(高等数学B)练习资料
(高等数学B)练习资料
【一】选择题：
A 、奇函数；
B 、偶函数；
C 、非奇非偶函数；
D 、既是奇函数又是偶函数；
E 、不能确定。
假设)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，那么以下函数是： 1、)]([x g f 〔B 〕； 2、)]([x f g 〔B 〕；
A.x y =；B 、1+-=x y ；C 、1+=x y ； D.5132+=
x y ；E 、5
1
32-=x y 。 3、曲线x y ln 2+=在点1=x 的切线方程是〔C 〕；
4、曲线5
3)12()25(+=+x y 在点)5
1,0(-处的切线方程是〔E 〕； A 、不存在；B 、1；C 、0；D 、-1；E 、2。
5、函数|sin |)(x x f =在点0=x 处的导数是〔A 〕；
6、函数x x f sin )(=在点0=x 处的导数是〔B 〕； A 、 -1；B 、-3；C 、3；D 、-9；E 、-12。
假设3)(0'
-=x f ，那么：
7、=--+→h h x f h x f h )
2()(lim
000
〔D 〕；
8、=-+→h
x f h x f h )
()(lim
000
〔B 〕；
A.满足罗尔定理条件；
B.满足拉格朗日中值定理条件；
C.满足柯西定理条件；
D.三个定理都不满足；
E.不能确定。 9、652
+-=x x y 在]3,2[上〔A 〕； 10、)1ln(2
x y +=在]3,0[上〔B 〕；
A 、
c x f +)(；B 、)(x f ；C 、dx x f )(；D 、dx x f )('；E 、)('x f ；
设)(x f 在],[b a 上可积，那么： 11、=?dx x f d )('〔D 〕；
12、
=?dx x f dx
d
)('〔E 〕； A 、x
y x x f y x f x ??--→?)
,(),(lim 00000；B 、x y x x f y x f x x x ??--→?),(),(lim 00'00'0；
C 、y y x f y y x f y ?-?+→?)
,(),(lim 00000；D 、y
y x f y y x f y y y ?-?+→?),(),(lim 00'00'0；
E 、y
y x f y y x f x x y ?-?+→?),(),(lim 00'00'0。
假设22),(y x y x y x f -=-+，那么： 13、=),(00'y x f x 〔A 〕； 14、=),(00'y x f y 〔B 〕；
A 、 可分离变量的一阶微分方程；
B 、齐次微分方程；
C 、一阶线性非齐次微分方程；
D 、特别的二阶微分方程；
E 、二阶常系数线性齐次微分方程。 以下等式是：
15、2
2
x
xy y dx dy -=〔C 〕； 16、
x
y dx dy 1
+-
=〔A 〕； A 、 收敛，但不一定绝对收敛；B 、发散，但不一定条件收敛； C 、绝对收敛；D 、条件收敛；E 、不能确定。 假设∑∞
=1n n u 收敛，那么以下各式的敛散性：
17、∑∞=+1)100(n n u 〔B 〕；
18、∑∞
=+1
100n n u 〔A 〕；
A 、奇函数；
B 、偶函数；
C 、非奇非偶；
D 、既是奇函数又是偶函数；
E 、不能确定。
假设)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，那么以下函数： 19、〔A 〕)]([x f f ； 20、〔B 〕)]([x g g ；
A 、不存在；
B 、1；
C 、0；
D 、-1；
E 、2。
21、函数|2|)(-=x x f 在点2=x 处的导数是〔A 〕；**
22、函数x x f cos )(=在点0=x 处的导数是〔C 〕；** B 、 -1；B 、-3；C 、3；D 、-9；E 、-12。
假设3)(0'
-=x f ，那么：
23、=--→h x f h x f h )
()(lim
000
〔C 〕
； 24、=--+→h
h x f h x f h 2)
2()6(lim
000
〔E 〕
； A.满足罗尔定理条件；B.满足拉格朗日中值定理条件；C.满足柯西定理条件； D.三个定理都不满足；E.不能确定。 25、)1ln(2
x y +=在]3,0[上〔B 〕；
26、1)(,)(2
3+==x x g x x f 在]2,1[上〔C 〕；
A 、c x f +)(；
B 、)(x f ；
C 、dx x f )(；
D 、dx x f )('；
E 、)('x f ；
F 、0。 设)(x f 在],[b a 上可积，那么 27、=?b
a dx x f d )(〔F 〕；
28、
=?x
dt t f dx d 0
)(〔B 〕
； A.随x 的增大而递增；B 、随x 的增大而递减；C 、随y 的增大而递增； D 、随y 的增大而递减；E 、不能确定。
假设),(y x f z =的两个偏导数满足
0,0>??
z
x z ； 29、当y 保持不变时，),(y x f 〔B 〕。
30、当x 保持不变时，),(y x f 〔C 〕。
A.可分离变量的一阶微分方程；
B.齐次微分方程；
C.一阶线性非齐次微分方程；
D.特别的二阶微分方程；
E.二阶常系数线性齐次微分方程。 以下等式 31、
x e y dx
dy
-=+是〔C 〕
； 32、x y ="是〔D 〕；
A 、收敛，但不一定绝对收敛；
B 、发散，但不一定条件收敛；
C 、绝对收敛；
D 、条件收敛；
E 、不能确定。
假设∑∞
=1n n u 收敛，那么以下各式的敛散性
33、∑∞
=1
100n n u 是〔A 〕；
34、∑∞
=+1
100n n u 是〔A 〕；
A 、收敛，且不绝对收敛；
B 、发散，且不条件收敛；
C 、绝对收敛；
D 、条件收敛；
E 、不能确定。 以下各式的敛散性
35、∑∞
=--1
2
1
)1(n n n 是〔C 〕； 36、∑∞
=---111
2)1(n n n n
是〔B 〕；
A 、x sin ；
B 、x cos ；
C 、x sin -；
D 、x cos -；
E 、1。 37、="
)(sin x 〔C 〕； 38、="
)(cos x 〔D 〕；
A.满足罗尔定理条件；
B.满足拉格朗日中值定理条件；
C.满足柯西定理条件；
D.三个定理都不满足；
E.不能确定。 39、322--=x x y 在]5.1,1[-上〔A 〕； 40、3
x y =在)0](,0[>a a 上〔B 〕；
A 、〔0，0〕；
B 、〔-1，1〕；
C 、〔8，4〕；
D 、〔-1，0〕；
E 、不存在。 函数32
x y =在]8,1[-上 41、〔C 〕是最大值点； 42、〔A 〕是最小值点；
A 、c x f +)(；
B 、)(x f ；
C 、dx x f )(；
D 、dx x f )('；
E 、)('x f ；
F 、0。 设)(x f 在],[b a 上可积，那么
43、
=?dx x f dx
d )('
〔E 〕； 44、=?b
a
dx x f dx d )(〔F 〕
； A 、x
y x x f y x f x ??--→?)
,(),(lim 00000；B 、x y x x f y x f x x x ??--→?),(),(lim 00'00'0；
C 、y y x f y y x f y ?-?+→?)
,(),(lim 00000；D 、y
y x f y y x f y y y ?-?+→?),(),(lim 00'00'0；
E 、y
y x f y y x f x x y ?-?+→?)
,(),(lim 00'00'0。
假设),(y x f 对x,y 的二阶导数存在，那么
45、=),(00"y x f xx 〔B 〕
； 46、=),(00"y x f yy 〔D 〕
； A.随x 的增大而递增；B 、随x 的增大而递减；C 、随y 的增大而递增； D 、随y 的增大而递减；E 、不能确定。 假设),(y x f z =的两个偏导数满足
0,0
z
x z ； 47、当y 保持不变时，),(y x f 〔B 〕。；
48、当x 保持不变时，),(y x f 〔D 〕。
A 、x y x ≤≤≤≤0,10；
B 、1||||≤+y x ；
C 、3,2==x x 及4,3==y y ；
D 、122≤+y x ；
E 、20,10≤≤≤≤y x 。 49、当D 是由〔C 〕围成的区域时，??D
d δ=1；
50、当D 是由〔A 〕围成的区域时，??D
d δ=
2
1； A 、可分离变量的一阶微分方程；B 、齐次微分方程；C 、一阶线性非齐次微分方程； D 、特别的二阶微分方程；E 、二阶常系数线性齐次微分方程。 以下等式。 51、x xe y x
y +=
'
"1是〔D 〕
； 52、y y ="是〔E 〕；
A 、收敛，但不一定绝对收敛；
B 、发散，但不一定条件收敛；
C 、绝对收敛；
D 、条件收敛；
E 、不能确定。
假设∑∞
=1n n u 收敛，那么以下各式的敛散性
53、∑
∞
=1100
n n
u 是〔B 〕； 54、∑
∞
=1100
n n
u 是〔A 〕； A 、不能确定；B 、发散；C 、绝对收敛；D 、条件收敛； 以下各式的敛散性
55、∑∞
=-+-11
)
2ln()1(n n n 是〔D 〕；
56、∑
∞
=+11
3n n n
是〔B 〕；
A 、〔0，0〕；
B 、〔-1，1〕；
C 、〔8，4〕；
D 、〔-1，0〕；
E 、不存在。 函数3
2
x y =在]8,1[-上 57、〔A 〕是极大值点； 58、〔C 〕是极小值点；
A 、c x f +)(；
B 、)(x f ；
C 、dx x f )(；
D 、dx x f )('；
E 、)('x f ；
F 、0。 设)(x f 在],[b a 上可积，那么 59、=?dx x f d )(〔C 〕；
60、
=?
dx x f dx d
)(〔B 〕
； A 、x
y x x f y x f x ??--→?)
,(),(lim 00000；B 、x y x x f y x f x x x ??--→?),(),(lim 00'00'0；
C 、y y x f y y x f y ?-?+→?)
,(),(lim 00000；D 、y
y x f y y x f y y y ?-?+→?),(),(lim 00'00'0；
E 、y
y x f y y x f x x y ?-?+→?),(),(lim 00'00'0。
假设),(y x f 对x,y 的二阶导数存在，那么
61、=),(00"y x f xy 〔E 〕； 62、=),(00"y x f xx 〔B 〕
； A 、随x 的增大而递增；B 、随x 的增大而递减；C 、随y 的增大而递增； D 、随y 的增大而递减；E 、不能确定。
假设),(y x f z =的两个偏导数满足0,0??y
z
x z 63、当y 保持不变时，),(y x f 〔A 〕。 64、当x 保持不变时，),(y x f 〔D 〕。
A 、x y x ≤≤≤≤0,10；
B 、1||||≤+y x ；
C 、3,2==x x 及4,3==y y ；
D 、122≤+y x ；
E 、20,10≤≤≤≤y x 。 65、当D 是由〔C 〕围成的区域时，??D
d δ=1；
66、当D 是由〔D 〕围成的区域时，
??D
d δ=π；
A 、可分离变量的一阶微分方程；
B 、齐次微分方程；
C 、一阶线性非齐次微分方程；
D 、特别的二阶微分方程；
E 、二阶常系数线性齐次微分方程。 以下等式。
67、0168'
"
=++y y y 是〔E 〕； 68、06'
"
=-+y y y 是〔E 〕； A 、21s s +；B 、21s s -；C 、1ks ；D 、
)0(,22
1
≠s s s ；E 、不能确定。 假设∑∞=1
n n u 与∑∞
=1
n n v 分别收敛于1s 与2s ，那么以下各式收敛于〔〕。
69、∑∞
=+1)(n n n v u 是〔a 〕；
70、∑∞
=-1
)(n n n v u 是〔b 〕；
A 、 收敛，且不绝对收敛；
B 、发散，且不条件收敛；
C 、绝对收敛；
D 、条件收敛；
E 、不能确定。
假设正项级数∑∞
=1
n n u 收敛，那么以下各式的敛散性:
71、∑∞
=1
2
n n u 是〔C 〕；
72、∑∞
=-1
)1(n n n u 是〔C 〕；
A 、不能确定
B 、发散；
C 、绝对收敛；
D 、条件收敛； 以下各式的敛散性: 73、∑
∞
=-+-111
)1(n n n 是〔D 〕；
74、∑
∞
=-+-1
3
12
)1(n n n 是〔D 〕；
A 、〔0，0〕；
B 、〔-1，1〕；
C 、〔8，4〕；
D 、〔-1，0〕；
E 、不存在。 函数3
2x y =在]8,1[-上的 75、〔A 〕是驻点；
76、〔E 〕是拐点； A 、dx x )1
1(+；B 、
dy x x 1+；C 、x x 1+；D 、x 11+；E 、
1
+x x
； 函数x x y ln +=,那么 77、
=dx
dy
〔D 〕
； 78、
=dy
dx
〔E 〕
； A 、c x f +)(；B 、)(x f ；C 、dx x f )(；D 、dx x f )('；E 、)('x f ；F 、0。 设)(x f 在],[b a 上可积，那么〔〕。 79、=?dx x f )('〔A 〕； 80、=?dx x f d )('〔D 〕；
A.随x 的增大而递增；B 、随x 的增大而递减；C 、随y 的增大而递增； D 、随y 的增大而递减；E 、不能确定。 假设),(y x f z =的两个偏导数满足
0,0>??>??y
z
x z ； 81、当y 保持不变时，),(y x f 〔A 〕。
82、当x 保持不变时，),(y x f 〔C 〕。
A 、x y x ≤≤≤≤0,10；
B 、1||||≤+y x ；
C 、3,2==x x 及4,3==y y ；
D 、122≤+y x ；
E 、20,10≤≤≤≤y x 。 83、当D 是由〔D 〕围成的区域时，??D
d δ=π；
84、当D 是由〔C 〕围成的区域时，??D
d δ=1；
B 、 可分离变量的一阶微分方程；B 、齐次微分方程；
C 、一阶线性非齐次微分方程；
D 、特别的二阶微分方程；
E 、二阶常系数线性齐次微分方程。 以下等式
85、06'
"
=-+y y y 是〔E 〕； 86、044'
"
=++y y y 是〔E 〕； A 、21s s +；B 、21s s -；C 、1ks ；D 、
)0(,22
1
≠s s s ；E 、不能确定。 假设∑∞=1
n n u 与∑∞
=1
n n v 分别收敛于1s 与2s ，那么以下各式
87、∑∞
=1
n n ku 收敛于〔C 〕；
88、∑
∞
=1n n
n
v u 收敛于〔D 〕； A 、不能确定；B 、发散；C 、绝对收敛；D 、条件收敛；
假设正项级数∑∞
=1n n u 收敛，那么以下各式的敛散性:
89、∑
∞
=11
n n
u 是〔A 〕； 90、∑∞
=1
n n u 是〔C 〕；
A 、不能确定；
B 、发散;
C 、绝对收敛；
D 、条件收敛； 以下各式的敛散性：
91、∑∞
=--1
1
)1(n n n 是〔D 〕；
92、∑∞
=--1
1
3)1(n n
n 是〔C 〕； 【二】填空题
1.假如在某个变化过程中，三个变量z y x ,,，总有关系z x y ≤≤，且A z y ==lim lim ，那么x lim =〔A 〕。
2.
??
?>-≤=1
121)(2x x x x x f ，那么
)1('f =〔2〕。
3.假设)1ln(ax y +=，其中a 为非零常数，那么"
y =〔2
2
)
1(ax a +-〕。 4.'
)(cos x n =〔x x n n sin cos 1
--〕。
5.x e x x cos 11lim 2
0--→=〔2
1〕。 6.
?
dx x x x =〔c x +815
15
8
〕。
7.x x f 1)(=
在[2，4]上的平均值为〔2
2ln 〕。
8.y x z ln 2
=，那么dz =〔dy y
x ydx x 2
ln 2+〕。 9.x
x x 21lim 0
-→=〔2-e 〕。
10.曲线2
x y =在点A 〔1，1〕的切线方程是〔y=2x-1〕。 11.x y ln ln =的导数y '=〔
x
x ln 1
〕。 12.'
)(cos n
x =〔x x n n sin cos 1
--〕。
13.x x y +-=11arctan
，那么dy =〔dx x
2
11
+-〕。 14.?
+dx e x x
)3(tan 2
=〔c e x x x
++-3tan 〕。
15.)(x f 在[a ，b]上的平均值为〔
a
b dx x f b
a
-?)(〕。
16.方程12222=+b y a x 所确定的函数y 对x 的导数〔x a
b y 22
'-=〕。
17.)1...321(
lim 33333n
n n n n n n n +-++++∞
→=〔0〕。 18.假设w v u ,,都对x 可导，那么'
)(x uvw =〔u ’vw+uv ’w+uvw ’〕。 19.假设)3(cos sin 2
x y =，那么)3
('
π
y =〔0〕。
20.'
)(sin x n =〔x x n n cos sin 1
-〕。
21.2
a xy =的微分dy =〔dx x
a 22
-〕。
22.?++dx e e x x 113=〔c x e e x x ++-22
1
〕。
23.?x tdt t dx d 0
2cos =〔x x cos 2
〕。 24.差分方程2312
3=+-++x x x y y x y 的阶数为〔〕。
25.nx mx x sin sin lim
0→=〔n
m
〕，其中0≠mn
26.假设)cos(cos x y =，那么'
y =〔sin(cosx)sinx 〕。
27.'
)(sin n x =〔n
n x nx cos 1-〕
28.?
dx x 2cos
2
=〔c x x ++sin 2
1
21〕。 29.?--dt e e t t 1
1
2=〔c x e x ++〕。 30.假如在区域D 上总有),(),(y x g y x f ≤，那么
??D
d y x f δ),(〔≤〕??D
d y x g δ),(。
31.级数
∑∞
=12
1
n n
的敛散性为〔收敛〕。 32.差分方程2312
3=+-++x x x y y x y 的阶数为〔〕。 33.x
x x 1
sin
lim 0
→=〔0〕。 34.假设))...(2)(1()(n x x x x x f +++=，那么)0('
f =〔n!〕。 35.)0(,>=a a y x
的n 阶导数)
(n y
=〔a a n
x ln 〕。
36.?+dx x x 1
22
=〔x-arctanx+c 〕。 37.?
dx xe x
2
2=〔
c e
x +2
〕。
38.}1||,1||),{(≤≤=y x y x D ，把??D
dxdy y x f ),(化为两种二次积分
〔?
?--1
11
1),(dy y x f dx 〕，
〔
?
?--1
1
1
1
),(x d y x f dy 〕。
39.级数
∑∞
=1
21
n n 的敛散性为〔收敛〕。 40.222x dx y d =的通解为〔21412
1c x c x y ++=〕。
【三】计算题: 1.求
[]{}n n n n ln )2ln(lim －＋∞
→
=2ln )21ln(lim 2==+
∞→e n
n
n
2.求dx x x ?561
2＋－
=c x x dx x x +--=---?|1
5|ln 41)1151(41 3.z ＝ln(u 2
＋v)，u ＝2
y x e
+，v ＝x 2
＋y ，求
x z ??，y
z
?? v
u x
e v u u x v v u x u v u u x z y x +++=??++??+=??+2
22222122 v
u ye v u u y v v u y u v u u y z y x +++=??++??+=??+2222122122 4.求
dx
dy ＋ycosx ＝x
e sin -的通解 )(][sin cos sin cos c x e c dx e e e y x xdx
x xdx +=+??=---?
5.判别
∑∞
+1)!
12(1
＝n n 的敛散性 0)!32()!
12(lim lim
1=++=∞→+∞→n n u u n n
n n ,收敛
6.求
x
x x x )1
(
lim ＋∞
→ 11111lim -∞→==?
???
??
?
?+e e
x x
x 7.求?
dx x x 20)1(＋
??+-++=dx x x d x 2021)1()1()1(=
c x x ++-+2122)1(21
1
)1(221 8.求z ＝x 2
cos(xy)的偏导数
)sin()cos(22xy y x xy x x
z
-=?? )sin(3xy x y
z
-=??
9.判定∑∞
1
2·3＝n n
n
n 的敛散性 123
322)1(3lim lim 111>=?+=++∞→+∞→n n n n n n
n n n n u u ，发散 10.求y ＇－
y x 1
2
＋＝3)1(＋x 的通解 24212
312
)1()1(2
1
])1([)1(])1([+++=+++=+?+?=??+-
+x c x c dx x x c dx e
x e
y dx
x dx
x
11、求y ＝
2
x
2
2
x a -＋22a arcsin a
x
对x 的导数(a>0)
2222222
22221'x
a a x a x x a y --
---= 12、求?
xdx e x sin
?
xdx e x
sin =c x
x e x +-2
cos sin
13、求由e
－xy
－2z ＋e z ＝0所确定的z 关于x ，y 的一阶偏导数 F(x,y,z)=e
－xy
－2z ＋e z
xy x ye F =xy y xe F =2-=z z e F
2--=-=??z
xy z x e ye F F x z 2--=-=??z xy z y e xe F F y
z
14、
??D
xy
dxdy ye
D ：xy ＝1，x ＝1，x ＝2，y ＝2
e e e e e e e e ydx e dy ydx e dy y
xy xy
--=-++-=+=????242242
1
112
1
21
22232
15、求
dx
dy
＋2y ＝x 的通解 ]4121[][22222c e xe e c dx xe e y x x x x x +-=+=--?=x ce x 24
1
21-+-
16、x x x
k ）－（21lim ∞→＝e 3
，求k 32
2
2]21[lim 21lim e e x
k x k k
k
k x
x x x ===---∞→∞→）－（）－（,k=-6
17.求x
x x 10
)sin 1(lim +→
e x x x
x x
x x
x =+=+→→sin sin 10
10
])
sin 1[(lim )sin 1(lim
18.求?
arctgxdx
?arctgxdx =xarctanx-dx x
x ?
+2
1=xarctanx-)1ln(212
x ++c 19.
y z
z x ln =确定z 是x ，y 的函数，求y
z x z ????, 设F(x,y,z)=
y
z
z x ln - z F x 1'=
y F y 1'=z z
x F z 1'2--=
20.求y ＇＇＝
＇
＋y x x
1
22的通解 ||ln )1ln(||ln 2c x y ++=＇,)1(2x c y +=＇,233
1
c cx cx y ++=
21.求+∞
→x lim 〔12++x x －12+-x x 〕
=11
12lim
2
2
=+-++++∞
→x x x x x
x
22.求x
x
tgx x 30sin sin lim
－→ )
sin 2sin cos 22cos 2sin 2(3sin cos 34lim cos sin 3cos 1lim cos sin 3cos sec lim 2203230220x x x x x x
x x x x x x x x x x x -??===→→→－－
4
1
sin 2cos 41lim
20=
-=→x x x 23.求?cosxdx e x
=
c x x e x ++2
)
cos (sin 24.设z ＝f (x ，y)，x ＝rcos θ，y ＝rsin θ，当f (x ，y)有连续偏导数时，证明
2
222
2
1??
? ????+???
????=???? ????+??? ????θz r r z y z x z
证：
θθsin 'cos 'y x f f r
y y f r x x f r z +=????+????=?? θθθ
θθcos 'sin 'y x rf rf y y f x x f z +-=????+????=?? 2
2
2
22
222
22
2
)sin (cos )sin (cos 1?
??? ????+??? ????=+???
? ????++??? ????=??? ????+??
?
????y z x z y z x z z r r z θθθθθ
25、y ＇＇＝2yy ＇，求y(0)＝1，y ＇(0)＝2的特解 设y ’=P,dy
dp
p dx dy dy dy dx dy y ===
''" yp dy
dp
p
2=,c y p ydy dp +==2,2,1,1)0(,2)0(','2===+=c y y c y y )4tan(,4,1)0(,arctan ,1112
π
π+===+==+x y C y C x y dx y
dy