2012年高考真题理科数学解析汇编:三角函数
一、选择题
1 .(2012年高考(天津理))在ABC ?中,内角
A ,
B ,
C 所对的边分别是,,a b c ,已知
8=5b c ,=2C B ,则cos C =
( )
A .7
25
B .725-
C .7
25
±
D .
2425
2 .(2012年高考(天津理))设R ?∈,则“=0?”是“()=cos(+)f x x ?()x R ∈为偶函数”
的
( )
A .充分而不必要条件
B .必要而不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
3 .(2012年高考(新课标理))已知0ω
>,函数()sin()4f x x πω=+在(,)2
π
π上单调递减.
则ω的取值范围是 ( )
A .15
[,]24
B .13[,]24
C .1(0,]2
D .(0,2]
4 .(2012年高考(浙江理))把函数y =cos2x +1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍
(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是
5 .(2012年高考(重庆理))设tan ,tan αβ是方程2
320x x -+=的两个根,则tan()
αβ+的值为
( )
A .3-
B .1-
C .1
D .3
6 .(2012年高考(上海理))在ABC ?中,若C B A 222
sin sin sin
<+,则ABC ?的形状是
( )
A .锐角三角形.
B .直角三角形.
C .钝角三角形.
D .不能确定.
7 .(2012年高考(陕西理))在ABC ?中,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,若2
2
2
2a b c +=,
则cos C 的最小值为
( )
A
B
C .
12
D .12
-
8 .(2012年高考(山东理))若42ππθ??
∈?
???
,
,sin 2θ,则sin θ=
( )
A .
3
5
B .
45 C
.
4
D .
34
9 .(2012年高考(辽宁理))
已知sin cos αα-=α∈(0,π),则tan α= ( )
A .-1 B
.2-
C
.
2
D .1
10.(2012年高考(江西理))若tan θ+
1
tan θ
=4,则sin2θ= ( )
A .15
B .14
C .13
D .12
11.(2012年高考(湖南理))函数f(x)=sinx-cos(x+6
π
)的值域为
( )
A .[ -2 ,2]
B .
C .[-1,1 ]
D .
12.(2012年高考(大纲理))已知α为第二象限角
,sin cos 3
αα+=
,则cos2α= ( )
A
.B
.C
D
二、填空题
13.(2012年高考(重庆理))设
ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且
35
cos ,cos ,3,513
A B b ===则c =______
14.(2012年高考(上海春))函数()sin(2)4
f x x π
=+
的最小正周期为_______.
15.(2012年高考(江苏))设α为锐角,若4
cos 65απ?
?+
= ??
?,则)12
2sin(π+a 的值为____. 16.(2012年高考(湖南理))函数f(x)=sin (x ω?+)的导函
数()y f x '=的部分图像如图4所示,其中,P 为图像与y 轴的交点,A,C 为图像与x 轴的两个交点,B 为图像的最低点.
(1)若6
π
?=
,点P 的坐标为(0,
2
),则ω=______ ; (2)若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC 内的概率为_______.
17.(2012年高考(湖北理))设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 若
()()a b c a b c ab +-++=,则角C =_________.
18.(2012年高考(福建理))已知ABC ?的等比数列,则其最大角的
余弦值为_________.
19.(2012年高考(大纲理))当函数sin (02)y x x x π=≤<取得最大值
时,x =_______________.
20.(2012年高考(北京理))在△ABC 中,若
2a =,7b c +=,1
cos 4
B =-
,则b =___________.
21.(2012年高考(安徽理))设ABC ?的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ;则下列命题正确的
是_____
①若2
ab c >;则3
C π
<
②若2a b c +>;则3
C π
<
③若3
3
3a b c +=;则2
C π
<
④若()2a b c ab +<;则2
C π
>
⑤若2
2
2
22
()2a b c a b +<;则3
C π
>
三、解答题
22.(2012年高考(天津理))已知函数
2()=sin (2+
)+sin(2)+2cos 13
3
f x x x x π
π
-
-,x R ∈.
(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期; (Ⅱ)求函数()f x 在区间[,
]44ππ
-上的最大值和最小值.
23.(2012年高考(浙江理))在?ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知
cos A =2
3
,sin B C . (Ⅰ)求tan C 的值;
(Ⅱ)若a 求?ABC 的面积.
24.(2012年高考(重庆理))(本小题满分13分(Ⅰ)小问8分(Ⅱ)小问5分)
设()4cos()sin cos(2)6
f x x x x π
ωωωπ=-
-+,其中.0>ω
(Ⅰ)求函数()y f x = 的值域 (Ⅱ)若()f x 在区间3,22ππ??
-???
?上为增函数,求 ω的最大值.
25.(2012年高考(四川理))
函数
2
()6cos 3(0)2
x
f x x ωωω=+->在一个周期内
的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ?为正三角形.
(Ⅰ)求ω的值及函数()f x 的值域;
(Ⅱ)若0()f x =,且0102
(,)33
x ∈-,求0(1)f x +的值.
26.(2012年高考(上海理))海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原
点,以正北方向为y 轴
正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向12海
里A 处,如图. 现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线
249
12x y =
;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救
援船出发t 小时后,失事船所在位置的横坐标为t 7.
(1)当5.0=t 时,写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时 两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;
(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?
27.(2012年高考(陕西理))函数
()sin()16
f x A x π
ω=-+(0,0A ω>>)的最大值为3, 其
图像相邻两条对称轴之间的距离为2
π
,
(1)求函数()f x 的解析式; (2)设(0,)2π
α∈,则()22
f α
=,求α的值.
28.(2012年高考(山东理))已知向量(sin ,1),(3cos ,
cos 2)(0)3
A
m x n A x x A ==>,函数()f x m n =?的最大值为6. (Ⅰ)求A ;
(Ⅱ)将函数()y f x =的图象向左平移12
π
个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数()y g x =的图象.求()g x 在5[0,
]24
π
上的值域.
29.(2012年高考(辽宁理))在ABC ?中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c .角A ,B ,C 成等差
数列.
(Ⅰ)求cos B 的值;
(Ⅱ)边a ,b ,c 成等比数列,求sin sin A C 的值.
30.(2012年高考(江西理))在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已
知,,sin()sin()444
A b C c
B a π
ππ
=
+-+=. (1)求证:2
B C π-=
(2)若求△ABC 的面积.
31.(2012年高考(江苏))在ABC ?中,已知3AB AC BA BC =.
(1)求证:tan 3tan B A =;
(2)若cos C =求A 的值.
32
.(
2012
年
高
考
(
湖
北
理
))
已知向量
(cos sin ,sin )x x x ωωω=-a ,(cos sin ,)
x x x ωωω=--b ,
设
函
数
()f x λ=?+a b ()x ∈R 的图象关于直线πx =对称,其中ω,λ为常数,且1
(,1)2
ω∈.
(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;
(Ⅱ)若()y f x =的图象经过点π
(,0)4,求函数()f x 在区间3π[0,]5上的取值范围.
33.(2012年高考(广东理))(三角函数)已知函数()2cos 6f x x πω??
=+
??
?
(其中0ω>x ∈R )的最小正周期为10π. (Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)设α、0,2πβ??
∈????
,
56535f απ??+=- ???,5165617f βπ?
?-= ??
?,求()cos αβ+的值.
34.(2012年高考(福建理))某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同
一个常数.
(1)2
sin 13cos17sin13cos17?+?-?? (2)2
sin 15cos15sin15cos15?+?-?? (3)2
sin 18cos12sin18cos12?+?-?? (4)2
sin (18)cos 48sin(18)cos 48-?+?--?? (5)2sin (25)cos55sin(25)cos55-?+?--?? Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数
Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.
35.(2012年高考(大纲理))(注意..:.在试卷上作答无效........
) ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知cos()cos 1,2A C B a c -+==,
求C .
36.(2012年高考(北京理))已知函数
(sin cos )sin 2()sin x x x
f x x
-=
.
(1)求()f x 的定义域及最小正周期; (2)求()f x 的单调递增区间.
37.(2012年高考(安徽理))设函数2()cos(2)sin 24
f x x x π
=
++ (I)求函数()f x 的最小正周期;
(II)设函数()g x 对任意x R ∈,有()()2g x g x π
+
=,且当[0,]2
x π
∈时,
1
()()2
g x f x =
-,求函数()g x 在[,0]π-上的解析式.
2012年高考真题理科数学解析汇编:三角函数参考答案
一、选择题 1. 【答案】A
【命题意图】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式. 考查学生分析、转化与计算等能力.
【解析】∵8=5b c ,由正弦定理得8sin =5sin B C ,又∵=2C B ,∴8sin =5sin 2B B ,所以8s i B B B ,易
知s i B ≠,∴4cos =5B ,2cos =cos 2=2cos 1C B B -=725
.
2. 【答案】A
【命题意图】本试题主要考查了三角函数的奇偶性的判定以及充分条件与必要条件的判
定.
【解析】∵=0??()=cos(+)f x x ?()x R ∈为偶函数,反之不成立,∴“=0?”是“()=cos(+)f x x ?()x R ∈为偶函数”的充分而不必要条件.
3. 【解析】选A
592()[,]4
4
4
x πππ
ωω=?+∈ 不合题意 排除()D
351()[,]4
4
4
x πππ
ωω=?+∈ 合题意 排除()()B C
另:()22π
ωππω-
≤?≤,3()[,][,]424422x ππππππ
ωωπω+∈++? 得:315,2424224
πππππωπωω+≥+≤?≤≤
4. 【答案】A
【解析】把函数y =cos2x +1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得:y 1=cos x +1,向左平移1个单位长度得:y 2=cos(x +1)+1,再向下平移1个单位长度
得:y 3=cos(x +1).令x =0,得:y 3>0;x =
12
π
-,得:y 3=0;观察即得答案. 5. 【答案】A
【解析】
t a
n
t a n t
1t
αβαβαβαβαβ++==?+=
==-+- 【考点定位】此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切公式化简求值.
6. [解析] 由条件结合正弦定理,得2
2
2
c b a <+,再由余弦定理,得0cos 22
22<=
-+ab
c b a C ,
所以C 是钝角,选C.
7. 解析:由余弦定理得,222221
cos 242
a b c a b C ab ab +-+=
=≥当且仅当a b =时取“=”,选C.
8. 【解析】因为
]2
,4[ππθ∈,所以],2
[2ππ
θ∈,02cos <θ,所以
8
1
2s i n 12c o s 2-=--=θθ,
又
8
1sin 212cos 2-
=-=θθ,所以
169sin 2=
θ,4
3
sin =θ
,选D. 9. 【答案】A
【解析一】
sin cos )sin()144
ππ
αααα-=-=-=
3(0),,tan 14
π
απαα
∈∴=∴=-,,故选A
【解析二】
2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=-
33(0,),2(0,2),2,,tan 124
ππαπαπααα∈∴∈∴=
∴=∴=-,故选A 【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思
想和运算求解能力,难度适中.
10. D 【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.
因
为
221sin cos sin cos 1
tan 4
1tan cos sin sin cos sin 22
θθθθθθθθθθθ++=+===,所
以.1sin 22
θ=
. 【点评】本题需求解正弦值,显然必须切化弦,因此需利用公式sin tan cos θ
θθ
=
转化;另外,2
2
sin cos θθ+在转化过程中常与“1”互相代换,从而达到化简的目的;关于正弦、余弦的齐次分式,常将正弦、余弦转化为正切,即弦化切,达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式,二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用,逆用等.
11. 【答案】B
【解析】
f(x)=sinx-cos(x+
6
π
)
1sin cos sin )226
x x x x π=-
+=-,
[]sin()1,16
x π
-∈-,()
f x ∴值域为].
【点评】利用三角恒等变换把()f x 化成s i n ()A x ω?+的
形式,利用[]s i n ()1
,1x ω?+∈-
,求得()f x 的值域. 12. 答案A
【命题意图】本试题主要考查了三角函数中两角和差的公式以及二倍角公式的运用.首先利用平方法得到二倍角的正弦值,然后然后利用二倍角的余弦公式,将所求的转化为单角的正弦值和余弦值的问题.
【解析】sin cos 3αα+=
,两边平方可得121sin 2sin 233
αα+=?=- α是第二象限角,因此sin 0,cos 0αα><,
所以cos sin 3
αα-===-
22cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )3
ααααααα∴=-=+-=-
法二:单位圆中函数线+估算,因为α是第二象限的角,
又1sin cos 2
αα+
所以“正弦线”要比“余弦线”长一半多点,如图,故2cos α的“余弦线”应选A .
二、填空题 13. 【答案】145
c =
【解析】由35412cos ,cos sin ,sin 513513A B A B =
=?==,由正弦定理sin sin a b A B
=得43sin 13512sin 513
b A a B ?
==
=,由余弦定理222214
2cos 25905605
a c
b b
c A c c c =+-?-+=?=
【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系求出sin B 的值是本题的突破点,然后利
用正弦定理建立已知和未知之间的关系,同时要求学生牢记特殊角的三角函数值. 14. π
15.
【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数.
【解析】∵α为锐角,即02
<<
π
α,∴
2=
6
6
2
6
3
<<
π
π
π
π
πα+
+
. ∵
4cos 65απ?
?+=
???,∴
3sin 65απ?
?+=
??
?.∴
3424sin 22sin cos =2=3665525αααπππ?????
?+=++ ? ? ???????.
∴7cos 2325απ?
?+= ???
.
∴sin(2)=sin(2)=sin 2cos cos 2sin 12
343434a a a a π
π
πππππ???
?+
+
-+-+ ? ????
? 2427217
=
=225225250
-
16. 【答案】(1)3;(2)
4
π 【解析】(1)()y f x '=cos()x ωω?=+,
当6
π
?=
,点P 的坐标为
)时 cos
36
π
ωω=
∴=; (2)由图知222T AC π
πωω
===,122
ABC
S AC π
ω=
?=,设,A B 的横坐标分别为,a b . 设曲线段
ABC 与
x
轴所围成的区域的面积为S
则
()()sin()sin()2b
b
a
a
S f x dx f x a b ω?ω?'=
==+-+=?
,由几何概型知该点在
△ABC 内的概率为224
ABC
S
P S
π
π
=
==. 【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等,(1)利用点P 在图像上求ω, (2)几何概型,求出三角形面积及曲边形面积,代入公式即得. 17.考点分析:考察余弦定理的运用.
解析:由2
2
2
()()a b c a b c ab a b c ab +-+-=?+-=-
根据余弦定理可得22212cos 223
a b c C C ab π
+-==-?=
18.
【答案】4
-
【解析】设最小边为a ,
,2
a ,由余弦定理得,最大角的余弦值为
222cos 4α==- 【考点定位】此题主要考查三角形中的三角函数,等比数列的概念、余弦定理,考查分析
推理能力、运算求解能力.
19.答案:
56
π 【命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用,求解值域的问题.首先化为单一三
角函数,然后利用定义域求解角的范围,从而结合三角函数图像得到最值点.
【解析】由sin 2sin()3
y x x x π
==-
由5023
3
3x x π
π
ππ≤-
≤-
<
可知22sin()23
x π
-≤-≤ 当且仅当332x ππ-=即116x π=时取得最小值,32x ππ-=时即56
x π
=取得最大值.
20. 【答案】4
【解析】在ABC
?中,得用余弦定理22214()()47()cos 2444a c b c b c b c b B ac c c
+-++-+-=?-==
,
化
简
得
8740c b -+=,与题目条件7b c +=联立,可解得2,4,3a b c ===,答案为4.
【考点定位】 本题考查的是解三角形,考查余弦定理的应用.利用题目所给的条件列出
方程组求解.
21. 【解析】正确的是①②③
①2222
21cos 2223
a b c ab ab ab c C C ab ab π
+-->?=
>=?< ②2222224()()12cos 2823
a b c a b a b a b c C C ab ab π
+-+-++>?=
>≥?< ③当2
C π
≥
时,22232233c a b c a c b c a b ≥+?≥+>+与333
a b c +=矛盾
④取2,1a b c ===满足()2a b c ab +<得:2
C π
<
⑤取2,1a b c ===满足2
2
2
22
()2a b c a b +<得:3
C π
<
三、解答题
22. 【命题意图】本题考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式,三角函数的最小周
期,单调性等知识.
()=sin 2cos
cos 2sin sin 2cos cos 2sin cos 23333
f x x x x x x ππππ
++-+
sin 2cos 2)4x x x π
=+=+
所以,()f x 的最小正周期22T π
π==. (2)因为()f x 在区间[,]48ππ-上是增函数,在区间[,]84
ππ
上是减函数,又
()14
f π
-=-,()()184f f ππ==,故函数()f x 在区间[,]44ππ-,
最小值为1-.
【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为=sin (+)y A x ω?的数学模型,再根
据此三角模型的图像与性质进行解题即可.
23. 【解析】本题主要考察三角恒等变换,正弦定理,余弦定理及三角形面积求法等知识点.
(Ⅰ) ∵cos A =23
>0,∴sin A
C =sin B =sin(A +C )=sin A cos C +sin C cos A
cos C +23sin C .
整理得:tan C
. (Ⅱ)由图辅助三角形知:sin C
. 又由正弦定理知:sin sin a c
A C
=,
故c =对角A 运用余弦定理:cos A =2222
23
b c a bc +-=. (2)
解(1) (2)得
:b =or b
(舍去). ∴?ABC 的面积为:S
. 【答案】(Ⅰ)
. 24. 【考点定位】本题以三角函数的化简求值为主线,三角函数的性质为考查目的的一道综
合题,考查学生分析问题解决问题的能力,由正弦函数的单调性结合条件可列
32424π
πωππω
?-≥-??
?
?≤??,从而解得ω的取值范围,即可得ω的最在值. 解:(1)(
)1
4sin sin cos 222f x x x x x ωωωω??=++
? ???
222cos 2sin cos sin x x x x x ωωωωω=++-
21x ω=+
因1sin 21x ω-≤≤,所以函数()y f x =
的值域为1?-?
(2)因sin y x =在每个闭区间()2,22
2k k k Z π
πππ?
?
-
+
∈???
?
上为增
函数,故
(
)21f x x ω=+()0ω>在每个闭区间(),44k k k Z ππππωωωω??-+∈????
上为增函数.
依题意知3,22ππ??-?????,44k k ππππωωωω??
-+????
对某个k Z ∈成立,此时必有0k =,于是
32424π
πωππ
ω
?-≥-???
?≤??,解得16ω≤,故ω的最大值为16. 25. [解析](Ⅰ)由已知可得
:
2
()6cos 3(0)2
x
f x x ωωω=+->
=3cos ωx+)3
sin(32sin 3π
ωω+
=x x
又由于正三角形ABC 的高为23,则BC=4 所以,函数4
82824)(π
ωω
π
=
==?=,得,即
的周期T x f
所以,函数]32,32[)(-的值域为x f
(Ⅱ)因为,由53
8)(0=
x f (Ⅰ)有 ,538)3
4
(
sin 32)(0
0=
+
=π
πx x f 5
4
)34(sin 0=+ππx 即 由x 0)2,2()34x (323100π
πππ-∈+-
∈),得,( 所以,5
3
)54(1)34(
cos 20
=-=+
π
πx 即 故=+)1(0x f =+
+
)3
4
4
(
sin 320
π
π
πx ]4
)3
4
(
sin[320
π
π
π+
+
x
)
22532254(324
sin
)3
4
cos(
4
cos
)34(
[sin 320
?+?=+
++
=π
π
ππ
π
πx x
5
6
7= [点评]本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查树形结合、转化等数学思想.
26. [解](1)5.0=t
时,P 的横坐标x P =277=t ,代入抛物线方程249
12
x y =
中,得P 的纵坐标y P =3 由|AP |=
2
949,得救援船速度的大小为949海里/时
由tan∠OAP =30712327
=+,得∠OAP =arctan 307
,故救援船速度的方向
为北偏东arctan 307
弧度
(2)设救援船的时速为v 海里,经过t 小时追上失事船,此时位置为)12,7(2
t t . 由222)1212()7(++=t t vt ,整理得337)(1442122++=t t v 因为22
1
2≥+
t t ,当且仅当t =1时等号成立,
所以2
2
253372144=+?≥v ,即25≥v .
因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船
27.解析:(1)∵函数()f x 的最大值为3,∴13,A +=即2A =
∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为
2π
,∴最小正周期为T π= ∴2ω=,故函数()f x 的解析式为sin(2)16
y x π
=-+
(2)∵()2sin()1226f απ
α=-+=
即1
sin()62πα-=
∵02πα<<,∴663πππ
α-<-<
∴66ππα-=,故3
πα=
28.
解
析
:(Ⅰ)
??? ?
?+=+=+
=?=62sin 2cos 22sin 232cos 2sin cos 3)(πx A x A x A x A x x A x f , 则6=A ;
(Ⅱ)函数y=f(x)的图象像左平移
12π个单位得到函数]6
)12(2sin[6π
π++=x y 的图象, 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的1
2
倍,纵坐标不变,得到函数
)3
4sin(6)(π
+
=x x g .
当]245,
0[π∈x 时,]1,2
1
[)34sin(],67,3[34-∈+∈+ππππx x ,]6,3[)(-∈x g . 故函数()g x 在5[0,]24
π
上的值域为]6,3[-.
另解:由)3
4sin(6)(π
+=x x g 可得)3
4cos(24)(π
+
='x x g ,令0)(='x g ,
则)(234Z k k x ∈+
=+
π
ππ,而]24
5,
0[π∈x ,则24π
=x , 于是36
7sin 6)245(,62sin 6)24(,333sin 6)0(-======π
ππππg g g ,
故6)(3≤≤-x g ,即函数()g x 在5[0,]24
π
上的值域为]6,3[-.
29. 【答案及解析】
(1)由已知1
2=+,++=,=
,cos =32
B A
C A B C B B π
π∴ (2)解法一:2
=b ac ,由正弦定理得2
3
sin sin =sin =
4
A C
B 解法二:2
=b ac ,222221+-+-=cos ==222a c b a c ac B ac ac
,由此得22
+-=,a c ac ac 得=a c
所以===
3
A B C π
,3
sin sin =
4
A C 【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果.
30. 【解析】
解:(1)证明:由 sin(
)sin()44
b C
c B a π
π
+-+=及正弦定理得: sin sin()sin sin()sin 44
B C C B A ππ
+-+=,
即sin (
)sin ()22222
B C C C B B +-+= 整理得:sin cos cos sin 1B C B C -=,所以sin()1B C -=,又30,4
B C π
<< 所以2
B C π-=
(2) 由(1)及34B C π+=可得5,88B C ππ=
=,又,4
A a π
==所以sin 5sin 2sin ,2sin sin 8sin 8
a B a C
b
c A A ππ
=
===, 所
以
三
角
形
ABC
的
面
积
151
sin sin cos 2888842
bc A πππππ===== 【点评】本题考查解三角形,三角形的面积,三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用.高考中,三角解答题一般有两种题型:一、解三角形:主要是运用正余弦定理来求解边长,角度,周长,面积等;二、三角函数的图像与性质:主要是运用和角公式,倍角公式,辅助角公式进行三角恒等变换,求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值(值域)等.来年需要注意第二种题型的考查.
31. 【答案】解:(1)∵3AB AC BA BC =,∴cos =3cos AB AC A BA BC B ,即
cos =3cos AC A BC B .
由正弦定理,得=
sin sin AC BC
B A
,∴sin cos =3sin cos B A A B . 又∵0B>,.∴
sin sin =3cos cos B A
B A 即tan 3tan B A =.
(2)∵ cos 0C A B +=--. 由 (1) ,得24tan 2 13tan A A =--,解得1tan =1 tan =3A A -,. ∵cos 0A>,∴tan =1A .∴= 4 A π . 【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形. 【解析】(1)先将3AB AC BA BC =表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明. (2)由cos C 可求tan C ,由三角形三角关系,得到()tan A B π?-+???,从而根据两角和的正切公式和(1)的结论即可求得A 的值. 32.考点分析:本题考察三角恒等变化,三角函数的图像与性质. 解析:(Ⅰ)因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+?+ cos 22x x ωωλ=-+π 2sin(2)6x ωλ=-+. 由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴,可得π sin(2π)16ω-=±, 所以ππ2ππ()62k k ω- =+∈Z ,即1 ()23 k k ω=+∈Z . 又1 (,1)2ω∈,k ∈Z ,所以1k =,故56ω=. 所以()f x 的最小正周期是 6π 5 . (Ⅱ)由()y f x =的图象过点π(,0)4,得π ()04 f =, 即5πππ 2sin()2sin 6264 λ=-?-=-=,即λ= 故5π ()2sin()36f x x =-, 由3π05x ≤≤ ,有π5π5π6366 x -≤-≤, 所以15πsin()1236x -≤-≤,得5π 12sin()236x -- 故函数()f x 在3π [0, ]5 上的取值范围为[12-. 33.解析:(Ⅰ)210T π πω = =,所以1 5ω=. (Ⅱ)515652cos 52cos 2sin 353625f ππαπαπαα??????? ?+=++=+=-=- ? ? ??????????? ,所以 3s i n 5α= .5151652cos 52cos 656617f πβπβπβ??? ???-=-+== ? ????????? ,所以8cos 17β=.因 为α、0,2πβ?? ∈???? ,所以4c o s 5α= = ,15 sin 17 β=,所以()4831513 c o s c o s c o s s i n s i n 51751785 αβαβαβ+=-=?-?=- . 34. 【考点定位】本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、 考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化思想. 解:(1)选择(2)式计算如下2 13 sin 15cos15sin15cos151sin 3024 ?+?-??=-?= (2)证明:2 2 sin cos (30)sin cos(30)αααα+?--?- 22sin (cos30cos sin 30sin )sin (cos30cos sin 30sin )αααααα=+?+?-?+? 2222311 sin cos cos sin cos sin 442 αααααααα=+++- 22333 sin cos 444 αα=+= 35. 【命题意图】本试题主要考查了解三角形的运用,给出两个公式,一个是边的关系,一个 角的关系,而求解的为角,因此要找到角的关系式为好. 【解析】由()A B C B A C ππ++=?=-+, 由正弦定理及2a c =可得sin 2sin A C = 所以cos()cos cos()cos(())cos()cos()A C B A C A C A C A C π-+=-+-+=--+ 三角函数专题复习 在三角函数复习过程中,认真研究考纲是必须做的重要工作。三角函数可以当成函数内容中的重要一支,要注意与其它知识的联系。 一、研究考题,探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中,和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。偏重化简求值,三角函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3、对三角函数的考查主要来自于:①课本是试题的基本来源,是高考命题的主要依据,大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴,有先例可循。 二、典例剖析 例1:函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是 A .2(,)33ππ B .(,)62ππ C .(0,)3π D .(,)66 ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2 x f x x =-=2cos cos 1x x --,从复合函数的角度看,原函数看作2()1g t t t =--,cos t x =,对于2()1g t t t =--,当1[1,]2t ∈-时,()g t 为减函数,当1[,1]2 t ∈时,()g t 为增函数,当2(,)33x ππ∈时,cos t x =减函数,且11(,)22 t ∈-, ∴ 原函数此时是单调增,选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时,需掌握复合函数的性质,以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是:①求定义域;②确定复合过程;③根据外层函数f(μ)的单调性,确定φ(x)的单调性;④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子,并解出x 的范围;⑤得到原函数的单调区间(与定义域求交).求解时切勿盲目判断. 例2、已知tan 2θ=. (Ⅰ)求tan 4πθ??+ ??? 的值; (Ⅱ)求cos2θ的值. 【解析】 (Ⅰ)∵tan 2θ=, tan tan 4tan 41tan tan 4π θπθπθ+??∴+= ???- 三角函数公式 1.正弦定理: A a sin = B b sin =C c sin = 2R (R 为三角形外接圆半径) 2.余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注:奇变偶不变,符号看象限。 注:三角函数值等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时,原三角函数值的符号;即:函数名不变,符号看象限 注:三角函数值等于α的 异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时,原三角函数值的符号;即: 函数名改变,符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式:(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式:(符号的选择由 2 θ 所在的象限确定) ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式: [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式: 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π -a) 半角公式 sin( 2 A )=2cos 1A - cos( 2 A )=2cos 1A + tan( 2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2 A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2 b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos ) sin(+ 积化和差 sinasinb = -21 [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21 [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21 [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21 [sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π -a) = cosa cos(2π -a) = sina sin(2π +a) = cosa cos(2 π +a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 高中数学公式:三角函数公式大全三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在,下面是三角函数公式大全: 锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2) (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A)) 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) 页 1 第 =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B 降幂公式 cos(2α))/2=versin(2α)/2sin^2(α)=(1- cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 -cos(2α))/(1+cos(2α))tan^2(α)=(1 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α 2cot2α-cotα=-tanα s2α=2cos^2α1+co 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα /2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina 页 2 第 =(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa =4cos3a-3cosa 三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、(2009)函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A .最小正周期为π的奇函数 B .最小正周期为π的偶函数 C .最小正周期为 2π的奇函数 D .最小正周期为2 π 的偶函数 2、(2008)已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈,则()f x 是( ) A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.(2009浙江文)已知a 是实数,则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能... 是( ) 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.(2009江西卷文)函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A .2π B . 32π C .π D . 2 π 6.(2009全国卷Ⅰ文)如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称,那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.(2008海南、宁夏文科卷)函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为( ) A. -3,1 B. -2,2 C. -3, 3 2 D. -2, 32 8.(2007海南、宁夏)函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ,的简图是( ) 三角函数总结及统练 一. 教学内容: 三角函数总结及统练 (一)基础知识 1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ 2. 三角函数的定义(六种)——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀:一正二弦,三切四余弦。 4. 三角函数线 正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan 5. 同角三角函数的关系 平方关系:商数关系: 倒数关系:1cot tan =?αα 1c s c s i n =?αα 1s e c c o s =?αα 口诀:凑一拆一;切割化弦;化异为同。 6. 诱导公式——口诀:奇变偶不变,符号看象限。 α απ+k 2 α- απ- απ+ απ-2 α π -2 α π +2 正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切 αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切 αcot αcot - αcot - αcot αcot - αtan αtan - 7. 两角和与差的三角函数 ?????? ? ?+-=-?-+=+?????????+?=-?-?=+?-?=-?+?=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (t a n t a n 1t a n t a n )t a n (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n c o s c o s s i n )s i n (s i n c o s c o s s i n )s i n ( 8. 二倍角公式——代换:令αβ= ??????? -= -=-=-=?=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin 降幂公式?????? ?+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα 半角公式: 2cos 12 sin αα -± =;2cos 12cos αα+±=; αα αcos 1cos 12tan +-± = αα ααα cos 1sin sin cos 12 tan += -= 9. 三角函数的图象和性质 函数 x y sin = x y cos = x y tan = 3 三角函数大题压轴题练习 1. 已知函数 f (x ) = cos(2x - ) + 2 s in(x - ) sin(x + ) 3 4 4 (Ⅰ)求函数 f (x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的值域 12 2 解:(1)Q f (x ) = cos(2x - ) + 2 s in(x - ) sin(x + ) 3 4 4 = 1 cos 2x + 3 sin 2x + (sin x - cos x )(sin x + cos x ) 2 2 = 1 cos 2x + 3 sin 2x + sin 2 x - cos 2 x 2 2 = 1 cos 2x + 3 sin 2x - cos 2x 2 2 = sin(2x - ∴周 周 6 T = 2 = 2 k 由2x - = k + (k ∈ Z ), 周 x = + (k ∈ Z ) 6 2 2 3 ∴函数图象的对称轴方程为 x = k + ∈ Z ) 3 5 (2)Q x ∈[- , ],∴ 2x - ∈[- , ] 12 2 6 3 6 因为 f (x ) = sin(2x - ) 在区间[- , ] 上单调递增,在区间[ , ] 上单调 递减, 6 12 3 3 2 所以 当 x = 时, f (x ) 取最大值 1 3 1 又 Q f (- ) = - < f ( ) = ,当 x = - 时, f (x ) 取最小值- 12 2 2 2 12 2 所以 函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的值域为[- 12 2 ,1] 2 2. 已知函数 f (x ) = sin 2 x + 3 sin x sin ?x + π ? (> 0 )的最小正周期为π . 2 ? ? ? (Ⅰ)求的值; 3 3 ) (k 高考数学三角函数公式 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系:平方关系: tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (六边形记忆法:图形结构“上弦中切下割,左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”) 诱导公式(口诀:奇变偶不变,符号看象限。) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα 高中三角函数公式大全[图] 1 三角函数的定义1.1 三角形中的定义 图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形ABC,如下定义六个三角函数: ?正弦函数 ?余弦函数 ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 1.2 直角坐标系中的定义 图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中,如下定义六个三角函数: ?正弦函数 ?余弦函数 r ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 2 转化关系2.1 倒数关系 2.2 平方关系 2 和角公式 3.1 倍角公式 3.3 万能公式 4 积化和差、和差化积 4.1 积化和差公式 证明过程 首先,sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα(已证。证明过程见《和角公式与差角公式的证明》)因为sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα(正弦和角公式) 则 sin(α-β) =sin[α+(-β)] =sinαcos(-β)+sin(-β)cosα =sinαcosβ-sinβcosα 于是 sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα(正弦差角公式) 将正弦的和角、差角公式相加,得到 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ 则 sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2(“积化和差公式”之一) 同样地,运用诱导公式cosα=sin(π/2-α),有 cos(α+β)= sin[π/2-(α+β)] =sin(π/2-α-β) =sin[(π/2-α)+(-β)] =sin(π/2-α)cos(-β)+sin(-β)cos(π/2-α) =cosαcosβ-sinαsinβ 于是 三角函数及数列大题训练 1.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= (1) 求数列{}n a 的通项公式;令n n b na =,求数列的前n 项和n S 2.等比数列{}n a 的各项均为正数,且212326231,9.a a a a a +== (1)求数列{}n a 的通项公式.(2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++ 求数列1n b ?? ???? 的前项和. 3.已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边,cos 3sin 0a C a C b c +--= (1)求A (2)若2a =,ABC ?的面积为3;求,b c 。 4.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a =b cos C +c sin B . (1)求B ;(2)若b =2,求△ABC 面积的最大值. 5.已知数列{}n a 满足11a =,131n n a a +=+. ⑴证明1{}2 n a +是等比数列,并求{}n a 的通项公式;(2)证明:1231112 n a a a ++<…+. 6.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知cos()cos 1A C B -+=,2a c =,求C 。 7.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c 。已知90,2A C a c b -=+= ,求C 8.如图,在△ABC 中,∠ABC =90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC =90° (1)若PB=1 2,求PA ;(2)若∠APB =150°,求tan ∠PBA 9.在△ABC 中,a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边, 且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ (Ⅰ)求A 的大小;(Ⅱ)求sin sin B C +的最大值. 10.已知等差数列{a n }满足a 2=0,a 6+a 8= -10 (I )求数列{a n }的通项公式;(II )求数列? ? ????-1 2 n n a 的前n 项和。 11. 在ABC ?中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c 。角A ,B ,C 成等差数列。 (Ⅰ)求cos B 的值;(Ⅱ)边a ,b ,c 成等比数列,求sin sin A C 的值。 12.设向量a =(3sin x ,sin x ),b =(cos x ,sin x ),x ∈π0,2 ?? ???? . (1)若|a |=|b |,求x 的值;(2)设函数f (x )=a ·b ,求f (x )的最大值. 13.在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c ,且a >c ,已知? =2,cosB=, b=3,求:(Ⅰ)a 和c 的值;(Ⅱ)cos (B ﹣C )的值. A B C P 高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多,很复杂,而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在,下面是三角函数公式大全:操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 2019-2020 年高考数学大题专题练习 —— 三角函数(一) 1. 【山东肥城】 已知函数 f ( x) 2sin 2 x 2sin 2 ( x) , x R . ( 1)求函数 y f ( x) 的对称中心; 6 ( 2)已知在 △ABC 中,角 A 、B 、C 所对的边分别为 a , b , c ,且 f ( B 6 ) b c , ABC 的外接圆半径为 3 ,求 △ABC 周长的最大值 . 2 2a 【解析】 f ( x) 1 cos2 x 1 cos2( x ) cos(2 x ) cos2 x 6 3 1 3 sin 2x cos 2x cos2x 2 2 3 sin 2x 1 cos2x sin(2 x 6 ) . 2 2 (1)令 2x k ( k Z ),则 x k ( k Z ), 6 2 12 所以函数 y f ( x) 的对称中心为 ( k ,0) k Z ; 2 12 (2)由 f ( B ) b c ,得 sin( B ) b c ,即 3 sin B 1 cos B b c , 2 6 2a 6 2a 2 2 2a 整理得 3a sin B a cos B b c , 由正弦定理得: 3 sin A sin B sin A cos B sin B sin C , 化简得 3 sin A sin B sin B cos Asin B , 又因为 sin B 0 , 所以 3 sin A cos A 1 ,即 sin( A 1 , 6 ) 2 由 0 A ,得 A 5 , 6 6 6 所以 A ,即 A 3 , 6 6 又 ABC 的外接圆的半径为 3 , 所以 a 2 3 sin A 3 ,由余弦定理得 三角函数大题综合训练 1.(2016?白山一模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知= (1)求角C的大小, (2)若c=2,求使△ABC面积最大时a,b的值. 2.(2016?广州模拟)在△ABC中,角A、B、C对应的边分别是a、b、c,已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A.(I)求角A的大小; (Ⅱ)若△ABC的面积S=5,b=5,求sinBsinC的值. 3.(2016?成都模拟)已知函数f(x)=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x. (Ⅰ)求函数f(x)取得最大值时x的集合; (Ⅱ)设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角,若cosB=,f(C)=﹣,求sinA的值. 4.(2016?台州模拟)已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,且c2=a2+b2﹣ab. (1)求角C的值; (2)若b=2,△ABC的面积,求a的值. 5.(2016?惠州模拟)如图所示,在四边形ABCD中,∠D=2∠B,且AD=1,CD=3,cosB=. (Ⅰ)求△ACD的面积; (Ⅱ)若BC=2,求AB的长. 6.(2015?山东)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosB=,sin (A+B)=,ac=2,求sinA和c的值. 7.(2015?新课标I)已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC. (Ⅰ)若a=b,求cosB; (Ⅱ)设B=90°,且a=,求△ABC的面积. 8.(2015?湖南)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA. (Ⅰ)证明:sinB=cosA; (Ⅱ)若sinC﹣sinAcosB=,且B为钝角,求A,B,C. 10.(2015?湖南)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角. (Ⅰ)证明:B﹣A=; (Ⅱ)求sinA+sinC的取值范围. 11.(2015?四川)已知A、B、C为△ABC的内角,tanA,tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0(p∈R)两个实根.(Ⅰ)求C的大小 (Ⅱ)若AB=3,AC=,求p的值. 1.将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动象如右图所示,则?的值为( ) A 2.为了得到()sin 2g x x =的图象,则只需将()f x 的图象( ) A C 3 ,则sin cos αα=( ) A 1 D -1 4 ) A 5.记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A . C .21k k -- 6 .若sin a = -a ( ) (A )(B (C (D 7,则α2tan 的值为( ) A 8.已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=,则下列结论正确的是( ) A .)(x f 的周期为π B .)(x f 在 C .)(x f 的最大值为.)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9.如图是函数y=2sin (ωx+φ),φ A.ωφ B.ωφ C.ω =2,φ D.ω=2,10的图象,只需要将函数sin 4y x =的图象( ) A B C D 11.要得到12cos -=x y 的图象,只需将函数x y 2sin =的图象( ) A 个单位,再向上平移1个单位 B 个单位,再向下平移1个单位 C 个单位,再向上平移1个单位 D 个单位,再向下平移1个单位 12.将函数()cos f x x =向右平移个单位,得到函数()y g x = 于() A 13.同时具有性质①最小正周期是π; 增函数的一个函数为() A C 14则tanθ=() A.-2 D.2 15) A 16.已知tan(α﹣)=,则的值为() A. B.2 C.2 D.﹣2 17) A.1 D.2 18.已知角α的终边上一点的坐标为(,则角α值为 19) A 20) A.. 定义式 ) ct 函数关系 倒数关系:;; 商数关系:;. 平方关系:;;.诱导公式 公式一:设为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: 公式二:设为任意角,与的三角函数值之间的关系: 公式三:任意角与的三角函数值之间的关系: 公式四:与的三角函数值之间的关系: 公式五:与的三角函数值之间的关系: 公式六:及与的三角函数值之间的关系: 记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限.即形如(2k+1)90°±α,则函数名称变为余名函数,正弦变余弦,余弦变正弦,正切变余切,余切变正切。形如2k×90°±α,则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变,符号看象限”意义: k×π/2±a(k∈z)的三角函数值.(1)当k为偶数时,等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作 锐角时原三角函数值的符号; (2)当k为奇数时,等于α的异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一:奇变偶不变,符号看象限: 记忆方法二:无论α是多大的角,都将α看成锐角. 以诱导公式二为例: 若将α看成锐角(终边在第一象限),则π十α是第三象限的角(终边在第三象限),正弦函数的函数值在第三象限是负值,余弦函数的函数值在第三象限是负值,正切函数的函数值在第三象限是正值.这样,就得到了诱导公式二. 以诱导公式四为例: 若将α看成锐角(终边在第一象限),则π-α是第二象限的角(终边在第二象限),正弦函数的三角函数值在第二象限是正值,余弦函数的三角函数值在第二象限是负值,正切函数的三角函数值在第二象限是负值.这样,就得到了诱导公式四. 诱导公式的应用: 运用诱导公式转化三角函数的一般步骤: 特别提醒:三角函数化简与求值时需要的知识储备:①熟记特殊角的三角函数值;②注意诱导公式的灵活运用;③三角函数化简的要求是项数要最少,次数要最低,函数名最少,分母能最简,易求值最好。 4 2 ) 三角函数 1.已知函数 f (x ) = 4 c os x s in(x + (Ⅰ)求 f (x ) 的最小正周期; ) -1. 6 (Ⅱ)求 f (x ) 在区间[- , ] 上的最大值和最小值. 6 4 2、已知函数 f (x ) = sin(2x + ) 3 + sin(2x - 3 + 2 cos 2 x - 1, x ∈ R . (Ⅰ)求函数 f (x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的最大值和最小值. 4 4 3、已知函数 f (x ) = tan(2x + ), 4 (Ⅰ)求 f (x ) 的定义域与最小正周期; ? ? (II )设∈ 0, ? ,若 f ( ) = 2 cos 2, 求的大小 ? ? 4、已知函数 f (x ) = (sin x - cos x ) sin 2x . sin x (1) 求 f (x ) 的定义域及最小正周期; (2) 求 f (x ) 的单调递减区间. 5、 设函数 f (x ) = cos(2x + + sin 2 x . 2 4 (I )求函数 f (x ) 的最小正周期; ( II ) 设 函 数 1 g (x ) 对 任 意 x ∈ R , 有 g (x + 2 = g (x ) , 且 当 x ∈[0, ] 时 , 2 g (x ) = - f (x ) ,求函数 g (x ) 在[-, 0] 上的解析式. 2 2 ) ) 3 + = 6、函数 f (x ) = A sin(x - 称轴之间的距离为 , 2 ) +1( A > 0,> 0 )的最大值为 3, 其图像相邻两条对 6 (1)求函数 f (x ) 的解析式; (2)设∈(0, ) ,则 f ( ) = 2 ,求的值. 2 2 7、设 f ( x ) = 4cos( ωx - π )sin ωx + cos 2ωx ,其中> 0. 6 (Ⅰ)求函数 y = f ( x ) 的值域 (Ⅱ)若 y = f ( x ) 在区间?- 3π , π? 上为增函数,求 的最大值. ?? 2 2 ?? 8、函数 f (x ) = 6 cos 2 x + 2 3 cos x - 3(> 0) 在一个周期内的图象如图所示, A 为 图象的最高点, B 、C 为图象与 x 轴的交点,且?ABC 为正三角形. (Ⅰ)求的值及函数 f (x ) 的值域; 8 3 (Ⅱ)若 f (x 0 ) 5 ,且 x 0 ∈(- 10 2 , ) ,求 f (x 0 1) 的值. 3 3 9、已知 a , b , c 分别为?ABC 三个内角 A , B , C 的对边, a cos C + 3a sin C - b - c = 0 (1)求 A ; (2)若 a = 2 , ?ABC 的面积为 ;求b , c . 10、在 ? ABC 中,内角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c .已知 cos A cos C . = 2 ,sin B = 5 3 (Ⅰ)求 tan C 的值; (Ⅱ)若 a = 2 ,求? ABC 的面积. 2014高三数学知识点总结:三角函数公式大全三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在,下面是为大家整理的三角函数公式大全:锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2) (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A)) 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B 降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa =4cos³a-3cosa sin3a=3sina-4sin³a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos³a-3cosa =4cosa(cos²a-3/4) =4cosa[cos²a-(√3/2)²] =4cosa(cos²a-cos²30°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°) /2]} 高考数学三角函数大题 综合训练 Revised as of 23 November 2020 三角函数大题综合训练 1.(2016?白山一模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知= (1)求角C的大小, (2)若c=2,求使△ABC面积最大时a,b的值. 2.(2016?广州模拟)在△ABC中,角A、B、C对应的边分别是a、b、c,已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A.(I)求角A的大小; (Ⅱ)若△ABC的面积S=5,b=5,求sinBsinC的值. 3.(2016?成都模拟)已知函数f(x)=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x. (Ⅰ)求函数f(x)取得最大值时x的集合; (Ⅱ)设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角,若cosB=,f(C)=﹣,求sinA的值. 4.(2016?台州模拟)已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,且c2=a2+b2﹣ab. (1)求角C的值; (2)若b=2,△ABC的面积,求a的值. 5.(2016?惠州模拟)如图所示,在四边形ABCD中,∠D=2∠B,且AD=1,CD=3, cosB=. (Ⅰ)求△ACD的面积; (Ⅱ)若BC=2,求AB的长. 6.(2015?山东)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosB=,sin (A+B)=,ac=2,求sinA和c的值. 7.(2015?新课标I)已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC. (Ⅰ)若a=b,求cosB; (Ⅱ)设B=90°,且a=,求△ABC的面积. 8.(2015?湖南)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA. (Ⅰ)证明:sinB=cosA; (Ⅱ)若sinC﹣sinAcosB=,且B为钝角,求A,B,C. 10.(2015?湖南)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角. (Ⅰ)证明:B﹣A=; (Ⅱ)求sinA+sinC的取值范围. 11.(2015?四川)已知A、B、C为△ABC的内角,tanA,tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0(p∈R)两个实根.(Ⅰ)求C的大小 (Ⅱ)若AB=3,AC=,求p的值. 12.(2015?河西区二模)设△ABC的内角A,B,C的内角对边分别为a,b,c,满足(a+b+c)(a﹣b+c)=ac.(Ⅰ)求B. 三角函数与解三角形 一.选择题 1.(2014?广西)已知角α的终边经过点(﹣4,3),则cosα=() A.B.C.﹣D.﹣ 2.(2014?广西)已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为()A.B.C.D. 3.(2014?河南)若tanα>0,则() A.sinα>0 B.cosα>0 C.sin2α>0 D.cos2α>0 4.(2014?河南)在函数①y=cos丨2x丨,②y=丨cosx丨,③y=cos(2x+)④y=tan(2x﹣)中,最 小正周期为π的所有函数为() A.①②③B.①③④C.②④ D.①③ 5.(2014?四川)为了得到函数y=sin(x+1)的图象,只需把函数y=sinx的图象上所有的点()A.向左平行移动1个单位长度 B.向右平行移动1个单位长度 C.向左平行移动π个单位长度 D.向右平行移动π个单位长度 6.(2014?陕西)函数f(x)=cos(2x+)的最小正周期是() A.B.πC.2πD.4π 7.(2014?辽宁)将函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数()A.在区间[,]上单调递减B.在区间[,]上单调递增 C.在区间[﹣,]上单调递减D.在区间[﹣,]上单调递增 8.(2014?江西)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若3a=2b,则的值为() A.﹣B.C.1 D. 9.(2014?福建)将函数y=sinx的图象向左平移个单位,得到函数y=f(x)的函数图象,则下列说法 正确的是() A.y=f(x)是奇函数 B.y=f(x)的周期为π C.y=f(x)的图象关于直线x=对称D.y=f(x)的图象关于点(﹣,0)对称 10.(2014?安徽)若将函数f(x)=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是() A.B.C.D. 二.填空题 11.函数f(x)=sin(x+φ)﹣2sinφcosx的最大值为_________ .2020年高考数学三角函数专题解题技巧
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