高考数学大二轮总复习与增分策略专题六解析几何第3讲圆锥曲线的综合问题练习文
第3讲 圆锥曲线的综合问题
1．(2016·四川改编)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2
＝2px (p >0)上任意一点，
M 是线段PF 上的点，且PM ＝2MF ，则直线OM 的斜率的最大值为______．
答案
22
解析 如图，由题意可知F ? ????p 2，0，设P 点坐标为? ??
??y 2
02p ，y 0，显然，当y 0
<0
时，k OM <0；当y 0>0时，k OM >0，要求k OM 的最大值，不妨设y 0>0.则OM →＝OF →
＋
FM →
＝OF →＋13FP →＝OF →＋13(OP →－OF →
)＝13OP →＋23OF →＝? ??
??y 20
6p ＋p 3，y 03，k OM ＝y 0
3y 206p ＋p 3＝2y 0p ＋2p y 0≤222＝22，
当且仅当y 2
0＝2p 2
时等号成立．
2．(2016·课标全国乙)设圆x 2
＋y 2
＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . (1)证明EA ＋EB 为定值，并写出点E 的轨迹方程；
(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，
Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．
解 (1)因为AD ＝AC ，EB ∥AC ， 故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以EB ＝ED ， 故EA ＋EB ＝EA ＋ED ＝AD .
又圆A 的标准方程为(x ＋1)2
＋y 2
＝16，从而AD ＝4，所以EA ＋EB ＝4.
由题设得A (－1,0)，B (1,0)，AB ＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：x 24＋y 2
3
＝1(y ≠0)．
(2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．
由?????
y ＝k x －1，x 24＋y
23
＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2
－12＝0.
则x 1＋x 2＝8k 2
4k 2＋3，x 1x 2＝4k 2
－124k 2＋3，
所以MN ＝1＋k 2
|x 1－x 2|＝
12
k 2＋1
4k 2
＋3
. 过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1
k
(x －1)， 点A 到m 的距离为
2
k 2＋1
，
所以PQ ＝2
42
－? ??
??2k 2＋12
＝4
4k 2
＋3
k 2＋1
. 故四边形MPNQ 的面积
S ＝12MN ·PQ ＝12
1＋1
4k 2＋3
. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83)． 当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，MN ＝3，PQ ＝8，四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83)．
1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题.
2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大.
热点一 范围、最值问题
圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．
例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点和短轴的两个端点构
成边长为2的正方形． (1)求椭圆C 的方程；
(2)过点Q (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且点P (4,3)，记直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，当k 1·k 2取最大值时，求直线l 的方程． 解 (1)由题意可得b ＝c ＝2，a ＝2， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2
2＝1.
(2)当直线l 的斜率为0时，k 1k 2＝
34－2×34＋2＝34
. 当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 联立???
??
x ＝my ＋1，
x 2
＋2y 2
＝4，
整理得(m 2＋2)y 2
＋2my －3＝0，
故y 1＋y 2＝
－2m m 2
＋2，y 1y 2＝－3
m 2＋2
. 又x 1＝my 1＋1，x 2＝my 2＋1， 因此k 1·k 2＝3－y 14－x 1·3－y 2
4－x 2
＝
3－y 13－y 2
3－my 1
3－my 2
＝
9－3y 1＋y 2＋y 1y 2
9－3m y 1＋y 2＋m 2
y 1y 2
＝3m 2
＋2m ＋54m 2
＋6＝34＋4m ＋18m 2＋12. 令t ＝4m ＋1，只考虑t >0时， 故k 1·k 2＝34＋2t t 2－2t ＋25＝34
＋
2
t ＋25t
－2
≤1，当且仅当t ＝5时取等号． 综上可得，直线l 的方程为x －y －1＝0. 思维升华 解决范围问题的常用方法：
(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，数形结合求解． (2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解． (3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．
跟踪演练1 如图，已知椭圆：x 2
4＋y 2
＝1，点A ，B 是它的两个顶点，过原点且斜率为k 的直
线l 与线段AB 相交于点D ，且与椭圆相交于E ，F 两点．
(1)若ED →＝6DF →
，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值．
解 (1)依题设得椭圆的顶点A (2,0)，B (0,1)， 则直线AB 的方程为x ＋2y －2＝0. 设直线EF 的方程为y ＝kx (k >0)．
设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1 联立直线l 与椭圆的方程????? x 2 4 ＋y 2＝1， y ＝kx 消去y ， 得方程(1＋4k 2 )x 2 ＝4. 故x 2＝－x 1＝ 21＋4k 2 ， 由ED →＝6DF → 知，x 0－x 1＝6(x 2－x 0)， 得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2 ， 由点D 在线段AB 上，知x 0＋2kx 0－2＝0， 得x 0＝ 21＋2k ，所以21＋2k ＝10 71＋4k 2 ， 化简，得24k 2 －25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38 . (2)根据点到直线的距离公式，知点A ，B 到线段EF 的距离分别为h 1＝2k 1＋k 2 ，h 2＝11＋k 2 ， 又EF ＝41＋k 2 1＋4k 2 ， 所以四边形AEBF 的面积为 S ＝1 2 EF (h 1＋h 2)＝ 21＋2k 1＋4k 2 ＝2 1＋4k 2 ＋4k 1＋4k 2 ＝21＋ 4k 1＋4k 2 ＝2 1＋ 4 4k ＋ 1k ≤22， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝1 2时，取等号， 所以四边形AEBF 面积的最大值为2 2. 热点二 定点、定值问题 1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )． 2．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值． 例2 如图，曲线Γ由两个椭圆T 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和椭圆T 2：y 2b 2＋x 2 c 2＝1 (b >c >0)组成， 当a ，b ，c 成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼曲线”．若猫眼曲线Γ过点(0，－2)，且 a ， b ， c 的公比为 2 2 . (1)求猫眼曲线Γ的方程； (2)任作斜率为k (k ≠0)且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆T 1所得弦的中点为M ，交椭圆T 2所得弦的中点为N ，求证： k OM k ON 为与k 无关的定值； (3)若斜率为2的直线l 为椭圆T 2的切线，且交椭圆T 1于点A ，B ，N 为椭圆T 1上的任意一点(点N 与点A ，B 不重合)，求△ABN 面积的最大值． (1)解 b ＝2，∴a ＝2，c ＝1， ∴T 1：x 24＋y 22＝1，T 2：y 2 2 ＋x 2 ＝1. (2)证明 设斜率为k 的直线交椭圆T 1于点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，线段CD 中点M (x 0，y 0)， ∴x 0＝ x 1＋x 2 2 ，y 0＝ y 1＋y 2 2 ， 由????? x 214＋y 21 2＝1，x 2 2 4＋y 22 2＝1， 得 x 1－x 2 x 1＋x 2 4 ＋ y 1－y 2 y 1＋y 2 2 ＝0. ∵k 存在且k ≠0，∴x 1≠x 2，且x 0≠0. ∴ y 1－y 2x 1－x 2·y 0x 0＝－12，即k ·k OM ＝－1 2 . 同理，k ·k ON ＝－2，∴ k OM k ON ＝1 4 ，得证． (3)解 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ， 联立????? y ＝2x ＋m ，y 2b 2＋x 2 c 2＝1， ∴(b 2 ＋2c 2 )x 2 ＋22mc 2x ＋m 2c 2－b 2c 2 ＝0. ∵Δ＝0，∴m 2 ＝b 2 ＋2c 2 ， l 1：y ＝2x ＋b 2＋2c 2 ????? y ＝2x ＋m ，x 2a 2＋y 2 b 2＝1， ∴(b 2 ＋2a 2 )x 2 ＋22ma 2x ＋m 2a 2－b 2a 2 ＝0. ∵Δ＝0，∴m 2 ＝b 2 ＋2a 2 ， l 2：y ＝2x －b 2＋2a 2. 两平行线间距离： d ＝ b 2＋2 c 2＋b 2＋2a 2 3 ， ∴AB ＝23ab 2a 2 －2c 2 b 2＋2a 2 ， AB ＝82 2 －4·5·45＝43 5 ， d ＝ |10＋2|2 2 ＋－1 2 ＝10＋23 . △ABN 的面积最大值为 S ＝1 2 · 435·10＋23 ＝210＋4 5. 思维升华 (1)动线过定点问题的两大类型及解法 ①动直线l 过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m,0)． ②动曲线C 过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． (2)求解定值问题的两大途径 ①由特例得出一个值此值一般就是定值 →证明定值：将问题转化为证明待证式与参数某些变量无关 ②先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值． 跟踪演练2 已知抛物线：y 2 ＝2px (p >0)的焦点F 在双曲线：x 23－y 2 6＝1的右准线上，抛物线 与直线l ：y ＝k (x －2)(k >0)交于A ，B 两点，AF ，BF 的延长线与抛物线交于C ，D 两点． (1)求抛物线的方程； (2)若△AFB 的面积等于3，求k 的值； (3)记直线CD 的斜率为k CD ，证明： k CD k 为定值，并求出该定值． 解 (1)双曲线：x 23－y 2 6＝1的右准线方程为x ＝1， 所以F (1,0)，则抛物线的方程为y 2 ＝4x . (2)设A (y 214，y 1)，B (y 22 4 ，y 2)， 由? ?? ?? y 2 ＝4x ， y ＝k x －2得ky 2 －4y －8k ＝0， Δ＝16＋32k 2>0，y 1＋y 2＝4 k ，y 1y 2＝－8. S △AFB ＝12 ×1×|y 1－y 2|＝ 12 y 1＋y 2 2 －4y 1y 2 ＝2 1k 2 ＋2＝3，解得k ＝2. (3)设C (y 23 4，y 3)，则FA →＝(y 2 14－1，y 1)，FC →＝(y 2 3 4－1，y 3)， 因为A ，F ，C 共线， 所以(y 214－1)y 3－y 1(y 23 4－1)＝0， 即y 2 3＋(4y 1 －y 1)y 3－4＝0. 解得：y 3＝y 1(舍)或y 3＝－4 y 1， 所以C (4y 21，－4y 1)，同理D (4y 22 ，－4 y 2 )， k CD ＝－4y 1＋4y 24y 21－4y 2 2 ＝－y 1y 2 y 1＋y 2＝2k ， 故k CD k ＝2(定值)． 热点三 探索性问题 1．解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在． 2．反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法． 例3 已知点P 是椭圆C 上的任一点，P 到直线l 1：x ＝－2的距离为d 1，到点F (－1,0)的距离为d 2，且d 2d 1＝ 22 . (1)求椭圆C 的方程； (2)如图，直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B (A ，B 都在x 轴上方)，且∠OFA ＋∠OFB ＝180°. (ⅰ)当A 为椭圆C 与y 轴正半轴的交点时，求直线l 的方程； (ⅱ)是否存在一个定点，无论∠OFA 如何变化，直线l 总过该定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由. 解 (1)设P (x ，y )， 则d 1＝|x ＋2|，d 2＝ x ＋1 2 ＋y 2 ， d 2d 1＝x ＋12＋y 2|x ＋2|＝2 2， 化简得：x 2 2＋y 2 ＝1， ∴椭圆C 的方程为x 2 2 ＋y 2 ＝1. (2)(ⅰ)由(1)知A (0,1)，又F (－1,0)， ∴k AF ＝1，∵∠OFA ＋∠OFB ＝180°， ∴k BF ＝－1， ∴直线BF 方程为y ＝－1(x ＋1)＝－x －1， 代入x 2 2＋y 2＝1，得3x 2 ＋4x ＝0， 解得x ＝0或x ＝－4 3 ， ∴B (－43，13)，k AB ＝12. ∴直线AB 的方程为y ＝1 2 x ＋1. (ⅱ)由于∠OFA ＋∠OFB ＝180°，∴k AF ＋k BF ＝0. 设直线AB 方程为y ＝kx ＋b ， 代入x 2 2 ＋y 2 ＝1， 得：(k 2＋12)x 2＋2kbx ＋b 2 －1＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2kb k 2＋12，x 1x 2＝b 2 －1 k 2 ＋ 12， ∴k AF ＋k BF ＝y 1x 1＋1＋y 2 x 2＋1 ＝kx 1＋b x 1＋1＋kx 2＋b x 2＋1 ＝ 2kx 1x 2＋ k ＋b x 1＋x 2＋2b x 1＋1 x 2＋1 ＝0. ∴(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1) ＝2kx 1x 2＋(k ＋b )(x 1＋x 2)＋2b ＝2k × b 2－1 k 2＋12－(k ＋b )×2kb k 2 ＋ 12 ＋2b ＝0. ∴b －2k ＝0，∴直线AB 方程为y ＝k (x ＋2)． ∴直线l 总经过定点(－2,0)． 思维升华 解决探索性问题的注意事项： 存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论． (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． (3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径． 跟踪演练3 (2015·四川)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心 率是 22 ，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD → ＝－1. (1)求椭圆E 的方程； (2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB → ＋λPA →·PB → 为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )， 又点P 的坐标为(0,1)，且PC →·PD → ＝－1， 于是????? 1－b 2 ＝－1， c a ＝22， a 2 －b 2 ＝c 2 ， 解得a ＝2，b ＝2， 所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2 2 ＝1. (2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 联立????? x 24＋y 2 2 ＝1，y ＝kx ＋1， 得(2k 2＋1)x 2 ＋4kx －2＝0， 其判别式Δ＝(4k )2 ＋8(2k 2 ＋1)＞0， 所以x 1＋x 2＝－ 4k 2k 2 ＋1，x 1x 2＝－2 2k 2＋1 ， 从而，OA →·OB →＋λPA →·PB → ＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k 2 )x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝－2λ－4k 2＋－2λ－12k 2 ＋1 ＝－λ－1 2k 2＋1 －λ－2. 所以当λ＝1时，－λ－1 2k 2＋1 －λ－2＝－3， 此时OA →·OB →＋λPA →·PB → ＝－3为定值． 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ， 此时，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝OC →·OD →＋λPC →·PD → ＝－2－1＝－3. 故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λPA →·PB → 为定值－3. 已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 23 ＝1(a >0)与抛物线C 2：y 2 ＝2ax 相交于A ，B 两点，且两曲线的焦点F 重 合． (1)求C 1，C 2的方程； (2)若过焦点F 的直线l 与椭圆分别交于M ，Q 两点，与抛物线分别交于P ，N 两点，是否存在斜率为k (k ≠0)的直线l ，使得PN MQ ＝2？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． 押题依据 本题将椭圆和抛物线联合起来设置命题，体现了对直线和圆锥曲线位置关系的综合考查．关注知识交汇，突出综合应用是高考的特色． 解 (1)因为C 1，C 2的焦点重合， 所以a 2 －3＝a 2， 所以a 2＝4. 又a >0，所以a ＝2. 于是椭圆C 1的方程为x 24＋y 2 3＝1， 抛物线C 2的方程为y 2 ＝4x . (2)假设存在直线l 使得PN MQ ＝2， 则可设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)． 由? ?? ?? y 2 ＝4x ，y ＝k x －1， 可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2 ＝0， 则x 1＋x 4＝2k 2 ＋4 k 2，x 1x 4＝1， 所以PN ＝1＋k 2 · x 1＋x 4 2 －4x 1x 4 ＝ 41＋k 2 k 2 . 由????? x 2 4＋y 2 3＝1，y ＝k x －1， 可得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2 －12＝0， 则x 2＋x 3＝8k 2 3＋4k 2，x 2x 3＝4k 2 －123＋4k 2， 所以MQ ＝1＋k 2 ·x 2＋x 3 2 －4x 2x 3 ＝121＋k 2 3＋4k 2 . 若PN MQ ＝2， 则41＋k 2k 2 ＝2×121＋k 2 3＋4k 2 ， 解得k ＝± 62 . 故存在斜率为k ＝± 62的直线l ，使得PN MQ ＝2. A 组 专题通关 1．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1，0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________________． 答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析 根据抛物线的概念可得机器人在以点F (1,0)为焦点的抛物线y 2 ＝4x 上，由题意可得 直线y ＝k (x ＋1)与抛物线y 2 ＝4x 没有交点，联立直线与抛物线? ?? ?? y 2 ＝4x ，y ＝k x ＋1， 消元可得y ＝k ·y 24＋k ?k 4 ·y 2 －y ＋k ＝0， 即该方程无根，则k ≠0且Δ＝1－k 2 <0?k <－1或k >1， 所以k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 2．已知椭圆x 24＋y 2 b 2＝1(0 若BF 2＋AF 2的最大值为5，则b 的值是________． 答案 3 解析 由椭圆的方程，可知长半轴长a ＝2；由椭圆的定义，可知AF 2＋BF 2＋AB ＝4a ＝8，所以AB ＝8－(AF 2＋BF 2)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2 a ＝3，可 求得b 2 ＝3，即b ＝ 3. 3．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 2 3＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP → 的最大值为________． 答案 6 解析 由题意得F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)， 则y 20 ＝3(1－x 20 4)(－2≤x 0≤2)． OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 20 ＝x 20＋x 0＋3(1－x 20 4) ＝14 (x 0＋2)2 ＋2. 又因为－2≤x 0≤2，所以当x 0＝2时，OP →·FP → 取得最大值，最大值为6. 4．已知抛物线y 2 ＝2px (p >0)，△ABC 的三个顶点都在抛物线上，O 为坐标原点，设△ABC 三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为M ，N ，Q ，且M ，N ，Q 的纵坐标分别为y 1，y 2，y 3.若直线AB ， BC ，AC 的斜率之和为－1，则1y 1＋1y 2＋1 y 3 的值为______． 答案 －1 p 解析 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )， 则????? y 2 A ＝2px A ，y 2 B ＝2px B ，y 2 C ＝2px C ， 三个式子两两相减得 ???? ? y A ＋y B y A －y B ＝2p x A －x B ，y A ＋y C y A －y C ＝2p x A －x C ，y B ＋y C y B －y C ＝2p x B －x C ， 即???? ? 2y 1y A －y B ＝2p x A －x B ，2y 3y A －y C ＝2p x A －x C ，2y 2y B －y C ＝2p x B －x C ， 即????? p y 1＝y A －y B x A －x B ＝k AB ，p y 2 ＝ y B －y C x B －x C ＝k BC ，p y 3 ＝y A －y C x A －x C ＝k AC ， 所以1y 1＋1y 2＋1y 3＝－1p . 5．若P 为椭圆x 216＋y 2 15＝1上任意一点，EF 为圆(x －1)2＋y 2 ＝4的任意一条直径，则PE →·PF →的 取值范围是________． 答案 [5,21] 解析 因为PE →·PF →＝(NE →－NP →)·(NF →－NP → ) ＝NE →·NF →－NP →·(NE →＋NF →)＋NP →2 ＝－|NE →||NF →|·cos π－0＋|NP →|2＝－4＋NP 2 . 又因为椭圆x 216＋y 2 15 ＝1的a ＝4，b ＝15，c ＝1， N (1,0)为椭圆的右焦点，∴NP ∈[a －c ，a ＋c ]＝[3,5]， ∴PE →·PF → ∈[5,21]． 6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，A ，B 为左，右顶点，点P 为双曲线 C 在第一象限的任意一点，点O 为坐标原点，若直线PA ，PB ，PO 的斜率分别为k 1，k 2，k 3， 记m ＝k 1k 2k 3，则m 的取值范围为________． 答案 (0,22) 解析 ∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，∴e ＝c a ＝3，∴b ＝2a ， 设P (x ，y )，∵点P 为双曲线C 在第一象限的任意一点， ∴x 2a 2－y 2 b 2＝1，且x >0，y >0， ∵A ，B 为双曲线C 的左，右顶点，点O 为坐标原点，PA ，PB ，PO 的斜率分别为k 1，k 2，k 3， ∴k 1k 2＝ y x ＋a · y x －a ＝2，k 3＝y x >0， 又∵双曲线的渐近线为y ＝±2x ， ∴0 7．已知A (1,2)，B (－1,2)，动点P 满足AP →⊥BP → .若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与动 点P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________． 答案 (1,2) 解析 设P (x ，y )，由题设条件， 得动点P 的轨迹为(x －1)(x ＋1)＋(y －2)(y －2)＝0， 即x 2 ＋(y －2)2 ＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆． 又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，由题意，可得 2a a 2＋b 2 >1，即2a c >1， 所以e ＝c a <2，又e >1，故1 8．在直线y ＝－2上任取一点Q ，过Q 作抛物线x 2 ＝4y 的切线，切点分别为A 、B ，则直线 AB 恒过定点________． 答案 (0,2) 解析 设Q (t ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程变为y ＝14x 2，则y ′＝1 2x ，则在点A 处的切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，化简得，y ＝1 2x 1x －y 1，同理，在点B 处的切线方程为y ＝12x 2x －y 2.又点Q (t ，－2)的坐标满足这两个方程，代入得：－2＝12x 1t －y 1，－2＝1 2x 2t －y 2，则说明A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都满足方程－2＝12xt －y ，即直线AB 的方程为y －2＝1 2tx ，因此 直线AB 恒过定点(0,2)． 9．(2016·北京)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为3 2 ，A (a,0)，B (0，b )，O (0,0)， △OAB 的面积为1. (1)求椭圆C 的方程； (2)设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：AN ·BM 为定值． (1)解 由已知c a ＝ 32，1 2 ab ＝1. 又a 2 ＝b 2 ＋c 2 ，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3. ∴椭圆C 的方程为x 2 4 ＋y 2 ＝1. (2)证明 由(1)知，A (2,0)，B (0,1)． 设椭圆上一点P (x 0，y 0)，则x 20 4＋y 2 0＝1. 当x 0≠0时，直线PA 方程为y ＝y 0 x 0－2 (x －2)， 令x ＝0得y M ＝－2y 0 x 0－2. 从而BM ＝|1－y M |＝? ?? ? ?? 1＋2y 0x 0－2. 直线PB 方程为y ＝y 0－1 x 0 x ＋1. 令y ＝0得x N ＝ －x 0 y 0－1 . ∴AN ＝|2－x N |＝? ??? ?? 2＋x 0y 0－1. ∴AN ·BM ＝? ?? ???2＋x 0y 0－1·???? ?? 1＋2y 0x 0－2 ＝?? ????x 0＋2y 0－2y 0－1·???? ? ?x 0＋2y 0－2x 0－2 ＝???? ??x 2 0＋4y 2 0＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝?? ?? ? ?4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4. 当x 0＝0时，y 0＝－1，BM ＝2，AN ＝2， ∴AN ·BM ＝4. 故AN ·BM 为定值． 10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点M (x 0，y 0)是椭圆C ：x 2 4 ＋ y 2＝1上一点，从原点O 向圆M ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2 作两条切线分别与椭圆C 交于点P ，Q ， 直线OP ，OQ 的斜率分别记为k 1，k 2. (1)若圆M 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，求圆M 的方程； (2)若r ＝255. ①求证：k 1k 2＝－1 4； ②求OP ·OQ 的最大值． (1)解 因为椭圆C 的右焦点的坐标为(3，0)，所以圆心M 的坐标为(3，±1 2)， 从而圆M 的方程为 (x －3)2 ＋(y ±12)2＝14 . (2)①证明 因为圆M 与直线OP ：y ＝k 1x 相切， 所以|k 1x 0－y 0|k 21 ＋1＝25 5， 即(4－5x 0)2k 2 1＋10x 0y 0k 1＋4－5y 2 0＝0， 同理，有(4－5x 2 0)k 2 2＋10x 0y 0k 2＋4－5y 2 0＝0， 所以k 1，k 2是方程(4－5x 2 0)k 2 ＋10x 0y 0k ＋4－5y 2 0＝0的两根， 从而k 1k 2＝4－5y 2 4－5x 20 ＝4－51－14 x 2 4－5x 2 0 ＝－1＋54x 2 4－5x 20＝－1 4 . ②解 设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 联立????? y ＝k 1x ，x 24 ＋y 2 ＝1， 解得x 21 ＝41＋4k 21，y 2 1＝4k 2 11＋4k 21， 同理，x 22 ＝41＋4k 22，y 2 2＝4k 2 21＋4k 22 ， 所以OP 2 ·OQ 2 ＝(41＋4k 21＋4k 211＋4k 21)·(41＋4k 22＋4k 2 2 1＋4k 22 ) ＝41＋k 211＋4k 21·41＋k 2 21＋4k 2 2 ＝4＋4k 2 11＋4k 21·1＋16k 2 1 1＋4k 21 ≤5＋20k 2 1 2 2 1＋4k 2 1 2 ＝254 ， 当且仅当k 1＝±1 2时取等号． 所以OP ·OQ 的最大值为5 2 . B 组 能力提高 11．已知圆O 1：(x －2)2 ＋y 2 ＝16和圆O 2：x 2 ＋y 2 ＝r 2 (0 3＋22 4 解析 ①当动圆M 与圆O 1，O 2都相内切时， MO 2＋MO 1＝4－r ＝2a ，故e 1＝ 24－r . ②当动圆M 与圆O 1相内切而与O 2相外切时， MO 1＋MO 2＝4＋r ＝2a ′，故e 2＝ 24＋r . 因此e 1＋2e 2＝24－r ＋44＋r ＝24－2r 16－r 2， 令12－r ＝t (10 1 24－t － 128 t ≥2×124－162＝112－82 ＝3＋22 4. 12．已知过定点(1,0)的直线与抛物线x 2 ＝y 相交于不同的A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则(x 1－1)(x 2－1)＝________. 答案 1 解析 设过定点(1,0)的直线的方程为y ＝k (x －1)， 代入抛物线x 2 ＝y 可得x 2 －kx ＋k ＝0，故x 1＋x 2＝k ，x 1·x 2＝k ，因此(x 1－1)(x 2－1)＝x 1·x 2－(x 1＋x 2)＋1＝1. 13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率e ＝1 2 ，左顶 点为A (－4，0)，过点A 作斜率为k (k ≠0)的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E . (1)求椭圆C 的方程； (2)已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的k (k ≠0)都有OP ⊥EQ ，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD ＋AE OM 的最小值． 解 (1)因为左顶点为A (－4,0)， 所以a ＝4，又e ＝1 2，所以c ＝2， 又因为b 2 ＝a 2 －c 2 ＝12， 所以椭圆C 的方程为x 216＋y 2 12＝1. (2)直线l 的方程为y ＝k (x ＋4)， 由????? x 216＋y 2 12＝1，y ＝k x ＋4， 消元得，x 216 ＋ [k x ＋4]2 12 ＝1. 化简得，(x ＋4)[(4k 2 ＋3)x ＋16k 2 －12]＝0， 所以x 1＝－4，x 2＝－16k 2 ＋12 4k 2 ＋3 . 当x ＝－16k 2 ＋124k 2＋3时，y ＝k (－16k 2 ＋124k 2 ＋3＋4)＝24k 4k 2＋3 ， 2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！ 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2， －1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （4 1 ，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a ＜2 2 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ．(0, 2 D ．,1)2 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B ．3 C D ．92 7.（全国二9）设1a >，则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ． B ． C ．(25)， D ．(2 8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ，焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D - 高考二轮复习专项：圆锥曲线 1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l1 上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. 2. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l1、l2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ○1(R);AG AD λλ=∈u u u r u u u r ○22;GE GF GH +=u u u r u u u r u u u r ○30.GH EF ?=u u u r u u u r 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是, 425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ；双曲线1 :22 222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P ，连结AP 交椭圆C1于点M ，连结PB 并延长交椭圆C1于点N ，若=. 求证：.0=? B A D M B N l2 l1 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F （c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A ，B 两点.设AB 中点为M ，直线AB 与OM 的夹角为αa. （1）用半焦距c 表示椭圆的方程及tg α; （2）若2 【高考数学中最具震撼力的一个解答题！】注：【求解完第一问以后，】→WILL COME ACROSS圆锥曲线题10大题型：（1）弦长问题（2）中点问题（3）垂直问题（4）斜率问题（5）对称问题（6）向量问题（7）切线问题（8）面积问题（9）最值问题（10）焦点三角形问题。中的2-----4类；分门别类按套路求解； 1.高考最重要考：直线与椭圆，抛物线的位置关系。第一问最高频考（总与三个问题有关）：（1）———————；（2）——————————；（3）—————————； 2.圆锥曲线题，直线代入圆锥曲线的“固定3步走”：---------------------------------------------------; ——————————————————————————————————————； 3.圆锥曲线题固定步骤前9步：-------------------；---------------------------------------------；————————————；—————————；——————————；—————————————————；———————————；——————————————； 4.STEP1:首先看是否属于3种特殊弦长：（1）圆的弦长问题；（2）中点弦长问题（3）焦点弦长问题；→（1）圆的弦长问题：（2法）首选方法：垂径定理+勾 股定理：图示：--------------------------------；公式为：-------------------------；其中求“点线距”的方法：———————；次选：弦长公式；→（2） 中点弦长问题：（2法）首选方法：“点差法” 椭圆：（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；副产品：两直线永远不可能垂直！原因：___________；【两直线夹角的求法：（夹角公式）___________；】双曲线（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；抛物线：形式一：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；形式2：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；附：“点差法”步骤：椭圆：“点”_______________________;___________________________;“差”__________________________________;“设而不求法”_______________________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________________;___________;___________;→得公式：（公式一）-------------------；（公式二）---------------------；附：“点差法”步骤：抛物线；形式一___________;：“点”_______________________;_____________________;“差”_________________________;“设而不求法”___________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________;___________;___________;→得公式：（公式一）---------------------；（公式二）--------------------；附：“点差法”步骤： 圆锥曲线 一、填空题 1、（2015年江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则c 的最大值 为___ 2 __________。 2、（2013年江苏高考）双曲线19 162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 。 3、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为 )0,0(122 22>>=+b a b y a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆 C 的离心率为 。 4、（ 南京、盐城市高三二模）在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线C ： y x 42=的焦点为F ，定点)0, 22(A ，若射线FA 及抛物线C 相交于点M ，及抛物线C 的准线相交于点N ，则FM ：MN= 5、（苏锡常镇四市 高三教学情况调研（二））已知双曲线22 221(,0) x y a b a b -=>的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 ▲ 6、（泰州市 高三第二次模拟考试）已知双曲线22 14x y m -=的渐近线方程为 2 y x =± ，则m = ▲ 7、（盐城市 高三第三次模拟考试）若抛物线28y x =的焦点F 及双曲线 22 13x y n -=的一个焦点重合，则n 的值为 ▲ 8、（ 江苏南京高三9月调研）已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近 线方程 为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为 ▲ 9、（ 江苏苏州高三9月调研）已知双曲线22 15 x y m -=的右焦点及抛物线 212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 10、（南京市、盐城市 高三）若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点及抛物线 24y x =的焦点重合，则a = ▲ . 11、（南通市 高三）在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过抛物 线24y x =焦点的双曲线的方程是 12、（苏州市 高三上期末）以抛物线24y x =的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线标准方程为 13、（泰州市 高三上期末）双曲线12222=-b y a x 的右焦点到渐近线的距离是其 到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e = ▲ 14、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22 19x y m -=的一个焦点为（5，0），则实数 m = ▲ 15、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐 标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线及抛物线y 2＝4x Y 高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义 一、基础知识【理解去记】 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0 圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0； 点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点P0(x0,y0)是C1，C2的交点? f2(x0,y0) =0 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点. 2.圆 圆的定义：点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程： (1)标准方程 圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是 (x-a)2 +(y-b)2 =r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是 x 2 +y 2 =r 2 (2)一般方程 当D 2 +E 2 -4F ＞0时，一元二次方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2 E ），半径是 2 4F -E D 22+.配方，将方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44 F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时，方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则 ｜MC ｜＜r ?点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ?点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ?点M 在圆C 内， 其中｜MC ｜=2 02 0b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d= 2 2 C Bb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判 定. 全国名校高考专题训练——圆锥曲线选择填空100题 一、选择题(本大题共60小题) 1.(江苏省启东中学高三综合测试二)在抛物线y2＝2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为( ) C. 2 D. 4 2.(江苏省启东中学高三综合测试三)已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于( ) 3.(江苏省启东中学高三综合测试四)设F1，F2是椭圆4x2 49 ＋ y2 6 ＝1的两个焦 点，P是椭圆上的点，且|PF1|：|PF2|＝4：3，则△PF1F2的面积为( ) 4.(安徽省皖南八校高三第一次联考)已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆x2 a2＋ y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的右焦点F交椭圆于A，B两点，P为右准线上任意一点，则∠APB为( ) A.钝角 B.直角 C.锐角 D.都有可能 5.(江西省五校高三开学联考)从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b2，4b2]，则这一椭圆离心率e的取值范围是( ) A.[ 5 3 ， 3 2 ] B.[ 3 3 ， 2 2 ] C.[ 5 3 ， 2 2 ] D. [ 3 3 ， 3 2 ] 6.(安徽省淮南市高三第一次模拟考试)已知点A ，F 分别是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和左焦点，点B 为椭圆短轴的一个端点，若BF →·BA →＝0=0，则椭圆的离心率e 为( ) 7.(安徽省巢湖市高三第二次教学质量检测)以椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的 右焦点为圆心的圆经过原点，且被椭圆的右准线分成弧长为2:1的两段弧，那么该椭圆的离心率等于( ) 8.(北京市朝阳区高三数学一模)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的 左，右焦点分别为F 1，F 2，抛物线C 2的顶点在原点，它的准线与双曲线C 1的左准线重合，若双曲线C 1与抛物线C 2的交点P 满足PF 2⊥F 1F 2，则双曲线 C 1的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.233 2 9.(北京市崇文区高三统一练习一)椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的中心，右焦 点，右顶点，右准线与x 轴的交点依次为O ，F ，A ，H ，则|FA | |OH |的最大值为 ( ) A.12 B.13 C.14 10.(北京市海淀区高三统一练习一)直线l 过抛物线y 2＝x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角θ≥ π 4 ，则|FA | 1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设1F 、2F 分别是 椭圆22 154 x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ?的最大值和最小值； （Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴=== 设P （x ，y ），则1),1(),1(2 221-+=--?---=?y x y x y x PF 35 1 1544222+=-- +x x x ]5,5[-∈x ， 0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ?有最小值3； 当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ?有最大值4 （Ⅱ）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不 存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k 直线l 的方程为)5(-=x k y 由方程组22 22221(54)5012520054 (5)x y k x k x k y k x ?+ =?+-+-=??=-? ，得 依题意220(1680)0k k ?=-><< ，得 当5 5 55< <- k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ， 则4 5252,455022 2102221+=+=+=+k k x x x k k x x .4 520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k k k k k x k y 又|F 2C|=|F 2D|122-=??⊥?R F k k l R F 全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： (R); AG AD λλ=∈2; GE GF GH +=0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23 = e ，已知点)3,0(P 到 这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1 是A、B；双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若AM=. 求证：.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; （2）若2 圆锥曲线的综合问题 [知识能否忆起] 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y (或x )得关于变量x (或y )的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)． 若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： Δ>0?直线与圆锥曲线相交； Δ＝0?直线与圆锥曲线相切； Δ<0?直线与圆锥曲线相离． 若a ＝0且b ≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 2．圆锥曲线的弦长问题 设直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2|x 1 －x 2|或 1＋1 k 2|y 1－y 2|. [小题能否全取] 1．(教材习题改编)与椭圆x 212＋y 2 16＝1焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是( ) A ．y 2－ x 23＝1 B.y 23 －x 2 ＝1 C.34x 2－3 8 y 2＝1 D.34y 2－3 8 x 2＝1 解析：选A 设双曲线方程为y 2a 2－x 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则????? a 2＋ b 2＝ c 2， c a ＝2，c ＝2， 得a ＝1，b ＝ 3. 故双曲线方程为y 2－ x 2 3 ＝1. 2．(教材习题改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2 4＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定 解析：选A 由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直 高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A （B ）2 （C （D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C ．若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直 线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ） A B ．2 C ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点，且 |||PA AB =，则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点) 圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程，认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程，理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角，掌握点到直线的距离公式。 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义，并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上，以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性，掌握求这些曲线方程的基本 方法，并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们之间的位置关系，并能利用 解析法解决相应的几何问题。 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图，已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2)，过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 ,F F是椭圆的右焦点，求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O 二、轨迹问题 例2 如图，已知平行四边形ABCO ，O 是坐标原点，点A 在线段MN 上移动，x=4,y=t (33)t -≤≤上移动，点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动，求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=，问椭圆上是否存在相异两点A 、B ，关于直线l 对称，请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--，点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上，且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时，求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点，且在以点D （0，-1）为圆 心的同一圆上，求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R ，,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量，若向量 (2)a x i y j → →→=++，且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0，3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB → → → =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由 第六节 圆锥曲线综合 考纲解读 1.掌握与圆锥曲线有关的最值、定值和参数范围问题. 2.会处理动曲线（含直线）过定点的问题. 3.会证明与曲线上的动点有关的定值问题. 4.会按条件建立目标函数，研究变量的最值及取值范围问题，注意运用数形结合法和几何法求某些量的最值. 命题趋势研究 从内容上看，预测2015年高考主要考查两大类问题：一是根据条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质，其热点有：①以客观题的形式考查圆锥曲线的基本概念和性质；②求平面曲线的方程和轨迹；③圆锥曲线的有关元素计算、关系证明或范围确定；④涉及圆锥曲线对称变换、最值或位置关系的有关问题. 从形式上看，以解答题为主，难度较大. 从能力要求上看，要求学生具备一定的数形结合、分析问题和解决问题及运算能力. 知识点精讲 一、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下： （1）变量----选择适当的量为变量. （2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数. （3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值. 求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值. 二、求最值问题常用的两种方法 （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法. （2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值.求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法. 三、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视” （1）重视定义在解题中的作用(把定义作为解题的着眼点). （2）重视曲线的几何特征特别是平面几何性质与方程的代数特征在解题中的作用. （3）重视根与系数的关系在解题中的作用(涉及弦长、中点要用根与系数的关系). 四、求参数的取值范围 据已知条件及题目要求等量或不等量关系，再求参数的范围. 题型归纳及思路提示 题型150 平面向量在解析几何中的应用 思路提示 解决平面向量在解析几何中的应用要把几何特征转化为向量关系，并把向量用坐标表示.常见的应用有如下两个方面. （1）用向量的数量积解决有关角的问题.直角?0a b =,钝角?0a b <(且,a b 不反向), 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线11与12是同一平面两条互相垂直的直线， 交点是A ，点B 、D 在直线11上(B 、 D 位于点A 右侧)，且|AB|=4 , |AD|=1 , M 是该平面上的一个动点， M 在l i 上的射影点 是 N ，且 |BN|=2|DM|. (I )建立适当的坐标系，求动点 M 的轨迹C 的方程. (II )过点D 且不与11、12垂直的直线1交(I )中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点 G 、 求点G 的横坐标的取值围. M ___ B ___________________ A D N B 11 、3 e 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率 2，已知 点P(0，3) 到这个椭圆 上的点的最远距离是 4,求这个椭圆的方程. H 满足: AD( R)； G E G F 2G H ； G H E F 0. 12 2 2 C x y 1( b 0) 3. 已知椭圆/ b2的一条准线方程是25 ， 4其左、右顶点分别 (I) 求椭圆C i的方程及双曲线C2的离心率； (H)在第一象限取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C i于点M,连结PB并延长交椭 圆C i于点N,若AM MP.求证：MN ?AB 0. 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F (c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45。的直线交 椭圆于A, B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为 a. (1) 用半焦距c表示椭圆的方程及tan ; (2) 若2 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上 (B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率23 = e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆 上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1 是A、B；双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若MP AM=. 求证：.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; （2）若2 高考数学试题圆锥曲线 一． 选择题： 1.又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点， 且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到 抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 41 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于它 到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ． D ． 6.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） 椭圆与双曲线的性质 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长 轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线 方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆 的焦点角形的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应 于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除 去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 数学高考圆锥曲线压轴 题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 数学高考圆锥曲线压轴题经典预测一、圆锥曲线中的定值问题 ★★椭圆C：x2 a2＋ y2 b2＝1（a＞b＞0）的离心率e＝ 3 2，a＋b＝3． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m－k为定值． ★★如图，椭圆C：x2 a2＋ y2 b2＝1（a＞b＞0）经过点P（1， 3 2），离心率e＝ 1 2，直 线l的方程为x＝4． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3若存在，求λ的值；若不存在，说明理由． ★★椭圆C：x2 a2＋ y2 b2＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别是F1，F2，离心率为 3 2，过 F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围； （Ⅲ）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只 有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明 1 kk1＋ 1 kk2 为定值，并求出这个定值． - 2 - 二、圆锥曲线中的最值问题 ＋y2 b2＝1（ a＞b＞0）的离心率为 （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且A D⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值； （ii）求△OMN面积的最大值． - 3 -2020高考数学圆锥曲线试题(含答案)
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