运动状态及它们个自受到的力之间的关系． （学生叙述） 四、二力平衡的条件 教师：二力平衡的情况最简单，我们先研究这种情况． 教师演示课本图9&0;6所示实验并讲解这个木块受两个拉力． 当两个拉力大小不等时，木块不能保持静止．这两个力不能平衡．（演示） 当两个力大小相等，力的方向互成角度时，木块也不能保持静止．这两个力不能平衡． （演示） 当两个力大小相等、方向相反，互相平行时，木块也不能保持静止．这两个力不能平衡． （演示） 教师提问：要使木块静止，这两个力应该满足哪些条件？
理论力学 陈立群 第3章 平衡问题 解答
第三章平衡问题：矢量方法习题解答 3-1讨论图示各平衡问题是静定的还是静不定的，若是静不定的试确定其静不定的次数。 题3.1图 解：（1）以AB杆为对象，A为固定端约束，约束力有3个。如果DC杆是二力杆，则铰C处有1个约束力，这4个力组成平面一般力系，独立平衡方程有3个，所以是1次静不定；如果DC杆不是二力杆，则铰C和D处各有2个约束力，系统共有7个约束力，AB 杆和DC杆上的约束力各组成平面一般力系，独立平衡方程共有6个，所以，是1次静不定。 （2）AD梁上，固定铰链A处有2个约束力，辊轴铰链B、C和D各有1个约束力，共有5个约束力，这5个约束力组成平面一般力系，可以列出3个独立的平衡方程。所以，AD梁是2次静不定。 （3）曲梁AB两端都是固定端约束，各有3个共6个约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程只有3个。所以是3次静不定。 （4）刚架在A、B和C处都是固定端约束，各有3个共9个约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程只有3个。所以是6次静不定。 （5）平面桁架在A处为固定铰链，B处为辊轴铰链，共有3约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程也有3个，因此，该平面桁架的外力是静定的。 平面桁架由21根杆组成，所以有21个未知轴力，加上3个支座反力，共有24个未知量。21根杆由10个铰链连接，每个铰链受到平面汇交力系作用。若以铰链为研究对象，可以列出2×10=20个平衡方程。所以，此平面桁架的内力是24-20=4次静不定。 （6）整体在A处为固定铰链，B处为辊轴铰链，共有3约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程也有3个，因此，该系统的外力是静定的。 除了3个约束外力外，3根杆的轴力也是未知的，共有6个未知量。AB梁可以列出3个平衡方程，连接3根杆的铰链可以列出2个平衡方程，共有5个方程，所以，该系统的内力是1次静不定。 3-2炼钢炉的送料机由跑车A与可移动的桥B组成，如图示。跑车可沿桥上的轨道运动，两轮间距离为2米，跑车与操作架、手臂OC以及料斗相连，料斗每次装载物料重W=15kN，平臂长OC=5m。设跑车A、操作架和所有附件总重量为P，作用于操作架的轴线。试问P至少应多大才能使料斗在满载时不致翻倒？
初中 二力平衡
平衡力练习2 1“满眼风光多闪烁，看山恰似走来迎，仔细看山，山不动，是船行。”诗中“看山恰似走来迎”和“是船行”所选的参照物（）。 A．分别是船和山B．分别是山和船C．都是船D．都是山 2．游客坐在海边游乐场“跳楼机”的升降台上。当升降台急速降落时，游客感觉沙滩扑面而来，游客所选取的参照物是 A. 沙滩 B.海水 C.自己 D.海边的建筑 3．下列事例中，能减小摩擦的是 A．运动鞋鞋底有花纹B．自行车车轮采用滚动轴承 C．骑自行车刹车时用力捏闸D．在冰冻路面上撒沙子 4画出抛出去的篮球所受重力的示意图画出重6N的均匀木球漂浮时所受力的示意图 5为方便顾客购物，某商场安装了一台高为6 m，长为12 m，的自动扶梯，(1)某顾客站立在扶梯上，从最下端到达最上端用了24 s，求自动扶梯上行的速度；(2)顾客的质量为50 kg，重力？ 6．一本字典放在水平桌面上，下列是平衡力的是（）。 A．桌面对书的支持力与桌子的重力B．书对桌面的压力与桌面对书的支持力 C．书对桌面的压力与桌子的重力D．书的重力与桌面对书的支持力 7．物理知识渗透于我们的生活，以下警示语中，与惯性知识无关的是（）。 A．汽车后窗贴有“保持车距”的标语B．公路旁立有“雨天路滑，减速慢行”的标语C．公共场所标有“禁止吸烟”的标语D．交通规则中写有“行车时系好安全带”的警示语8. 学校升旗仪式中国旗匀速上升，下列哪一对力属于平衡力（） Ａ. 旗对绳子的拉力和旗受到的重力Ｂ. 旗对绳子的拉力和绳子对旗的拉力 Ｃ. 旗受到的重力和旗对地球的引力Ｄ. 旗受到的重力和绳子对旗的拉力 9．小明同学在学习了运动和力的知识后有了以下的认识，其中正确的是 A．如果两个力的大小相等、方向相同，则这两个力的作用效果一定相同 B．推出去的铅球能继续在空中飞行，是由于铅球受到惯性的作用 C．静止在水平课桌上的饮料瓶一定受到平衡力的作用 D．如果运动的物体不受外力作用，它将慢慢停下来
二力平衡初中物理说课教案
二力平衡 说课的内容是北京市课改实验教材初中物理八年级第三章第五节《二力平衡》。平衡既是一种状态，也是一种美，物体的平衡在生活中随处可见。下面，我将从教学分析和教学过程两大方面阐述我的教学设计。 一、教学分析 1．教材分析 （1）教材的地位和作用 力学是初中物理的重点内容，二力平衡又是力学中的重点之一。力的概念和同一直线上的二力合成，为学生学习二力平衡做了充分的知识准备，而二力平衡的学习是学生探究摩擦力、力和运动的关系以及浮力、压强知识的重要基础，更为高中学习多力平衡以及力矩的平衡做铺垫，所以，本节知识是联系新旧知识的纽带，在力学中起着承上启下的作用，是解决力学问题的理论基础。 （2）对教材的处理 北师大版的实验教材，将二力平衡这一节内容安排在第三章《运动和力》的第五节，它的前面是力、力的测量、重力和同一直线的二力合成，后面是摩擦力、力和运动的关系。 ◇关于平衡状态的概念，本教材是直接给出。但是生活经验和直觉告诉学生：静止的物体是平衡，而对于做匀速直线运动的物体也是平衡状态却没有这种认知。为此，在教学过程中，先由学生根据已有经验得出静平衡，通过老师的演示实验，发现受平衡力的物体也可以做匀速直线运动，来完善平衡的概念。 ◇探究二力平衡条件的实验，我根据初二学生的好奇心，将书上的实验装置进行改进，在硬纸板的不同位置打了八个孔，学生用两端带有挂钩的细线，根据自己的意愿任意选择两个受力点，实验操作简单方便，既发展了学生的个性，又增强了实验的全面性。 ◇课本中对于做匀速直线运动的物体这种平衡状态的受力情况没有探究，为了帮助学生能直观理解，我增加了演示实验，学生通过观察匀速提升钩码的实验，会对平衡的概念形成完整的认识。 通过探究和演示实验，学生的观察、分析、归纳和演绎能力得到进一步加强，为今后研究问题奠定了能力基础。 教材分析 教材首先从生活中的静止和匀速运动现象提出了牛顿第一定律所没有解决的问题：物体受外力作用时，也能保持静止或匀速直线运动状态．从而建立了平衡状态、平衡力的概念；并进一步指出最简单的受外力平衡的情况是二力平衡,随后通过实验分析总结出二力平衡的条件．得出二力平衡条件以后，利用同一直线上二力合成的知识得出物体受到的这两个力的合力为零．使学生的认识从理论上提高一步，同时初步建立平衡力的合力为零的印象．再联系具体事例，让学生应用二力平衡条件进行分析，培养学生应用知识解决实际问题的能力．最后教材通过“想想议议”使学生进一步完善“运动和力的关系”的知识体系． 二力平衡的条件是初中物理教学的重点，本节的重点是研究总结物体平衡的规律，规律教学应首先通过观察提出问题，然后通过实验研究问题，再对实验结果概括、总结得出规律．因此做好实验是本节课的重点和关键． 教法建议 1.本节是对牛顿第一定律的进一步深化理解,充分展示其在物理学中的重要作用．所以要从牛顿第一定律中“不受外力”的特殊现象出发，针对已经建立的规律提出质疑，激发学生探索自然规律的兴趣，培养学生勤思勤问的良好品质． 2.平衡条件的得出是本节的重点知识，不能只强调结论，而要加强过程教学．做好二力平衡条件的实验是使学生掌握知识的关键．为了更容易从实验得出平衡条件的二力共线的结论，可采用如图9-3-1所示的实验装置．取一块薄木板在边缘开几个小孔，用细线系住任意两个孔，细线的两端跨过桌边的滑轮悬挂钩码． 3.平衡条件的应用是对教学的检验，要训练学生的口头表达能力．
九、平面一般力系平衡方程的其他形式
第九讲内容 一、平面一般力系平衡方程的其他形式 前面我们通过平面一般力系的平衡条件导出了平面一般力系平衡方程的基本形式，除了这种形式外，还可将平衡方程表示为二力矩形式及三力矩形式。 1．二力矩形式的平衡方程 在力系作用面内任取两点A 、B 及X 轴，如图4－13所示，可以证明平面一般力系的平衡方程可改写成两个力矩方程和一个投影方程的形式，即 ?? ? ?? =∑=∑=∑000B A M M X (4－6) 式中X 轴不与A 、B 两点的连线垂直。 证明：首先将平面一般力系向A 点简化，一般可得到过A 点的一个力和一个力偶。若0A =M 成立，则力系只能简化为通过A 点的合力R 或成平衡状态。如果0B =∑M 又成立，说明R 必通过B 。可见合力R 的作用线必为AB 连线。又因0=∑X 成立，则0X =∑=X R ，即合力R 在X 轴上的投影为零，因AB 连线不垂直X 轴，合力R 亦不垂直于X 轴，由0X =R 可推得 0=R 。可见满足方程（4－6）的平面一般力系，若将其向A 点简化，其主 矩和主矢都等于零，从而力系必为平衡力系。 2．三力矩形式的平衡方程 在力系作用面内任意取三个不在一直线上的点A 、B 、C ，如图4－14所示，则力系的平衡方程可写为三个力矩方程形式，即
?? ? ?? =∑=∑=∑000C B A M M M （4－7） 式中，A 、B 、C 三点不在同一直线上。 同上面讨论一样，若0A =∑M 和0B =∑M 成立，则力系合成结果只能是通过A 、B 两点的一个力（图4－14）或者平衡。如果0C =∑M 也成立，则合力必然通过C 点，而一个力不可能同时通过不在一直线上的三点，除非合力为零，0C =∑M 才能成立。因此，力系必然是平衡力系。 综上所述，平面一般力系共有三种不同形式的平衡方程，即式（4－5）、 式（4－6）、式（4－7），在解题时可以根据具体情况选取某一种形式。无论采用哪种形式，都只能写出三个独立的平衡方程，求解三个未知数。任何第四个方程都不是独立的，但可以利用这个方程来校核计算的结果。 【例4－7】 某屋架如图4－15（a ）所示，设左屋架及盖瓦共重 kN 31=P ，右屋架受到风力及荷载作用，其合力kN 72=P ，2P 与BC 夹角 为?80，试求A 、B 支座的反力。 【解】 取整个屋架为研究对象，画其受力图，并选取坐标轴X 轴和Y 轴，如图4－15（b ）所示，列出三个平衡方程 kN 39.2342.0770cos 0 70cos 02A 2A =?=?==?-=∑P X P X X 30tan 470cos 1270sin 416 0221B A =????+??-?-?=∑P P P Y M
初中八年级物理二力平衡
10.2二力平衡 基础知识训练 1．文具盒放在水平桌面上，它所受重力为G ，对桌面压力为F ，桌面对文具盒支持力为N ，则上述的几个力中，互相平衡的两个力是 ． （题型一） 2．在研究滑动摩擦力时，是用弹簧测力计拉着木块在水平桌面上做______运动，弹簧测力计的示数表示______力的大小．根据____ __的条件可知，这时弹簧测力计的示数与______的大小相等，因此可间接地知道滑动摩擦力的大小． （题型二） 3．某工地的起重机要吊装一个工件，该工件重1200N ．当起重机以2m/s 匀速吊着工件上升时，起重机的钢绳受到的拉力为 N ；当起重机以5m/s 速度匀速吊着工件下降时，钢绳受到的拉力为 N ，拉力的方向为 ；当起重机吊着工件以4m/s 的速度沿水平方向做直线运动，工件受到的拉力为 ． （题型二） 4．天花板上吊一盏灯，吊线的重力忽略不计，下列各对力中属于平衡力的是( )（题型一） A ．天花板对吊线的拉力和吊线对天花板的拉力 B ．灯对吊线的拉力和吊线对灯的拉力 C ．天花板对吊线的拉力和吊线对灯的拉力 D ．灯受到的重力和吊线对灯的拉力 5．如图10-13所示，放在水平桌面上的物体的质量为5kg ，用10N 的水平拉力使物体向右做匀速直线运动，下面的说法哪种正确：（ ） （题型二） A ．物体受到向左49N 的摩擦力 B ．物体受到向左10N 的摩擦力 C ．物体受到向右10N 的摩擦力 D ．物体受到的摩擦力等于零 6．一跳伞运动员的质量为65kg ，降落伞的质量为5kg 。运动员在空中张开伞匀速竖直下降，在此过程中人和伞受到空气阻力的大小为（取g=10N/kg ）（ ） （题型二） A ．650N B ．65N C ．700N D ．70N 7．如图10-14所示，用F=150N 的水平力把重50N 的物体压在竖直墙壁上，当物体静止时受到摩擦力的大小为 （ ）（题型二） A ．0N B ．50N C ．150N D ．200N 8．一同学用水平力推停放在水平地面上的汽车，没能推动。此时（ ） （题型二） 图10-13 F 图10-14
平面一般力系的平衡方程
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分配记 20 ∑Fy＝0 ∑MO(F)＝0 不难看出，平面平行力系的二矩式平衡方程为 ∑MＡ(F) ＝0 ∑MＢ(F) ＝0 其中A、B两点的连线不能与各力平行。 平面平行力系只有两个独立的方程，因而最多能解出两个未知量。 三.应用平面一般力系平衡方程的解题步骤如下： (1) 根据题意，选取适当的研究对象。 (2) 受力分析并画受力图。 (3) 选取坐标轴。坐标轴应与较多的未知反力平行或垂直。 (4) 列平衡方程，求解未知量。列力矩方程时，通常选未知力较多的交点为矩心。 (5) 校核结果。 应当注意：若由平衡方程解出的未知量为负，说明受力图上原假定的该未知量的方向与其实际方向相反。而不要去改动受力图中原假设的方向。 例4-2 已知F=15kN，M=3kN.m，求A、B处支座反力。 解(1) 画受力图，并建坐标系 (2) 列方程求解 图4-8
分配记 20例4-3 如图3-9所示外伸梁上作用有集中力FC＝20kN，力偶矩M＝10kN.m ，载荷集度为q＝10kN/m的均布载荷。求支座A、B处的反力。 图4-9 解取水平梁AB为研究对象, 画受力图如图4-9(b)所示。 列平衡方程并求解
分配记 结果均为正，说明图示方向与实际方向一致。 例3-4 塔式起重机如图4-10所示。设机架自重为G，重心在C点，与右轨 距离为e，载重W，吊臂最远端距右轨为l，平衡锤重Q，离左轨的距离为a， 轨距为b。试求塔式起重机在满载和空载时都不致翻倒的平衡锤重量的范围。 图4-10 解取塔式起重机为研究对象，作用在起重机上的力有重物W、机架重G、 平衡锤的重力Q及钢轨的约束反力NA和NB，这些力构成了平面平行力系，起 重机在该平面平行力系作用下平衡。 (1)满载时W＝Wmax，Q＝Qmin，机架可能绕B点右翻，在临界平衡状 态，A处悬空，NA＝0，受力图如图3-10b所示。则
第三章 力系简化的基础知识演示教学
第三章 力系简化的基础知识 作用在物体上的一组力称为力系。 如果某力与一力系等效，则此力称为该力系的合力。 本章将介绍力学中的几个重要基本概念：力对点的矩；力偶和力偶矩；力的等效平移等。这些概念不但是研究力系简化的基础知识，而且在工程问题中得到广泛应用。 § 3-1 平面汇交力系的合成与平衡条件 力系中各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点，这样的力系称为平面汇交力系。在工程中经常遇到。例如在施工中起重机的吊钩所受各力就构成一个平面汇交力系，如图3-1（a ）、（b ）所示。 图3-1 一、两汇交力的合成 二、平面汇交力系的合成 1．平面汇交力系合成的几何法 如图)(33a -示，可以先将力系中的二个力按力的平行四边形法则合成，用所得的合力再与第三个力合成。如此连续地应用力的平行四边形法则，即可求得平面汇交力系的合力，具体作法如下： 任取一点a ，作矢量1__F ab =，过b 点作矢量2__F bc =，由力的三角形法则，矢量21__1F F ac R +==，即为力1F 和2F 的合力矢量。再过c 点作矢量3___F cd =，矢量32131__2F F F F R ad R ++=+==，即为力21F F 、和3F 的合力矢量。最后，过d 点作矢量4__F de =,则矢量432142F F F F F R R +++=+= ，即为力系中各力矢量的合矢量。 图3-3 上述过程示于图)(33b -。可以看出，将力系中的各力矢量首尾相连构成开口的力多边形abcde ，然后，由第一个力矢量的起点向最后一个力矢量的末端，引一矢量R 将力多边形封闭，力多边形的封闭边矢量R 即等于力系的合力矢量。这种通过几何作图求合力矢量
第三章平面力系平衡方程应用
第三章平面力系平衡方程的应用 第1节物体系统的平衡问题 一、外力、内力的概念 (1)外力。系统外任何物体作用于该系统的力称为这个系统的外力。 (2)内力。所研究的系统内部各物体间相互作用的力称为内力，内力总是成对地作用于同一系统上。因此，当取系统为研究对象时，不必考虑这些内力。 二、静定与静不定概念 (1)静定系统。系统中所有未知量的总数小于或等于系统独立的平衡方程的总数时，称这系统为静定系统。这类系统仅应用刚体的静力平衡条件，就可以求得全部未知量的解。 (2)静不定系统。系统中所有未知量的总数大于系统独立的平衡方程的总数时，称这系统为静不定系统或超静定系统。这类问题仅应用刚体的静力平衡条件，不能求得全部未知量的解。 三、物体系统的平衡问题 常见的物体系统的平衡问题有三类，即构架；多跨静定梁；三铰拱。 这三类问题都有其相应的求解特点，在求解过程中能总结归纳。在求解这三类问题时通常要注意以下情况，如固定端约束、铰上受力、分布荷载计算、二力构件等。 例1 图3-1-1-1所示结构由AB、CD、DE三个杆件铰结组成。已知a＝2m，q＝500N/m，F ＝2000N。求铰链B的约束反力。 图3-1-1-1 解： 取整体为研究对象，其受力如图3-1-1-2所示。
图3-1-1-2 列平衡方程，有 ∑ F y =0, F Ay ?F?qa=0 得 F Ay =300N ∑ M C (F)=0,?3a F Ay ?a F Ax +aF+×qa=0 得 F Ax =?5500N 分析AEB杆，受力图如图3-1-1-3所示。 图3-1-1-3 ∑ F x =0, F Ax + F Bx =0 故 F Bx =? F Ax =5500N ∑ M E ( F → )=0, F By a+ F Bx a+ F Bx a? F Ay a=0 则得 F By = F Ay ? F Bx =?2500N 例2 求图3-1-1-4所示多跨静定梁的支座反力。梁重及摩擦均不计。
第三章 力系的平衡
第三章 力系的平衡 力系的平衡条件及其应用是刚体静力学研究的重点内容，在工程实践中有广泛的应用。本章首先介绍各种力系的平衡方程，然后应用平衡方程研究物体及物体系统的平衡问题。 3.1 力系的平衡方程 ● 空间力系的平衡方程 根据1.4中力系的简化结果分析，空间任意力系n F F F ,,21平衡的充分必要条件是：力系的主矢和对于任意简化点的主矩均等于零矢量。即 01 =∑=n i i F ，0)(1 =∑=n i i O F M (3–1) 以任意简化中心为原点建立直角坐标系Oxyz ，并将以上二式分别投影到各个坐标轴上，得到空间任意力系平衡条件的解析表达式。 )(0 )(0 )(0 1 1 1111======∑∑∑∑∑∑======n i i z n i i y n i i x n i ix n i ix n i ix F M F M F M F F F (3–2) 式(3–2)称为空间任意力系的平衡方程。一般情况下共有6个独立方程。对于空间特殊力系，式(3–2)中的某些方程将变成恒等式，独立方程的个数相应减少。 例3–1：如图3–1(a)，镗刀杆在根部被夹具固定，刀头在镗削工件时受到切向力z P 、径向力y P 和轴向力x P 作用，其 大小分别为N 5000 、N 1500和N 750，方向如图。刀尖B 位于Axy 平面内。试求刀杆根部约 束力的各个分量(图中 尺寸单位为mm )。 解：如图3–1建立坐标系。夹具对镗刀杆构成空间固定端约束，镗刀杆受力如图3–1(b)所示。现在镗刀杆受空间任意力系作用，根据平衡方程(3–2)，故有 00=-=∑x Ax x P N F 00=-=∑y Ay y P N F (a) (b) 图3–1 例3–1图
理论力学：第3章 力系的平衡
1 第3章 力系的平衡 3.1 主要内容 空间任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩等于零，即 0=R F 0=O M 空间力系平衡方程的基本形式 0,0, 0=∑=∑=∑z y x F F F 0)(, 0)(, 0)(=∑=∑=∑F F F z y x M M M 空间汇交力系平衡的必要和充分条件是：力系的合力 0=R F 空间汇交力系平衡方程的基本形式 0,0,0=∑=∑=∑z y x F F F 空间力偶系平衡的必要和充分条件是：各分力偶矩矢的矢量和 0=∑i M 空间力偶系平衡方程的基本形式 0)(,0)(, 0)(=∑=∑=∑F F F z y x M M M 平面力系平衡的必要和充分条件:力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零，即： 0=∑='F F R ;0)(=∑=F O O M M 平面力系的平衡方程有三种形式： 基本形式： 0)(,0,0=∑=∑=∑F M F F O y x 二矩式： 0)(,0)(,0=∑=∑=∑F M F M F B A x （A 、B 连线不能与x 轴垂直） 三矩式： 0)(, 0)(, 0=∑=∑=∑F M F M M C B A （A 、B 、C 三点不共线） 平面力系有三个独立的平衡方程，可解三个未知量。 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是合力为零，即 0=∑=F F R 平衡的解析条件：各分力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零，即 0,0=∑=∑y x F F
两个独立的平衡方程，可解两个未知量。 平面力偶系平衡的必要和充分条件为：力偶系中各力偶矩的代数和等于零，即 ∑=0 M i 一个独立的平衡方程，可解一个未知量。 3.2 基本要求 1．熟练掌握力的投影，分布力系的简化、力对轴之矩等静力学基本运算。 2．能应用各种类型力系的平衡条件和平衡方程求解单个刚体和简单刚体系统的平衡问题。对平面一般力系的平衡问题，能熟练地选取分离体和应用各种形式的平衡方程求解。 3．正确理解静定和超静定的概念，并会判断具体问题的静定性。 3.3 重点讨论 主要研究单个刚体和刚体系统受平面力系而平衡的问题。 在研究系统的平衡问题时，首先应进行静定性的判断。刚体静力学，只研究静定的系统。 求解单个刚体平衡时，应选择合适的平衡方程的形式。对投影轴的取向及矩心和取矩轴的位置也要灵活选择，以便列一个平衡方程就能求出一个未知量。如列力矩方程时，把矩心选在一个未知力的作用线上或两个未知力的交点上；列投影方程时，选择投影轴与一个力或几个未知力垂直，则在方程中不会出现这些未知力，可使方程所含未知力数目减少。 求解刚体系统平衡时，原则上讲，可以将刚体系拆成单个刚体，对每一单个刚体列写平衡方程，再将所有平衡方程联立求解。如果刚体系是静定的，由所列方程能解出全部位置量。这种方法比较规范，但求解联立方程的计算量大，只适用于计算机求解，而且物理概念不清楚，也不适用于只求解某几个指定的未知量的情况。在理论力学学习阶段，应重视物理概念，并主要靠手工运算求解；因此，应灵活选取研究对象，灵活列写平衡方程，尽量做到列一个平衡方程就解出一个未知量。 求解力系平衡问题的方法和步骤。 1．选取研究对象； 2．分析研究对象受力，画受力图； 3．根据力系的类型列写平衡方程，选取适当的坐标轴和矩心，以使方程中未知量个数最少； 4．求未知量，分析和讨论计算结果。 2
平面力系合成与平衡习题0
平面力系合成与平衡习题 1、判断题： （1）无论平面汇交力系所含汇交力的数目是多小，都可用力多边形法则求其合力。（）（2）应用力多边形法则求合力时，所得合矢量与几何相加时所取分矢量的次序有关。（）（3）若两个力在同一轴上的投影相等，则这两个力的大小必定相等。（） （4）两个大小相等式、作用线不重合的反向平行力之间的距离称为力臂。（） （5）平面力偶系合成的结果为一合力偶，此合力与各分力偶的代数和相等。（） （6）平面任意力系向作用内任一点简化的主矢，与原力系中所有各力的矢量和相等。（）（7）一平面任意力系向作用面内任一点简化后，得到一个力和一个力偶，但这一结果还不是简化的最终结果。（） （8）平面任意力系向作用面内任一点简化，得到的主矩大小都与简化中心位置的选择有关。（） （9）只要平面任意力系简化的结果主矩不为零，一定可以再化为一个合力（）。 （10）在求解平面任意力系的平衡问题时，写出的力矩方程的矩心一定要取在两投影轴的交点处。（） （11）平面任意力系平衡方程的基本形式，是基本直角坐标系而导出来的，但是在解题写投影方程时，可以任意取两个不相平行的轴作为投影轴，也就是不一定要使所取的两个投影轴互相垂直。（） 2、填空题： （1）在平面力系中，若各力的作用线全部，则称为平面汇交力系。 （2）平面汇交力系平衡的几何条件为：力系中各力组成的力多边形。 （3）若平面汇交力系的力矢所构成的力多边形自行封闭，则表示该力系的等于零。（4）合力在任一轴上的投影，等于各分力在轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。 （5）平面任意力系向作用面内任一点简化结果，是主矢不为零，而主矩为零，说明力系与通过简化中心的一个______等效。 （6）平面任意力系向作用面内的一点简化后，得到一个力和一个力偶，若将其再进一步合成，则可得到一个_____。 （7）平面任意力系向作用面内任一点简化后，若主矢_____，主矩_____,则原力系必然是平衡力系。 （8）平面任意力系只要不平衡，则它就可以简化为一个______或者简化为一个合力。（9）建立平面任意力系的二力矩式平衡方程应是：任取两点A、B为矩心列两个力矩方程，取一轴X轴为投影列一个投影方程，但A、B两点的连线应_____于X轴。 （10）平面任意力系的平衡方程可以表示成不同的形式，但不论哪种形式的独立方程应为______个。 （11）平面平行力系的平衡方程，也可以是任取A、B两点为矩心而建成两个力矩方程，但