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高中数学导数典型例题精讲

高中数学导数典型例题精讲
高中数学导数典型例题精讲

高中数学导数典型例题

精讲

Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】

导数经典例题精讲

导数知识点

导数是一种特殊的极限

几个常用极限:(1)1

lim 0n n

→∞=,lim 0n n a →∞=(||1a <);(2)0

0lim x x

x x →=,00

11lim

x x x x →=.

两个重要的极限 :(1)0sin lim 1x x x →=;(2)1lim 1x

x e x →∞??

+= ???

(e=…). 函数极限的四则运算法则:若0

lim ()x x f x a →=,0

lim ()x x

g x b →=,则 (1)()()0

lim x x f x g x a b →±=±????;(2)()()0

lim x x f x g x a b →?=?????;(3)()()()0

lim 0x x

f x a

b g x b

→=≠. 数列极限的四则运算法则:若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞

==,则(1)()lim n n n a b a b →∞±=±;(2)()lim n n n a b a b →∞

?=?(3)()lim 0n n n a a

b b b

→∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞?=?=?( c 是常数)

)(x f 在0x 处的导数(或变化率或微商) 000000()()()lim lim

x x x x f x x f x y

f x y x x

=?→?→+?-?''===??. .瞬时速度:00()()

()lim lim

t t s s t t s t s t t t

υ?→?→?+?-'===??. 瞬时加速度:00()()

()lim lim

t t v v t t v t a v t t t

?→?→?+?-'===??. )(x f 在),(b a 的导数:()dy df f x y dx dx ''===00()()

lim lim

x x y f x x f x x x

?→?→?+?-==??. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义

函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f ',相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数

(1) 0='C (C 为常数).(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='.x x sin )(cos -='

(4) x

x 1)(ln =';e a x x

a log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='.

导数的运算法则

(1)'

'

'

()u v u v ±=±.(2)'

'

'

()uv u v uv =+.(3)''

'2

()(0)u u v uv v v v

-=≠. 复合函数的求导法则

设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=,函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =,则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数,且'''x u x y y u =?,或写作'''(())()()x f x f u x ??=.

【例题解析】

考点1 导数的概念

对概念的要求:了解导数概念的实际背景,掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念.

例1. ()f x '是31

()213

f x x x =++的导函数,则(1)f '-的值是 .

[考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.

[解答过程] ()2

2()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=

故填3.

例2.设函数()1

x a f x x -=-,集合M={|

()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若

M P,则实数a 的取值范围是 ( )

A.(-∞,1)

B.(0,1)

C.(1,+∞)

D. [1,+∞)

[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. [解答过程]由0,,1;, 1.

1

x a x a a x x -<∴<<<<-当a>1时当a<1时

()()()

/

/2211,0.11111.

x x a x a x a a y y x x x x a ------??=∴===> ?--??--∴> 综上可得M P 时, 1.a ∴>

考点2 曲线的切线

(1)关于曲线在某一点的切线

求曲线y=f(x)在某一点P (x,y )的切线,即求出函数y=f(x)在P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.

(2)关于两曲线的公切线

若一直线同时与两曲线相切,则称该直线为两曲线的公切线.

典型例题

例3.已知函数3211

()32

f x x ax bx =++在区间[11)-,,(13],内各有一个极值点.

(I )求24a b -的最大值;

(II )当248a b -=时,设函数()y f x =在点(1(1))A f ,处的切线为l ,若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象(即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动,经过点A 时,从l 的一侧进入另一侧),求函数()f x 的表达式.

思路启迪:用求导来求得切线斜率.

解答过程:(I )因为函数3211

()32f x x ax bx =++在区间[11)-,,(13],内分别有一个极值点,所以

2()f x x ax b '=++0=在[11)-,,(13],内分别有一个实根,

设两实根为12x x ,(12x x <),则2214x x a b -=-2104x x <-≤.于是

2044a b <-,20416a b <-≤,且当11x =-,

23x =,即2a =-,3b =-时等号成立.故24a b -的最大值是16.

(II )解法一:由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ,处的切线l 的方程是

(1)(1)(1)y f f x '-=-,即21

(1)32

y a b x a =++--,

因为切线l 在点(1())A f x ,处空过()y f x =的图象,

所以21

()()[(1)]32

g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号,则

1x =不是()g x 的极值点.

而()g x 321121

(1)3232

x ax bx a b x a =++-++++,且

22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++.

若11a ≠--,则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点.

所以11a =--,即2a =-,又由248a b -=,得1b =-,故321

()3

f x x x x =--.

解法二:同解法一得21

()()[(1)]32

g x f x a b x a =-++--

2133

(1)[(1)(2)]322

a x x x a =-++-+. 因为切线l 在点(1(1))A f ,处穿过()y f x =的图象,所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号,于是存在

12m m ,(121m m <<).

当11m x <<时,()0g x <,当21x m <<时,()0g x >; 或当11m x <<时,()0g x >,当21x m <<时,()0g x <.

设233()1222a a h x x x ???

?=++-+ ? ????

?,则

当11m x <<时,()0h x >,当21x m <<时,()0h x >; 或当11m x <<时,()0h x <,当21x m <<时,()0h x <. 由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点,则3(1)21102

a

h =?++

=, 所以2a =-,又由248a b -=,得1b =-,故321

()3

f x x x x =--.

例4.若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为( )

A .430x y --=

B .450x y +-=

C .430x y -+=

D .430x y ++=

[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.

[解答过程]与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=,即4y x =在某一点的导数为4,而34y x '=,所以4y x =在(1,1)处导数为4,此点的切线为430x y --=. 故选A.

例5.过坐标原点且与x 2+y 2 -4x +2y +2

5=0相切的直线的方程为 ( )

=-3x 或y =3

1x B. y =-3x 或y =-3

1x =-3x 或y =-3

1x D. y =3x 或y =3

1x

[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力. [解答过程]解法1:设切线的方程为,0.y kx kx y =∴-= 又()()()22521,2,1.2

x y -++=∴-圆心为

21

3830., 3.3

k k k k =

+-=∴==- 1

,3.3

y x y x ∴==-或

故选A.

解法2:由解法1知切点坐标为1331(,),,,

2

222?

?- ???

由 ()()/

/

2

2

//

/

/113

231(,)(,)22

22

5(2)1,22(2)210,2

.

1

13,.313,.3

x x

x x x x x y x y y x y y k y k y y x y x -????-++= ?????∴-++=-∴=-+∴==-==∴=-=

故选A.

例6.已知两抛物线a x y C x x y C +-=+=2221:,2:, a 取何值时1C ,2C 有且只有一条公切线,求出此时公切线的方程.

思路启迪:先对a x y C x x y C +-=+=2221:,2:求导数.

解答过程:函数x x y 22+=的导数为22'+=x y ,曲线1C 在点P(12112,x x x +)处的切线方程为

))(2(2)2(1112

1x x x x x y -+=+-,即 2

1

1)1(2x x x y -+= ①

曲线1C 在点Q ),(222a x x +-的切线方程是)(2)(222x x x a x y --=+--即

a x x x y ++-=2222 ② 若直线l 是过点P 点和Q 点的公切线,则①式和②式都是l 的方程,故得

1,12

22121+=--=+x x x x ,消去2x 得方程,012212

1=+++a x x

若△=0)1(244=+?-a ,即2

1-=a 时,解得2

11-=x ,此时点P 、Q 重合.

∴当时2

1-=a ,1C 和2C 有且只有一条公切线,由①式得公切线方程为14

y x =- .

考点3 导数的应用

中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数,导数是研究函数性质的重要而有力的工具,特别是对于函数的单调性,以“导数”为工具,能对其进行全面的分析,为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法,进而与不等式的证明,讨论方程解的情况等问题结合起来,极大地丰富了中学数学思想方法.复习时,应高度重视以下问题:

1.. 求函数的解析式;

2. 求函数的值域;

3.解决单调性问题;

4.求函数的极值(最值);

5.构造函数证明不等式. 典型例题

例7.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ,导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图

所示,则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点( )

A .1个

B .2个

C .3个

D . 4个

[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力. [解答过程]由图象可见,在区间(,0)a 内的图象上有一个极小值点. 故选A.

例8 .设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值. (Ⅰ)求a 、b 的值;

(Ⅱ)若对于任意的[03]x ∈,,都有2()f x c <成立,求c 的取值范围.

思路启迪:利用函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值构造方程组求a 、b 的值. 解答过程:(Ⅰ)2()663f x x ax b '=++,

因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值,则有(1)0f '=,(2)0f '=.

即6630241230a b a b ++=??++=?,. 解得3a =-,4b =.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,32()29128f x x x x c =-++,

2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--.

当(01)x ∈,时,()0f x '>; 当(12)x ∈,时,()0f x '<; 当(23)x ∈,时,()0f x '>.

所以,当1x =时,()f x 取得极大值(1)58f c =+,又(0)8f c =,(3)98f c =+. 则当[]03x ∈,时,()f x 的最大值为(3)98f c =+. 因为对于任意的[]03x ∈,,有2()f x c <恒成立, 所以 298c c +<, 解得 1c <-或9c >,

因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞,,. 例9.函数y x x =

+-+243的值域是_____________.

思路启迪:求函数的值域,是中学数学中的难点,一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解,也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂,采用导数法求解较为容易。

解答过程:由24030

x x +≥+≥??

?得,x ≥-2,即函数的定义域为[,)-+∞2. y x x x x x x '=

+-+=

+-++?+12412323242243

又232428

2324

x x x x x +-+=

++++,

∴当x ≥-2时,y '>0,

∴函数y x x =+-+243在(,)-+∞2上是增函数,而f ()-=-21,∴=+-+y x x 243的值域是[,)-+∞1.

例10.已知函数()θθcos 16

3

cos 3423+

-=x x x f ,其中θ,R x ∈为参数,且πθ20≤≤.

(1)当时0cos =θ,判断函数()x f 是否有极值;

(2)要使函数()f x 的极小值大于零,求参数θ的取值范围;

(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数θ,函数()x f 在区间()a a ,12-内都是增函数,求实数a 的取值范围.

[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力,以及分类讨论的数学思想方法.

[解答过程](Ⅰ)当cos 0θ=时,3()4f x x =,则()f x 在(,)-∞+∞内是增函数,故无极值. (Ⅱ)2'()126cos f x x x θ=-,令'()0f x =,得12cos 0,2

x x θ==.

由(Ⅰ),只需分下面两种情况讨论.

①当cos 0θ>时,随x 的变化'()f x 的符号及()f x 的变化情况如下表:

因此,函数()f x 在2x =处取得极小值f()2,且3cos 13()cos 2416f θθ=-+.

要使cos ()02

f θ>,必有213cos (cos )04

4

θθ-->,可得0cos θ<<

由于0cos θ≤≤

3116

2

2

6

ππππθθ<<<<或.

错误!未找到引用源。当时cos 0θ<,随x 的变化,'()f x 的符号及()f x 的变化情况如下表:

因此,函数()0f x x =在处取得极小值(0)f ,且3(0)cos .16

f θ=

若(0)0f >,则cos 0θ>.矛盾.所以当cos 0θ<时,()f x 的极小值不会大于零.

综上,要使函数()f x 在(,)-∞+∞内的极小值大于零,参数θ的取值范围为311(,)(,)62

2

6

ππππ?.

(错误!未找到引用源。)解:由(错误!未找到引用源。)知,函数()f x 在区间(,)-∞+∞与cos (,)

2

θ+∞内都是增函数。

由题设,函数()(21,)f x a a -在内是增函数,则a 须满足不等式组

210

a a a -<≤ 或

211

21cos 2a a

a θ

-<-≥ 由(错误!未找到引用源。),参数时311(,)(,)62

2

6

ππππθ∈?时,30cos θ<<.要使不等式121cos 2

a θ-≥关于

参数θ恒成立,必有321a -≥

,即43

a +

≤.

综上,解得0a ≤或431a +≤<. 所以a 的取值范围是43(,0)[,1)+

-∞?.

例11.设函数f (x )=ax -(a +1)ln(x +1),其中a ≥-1,求f (x )的单调区间.

[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力

[解答过程]由已知得函数()f x 的定义域为(1,)-+∞,且'1()(1),1

ax f x a x -=≥-+

(1)当10a -≤≤时,'()0,f x <函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减, (2)当0a >时,由'()0,f x =解得1.x a

=

'()f x 、()f x 随x 的变化情况如下表

x

1(1,)a - 1a

1

(,)a

+∞ '()f x — 0 +

()f x

极小值

当1(1,)x a

∈-时,'()0,f x <函数()f x 在1(1,)a

-上单调递减. 当1(,)x a

∈+∞时,'()0,f x >函数()f x 在1(,)a

+∞上单调递增.

综上所述:当10a -≤≤时,函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减.

当0a >时,函数()f x 在1(1,)a

-上单调递减,函数()f x 在1(,)a

+∞上单调递增.

例12.已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5,其导函数'()

y f x =的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示.求: (Ⅰ)0x 的值; (Ⅱ),,a b c 的值.

[考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 [解答过程]解法一:(Ⅰ)由图像可知,在(),1-∞上

()'0f x >,在()1,2上()'0f x <,在()2,+∞上()'0f x >,

故()f x 在∞∞(-,1),(2,+)上递增,在(1,2)上递减, 因此()f x 在1x =处取得极大值,所以01x = (Ⅱ)'2()32,f x ax bx c =++

由'''f f f (1)=0,(2)=0,(1)=5,

得320,1240,5,a b c a b c a b c ++=??++=?

?++=?

解得2,9,12.a b c ==-= 解法二:(Ⅰ)同解法一

(Ⅱ)设'2()(1)(2)32,f x m x x mx mx m =--=-+ 又'2()32,f x ax bx c =++ 所以3,,23

2

m a b m c m ==-=

32|

3()2,32

m f x x mx mx =

-+ 由(1)5f =,即325,3

2

m m m -+=得6,m = 所以2,9,12a b c ==-=

例13.设3=x 是函数()()()R x e b ax x x f x ∈++=-32的一个极值点. (Ⅰ)求a 与b 的关系式(用a 表示b ),并求()x f 的单调区间;

(Ⅱ)设0>a ,()x e a x g ??

? ?

?+=4252.若存在[]4,0,21∈εε使得()()121<-εεg f 成立,求a 的取值范围.

[考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力.

[解答过程](Ⅰ)f `(x)=-[x 2+(a -2)x +b -a ]e 3-x ,

由f `(3)=0,得 -[32+(a -2)3+b -a ]e 3-3=0,即得b =-3-2a , 则 f `(x)=[x 2+(a -2)x -3-2a -a ]e 3-x

=-[x 2+(a -2)x -3-3a ]e 3-x =-(x -3)(x +a+1)e 3-x .

令f `(x)=0,得x 1=3或x 2=-a -1,由于x =3是极值点, 所以x+a+1≠0,那么a ≠-4. 当a <-4时,x 2>3=x 1,则

在区间(-∞,3)上,f `(x)<0, f (x)为减函数; 在区间(3,―a ―1)上,f `(x)>0,f (x)为增函数; 在区间(―a ―1,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数. 当a >-4时,x 2<3=x 1,则

在区间(-∞,―a ―1)上,f `(x)<0, f (x)为减函数; 在区间(―a ―1,3)上,f `(x)>0,f (x)为增函数; 在区间(3,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a >0时,f (x)在区间(0,3)上的单调递增,在区间(3,4)上单调递减,那么f (x)在区间[0,4]上的值域是[min(f (0),f (4) ),f (3)],

而f (0)=-(2a +3)e 3<0,f (4)=(2a +13)e -1>0,f (3)=a +6, 那么f (x)在区间[0,4]上的值域是[-(2a +3)e 3,a +6]. 又225()()4

x g x a e =+在区间[0,4]上是增函数,

且它在区间[0,4]上的值域是[a 2+4

25,(a 2+4

25)e 4],

由于(a 2+4

25)-(a +6)=a 2-a +4

1=(2

1-a )2≥0,所以只须仅须

(a 2+4

25)-(a +6)<1且a >0,解得0

3.

故a 的取值范围是(0,2

3).

例14 已知函数321

()(2)13

f x ax bx b x =-+-+

在1x x =处取得极大值,在2x x =处取得极小值,且12012x x <<<<. (1)证明0a >;

(2)若z =a +2b ,求z 的取值范围。

[解答过程]求函数()f x 的导数2()22f x ax bx b '=-+-.

(Ⅰ)由函数()f x 在1x x =处取得极大值,在2x x =处取得极小值,知12x x ,是()0f x '=的两个根. 所以12()()()f x a x x x x '=--

当1x x <时,()f x 为增函数,()0f x '>,由10x x -<,20x x -<得0a >.

(Ⅱ)在题设下,12012x x <<<<等价于(0)0(1)0(2)0f f f '>??'? 即202204420b a b b a b b ->??

-+-?.

化简得20

3204520b a b a b ->??

-+?

此不等式组表示的区域为平面aOb 上三条直线:203204520b a b a b -=-+=-+=,,

. 所围成的ABC △的内部,其三个顶点分别为:46(22)(42)77A B C ??

???,,,,

,. z 在这三点的值依次为

16

687

,,. 所以z 的取值范围为1687??

???

,.

小结:本题的新颖之处在把函数的导数与线性 规划有机结合.

考点4 导数的实际应用

b a 2

1 2 4

O 4677A ?? ???,

(42)C ,

(22)

B ,

建立函数模型,利用 典型例题

例15.用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大最大体积是多少

[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识,考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.

[解答过程]设长方体的宽为x (m ),则长为2x (m),高为

??? ?

?

-=-=

230(m)35.44

1218<<x x x

h .

故长方体的体积为

).2

3

0()

(m 69)35.4(2)(3322<<x x x x x x V -=-=

从而).1(18)35.4(1818)(2x x x x x x V -=--='

令V ′(x )=0,解得x =0(舍去)或x =1,因此x =1. 当0<x <1时,V ′(x )>0;当1<x <3

2

时,V ′(x )<0,

故在x =1处V (x )取得极大值,并且这个极大值就是V (x )的最大值。

从而最大体积V =V ′(x )=9×12-6×13(m 3),此时长方体的长为2 m ,高为 m. 答:当长方体的长为2 m 时,宽为1 m ,高为 m 时,体积最大,最大体积为3 m 3。 例16.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗

油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为:

313

8(0120).12800080

y x x x =

-+<≤已知甲、乙两地相距100千米.

(I )当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升 (II )当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少最少为多少升

[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识,考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.

[解答过程](I )当40x =时,汽车从甲地到乙地行驶了100 2.540

=小时,

要耗没313

(

40408) 2.517.512800080

?-?+?=(升). 答:当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油升。

(II )当速度为x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了100x

小时,设耗油量为()h x 升,依题意得

3213100180015

()(8).(0120),1280008012804

h x x x x x x x =-+=+-<≤

3322

80080'()(0120).640640x x h x x x x

-=-=<≤ 令'()0,h x =得80.x =

当(0,80)x ∈时,'()0,()h x h x <是减函数;当(80,120)x ∈时,'()0,()h x h x >是增函数. 当80x =时,()h x 取到极小值(80)11.25.h =

因为()h x 在(0,120]上只有一个极值,所以它是最小值.

答:当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为升.

【专题训练】

一、选择题

1. y =e sin x

cos(sin x ),则y ′(0)等于( )

C.-1

2.经过原点且与曲线y =5

9++x x 相切的方程是( ) +y =0或25x +y =0

-y =0或25

x +y =0

+y =0或25

x -y =0

-y =0或25

x -y =0

3.设f (x )可导,且f ′(0)=0,又x

x f x )(lim 0

'→=-1,则f (0)( )

A.可能不是f (x )的极值

B.一定是f (x )的极值

C.一定是f (x )的极小值

D.等于0

4.设函数f n (x )=n 2x 2(1-x )n

(n 为正整数),则f n (x )在[0,1]上的最大值为( )

C.n n

)221(+-

D.1)2

(4++n n n

5、函数y=(x 2

-1)3

+1在x=-1处( )

A 、 有极大值

B 、无极值

C 、有极小值

D 、无法确定极值情况

(x)=ax 3+3x 2+2,f ’(-1)=4,则a=( )

A 、3

10 B 、3

13 C 、3

16 D 、3

19

7.过抛物线y=x 2

上的点M (4

1,21)的切线的倾斜角是( )

A 、300

B 、450

C 、600

D 、900

8.函数f(x)=x 3-6bx+3b 在(0,1)内有极小值,则实数b 的取值范围是( )

A 、(0,1)

B 、(-∞,1)

C 、(0,+∞)

D 、(0,2

1)

9.函数y=x 3

-3x+3在[2

5,2

3-]上的最小值是( )

A 、

8

89 B 、1 C 、8

33 D 、5

10、若f(x)=x 3

+ax 2

+bx+c ,且f(0)=0为函数的极值,则( ) A 、c ≠0 B 、当a>0时,f(0)为极大值 C 、b=0 D 、当a<0时,f(0)为极小值

11、已知函数y=2x 3+ax 2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是( ) A 、(2,3) B 、(3,+∞) C 、(2,+∞) D 、(-∞,3) 12、方程6x 5-15x 4+10x 3+1=0的实数解的集合中( )

A 、至少有2个元素

B 、至少有3个元素

C 、至多有1个元素

D 、恰好有5个元素

二、填空题

13.若f ′(x 0)=2,k

x f k x f k 2)()(lim 000

--→ =_________.

14.设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________.

15.函数f (x )=log a (3x 2

+5x -2)(a >0且a ≠1)的单调区间_________.

16.在半径为R 的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为_________时它的面积最大. 三、解答题

17.已知曲线C :y =x 3-3x 2

+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0),求直线l 的方程及切点坐标.

18.求函数f(x)=p 2x 2(1-x)p (p ∈N +),在[0,1]内的最大值.

19.证明双曲线xy=a 2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数.

20.求函数的导数

(1)y =(x 2-2x +3)e 2x

; (2)y =31x

x -.

21.有一个长度为5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上,假设其下端沿地板以3 m/s

的速度离开墙脚滑动,求当其下端离

开墙脚 m 时,梯子上端下滑的速度.

22.求和S n =12+22x +32x 2+…+n 2x n -1,(x ≠0,n ∈N *

).

23.设f (x )=ax 3

+x 恰有三个单调区间,试确定a 的取值范围,并求其单调区间.

24.设x =1与x =2是函数f (x )=a ln x +bx 2

+x 的两个极值点. (1)试确定常数a 和b 的值;

(2)试判断x =1,x =2是函数f (x )的极大值还是极小值,并说明理由.

25.已知a 、b 为实数,且b >a >e ,其中e 为自然对数的底,求证:a b >b a

. 26.设关于x 的方程2x 2

-ax -2=0的两根为α、β(α<β),函数f (x )=1

42+-x a x .

(1)求f (α)·f (β)的值;

(2)证明f (x )是[α,β]上的增函数;

(3)当a 为何值时,f (x )在区间[α,β]上的最大值与最小值之差最小

【参考答案】

一、1.解析:y ′=e sin x

[cos x cos(sin x )-cos x sin(sin x )],y ′(0)=e 0

(1-0)=1.

答案:B

2.解析:设切点为(x 0,y 0),则切线的斜率为k =0

0x y ,另一方面,y ′=(59++x x )′=2

)

5(4

+-x ,故

y ′(x 0)=k ,即

)5(9)

5(4

000002

0++==+-x x x x y x 或x 02+18x 0+45=0得x 0(1)=-3,y 0(2)=-15,对应有y 0(1)=3,y 0(2)=5

35

15915=+-+-,因此得两个

切点A (-3,3)或B (-15,53),从而得y ′(A )=

3

)53(4

+-- =-1及y ′(B )=

251

)

515(42

-=+-- ,由于切线过原点,故得切线:l A :y =-x 或l B :y =-25

x .

答案:A 3.解析:由x

f x )0(lim

'→=-1,故存在含有

0的区间(a ,b )使当x ∈(a ,b ),x ≠0时

x

f )0('<0,于是当x ∈(a ,0)时f ′(0)>0,当x

∈(0,b )时,f ′(0)<0,这样f (x )在(a ,0)上单增,在(0,b )上单减. 答案:B

4.解析:∵f ′n (x )=2xn 2

(1-x )n -n 3x 2(1-x )

n -1

=n 2x (1-x )n -1

[2(1-x )-nx ],令f ′n (x )=0,得x 1=0,x 2=1,x 3=n

+22,

易知f n (x )在x =n +22时取得最大值,最大值f n (n +22)=n 2(n +22)2(1-n +22)n =4·(n

+22)

n +1

.

答案:D

5、B

6、A

7、B

8、D

9、B 10、C 11、B 12、C

二、13.解析:根据导数的定义:f ′(x 0)=k

x f k x f k ---+→)()]([(lim 000

(这时k x -=?)

.

1)(2

1)()(lim 21]

)

()(21[lim 2)()(lim

0000000000-='-=----=---?-=--∴→→→x f k x f k x f k x f k x f k x f k x f k k k 答案:-1

14.解析:设g (x )=(x +1)(x +2)……(x +n ),则f (x )=xg (x ),于是f ′(x )=g (x )+xg ′(x ), f ′(0)=g (0)+0·g ′(0)=g (0)=1·2·…n =n ! 答案:n !

15.解析:函数的定义域是x >3

1或x <-2,f ′(x )=

2

53log 2-+x x e a .(3x 2+5x -2)′=)2)(13(log )56(+-?+x x e x a ,

①若a >1,则当x >3

1时,log a e >0,6x +5>0,(3x -1)(x +2)>0,∴f ′(x )>0,∴函数f (x )在(3

1,+∞)上是增函数,x <

-2时,f ′(x )<0.∴函数f (x )在(-∞,-2)上是减函数.

②若0<a <1,则当x >3

1时,f ′(x )<0,∴f (x )在(3

1,+∞)上是减函数,当x <-2时,

f ′(x )>0,∴f (x )在(-∞,-2)上是增函数.

答案:(-∞,-2)

16.解析:设圆内接等腰三角形的底边长为2x ,高为h ,那么

h =AO +BO =R +

2

2x R -,解得

x 2=h (2R -h ),于是内接三角形的面积为 S =x ·h =

,)2()2(432h Rh h h Rh -=?-

从而)2()2(2

14321

43'--='-h Rh h Rh S

3

23221

43)2()23()46()2(21h h R h R h h Rh h Rh --=

--=-.

令S ′=0,解得h =2

3R ,由于不考虑不存在的情况,所在区间(0,2R )上列表如下:

h (0, 2

3R )

2

3R (2

3,2R

)

S ′

+ 0 - S

增函数

最大值 减函数

由此表可知,当x =2

3R 时,等腰三角形面积最大. 答案:2

3R

三、17. 解:由l 过原点,知k =0

0x y (x 0≠0),点(x 0,y 0)在曲线C 上,y 0=x 03

-3x 02

+2x 0,

∴0

0x y =x 02

-3x 0+2,y ′=3x 2

-6x +2,k =3x 02

-6x 0+2

又k =0

0x y ,∴3x 02

-6x 0+2=x 02

-3x 0+2,2x 02

-3x 0=0,∴x 0=0或x 0=2

3.

由x ≠0,知x 0=2

3,

∴y 0=(23)3

-3(23)2

+2·23=-8

3.∴k =0

0x y =-4

1.

∴l 方程y =-4

1x 切点(2

3,-8

3).

18.]x )p 2(2[)x 1(x p )x ('f 1p 2+--=- , 令f ’(x)=0得,x=0,x=1,x=

p

22+ , 在[0,1]上,f(0)=0,f(1)=0,2p )p

2p (4)p 22

(f ++=+ . ∴ p 2max )

p

2p (

4)]x (f [++= . 19.设双曲线上任一点P (x 0,y 0),

2

2

x x x a |y k 0

-=== ,

∴ 切线方程)x x (x a y y 02

20--

=- ,

令y=0,则x=2x 0

令x=0,则0

2

x a 2y = .

∴ 2a 2|y ||x |2

1S == .

20.解:(1)注意到y >0,两端取对数,得

ln y =ln(x 2-2x +3)+ln e 2x =ln(x 2

-2x +3)+2x,

.

)2(2.

)32(3

2)2(232)2(2.32)2(223222232)32(1222222222

2222x x e x x e x x x x x x y x x x x y x x x x x x x x x x x y y ?+-=?+-?+-+-=?+-+-='∴+-+-=++--=++-'+-='?∴

(2)两端取对数,得 ln|y |=3

1(ln|x |-ln|1-x |),

两边解x 求导,得

.

1)1(31)1(131,)1(131)111(3113x

x x x y x x y x x x x y y --=?-?=

'∴-=---='?

21.解:设经时间t 秒梯子上端下滑s 米,则s =5-2925t -,当下端移开 m 时,t 0=15

73

41=?,

又s ′=-2

1 (25-9t 2

)21

-·(-9·2t )=9t

2

9251t

-,

所以s ′(t 0)=9×2)15

7(

925115

7

?-?

=(m/s).

22.解:(1)当x =1时,S n =12

+22

+32

+…+n 2

=6

1n (n +1)(2n +1),当x ≠1时,1+2x +3x 2

+…+nx

n -1

=2

1

)1()1(1x nx x n n n -++-+,两边

同乘以x ,得

x +2x 2+3x 2+…+nx n =2

2

1)

1()1(x nx x n x n n -++-++两边对x 求导,得

S n =12+22x 2+32x 2+…+n 2x n -1

=3

2

2122)1()122()1(1x x n x n n x n x n n n ---+++-+++.

23.解:f ′(x )=3ax 2

+1.

若a >0,f ′(x )>0对x ∈(-∞,+∞)恒成立,此时f (x )只有一个单调区间,矛盾. 若a =0,f ′(x )=1>0,∴x ∈(-∞,+∞),f (x )也只有一个单调区间,矛盾. 若a <0,∵f ′(x )=3a (x +

|

|31a )·(x -

|

|31a ),此时f (x )恰有三个单调区间.

∴a <0且单调减区间为(-∞,-|

|31a )和(|

|31a ,+∞),

单调增区间为(-

|

|31a ,

|

|31a ).

24.解:f ′(x )=x

a +2bx +1,

(1) 由极值点的必要条件可知:f ′(1)=f ′(2)=0,即a +2b +1=0,且2

a +4

b +1=0,

解方程组可得a =-32,b =-61,∴f (x )=-32ln x -6

1x 2

+x,

(2)f ′(x )=-32x -1

-3

1x +1,当x ∈(0,1)时,f ′(x )<0,当x ∈(1,2)时,f ′(x )>0,当x ∈(2,+∞)时,f ′(x )<0,

故在x =1处函数f (x )取得极小值6

5,在x =2处函数取得极大值3

4-3

2ln2.

25.证法一:∵b >a >e ,∴要证a b >b a

,只要证b ln a >a ln b ,设f (b )=b ln a -a ln b (b >e ),则

f ′(b )=ln a -b

a .∵

b >a >e ,∴ln a >1,且b

a <1,∴f ′(

b )>0.∴函数f (b )=b ln a -a ln b 在(e ,+∞)上是增函数,∴f (b )

>f (a )=a ln a -a ln a =0,即b ln a -a ln b >0,∴b ln a >a ln b ,∴a b

>b a

.

证法二:要证a b

>b a

,只要证b ln a >a ln b (e <a <b ),即证,设f (x )=x

x ln (x >e ),则f ′(x )=2

ln 1x x -<0,∴函

数f (x )在(e ,+∞)上是减函数,又∵e <a <b ,

∴f (a )>f (b ),即b

b a a ln ln >,∴a b

>b a

.

26.解:(1)f (α)=

a

a -+-1682

,f (β)=

a

a ++-1682

,f (α)=f (β)=4,

(2)设φ(x )=2x 2

-ax -2,则当α<x <β时,φ(x )<0,

2

222222)1()4(2)1(4)1()1)(4()1()4()(+--+=

+'+--+'-='x a x x x x x a x x a x x f

0)1()(2)1()22(22

2222>+-=++--

=x x x ax x ?.

∴函数f (x )在(α,β)上是增函数.

(3)函数f (x )在[α,β]上最大值f (β)>0,最小值f (α)<0,

∵|f (α)·f (β)|=4,∴当且仅当f (β)=-f (α)=2时,f (β)-f (α)=|f (β)|+|f (α)|取最小值4,此时a =0,f (β)=2.

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