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2018届人教A版 坐标系 单元测试

2018届人教A版   坐标系   单元测试
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配餐作业(七十三) 坐标系

(时间:40分钟)

1.在极坐标系中,O 是极点,设A ? ????4,π3,B ? ??

??5,-5π6,求△AOB 的面积。

解析 如图所示,∠AOB =2π-π3-5π6=5π6,OA =4,OB =5,

故S △AOB =12×4×5×

sin 5π6=5。

答案 5

2.(2017·海南模拟)已知曲线C 1的极坐标方程为ρ=6cos θ,曲线

C 2的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R ),曲线C 1,C 2相交于A ,B 两点。

(1)把曲线C 1,C 2的极坐标方程转化为直角坐标方程;

(2)求弦AB 的长度。

解析 (1)曲线C 2:θ=π4(ρ∈R )表示直线y =x ,

曲线C 1:ρ=6cos θ,即ρ2=6ρcos θ,所以x 2+y 2=6x ,

即(x -3)2+y 2=9。

(2)∵圆心(3,0)到直线的距离d =322,r =3,

∴弦长AB =2r 2-d 2=32。

∴弦AB 的长度32。

答案 (1)C 1为(x -3)2+y 2=9,C 2为y =x (2)3 2

3.(2016·重庆二诊)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方

程为??? x =2sin ? ????α+π4,y =sin2α+1(α为参数),以O 为极点,x 轴的正半轴为

极轴,建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ2=4ρsin θ-3。

(1)求曲线C 1与曲线C 2在平面直角坐标系中的普通方程;

(2)求曲线C 1上的点与曲线C 2上的点的距离的最小值。

解析 (1)因为x 2

=? ????2sin ? ????α+π42=(sin α+cos α)2=sin2α+1=y ,所以C 1的普通方程为y =x 2(-2≤x ≤2)。将ρ2=x 2+y 2,ρsin θ=y 代入C 2的方程,得x 2+y 2=4y -3,所以C 2的普通方程为x 2+y 2-4y +3=0。

(2)将x 2+y 2-4y +3=0变形为x 2+(y -2)2=1,它的圆心为

C 2(0,2)。设P (x 0,y 0)为C 1上任意一点,则y 0=x 20,从而|PC 2|2=(x 0-

0)2+(y 0-2)2=x 20+(x 20-2)2=x 40-3x 20+4=? ??

??x 20-322+74,所以当x 20=32时,|PC 2|min =72。故曲线C 1上的点与曲线C 2上的点的距离的最小值

为72-1。

答案 (1)C 1为y =x 2(-2≤x ≤2),C 2为x 2+y 2-4y +3=0 (2)72-1

4.已知圆O :x 2+y 2=4上每一点的横坐标保持不变,将纵坐标

变为原来的12,得到曲线C 。

(1)写出曲线C 的参数方程;

(2)设直线l :x -2y +2=0与曲线C 相交于A ,B 两点,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线m 过线段AB 的中点,且倾斜角是直线l 的倾斜角的2倍,求直线m 的极坐标方程。

解析 (1)设曲线C 上任意一点为M (x ,y ),则点P (x,2y )在圆O

上,即x 2+(2y )2

=4,即x 24+y 2=1,所以曲线C 的参数方程为?

???? x =2cos φy =sin φ(φ为参数)。 (2)联立????? x 2+4y 2=4x -2y +2=0,解得????? x =-2y =0或?????

x =0y =1, 不妨设A (-2,0),B (0,1),则AB 的中点为N ? ??

??-1,12, 因为直线l 的斜率为12,设直线l 的倾斜角为α,则tan α=12,所

以tan2α=2×121-? ??

??122=43, 所以直线m 的方程为y -12=43(x +1),即8x -6y +11=0,于是直

线m 的极坐标方程为8ρcos θ-6ρsin θ+11=0。

答案 (1)?????

x =2cos φy =sin φ(φ为参数) (2)8ρcos θ-6ρsin θ+11=0

(时间:20分钟)

1.(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x +6)2+y 2=25。

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