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第34讲等差、等比数列的性质及综合应用

第34讲

等差、等比数列的性质及综合应用

【学习目标】

运用类比的思想理解并记忆等差、等比数列的常用性质．掌握性质运用的方法与技巧，并能综合等差、等比数列的基本公式进行灵活运用．

【基础检测】

1．在等差数列{a n}中，a1＋a9＝10，则a5的值为( )

A．5 B．6

C．8 D．10

2．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝10，

S20＝30，则S30＝( )

A．40 B．50

C．60 D．70

3．已知数列{a n}是公比q≠±1的等比数列，则在{a n

＋a n＋1}，{a n＋1－a n}，{a n

a n＋1

}，{na n}四个数列中，是等比数列的有( )

A．1个B．2个

C．3个D．4个【知识要点】

等差、等比数列的性质

性质1：若{a n}，{b n}均为等差数列，且公差分别为d1，d2，则数列{pa n}，{a n＋nq}，{a n±b n}也为等差数列，且公差分别为_ __.

性质2：若{a n}，{b n}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，则数列{

a n}(a n≠0)，{pa n}，{a n·

b n}，{

a n

b n}(b n≠0) 也成等比数列，公比分别为；若a n>0且k为有理常数，则{a k n}也成等比数列，公比为__.

性质3：若{a n}为等比数列，且a n>0，公比为q，则{log a a n}为，公差为；若{a n}为等差数列，公差为d，则{ }为，公比为(其中a>0，a≠1)．

性质4：在等差数列{a n}中，若p＋q＝m＋n(p，q，m，n为正整数)，则a p＋a q＝.特别地，若m ＝n，则2a n＝a p＋a q；在等比数列{a n}中，若p＋q ＝m＋n(p，q，m，n为正整数)，则a p·a q＝.特别地，若m＝n，则a2n＝a p·a q.

性质5：数列{a n}的前n项和为S n，若{a n}为等比数列，且q≠－1，则S n，S2n－S n；S3n－S2n，…也成；若{a n}为等差数列，则S n，S2n－S n，S3n－S2n，…也成 .

4．等比数列{a n}中，a n>0，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝( )

A．52 B．7

C．6 D．4 2 5．设{a n}是任意等比数列，它的前n项和，前2n 项和，前3n项和分别为x，y，z，则x、y、z满足的关系式是 .

一、等差数列性质及应用

例1(1)等差数列{a n}中，a9＋a10＝a，a19＋a20＝b，求a99＋a100；

(2)若两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n

和T n，已知S n

T n＝7n＋1

4n＋27

，求

a11

b11的值；

(3)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d<0，

满足S12>0，S13<0，求S n达到最大值时对应的项数n的值．

二、等比数列性质及应用

例2(1)在等比数列{a n}中，若a1·a2·a3·a4＝1，a13·a14·a15·a16＝8，求a41·a42·a43·a44的值．(2)数列{a n}前n项和为S n＝3n－1，求数列{

a n}的前

n项和T n.

三、等差、等比数列性质的创新综合问题

例3已知等比数列{x n}的各项为不等于1的正数，数列{y n}满足y n a＝2(a>0，a≠1)，设y3＝

18，y6＝12.

(1)求数列{y n}的前多少项和最大，最大值为多少？

(2)试判断是否存在自然数M，使当n>M时，x n>1

恒成立？若存在，求出相当的M值，若不存在，

请说明理由；

(3)令a n＝x n＋1(n>13，n∈N＋)，试判断数列{a n}

的增减性．

log

〔备选题〕例4在数列{a n}中，a1＝0，且对任意k ∈N*，a2k－1，a2k，a2k＋1成等差数列，其公差为d k.

(1)若d k＝2k，证明：a2k，a2k＋1，a2k＋2成等比数列(k ∈N*)；

(2)若对任意k∈N*，a2k，a2k＋1，a2k＋2成等比数列，

其公比为q k，设q1≠1，证明：{1

q k－1}是等差数列．

(2011江西)已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1

＝a(a>0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.

(1)若a＝1，求数列{a n}的通项公式；

(2)若数列{a n}唯一，求a的值．

1．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝20，则a 3等于( )

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7 2．已知等差数列{a n }、{b n }的公差分别为2和3，且b n ∈N *，则数列{ab n }是( ) A ．等差数列且公差为5 B ．等差数列且公差为6 C ．等差数列且公差为8 D ．等差数列且公差为9

3．在等比数列{a n }中，a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20

a 10等于( ) A.23

B.32

C.23或32 D ．－23或－32

4．已知方程(512x 2＋m 1x ＋1)(512x 2＋m 2x ＋1)·…·(512x 2＋m 5x ＋1)＝0的10个根组成一个首项为1的等比数列，则 i ＝1

m i ＝ .

5．在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n<19，n ∈N *)成立，类比上式性质，相应地在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有成立． 6．已知一个等比数列{a n }的首项为1，项数为偶数2k (k ∈N *)，其中所有奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数.

7．已知{a n }是等比数列，a 1＝2，a 3＝18，{b n }是等差数列，b 1＝2，b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝a 1＋a 2＋a 3>20. (1)求{b n }的前n 项和S n ； (2)设P n ＝b 1＋b 4＋b 7＋…＋b 3n －2，Q n ＝b 10＋b 12＋b 14

＋…＋b 2n ＋8，其中n ∈N *.试比较P n 与Q n 的大小，并证明你的结论． 8．设数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝(1＋cos 2n π

)a n

＋sin 2n π

2，n ＝1,2,3，….求a 3，a 4，并求数列{a n }的

通项公式．

第34讲

等差、等比数列的性质及综合应用

【学习目标】

运用类比的思想理解并记忆等差、等比数列的常用性质．掌握性质运用的方法与技巧，并能综合等差、等比数列的基本公式进行灵活运用．

【基础检测】 1．在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝10，则a 5的值为( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝( ) A ．40 B ．50

C ．60

D ．70

【解析】由于S 10＝10，S 20－S 10＝20， S

30－S 20＝S 30－30，且S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，

所以2×20＝10＋(S 30－30)，∴S 30＝60.

3．已知数列{a n }是公比q ≠±1的等比数列，则在{a n

＋a n ＋1}，{a n ＋1－a n }，{a n a n ＋1}，{na n }四个数列中，是

等比数列的有( ) A ．1个 B ．2个

C ．3个

D ．4个

【解析】当n ≥2时，a n ＋a n ＋1a n －1＋a n ＝(a n －1＋a n )q

a n －1＋a n

＝q ，且a n －1＋a n ≠0(因为q ≠－1) a n ＋1－a n a n －a n －1

＝(a n －a n －1)q a n －a n －1＝q ，且a n －a n －1≠0(因为q ≠1)， a n

a n ＋1a n －1a n

＝a 2

a n －1a n ＋1

＝1，可知{a n ＋a n ＋1}，{a n ＋1－a n }， {a n a n ＋1}是等比数列，但na n (n －1)a n －1＝n n －1q (n ≥2)不为常数，可知{na }不是等比数列，故选C.【知识要点】等差、等比数列的性质性质1：若{a n }，{b n }均为等差数列，且公差分别为d 1，d 2，则数列{pa n }，{a n ＋nq }，{a n ±b n }也为等差数列，且公差分别为_ __.

性质2：若{a n }，{b n }均为等比数列，且公比分别为q 1，q 2，则数列{1a n }(a n ≠0)，{pa n }，{a n ·b n }，{a n

b n }(b n

≠0) 也成等比数列，公比分别为；若a n >0且k 为有理常数，则{a k n }也成等比数列，公比为_ _.

性质3：若{a n }为等比数列，且a n >0，公比为q ，则{log a a n }为，公差为；若{a n }为等

差数列，公差为d ，则{ }为，

公比为 (其中a >0，a ≠1)．性质4：在等差数列{a n }中，若p ＋q ＝m ＋n (p ，q ，m ，n 为正整数)，则a p ＋a q ＝ .特别地，若m ＝n ，则2a n ＝a p ＋a q ；在等比数列{a n }中，若p ＋q ＝m ＋n (p ，q ，m ，n 为正整数)，则a p ·a q ＝ .特别地，若m ＝n ，则a 2n ＝a p ·

a q .

性质5：数列{a n }的前n 项和为S n ，若{a n }为等比数列，且q ≠－1，则S n ，S 2n －S n ；S 3n －S 2n ，…也成；若{a n }为等差数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成 .

4．等比数列{a n }中，a n >0，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( )

A ．52

B ．7

C ．6

D ．4 2

5．设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和，前3n 项和分别为x ，y ，z ，则x 、y 、z 满足

的关系式是 .

一、等差数列性质及应用

例1(1)

等差数列{a n }中，a 9＋a 10＝a ，a 19＋a 20＝b ，求

a 99＋a 100； (2)若两个等差数列{a n }和{

b n }的前n 项和分别为S n

和T n ，已知S n T n ＝7n ＋1

4n ＋27，求a 11b 11的值； (3)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d <0，满足S 12>0，S 13<0，求S n 达到最大值时对应的

项数n 的值．【解析】(1)将相邻两项和a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，…，a 99＋a 100分别记为b 1，b 2，b 3，…，b 50，可知{b n }成等差数列．此数列的公差d ＝b 10－b 510－5＝b －a 5.a 99＋a 100＝b 50＝b 5

＋45·d ＝a ＋b －a 5×45＝9b －8a . (2)因为a n b n ＝2a n 2b n ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2n －1＝(a 1＋a 2n －1)2n －12(b 1＋b 2n －1)2n －1

＝

S 2n －1T 2n －1，所以a 11b 11＝S 21T 21＝7×21＋14×21＋27＝43.

(3)因为S 12＝(a 1＋a 12)×122＝6(a 6＋a 7)>0， S 13＝(a 1＋a 13

)×132

＝13a 7<0，所以a 6>0，a 7<0，

故当n ＝6时，S 6取最大值．

二、等比数列性质及应用例2(1)在等比数列{a n }中，若a 1·a 2·a 3·a 4＝1，a 13·a 14·a 15·a 16＝8，求a 41·a 42·a 43·a 44的值． (2)数列{a n }前n 项和为S n ＝3n －1，求数列{1a n }的前

n 项和T n .

【解析】(1)由等比数列{a n }可构造等比数列{b n } b 1＝a 1a 2a 3a 4，b 2＝a 5a 6a 7a 8， b 3＝a 9a 10a 11a 12，b 4＝a 13a 14a 15a 16，设{b n }公比为q ，则q 3＝b 4b 1＝8，∴q ＝2， b 11＝a 41a 42a 43a 44＝b 1q 10＝210＝1024.

(2)a 1＝S 1＝31－1＝2. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －1)－(3n －1－1)＝

2×3n －1 ∴a n ＝2×3n －1(n ∈N ＋)，∴1a n ＝12·(13)n －1

， ∴{1a n }为等比数列．

T n ＝12[1－(13)n ]1－13＝34[1－(13)n ]．

三、等差、等比数列性质的创新综合问题

例3已知等比数列{x n }的各项为不等于1的正数，数列{y n }满足y n a ＝2(a >0，a ≠1)，设y 3＝

18，y 6＝12.

(1)求数列{y n }的前多少项和最大，最大值为多少？

(2)试判断是否存在自然数M ，使当n >M 时，x n >1恒成立？若存在，求出相当的M 值，若不存在，请说明理由； (3)令a n ＝ x n ＋1(n >13，n ∈N ＋)，试判断数列{a n }的增减性．

log

n x log

n x