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【K12教育学习资料】高三数学专题复习 回扣四 数列与不等式 文

【K12教育学习资料】高三数学专题复习 回扣四 数列与不等式 文
【K12教育学习资料】高三数学专题复习 回扣四 数列与不等式 文

回扣四 数列与不等式

陷阱盘点1 忽视通项公式能否统一致误

已知数列的前n 项和S n 求a n ,易忽视n =1的情形而直接用S n -S n -1表示,事实上,当n =1时,a 1=S 1;当n ≥2时,a n =S n -S n -1.

[回扣问题1]已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2

+1,则a n =________.

陷阱盘点2 忽视数列性质中的整体代换致误

等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件,不能灵活地运用整体代换进行基本运算,如等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,已知S n T n =n +12n +3,求a n b n

时,无法正确赋值求解.

[回扣问题2]等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,且S n T n =3n -12n +3,则a 8b 8

=________. 陷阱盘点3 忽视对公比的讨论致误

运用等比数列的前n 项和公式时,易忘记分类讨论

(1)忽视数列的各项及公比都不为0.

(2)注意到公比q =1或q ≠1两种情形,进行讨论.

[回扣问题3]设等比数列{a n }的前n 项和S n ,若S 3+S 6=S 9,则公比q =________. 陷阱盘点4 忽视二次项系数与0的大小关系致误

解形如一元二次不等式ax 2

+bx +c >0时,易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解,要注意分a >0,a <0进行讨论.

[回扣问题4]若不等式x 2+x -1<m 2x 2

-mx 对x ∈R 恒成立,则实数m 的取值范围是________. 陷阱盘点5 基本不等式应用中,忽视使用条件

容易忽视使用基本不等式求最值的条件,即“一正、二定、三相等”导致错解.如求函数

f (x )=x 2+2+1

x 2+2的最值,就不能利用基本不等式求解最值.

[回扣问题5]已知a >0,b >0,a +b =1,则y =1a +4b

的最小值是________. 陷阱盘点6 线性规划问题中,忽视目标函数几何意义致误

求解线性规划问题时,不能准确把握目标函数的几何意义导致错解.如

y -2x +2是指已知区域内的点(x ,y )与点(-2,2)连线的斜率,而(x -1)2+(y -1)2是指已知区域内的点(x ,y )到点

(1,1)的距离的平方等.

[回扣问题6]设x ,y 满足约束条件?????x 3a +y 4a ≤1,x ≥0且y ≥0,

若z =y +1x +1的最小值为14,则a =________. 陷阱盘点7 数列的通项或求和中,忽视n 的奇偶性

对于通项公式中含有(-1)n

的一类数列,在求S n 时,切莫忘记讨论n 的奇偶性;遇到已知a n +1-a n -1=d 或a n +1a n -1

=q (n ≥2),求{a n }的通项公式,要注意分n 的奇偶性讨论. [回扣问题7]若a n =2n -1,且b n =(-1)n -14n

a n a n +1,则数列{

b n }的前n 项和T n =________.

陷阱盘点8 三个“二次”关系,把握不清致误

三个“二次”关系理解不清,难以善于等价转化,导致问题复杂化致误.

[回扣问题8]函数f (x )=x -1x

-a ln x 无极值点,则实数a 的取值范围是________.

回扣四 数列与不等式

1.?

????2,n =12n -1,n ≥2 2.43 [由等差数列的性质,a 8b 8=S 15T 15=3×15-12×15+3=43

.] 3.1或-1 [(1)若q =1时,显然S 3+S 6=9a 1=S 9成立.

(2)当q ≠1时,由S 3+S 6=S 9,得a 1(1-q 3)1-q +a 1(1-q 6)1-q =a 1(1-q 9)1-q

.由于1-q 3≠0,得q =-1.]

4.(-∞,-1]∪? ??

??53,+∞ [原不等式化为(m 2-1)x 2-(m +1)x +1>0对x ∈R 恒成立. (1)当m 2

-1=0且m +1=0,不等式恒成立,∴m =-1.

(2)当m 2-1≠0时,则?????m 2-1>0,Δ=[-(m +1)]2-4(m 2-1)<0, ∴?

????m >1或m <-1,m >53或m <-1,因此m >53或m <-1. 综合(1)(2)知,m 的取值范围为m >53

或m ≤-1.] 5.9 [∵a >0,b >0,a +b =1,

∴y =? ??

??1a +4b ·(a +b )=5+b a +4a b ≥9,当且仅当b =2a =23时,等号成立.] 6.1 [作约束条件的可行域如图所示.

则z 表示可行域内的点(x ,y )与点P (-1,-1)连线的斜率.则z min =k OA ,

∴0-(-1)3a -(-1)=13a +1=14

,故a =1.] 7.?

????2n 2n +1(n 为偶数)2n +22n +1(n 为奇数) [b n =(-1)n -14n a n a n +1=(-1)n -1·? ????12n -1+12n +1.

当n 为偶数时,T n =? ????1+13-? ????13+15+? ????15+17-…+? ????12n -3+12n -1-? ??

??12n -1+12n +1, ∴T n =1-12n +1=2n 2n +1

. 当n 为奇函数时,T n =? ????1+13-? ????13+15+? ????15+17-…-? ????12n -3+12n -1+? ??

??12n -1+12n +1, 所以T n =1+12n +1=2n +22n +1

, 故T n

=?????2n 2n +1(n 为偶数),

2n +22n +1(n 为奇数).] 8.(-∞,2] [易求f ′(x )=1+1

x 2-a x =x 2-ax +1x 2,x >0. 由于f (x )无极值点,所以f ′(x )=0在(0,+∞)内无实根或有两相等实根, 故x 2-ax +1≥0在(0,+∞)内恒成立,

则a ≤x +1x

在(0,+∞)内恒成立. 又x +1x ≥2x ·1

x =2,当且仅当x =1时取等号. ∴x +1x

的最小值为2,因此a ≤2.]

高中数学不等式讲义

6.1不等式的概念和性质 〖考纲要求〗掌握不等式的性质及其证明,能正确使用这些概念解决一些简单问题. 〖复习建议〗不等式的性质是解、证不等式的基础,对于这些性质,关键是正确理解和熟练运用, 要弄清每一个条件和结论,学会对不等式进行条件的放宽和加强。 〖双基回顾〗常见的性质有8条: 1、反身性(也叫对称性):a >b ?b <a 2、传递性:a >b ,b >c ?a >c 3、平移性:a >b ?a +c >b +c 4、伸缩性:???>>0c b a ?ac >bc ;???<>0 c b a ?ac <bc 5、乘方性:a >b ≥0?a n >b n (n ∈N ,n ≥2)6、开方性:a >b ≥0?n a >n b (n ∈N ,n ≥2) 7、叠加性:a >b ,c >d ?a +c >b +d 8、叠乘性:a >b ≥0,c >d ≥0?a ·c >b ·d 一、知识点训练: 1、b a b a 11???成立的充要条件为 2、用“>”“<”“=”填空: (1)a

备战2019高考数学选择题专题04不等式的证明理

专题04 不等式的证明 知识通关 1.基本不等式 (1)定理1:如果a ,b ∈R ,那么a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a =b 时,等号成立. (2)定理2(基本不等式):如果a ,b>0,那么 2 a b ab +≥,当且仅当a=b 时,等号成立. 用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数. (3)定理3:如果a ,b ,c 为正数,那么 3 3 a b c abc ++≥a =b =c 时,等号成立. 用语言可以表述为:三个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数. (4)算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n 个正数a 1,a 2,···,a n ,它们的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数,即 12123n n n a a a a a a a n ++ +≥??,当且仅当 a 1=a 2=···=a n 时,等号成立. 2.柯西不等式 (1)二维形式的柯西不等式:若a ,b ,c ,d 都是实数,则2 2 2 2 2 ()(+)()a b c d ac bd +≥+,当且仅当 ad=bc 时,等号成立. (2)柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则||||||?≥?αβαβ,当且仅当α是零向量或β是零向量或存在实数k 使α=k β时,等号成立. (3)二维形式的三角不等式:设x 1,y 1,x 2,y 2∈R ,22 221212x x y y ++≥211222()()x y x y -+- (4)一般形式的柯西不等式:设1212,, ,,,, ,n n a a a b b b 是实数,则 (22212n a a a ++ +)(222 12n b b b + ++) ≥()2 1122n n a b a b a b +++,当且仅当a i =0或b i =0(i=1,2,···,n )或存在一个数k 使得 a i =k b i (i=1,2,···,n )时,等号成立. 3.不等式证明的方法 (1)比较法 比较法是证明不等式最基本的方法,可分为作差比较法和作商比较法两种.

高中数学-不等式的基本性质(一)练习

高中数学-不等式的基本性质(一)练习 课后导练 基础达标 1若-1<α<β<1,则下列各式中成立的是( ) A.-2<α-β<0 B.-2<α-β<-1 C.-1<α-β<0 D.-1<α-β<1 解析:∵-1<α<β<1,∴-1<α<1,-1<β<1. ∴-1<-β<1.∴-2<α-β<2.又α-β<0, ∴-2<α-β<0. 答案:A 2“a+b>2c ”成立的一个充分条件是( ) A.a>c,或b>c B.a>c 且bc 且b>c D.a>c,或bc 且b>c ,∴a+b>c+c,即a+b>2c. 答案:C 3若x>1>y,下列不等式中不成立的是( ) A.x-1>1-y B.x-1>y-1 C.x-y>1-y D.1-x>y-x 解析:∵x>1>y, ∴x+(-1)>y+(-1),即B 正确; x+(-y)>1+(-y),即C 正确; 1+(-x)>y+(-x),即D 正确. 故选A. 答案:A 4若m<0,n>0,且m+n<0,则下列不等式中成立的是( ) A.-n0,m+n<0, ∴m<-n<0,-m>n,即n<-m. ∴m<-n0,m,n 互为倒数,易得m<10,∴4ac<0.∴b 2-4ac>0. 答案:b 2-4ac>0 7下列命题中真命题的个数为( )

(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)

高中数学基本不等式的巧用 一.基本不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”);若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2( 2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2 +12x 2 (2)y =x +1x 解:(1)y =3x 2 +12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x --g 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴->Q ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。

高中数学基本不等式证明

不等式证明基本方法 例1 :求证:221a b a b ab ++≥+- 分析:比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法,常用作差法和作商法,此题用作差法较为简便。 证明:221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注:1.比较法之一(作差法)步骤:作差——变形——判断与0的关系——结论 2.作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等,应注意结合式子的形式,适当选 用。 例2:设c b a >>,求证:b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析:从不等式两边形式看,作差后可进行因式分解。 证明:)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ,则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注:三元因式分解因式,可以排列成一个元的降幂形式: =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-,这样容易发现规律。 例3 :已知,,a b R +∈求证:11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明:11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =--

高三数学不等式基本不等式经典例题高考真题剖析解析版

必修五:基本不等式 应用一:求最值 例:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1 x 解:(1)y =3x 2+1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧 技巧一:凑项 例 已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x --g 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴->Q ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -=-,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 技巧二:凑系数 例: 当 时,求(82)y x x =-的最大值。 解析:由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值,故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当,即x =2时取等号 当x =2时,(82)y x x =-的最大值为8。 变式:设2 3 0< -x ∴2922322)23(22)23(42 =?? ? ??-+≤-?=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即?? ? ??∈= 23,043x 时等号成立。 技巧三: 分离、换元 例:求2710 (1)1 x x y x x ++= >-+的值域。

高中数学不等式知识点总结

弹性学制数学讲义 不等式(4课时) ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①(对称性)a b b a >?> ②(传递性),a b b c a c >>?> ③(可加性)a b a c b c >?+>+ (同向可加性)d b c a d c b a +>+?>>, (异向可减性)d b c a d c b a ->-?<>, ④(可积性)bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤(同向正数可乘性)0,0a b c d ac bd >>>>?> (异向正数可除性)0,0a b a b c d c d >>< ⑥(平方法则) 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦(开方法则)0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧(倒数法则) b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈,,(当且仅当a b =时取""=号). 变形公式:22 .2a b ab +≤ ②(基本不等式) 2a b ab +≥ ()a b R +∈,,(当且仅当a b =时取到等号). 变形公式: 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、

三相等”. ③(三个正数的算术—几何平均不等式) 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、(当且仅当a b c ==时取到等号). ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈, (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑥0,2b a ab a b >+≥若则(当仅当a=b 时取等号) 0,2b a ab a b <+≤-若则(当仅当a=b 时取等号) ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1,(其中000)a b m n >>>>,, 规律:小于1同加则变大,大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时,或 22. x a x a a x a

高中数学基本不等式题型总结

专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式:)0,0a b a b +≥>> (1)基本不等式成立的条件: ; (2)等号成立的条件:当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)()24a b ab +≤(),a b R ∈;(2))+0,0a b a b ≥>>; 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>,且34x y +=,则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>,且34x y +=,则4x x y +的最小值为 . 【变式2】(2013年天津)设2,0a b b +=>, 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】(2012河西)已知正实数,a b 满足 211a b +=,则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=,则2a b ab ++的最小值为 .

【例3】已知0,0x y >>,且280x y xy +-=,则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=,则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>,若不等式 212m a b a b +≥+总能成立,则实数m 的最大值为 . 【例6】(2013年天津市第二次六校联考)()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点,O 为坐标原点,且△AOB 为直角三角形,则 2212a b +的最小值为 .

【例7】(2012年南开二模)若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长,则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率,P 为两曲线的一个公共点,且满足 120PF PF ?=,则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=,则11x y +的最小值是( ) A .6 B .5 C .3+ D . 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+,若120,0x x >>,且()()121f x f x +=,则()12f x x +的最小值为 .

高考数学高三模拟考试试卷压轴题专题六十三不等式的证明

高考数学高三模拟考试试卷压轴题专题六十三不等式的证明 【高频考点解读】 1.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法. 2.了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式. 3.能利用均值不等式求一些特定函数的极值. 【重点知识梳理】 一、比较法证明不等式 (1)求差比较法: 知道a>b ?a -b>0,ab 只要证明a -b>0即可,这种方法称为求差比较法. (2)求商比较法: 由a>b>0?a b >1且a>0,b>0,因此当a>0,b>0时,要证明a>b ,只要证明a b >1即可,这种方法称为求商比较法. 二、综合法与分析法 1.综合法 利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质,推导出所要证明的不等式,这种方法叫综合法.即“由因导果”的方法. 2.分析法 证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题,如果能够肯定这些充分条件都已经具备,那么就可以判定原不等式成立,这种方法叫作分析法.即“执果索因”的方法. 3.平均值不等式 定理:如果a ,b ,c 为正数,则a +b +c 3≥3 abc ,当且仅当a =b =c 时,等号成立. 我们称 a + b + c 3 为正数a ,b ,c 的算术平均值,3 abc 为正数a ,b ,c 的几何平均值,定理中的不等式为三个正数的算术—几何平均值不等式,简称为平均值不等式. 4.一般形式的算术—几何平均值不等式 如果a1,a2,…,an 为n 个正数,则a1+a2+…+an n ≥n a1a2…an ,当且仅当a1=a2=…=an 时,等号成立. 【高考考纲突破】

2015届高三数学—不等式1:基本不等式经典例题+高考真题剖析(解析版)

基本不等式 应用一:求最值 例:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1 x 解:(1)y =3x 2+1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧 技巧一:凑项 例 已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x -- 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴-> ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -=-,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 技巧二:凑系数 例: 当 时,求(82)y x x =-的最大值。 解析:由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值,故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当,即x =2时取等号 当x =2时,(82)y x x =-的最大值为8。 变式:设2 3 0< -x ∴2922322)23(22)23(42 =?? ? ??-+≤-?=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即?? ? ??∈= 23,043x 时等号成立。 技巧三: 分离、换元

高三数学不等式的基本性质知识点

高三数学不等式的基本性质知识点编者按:高考前的第一轮复习正在火热进行中,同学们要利用这些复习的时间强化学习,查字典数学网为大家整理了高三数学不等式的基本性质,在高三数学第一轮复习时,给您最及时的帮助! 1.不等式的定义:a-b;;b, a-b=0a=b, a-b;;b. ① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础,也是证明不等式与解不等式的主要依据。②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景,来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。 作差后,为判断差的符号,需要分解因式,以便使用实数运算的符号法则。 2.不等式的性质: ① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。 不等式基本性质有: (1) a;;a (对称性) (2) ab, b;;c (传递性) (3) aba+cb+c (cR) (4) c0时,abacbc c0时,abacbc. 运算性质有:

(1) ab, cda+cb+d. (2) a;0, c;0acbd. (3) a;0anbn (nN, n1)。 (4) a;0(nN, n1)。 应注意,上述性质中,条件与结论的逻辑关系有两种:和即推出关系和等价关系。一般地,证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此,要正确理解和应用不等式性质。 ② 关于不等式的性质的考察,主要有以下三类问题: (1)根据给定的不等式条件,利用不等式的性质,判断不等式能否成立。 (2)利用不等式的性质及实数的性质,函数性质,判断实数值的大小。 (3)利用不等式的性质,判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。 总结:查字典数学网整理的高三数学不等式的基本性质知识点帮助同学们复习以前没有学会的数学知识点,请大家认真阅读上面的文章,也祝愿大家都能愉快学习,愉快成长!

2019-2020年高二数学 第六章 不等式: 6.1不等式的性质(一)优秀教案

2019-2020年高二数学第六章不等式: 6.1不等式的性质(一) 优秀教案 教学目的: 1了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用; 2掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系,学会比较两个代数式的大小. 教学重点:比较两实数大小. 教学难点:差值比较法:作差→变形→判断差值的符号 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、引入: 复习初中学过的不等式的性质 ①正数的相反数是负数 ②任意实数的平方不小于0。 ③不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式, 不等号的方向不变。 ④不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的

方向不变。 ⑤不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的 方向改变。 人与人的年龄大小、高矮胖瘦,物与物的形状结构,事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系,这表明现实世界中的量,不等是普遍的、绝对的,而相等则是局部的、相对的研究不等关系,反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系,这种关系是本章内容的基础,也是证明不等式与解不等式的主要依据因此,本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系 生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢? 转化为数学问题:a克糖水中含有b克糖(a>b>0),若再加m(m>0)克糖,则糖水更甜了,为什么? 分析:起初的糖水浓度为,加入m克糖后的糖水浓度为,只要证>即可怎么证呢?引人课题 二、讲解新课: 1.不等式的定义:用不等号连接两个解析式所得的式子,叫做不等式.

说明:(1)不等号的种类:>、<、≥(≮)、≤(≯)、≠.(2)解析式是指:代数式和超越式(包括指数式、对数式和三角式等) (3)不等式研究的范围是实数集R. 2.判断两个实数大小的充要条件 对于任意两个实数a、b,在a>b,a= b,a<b三种关系中有且仅有一种成立.判断两个实数大小的充要条件是: 由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号就可以了,这好比站在同一水平面上的两个人,只要看一下他们的差距,就可以判断他们的高矮了. 三、讲解范例: 例1比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小分析:此题属于两代数式比较大小,实际上是比较它们的值的大小,可以作差,然后展开,合并同类项之后,判断差值正负(注意是指差的符号,至于差的值究竟是多少,在这里无关紧要)并根据实数运算的符号法则来得出两个代数

基本不等式培优专题(推荐)

高中数学——基本不等式培优专题 目录 培优(1)常规配凑法 培优(2)“1”的代换 培优(3)换元法 培优(4)和、积、平方和三量减元 培优(5)轮换对称与万能k法 培优(6)消元法(必要构造函数求异) 培优(7)不等式算两次 培优(8)齐次化 培优(9)待定与技巧性强的配凑 培优(10)多元变量的不等式最值问题 培优(11)不等式综合应用

培优(1) 常规配凑法 1.(2018届温州9月模拟)已知242=+b a (a,b ∈R ),则a+2b 的最小值为_____________ 2. 已知实数x,y 满足116 2 2 =+y x ,则22y x +的最大值为_____________ 3.(2018春湖州模拟)已知不等式9)1 1)((≥++y x my x 对任意正实数x,y 恒成立,则正实数m 的最小值 是( ) A.2 B.4 C.6 D.8 4.(2017浙江模拟)已知a,b ∈R,且a ≠1,则b a b a -+++1 1 的最小值是_____________ 5.(2018江苏一模)已知a ﹥0,b ﹥0,且 ab b a =+3 2,则ab 的最小值是_____________

6.(诸暨市2016届高三5月教学质量检测)已知a ﹥b ﹥0,a+b=1,则b b a 21 4+ -的最小值是_____________ 7.(2018届浙江省部分市学校高三上学期联考)已知a ﹥0,b ﹥0,11 1 11=+++b a ,则a+2b 的最小值 是( ) A.23 B.22 C.3 D.2 培优(2) “1”的代换 8.(2019届温州5月模拟13)已知正数a,b 满足a+b=1,则b a b 1 +的最小值为_____________此时a=______ 9.(2018浙江期中)已知正数a,b 满足112=+ b a 则b a +2 的最小值为( ) A.24 B.28 C.8 D.9

【经典】高三数学基本不等式题型精讲精练

基本不等式 基本不等式知识 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2≥+ (2)若R b a ∈,,则2 22b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2.(1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=”) (3)若*,R b a ∈,则2 2??? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”);若0x <,则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 4.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 5.若,,,+∈R c b a a b c c b a 3333≥++, 33abc c b a ≥++(当且仅当c b a ==时取等) 应用一 直接求最值 例1 求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1x (3)(理科)已知+∈R y x ,,且满足232x y =,则x y +的最小值为( ) A .1 B .2 C .6 D .4 (4)已知+∈R c b a ,,且满足132=++c b a ,则c b a 31211++的最小值为 (5)若b a ,是不相等的正数,b a y b a x +=+=,2 ,则y x ,的大小关系是 (6)若,0,0>>b a 且,72=++b a ab 则b a +的最小值是 技巧一 凑项 例1 已知54x <,求函数14245 y x x =-+-的最大值 1.函数y =log 2(x +1x -1 +5)(x >1)的最小值为( ) A .-3 B .3 C .4 D .-4 技巧二 凑系数 例2 当40<

2.1.1 不等式的基本性质(含答案)

【课堂例题】 例1.利用性质1和性质2证明: (1)如果a b c +>,那么a c b >-; (2)如果,a b c d >>,那么a c b d +>+ 例2.利用性质3证明: 如果0,0a b c d >>>>,那么ac bd >. (选用)例3.利用不等式的性质证明: 如果0a b >>,那么110a b < <.

【知识再现】 1.不等式性质的基础: a b >? ;a b =? ;a b >,则 ; 性质2.(加法性质) 若a b >,则 ; 性质3.(乘法性质) 若,0a b c >>,则 ; 若,0a b c ><,则 . 3.几条比较有用的推论: 性质4.(同向可加性) 若,a b c d >>,则 ; 性质5.(正数同向可乘性) 若0,0a b c d >>>>,则 ; 性质6.(正数的倒数性质) 若0a b >>,则 ; 性质7.(正数的乘方性质) 若0a b >>,则 *()n N ∈; 性质8.(正数的开方性质) 若0a b >>,则 *(,1)n N n ∈>. 【基础训练】 1.请用不等号表示下列关系: (1)a 是非负实数, ; (2)实数a 小于3,但不小于2-, ; (3)a 和b 的差的绝对值大于2,且小于等于9, . 2.判断下列语句是否正确,并在相应的括号内填入“√”或“×”. (1)若a b >,则a b c c >;( ) (2)若ac bc <,则a b <;( ) (3)若a b <,则1 1 a b <; ( ) (4)若22ac bc >,则a b >;( ) (5)若a b >,则n n a b >;( ) (6)若0,0a b c d >>>>,则a b c d >;( ) 3.用“>”或“<”号填空: (1)若a b >,则a - b -; (2)若0,0a b >>,则b a 1b a +; (3)若,0a b c >>,则d ac + d bc +; (4)若,0a b c ><,则()c d a - ()c d b -; (5)若,,0a b d e c >><,则d ac - e b c -. 4.(1)如果a b >,那么下列不等式中必定成立的是( ) (A) 1 1 a b <; (B) 22a b >; (C)22ac bc >; (D)2211 a b c c >++. (2)如果0a b >>,那么下列不等式不一定成立的是( ) (A) 1 1 a b <; (B) 2ab b >; (C)22ac bc >; (D) 22a b >. 5.已知,x y R ∈,使1 1 ,x y x y >>同时成立的一组,x y 的值可以是 .

中职数学2.2.1不等式的基本性质

2.2.1不等式的基本性质 【学习目标】: 1.复习归纳不等式的基本性质; 2.学会证明这些性质; 3.并会利用不等式的性质解决一些简单的比较大小的问题。 【学习重点】:不等式性质的证明 【课前自主学习】: 1、数轴上右边的点表示的数总左边的点所表示的数,可知: ? a- > b b a a- = b ? a b ? < a- a b b 结论:要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号即可。2、不等式的基本性质: (1)对称性:b a>?; (2)传递性:? b a,; b > >c (3)同加性:? a; >b 推论:同加性:? > a,; b c >d (4)同乘性:? b ,c a, >0 > ,c a; b ? < >0 推论1:同乘性:? ,0d c b a; >0 > > > 推论2:乘方性:? n N a,0; b ∈ > >+ 推论3:开方性:? b n a,0; > ∈ >+ N 【问题发现】:

【问题导学,练习跟踪】: 例1. 用符号“>”或“<”填空,并说出应用了不等式的哪条性质. (1) 设a b >,3a - 3b -; (2) 设a b >,6a 6b ; (3) 设a b <,4a - 4b -; (4) 设a b <,52a - 52b -. 变式练习(1)设36x >,则 x > ; (2)设151x -<-,则 x > . 例2. 已知0a b >>,0c d >>,求证ac bd >. 变式练习:已知a b >,c d >,求证a c b d +>+. 当堂检测: 1.如果b a >,则下列不等式成立的是( ) A.b a 55-<- B.b a > C.bc ac > D.22bc ac > 2.如果0< B.b a > C.b b a 1 1 >- D.22b a > 3.已知b a ,为任意实数,那么( ) A.b a >是的22b a >必要条件 B.b a >是b a -<-11的充要条件 C.b a >是b a >的充分条件 D.b a >是22b a >的必要条件 归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么?

2021年高考数学第一轮专题复习- 不等式——不等式的证明

第48课时:第六章 不等式——不等式的证明(二) 课题:不等式的证明(二) 一.复习目标: 1.了解用反证法、换元法、放缩法等方法证明简单的不等式. 二.知识要点: 1.反证法的一般步骤:反设——推理——导出矛盾(得出结论); 2.换元法:一般由代数式的整体换元、三角换元,换元时要注意等价性; 3.放缩法:要注意放缩的适度,常用的方法是:①舍去或加上一些项;②将分子或分母放大(或缩小). 三.课前预习: 1.设实数,x y 满足22(1)1x y +-=,当0x y c ++≥时,c 的取值范围是 ( ) () A 1,)+∞ () B (1]-∞ () C 1,)+∞ () D (1]-∞ 2 .1A n =+++与)n N *∈的大小关系是 . 四.例题分析: 例1.已知332x y +=,求证:2x y +≤. 例2.设正有理数1a 是3的一个近似值,令21 211a a =+ +, (1介于1a 与2a 之间;

(2)证明:2a 比1a 更接近于3; (3的有理近似值的方法. 例3.在数列{}n a 中,23sin sin 2sin 3sin 2222n n n a αααα=++++,对正整数,m n 且m n >,求证:12m n n a a -< . 例4.设1a b c ++=,2221a b c ++=,a b c >>,求证:103c -<<. 五.课后作业: 1.下列三个式子22a c -,22b a -,22(,,)c b a b c R -∈中 ( ) ()A 至少有一式小于1- ()B 都小于1- ()C 都大于等于1- ()D 至少有一式大于等于1- 2设0,0,,111x y x y x y A B x y x y +>>==+++++,则,A B 的大小关系是 .

人教课标版高中数学选修4-5:《不等式的基本性质》教案(1)-新版

1.1 课时1 不等式的基本性质 一、教学目标 (一)核心素养 在回顾和复习不等式的过程中,对不等式的基本性质进行系统地归纳整理,并对“不等式有哪些基本性质和如何研究这些基本性质”进行讨论,使学生掌握相应的思想方法,以提高学生对不等式基本性质的认识水平. (二)学习目标 1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义,建立不等式研究的基础. 2.掌握不等式的基本性质,并能加以证明. 3.会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法. (三)学习重点 应用不等式的基本性质推理判断命题的真假;代数证明. (四)学习难点 灵活应用不等式的基本性质. 二、教学设计 (一)课前设计 1.预习任务 (1)读一读:阅读教材第2页至第4页,填空: a b >? a b =? a b >?> ②a c b c a b +>+?> ③ac bc a b >?> ④33a b a b >?> ⑤22a b a b >?> ⑥,a b c d ac bd >>?> 2.预习自测 (1)当x ∈ ,代数式2(1)x +的值不大于1x +的值. 【知识点】作差比较法 【解题过程】2(1)(1)x x +-+=2(1)x x x x -=- 【思路点拨】熟悉作差比较法 【答案】[0,1]

(2)若c ∈R ,则22ac bc > a b > A.? B.? C.? D.≠ 【知识点】不等式的基本性质 【解题过程】由22ac bc >,得0c ≠,所以20c >;当,0a b c >=时,22ac bc =. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质 【答案】A. (3)当实数,a b 满足怎样条件时,由a b >能推出 11a b ,所以当0ab >时,11a b <. 【思路点拨】掌握作差比较法 【答案】当0ab >时, 11a b <. (二)课堂设计 1.问题探究 探究一 结合实例,认识不等式 ●活动① 归纳提炼概念 人与人的年龄大小、高矮胖瘦,物与物的形状结构,事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系,这表明现实世界中的量,不等是普遍的、绝对的,而相等则是局部的、相对的. 【设计意图】从生活实例到数学问题,从特殊到一般,体会概念的提炼、抽象过程. ●活动② 认识作差比较法 关于实数,a b 的大小关系,有以下基本事实: 如果a b >,那么a b -是正数;如果a b =,那么a b -等于零;如果a b <,那么a b -是负数.反过来也对. 这个基本事实可以表示为:0;0;0a b a b a b a b a b a b >?->=?-=

高中数学百大经典例题—不等式证明

高中数学 典型例题一 例1 若10<-(0>a 且1≠a ). 分析1 用作差法来证明.需分为1>a 和10<a 时, 因为 11,110>+<---=x a . (2)当10<+<--=x a . 综合(1)(2)知)1(log )1(log x x a a +>-. 分析2 直接作差,然后用对数的性质来去绝对值符号. 解法2 作差比较法. 因为 )1(log )1(log x x a a +-- a x a x lg ) 1lg(lg )1lg(+- -= [])1lg()1lg(lg 1 x x a +--= [])1lg()1lg(lg 1 x x a +---= 0)1lg(lg 1 2>--= x a , 所以)1(log )1(log x x a a +>-.

说明:解法一用分类相当于增设了已知条件,便于在变形中脱去绝对值符号;解法二用对数性质(换底公式)也能达到同样的目的,且不必分而治之,其解法自然简捷、明快. 典型例题二 例2 设0>>b a ,求证:.a b b a b a b a > 分析:发现作差后变形、判断符号较为困难.考虑到两边都是正数,可以作商,判断比值与1的大小关系,从而证明不等式. 证明:b a a b b a a b b a b a b a b a b a ---=?=)( ∵0>>b a ,∴ .0,1>->b a b a ∴1)(>-b a b a . ∴a b b a b a b a .1> 又∵0>a b b a , ∴.a b b a b a b a >. 说明:本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步骤是:判断符 号、作商、变形、判断与1的大小. 典型例题三 例3 对于任意实数a 、b ,求证 444 ()22 a b a b ++≥(当且仅当a b =时取等号) 分析 这个题若使用比较法来证明,将会很麻烦,因为,所要证明的不等式中有4 ( )2 a b +,展开后很复杂。若使用综合法,从重要不等式:2 2 2a b ab +≥出发,再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。 证明:∵ 222a b ab +≥(当且仅当22 a b =时取等号) 两边同加4 4 4 4 2 22 ():2()()a b a b a b ++≥+, 即: 44222 ()22 a b a b ++≥ (1) 又:∵ 2 2 2a b ab +≥(当且仅当a b =时取等号)